精品解析：陕西榆林市靖边县第一中学2026-2027学年高二年级第一学期第一次月考数学试题（A）

靖边一中高二年级第一学期第一次月考数学试题（A） 注意事项： 1.答题前请在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（每题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 点到直线的距离是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 4. 已知直线与相交于点P，则过点P且与垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与圆相切，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分，选对一个得2分，选错不得分） 9. 已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（ ） A. 长轴长为4 B. C. 离心率为 D. 的周长为6 10. 下列说法中，正确的有（　　） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线必过定点 C. 直线与直线的距离为 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 11. 已知关于直线对称，，则（ ） A. B. 经过的直线方程为 C. 与的公切线的数量为3 D. 若，分别是圆与圆上的点，则的最大值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知点，若直线的斜率为2，则__________. 13. 以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 14. 已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为________ 四、解答题（共77分） 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： （1）斜率是，经过点； （2）经过点，且与轴垂直； （3）斜率为，在轴上的截距为7. 16. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为26； （2）经过点，焦点坐标分别为，； （3）与椭圆有相同的焦点，且经过点. 17. 已知直线：和圆：. （1）判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； （2）求过点且与圆相切的直线方程. 18. 已知圆经过，，并且圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）已知圆，判断圆与圆的位置关系；如果相交求公共弦所在直线方程，并求得公共弦长. 19. 已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 （1）若直线恒过定点，求出点坐标； （2）求弦中点的轨迹方程； （3）相交弦长度的最小值及相应的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 靖边一中高二年级第一学期第一次月考数学试题（A） 注意事项： 1.答题前请在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（每题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程可得直线斜率，结合斜率定义可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 直线即为，其斜率， 即，可得， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入离心率公式即可计算. 【详解】由离心率公式得：. 3. 点到直线的距离是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】点到直线的距离是. 4. 已知直线与相交于点P，则过点P且与垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直两直线方程的特征进行求解即可. 【详解】由得所以， 设与垂直的直线方程为． 把代入，得，解得，所以， 故选：B． 5. 已知直线与圆相切，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与圆的位置关系列出方程求解即可. 【详解】因为圆的圆心，半径， 由题意可得， 整理得， 解得. 6. 若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的性质建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为方程 表示一个焦点在轴上的椭圆， 所以 ，解得. 7. 已知直线，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】若，则，，显然两直线平行， 因此由可以推出，充分性成立； 若，则，解得或1， 当时，，，此时两直线重合，舍去， 当时，，，此时两直线平行， 因此由可以推出，必要性成立； 综上所述，“”是“”的充要条件． 8. 已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过圆上对称性质判断出圆心在直线上，从而得出间的关系式，进而通过基本不等式求出最小值. 【详解】因为圆上有两点关于直线对称，可知圆心在直线上，即. ，等号当且仅当时成立. 二、多选题（每题6分，共18分，选对一个得2分，选错不得分） 9. 已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（ ） A. 长轴长为4 B. C. 离心率为 D. 的周长为6 【答案】ABD 【解析】 【详解】椭圆中，，， 则，焦点，，上顶点， 选项A：长轴长，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：离心率，故C错误； 选项D：的周长为，故D正确． 10. 下列说法中，正确的有（　　） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线必过定点 C. 直线与直线的距离为 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；将直线方程化为，再求解即可判断B；根据两平行直线间的距离公式即可判断C；举特例判断D． 【详解】对于A，当斜率为时，倾斜角为， 当斜率为时，倾斜角为，故A错误； 对于B，将直线，化为， 则，解得， 即直线必过定点，故B正确； 对于C，将直线化为， 则这两平行直线间的距离为，故C正确； 对于D，当直线过原点时，也满足在轴，轴上的截距相等， 此时直线的斜率为，则直线方程为，故D错误. 故选：BC． 11. 已知关于直线对称，，则（ ） A. B. 经过的直线方程为 C. 与的公切线的数量为3 D. 若，分别是圆与圆上的点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对A，因为关于直线对称，所以圆心在直线上， 所以.故A正确； 对B，根据两点式，直线的方程为：即.故B正确； 对C，因为，，，所以， 所以与相交，故两圆有2条公切线.故C错误； 对D，.故D正确. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知点，若直线的斜率为2，则__________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据过两点的直线的斜率公式计算即可得解. 【详解】已知点，且直线的斜率为2， 代入过两点的直线的斜率公式可得，解得. 故答案为：9 13. 以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算圆心到点的距离得到圆的半径，再代入圆的标准公式即可求解. 【详解】根据两点间距离公式： ， 所以所求圆的标准方程为. 14. 已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为________ 【答案】 【解析】 【详解】将圆的方程配方得, 因此圆心为，半径， 根据点到直线的距离公式，圆心C到直线l：的距离：， 则P到直线l：距离的最小值为. 四、解答题（共77分） 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： （1）斜率是，经过点； （2）经过点，且与轴垂直； （3）斜率为，在轴上的截距为7. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由点斜式，得直线方程为， 化成一般式即． 【小问2详解】 直线方程为，即． 【小问3详解】 由斜截式，得直线方程为，化成一般式为. 16. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为26； （2）经过点，焦点坐标分别为，； （3）与椭圆有相同的焦点，且经过点. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由题意可得，椭圆焦点在轴上，， ，， ∴椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可得，椭圆焦点在轴上，， 设椭圆方程为，， 代入点得，化简得，解得或（舍）， ∴，∴椭圆的标准方程为. 【小问3详解】 由题意可得，所求椭圆焦点在轴上，， 设所求椭圆方程为，则， 代入点可得，， 化简得，解得或（舍）， ∴椭圆的标准方程为. 17. 已知直线：和圆：. （1）判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； （2）求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1）直线与圆相交，所截得的弦长为2 （2）或 【解析】 【分析】（1）先求圆心到直线的距离，将之与圆的半径比较，若，则圆与直线相交，此时直线被圆截得的弦长为，即可求解； （2）先判断点在圆外，过该点并与圆相切的直线有两条，当直线斜率存在时，圆心到直线的距离等于半径，即可求得切线方程，并考虑直线斜率不存在时即时是否满足条件即可. 【小问1详解】 由题意得圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所截得的弦长为， 故直线与圆相交，所截得的弦长为2. 【小问2详解】 因为圆心到的距离为， 所以点在圆外，此时有两条切线， ①当直线斜率存在时，由题意设直线，即， 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 此时切线方程为； ②当直线斜率不存在时，直线为，易得圆心到的距离为3， 故也满足条件，此时切线方程为， 综上，过点且与圆相切的直线方程为或. 18. 已知圆经过，，并且圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）已知圆，判断圆与圆的位置关系；如果相交求公共弦所在直线方程，并求得公共弦长. 【答案】（1） （2）相交；公共弦所在直线方程为，公共弦长为 【解析】 【小问1详解】 ∵圆的圆心在轴上，∴设圆心， 半径为，则，即， 解得，，即圆的标准方程为. 【小问2详解】 圆可化为 标准方程，即圆心， 半径，∵， （对分子部分进行平方作差可比较）， ∴，又， 即，即两圆相交， 联立，①-②得公共弦方程为， 则圆心到直线的距离为， 弦长. 19. 已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 （1）若直线恒过定点，求出点坐标； （2）求弦中点的轨迹方程； （3）相交弦长度的最小值及相应的的值． 【答案】（1） 定点的坐标为； （2） 弦中点的轨迹方程为（扣除点）； （3） 弦长度的最小值为，对应的. 【解析】 【分析】（1）分离参数求直线恒过定点； （2）利用垂径定理的垂直关系推导中点轨迹； （3）结合弦长公式与距离最值求最短弦长及对应参数. 【小问1详解】  对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为. 【小问2详解】 设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ，  展开并配方得， 因为直线斜率一定存在，不能表示直线, 而直线时，轨迹对应点为，即不合题意， 因为圆内含于圆C,故圆上其它点都符合题意， 所以弦中点的轨迹方程为（扣除点）; 【小问3详解】 设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $