第14章《全等三角形》动点问题专题 2026-2027学年人教版数学八年级上册

湖北省武汉市2026-2027学年度第一学期人教版八年级第14章《全等三角形》动点问题专题 一．选择题（共2小题） 1．如图，已知线段AB＝20m，MA⊥AB于点A，MA＝6m，射线BD⊥AB于点B，点P从点B向点A运动，每秒走1m，点Q从点B向点D运动，每秒走3m．若P，Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等，则x的值为（　　） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 2．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24cm，AC＝12cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动（　　）秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合） A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 二．填空题（共8小题） 3．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝____________________ s时，△PBQ为直角三角形． 4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝6cm，BC＝9cm，CD＝12cm，点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D匀速运动，若△BAP与△PCQ在某一时刻全等，则点Q运动速度为____________________ ． 5．如图，四边形ABCD中，AB＝12cm，BC＝24cm，CD＝20cm，∠B＝∠C＝60°．点E为线段AB的中点．点P在线段BC上以3cm/s的速度由B向C运动，同时点Q在线段CD上由C向D运动．当△BPE与△CPQ全等时，则点Q的速度为__________________ ． 6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，BC＝3cm，AB＝5cm，现有一动点P，以1cm/s的速度从点C出发向点A匀速运动，到点A停止；同时，另一个动点Q，从点A出发向点B匀速运动，到点B停止．在两点运动过程中的某一时刻，△APQ恰好与△CBD全等，则点Q的运动速度为 ____________________ cm/s． 7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C＝60°，AB＝3cm，BC＝4cm，点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q由点C向点D运动．设运动时间为ts，点Q运动速度为xcm/s，当△ABP与△PCQ全等时，t的值为 ________ ． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝7cm，AC＝24cm，CD为AB边上的高，直线CD上一点F满足CF＝AB，点E从点B出发在直线BC上以3cm/s的速度移动，设运动时间为t秒，当t＝____________________ 秒时，能使△ABC≌△CFE． 9．如图，在△ABC中，∠A＝30°，AC＝8cm，BC＝6cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发在射线BC上以2cm/s的速度移动，设运动时间为ts，当CE＝CD时，t的值为________ ． 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝21cm，BC＝9cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以3cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 __________ s时，CF＝AB． 三．解答题（共4小题） 11．如图，小明和小楠两人围绕一个三角形的场地做游戏，开始时小明和小楠分别站在A、B两点，AB＝AC＝BC＝10m．已知小明的速度是1m/s，小楠的速度是2m/s，当小楠第一次到达点B时，小明和小楠同时停止运动． （1）小明和小楠同时运动几秒后，小楠追上小明？ （2）小明和小楠同时运动几秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形？ （3）当小明和小楠在边BC上运动时（B、C两点除外），能否使得他们到点A的距离相等？如果能，请求出此时小明和小楠运动的时间；如果不能，请说明理由． 12．已知AB＝12cm，AC＝BD＝10cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒． （1）如图1，若AC⊥AB，BD⊥AB，且点Q的运动速度与点P的运动速度相同，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系和数量关系，请分别说明理由； （2）如图2，若∠A＝∠B＝60°，设点Q的运动速度为vcm/s，是否存在实数v，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出v，t的值；若不存在，请说明理由． 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BC＝8cm，D为AB的中点，动点E从点C开始沿射线CB方向以2cm/s的速度运动． （1）如图1，当点E在BC边上运动时，过点D作DE的垂线交直线AC于点F，试探究线段CE，AF之间的数量关系，请写出结论并证明； （2）动点P也同时从点C开始在直线AC上以1cm/s的速度向远离C点的方向运动，分别连接DC，DE，DP．设动点E的运动时间为ts，则当t为何值时，△DCP与△DBE全等？ 14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿AC边向终点C运动；动点Q从点B出发沿BC边向终点C运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，设运动时间为t秒，当点Q到达终点C时，点P也随之停止运动． （1）AP＝ _____ cm，CQ＝ ___________ cm（用含t的代数式表示）； （2）当S△ABP＝S△ACQ时，求t的值； （3）分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则当t＝ _____ 秒时，△PEC与△QFC全等． 湖北省武汉市2026-2027学年度第一学期人教版八年级第14章《全等三角形》动点问题专题 参考答案与试题解析 一．选择题（共2小题） 1．如图，已知线段AB＝20m，MA⊥AB于点A，MA＝6m，射线BD⊥AB于点B，点P从点B向点A运动，每秒走1m，点Q从点B向点D运动，每秒走3m．若P，Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等，则x的值为（　　） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 【分析】求出BP＝xm，BQ＝3xm，AP＝（20﹣x）m，根据全等三角形得出①AC＝BP＝xm，AP＝BQ＝3xm，②AC＝BQ＝3xm，BP＝AP＝xm，再列出方程，最后求出x即可． 【解答】解：∵出发x秒，点P从点B向点A运动，每秒走1m，点Q从点B向点D运动，每秒走3m， ∴BP＝x•1＝x（m），BQ＝x•3＝3x（m），则AP＝（20﹣x）m， ∵MA⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， 要使△CAP与△PBQ全等，有两种情况： ①AC＝BP＝xm，AP＝BQ＝3xm， 即20﹣x＝3x， 解得：x＝5； ②AC＝BQ＝3xm，BP＝AP＝xm， 即20﹣x＝x， 解得：x＝10， 当x＝10时，AC＝30，不符合题意，舍去， 所以x＝5， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等． 2．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24cm，AC＝12cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动（　　）秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合） A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 【分析】依题意得△DEB与△BCA都是直角三角形，且有以下三种情况讨论：①当E在线段AB上，且AC＝BE＝12cm时，则可依据“HL”判定Rt△ACB和Rt△BED全等，进而得AE＝AB﹣BE＝12（cm），由此即可得出点E的运动时间为4秒；②当E在BN上，且AC＝BE＝12cm时，则可依据“HL”判定Rt△ACB和Rt△BED全等，进而得AE＝AB+BE＝36cm，由此即可得出点E的运动时间为12秒；③当E在BN上，AB＝EB＝24cm时，则可依据“HL”判定Rt△ACB和Rt△BED全等，进而得AE＝AB+BE＝48cm，由此即可得出点E的运动时间为16秒．综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B， ∴∠EBD＝∠A＝90°， ∴△DEB与△BCA都是直角三角形， 又∵E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动（点E与A不重合），AB＝24cm，AC＝12cm， ∴有以下三种情况讨论： ①当E在线段AB上，且AC＝BE＝12cm时，则Rt△ACB≌Rt△BED（HL）， ∴AE＝AB﹣BE＝12（cm）， ∴点E的运动时间为：12÷3＝4（秒）； ②当E在BN上，且AC＝BE＝12cm时，则Rt△ACB≌RT△BED（HL）， ∴AE＝AB+BE＝24+12＝36（cm）， ∴点E的运动时间为：36÷3＝12（秒）； ③当E在BN上，AB＝EB＝24cm时，则Rt△ACB≌RT△BED（HL）， ∴AE＝AB+BE＝24+24＝48cm， ∴点E的运动时间为：48÷3＝16（秒）． 综上所述，当点E运动4或12或16秒时，△DEB与△BCA全等． 故选：D． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 二．填空题（共8小题） 3．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝　或　 s时，△PBQ为直角三角形． 【分析】先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°， 当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°， ∴BP＝2BQ． ∵BP＝6﹣2x，BQ＝x， ∴6﹣2x＝2x， 解得x； 当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°， ∴BQ＝2PB， ∴x＝2（6﹣2x）， 解得x． 答：或秒时，△BPQ是直角三角形． 故答案为或． 【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，30°角的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，利用分类讨论是解题的关键． 4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝6cm，BC＝9cm，CD＝12cm，点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D匀速运动，若△BAP与△PCQ在某一时刻全等，则点Q运动速度为　cm/s或2cm/s ． 【分析】设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为vcm/s，则BP＝2tcm，CQ＝vtcm，根据∠B＝∠C＝120°，可得△BAP≌△CQP或△BAP≌△CPQ，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【解答】解：设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为vcm/s，则BP＝2tcm，CQ＝vtcm， ∵BC＝9cm， ∴CP＝BC﹣BP＝（9﹣2t）cm， ∵∠B＝∠C＝120°， ∴△BAP≌△CQP或△BAP≌△CPQ， ①当△BAP≌△CQP时，CQ＝AB＝6cm，BP＝CPBCcm， ∴2t， ∴t（s）， ∴， 解得：v； ②当△BAP≌△CPQ时，CP＝BA，BP＝CQ＝vtcm， ∴2t＝vt， 解得：v＝2； 综上所述，点Q运动速度为cm/s或2cm/s． 故答案为：cm/s或2cm/s． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 5．如图，四边形ABCD中，AB＝12cm，BC＝24cm，CD＝20cm，∠B＝∠C＝60°．点E为线段AB的中点．点P在线段BC上以3cm/s的速度由B向C运动，同时点Q在线段CD上由C向D运动．当△BPE与△CPQ全等时，则点Q的速度为　1.5cm/s或3cm/s ． 【分析】设点Q的运动速度为xcm/s，运动的时间为ts，则BP＝3tcm，CQ＝xtcm，由点E为线段AB的中点得到BE＝6cm，由于∠B＝∠C，根据全等三角形的判定定理可得到当BE＝CQ，BP＝CP时，△BPE≌△CPQ，即xt＝6，3t＝24﹣3t；当BE＝CP，BP＝CQ时，△BPE≌△CQP，即24﹣3t＝6，3t＝xt，然后分别求出x即可． 【解答】解：设点Q的运动速度为xcm/s，运动的时间为ts，则BP＝3tcm，CQ＝xtcm， ∵点E为线段AB的中点， ∴， ∵∠B＝∠C， ∴当BE＝CQ，BP＝CP时， 在△BPE和△CPQ中， ， △BPE≌△CPQ（SAS）， 即xt＝6，3t＝24﹣3t， 解得t＝4，x＝1.5， 即此时点Q的运动速度为1.5cm/s； 当BE＝CP，BP＝CQ时， 在△BPE和△CQP中， ， △BPE≌△CQP（SAS）， 即24﹣3t＝6，3t＝xt， 解得t＝6，x＝3， 即此时点Q的运动速度为3cm/s； 综上所述，点Q的运动速度为1.5cm/s或3cm/s， 故答案为：1.5cm/s或3cm/s． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，BC＝3cm，AB＝5cm，现有一动点P，以1cm/s的速度从点C出发向点A匀速运动，到点A停止；同时，另一个动点Q，从点A出发向点B匀速运动，到点B停止．在两点运动过程中的某一时刻，△APQ恰好与△CBD全等，则点Q的运动速度为 　或　 cm/s． 【分析】先利用怪怪的了计算出AC＝4cm，再利用面积法求出CDcm，设点Q的运动速度为xcm/s，运动的时间为ts，则AP＝（4﹣t）cm，AQ＝xtcm，由于∠A＝∠BCD，利用“SAS”可得到当AP＝CB，AQ＝CD或当AP＝CD，AQ＝CB得到△APQ与△CBD全等，即4﹣t＝3，xt或4﹣t，xt＝3，然后分别解方程求出对应的x的值即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝3cm，AB＝5cm， ∴AC4（cm）， 设点Q的运动速度为xcm/s，运动的时间为ts，则AP＝（4﹣t）cm，AQ＝xtcm， ∵CD•ABAC•BC， ∴CD（cm）， ∵∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴当AP＝CB，AQ＝CD时，可根据“SAS”判断△APQ≌△CBD， 即4﹣t＝3，xt，解得t＝1，x； 当AP＝CD，AQ＝CB时，可根据“SAS”判断△APQ≌△CDB， 即4﹣t，xt＝3，解得t，x； 综上所述，点Q的运动速度为或cm/s． 故答案为或． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，也考查了勾股定理． 7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C＝60°，AB＝3cm，BC＝4cm，点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q由点C向点D运动．设运动时间为ts，点Q运动速度为xcm/s，当△ABP与△PCQ全等时，t的值为 　2或7　 ． 【分析】先表示出BP＝tcm，CQ＝xtcm，PC＝（4﹣t）cm，由于∠B＝∠C，根据全等三角形的判定方法，当BA＝CP，BP＝CQ时，△BAP∽△CPQ，即4﹣t＝3，t＝xt；当BA＝CQ，BP＝CP时，△BAP∽△CQP，即xt＝3，t＝4﹣t，然后分别解方程可得到t的值． 【解答】解：根据题意，BP＝tcm，CQ＝xtcm，PC＝（4﹣t）cm， ∵∠B＝∠C， ∴当BA＝CP，BP＝CQ时，根据“SAS”可判断△BAP∽△CPQ， 即4﹣t＝3，t＝xt， 解得t＝7； 当BA＝CQ，BP＝CP时，根据“SAS”可判断△BAP∽△CQP， 即xt＝3，t＝4﹣t， 解得t＝2； 综上所述，t的值为2或7时，△ABP与△PCQ全等． 故答案为：2或7． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝7cm，AC＝24cm，CD为AB边上的高，直线CD上一点F满足CF＝AB，点E从点B出发在直线BC上以3cm/s的速度移动，设运动时间为t秒，当t＝　或时　 秒时，能使△ABC≌△CFE． 【分析】分两种情况，当F在C上方时，当CE＝AC＝24cm时，△ABC≌△CFE．由BE＝BC+CE＝7+24＝31（cm），得到t；当F在C下方时，CE′＝AC＝24cm时，△ABC≌△CFE，由BE′＝CE′﹣BC＝24﹣7＝17（cm），求出t，即可得到答案． 【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠BCD+∠ACD＝∠A+∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵∠ECF＝∠BCD， ∴∠ECF＝∠A， 当F在C上方时， ∵AB＝CF，∠A＝∠ECF， ∴当CE＝AC＝24cm时，△ABC≌△CFE． ∵BE＝BC+CE＝7+24＝31（cm）， ∴t； 当F在C下方时， ∵CF′＝AB，∠BCD＝∠A， ∴当CE′＝AC＝24cm时，△ABC≌△CFE， ∵BE′＝CE′﹣BC＝24﹣7＝17（cm）， ∴t， ∴当t或时，能使△ABC≌△CFE． 故答案为：或时． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是要分两种情况讨论． 9．如图，在△ABC中，∠A＝30°，AC＝8cm，BC＝6cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发在射线BC上以2cm/s的速度移动，设运动时间为ts，当CE＝CD时，t的值为　1或5　 ． 【分析】由含30度角的直角三角形的性质推出CDAC＝4（cm），当E在线段BC上时，求出BE＝BC﹣CE＝2（cm），得到t＝2÷2＝1（s）；当E在线段B的延长线上时，求出BE＝BC+CE＝10（cm），得到t＝10÷2＝5（s），即可得到答案． 【解答】解：∵CD为AB边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠A＝30°， ∴CDAC8＝4（cm）， 当E在线段BC上时， ∵CE＝CD＝4cm， ∴BE＝BC﹣CE＝6﹣4＝2（cm）， ∴t＝2÷2＝1（s）； 当E在线段B的延长线上时， BE＝BC+CE＝6+4＝10（cm）， ∴t＝10÷2＝5（s）， 综上：t的值是1或5． 故答案为：1或5． 【点评】本题考查含30度角的直角三角形，关键是由含30度角的直角三角形的性质推出CDAC，分两种情况讨论． 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝21cm，BC＝9cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以3cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 　4s或10　 s时，CF＝AB． 【分析】设点E运动的时间为ts，分两种情况讨论，一是点E从点B出发沿射线BC方向运动，可证明△CFE≌△ABC，则CE＝AC＝21cm，而BC＝9cm，且BE＝BC+CE，所以3t＝21+9，求得t＝10；二是点E从点B出发沿射线CB方向运动，可证明△CFE≌△ABC，则CE＝AC＝21cm，此时BE＝CE﹣BC，所以3t＝21﹣9，求得t＝4，于是得到问题的答案． 【解答】解：设点E运动的时间为ts， 如图，点E从点B出发沿射线BC方向运动， ∵CD为AB边上的高， ∴CD⊥AB， ∵∠ACB＝90°，EF⊥BC， ∴∠CEF＝∠ACB＝∠BDC＝90°， ∴∠FCE＝∠BCD＝90°﹣∠ABC＝∠A， ∵CF＝AB， ∴△CFE≌△ABC（AAS）， ∴CE＝AC＝21cm， ∵BC＝9cm，且BE＝BC+CE， ∴3t＝9+21， 解得t＝10； 如图，点E从点B出发沿射线CB方向运动，则∠CEF＝∠ACB＝90°，∠FCE＝∠A＝90°﹣∠ABC， ∵CF＝AB， ∴△CFE≌△ABC（AAS）， ∴CE＝AC＝21cm， ∵BC＝9cm，且BE＝CE﹣BC， ∴3t＝21﹣9， 解得t＝4； 综上，当点E运动4s或10s时，CF＝AB， 故答案为：4s或10． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用，掌握分类讨论的数学思想解题的关键． 三．解答题（共4小题） 11．如图，小明和小楠两人围绕一个三角形的场地做游戏，开始时小明和小楠分别站在A、B两点，AB＝AC＝BC＝10m．已知小明的速度是1m/s，小楠的速度是2m/s，当小楠第一次到达点B时，小明和小楠同时停止运动． （1）小明和小楠同时运动几秒后，小楠追上小明？ （2）小明和小楠同时运动几秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形？ （3）当小明和小楠在边BC上运动时（B、C两点除外），能否使得他们到点A的距离相等？如果能，请求出此时小明和小楠运动的时间；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）根据小明的路程＝小楠的路程﹣10列方程可解答； （2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可知当AM＝AN即可符合条件，列方程可解答； （3）证明△AMC≌△ANB（AAS），则CM＝BN，列方程可解答． 【解答】解：（1）由题意得：2t﹣10＝t， ∴t＝10， 答：小明和小楠同时运动10秒后，小楠追上小明； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， 当AN＝AM时，△AMN是等边三角形， ∴10﹣2t＝t， ∴t， 答：小明和小楠同时运动秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形； （3）如图1，当小明和小楠在边BC上运动时（B、C两点除外），能使得他们到点A的距离相等，即AM＝AN， 由（1）知：当t＝10时，小明和小楠在点C处相遇， ∵AM＝AN， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴∠AMC＝∠ANB， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴△AMC≌△ANB（AAS）， ∴CM＝BN， ∴t﹣10＝30﹣2t， ∴t． ∴当小明和小楠在边BC上运动时（B、C两点除外），能使得他们到点A的距离相等，此时小明和小楠运动的时间是秒． 【点评】本题是三角形和几何动点的综合题，考查了行程问题中的相遇问题和追及问题，等边三角形的性质和判定，最基本的数量关系：速度×时间＝路程． 12．已知AB＝12cm，AC＝BD＝10cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒． （1）如图1，若AC⊥AB，BD⊥AB，且点Q的运动速度与点P的运动速度相同，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系和数量关系，请分别说明理由； （2）如图2，若∠A＝∠B＝60°，设点Q的运动速度为vcm/s，是否存在实数v，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出v，t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）当t＝1时，依题意得∠A＝∠B＝90°，AP＝BQ＝2cm，进而得AC＝BP＝10cm，由此可依据“SAS”判定△ACP和△BPQ全等得PC＝PQ，∠C＝∠BPQ，再根据∠C+∠APC＝90°得∠BPQ+∠APC＝90°，继而得∠CPQ＝90°，则PC⊥PQ； （2）依题意得AP＝2tcm，BQ＝vtcm，则BP＝（12﹣2t）cm，再根据∠A＝∠B＝60°得当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况：①当AC＝BP，AP＝BQ时，则△ACP≌△BPQ（SAS），由AC＝BP得10＝12﹣2t，解得t＝1，由AP＝BQ，得2t＝vt，将t＝1代入得v＝2，②当AC＝BQ，AP＝BP时，则△ACP≌△BQP（SAS），由AP＝BP得2t＝12﹣2t，解得t＝3，由AC＝BQ得10＝vt，将t＝3代入得v，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）当t＝1时，△ACP与△BPQ全等， 线段PC和线段PQ的位置关系是：PC⊥PQ，数量关系是：PC＝PQ，理由如下： ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动， ∴AP＝2cm， ∵AB＝12cm，AC＝BD＝10cm， ∴BP＝AB﹣AP＝10（cm）， ∴AC＝BP＝10cm， 又∵且点Q的运动速度与点P的运动速度相同， ∴BQ＝2cm， ∴AP＝BQ＝2cm， 在△ACP和△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）， ∴PC＝PQ，∠C＝∠BPQ， 在Rt△ACP中，∠C+∠APC＝90°， ∴∠BPQ+∠APC＝90°， ∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°， ∴PC⊥PQ； （2）依题意得：AP＝2tcm，BQ＝vtcm， ∵AB＝12cm，AC＝BD＝10cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（12﹣2t）cm， 又∵∠A＝∠B＝60°， ∴当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况： ①当AC＝BP，AP＝BQ时，则△ACP≌△BPQ（SAS）， 由AC＝BP，得：10＝12﹣2t， 解得：t＝1， 由AP＝BQ，得：2t＝vt， ∵t＝1， ∴v＝2， 即当t＝1s，v＝2cm/s时，△ACP与△BPQ全等； ②当AC＝BQ，AP＝BP时，则△ACP≌△BQP（SAS）， 由AP＝BP，得：2t＝12﹣2t， 解得：t＝3， 由AC＝BQ，得：10＝vt， ∵t＝3， ∴v， 即当t＝3s，v＝10/3cm/s时，△ACP与△BPQ全等， 综上所述：v，t的值分别为t＝1s，v＝2cm/s或t＝3s，vcm/s． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BC＝8cm，D为AB的中点，动点E从点C开始沿射线CB方向以2cm/s的速度运动． （1）如图1，当点E在BC边上运动时，过点D作DE的垂线交直线AC于点F，试探究线段CE，AF之间的数量关系，请写出结论并证明； （2）动点P也同时从点C开始在直线AC上以1cm/s的速度向远离C点的方向运动，分别连接DC，DE，DP．设动点E的运动时间为ts，则当t为何值时，△DCP与△DBE全等？ 【分析】（1）连接CD，根据等腰直角三角形性质得∠A＝∠ABC＝∠DCE＝45°，CD⊥AB，CD＝AD＝BD，在根据DF⊥DE可得∠CDE＝∠ADF，由此可依据“ASA”判定△CDE和△ADF全等，然后根据全等三角形的性质可得出线段CE，AF之间的数量关系； （2）依题意有以下两种情况：①当点P在直线AC上沿AC方向运动时，设点M为AC延长线上的点，N为CB延长线上的点，先求出∠DCM＝∠DBN＝135°，再根据CD＝BD，点P在AC的延长线上，得△DCP与△DBE全等时，点E在CB的延长线上，此时CP＝BE，然后根据点E，P的运动速度和时间得CE＝2tcm，CP＝tcm，则BE＝CE﹣BC＝（2t﹣8）cm，最后根据CP＝BE可求出t的值；当点P在直线上沿CA方向运动时，②根据CD＝DB，∠DCP＝∠DBE＝45°得当CP＝BE时，△DCP≌△DBE，依题意得CP＝tcm，CE＝2tcm则BE＝（8﹣2t）cm，进而得t＝8﹣2t，由可得t的值，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）线段CE，AF之间的数量关系是：CE＝AF，证明如下： 连接CD，如图1所示： 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点， ∴∠A＝∠ABC＝45°，CD⊥AB，CD＝AD＝BD， ∴∠DCE＝∠A＝∠ABC＝45°，∠ADF+∠CDF＝90°， ∵DF⊥DE， ∴∠CDE+∠CDF＝90°， ∴∠CDE＝∠ADF， 在△CDE和△ADF中， ， ∴△CDE≌△ADF（ASA）， ∴CE＝AF； （2）依题意有以下两种情况： ①当点P在直线AC上沿AC方向运动时， 设点M为AC延长线上的点，N为CB延长线上的点，如图2所示： ∵∠ACB＝90°，CD＝BD，∠DCB＝∠ABC＝45°， ∴∠BCM＝90°， ∴∠DCM＝∠DCB+∠BCM＝45°+90°＝135°， ∵∠DBN＝180°﹣∠ABC＝180°﹣45°＝135°， ∴∠DCM＝∠DBN＝135°， 又∵CD＝BD，点P在AC的延长线上， ∴当△DCP与△DBE全等时，点E在CB的延长线上， 此时CP＝BE， 根据点E，P的运动速度和时间得：CE＝2tcm，CP＝tcm， ∵AC＝BC＝8cm， ∴BE＝CE﹣BC＝（2t﹣8）cm， ∴t＝2t﹣8， 解得：t＝8（s）， ②当点P在直线上沿CA方向运动时，如图3所示： ∴CD＝DB，∠DCP＝∠DBE＝45°， ∴当CP＝BE时，△DCP≌△DBE， 依题意得：CP＝tcm，CE＝2tcm， ∴BE＝BC﹣CE＝（8﹣2t）cm， ∴当CP＝BE时，t＝8﹣2t， 解得：t（s）， ∴当t为8或s时，△DCP与△DBE全等． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质是解决问题的关键． 14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿AC边向终点C运动；动点Q从点B出发沿BC边向终点C运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，设运动时间为t秒，当点Q到达终点C时，点P也随之停止运动． （1）AP＝ t cm，CQ＝ 　（8﹣2t）　 cm（用含t的代数式表示）； （2）当S△ABP＝S△ACQ时，求t的值； （3）分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则当t＝ 　2　 秒时，△PEC与△QFC全等． 【分析】（1）依题意得AP＝tcm，BQ＝2tcm，再根据BC＝8cm得CQ＝（8﹣2t）cm，据此可得出答案； （2）先求出S△ABPAP•BC＝4t（cm2），S△ACQCQ•AC＝（24﹣6t）cm2，根据S△ABP＝S△ACQ得4t＝24﹣6t，由此可得t＝2.4； （3）PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则∠PEC＝∠CFQ＝90°，证明∠EPC＝∠FCQ，进而得当PC＝CQ时，则可依据“AAS”判定△PEC和△CFQ全等，再求出PC＝（6﹣t）cm得6﹣t＝8﹣2t，由此可得t＝2． 【解答】解：（1）∵动点P从点A出发沿AC边向终点C运动，速度为1cm/s，时间为t秒， ∴AP＝tcm， ∵动点Q从点B出发沿BC边向终点C运动，速度为2cm/s，时间为t秒， ∴BQ＝2tcm， 又∵BC＝8cm， ∴CQ＝（8﹣2t）cm， 故答案为：t；（8﹣2t）； （2）如图1所示： 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， ∴S△ABPAP•BCt×8＝4t（cm2），S△ACQCQ•AC（8﹣2t）×6＝（24﹣6t）cm2， 当S△ABP＝S△ACQ时，则4t＝24﹣6t， 解得：t＝2.4； （3）如图2所示： ∵PE⊥l于点E，QF⊥l于点F， ∴∠PEC＝∠CFQ＝90°， 在Rt△PEC中，∠EPC+∠ECP＝90°， 又∵∠FCQ+∠ECP＝∠ACB＝90°， ∴∠EPC＝∠FCQ， ∴当PC＝CQ时，则△PEC≌△CFQ（AAS）， ∵AC＝6cm，AP＝tcm， ∴PC＝AC﹣AP＝（6﹣t）cm， 由（1）可知：CQ＝（8﹣2t）cm， ∴6﹣t＝8﹣2t， 解得：t＝2， ∴当t＝2秒时，△PEC与△QFC全等． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，理解直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/28 19:29:11；用户：狼的诱惑；邮箱：UID_B6F2C37AC4BC0A081F64DF52B2C648C2@qq.jyeoo.com；学号：24278983 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $