2026～2027学年北师大版八年级数学上册学业水平中期评价模拟试卷（）

2026～2027学年度第一学期学业水平中期评价模拟试卷 八年级数学（北师大版） 本卷满分120分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：第1-3章 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在下列实数：，，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，某公园里有一块长方形草坪，小明同学发现有极少数人不沿小路，行走，直接踩踏草坪沿行走．为了倡导人们爱护花草，建议公园管理人员在处立一个标牌：小草青青，脚下留情．经过测量得知：，两处的距离为，，两处的距离为，则踩踏草坪少走的距离仅仅为（    ） A． B． C． D． 3．有一个数值转换器，流程如图：当输入的值为64时，输出的值是（     ）． A．2 B． C． D．3 4．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔的长度不可能是（     ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，直线是经过点且平行于轴的直线，点与点关于直线轴对称，则的值为（     ） A．0 B．1 C． D． 6．下列说法正确的是（     ） A．点一定在第三象限 B．点到轴的距离为 C．若中、满足，则点在坐标轴上 D．若，则点一定在第一、第三象限角平分线上 7．在中，，，则（    ） A．28 B．28或10 C．28或100 D．10 8．下列说法：①的算术平方根是9；②一个数的立方根等于它本身，这个数是0或；③有序实数对在平面直角坐标系中对应的点一定在第一象限；④点到x轴的距离为3．其中正确的有（    ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．在平面直角坐标系中，已知，，是线段上的一个动点，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，…那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．在中，，，如图，点的坐标为，点的坐标为．点的坐标为________． 12．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为_______________． 13．如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为米，宽为米，一辆宽为米的卡车装满货物后能够通过该隧道，那么这辆卡车装满货物后的高度最大为______米． 14．如图，圆柱的底面周长是，高是，在它的外表面有一只蜘蛛（在点处）和一只蚊子（在点处）．若这只蜘蛛想去吃点处的蚊子，则它需要爬行的最短路线的长是________． 15．设，则的值是 ___________． 16．如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点，连接，，则的最小值为______． 评卷人 得分 三、解答题（本题共 8 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、演算步骤） 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．解方程： (1) (2) 19．一块四边形的空地如图所示，现在计划对这块空地进行改造，工作人员利用机器人对空地进行测量．通过测量得知，，，，，，求这块空地的面积． 20．已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P在第二象限，且它到x轴的距离与到y轴的距离相等，求的值． 21．如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点的位置上． (1)若，求的度数； (2)若，求长． 22．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，点C坐标满足，连接． (1)C点的坐标为 ，四边形的面积为 ； (2)点D是x轴上一个动点，当的面积为10时，求点D的坐标． 23．阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，徐老师出了一道题“已知，求的值”．聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以， 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ． ； (2)比较大小： （填，，，或中的一种）； (3)计算：； (4)若，求的值． 24．我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A D C C D D C 1．B 【详解】解：， 无理数有，，共个． 2．D 【分析】先根据题意判定为直角三角形，利用勾股定理求出斜边的长,再计算沿小路、行走的路程，减去的长度，得到少走的距离． 【详解】解：由长方形草坪得：， ∵，，， ∴由勾股定理，得， ∴， ∵， ∴践踏草坪少走的距离为4m． 3．B 【分析】根据程序框图代入数字进行计算判断即可． 【详解】解：输入， ∵，且为有理数， ∴； 输入， ∵为无理数， ∴输出， 即B符合题意． 4．A 【分析】根据勾股定理计算笔筒内最长线段长度，结合图形铅笔露出笔筒，确定铅笔长度的取值范围，进而判断选项． 【详解】解：设铅笔长度为L， 由题意得，笔筒内能容纳的最长线段长度为，笔筒内能容纳的最短线段长度为， 铅笔露出笔筒， 铅笔长度L大于笔筒内部部分长度， ∵笔筒内部部分长度最小值为， ∴， A选项中的不满足，B、C、D选项均大于． 5．D 【分析】根据题意可得，，解方程，再代入即可解答． 【详解】解：由题意得直线为， ∵点与点关于直线轴对称， ∴，， 解得，， ∴． 6．C 【分析】根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到轴的距离等于横坐标的绝对值对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：选项A： ，， 点横坐标为负，纵坐标为正， 点在第二象限， 故选项A错误； 选项B：平面直角坐标系中点到轴的距离是这个点的横坐标的绝对值， 点到轴的距离为， 故选项B错误； 选项C：， 或，点在轴或轴上，即点在坐标轴上， 故选项C正确； 选项D：， ， 点在第二、第四象限角平分线上， 故选项D错误． 7．C 【详解】解：在中，，， ①若为斜边，则； ②若为斜边，则； ∴或． 【点睛】运用勾股定理时，一定要先弄清哪个角是直角，再分别确定哪条边是直角边，哪条边是斜边． 8．D 【详解】解：①∵，9的算术平方根是3，∴①错误． ②∵立方根等于本身的数是，，∴②正确． ③∵，，当时，对应点为，在x轴上，∴③错误． ④∵点到x轴的距离为，∴④错误． 综上，正确的说法有1个． 9．D 【分析】根据“垂线段最短”，当时最小；先利用，坐标求出面积与斜边长度，再用三角形面积等面积法，列等式求出斜边上的高，此时最小． 【详解】解：，，， ，， 当时，最小，此时，，即， 的最小值为． 10．C 【分析】一动点从原点O出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，每六次重复相同的运动轨迹，周期为，再结合，，得出（为正整数，即为第几个周期），由此规律计算即可得出结果． 【详解】解：一动点从原点O出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，每六次重复相同的运动轨迹，周期为， ，， 结合图象可得，，，，…， ∴（为正整数，即为第几个周期）， 令，解得， ∴， ∴点的坐标是， ∴点的坐标是． 11． 【分析】过点C作直线l垂直x轴，过点A作于点F，过点B作于点E，证明，得到，．结合点A，C的坐标求解即可． 【详解】解：过点C作直线l垂直x轴，过点A作于点F，过点B作于点E， 则， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵点的坐标为，点的坐标为，直线轴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，． 12． 【分析】由勾股定理可得，由题意可得，，，即由此求出，结合图形即可解答 【详解】解：由勾股定理可得：， 由题意可得：，，， ∴， ∵， ∴，解得：， 由图形可得：图中阴影部分与正方形等底等高， ∴阴影部分的面积为． 13． 【分析】设半圆的圆心为，连接圆心与半圆上对应卡车边缘的点，过点作直径于点，则米，米，根据勾股定理求出米，即可求解． 【详解】解：如图，设半圆的圆心为，连接圆心与半圆上对应卡车边缘的点，过点作直径于点， 由题意得，半圆的直径为米，则半径为米， 卡车宽米，则卡车边缘距离中心线的水平距离为米， 在中，由勾股定理得米， 这辆卡车装满货物后的高度最大为米． 14．10 【分析】画出圆柱的侧面展开图，连接，，然后对运用勾股定理求解最短路径即可． 【详解】解：如图，标示点正下方与点相对的一点，作出圆柱的侧面展开图，连接，，其中． 由题意可知，，， 所以蜘蛛需要爬行的最短路线是． 由勾股定理，得， 所以， 所以蜘蛛需要爬行的最短路线的长是． 15． 【分析】观察、的结构，先通过平方差公式计算的乘积，再利用幂的运算法则将高次幂的乘积转化为含的低次幂形式，简化计算过程． 【详解】解：∵，， ∴． 将所求代数式变形，利用积的乘方逆运算可得 ． ∵． ∴原式． 16． 【分析】过点作轴的对称点，连接，连接，所以，所以，所以当，，三点共线时，有最小值，即的长，然后通过两点的距离公式求出即可． 【详解】解：如图，过点作轴的对称点，连接，连接， 所以，， 所以， 所以当，，三点共线时，有最小值，即的长， 所以，即的最小值为． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】略 【详解】（1）解：原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 18．(1)或 (2) 【详解】（1）解： ， ， ， 或， 当时，解得：；当时，解得：； ∴方程的解为或． （2）解：， ， ， ， ． 19． 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理得出，最后根据直角三角形的面积公式分别求出和的面积，即可求出这块空地的面积． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ， ∴， 在中，，， ，， ， ∴是直角三角形，， ， ， 即这块空地的面积为． 20．(1)点的坐标为． (2)点的坐标为． (3)． 【分析】（1）利用x轴上点的纵坐标为0列关于a的方程求解可得a，再代入确定点P的横坐标即可； （2）利用平行于y轴的直线上的点横坐标相等列方程求a，再代入计算即可确定点P的坐标； （3）结合第二象限内点的坐标符号规律与到两坐标轴距离相等的条件列绝对值方程求a的值，再代入代数式计算即可． 【详解】（1）解： ∵点P在x轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为． （2）解：∵直线轴， ∴点P与点Q的横坐标相等， ∵点Q的坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为． （3）解∶∵点P在第二象限， ∴，， ∵点P到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴， 即， 解得， ∴． 21．(1) (2) 【分析】（1）根据长方形的性质可得，可得，再根据折叠可得，即可求出； （2）设，则，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）解：在长方形中，， ， 根据折叠可得， ； （2）解：在长方形中，， 设，则， 根据折叠可得， 根据勾股定理可得， 即， 解得， 则． 22．(1)； (2)或 【分析】（1）先根据非负数的性质求出C点的坐标，再分别计算出，，最后根据即可得出结果； （2）设，当在的左边时，；当在的右边时，，据此分别得出面积的表达式，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵且，， ∴，， ∴，， ∴C点的坐标为， ∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设， 当在的左边时，， ∴， 解得：， ∴此时为， 当在的右边时，， ∴，解得：， ∴此时为， 综上：点D的坐标为或． 23．(1)， (2) (3)2； (4)0. 【分析】（1）因为，所以的有理化因式是；把的分子、分母同时乘以，可得结果为； （2）把转化为，把转化为，因为，根据分子相同的两个分数，分母越大分数越小，可得：，从而可知； （3）分别进行分母有理化，可得，再进行计算； （4）首先把进行分母有理化，可得：，得出，再整体代入代数式计算求值即可． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是； ； （2）解： ， ； ， ； （3）解： ； （4）解：， ∴， ∴ ． 24．(1)证明：由图可得，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴， ∴， ∴． (2)48 (3) 【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积的和，即可求解； （2）设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，，可得，，，即可求解； （3）延长交于点，证明，可得，可得，在中，，，，可得，再证明，可得，，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，， ∴，，， ∴ ． （3）解：如图，延长交于点， ∵正方形的边长为10， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴在中，． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $