专题10 期中复习压轴十二大题型突破-2026-2027学年苏科版七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必刷题

专题10 期中复习压轴十二大题型突破 选择题压轴 【题型 1:数轴 +绝对值距离、绝对值最值】 【题型 2:新定义运算(有理数/代数式新规则)】 【题型 3:数字/图形循环规律(乘方、点阵、分形)】 【题型 4:代数式“与 x无关”、含参判断】 填空题压轴 【题型 5:数轴动点单动点/折返、整点问题】 【题型 6:绝对值多解、分类讨论】 【题型 7:含参一元一次方程定义、解的多解】 【题型 8:幻方、表格数字规律】 解答题压轴 【题型9:数轴双动点综合压轴】 【题型10:阅读理解·新定义综合(新定义 +代数式 +方程)】 【题型11:规律探究 +裂项求和大题】 【题型12:方案选择应用题(一元一次方程实际应用)】 选择题压轴 【题型 1:数轴 +绝对值距离、绝对值最值】 1．若数轴上点表示的数是，则与点相距个单位长度的点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图，在数轴上有5个点A，B，C，D，E，每两个相邻点之间的距离如图所示，如果点D表示的数是3，则点A表示的数是（    ） A． B． C． D．1 3．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整点个数为（     ） A．2025或2026 B．2026或2027 C．2024或2025 D．2027或2028 4．在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是和6，点C为A、B之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，若A的对应点落在点C的右侧，且，则C点表示的数是（　　） A．1 B． C．1或-7 D．1或 5．若表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，则当x取任意有理数时，代数式的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【题型 2:新定义运算(有理数/代数式新规则)】 6．定义新运算：，如，则的值为（     ） A．28 B．5 C．3 D． 7．定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，；按上述定义计算的值为（    ） A． B． C． D． 8．若定义新运算：，请利用此定义计算：___________． A． B． C． D． 9．定义一种新运算“⊗”，规定：，等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，，则的值为（ ） A．3 B．9 C．15 D．27 10．定义一种新运算“*”：，则（    ） A．24 B．22 C． D． 【题型 3:数字/图形循环规律(乘方、点阵、分形)】 11．已知点A在数轴上表示的数为1，点M从A出发，第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动2个单位长度，第三次向右移动3个单位长度，第四次向左移动4个单位长度……按照这样的移动规律，点M移动2025次后所在点表示的数为（     ） A．1014 B． C．1013 D． 12．如图，下列图案都是由同样大小的按一定的规律组成的，其中图案①中有2个，图案②中有4个，图案③中有8个，……．按此规律，图案⑧中的个数是（   ） A．10 B．64 C．128 D．256 13．正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 14．如图，将形状、大小完全相同的“●”按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，依次类推，则的值为（   ） A． B． C． D．1 15．“杨辉三角”是中国古代数学的重要成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第n行的数字之和记为，则的末位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 16．观察下列算式：，，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律判断的个位数字是（     ） A．3 B．1 C．7 D．9 17．下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6、10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则的值为（    ） A．19900 B．19915 C．19921 D．19934 18．填在如图各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出、的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 19．二维码是用某种特定的几何图形按一定规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形（如图1）．某校学生利用二维码建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的身份识别图案，其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a、b、c、d，则为该行所表示的数．例如：图2中第一行数字从左到右依次为0、1、0、1，计算，表示该生为5班学生．请判断下列选项中表示7班8号学生的识别图案是（   ） A． B．C．D． 20．观察图形，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第7个点阵中的点的个数为（   ） A． B． C． D． 21．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 二进制数转化为十进制数为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 【题型 4:代数式“与 x无关”、含参判断】 22．若多项式与的差与的取值无关，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 23．已知整式，整式，若a是常数，且的值与y无关，则a的值是（   ） A．2 B．6 C． D． 24．定义一种新运算：．如：．若的值与的取值无关，则的值为（    ） A． B． C．6 D． 25．某文具店计划采购自动铅笔、中性笔、记号笔共100支作为促销赠品（每种至少采购1支）、已知自动铅笔每支进价为2元，中性笔每支进价为4元．且采购的记号笔数量是自动铅笔数量的2倍．如果用于采购的总费用与自动铅笔数量无关，那么记号笔每支进价是（    ） A．3元 B．4元 C．5元 D．6元 填空题压轴 【题型 5:数轴动点单动点/折返、整点问题】 26．有一动点P从原点O出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，则点P所对应的有理数为______． 27．（动点问题）如图，点P为长方形边上的一个动点，它以每秒的速度从A点出发，沿着的路线运动，到D点停止，从2秒开始一直至6秒，的面积均为，则长方形的周长为______． 28．如图，数轴上点A、B所表示的数分别为、4，P、Q两点分别从A、B两点同时出发在数轴上同向运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当运动时间为4秒时，P、Q两点之间的距离是________． 29．如图所示，点，，把一条300米环形跑道分为相等的3段．若甲、乙两人分别从，两处同时相向出发，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米．相遇后不改变方向，经过800秒时，两人恰好第____次相遇． 【题型 6:绝对值多解、分类讨论】 30．我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 31．一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么______．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为______． 32．的最大值是_______． 【题型 7:含参一元一次方程定义、解的多解】 33．小琪在解关于的一元一次方程的去分母环节时，错误地得到了方程，因而求得的解是，则原方程实际的解为________． 34．若关于x的方程和有相同的解，则______． 35．定义：若关于x的一元一次方程的解与方程的解的差为3，则称该方程为“差解方程”．已知方程是“差解方程”，则p的值为________． 36．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． （）若与是“差解方程”，则______， （）若关于的两个方程与方程是“差解方程”，则______． 【题型 8:幻方、表格数字规律】 37．将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”图案中，恰好能使四个三角形中的每个三角形三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．如图2所示的“幻方”图案也具有图1中的规律，则的值是______． 38．“幻方”在中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．其主要性质是在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行，一纵行及对角线的几个数之和都相等．图①所示是一个幻方．有人建议向火星发射如图②所示的幻方图案，如果火星上有智能生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）．图③是一个未完成的幻方，请你类比图①推算图③中处所对应的数字是______． 39．下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定的值为______． 40．如图，下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定x的值为______． 解答题压轴 【题型9:数轴双动点综合压轴】 41．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，例如若数轴上数2对应的点与数对应的点重合，则数轴上数对应的点与数4对应的点重合， 若数轴上数对应的点与数2对应的点重合，根据此情景解决下列问题： (1)数轴上数1对应的点与数______对应的点重合； (2)若数轴上A，B两点之间的距离为个单位长度（点A在点B左侧），并且A，B两点经折叠后重合，则A对应的点是______，B对应的点是______； (3)在（2）的情况下，一只青蛙王子从点A出发，以7个单位每秒的速度向右运动，同时另一只青蛙士兵从B点出发以3个单位每秒的速度向左运动，问经过多少秒青蛙王子与青蛙士兵相距10个单位？ 42．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，以单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．点运动到点时停止，此时点也随之停止．设运动的时间为秒．问： (1)动点从点运动至点需要多少时间？ (2)、两点相遇时，求出相遇点所对应的数是多少； (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． 43．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示4和8两点之间的距离是________； (2)数轴上表示和7的两点之间的距离为6，则的值为________； (3)若表示一个有理数，则的最小值=________； (4)已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90．若当电子蚂蚁从点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，①两只电子蚂蚁在数轴上相遇时，求它们所在的位置？ ②两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度时，求各自所在的位置？ 44．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：． (1)求m、n的值； (2)①情境：有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为 单位长度； ②应用：当情境①中的火车匀速向右运动时，若火车完全经过点M需要4秒，则火车的速度为 个单位长度/秒； (3)在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 45．如图，数轴上有A，B，C三个点，A，B，C对应的数分别是a，b，c．且满足，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． (1)求a，b，c的值； (2)设点P到A点的距离为m，P到B点的距离为n，若时，求点P对应的数； (3)当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P，Q两点之间的距离为4？请说明理由． 【题型10:阅读理解·新定义综合(新定义 +代数式 +方程)】 46．用“*”定义一种新运算：对于任意有理数m和n，规定．如：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 47．现定义一种新运算：，定义的内容被遮盖住了，请观察下列式，并回答下列问题： ； ； (1)请补全定义内容：______（用含，的代数式表示） (2)当时，求的值． (3)若，，比较与的大小，并说明理由． 48．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程与为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值； (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为n，求n的值． 49．定义一种新运算“※”： =．例如，． (1)计算：的值为___________； (2)已知 ，求的值； (3)有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即，，那么“”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 50．对于任意有理数m、n，我们定义新运算“”规定：． (1)计算的值； (2)在数轴上，点P从表示的点出发，以每秒2个单位长度向右运动，同时，点Q从表示7的点出发，以每秒1个单位长度向右运动，当点P追上点Q时立即返回，速度大小不变，点Q运动方向和速度大小不变．运动时间为t秒，P、Q运动t秒所对应数分别记为p、q． ①用含t的代数式表示p和q； ②当时，判断此时、是否相遇．若未相遇，求两者在数轴上的距离；若已相遇，求从相遇时刻起经过的时间． 51．我们知道：，，，…，． 试根据上面的规律，解答下面两题： (1)计算； (2)将2018减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，…依此类推，直到最后减去余下的，最后的结果是多少？ 52．数学活动课上，李老师列举了以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：． 根据等式规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式为_______，第个等式为______； (2)利用等式规律计算：． (3)拓展计算：． (4)计算：． 53．阅读并回答下列问题： 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达伊尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格里，赏给我1粒麦子，第二个小格里给2粒，第三个小格里给4粒，以后每个小格都比前一个小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒都赏给您的仆人吧！”国王觉得这个要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了宰相的要求．那么，满足宰相要求的麦粒到底有多少呢？ 即求的值，如何求它的值呢？ 设，① 则 ．② 得． (1)求的值（写出计算过程）． (2)求的值（写出计算过程）． (3)如图，假设一棵小树的主干向上长出3根支干，每个支干又长出3根小分支，按此规律继续生长，则第次生长后，这棵小树的主干、支干、小分支的总数是_______根．（假设每次生长，新长出来的3根支干都不和生长前的支干共线） 54．按要求完成下列各题： (1)观察下列等式：；；…得出规律：______； (2)观察下列等式：，，，计算：，请按照上述方法计算：； (3)计算：． 55．观察如图所示的图形与算式的规律并解决问题．       （    ） (1)根据前三个图形与算式的规律，写出如图所示的图形对应的算式：__________． (2)根据以上观察，__________． (3)利用上面发现的规律计算：． 【题型12:方案选择应用题(一元一次方程实际应用)】 56．随着旅游业的发展，乡村旅游已成为旅行新潮流，乡村旅游产品也逐渐受到游客青睐．某村的文创商店制作了一批民族手工艺品作为旅游商品售卖，该手工艺品的标价为50元/件．某旅游公司准备购买件这种手工艺品当作纪念品送给游客． 该商店提供了两种优惠方案： 方案一：当购买的手工艺品不超过5件时，按原价付费；当购买的手工艺品超过5件时，超过的部分打七折； 方案二：购买的手工艺品全部打八折． (1)当时，若按照方案一购买，需支付_____元；若按照方案二购买，需支付 元；（用含的代数式表示） (2)假如你是旅游公司负责人，要购买10件该手工艺品，请你通过计算说明选择哪种优惠方案更合算； (3)该怎样根据自己想买的数量来选择更省钱的方案？说说你的建议．（一条即可） 57．某杭帮菜品牌店为了吸引顾客，特推出两种优惠方式（不能同时使用）： 方案 优惠内容 方案A：购代金券 购买“90代100”（实付90元获得100元代金券），消费每满100元可使用1张代金券，单桌最多使用3张． 方案B：会员打折 花9.9元购买会员卡，付款时可享受所有菜品、酒水8.5折优惠． 小明第一次到该店消费，请根据以上方案，解决下列问题： (1)若小明在该店消费160元，用方案A购买了一张代金券，求实际付款多少元？ (2)若小明用方案B实际付款210.5元（含会员卡费用），优惠前消费金额为多少元？ (3)若消费金额超过200元，小明发现用方案A比方案B实付金额贵了13元，优惠前消费金额为多少元？（结果精确到个位） 58．张老师需要办一种套餐．运营商推出了两种包月套餐方案： 方案一：每月50元月租费，流量资费0.4元； 方案二：没有月租费，流量资费0.6元． 设张老师每月使用流量． (1)张老师使用方案一套餐每月需花费__________元，使用方案二套餐每月需花__________元；（用含x的代数式表示） (2)张老师平均每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？ (3)若张老师平均每个月使用流量，选择哪种套餐比较合算？ 59．为进一步加强学生“学党史、知党情、跟党走”的信心，培养学生的民族精神和爱国主义情怀，某学校组织开展以“观看红色电影，点燃红色初心”为主题的教育活动．电影票价格表如下： 购票张数 1至40 41至80 80以上 每张票的价格 20元 18元 免2张门票，其余每张17元 该校七年级两个班共有83名学生去看电影，其中七（1）班的学生人数超过30，但不足40． (1)如果两个班都以班为单位单独购票，一共付了1572元．求七（2）班学生的人数； (2)在（1）所得的班级学生人数下，如果七（1）班有7名学生因有比赛任务不能参加这次活动，请你为两个班级设计购买电影票的方案，并指出最省钱的方案． 60．列一元一次方程解应用题： 某牛奶加工厂有鲜奶18吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元，该工厂的生产能力是：将牛奶制成酸奶，每天可加工3吨；将牛奶制成奶片每天可加工1吨．受人员限制，两种加工方式不可同时进行；受气温条件限制，这批牛奶必须在8天内全部销售或加工完毕．为此，该厂某领导提出了两种可行方案： 方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶； 方案2：一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好8天完成．（列方程） 你认为选择哪种方案获利最多，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 期中复习压轴十二大题型突破 选择题压轴 【题型 1:数轴 +绝对值距离、绝对值最值】 【题型 2:新定义运算(有理数/代数式新规则)】 【题型 3:数字/图形循环规律(乘方、点阵、分形)】 【题型 4:代数式“与 x无关”、含参判断】 填空题压轴 【题型 5:数轴动点单动点/折返、整点问题】 【题型 6:绝对值多解、分类讨论】 【题型 7:含参一元一次方程定义、解的多解】 【题型 8:幻方、表格数字规律】 解答题压轴 【题型9:数轴双动点综合压轴】 【题型10:阅读理解·新定义综合(新定义 +代数式 +方程)】 【题型11:规律探究 +裂项求和大题】 【题型12:方案选择应用题(一元一次方程实际应用)】 选择题压轴 【题型 1:数轴 +绝对值距离、绝对值最值】 1．若数轴上点表示的数是，则与点相距个单位长度的点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的知识，根据数轴上两点间的距离求解即可，熟练掌握数轴上两点间的距离计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上若点表示的数是， ∴与点相距个单位长度的点表示是或， 故选：． 2．如图，在数轴上有5个点A，B，C，D，E，每两个相邻点之间的距离如图所示，如果点D表示的数是3，则点A表示的数是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了用数轴上的点表示的数，数轴上两点之间的距离，根据题目所给各点之间的距离进行解答即可． 【详解】解：点A表示的数为， 故选：C． 3．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整点个数为（     ） A．2025或2026 B．2026或2027 C．2024或2025 D．2027或2028 【答案】B 【分析】分类讨论：①当线段的端点在整点时，②当线段的端点不在整点时，逐个分析求解即可． 【详解】解：①当线段的端点在整点时，盖住的整点个数为个． ②当线段的端点不在整点时，盖住的整点个数为个， ∴线段盖住的整点个数为2026或2027． 4．在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是和6，点C为A、B之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，若A的对应点落在点C的右侧，且，则C点表示的数是（　　） A．1 B． C．1或-7 D．1或 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离. 设点C表示的数为x，根据点A表示的数为，点B表示的数为6，得到，，根据，或，分类讨论即可． 【详解】解：设点C表示的数为x，由条件可知，， ∵， ∴，即，解得； 或，即，解得． 故选：D． 5．若表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，则当x取任意有理数时，代数式的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，理解绝对值表示的两点之间的距离意义，运用数形结合是解题的关键．根据两点之间的距离可知，当x对应的点在1和7对应的点之间时，的最小值，即可得解． 【详解】解：表示x对应的点到1和7对应的点的距离之和， 则当x对应的点在1和7对应的点之间时，取得最小值，最小值为， 故选：． 【题型 2:新定义运算(有理数/代数式新规则)】 6．定义新运算：，如，则的值为（     ） A．28 B．5 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据定义运算代入计算即可． 【详解】解： 7．定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，；按上述定义计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，有理数的运算，先比较和的大小，由于，即，故使用定义，代入计算即可． 【详解】解：当， 时， ∵， ∴， ∴， 故选A． 8．若定义新运算：，请利用此定义计算：___________． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义下的有理数运算，看懂新定义的规则是解答本题的关键． 先根据新定义算出，所以就变成了，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 9．定义一种新运算“⊗”，规定：，等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，，则的值为（ ） A．3 B．9 C．15 D．27 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． 先算，列式为，然后再算即可． 【详解】解： ， 则 ， 故选：C． 10．定义一种新运算“*”：，则（    ） A．24 B．22 C． D． 【答案】A 【分析】根据，则选择进行计算，根据，则选择进行计算，根据，则选择进行计算即可． 【详解】 解：根据题意知：， ， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，读懂题意，选择对应的运算关系是解题的关键． 【题型 3:数字/图形循环规律(乘方、点阵、分形)】 11．已知点A在数轴上表示的数为1，点M从A出发，第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动2个单位长度，第三次向右移动3个单位长度，第四次向左移动4个单位长度……按照这样的移动规律，点M移动2025次后所在点表示的数为（     ） A．1014 B． C．1013 D． 【答案】A 【分析】将相邻两次移动分组计算净位移，结合总次数的奇偶性求解最终位置． 【详解】 解：点M初始位置表示的数为1， 移动2025次的总位移为 ∵2025为奇数， ∴前2024次移动可分为1012组，每组位移和为 ∴前2024次总位移为 ∴总位移为 ∴最终位置表示的数为． 12．如图，下列图案都是由同样大小的按一定的规律组成的，其中图案①中有2个，图案②中有4个，图案③中有8个，……．按此规律，图案⑧中的个数是（   ） A．10 B．64 C．128 D．256 【答案】D 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，找到图形的排列规律是解决本题的关键． 根据图形得出第个图形中圆的个数是进行解答即可． 【详解】解：第1个图案中有2个圆，； 第2个图案中有4个圆，； 第3个图案中有8个圆，； ……， 第8个图案中圆的个数为． 故选：D． 13．正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 由题意先找出对应点与数的规律，再求出翻转的次数，最后可确定出2027所对应的点． 【详解】解：由题意可知：数轴上的数1，3，5，7，9，11，13，15，， 所对应的点为B，C，D，A，B，C，D，A，， 所以从数1对应的点开始，连续奇数对应的点按B，C，D，A循环， 由得，， 因为余2，所以数轴上数2027所对应的点是点C， 故选：C． 14．如图，将形状、大小完全相同的“●”按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，依次类推，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据图形变化的规律归纳总结出，然后代入式子变形求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， ， ， ， ， ．．． (n为正整数)， ∴ 故选∶C． 15．“杨辉三角”是中国古代数学的重要成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第n行的数字之和记为，则的末位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，解题关键是找出规律，并用规律求解． 先写出前几个式子，再用表示出，然后求出，即可得出其末位数字． 【详解】解：第n行的数字之和记为， 第1行的数字之和记为， 第2行的数字之和记为， 第3行的数字之和记为， 第4行的数字之和记为， 第5行的数字之和记为， … 依次类推，第n行的数字之和记为， 所以， 即的末位数字是2， 故选：A． 16．观察下列算式：，，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律判断的个位数字是（     ） A．3 B．1 C．7 D．9 【答案】D 【分析】观察给定的算式可知：个位数字每个数字为一个循环组依次循环，然后用除以，根据商和余数的情况解答即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，… ∴个位数字以这个数为一个循环组依次循环． ∵， ∴的个位数字是． 17．下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6、10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则的值为（    ） A．19900 B．19915 C．19921 D．19934 【答案】C 【分析】这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第n-1个数大n；所以从特殊入手，a1=1，a2=1+2，a3=3+3=1+2+3，a4=6+4=1+2+3+4，…，由此得出一般规律：an=1+2+3+4+…+n，从而可求得结果． 【详解】这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第n-1个数大n，所以a1=1，a2=1+2，a3=3+3=1+2+3，a4=6+4=1+2+3+4，…， an=1+2+3+4+…+n．所以a6=1+2+3+4+5+6=21，a199=1+2+3+4+5+…+198+199==19900，从而a6+a199=19900+21=19921 故选：C 【点睛】本题是一个规律探索题，对于这类题，遵循由特殊到一般的原则，要求学生善于观察并找出规律，这对学生的归纳能力提出了更高的要求． 18．填在如图各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出、的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】分析正方形中的四个数，找出四个数之间的联系，即可求解． 【详解】分析正方形中的四个数： 第一个正方形中左上角的数为，右上角的数为，左下角的数为，右下角的数为； 第二个正方形中左上角的数为，右上角的数为，左下角的数为，右下角的数为； 第三个正方形中左上角的数为，右上角的数为，左下角的数为，右下角的数为； 第四个正方形中左上角的数为，右上角的数为，左下角的数为，右下角的数为； 即，． 故选A． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，找出各个数之间的联系何规律是解题的关键． 19．二维码是用某种特定的几何图形按一定规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形（如图1）．某校学生利用二维码建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的身份识别图案，其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a、b、c、d，则为该行所表示的数．例如：图2中第一行数字从左到右依次为0、1、0、1，计算，表示该生为5班学生．请判断下列选项中表示7班8号学生的识别图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算的应用，图形的规律，因为其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．所以分别算出第二行的数，算出的数是8，即为正确的选项． 【详解】解∶A．，，班级和学号都符合题意，故该选项符合题意； B．，学号不符合题意，故该选项不符合题意； C．，学号不符合题意，故该选项不符合题意； D．，学号不符合题意，故该选项不符合题意； 故选：A． 20．观察图形，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第7个点阵中的点的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字规律探索，找到规律是解决问题的关键．根据所给的数据，不难发现：第一个数是1，后边是依次加4，则第个点阵中的点的个数是，将代入即可求解． 【详解】解：第1个点阵中的点的个数， 第2个点阵中的点的个数， 第3个点阵中的点的个数， 第4个点阵中的点的个数， 第个点阵中的点的个数是， 第7个点阵中的点的个数为． 故选：C． 21．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 二进制数转化为十进制数为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据二进制转化为十进制的方法，可以计算出二进制数对应的十进制数． 【详解】解： ． 【题型 4:代数式“与 x无关”、含参判断】 22．若多项式与的差与的取值无关，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减混合运算，根据多项式与的差与x的取值无关，即整理后含的项，系数为零，据此建立等式求出与的值，即可解题． 【详解】解：由题意得， ， 多项式与的差与x的取值无关， 且， 解得，， ， 故选：D． 23．已知整式，整式，若a是常数，且的值与y无关，则a的值是（   ） A．2 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式加减运算、一元一次方程等知识点，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 先运用整式的加减运算法则化简，再令y的系数为零，列出关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵的值与 y 无关， ∴ y的系数为0， 即，解得：． 故选 D． 24．定义一种新运算：．如：．若的值与的取值无关，则的值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，先根据新运算规则展开代数式，再根据代数式的值与x无关时x的系数为0求出k，最后代入计算结果即可． 【详解】解：∵根据新运算定义，， ∴展开得：． ∵该式的值与x的取值无关， ∴x的系数． ∴解得． 将代入，得． 故选：A． 25．某文具店计划采购自动铅笔、中性笔、记号笔共100支作为促销赠品（每种至少采购1支）、已知自动铅笔每支进价为2元，中性笔每支进价为4元．且采购的记号笔数量是自动铅笔数量的2倍．如果用于采购的总费用与自动铅笔数量无关，那么记号笔每支进价是（    ） A．3元 B．4元 C．5元 D．6元 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，设自动铅笔的数量为支，记号笔每支进价为m元，则记号笔的数量为支，中性笔的数量为支，根据题意可求出总费用为元，再根据采购的总费用与自动铅笔数量无关列式求解即可． 【详解】解：设自动铅笔的数量为支，记号笔每支进价为m元，则记号笔的数量为支，中性笔的数量为支， 则总费用元， ∵用于采购的总费用与自动铅笔数量无关， ∴含的项的系数为零， ∴， ∴， ∴记号笔每支进价是5元， 故选：C． 填空题压轴 【题型 5:数轴动点单动点/折返、整点问题】 26．有一动点P从原点O出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，则点P所对应的有理数为______． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减运算运算的应用，根据题意得到点P每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加减运算进行计算即可． 【详解】解：根据题意得， ． 故答案为：． 27．（动点问题）如图，点P为长方形边上的一个动点，它以每秒的速度从A点出发，沿着的路线运动，到D点停止，从2秒开始一直至6秒，的面积均为，则长方形的周长为______． 【答案】12 【分析】题目主要考查点的运动问题，有理数的乘法的运算，理解题意是解题关键． 根据题意得出，确定，即可求周长． 【详解】解：根据题意得：， ， 长方形的周长， 故答案为：12． 28．如图，数轴上点A、B所表示的数分别为、4，P、Q两点分别从A、B两点同时出发在数轴上同向运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当运动时间为4秒时，P、Q两点之间的距离是________． 【答案】2或10 【分析】分点P，Q同时向右，同时向左两种情况，结合数轴上两点间的距离计算求解即可． 【详解】解：①当点P，Q同时向右运动时， 当运动时间为4秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴P、Q两点之间的距离是； ②当点P，Q同时向左运动时， 当运动时间为4秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴P、Q两点之间的距离是； 综上，P、Q两点之间的距离是2或10． 29．如图所示，点，，把一条300米环形跑道分为相等的3段．若甲、乙两人分别从，两处同时相向出发，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米．相遇后不改变方向，经过800秒时，两人恰好第____次相遇． 【答案】14 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用； 分别求出第一次相遇的时间和之后每次相遇所需时间，再进行计算即可． 【详解】解：由题意得：两人第一次相遇的时间为秒， 之后每次相遇所需时间为秒， 所以第一次相遇后又相遇了次， 所以经过800秒时，两人恰好第14次相遇， 故答案为：14． 【题型 6:绝对值多解、分类讨论】 30．我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 【答案】8 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，关键是要理解两点间的距离，就是两个点表示的有理数的差的绝对值． 式子表示的是一个数到和的距离的和，那么应在和之间的线段上，由此可求出该式子的最小值． 【详解】解：∵表示数轴上与之间的距离，表示数轴上与之间的距离， ∴式子表示的是一个数到和的距离的和， ∴时，表示数的点到表示数和的点之间的距离最小， 和间的距离为， 的最小值为， 故答案为：． 31．一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么______．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为______． 【答案】 或 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，根据绝对值的意义解答①，由得式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和，可知，当在的位置时，距离之和最小，据此即可解答②，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和， 可知，当在的位置时，距离之和最小，最小值为， 故答案为：或，． 32．的最大值是_______． 【答案】5 【详解】解：当时， ； 当时， 当时，代数式的值最大， 当时， ； 所以当时，原代数式取得最大值为5． 【题型 7:含参一元一次方程定义、解的多解】 33．小琪在解关于的一元一次方程的去分母环节时，错误地得到了方程，因而求得的解是，则原方程实际的解为________． 【答案】 【分析】将错误求得的解代入错误方程，先求出参数的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：由题意得，将代入错误的方程得，， ， 整理得， 解得， 将代入原方程得，， ， ， ， 解得． 34．若关于x的方程和有相同的解，则______． 【答案】8 【分析】先解不含参数的一元一次方程得到的值，再代入含参数的方程即可求出． 【详解】解：解方程， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 两个方程有相同的解， 把代入，得． 35．定义：若关于x的一元一次方程的解与方程的解的差为3，则称该方程为“差解方程”．已知方程是“差解方程”，则p的值为________． 【答案】1或 【分析】先求解一元一次方程的解，根据“差解方程”的定义分两种情况得到方程的解，再将解代入方程求出的值． 【详解】解：， 移项得． 系数化为1得． 根据“差解方程”的定义，方程的解与的差为，分两种情况： ① 当方程的解为时． 将代入，得． 移项得． 系数化为1得． ② 当方程的解为时． 将代入，得． 移项得． 系数化为1得． 综上可知，p的值为1或． 36．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． （）若与是“差解方程”，则______， （）若关于的两个方程与方程是“差解方程”，则______． 【答案】 或 【分析】（）求出两个方程的解，再根据定义解答即可； （）求出两个方程的解，再根据定义解答即可； 本题考查了解一元一次方程，绝对值的意义，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：（）解方程，得；解方程，得， ∵与是“差解方程”， ∴， ∴， 故答案为：； （）解方程，得；解方程，得， ∵方程与方程是“差解方程”， ∴， 即， 解得或， 故答案为：或． 【题型 8:幻方、表格数字规律】 37．将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”图案中，恰好能使四个三角形中的每个三角形三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．如图2所示的“幻方”图案也具有图1中的规律，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了对题干中“幻方”特征的理解和有理数的四则运算，根据“每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等”可得，，进一步即可解题． 【详解】解：∵， ， 由题知，，整理得， ，整理得， ∴原式． 故答案为：． 38．“幻方”在中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．其主要性质是在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行，一纵行及对角线的几个数之和都相等．图①所示是一个幻方．有人建议向火星发射如图②所示的幻方图案，如果火星上有智能生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）．图③是一个未完成的幻方，请你类比图①推算图③中处所对应的数字是______． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的应用，设第列第个数为，处所对应的数字为，可得第列第个数为，第列第个数为，然后根据图表列出等式即可求解，掌握整式加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：设第列第个数为，处所对应的数字为， 则第列第个数为， 第列第个数为， 如图： ∴， ∴， 故答案为：． 39．下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定的值为______． 【答案】3900 【分析】本题主要考查了数字规律探索，根据给出的已知图形得出规律，求出的值即可．解题的关键是根据已知数据，得出一般规律． 【详解】解：根据图形可得上下两数之和等于左边数，上下两数之积等于右边数，和与积相乘等于中间数，且最下面的数字为最上面的数字加1， 最后一个图最下面的数字为， ，，； ． 故答案为：． 40．如图，下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定x的值为______． 【答案】490 【分析】本题主要考查规律形数字的变化，能熟练找出规律是解题的关键． 根据所给图形的数字的规律进行求解即可． 【详解】解：由图可知： 表格中的左上的数字分别为：1、2、3，可得第n个表格中的数字为：n， 表格中的右上的数字分别为：6、12、18，可得第n个表格中的数字为：， 表格中的左下的数字分别为：、0、1，可得第n个表格中的数字为：， ∵最后一个中右上数字为60，， ∴最后一个图为第10个表格， 故，； ∵， ∴， ． 故答案为：490． 解答题压轴 【题型9:数轴双动点综合压轴】 41．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，例如若数轴上数2对应的点与数对应的点重合，则数轴上数对应的点与数4对应的点重合， 若数轴上数对应的点与数2对应的点重合，根据此情景解决下列问题： (1)数轴上数1对应的点与数______对应的点重合； (2)若数轴上A，B两点之间的距离为个单位长度（点A在点B左侧），并且A，B两点经折叠后重合，则A对应的点是______，B对应的点是______； (3)在（2）的情况下，一只青蛙王子从点A出发，以7个单位每秒的速度向右运动，同时另一只青蛙士兵从B点出发以3个单位每秒的速度向左运动，问经过多少秒青蛙王子与青蛙士兵相距10个单位？ 【答案】(1) (2)； (3)青蛙王子与青蛙士兵经过秒或秒相距10个单位 【分析】（1）根据数轴上数对应的点与数2对应的点重合，即可求折叠点对应的数为，进而得数1对应的点与对应的点之间的距离为3，即可得与数1对应的点重合的点表示的数与对应的点之间的距离也为3，即可得与数1对应的点重合的点表示的数为； （2）根据折叠点对应的数为，数轴上A，B两点之间的距离为个单位长度（点A在点B左侧），并且A，B两点经折叠后重合，即可得A与折叠点，B与折叠点之间的距离为个单位长度，进而得A、B两点表示的数； （3）根据青蛙王子与青蛙士兵相距10个单位得青蛙王子与青蛙士兵在相遇前相距10个单位或相遇后相距10个单位，分别求出两种情况的时间即可. 【详解】（1）解：∵数轴上数对应的点与数2对应的点重合， ∴折叠点对应的数为：， ∴数1对应的点与对应的点之间的距离为：， ∴与数1对应的点重合的点表示的数与对应的点之间的距离也为3， ∴与数1对应的点重合的点表示的数为：， ∴与数1对应的点重合的点表示的数为； （2）解：由（1）得：折叠点对应的数为：， ∵数轴上A，B两点之间的距离为个单位长度（点A在点B左侧），并且A，B两点经折叠后重合， ∴A与折叠点，B与折叠点之间的距离为个单位长度， ∴A点表示的数为：，B点表示的数为：， ∴A点表示的数为，B点表示的数为； （3）解：当青蛙王子与青蛙士兵在相遇前相距10个单位时，设它们所用时间为秒， 则根据题意得：， 解得：， ∴此时，青蛙王子与青蛙士兵经过秒相距10个单位； 当青蛙王子与青蛙士兵在相遇后相距10个单位时，设它们所用时间为秒， 则根据题意得：， 解得：， ∴此时，青蛙王子与青蛙士兵经过秒相距10个单位； 综上所述，青蛙王子与青蛙士兵经过秒或秒相距10个单位. 42．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，以单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．点运动到点时停止，此时点也随之停止．设运动的时间为秒．问： (1)动点从点运动至点需要多少时间？ (2)、两点相遇时，求出相遇点所对应的数是多少； (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】(1)需要15秒 (2)相遇点所对应的数是 (3)的值为、或时 【分析】（1）由路程、速度、时间三者关系分两段求出各段时间，再相加求出总时间为即可； （2）根据相遇时、的时间相等列方程求解即可； （3）分、两点相遇前和相遇后两种情况求解即可． 【详解】（1）解：（1）点运动至点时，所需时间（秒）； （2）（2）由题可知，、两点相遇在线段上于处，设， 则， 解得， 故相遇点所对应的数是； （3）（3）、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等有种可能： ①动点在上，动点在上，则：，解得：， ②动点在上，动点在上，则：，解得：， ③动点在上，动点在上，则：，解得：， ④动点在上，动点在上，则：，解得：， ∵点运动到点时停止，此时点也随之停止， ∴舍去； 综上所述：的值为、或． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏． 43．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示4和8两点之间的距离是________； (2)数轴上表示和7的两点之间的距离为6，则的值为________； (3)若表示一个有理数，则的最小值=________； (4)已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90．若当电子蚂蚁从点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，①两只电子蚂蚁在数轴上相遇时，求它们所在的位置？ ②两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度时，求各自所在的位置？ 【答案】(1) (2)或 (3) (4)①相遇在数轴上的位置；②点表示的数为，点表示的数为或点表示的数为，点表示的数为 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式建立绝对值方程求解； （3）根据数轴上两点之间的距离公式以及绝对值的几何意义求解； （4）设运动时间为秒，则秒后点表示的数为，点表示的数为，①由题意得，，解方程求出时间，即可求解相遇的位置； ②根据数轴上两点之间的距离公式得到绝对值方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，数轴上表示4和8两点之间的距离是； （2）解：由题意得， 解得或 ∴的值为或 （3）解：即为表示数的点到表示数与的点的距离之和， 故当表示数的点在表示数与的点之间（包括端点）时，距离之和最小，即为， 故的最小值为； （4）解：设运动时间为秒，则秒后点表示的数为，点表示的数为， ①由题意得，，解得， 此时， ∴点和点相遇在数轴上的位置； ②由题意得， 或 解得或 当时，表示的数为，点表示的数为； 当时，表示的数为，点表示的数为， ∴点表示的数为，点表示的数为或点表示的数为，点表示的数为． 44．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：． (1)求m、n的值； (2)①情境：有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为 单位长度； ②应用：当情境①中的火车匀速向右运动时，若火车完全经过点M需要4秒，则火车的速度为 个单位长度/秒； (3)在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)9，； (2)① 4；② 2； (3)存在，，4． 【分析】（1）根据得，计算即可． （2）①设玩具火车的长度为个单位长度，设原的位置为，则原的位置为．通过火车移动时的位置关系建立方程求长度；②根据完全经过的路程和时间求速度 （3）设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点B1的距离为4t个单位长度，此时点B1表示的数是，，根据题意，得到点Q表示的数是，点P表示的数是，进而表示出，代入化简，令t的系数为零计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）设玩具火车的长度为个单位长度． 当点移动到点时，点对应的数为；当点移动到点时，点对应的数为． 分析位置关系：设原的位置为，则原的位置为． 移到时，的新位置为； 移到时，的新位置为． 两式相减得：，即，解得． 火车完全经过点需要秒．由①知火车长个单位，原的位置为，原的位置为，点表示的数为． 火车完全经过时，需要从原位置移动到（因为火车完全经过需车尾离开，到的距离需加上火车长度），所以移动的距离为． 速度（单位长度/秒）． （3）设运动时间为秒． 火车向右运动，速度为，原位置为1，原位置为， 所以的位置为，的位置为， 则． 点从（）向左运动，速度， 所以的位置为． 点从（）向右运动，速度2， 所以的位置为． ． 则． 要使该值为定值，需的系数为0， 即，解得． 此时定值为． 故当时，常数k使得的值与它们的运动时间无关，此时值为4． 【点睛】本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的无关计算，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键． 45．如图，数轴上有A，B，C三个点，A，B，C对应的数分别是a，b，c．且满足，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． (1)求a，b，c的值； (2)设点P到A点的距离为m，P到B点的距离为n，若时，求点P对应的数； (3)当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P，Q两点之间的距离为4？请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或或． 【分析】本题主要考查绝对值与偶次幂的非负性、一元一次方程的应用及数轴上两点距离，熟练掌握绝对值与偶次幂的非负性、一元一次方程的应用及数轴上两点距离是解题的关键； （1）根据绝对值与偶次幂的非负性可进行求解； （2）设点P表示的数是x，然后根据题意可分当点P在点A、B之间时，当点P在点B的右边时，进而问题可求解； （3）设点Q开始运动后第m秒时，P，Q两点之间的距离为4，由题意可分当点Q从C点返回前，，点表示的点为，点表示的点为，当点Q从C点返回后，，点表示的点为，点表示的点为，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴． （2）解：∵点P到A点的距离为m，P到B点的距离为n，， ∴点P在点A、B之间或点P在点B的右边． 设点P表示的数是x， 当点P在点A、B之间时，由题意，得： ， 解得． 当点P在点B的右边时，由题意，得： ， 解得． ∴点P对应的数或． （3）解：设点Q开始运动后第m秒时，P，Q两点之间的距离为4， 由题意得：A点到B点的距离为，A点到C点的距离为， ∴， ①Q从C点返回前，，点表示的点为，点表示的点为， 若P，Q两点之间的距离为4，可得， 解得或，都符合前提条件， ②Q从C点返回后，，点表示的点为，点表示的点为， 若P，Q两点之间的距离为4，可得， 解得或，都符合前提条件， ∴在点Q开始运动后或或或时，P、Q两点之间的距离为4． 【题型10:阅读理解·新定义综合(新定义 +代数式 +方程)】 46．用“*”定义一种新运算：对于任意有理数m和n，规定．如：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算及一元一次方程，正确理解题意是解题关键． （1）根据新定义直接计算即可； （2）根据新定义列出方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 即， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得：． 47．现定义一种新运算：，定义的内容被遮盖住了，请观察下列式，并回答下列问题： ； ； (1)请补全定义内容：______（用含，的代数式表示） (2)当时，求的值． (3)若，，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) ，理由如下： ； ． ． 因，故，即． 答：． 【分析】本题考查了新定义运算、一元一次方程的求解及代数式的大小比较，解题的关键是根据已知运算例推导新运算的表达式，再结合规则计算或比较． （1）观察已知运算式的结构，拆分得出的代数式； （2）代入新运算表达式列方程，求解； （3）分别表示出、的代数式，计算的差值，根据差值符号比较大小． 【详解】（1）解：观察，， 得． 故答案为：． （2）解：由新运算， ． 由， 解得． 答：的值为． （3）略 48．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程与为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值； (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为n，求n的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出第一个方程的解，再根据“友好方程”的定义进而即可求出m的值； （2）将两个方程的解表示出来，再根据“友好方程”的定义求解即可； （3）根据“友好方程”的定义分情况讨论两个解差的两种不同情况即可． 【详解】（1）解：， ， 解得， 两个方程是“友好方程”，解互为相反数， 方程的解为， 把代入，得， 解得； （2）解：， ， 解得， ， ， 解得， 两个方程是“友好方程”，解互为相反数， ， ， ； （3）解：两个方程是“友好方程”，其中一个解为， 另一个解为， 由题意得，两个解的差为， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴的值为或． 49．定义一种新运算“※”： =．例如，． (1)计算：的值为___________； (2)已知 ，求的值； (3)有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即，，那么“”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 【答案】(1) (2) (3) 解： “※”运算不满足交换律，举例如下： ，， 即， 故“※”运算不满足交换律． 【分析】（1）根据题中的新定义计算即可求解； （2）已知等式根据题中的新定义可得关于m的方程，解方程即可； （3）根据题中新定义知“※”运算不满足交换律，举反例说明即可． 【详解】（1）解：∵ =， ∴， 故答案为：． （2）解： ， ， ∵ ， ∴， 解得：； （3）略 【点睛】本题考查了有理数的混合运算以及一元一次方程的解法，弄清题目中的新定义是解题关键． 50．对于任意有理数m、n，我们定义新运算“”规定：． (1)计算的值； (2)在数轴上，点P从表示的点出发，以每秒2个单位长度向右运动，同时，点Q从表示7的点出发，以每秒1个单位长度向右运动，当点P追上点Q时立即返回，速度大小不变，点Q运动方向和速度大小不变．运动时间为t秒，P、Q运动t秒所对应数分别记为p、q． ①用含t的代数式表示p和q； ②当时，判断此时、是否相遇．若未相遇，求两者在数轴上的距离；若已相遇，求从相遇时刻起经过的时间． 【答案】(1)3 (2)①；②当时，P、Q未相遇，此时两者在数轴上的距离为9 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式，有理数的四则混合运算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据题意可得，据此计算求解即可； （2）①建立方程求出点P追上点Q的时间，再分两种情况：点P没有追上点Q和点P追上点Q后，分别表示出q和p即可； ②分两种情况：和，根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：①当点P追上点Q时，则，解得， ∴当时，； 当时，； 综上所述，； ②当时，∵， ∴， 解得， ∴此时点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴此时P、Q未相遇，此时两者在数轴上的距离为； 当时，∵， ∴，此时方程无解； 综上所述，当时，P、Q未相遇，此时两者在数轴上的距离为9． 【题型11:规律探究 +裂项求和大题】 51．我们知道：，，，…，． 试根据上面的规律，解答下面两题： (1)计算； (2)将2018减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，…依此类推，直到最后减去余下的，最后的结果是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算括号里面的，共有个数相乘，再利用规律计算化简； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 即最后的结果是． 52．数学活动课上，李老师列举了以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：． 根据等式规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式为_______，第个等式为______； (2)利用等式规律计算：． (3)拓展计算：． (4)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算中规律问题，理解题意，找出规律是解题的关键． （1）观察等式，得出规律，即可求解； （2）根据题意，将每个式子拆成，由此可得解； （3）根据题意，将每个式子拆成，由此可求解； （4）先对分式变形，再用裂项相消法计算． 【详解】（1）解：第4个等式： 第个等式：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 53．阅读并回答下列问题： 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达伊尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格里，赏给我1粒麦子，第二个小格里给2粒，第三个小格里给4粒，以后每个小格都比前一个小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒都赏给您的仆人吧！”国王觉得这个要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了宰相的要求．那么，满足宰相要求的麦粒到底有多少呢？ 即求的值，如何求它的值呢？ 设，① 则 ．② 得． (1)求的值（写出计算过程）． (2)求的值（写出计算过程）． (3)如图，假设一棵小树的主干向上长出3根支干，每个支干又长出3根小分支，按此规律继续生长，则第次生长后，这棵小树的主干、支干、小分支的总数是_______根．（假设每次生长，新长出来的3根支干都不和生长前的支干共线） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）设，则，可得，据此可得答案； （3）由题意得，第n次生长后，这棵树的枝干共有：，据此仿照（2）求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴得， ∴； （2）解：设， ∴ ∴得， ∴， ∴； （3）解：由题意得，第n次生长后，这棵树的枝干共有：， 设， ∴， ∴得， ∴． 故答案为：． 54．按要求完成下列各题： (1)观察下列等式：；；…得出规律：______； (2)观察下列等式：，，，计算：，请按照上述方法计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）根据所给的等式的形式进行变形可得，即可求解； （3）根据（1）中的规律原式变形为，再结合（2）中的规律可得，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解： ； （3）解： 55．观察如图所示的图形与算式的规律并解决问题．       （    ） (1)根据前三个图形与算式的规律，写出如图所示的图形对应的算式：__________． (2)根据以上观察，__________． (3)利用上面发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查图形的变化规律，有理数的混合运算． （1）分析所给的三个图形与算式即可求解； （2）对上述的图形与算式进行总结即可； （3）利用所得的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，…， ∴所求的图形的算式为， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 【题型12:方案选择应用题(一元一次方程实际应用)】 56．随着旅游业的发展，乡村旅游已成为旅行新潮流，乡村旅游产品也逐渐受到游客青睐．某村的文创商店制作了一批民族手工艺品作为旅游商品售卖，该手工艺品的标价为50元/件．某旅游公司准备购买件这种手工艺品当作纪念品送给游客． 该商店提供了两种优惠方案： 方案一：当购买的手工艺品不超过5件时，按原价付费；当购买的手工艺品超过5件时，超过的部分打七折； 方案二：购买的手工艺品全部打八折． (1)当时，若按照方案一购买，需支付_____元；若按照方案二购买，需支付 元；（用含的代数式表示） (2)假如你是旅游公司负责人，要购买10件该手工艺品，请你通过计算说明选择哪种优惠方案更合算； (3)该怎样根据自己想买的数量来选择更省钱的方案？说说你的建议．（一条即可） 【答案】(1)； (2)选择方案二更合算 (3)当购买数量小于15件时，选择方案二更省钱；当购买数量等于15件时，两种方案费用相同；当购买数量大于15件时，选择方案一更省钱． 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值以及一元一次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列代数式和利用方程解决方案选择问题的方法是解题的关键． （1）当时，方案一需分两部分计算费用：前5件按原价，超过5件的部分按七折；方案二则直接按八折计算总价，据此列出含的代数式． （2）将分别代入（1）中得到的两个代数式，计算两种方案的费用并比较大小，判断哪种方案更合算． （3）通过列方程求出两种方案费用相等时的购买数量，再分情况讨论不同购买数量下更省钱的方案． 【详解】（1）解：∵方案一：前5件费用为元，超过5件的件费用为元， ∴方案一需支付： ， ∵方案二：全部八折，每件价格为元， ∴方案二需支付：， 故答案为：； （2）解：当时，方案一：， ∴方案一需支付425元． ∵方案二：， ∴方案二需支付400元． ∵， ∴选择方案二更合算． （3）解：令， 解得． 当时，方案一费用为，方案二费用为，此时方案二更省钱． 当时，，方案二更省钱． 当时，两种方案费用相同． 当时，，方案一更省钱． 故当购买数量小于15件时，选择方案二更省钱； 当购买数量等于15件时，两种方案费用相同； 当购买数量大于15件时，选择方案一更省钱． 57．某杭帮菜品牌店为了吸引顾客，特推出两种优惠方式（不能同时使用）： 方案 优惠内容 方案A：购代金券 购买“90代100”（实付90元获得100元代金券），消费每满100元可使用1张代金券，单桌最多使用3张． 方案B：会员打折 花9.9元购买会员卡，付款时可享受所有菜品、酒水8.5折优惠． 小明第一次到该店消费，请根据以上方案，解决下列问题： (1)若小明在该店消费160元，用方案A购买了一张代金券，求实际付款多少元？ (2)若小明用方案B实际付款210.5元（含会员卡费用），优惠前消费金额为多少元？ (3)若消费金额超过200元，小明发现用方案A比方案B实付金额贵了13元，优惠前消费金额为多少元？（结果精确到个位） 【答案】(1)150元 (2)236元 (3)286元或353元 【分析】（1）1张100元代金券，购买代金券花费90元 ，求出剩余需支付的现金，再加上购买代金券的费用，则可得实际付款总额． （2）设优惠前消费金额为x元 ，根据方案B的优惠方式列方程求出x的值即可． （3）设优惠前消费金额为x元 分两种情况讨论：①当时，可得方程；②当时，可得方程：．求出x的值即可． 本题考查一元一次方程的应用，理解题目中的两个方案的优惠方式是解题关键． 【详解】（1）解：消费160元可使用1张100元代金券，购买代金券花费90元 ， 剩余需支付的现金为：（元）， ∴实际付款总额为：（元）， 答：实际付款150元． （2）解： 设优惠前消费金额为x元 ，方案B中，根据题意得 ， ， 解得． 答：优惠前消费金额为236元． （3）解： 设优惠前消费金额为x元，分两种情况讨论： ①当时 方案A实际付款为： ， 方案B实际付款为： ， 根据题意列方程： ， 解得， 286在范围内，符合条件； ②当时 ， 方案A实际付款为： ， 方案B实际付款为：， 根据题意列方程：， 解得， ，符合条件． 答：优惠前消费金额为286元或353元． 58．张老师需要办一种套餐．运营商推出了两种包月套餐方案： 方案一：每月50元月租费，流量资费0.4元； 方案二：没有月租费，流量资费0.6元． 设张老师每月使用流量． (1)张老师使用方案一套餐每月需花费__________元，使用方案二套餐每月需花__________元；（用含x的代数式表示） (2)张老师平均每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？ (3)若张老师平均每个月使用流量，选择哪种套餐比较合算？ 【答案】(1)，； (2)； (3)第二种套餐 【分析】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示选择每种套餐分别花费的钱数是解题的关键． （1）按第一种套餐，应由月租费加流量费计算花费的钱数，为每月，按第二种套餐，只有流量费，为每月元，于是得到问题的答案； （2）若两种套餐花费一样多，则，解方程求出的值即可． （3）分别计算出当时，的值及的值，再将所求得的结果比较大小，即得到问题的答案； 【详解】（1）解：根据题意得，按第一种套餐每月元，按第二种套餐每月元， 故答案为：，． （2）根据题意得， 解得， 答：张老师每月用流量时，两种套餐花费一样多． （3）当时，，， 按第一种套餐需要130元，按第二种套餐需要120元， 120元元， 答：选择第二种套餐比较合算． 59．为进一步加强学生“学党史、知党情、跟党走”的信心，培养学生的民族精神和爱国主义情怀，某学校组织开展以“观看红色电影，点燃红色初心”为主题的教育活动．电影票价格表如下： 购票张数 1至40 41至80 80以上 每张票的价格 20元 18元 免2张门票，其余每张17元 该校七年级两个班共有83名学生去看电影，其中七（1）班的学生人数超过30，但不足40． (1)如果两个班都以班为单位单独购票，一共付了1572元．求七（2）班学生的人数； (2)在（1）所得的班级学生人数下，如果七（1）班有7名学生因有比赛任务不能参加这次活动，请你为两个班级设计购买电影票的方案，并指出最省钱的方案． 【答案】(1)七（2）班有44人； (2)够买81张票最省钱． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用． （1）根据电影票价格表中的购票方式和价格，列出方程求解即可； （2）根据题意进行分类讨论：当购买76张票时，当购买81张票时，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴如果两个班联合起来作为一个团体购票，应付（元）， 设七（2）班有a人， ∴七（1）班有人， ∵， ∴， ∴七（1）班应付：元，七（2）班应付：元 ∴如果两个班都以班级为单位购票，一共应付元， ∴，解得：， 答：七（2）班有44人； （2）解：∵， ∴，即七（1）班有39人， ∵七（1）班有7名学生因有比赛任务不能参加这次活动， ∴总人数为人， 当购买76张票时：（元）， 当购买81张票时：（元）， ∵， ∴够买81张票最省钱． 60．列一元一次方程解应用题： 某牛奶加工厂有鲜奶18吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元，该工厂的生产能力是：将牛奶制成酸奶，每天可加工3吨；将牛奶制成奶片每天可加工1吨．受人员限制，两种加工方式不可同时进行；受气温条件限制，这批牛奶必须在8天内全部销售或加工完毕．为此，该厂某领导提出了两种可行方案： 方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶； 方案2：一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好8天完成．（列方程） 你认为选择哪种方案获利最多，说明理由． 【答案】第二种方案获利最多 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，方案一：根据制成奶片每天可加工1吨，可知8天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶，求出利润；方案二：设生产天奶片，天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，进而求出利润，比较即可得到结果．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【详解】解：方案一：由题意可知，最多生产8吨奶片，其余的鲜奶直接销售， 则其利润为：（元）； 方案二：设生产天奶片，则生产天酸奶， 根据题意得：，解得：， ∴5天生产酸奶，加工的鲜奶吨， 则利润为：（元）， ∴． 则第二种方案获利最多． 1 学科网（北京）股份有限公司 $