专题09 一元一次方程应用重难点十三大题型突破-2026-2027学年苏科版七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必刷题

专题09 一元一次方程应用重难点十三大题型突破 【题型1 配套问题】 【题型2 工程问题】 【题型3 销售盈亏】 【题型4 比赛积分】 【题型5 方案选择】 【题型6 数字问题】 【题型7几何问题】 【题型8 动点问题】 【题型9 和差倍分问题】 【题型10 电费和水费问题】 【题型11 行程问题】 【题型12 古代问题】 【题型13 其他问题】 【题型1 配套问题】 1．某工厂车间有20名工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件18个或B零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套，工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元． (1)求该工厂有多少名工人生产A零件，多少名工人生产B零件？ (2)因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元？ 2．某眼镜厂要制作一批眼镜，已知该工厂共有50名工人，其中女工人数比男工人数多10人，并且每个工人平均每天可以制作镜架50个或镜片150片． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天制作的镜架与镜片刚好配套，应安排多少名工人制作镜架？ 3．“黄元米果竹笼蒸，千年手艺代代传”，兴国客家制作黄元米果需用竹篾蒸笼，每个蒸笼由1个“笼身”(竹编圆筒)和2个“笼底”(竹篾方格)配套．篾匠师傅用本地毛竹加工配件1根毛竹可做3个笼身或8个笼底．现有28根毛竹，如何分配才能使笼身和笼底恰好配套？ 4．某工厂需要生产一批太空漫步器，每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成．工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板． (1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ (2)每套太空漫步器的成本为200元，若要保证原售价打8折时利润率恰好为，每套原售价应为多少元？ 【题型2 工程问题】5．一项工程，甲先单独做天，然后与乙合作天，这样才完成全部工程的一半．已知甲、乙工作效率的比为．如果这项工程由乙单独做，需要多少天才能完成？ 6．某车间计划加工一批产品．如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成任务，求该产品一共有多少个？ 7．为迎接校园科技节，需要组装一批智能机器人模型．如果由一名同学单独组装，需要 60 小时才能完成．现在先安排一部分同学组装 1 小时，之后又增加 15 名同学和他们一起组装 2 小时，恰好全部完成．假设每名同学的组装效率相同，求：最先安排了多少名同学组装模型？ 8．列一元一次方程解决问题： 春联，俗称“门对”、“春贴”、“对联”、“对子”，雅称“楹联”，是中华民族传统民俗文化的重要组成部分，临近农历马年，某春联加工厂接到一项定制任务，要求12天完成．若由甲生产线单独生产，刚好按期完成：若由乙生产线单独生产，则将延期6天完成． (1)实际生产过程中，先安排甲生产线单独生产几天，再安排甲、乙生产线同时生产，最终提前2天完成任务，请问先安排甲生产线单独生产了几天？ (2)已知甲生产线原来每天的生产成本为2万元，乙生产线原来每天的生产成本为万元，后来加工厂对生产工艺进行了升级改造，甲生产线每天的生产成本降低了，乙生产线每天的生产成本降低了万元．升级后，按（1）中的实际生产安排，甲、乙生产线的总成本为万元，请求出的值． 【题型3 销售盈亏】 9．国庆节期间，爸爸想给小明买一个书包和一双运动鞋，他告诉小明：同款的鞋和书包在甲、乙商场单价相同，两者单价之和元，且运动鞋单价比书包单价的倍少元． (1)你能算出运动鞋和书包的单价各是多少元吗？ (2)小明答对后，父子俩带了元去买，恰逢商场促销：甲商场每满元返元购物券（不足元不返，券可当场用），乙商场全场八折．只在一家商场购买这两样物品，能选哪家？若两家都可以，哪家更省钱？ 10．小程的妈妈退休后，在离家不远的地方开了一个杂货店．她将其中的某种商品按定价出售，每件可获得利润元．现在按定价的八五折出售件，与按定价每件降价元出售件，所能获得的利润一样．请问这种商品每件的定价是多少？ 11．为响应“乡村振兴·助农兴商”号召，某社区助农驿站第一次用元购进本地特色的甲、乙两种农产品进行线上线下销售，其中乙农产品的件数比甲农产品件数的倍多件，两种农产品的进价和售价如下表：（注：获利售价进价，农产品销售利润全部用于本地乡村公益建设） 农产品 甲（特色果蔬） 乙（手工杂粮） 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该助农驿站第一次购进甲、乙两种农产品各多少件？ (2)该助农驿站将第一次购进的甲、乙两种农产品全部售完后，所获利润可支持多少元的乡村公益建设？ (3)该助农驿站第二次以第一次的进价再次购进甲、乙两种农产品，其中甲农产品件数不变，乙农产品件数是第一次的倍；甲农产品按原售价销售，乙农产品因推出公益装，在原售价基础上进行打折销售，第二次全部售完后获得的总利润比第一次多元，求第二次乙产品是按原售价打几折销售？ 12．列方程解应用题：某超市第一次用 1 万元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的 2 倍．已知甲种商品的进价 30 元/件，售价 35 元/件；乙种商品的进价 40 元/件，售价 50 元/ 件． (1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品全部售完后一共可获得多少利润？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的 3 倍，甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都售完后获得的总利润比第一次获得的总利润多 200 元，求第二次乙商品是按原价打几折销售的？ 【题型4 比赛积分】 13．一份数学试卷有25道选择题，规定做对一题得4分，一题不做或做错扣1分，结果某学生得分为75分，则他做对多少道题？ 14．学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 15．某校组织知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了五位参赛者的得分情况．根据表格提供的信息解答下列问题： 参赛者 答对题数 ？ 答错题数 0 1 5 6 ？ 得分 ？ (1)每答对一题得___________分，每答错一题得___________分； (2)参赛者同学说他得了分，求他答对了多少道题？ 16．在某次足球联赛中，A组共有6支队伍进行比赛，根据赛程，每队在小组赛中共计进行15场比赛，如表是小组赛第二轮积分榜： 代表队 场次 胜场 平场 负场 积分 火焰 逐梦者 未来巨人 飞人联盟 超音速 飞翔之鹰 （说明：积分胜场积分平场积分负场积分） (1)本次比赛中胜一场积_____分，平一场积_____分，负一场积_____分； (2)已知火焰队在剩余的场比赛中一共输了场，最终以场比赛总积分分获得出线资格．那么火焰队在剩余的13场比赛中一共赢了几场？ 【题型5 方案选择】 17．延庆区某中学七年级（1）（2）两个班共104人，要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如图： 购票张数1~50张 每张票的价格为13元 购票张数51∼100张 每张票的价格为11元 购票张数100张以上 每张票的价格为9元 其中（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1240元． (1)两个班各有多少学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去博物馆参观，你认为如何购票最省钱？ 18．小李去临沂滨河乐园游玩，乐园推出两种购票优惠： 方式一：“60元抵90元”代金券（实付60元得90元券），一次最多用2张，代金券金额不能超过应付总金额． 方式二：门票不打折，其余游乐项目全部a折． (1)若消费总额为130元，用方式一实际付款______元； (2)小李买了40元门票和200元游乐项目，用方式二付款160元，求a的值； (3)在（2）的条件下，如果小李计划花费220元（含买券费用）游玩，为了体验更多金额的游乐项目，小李应该选择哪种方式？（门票不计入游乐项目）？ 19．保康市场销售某种商品，分为A、B两种款式，已知A款商品每个的进价是50元，售价是80元，B款商品每个的售价是60元，可盈利．提示：利润率×进价=售价−进价． (1)A款商品每个的利润率是 ，B款商品每个的进价是 元． (2)该市场购进A、B两款商品共计200个，总进货款8400元，请你计算一下A、B两款商品各进货多少个？ (3)春节临近，该市场推出如下的优惠促销活动（打折前一次性购物总金额）： ①不超过900元，不优惠 ②超过900元，但不超过1200元，按总售价打九折 ③超过1200元，其中1200元部分八折优惠，超过1200元的部分打六折优惠， 小张按照优惠活动方案在该市场购买A款商品若干个，实际付款金额为1008元，请你通过计算分析，小张在该市场购买了多少个A款商品？ 20．遵辣1号系贵州遵义虾子镇的特产辣椒品种，因其香辣浓郁、皮薄肉厚、色泽鲜亮、辣味纯正而著称．小温家种植了一片遵辣1号辣椒，每日需对辣椒进行采收并完成分拣装筐工作．据了解，每人每日能够采摘120千克辣椒或分拣装筐280千克辣椒．新鲜辣椒的售价为每千克8元，干辣椒的售价为每千克30元． (1)小温家雇佣了20名工人进行采摘和分拣装筐，每名工人一天只能做一项工作，不计其他因素，要使每天采摘的辣椒全部分拣装筐，应如何分配工人？ (2)一位商贩计划购买100千克的干辣椒和a千克（）新鲜辣椒．小温提供了两种优惠方案： 方案一：每买5千克的干辣椒，赠送3千克的新鲜辣椒； 方案二：每千克干辣椒和新鲜辣椒都按定价打九折付款． ①按购买方案一需支付费用______元；按购买方案二需支付费用______元；（请用含a的代数式表示） ②当a为何值时，两种购买方案的费用一样． 【题型6 数字问题】 21．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小3，十位上的数字与个位上的数字之和等于9，求这个两位数． 22．【阅读理解】 如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，称循环小数．例如，，写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如，、，它们可分别写作、，像这样的循环小数称为混循环小数． 【问题探究】 小明课后探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如，化为分数，解决方法是：设，即，将等式两边都乘以10，得，又因为，所以，所以，即，所以． 【问题解决】 (1)把化为分数为_______； (2)请利用小明的方法，把纯循环小数化为分数； (3)请类比小明的方法，试把混循环小数化为分数． 23．相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5． (1)如图2所示，则幻和=______； (2)若，求图2中的值； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当时，则的值为多少？ 24．如图的数阵是由全体正奇数排成． (1)计算十字框内的五个数的和，并说明与中间数27有什么关系？若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数的和还有这种规律吗？ (2)十字框中五个数之和能等于2024吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由． 【题型7几何问题】 25．广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章．现需将一幅长为6米，宽为4米的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示．设边饰的宽度为x米． (1)挂画的长为__________米，挂画的宽为__________米（分别用含x的式子表示）； (2)若镶上边饰后整幅挂画的长度为8米，求整幅挂画的面积． 26．如下图，在等腰直角三角形中，，．正方形的边长也为．点，，，在同一条直线上，且．现将的两条直角边以的速度加长．同时正方形也以的速度沿直线向右平移．设时间为． (1)在变化过程中，等腰直角三角形的直角边长为_____cm，面积为 ．（用含的式子表示） (2)在变化过程中，当为何值时，的斜边恰好经过正方形的顶点？ 27．“数韵几何，智解生活”的校园数学文化节中，某一展区“完美长方形”示意图的呈现，吸引了众多学生．如图所示，1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，若标注为1号和2号的正方形边长分别为1米，x米． 【初步探究】 （1）请用含的代数式分别表示出3号正方形的边长为__________米；4号正方形的边长为__________米：5号正方形的边长为__________米；6号正方形的边长为__________米． 【深入思考】 （2）观察图形的特点可知，完美长方形相对的两边是相等的（即），根据等量关系，求出的值． 【解决问题】 （3）在文化节的“数学应用擂台”中，组委会提出了实际问题：若“完美长方形”是某市民健身广场的平面示意图，现沿着完美长方形的四条边（、、与）铺设下水管道，如果由甲、乙两个工程队单独铺设分别需要8天、12天完成，现两队从同一点开始，沿相反的方向同时施工2天后，因甲队另有任务，余下由乙队单独施工，请问乙队还要多少天完成？甲、乙两个工程队各铺设多少米？ 28．如图①，将一张长为、宽为的长方形纸片的四个角分别剪去边长为的小正方形，将剩下部分折成如图②所示的一个无盖长方体盒子． (1)若，则无盖长方体盒子的体积为多少？ (2)若无盖长方体盒子的底面的长是宽的2倍，求该无盖盒子的体积． 【题型8 动点问题】 29．已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且，A、B之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出a，b，的值，________，________，________． (2)如图点M，N，P是数轴上三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x ①若，则________； ②若点P表示的数是，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8？ 30．【知识引导】 在数轴上，当一个点在另一个点的右侧时，这两点之间的距离等于右侧的点所对应的数减去左侧的点所对应的数．例如：点、在数轴上对应的数分别为、，则点在点的右侧，点、之间的距离为． 【初步探究】 如图，在一条数轴上，从左往右依次有、、三点，它们对应的数分别为、、． (1)点到原点的距离是______；、两点之间的距离是______． (2)数轴上一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负半轴方向匀速运动．当运动时间为秒时，求点对应的数，以及、两点之间的距离． 【拓展提升】 数轴上的动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正半轴方向运动；同时，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负半轴方向运动．设、的运动时间均为t秒． (3)①当、两点相遇时，求的值； ②当、两点相距个单位长度时，求的值； ③当点到原点的距离恰好是点到原点距离的倍时，直接写出的值． 31．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫作数形结合思想．点是数轴上不重合的两个点，且点在点的左边，点是线段的中点．点分别表示数．请回答下列问题： 【初步探究】 （1）若，，则_____，的值为_____； （2）如图①，利用数轴思考探究，请用含，的式子表示； 【拓展应用】 （3）如图②，若，，动点，分别从，两点同时出发，沿数轴正方向运动．点的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度．若点是的中点，点是的中点，求运动多长时间时，点之间的距离为3个单位长度？ 32．第22届中国—东盟博览会于2025年9月17日—18日在广西南宁举办．东盟博览会上宇树机器人成为全场焦点．机器人与孩子们萌萌的互动，引发阵阵笑声．前沿的AI技术从概念变为普通人可以感知和理解的体验．已知机器人的电量消耗与移动距离和完成动作次数相关，具体信息如下： ①每移动1米消耗2个单位电量； ②每完成1次动作（如抓取、旋转）消耗5个单位电量． ③初始电量为100个单位，当电量低于10个单位时自动停止工作并返回点充电． 【问题】 如图所示，已知数轴上点A、B分别表示的数为与的距离为6m，机器人P、Q的移动的速度分别是和． (1)若机器人从点向左移动到原点，然后完成3次动作，求此时的剩余电量； (2)若机器人从点出发，先移动一段距离至工作区，完成若干动作后剩余电量为40单位．已知机器人移动的距离是执行动作次数的2倍还多12米．求机器人移动的距离和完成动作的次数； (3)若机器人P、Q分别在点A、B完成2个旋转后同时沿数轴向左匀速移动表演“你追我赶”，问机器人P、Q需要多少时间才能完美相遇？表演结束后它们能否顺利返回点充电？ 33．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，以单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．点运动到点时停止，此时点也随之停止．设运动的时间为秒．问： (1)动点从点运动至点需要多少时间？ (2)、两点相遇时，求出相遇点所对应的数是多少； (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． 【题型9 和差倍分问题】 34．淘气攒了1元硬币和5角硬币这两种硬币，总共75元．其中5角硬币占总枚数的，淘气一共攒了多少枚硬币？（列方程解答） 35．今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，若每人种3棵，则剩余20棵；若每人种4棵，则还缺25棵．求该班的学生人数和这批树苗的数量． 36．为迎接校运动会，六年级分为A、B两组同学，共做了99面红旗．如果A组再做3面，B组少做4面，那么这时B组的红旗面数将比A组的红旗面数的多8面． (1)A组和B组各制作了多少面红旗？（用方程求解） (2)将B组做的红旗插在短跑直线赛道的两旁，每隔5米插一面，两端都插，则这条赛道长多少米？ 37．草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多．已知小康平均每小时采摘，小悦平均每小时采摘，那么两人采摘的时长是多少小时？ 【题型10 电费和水费问题】 38．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 39．某市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过时，按2元/计算：月用水量超过时，其中的仍按2元/计算，超过部分按2.5元/计算．设某户家庭月用水量； (1)当时，水费为________元； 当时，水费为________元；（用含x的式子表示） (2) 月份 10月 11月 12月 用水量 15 22 a 小花家第四季度用水情况如上表，小花家这个季度共缴纳水费125元，请你求出小花家12月份用水量a的值？ 40．为鼓励市民节约资源，某市实施阶梯电价制，居民生活用电价格表如下： 档次 月用电量 电价(元/度) 第1档 不超出200度的部分 0.5 第2档 超出200度但不超出400度的部分 0.6 第3档 超出400度的部分 0.8 (1)若某用户2025年7月份的用电量为270度，则需缴电费为多少元? (2)设小辰家8月份用电量为x度， ①若小辰家8月份用电量属于第2档，请用含x的代数式表示出她家8月应缴的电费金额； ②若小辰家8月份所缴电费是190元，则她家8月份用电多少度? (3)设小辰家12月份用电量为y度，若小辰家12月份用电量属于第3档，请用含y的代数式表示出她家12月应缴的电费金额． 41．购买空调时，需综合考虑售价与耗电成本．某款1.5匹空调有两款型号可供选择，其部分基本信息如下表所示．已知当地电价为0.5元/，请根据信息解答下列问题： 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/ 购买并使用能效空调的综合费用（元） 1级 3000 640 ______ 3级 2600 800 ______ 备注：（综合费用售价总电费）； (1)完成表格：设使用年限为（且为整数）年，分别写出购买并使用1级、3级能效空调的综合费用（元）（用含的代数式表示）． (2)使用年限是多少年时，两款空调的综合费用相同？ (3)从经济角度考虑若未来电价调整为0.6元/，预计使用8（安徽家庭空调平均使用年限约8－12年）年，此时选择哪款空调更划算？说明理由． 42．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2025年1月用水15吨，交水费30元；2月份用水26吨，交水费61元． (1)求a，b的值； (2)如果小王家3月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ 【题型11 行程问题】 43．育英学校六年级学生步行到郊外旅行.六（1）班的学生组成前队，步行速度为，六（2）班的学生组成后队，速度为.前队出发后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为 ． (1)后队出发后，经过多长时间可以追上前队？ (2)联络员出发后追上前队时，距离后队有多远？ 44．某校组织七年级学生到东西文化馆开展研学活动，团委书记带领学生以4千米/时的速度步行前往．出发30分钟时，书记发现忘记带横幅，立即通知学校的罗老师骑电动车送来．罗老师接到通知后，以16千米/时的速度沿同一路线追赶学生队伍，最终他们同时到达东西文化馆．求： (1)出发多远发现忘记带横幅？ (2)学校到东西文化馆的路程是多少千米？（列方程求解） 45．已知甲、乙两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)若甲、乙两船从A港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，则后两船相距多远？ (2)若甲船从A港口顺水航行到达B港口；从B港口返回A港口逆水而行，用了，求水流速度． 46．综合与实践 问题情境 迎泽公园作为太原市核心城区的大型综合性公园，兼具生态、休闲、文化、健身等多重作用．迎泽公园内有一条全长约的墨绿色塑胶跑道（跑道首尾相连），环绕全园，深受跑步爱好者的喜爱．周日，小王和爸爸去迎泽公园这条墨绿色塑胶跑道上进行慢走，已知小王的速度为，爸爸的速度为． 问题解决 (1)如果小王和爸爸从同一起点同时出发，沿相反方向慢走．那么小王慢走后多长时间与爸爸首次相遇？ (2)如果小王和爸爸从同一起点出发，爸爸先走10分钟，然后小王沿相同方向慢走． ①小王用多长时间能追上爸爸？ ②在爸爸首次回到起点前，当小王和爸爸之间的路程相距时，请直接写出此时小王出发了多长时间． 【题型12 古代问题】 47．《九章算术》卷第七“盈不足”有如下记载：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数琎价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱．问人数，琎价各是多少？ 48．列方程解答下面的问题． 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一．《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？” 译文：“今有人坐一辆车，有辆车是空的；人坐一辆车，有个人需要步行．问人与车各多少？” 49．古希腊有一位伟大的数学家叫丢番图，他的墓碑留下了可贵的资料，碑文大意如下：他一生的 是幸福的童年， 是无忧无虑的青年．又过了一生的 ，丢番图结了婚．再过5年儿子出生，可这孩子在世界上的时间只有他父亲的一半．儿子去世以后，丢番图在悲痛中又活了4年，也去世了．你能算出丢番图活了多少岁吗？ 50．《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 【题型13 其他问题】 51．某航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运行李，超过部分每千克按飞机票价的购买行李票．一位乘坐经济舱的旅客托运了行李，机票连同行李费共付了元，求这位旅客的机票价． 52．凭借太行山区得天独厚的地理条件与丰富的自然资源，石家庄市赞皇县蓬勃发展的蜜蜂养殖业，成为当地特色产业． (1)中华蜜蜂是中国本土最常见的蜂种，一只中华蜜蜂的质量是，一个鸡蛋的质量是，相当于多少只中华蜜蜂的质量和（结果用科学记数法表示）； (2)将蜂蜜全部放入如图所示的甲、乙两个杯子中，甲、乙两个杯子分别装有和水，要使两杯溶液中蜂蜜与水的体积比相同，求两个杯子中应分别放入蜂蜜多少． 53．学校为庆祝第七个国际数学日，举办了主题为“数学与希望”的数学活动，决定购买圆规与笔记本作为奖品．已知圆规每个15元，笔记本每本6元，共花费1560元，它们的数量之比为．此时恰逢商家开展“店庆满送”优惠活动，每满180元送1张兑换券，满360元送2张兑换券，……，以此类推．一张兑换券可兑换2个圆规或4个笔记本．学校花费1560元后，将兑换券也全部用于商品兑换，最终圆规与笔记本的数量相同． (1)求兑换前购买的圆规和笔记本的数量； (2)求用于兑换圆规的兑换券的张数． 54．网约快车是城市便捷的出行交通工具之一，某市网约快车的计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元／千米 0.3元／分钟 0.8元／千米 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分组成．其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时长计算，远途费的收费方式为：行车里程7千米以内（含7千米），不收远途费，超过7千米时，超过的部分每千米加收远途费0.8元． (1)一人乘网约快车20分钟到达目的地，行驶里程为千米，请用含x的代数式表示他应付的费用为___________元； (2)甲、乙两人各自乘网约快车，甲比乙的行车里程多1.5千米，若两人的计费项目完全相同，所付的车费也相同，求乙比甲多乘车几分钟？ 55．综合实践 养成健康饮水的习惯 素材1 《中国居民膳食指南》建议大家养成主动饮水的习惯，避免喝过冷或过热的水，否则易引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在． 素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水过程中不计热量损失． ★小贴士：开水体积×开水的温度+温水的体积×温水的温度=混合后的体积×混合后的温度． (1)若先接温水，再接的开水，此时温水和开水混合后共有多少毫升水？ (2)小明先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题： ①小明接水的时间一共用了，得到一杯的水，这杯水的温度是否符合健康饮水的适宜温度，通过计算说明理由； ②若小明想得到一杯的的水，此时接温水和开水的时间分别是多少秒？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一元一次方程应用重难点十三大题型突破 【题型1 配套问题】 【题型2 工程问题】 【题型3 销售盈亏】 【题型4 比赛积分】 【题型5 方案选择】 【题型6 数字问题】 【题型7几何问题】 【题型8 动点问题】 【题型9 和差倍分问题】 【题型10 电费和水费问题】 【题型11 行程问题】 【题型12 古代问题】 【题型13 其他问题】 【题型1 配套问题】 1．某工厂车间有20名工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件18个或B零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套，工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元． (1)求该工厂有多少名工人生产A零件，多少名工人生产B零件？ (2)因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元？ 【答案】(1)该工厂有5名工人生产A零件，则有15名工人生产B零件 (2)现从生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设该工厂有x名工人生产A零件，则有名工人生产B零件．根据题意，列出方程，即可求解； （2）设现从生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元．根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该工厂有x名工人生产A零件，则有名工人生产B零件．根据题意得： ， 解， 此时， 答：该工厂有5名工人生产A零件，则有15名工人生产B零件． （2）解：设现从生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元．根据题意得： ， 解得． 答：现从生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元 2．某眼镜厂要制作一批眼镜，已知该工厂共有50名工人，其中女工人数比男工人数多10人，并且每个工人平均每天可以制作镜架50个或镜片150片． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天制作的镜架与镜片刚好配套，应安排多少名工人制作镜架？ 【答案】(1)该工厂有男工20人，女工30人 (2)应安排30人制作镜架 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决配套问题，解题的关键是找准等量关系． （1）设该工厂有男工x人，则有女工人，根据总人数列出方程求解即可； （2）设应安排y人制作镜架，根据生产的镜架和镜片的数量关系，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该工厂有男工x人，则有女工人， 根据题意，得． 解得． 所以． 答：该工厂有男工20人，女工30人； （2）解：设应安排y人制作镜架， 根据题意得， 解得． 答：应安排30人制作镜架． 3．“黄元米果竹笼蒸，千年手艺代代传”，兴国客家制作黄元米果需用竹篾蒸笼，每个蒸笼由1个“笼身”(竹编圆筒)和2个“笼底”(竹篾方格)配套．篾匠师傅用本地毛竹加工配件1根毛竹可做3个笼身或8个笼底．现有28根毛竹，如何分配才能使笼身和笼底恰好配套？ 【答案】分配根毛竹制作笼身，根毛竹制作笼底才能使笼身和笼底恰好配套 【分析】本题考查一元一次方程的应用． 通过设未知数，根据配套关系列出方程，即一个笼身配两个笼底，建立等式并求解． 【详解】解：设有x根毛竹制作笼身，则有根毛竹制作笼底， 由题意，得，解得，则， 答：分配根毛竹制作笼身，根毛竹制作笼底才能使笼身和笼底恰好配套． 4．某工厂需要生产一批太空漫步器，每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成．工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板． (1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ (2)每套太空漫步器的成本为200元，若要保证原售价打8折时利润率恰好为，每套原售价应为多少元？ 【答案】(1)20人生产支架，25人生产脚踏板恰好配套 (2)每套原售价应为300元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）设x人生产支架，则人生产脚踏板恰好配套，根据题意列方程，求解即可； （2）设每套原售价应为y元，根据利润率为列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设x人生产支架，则人生产脚踏板恰好配套， 由题意得 解得， ∴（人）， 答：20人生产支架，25人生产脚踏板恰好配套； （2）解：设每套原售价应为y元，由题意得 解得， 答：每套原售价应为300元． 【题型2 工程问题】5．一项工程，甲先单独做天，然后与乙合作天，这样才完成全部工程的一半．已知甲、乙工作效率的比为．如果这项工程由乙单独做，需要多少天才能完成？ 【答案】乙单独完成这项工程需要天 【分析】根据甲、乙工作效率比为设出两人的工作效率，再结合“甲先单独做天，再与乙合作天完成工程的一半”列出方程，进而求出乙的工作效率，最后算出乙单独完成工程的时间． 【详解】解：设全部工程量为，甲每天完成的工程量为，则乙每天完成的工程量为， 则， 即， ， 则乙每天完成的工程量为， （天）， 答：乙单独完成这项工程需要天． 6．某车间计划加工一批产品．如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成任务，求该产品一共有多少个？ 【答案】80个 【分析】设每小时加工产品10个时，总加工小时，列式得，再解方程即可． 【详解】解：设每小时加工产品10个时，总加工小时，则实际加工小时， ， 整理得，解得， （个）， 答：该产品一共有80个． 7．为迎接校园科技节，需要组装一批智能机器人模型．如果由一名同学单独组装，需要 60 小时才能完成．现在先安排一部分同学组装 1 小时，之后又增加 15 名同学和他们一起组装 2 小时，恰好全部完成．假设每名同学的组装效率相同，求：最先安排了多少名同学组装模型？ 【答案】10名 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系正确列出一元一次方程是解题的关键．设先安排组装的人员有x名，根据工作效率×工作时间×工作人数=工作总量结合题意，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设先安排组装的人员有x名， 根据题意得：， 解得：． 答：先安排组装的人员有10名． 8．列一元一次方程解决问题： 春联，俗称“门对”、“春贴”、“对联”、“对子”，雅称“楹联”，是中华民族传统民俗文化的重要组成部分，临近农历马年，某春联加工厂接到一项定制任务，要求12天完成．若由甲生产线单独生产，刚好按期完成：若由乙生产线单独生产，则将延期6天完成． (1)实际生产过程中，先安排甲生产线单独生产几天，再安排甲、乙生产线同时生产，最终提前2天完成任务，请问先安排甲生产线单独生产了几天？ (2)已知甲生产线原来每天的生产成本为2万元，乙生产线原来每天的生产成本为万元，后来加工厂对生产工艺进行了升级改造，甲生产线每天的生产成本降低了，乙生产线每天的生产成本降低了万元．升级后，按（1）中的实际生产安排，甲、乙生产线的总成本为万元，请求出的值． 【答案】(1)7天 (2)20 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）先求出甲和乙的工作效率，设先安排甲单独生产了天，则甲生产了天，乙生产了天，根据效率乘以生产天数等于总量列方程求解即可； （2）由（1）知甲生产了10天，乙生产了天，根据甲的生产天数×成本+乙的生产天数×成本=总成本列方程求解即可． 【详解】（1）解：设总工作量为“1”， 根据题意，甲每天可完成总工作量的，乙每天可完成总工作量的 设先安排甲单独生产了天， 则甲生产了天，乙生产了天， ∴ 解得 答：先安排甲单独生产了7天； （2）解：由（1）知甲生产了10天，乙生产了天， ∵甲生产线每天的生产成本降低了，乙生产线每天的生产成本降低了万元， ∴ 解得 答：的值为20． 【题型3 销售盈亏】 9．国庆节期间，爸爸想给小明买一个书包和一双运动鞋，他告诉小明：同款的鞋和书包在甲、乙商场单价相同，两者单价之和元，且运动鞋单价比书包单价的倍少元． (1)你能算出运动鞋和书包的单价各是多少元吗？ (2)小明答对后，父子俩带了元去买，恰逢商场促销：甲商场每满元返元购物券（不足元不返，券可当场用），乙商场全场八折．只在一家商场购买这两样物品，能选哪家？若两家都可以，哪家更省钱？ 【答案】(1)运动鞋单价为元，书包单价为元． (2)甲、乙两家商场都可以选择，乙商场更省钱． 【分析】（1）根据两种商品的单价和与倍数关系，设未知数列一元一次方程求解． （2）分别计算甲、乙商场购买两样物品的最低花费，与元比较后判断可选商场及更省钱的方案． 【详解】（1）解：设书包的单价为元，则运动鞋的单价为元． 由题意得 ， 解得 ， ∴运动鞋单价为 （元）． （2）解：计算甲商场最低花费： ∵甲商场每满元返元购物券， ∴优先购买单价高的运动鞋以获取更多购物券． ∵运动鞋单价元，包含个元，可返购物券 （元）． 用90元购物券购买书包，需额外支付 （元）． ∴甲商场总花费为 （元）． ∵ ， ∴ 甲商场可选择； 计算乙商场花费： ∵乙商场全场八折， ∴乙商场总花费为 （元）． ∵ ， ∴ 乙商场可选择； ∵ ， ∴ 乙商场更省钱． 综上所述，甲、乙两家商场都可以选，乙商场更省钱． 10．小程的妈妈退休后，在离家不远的地方开了一个杂货店．她将其中的某种商品按定价出售，每件可获得利润元．现在按定价的八五折出售件，与按定价每件降价元出售件，所能获得的利润一样．请问这种商品每件的定价是多少？ 【答案】这种商品每件的定价是元． 【分析】设这种商品每件的定价为元，则每件商品的进价为元，然后根据题意列方程，再解方程即可． 【详解】解：设这种商品每件的定价为元，则每件商品的进价为元，按定价八五折出售件的总利润为元，按定价每件降价元出售件的总利润为元， ∵两种销售方式获得的利润一样， ∴， 化简得， 解得， 答：这种商品每件的定价是元． 11．为响应“乡村振兴·助农兴商”号召，某社区助农驿站第一次用元购进本地特色的甲、乙两种农产品进行线上线下销售，其中乙农产品的件数比甲农产品件数的倍多件，两种农产品的进价和售价如下表：（注：获利售价进价，农产品销售利润全部用于本地乡村公益建设） 农产品 甲（特色果蔬） 乙（手工杂粮） 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该助农驿站第一次购进甲、乙两种农产品各多少件？ (2)该助农驿站将第一次购进的甲、乙两种农产品全部售完后，所获利润可支持多少元的乡村公益建设？ (3)该助农驿站第二次以第一次的进价再次购进甲、乙两种农产品，其中甲农产品件数不变，乙农产品件数是第一次的倍；甲农产品按原售价销售，乙农产品因推出公益装，在原售价基础上进行打折销售，第二次全部售完后获得的总利润比第一次多元，求第二次乙产品是按原售价打几折销售？ 【答案】(1)甲种农产品件、乙种农产品件 (2)元 (3)折 【分析】（1）设未知数，根据总进价列一元一次方程，进而求出两种农产品的购进数量； （2）根据“每件利润数量”分别计算两种农产品的利润，再求和得到总利润； （3）根据第二次的利润变化列方程，进而求出乙农产品的折扣． 【详解】（1）解：设第一次购进甲种农产品件，则购进乙种农产品件， 可得， 解得，则， 故该助农驿站第一次购进甲种农产品件、乙种农产品件． （2）解：（元）． 故该助农驿站将第一次购进的甲、乙两种农产品全部卖完后一共可获得利润元． （3）解：设第二次乙种农产品是按原价打折销售， 可得， 解得， 故第二次乙农产品是按原价打折销售． 12．列方程解应用题：某超市第一次用 1 万元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的 2 倍．已知甲种商品的进价 30 元/件，售价 35 元/件；乙种商品的进价 40 元/件，售价 50 元/ 件． (1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品全部售完后一共可获得多少利润？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的 3 倍，甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都售完后获得的总利润比第一次获得的总利润多 200 元，求第二次乙商品是按原价打几折销售的？ 【答案】(1)一共可获得利润2000元 (2)第二次乙商品按原价打折销售 【分析】（1）设购进乙种商品x件，则购进甲商品件，根据题意，得，解方程求出甲、乙两种商品的件数，再根据两种商品的进价和售价即可计算出总利润． （2）设乙商品打x折，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：设购进乙种商品x件，则购进甲商品件， 根据题意，得， 解得， 则， 故一共获利：（元）， 答：该超市第一次购进的甲、乙两种商品全部售完后一共可获得利润2000元． （2）解：设乙商品打x折， 根据题意，第二次购进乙种商品300件，购进甲商品200件， 根据题意，得， 解得， 答：第二次乙商品按原价打折销售． 【题型4 比赛积分】 13．一份数学试卷有25道选择题，规定做对一题得4分，一题不做或做错扣1分，结果某学生得分为75分，则他做对多少道题？ 【答案】他做对20道题 【分析】设他做对x道题，根据等量关系式：做对的题目得分做错或不做的题目扣除的总分，列出方程，解之即可． 【详解】解：设他做对x道题，依题可得： ， 解得：． 答：他做对20道题． 14．学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 【答案】解：给这个同学颁发金奖，理由如下： 设体验时编程挑战得分，手工创作得分，则正式计分时编程挑战得分，手工创作得分． 根据题意可列方程为：． 解得， ∴编程得（分）， 手工创作得（分）， ， ∴给这个同学颁发金奖， 答：给这个同学颁发金奖． 【分析】先设出体验时编程挑战得分，手工创作得分，利用两项共得123分求出x的值，即可计算得出编程得分与手工创作得分，根据获奖条件即可求解． 【详解】略 15．某校组织知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了五位参赛者的得分情况．根据表格提供的信息解答下列问题： 参赛者 答对题数 ？ 答错题数 0 1 5 6 ？ 得分 ？ (1)每答对一题得___________分，每答错一题得___________分； (2)参赛者同学说他得了分，求他答对了多少道题？ 【答案】(1)，； (2)道 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是先通过已知数据确定答对和答错的分值，再利用方程求解未知量． （1）首先利用参赛者的满分情况直接计算答对一题的得分，再结合其他参赛者的得分求出答错一题的分值； （2）设同学答对题数为未知数，根据“总得分答对题得分答错题得分”的等量关系建立一元一次方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵参赛者答对题得分， ∴每答对一题得分； 设每答错一题得分，由参赛者的得分情况可得：， 解得； 故答案为：；； （2）解：设参赛者答对了道题，则答错了道题， 根据题意列方程：， 解得：； 答：参赛者答对了道题． 16．在某次足球联赛中，A组共有6支队伍进行比赛，根据赛程，每队在小组赛中共计进行15场比赛，如表是小组赛第二轮积分榜： 代表队 场次 胜场 平场 负场 积分 火焰 逐梦者 未来巨人 飞人联盟 超音速 飞翔之鹰 （说明：积分胜场积分平场积分负场积分） (1)本次比赛中胜一场积_____分，平一场积_____分，负一场积_____分； (2)已知火焰队在剩余的场比赛中一共输了场，最终以场比赛总积分分获得出线资格．那么火焰队在剩余的13场比赛中一共赢了几场？ 【答案】(1)，， (2)场 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用． （1）借助表格中各队伍的比赛场次、胜平负场数与积分的对应关系，通过计算推导胜、平、负一场的积分值； （2）根据总积分的构成，设未知数建立一元一次方程，求解火焰队剩余比赛的胜场数． 【详解】（1）解：由未来巨人队场平积分，可得平一场积分． 由火焰队胜平积分，可得胜一场积分． 由超音速队平负积分，可得负一场积分． 故答案为：，，． （2）解：设火焰队在剩余的场比赛中赢了场剩余场输了场，所以平的场次为场 已知火焰队前场积分，总积分分． 根据积分规则列方程： 解得 答：火焰队在剩余的场比赛中一共赢了场． 【题型5 方案选择】 17．延庆区某中学七年级（1）（2）两个班共104人，要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如图： 购票张数1~50张 每张票的价格为13元 购票张数51∼100张 每张票的价格为11元 购票张数100张以上 每张票的价格为9元 其中（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1240元． (1)两个班各有多少学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去博物馆参观，你认为如何购票最省钱？ 【答案】(1)七年级（1）班48人，七年级（2）班56人 (2)304元 (3)购买51张票划算些 【分析】（1）设七年级（1）班人，则七年级（2）班人，  根据两个班共付费1240元建立方程求出其解就可以； （2）先求出购团体票的费用，再用1240 元团体票的费用就是节约的钱； （3）先可以计算按照实际人数购票的费用，再计算购买51个人的票的费用， 比较两个费用的大小就可以得出结论． 【详解】（1）解：设七年级（1）班人，则七年级（2）班人， 由题意可得： ， 解得， 则 ． 答：七年级（1）班48人，七年级（2）班56人． （2）解：（元）． （3）解：七年级（1）班按照实际人数购票的费用为： 元， 购51张票的费用为：元． ， ∴购买51张票划算些． 18．小李去临沂滨河乐园游玩，乐园推出两种购票优惠： 方式一：“60元抵90元”代金券（实付60元得90元券），一次最多用2张，代金券金额不能超过应付总金额． 方式二：门票不打折，其余游乐项目全部a折． (1)若消费总额为130元，用方式一实际付款______元； (2)小李买了40元门票和200元游乐项目，用方式二付款160元，求a的值； (3)在（2）的条件下，如果小李计划花费220元（含买券费用）游玩，为了体验更多金额的游乐项目，小李应该选择哪种方式？（门票不计入游乐项目）？ 【答案】(1)100 (2)6 (3)方式二 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）设游乐项目折扣为a折，用方式二付款160元，据此列出方程并解方程即可； （3）分别计算出两种方式的费用，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，用方式一实际付款（元） 故答案为：100 （2）解：设游乐项目折扣为a折， 根据题意得，， 解得，， 答：a的值为6． （3）解：方式一：设花费220元能体验原价y元游乐项目， 由题意得，， 解得，， 即花费220元能体验原价240元游乐项目， 方式二：设花费220元能体验原价z元游乐项目， 由题意得，， 解得，， 即花费220元能体验原价300元游乐项目， 所以，方式二能体验更多金额的游乐项目． 19．保康市场销售某种商品，分为A、B两种款式，已知A款商品每个的进价是50元，售价是80元，B款商品每个的售价是60元，可盈利．提示：利润率×进价=售价−进价． (1)A款商品每个的利润率是 ，B款商品每个的进价是 元． (2)该市场购进A、B两款商品共计200个，总进货款8400元，请你计算一下A、B两款商品各进货多少个？ (3)春节临近，该市场推出如下的优惠促销活动（打折前一次性购物总金额）： ①不超过900元，不优惠 ②超过900元，但不超过1200元，按总售价打九折 ③超过1200元，其中1200元部分八折优惠，超过1200元的部分打六折优惠， 小张按照优惠活动方案在该市场购买A款商品若干个，实际付款金额为1008元，请你通过计算分析，小张在该市场购买了多少个A款商品？ 【答案】(1)，40 (2)购进40个A款商品，160个B款商品 (3)小张在该市场购买了14或16个A款商品 【分析】本题考查了利润率的计算，一元一次方程的应用及根据不同优惠方案进行分类讨论计算． （1）利用利润率公式和售价与进价的关系计算； （2）设未知数，根据进货款列方程求解； （3）依据不同打折规则分类计算并列出方程求购买数量． 【详解】（1）解：A款商品每个的利润率：， B款商品每个的进价：（元）， 故答案为：，40． （2）解：设购进x个A款商品，则购进个B款商品， 根据题意，得， 解得， ∴， 即购进40个A款商品，160个B款商品． （3）解：设A款商品原付款金额为y元， ∵， ∴进行如下分类： ①当时，， 解得，则（个）； ②当时，， 解得，则（个）， 即小张在该市场购买了14或16个A款商品． 20．遵辣1号系贵州遵义虾子镇的特产辣椒品种，因其香辣浓郁、皮薄肉厚、色泽鲜亮、辣味纯正而著称．小温家种植了一片遵辣1号辣椒，每日需对辣椒进行采收并完成分拣装筐工作．据了解，每人每日能够采摘120千克辣椒或分拣装筐280千克辣椒．新鲜辣椒的售价为每千克8元，干辣椒的售价为每千克30元． (1)小温家雇佣了20名工人进行采摘和分拣装筐，每名工人一天只能做一项工作，不计其他因素，要使每天采摘的辣椒全部分拣装筐，应如何分配工人？ (2)一位商贩计划购买100千克的干辣椒和a千克（）新鲜辣椒．小温提供了两种优惠方案： 方案一：每买5千克的干辣椒，赠送3千克的新鲜辣椒； 方案二：每千克干辣椒和新鲜辣椒都按定价打九折付款． ①按购买方案一需支付费用______元；按购买方案二需支付费用______元；（请用含a的代数式表示） ②当a为何值时，两种购买方案的费用一样． 【答案】(1)有14名工人采摘，则有6名工人分拣装筐 (2)①；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找出等量关系是解题的关键． （1）设有名工人采摘，则有名工人分拣装筐，根据采摘的数量等于分拣装筐的数量列方程即可； （2）①根据题意列代数式并化简即可； ②根据两种购买方案的费用一样建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：设有名工人采摘，则有名工人分拣装筐，由题意得 解得， ， 答：有14名工人采摘，则有6名工人分拣装筐； （2）①方案一：（元）， 方案二：（元）； ②由题意得 解得． 【题型6 数字问题】 21．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小3，十位上的数字与个位上的数字之和等于9，求这个两位数． 【答案】36 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．设十位上的数字为x，则个位上的数字为，根据十位上的数字与个位上的数字之和等于9，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为． 依题意，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得， 所以． 故这个两位数为36． 22．【阅读理解】 如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，称循环小数．例如，，写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如，、，它们可分别写作、，像这样的循环小数称为混循环小数． 【问题探究】 小明课后探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如，化为分数，解决方法是：设，即，将等式两边都乘以10，得，又因为，所以，所以，即，所以． 【问题解决】 (1)把化为分数为_______； (2)请利用小明的方法，把纯循环小数化为分数； (3)请类比小明的方法，试把混循环小数化为分数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键在于理解掌握“问题探究”的解题方法． （1）类似于“问题探究”的解题方法求解，即可解题； （2）解题方法与（1）类似； （3）解题方法与（1）类似，注意对不循环的数的处理． 【详解】（1）解：设，得， 所以， 所以， 即，所以， 故答案为：． （2）解：设，即， 等式两边都乘以100，得：， 所以，即， 所以， 即把纯循环小数化为分数为：； （3）解：方法一：设，即， 等式两边都乘以100，得：， 所以， 所以，即， 所以，即把混循环小数化为分数为：． 方法二：． 设，即， 等式两边都乘以10，得：， 所以，即，解得 所以， 即把混循环小数化为分数为：． 方法三：设，即， 等式两边都乘以10，得：， 等式两边都乘以100，得：， 两等式相减得，． 所以，即把混循环小数0.35化为分数为． 23．相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5． (1)如图2所示，则幻和=______； (2)若，求图2中的值； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当时，则的值为多少？ 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查一次方程应用及有理数加法运算，解题关键是熟知“九宫图”的填法． （1）幻和为的3倍； （2）根据幻和为，列方程可得到答案； （3）根据规律，用正方形左边和上方三角形三个顶点上的数字之和等于右边和下方三角形三个顶点上的数字之和及、的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，幻和， 故答案为：； （2）如图： 由（1）知：， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）根据题意得；则 则 24．如图的数阵是由全体正奇数排成． (1)计算十字框内的五个数的和，并说明与中间数27有什么关系？若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数的和还有这种规律吗？ (2)十字框中五个数之和能等于2024吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) 解：由题意，得，， 所以十字框内的五个数的和是中间数27的5倍； 设十字架框内中间的数为x，则其余的4个数分别为，，，， 根据题意，得， ∴这五个数的和还是中间这个数的5倍； (2)解：不存在十字框中五个数之和等于2024，理由： 设十字架框内中间的数为y，其余的4个数分别为，，，， 根据题意，得， 解得：， ∵是小数，不是整数， ∴不存在十字框中五个数之和等于2024． 【分析】本题考查整式的加减运算，一元一次方程的应用．读懂题意，正确的列出代数式和方程，是解题的关键． （1）求出五个数的和，进而得到规律，设十字架框内中间的数为x，表示出其他数，求和后，即可得出结论； （2）设十字架框内中间的数为y，根据题意，列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 【题型7几何问题】 25．广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章．现需将一幅长为6米，宽为4米的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示．设边饰的宽度为x米． (1)挂画的长为__________米，挂画的宽为__________米（分别用含x的式子表示）； (2)若镶上边饰后整幅挂画的长度为8米，求整幅挂画的面积． 【答案】(1)， (2)整幅挂画的面积为48平方米 【分析】本题主要考查了代数式表示数，一元一次方程的实际问题，理解图示，正确表示出挂画的长与宽是解题的关键． （1）根据图示信息用代数式表示即可； （2）根据题意列一元一次方程求出挂画的长与宽，再结合面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：由图知，挂画的长为米，挂画的宽为米； 故答案为：，； （2）解：依题意得：， 解得， 所以挂画的宽为6米， 挂画的面积为：（平方米）， 答：整幅挂画的面积为48平方米． 26．如下图，在等腰直角三角形中，，．正方形的边长也为．点，，，在同一条直线上，且．现将的两条直角边以的速度加长．同时正方形也以的速度沿直线向右平移．设时间为． (1)在变化过程中，等腰直角三角形的直角边长为_____cm，面积为 ．（用含的式子表示） (2)在变化过程中，当为何值时，的斜边恰好经过正方形的顶点？ 【答案】(1)，； (2)4或7或10． 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的相关内容是解题的关键； （1）由三角形初始边长加上变长的速度乘以时间即为加长后的边长，根据三角形面积公式列出三角形的面积； （2）分类讨论，分别是斜边MN经过点A，经过点B、D，经过点C三种情况；根据三种情况列出符合情况的式子解出t的值即可． 【详解】（1）解：直角边加长速度为：，时间为t， 则边长为cm， 根据面积公式可得：； （2）解：当斜边恰好经过点时， ， 解得； 当斜边恰好经过点时， ， 解得； 当斜边恰好经过点时， ， 解得． 综上所述，当为4或7或10时，的斜边恰好经过正方形的顶点． 27．“数韵几何，智解生活”的校园数学文化节中，某一展区“完美长方形”示意图的呈现，吸引了众多学生．如图所示，1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，若标注为1号和2号的正方形边长分别为1米，x米． 【初步探究】 （1）请用含的代数式分别表示出3号正方形的边长为__________米；4号正方形的边长为__________米：5号正方形的边长为__________米；6号正方形的边长为__________米． 【深入思考】 （2）观察图形的特点可知，完美长方形相对的两边是相等的（即），根据等量关系，求出的值． 【解决问题】 （3）在文化节的“数学应用擂台”中，组委会提出了实际问题：若“完美长方形”是某市民健身广场的平面示意图，现沿着完美长方形的四条边（、、与）铺设下水管道，如果由甲、乙两个工程队单独铺设分别需要8天、12天完成，现两队从同一点开始，沿相反的方向同时施工2天后，因甲队另有任务，余下由乙队单独施工，请问乙队还要多少天完成？甲、乙两个工程队各铺设多少米？ 【答案】（1）；；；；（2）；（3）乙队还要7天完成．甲工程队铺设米，乙工程队铺设米 【分析】（1）根据图形列出代数式，分别表示出各个正方形的边长即可； （2）根据列出关于x的方程，解方程即可； （3）设乙队还要m天完成，将整个工程看作单位1，列出方程，解方程得出m的值，求出长方形的周长为米，再分别求出甲、乙两个工程队各铺设的长度即可． 【详解】解：（1）设第10号正方形的边长为y米， 3号正方形的边长为米， 4号正方形的边长为米， 5号正方形的边长为米， 7号正方形的边长为米， 8号正方形的边长为米， 9号正方形的边长为米， ∴， 解得：， ∴ 米， ∴6号正方形的边长为： 米； （2）7号正方形的边长为米， 8号正方形的边长为米， 9号正方形的边长为米， ∵， 解得：； （3）设乙队还要m天完成，根据题意得： ， 解得：， （米）， （米）， 长方形的周长为：（米）， 甲工程队铺设（米）， 乙工程队铺设（米）， 答：乙队还要7天完成．甲工程队铺设米，乙工程队铺设米． 【点睛】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． 28．如图①，将一张长为、宽为的长方形纸片的四个角分别剪去边长为的小正方形，将剩下部分折成如图②所示的一个无盖长方体盒子． (1)若，则无盖长方体盒子的体积为多少？ (2)若无盖长方体盒子的底面的长是宽的2倍，求该无盖盒子的体积． 【答案】(1) (2)该无盖盒子的体积为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，长方体展开图的特点，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键． （1）根据无盖长方体盒子的体积等于底面长方形的长乘以宽的结果乘以其高，根据求出长方体盒子的底面长方形的长和宽，以及其高即可得到答案； （2）无盖长方体盒子的底面的长为，宽为，根据关键描述语“底面长方形的长是宽的2倍”列出方程并解答；然后由长方体的体积公式求其体积即可． 【详解】（1）解：（1）由图可知，长方体盒子的长为，宽为，高为， 当时，， ∴此时，折成的无盖长方体盒子的体积； （2）解：由题意知，无盖长方体盒子的底面的长为，宽为， ∴， 解得， ∴，， ∴该无盖盒子的体积为． 答：该无盖盒子的体积为． 【题型8 动点问题】 29．已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且，A、B之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出a，b，的值，________，________，________． (2)如图点M，N，P是数轴上三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x ①若，则________； ②若点P表示的数是，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8？ 【答案】(1) (2)①或6.5 ②2.5秒或10.5秒 【分析】（1）根据绝对值的非负性求出a，b的值，再根据两点之间距离公式解答； （2）①先根据题意可得或，再分两种情况讨论得出答案；②先求出蚂蚁所在的点到点M，点N的距离之和是8的点，再列方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴且， 解得， ∴A，B两点之间的距离为； （2）解：①∵， ∴或． 当时，， 解得； 当时，， 解得， 所以或6.5； ②设经过t秒，点P运动到点Q（Q表示的数是y）时，蚂蚁所在的点与点M，点N的距离之和是8， 当时，， 解得； 当时，， 方程无解； 当时，， 解得， ∴或， 解得或， 所以当经过2.5秒或10.5秒时，蚂蚁所在的点与点M，点N的距离之和是8． 30．【知识引导】 在数轴上，当一个点在另一个点的右侧时，这两点之间的距离等于右侧的点所对应的数减去左侧的点所对应的数．例如：点、在数轴上对应的数分别为、，则点在点的右侧，点、之间的距离为． 【初步探究】 如图，在一条数轴上，从左往右依次有、、三点，它们对应的数分别为、、． (1)点到原点的距离是______；、两点之间的距离是______． (2)数轴上一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负半轴方向匀速运动．当运动时间为秒时，求点对应的数，以及、两点之间的距离． 【拓展提升】 数轴上的动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正半轴方向运动；同时，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负半轴方向运动．设、的运动时间均为t秒． (3)①当、两点相遇时，求的值； ②当、两点相距个单位长度时，求的值； ③当点到原点的距离恰好是点到原点距离的倍时，直接写出的值． 【答案】(1)6；3 (2)P对应−3，C、P距离为1 (3)①；②或；③或． 【分析】（1）点在原点右侧，用“右侧的点所对应的数减去左侧的点所对应的数”求点到原点的距离；点在点右侧，同法求、两点之间的距离； （2）先由“路程速度时间”求出点运动的路程，再按运动方向确定点对应的数，最后按“右侧的点所对应的数减去左侧的点所对应的数”求、两点之间的距离； （3）设运动时间为秒，则点对应的数为，点对应的数为：相遇即两点对应的数相等，列一元一次方程；两点相距个单位长度，需按相遇前、相遇后两种情况，用“右侧的点所对应的数减去左侧的点所对应的数”列方程；倍数关系需按点、点与原点的位置关系分类列方程，并根据的取值范围检验所得的解． 【详解】（1）解：点、、对应的数分别为、、，原点对应的数为， ∵点对应的数是，点在原点右侧， ∴点到原点的距离为． ∵点在点的右侧， ∴、两点之间的距离为． （2）解：点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负半轴方向运动秒，共运动个单位长度， ∵点向数轴负半轴方向运动，对应的数不断减小， ∴点对应的数为． ∵点对应的数为，点对应的数为，且，即点在点的右侧， ∴、两点之间的距离为． （3）解：运动秒后，点对应的数为，点对应的数为． ①、两点相遇时，它们对应的数相等， ∴， 解得． ②、两点相距个单位长度，分两种情况： 相遇前，点在点的右侧， 则， 即，解得． 相遇后，点在点的右侧， 则， 即，解得． 综上，当、两点相距个单位长度时，的值为或． ③点到原点的距离恰好是点到原点距离的倍，按点、点与原点的位置关系分三种情况： 当时，点在原点左侧，点在原点右侧， 则点到原点的距离为，点到原点的距离为， ∴， 解得， ∵， ∴不符合，舍去． 当时，点、点都在原点右侧， 则点到原点的距离为，即，点到原点的距离为， ∴， 解得， ∵， ∴符合题意． 当时，点在原点右侧，点在原点左侧， 则点到原点的距离为，点到原点的距离为， ∴， 解得， ∵， ∴符合题意． 当或时，点、点中恰有一点在原点，它到原点的距离为，而另一点到原点的距离不为，不满足倍关系， 综上，的值为或． 31．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫作数形结合思想．点是数轴上不重合的两个点，且点在点的左边，点是线段的中点．点分别表示数．请回答下列问题： 【初步探究】 （1）若，，则_____，的值为_____； （2）如图①，利用数轴思考探究，请用含，的式子表示； 【拓展应用】 （3）如图②，若，，动点，分别从，两点同时出发，沿数轴正方向运动．点的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度．若点是的中点，点是的中点，求运动多长时间时，点之间的距离为3个单位长度？ 【答案】（1）3，5．（2）；（3）运动12秒或24秒时，点之间的距离为3个单位长度 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，两点间的距离，中点的定义，一元一次方程的应用等知识． （1）先求出，根据中点定义得到，即可得到的值为5； （2）先表示出，根据中点定义得到，即可得到； （3）设运动时间为t秒，则点表示的数为，点表示的数为．根据中点定义得到点表示的数为，点表示的数为．当点之间的距离为3个单位长度时，分为点在点左侧和点在点右侧，两种情况列方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）因为，， 所以， 因为点是线段的中点， 所以， 所以． 故答案为：3,5； （2）由题意得． 因为点是线段的中点． 所以． 所以； （3）设运动时间为t秒，则点表示的数为，点表示的数为． 因为点是的中点，点是的中点， 所以点表示的数为，点表示的数为． 当点之间的距离为3个单位长度时，分为以下两种情况： 若点在点左侧，则， 解得； 若点在点右侧，则， 解得． 综上所述，运动12秒或24秒时，点之间的距离为3个单位长度． 32．第22届中国—东盟博览会于2025年9月17日—18日在广西南宁举办．东盟博览会上宇树机器人成为全场焦点．机器人与孩子们萌萌的互动，引发阵阵笑声．前沿的AI技术从概念变为普通人可以感知和理解的体验．已知机器人的电量消耗与移动距离和完成动作次数相关，具体信息如下： ①每移动1米消耗2个单位电量； ②每完成1次动作（如抓取、旋转）消耗5个单位电量． ③初始电量为100个单位，当电量低于10个单位时自动停止工作并返回点充电． 【问题】 如图所示，已知数轴上点A、B分别表示的数为与的距离为6m，机器人P、Q的移动的速度分别是和． (1)若机器人从点向左移动到原点，然后完成3次动作，求此时的剩余电量； (2)若机器人从点出发，先移动一段距离至工作区，完成若干动作后剩余电量为40单位．已知机器人移动的距离是执行动作次数的2倍还多12米．求机器人移动的距离和完成动作的次数； (3)若机器人P、Q分别在点A、B完成2个旋转后同时沿数轴向左匀速移动表演“你追我赶”，问机器人P、Q需要多少时间才能完美相遇？表演结束后它们能否顺利返回点充电？ 【答案】(1)此时的剩余电量为73单位； (2)机器人Q移动的距离为20米，完成动作的次数为4次； (3)机器人P、Q需要4秒才能完美相遇，表演结束后它们能顺利返回点充电。 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用． （1）首先计算机器人P从点A移动到原点的电量消耗，再计算完成3次动作的电量消耗，最后用初始电量减去总消耗电量，得到剩余电量； （2）设机器人Q完成动作的次数为x，根据电量消耗与移动距离和完成动作次数的关系，以及已知的剩余电量，列出方程求解； （3）首先计算机器人P、Q完成2个旋转后的电量消耗，再根据它们的移动速度和初始位置，计算相遇时间；最后，根据相遇时间计算它们返回点的电量消耗，判断是否能顺利返回点充电． 【详解】（1）解：机器人P从点A移动到原点的电量消耗为(单位) ， 完成3次动作的电量消耗为(单位) ， 总消耗电量为(单位) ， 剩余电量为 (单位) ， 答：此时的剩余电量为73单位； （2）解：设机器人Q完成动作的次数为x， 机器人Q移动的距离为米， 可列出方程， 解得， 机器人Q移动的距离为(米) ， 答：机器人Q移动的距离为20米，完成动作的次数为4次； （3）解：机器人P、Q完成2个旋转后的电量消耗为(单位) ， A与B的距离为(米) ， 它们的速度差为(米/秒) ， 相遇时间为(秒) ， 机器人P移动的距离为(米)，机器人Q移动的距离为(米) ， 机器人P、Q完成2个旋转后，剩余电量为(单位) ， 机器人P返回点的电量消耗为(单位)， 机器人Q返回点的电量消耗为(单位) ， 机器人P返回点后，剩余电量为(单位)，大于10单位，所以能顺利返回点充电， 机器人Q返回点后，剩余电量为(单位)，大于10单位，所以能顺利返回点充电， 答：机器人P、Q需要4秒才能完美相遇，表演结束后它们能顺利返回点充电． 33．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，以单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．点运动到点时停止，此时点也随之停止．设运动的时间为秒．问： (1)动点从点运动至点需要多少时间？ (2)、两点相遇时，求出相遇点所对应的数是多少； (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】(1)需要15秒 (2)相遇点所对应的数是 (3)的值为、或时 【分析】（1）由路程、速度、时间三者关系分两段求出各段时间，再相加求出总时间为即可； （2）根据相遇时、的时间相等列方程求解即可； （3）分、两点相遇前和相遇后两种情况求解即可． 【详解】（1）解：（1）点运动至点时，所需时间（秒）； （2）（2）由题可知，、两点相遇在线段上于处，设， 则， 解得， 故相遇点所对应的数是； （3）（3）、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等有种可能： ①动点在上，动点在上，则：，解得：， ②动点在上，动点在上，则：，解得：， ③动点在上，动点在上，则：，解得：， ④动点在上，动点在上，则：，解得：， ∵点运动到点时停止，此时点也随之停止， ∴舍去； 综上所述：的值为、或． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏． 【题型9 和差倍分问题】 34．淘气攒了1元硬币和5角硬币这两种硬币，总共75元．其中5角硬币占总枚数的，淘气一共攒了多少枚硬币？（列方程解答） 【答案】淘气一共攒了枚硬币． 【分析】设淘气一共攒了x枚硬币，根据5角元，共有75元，列出方程即可． 【详解】解：5角元， 设淘气一共攒了x枚硬币， 根据题意，得 ， 答：淘气一共攒了枚硬币． 35．今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，若每人种3棵，则剩余20棵；若每人种4棵，则还缺25棵．求该班的学生人数和这批树苗的数量． 【答案】该班学生人数为45人，这批树苗数量为155棵 【分析】先设该班的学生人数为x人，根据题意可知两种种植方式下，树苗的总数量是不变的，从而列出一元一次方程求得学生人数，再将学生人数代入“每人种3棵，则剩余20棵”的表达式中，即可求得这批树苗的数量． 【详解】解：设该班的学生人数为x人， 由题意得，， 解得， ∴这批树苗的数量是（棵）， 即该班学生人数为45人，这批树苗数量为155棵． 36．为迎接校运动会，六年级分为A、B两组同学，共做了99面红旗．如果A组再做3面，B组少做4面，那么这时B组的红旗面数将比A组的红旗面数的多8面． (1)A组和B组各制作了多少面红旗？（用方程求解） (2)将B组做的红旗插在短跑直线赛道的两旁，每隔5米插一面，两端都插，则这条赛道长多少米？ 【答案】(1)A组制作47面红旗，B组制作52面红旗 (2)125米 【分析】（1）设A组制作了面红旗，故B组制作了面红旗，根据题意中的等量关系列出一元一次方程进行解题即可； （2）根据植树问题列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设A组制作了面红旗，故B组制作了面红旗， 根据题意可得， 解得， B组， 答：A组制作47面红旗，B组制作52面红旗； （2）解：米， 答：这条赛道长125米． 37．草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多．已知小康平均每小时采摘，小悦平均每小时采摘，那么两人采摘的时长是多少小时？ 【答案】两人采摘了1.2小时 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程；设两人采摘了x小时，根据小康采摘的草莓比小悦多列方程即可． 【详解】解：设两人采摘了x小时， 依题意：， 解得， 答：两人采摘了小时． 【题型10 电费和水费问题】 38．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 【答案】(1)； (2) 老李家11月份的用电量为300度 【分析】（1）利用10月的用电数据列等式求，再按阶梯电价分三档计算420度的总电费； （2）先通过临界电费判断用电量所属档位，再列一元一次方程求解； 【详解】（1）解：∵用电200度未超过240度，属第1档， ∴，解得， 用电420度时，分三档计费： 第1档费用：（元）， 第2档费用：（元）， 第3档费用：（元）， 总电费：（元）； （2）解：用电240度时，电费为（元）， 用电400度时，电费为（元）， ∵， ∴11月份用电量在第2档， 设11月份用电量为度， 则， 解得， 答：老李家11月份的用电量为300度． 39．某市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过时，按2元/计算：月用水量超过时，其中的仍按2元/计算，超过部分按2.5元/计算．设某户家庭月用水量； (1)当时，水费为________元； 当时，水费为________元；（用含x的式子表示） (2) 月份 10月 11月 12月 用水量 15 22 a 小花家第四季度用水情况如上表，小花家这个季度共缴纳水费125元，请你求出小花家12月份用水量a的值？ 【答案】(1)当时，水费为34元；当时，水费为元 (2)小花家12月份用水 【分析】（1）根据收费方式，求出水费，列出代数式即可； （2）根据题意和收费方式，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：当时，水费为元； 当时，水费元； （2）解：由题意得，小花家10月份，11月份共交水费（元）， 则12月份水费为（元） ， ∴， ∴小花家12月份的用水量为，超过20吨的部分为， ， 解得：． 答：小花家12月份用水量为． 40．为鼓励市民节约资源，某市实施阶梯电价制，居民生活用电价格表如下： 档次 月用电量 电价(元/度) 第1档 不超出200度的部分 0.5 第2档 超出200度但不超出400度的部分 0.6 第3档 超出400度的部分 0.8 (1)若某用户2025年7月份的用电量为270度，则需缴电费为多少元? (2)设小辰家8月份用电量为x度， ①若小辰家8月份用电量属于第2档，请用含x的代数式表示出她家8月应缴的电费金额； ②若小辰家8月份所缴电费是190元，则她家8月份用电多少度? (3)设小辰家12月份用电量为y度，若小辰家12月份用电量属于第3档，请用含y的代数式表示出她家12月应缴的电费金额． 【答案】(1)该用户7月份需缴电费为142元 (2)①小辰家8月应缴的电费金额是元；②她家8月份用电350度 (3)小辰家12月应缴的电费金额是元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先判断用电量所在档次，再按对应电价分段计算电费并求和即可得出结果； （2）①根据对应电价分段计算电费并求和即可列出代数式；②先判断出小辰家8月份用电量属于第2档，再根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （3）根据对应电价分段计算电费并求和即可列出代数式． 【详解】（1）解：∵某用户2025年7月份的用电量为270度， ∴需缴电费为： （元）， 该用户7月份需缴电费为142元； （2）解：①∵小辰家8月份用电量属于第2档， ∴她家8月应缴的电费金额为元； ②元，元， ∵， ∴小辰家8月份用电量属于第2档， ∴， ∴， ∴她家8月份用电350度； （3）解：∵设小辰家12月份用电量为y度，且小辰家12月份用电量属于第3档， ∴元 ∴小辰家12月应缴的电费金额是元． 41．购买空调时，需综合考虑售价与耗电成本．某款1.5匹空调有两款型号可供选择，其部分基本信息如下表所示．已知当地电价为0.5元/，请根据信息解答下列问题： 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/ 购买并使用能效空调的综合费用（元） 1级 3000 640 ______ 3级 2600 800 ______ 备注：（综合费用售价总电费）； (1)完成表格：设使用年限为（且为整数）年，分别写出购买并使用1级、3级能效空调的综合费用（元）（用含的代数式表示）． (2)使用年限是多少年时，两款空调的综合费用相同？ (3)从经济角度考虑若未来电价调整为0.6元/，预计使用8（安徽家庭空调平均使用年限约8－12年）年，此时选择哪款空调更划算？说明理由． 【答案】(1) 能效等级 售价／元 平均每年耗电量／ 购买并使用能效空调的综合费用（元） 1级 3000 640 3级 2600 800 (2)使用年限是年时，两款空调的综合费用相同； (3)此时选择1级能效空调更划算，理由如下： 由题意，得使用1级能效空调年的综合费用为（元），3级能效空调年的综合费用为（元）； ， 此时选择1级能效空调更划算． 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用以及有理数四则运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据综合费用空调售价电费，即可表示出1级能效空调的综合费用和3级能效空调的综合费用； （2）根据（1）的代数式，当两个代数式相等时，两款空调的综合费用相同，据此列方程求解； （3）分别计算出1级能效空调年的综合费用和3级能效空调年的综合费用，比较即可． 【详解】（1）解：根据题意，得使用1级能效空调的综合费用为元，3级能效空调的综合费用元； （2）解：由（1）知使用1级能效空调的综合费用为元，3级能效空调的综合费用元； 由题意得 解得， 答：使用年限是年时，两款空调的综合费用相同； （3）略 42．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2025年1月用水15吨，交水费30元；2月份用水26吨，交水费61元． (1)求a，b的值； (2)如果小王家3月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ 【答案】(1) (2)40吨 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据收费方法，列出方程进行求解即可； （2）设小王家这个月用水吨， 根据题意，列出方程进行求解即可； 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：， ∴， 解得：； （2）由题意可知，（元），（元），（元）． 设小王家这个月用水吨， 由题意，得， 解得． 答：小王家这个月用水40吨． 【题型11 行程问题】 43．育英学校六年级学生步行到郊外旅行.六（1）班的学生组成前队，步行速度为，六（2）班的学生组成后队，速度为.前队出发后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为 ． (1)后队出发后，经过多长时间可以追上前队？ (2)联络员出发后追上前队时，距离后队有多远？ 【答案】(1)后队出发后，经过2小时可以追上前队 (2)联络员出发后追上前队时，距离后队有 【分析】（1）设后队出发后，经过小时追上前队，以路程为等量关系列方程求解； （2）设联络员出发小时后追上前队，根据路程为等量关系列方程求解． 【详解】（1）解：设后队出发后，经过小时追上前队，根据题意，得 解得 答：后队出发后，经过2小时可以追上前队； （2）解：设联络员出发小时后追上前队，根据题意，得 解得 所以 答：联络员出发后追上前队时，距离后队有． 44．某校组织七年级学生到东西文化馆开展研学活动，团委书记带领学生以4千米/时的速度步行前往．出发30分钟时，书记发现忘记带横幅，立即通知学校的罗老师骑电动车送来．罗老师接到通知后，以16千米/时的速度沿同一路线追赶学生队伍，最终他们同时到达东西文化馆．求： (1)出发多远发现忘记带横幅？ (2)学校到东西文化馆的路程是多少千米？（列方程求解） 【答案】(1)学生队伍出发2千米发现忘记带横幅 (2)学校到东西文化馆的路程是千米 【分析】（1）用速度乘以时间进行计算即可； （2）设学校到东西文化馆的路程是x千米，根据最终他们同时到达东西文化馆，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：（千米）， 答：学生队伍出发2千米发现忘记带横幅； （2）解：设学校到东西文化馆的路程是x千米，依题意得 ， 解得，； 答：学校到东西文化馆的路程是千米. 45．已知甲、乙两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)若甲、乙两船从A港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，则后两船相距多远？ (2)若甲船从A港口顺水航行到达B港口；从B港口返回A港口逆水而行，用了，求水流速度． 【答案】(1)后甲，乙两船相距 (2)水流的速度为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减运算的实际应用，正确掌握船在水中顺流与逆流时的速度关系是解题关键． （1）首先根据题意得出甲船顺水时的航行速度为，乙船逆水时的航行速度为，由此即可得出二者4小时后各自的航行距离，据此进一步计算即可得出答案． （2）根据往返路程相等列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 答：后甲，乙两船相距； （2）解：根据题意得， 得， 答：水流的速度为 46．综合与实践 问题情境 迎泽公园作为太原市核心城区的大型综合性公园，兼具生态、休闲、文化、健身等多重作用．迎泽公园内有一条全长约的墨绿色塑胶跑道（跑道首尾相连），环绕全园，深受跑步爱好者的喜爱．周日，小王和爸爸去迎泽公园这条墨绿色塑胶跑道上进行慢走，已知小王的速度为，爸爸的速度为． 问题解决 (1)如果小王和爸爸从同一起点同时出发，沿相反方向慢走．那么小王慢走后多长时间与爸爸首次相遇？ (2)如果小王和爸爸从同一起点出发，爸爸先走10分钟，然后小王沿相同方向慢走． ①小王用多长时间能追上爸爸？ ②在爸爸首次回到起点前，当小王和爸爸之间的路程相距时，请直接写出此时小王出发了多长时间． 【答案】(1)小王慢走后与爸爸首次相遇 (2)①小王用能追上爸爸；②小王出发了或 【分析】本题考查了一元一次方程与实际问题，关键是审明题意找到恰当的等量关系列方程； （1）根据两人的路程之和等于跑道全长列方程； （2）①根据两人的路程相等列方程；②两人相距一定的距离需分情况讨论列方程求解. 【详解】（1）解：设小王慢走后与爸爸首次相遇， ， 解得：， 答：小王慢走后与爸爸首次相遇； （2）①解：设小王用能追上爸爸， ， 解得：， 答：小王用能追上爸爸； ②解：设小王出发， 当爸爸在小王前面时， ， 解得：； 当爸爸在小王后面时， ， 解得：， 综上：或， 答：小王出发了或. 【题型12 古代问题】 47．《九章算术》卷第七“盈不足”有如下记载：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数琎价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱．问人数，琎价各是多少？ 【答案】人数是42，琎价是17钱 【分析】本题考查了一元一次方程组的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．设有x人合伙购物，物价为y钱，根据“每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱”即可得出关于x的方程组，解方程组即得答案． 【详解】解：设有x人合伙买琎石，根据题意，得： ， 解得：， （钱）， 答：有42人合伙购物，物价为17钱． 48．列方程解答下面的问题． 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一．《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？” 译文：“今有人坐一辆车，有辆车是空的；人坐一辆车，有个人需要步行．问人与车各多少？” 【答案】共有人，辆车 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解答本题的关键． 设共有人，根据车的辆数不变列出方程解答即可． 【详解】解：设共有人， 由题意，得， 解得， 所以， 答：共有人，辆车． 49．古希腊有一位伟大的数学家叫丢番图，他的墓碑留下了可贵的资料，碑文大意如下：他一生的 是幸福的童年， 是无忧无虑的青年．又过了一生的 ，丢番图结了婚．再过5年儿子出生，可这孩子在世界上的时间只有他父亲的一半．儿子去世以后，丢番图在悲痛中又活了4年，也去世了．你能算出丢番图活了多少岁吗？ 【答案】84岁 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据丢番图一生各阶段的时间占比和具体年数，找出等量关系列出方程求解． 设丢番图活了x岁，分别表示出童年、青年、结婚后到儿子出生前、儿子在世及悲痛中生活的时间，根据各阶段时间之和等于他的总年龄列方程求解即可． 【详解】解：设丢番图活了x岁，根据题意得： ， 解得：． 答：丢番图活了84岁． 50．《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 【答案】小和尚有人，大和尚有人． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设小和尚有人，则大和尚有人，根据个馒头列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小和尚有人，则大和尚有人， 由题意得，， 解得， （人）， 答：小和尚有人，大和尚有人． 【题型13 其他问题】 51．某航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运行李，超过部分每千克按飞机票价的购买行李票．一位乘坐经济舱的旅客托运了行李，机票连同行李费共付了元，求这位旅客的机票价． 【答案】元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意找到总费用的等量关系，正确列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这位旅客的机票价格为元，根据题意得， 解得 答：这位旅客的机票价格为元． 52．凭借太行山区得天独厚的地理条件与丰富的自然资源，石家庄市赞皇县蓬勃发展的蜜蜂养殖业，成为当地特色产业． (1)中华蜜蜂是中国本土最常见的蜂种，一只中华蜜蜂的质量是，一个鸡蛋的质量是，相当于多少只中华蜜蜂的质量和（结果用科学记数法表示）； (2)将蜂蜜全部放入如图所示的甲、乙两个杯子中，甲、乙两个杯子分别装有和水，要使两杯溶液中蜂蜜与水的体积比相同，求两个杯子中应分别放入蜂蜜多少． 【答案】(1)相当于只中华蜜蜂的质量和 (2)甲杯子中应放入蜂蜜，乙杯子中应放入蜂蜜 【分析】（1）先换算单位，再用一个鸡蛋的质量除以一只中华蜜蜂的质量即可； （2）设甲杯子中应放入蜂蜜，则乙杯子中应放入蜂蜜，根据“甲、乙两个杯子分别装有和水，要使两杯溶液中蜂蜜与水的体积比相同”列方程求解即可． 【详解】（1）解：， （只）， ∴相当于只中华蜜蜂的质量和； （2）解：设甲杯子中应放入蜂蜜，则乙杯子中应放入蜂蜜， 依题意，得， 解得， ． 答：甲杯子中应放入蜂蜜，乙杯子中应放入蜂蜜． 53．学校为庆祝第七个国际数学日，举办了主题为“数学与希望”的数学活动，决定购买圆规与笔记本作为奖品．已知圆规每个15元，笔记本每本6元，共花费1560元，它们的数量之比为．此时恰逢商家开展“店庆满送”优惠活动，每满180元送1张兑换券，满360元送2张兑换券，……，以此类推．一张兑换券可兑换2个圆规或4个笔记本．学校花费1560元后，将兑换券也全部用于商品兑换，最终圆规与笔记本的数量相同． (1)求兑换前购买的圆规和笔记本的数量； (2)求用于兑换圆规的兑换券的张数． 【答案】(1)兑换前购买圆规80个，笔记本60本 (2)用于兑换圆规的兑换券为2张 【分析】（1）根据圆规和笔记本的数量比设未知数，再根据总花费为1560元列出方程即可求解； （2）先计算出1560元可获得的兑换券总数，再设用于兑换圆规的兑换券为张，根据兑换后笔记本与圆规数量相同列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设兑换前购买圆规的数量为个，笔记本的数量为本， 由题意得，， 解得， ∴，． 答：兑换前购买圆规80个，笔记本60本． （2）解：∵， ∴可获得8张兑换券， 设用于兑换圆规的兑换券的张数为张，则用于兑换笔记本的兑换券为张， 则兑换后圆规的数量为个，笔记本的数量为本， 由题意得，， 解得． 答：用于兑换圆规的兑换券为2张． 54．网约快车是城市便捷的出行交通工具之一，某市网约快车的计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元／千米 0.3元／分钟 0.8元／千米 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分组成．其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时长计算，远途费的收费方式为：行车里程7千米以内（含7千米），不收远途费，超过7千米时，超过的部分每千米加收远途费0.8元． (1)一人乘网约快车20分钟到达目的地，行驶里程为千米，请用含x的代数式表示他应付的费用为___________元； (2)甲、乙两人各自乘网约快车，甲比乙的行车里程多1.5千米，若两人的计费项目完全相同，所付的车费也相同，求乙比甲多乘车几分钟？ 【答案】(1) (2)9分钟或13分钟 【分析】（1）先分析费用组成部分，再依次计算里程费、时长费和远途费，最后列式并化简即可； （2）设乙比甲多乘车m分钟，乙行驶里程为y千米时，甲行驶的里程为千米，根据题意分析甲、乙的计费项目完全相同下的里程情况，列出表达式并建立等量关系求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，里程费为元，时长费为（元）， ∵行驶里程超过7千米，而超过部分的里程为千米， ∴该路程含有远途费，单价为0.8元／千米， ∴远途费为元， ∴（元）， 即他应付的费用为元． （2）解：设乙比甲多乘车m分钟，乙行驶里程为y千米时，甲行驶的里程为千米， ∵甲、乙的计费项目完全相同， ∴①当甲、乙行车里程均未超过7千米，即时，，解得， ②当甲、乙行车里程均超过7千米，即时，， 解得， 综合①②得或13， ∴乙比甲多乘车9分钟或13分钟． 55．综合实践 养成健康饮水的习惯 素材1 《中国居民膳食指南》建议大家养成主动饮水的习惯，避免喝过冷或过热的水，否则易引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在． 素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水过程中不计热量损失． ★小贴士：开水体积×开水的温度+温水的体积×温水的温度=混合后的体积×混合后的温度． (1)若先接温水，再接的开水，此时温水和开水混合后共有多少毫升水？ (2)小明先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题： ①小明接水的时间一共用了，得到一杯的水，这杯水的温度是否符合健康饮水的适宜温度，通过计算说明理由； ②若小明想得到一杯的的水，此时接温水和开水的时间分别是多少秒？ 【答案】(1) (2)①这杯水的温度不符合健康饮水的适宜温度；②接温水的时间是14秒，接开水的时间是2.5秒 【分析】（1）根据题意列出算式，然后通过运算法则即可求解； （2）①设小明接温水的时间为x秒，则接开水的时间为秒，根据题意得，解得，求出小明接了温水，开水，从而求得这杯水混合后的水温，最后将所求温度与题中的温度进行比较即可判断结果； ②设小明接温水的时间为y秒，则温水的体积为，开水的体积为，由题意得，解得，从而求得接开水和温水的时间． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴此时温水和开水混合后共有水． （2）解：①设小明接温水的时间为x秒，则接开水的时间为秒， 根据题意，得：， 解得：， ∴接开水的时间为：， 温水的体积为：， 开水的体积为：， 混合后的温度为：， ∵， ∴这杯水的温度不符合健康饮水的适宜温度； ②设小明接温水的时间为y秒，则温水的体积为，开水的体积为， 根据题意，得：， 解得：， ∴此时温水的体积为：， 开水的体积为：， 接开水的时间为：， ∴此时接温水的时间是14秒，接开水的时间是2.5秒． 1 学科网（北京）股份有限公司 $