专题08 一元一次方程重难点十大题型突破-2026-2027学年苏科版七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必刷题

专题08 一元一次方程重难点十大题型突破 【题型 1·一元一次方程的定义】 【题型 2·一元一次方程的解】 【题型 3·解一元一次方程】 【题型 4·新定义运算-解一元一次方程】 【题型 5·判断解一元一次方程的过程】 【题型 6·运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】 【题型 7·含绝对值的一元一次方程】 【题型 8·一元一次方程-整体法】. 【题型9·一元一次方程-同解1.. 【题型 10·一元一次方程-错解】 【题型 1·一元一次方程的定义】 1．下列式子中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据一元一次方程的定义判断，一元一次方程需满足：是等式，只含一个未知数，未知数的最高次数为，且两边为整式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵一元一次方程的定义为：只含有一个未知数，未知数的次数都是，等号两边都是整式的方程， 、不是等式，不属于方程，故选项不符合题意； 、中只含个未知数，未知数次数为，两边均为整式且是等式，符合一元一次方程的定义，故选项符合题意； 、中含有两个未知数，不符合一元一次方程定义，故选项不符合题意； 、是不等式，不是方程，故选项不符合题意． 2．已知方程是关于x的一元一次方程，则k的值是（   ） A．2 B． C．2 , D．1, 【答案】B 【分析】根据一元一次方程定义，结合只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，建立式子求解，即可解题． 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程， 且， 解得且， ． 3．已知关于的方程是一元一次方程，那么________． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的次数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元一次方程， ∴的次数满足， 解得． 【题型 2·一元一次方程的解】 4．下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入中，方程左边，此时方程左右两边相等，故原方程的解是，符合题意； B、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； C、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； D、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； 故选：A． 5．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可求出a的值，再把代入原方程求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．若是一元一次方程 的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意得出，代入代数式计算即可． 【详解】解： 是一元一次方程 的解 ， ， 故选：A ． 7．已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解：满足一元一次方程的未知数的值叫一元一次方程的解． 把代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：把代入，得， 解得：， 故选B． 【题型 3·解一元一次方程】 8．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （2） 去分母（两边同乘 6），得； 去括号，得 合并同类项，得 移项，得 系数化为1，． 9．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 10．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得，． 11．解下列一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （2）根据去分母、移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 移项、合并同类项得，． （2）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为得，． 【题型 4·新定义运算-解一元一次方程】 12．定义一种新运算“”： ； ； ． 观察上述各式的运算方法，解答下列问题： (1)________； (2)请按照以上新运算“”的运算方法，写出的运算形式：________； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给出的运算方法进行计算即可； （2）根据给出的算式，进行归纳总结即可； （3）根据新定义的法则，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：∵； ； ； ∴； （2）解：由（1）可知，； （3）解：由（2）可知，， 解得. 13．用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)求的值； (2)若，求有理数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算，代数式求值，解一元一次方程，解题的关键是理解题意，熟练掌握运算法则． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解：∵， ∴， 解得：． 14．定义一种新运算“※”：，比如：． (1)求的值； (2)已知，请根据上述运算，求值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由新定义直接代值计算； （2）由定义将转化为一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由定义可知，； （2）解：由定义可知，， ， 解得． 15．计算 (1)计算：． (2)定义一种新运算“※”，规则如下：． ①求的值； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①：6；②： 【分析】本题主要考查有理数的混合运算、新定义的运算和一元一次方程，准确理解新运算“※”是解题的关键． （1）首先进行乘方和乘除运算，再进行加减运算即可； （2）①根据新运算“※”的规则进行计算即可； ②根据新运算“※”的规则得到一元一次方程，求解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：①：∵， ∴； ②：∵， ∴ ． 【题型 5·判断解一元一次方程的过程】 16．学习了一元一次方程的解法后，王老师布置了这样一道题目： 解方程：．小明同学的解答如下： 解：去分母，得…第①步 去括号，得…第②步 移项，得…第③步 合并同类项，得…第④步 系数化为1，得…第⑤步 根据小明同学的解答过程，回答下列问题： (1)第①步的依据是________； (2)老师发现小明同学的解答过程有错误，请你指出从第________（填序号）步开始出现错误，并帮助小明写出正确的解答过程． 【答案】(1)等式的基本性质2 (2)②， 正确的解答过程如下： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【详解】（1）解：由题意可得，第①步的依据是等式的基本性质2； （2）解：观察小明的解答过程，第②步去括号时，对 展开，根据去括号法则，应该得到，而小明写成了，符号处理错误，故从第②步开始出现错误； 17．阅读材料：学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道题，解方程：．小明同学的解答过程如下： 解：第①步 第②步 第③步 第④步 第⑤步 (1)解答过程中第①步的依据是 ； (2)以上解答过程中，第 步开始出现错误； (3)写出解该方程的正确过程． 【答案】(1)等式的性质2 (2)② (3) 去分母，得， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 对于（1），根据方程两边都乘以6，可知步骤的依据是等式的性质2； 对于（2），括号前是负数时，去掉括号后要变号； 对于（3），根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解答即可． 【详解】（1）解：等式的性质2，方程两边都乘以6； 故答案为：等式的性质2； （2）解：第②步，去括号错误； 故答案为：②； （3）解：略． 18．下面是某同学求解一元一次方程的解题过程． 解方程：． 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 移项，得…………第三步 合并同类项，得…………第四步 系数化为1，得…………第五步 请认真阅读并完成下面的相应问题． (1)以上求解步骤中，第一步去分母的变形依据是___________； (2)上述解题过程从第_____步开始出现错误，错误的原因是______________； (3)请帮该同学改正错误，写出完整的解题过程． 【答案】(1)等式基本性质2 (2)一，漏乘 (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程；掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）根据等式的基本性质2，即可求解； （2）由解一元一次方程去分母的注意事项，即可求解； （3）去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得，去分母的变形依据是等式的基本性质2； 故答案为：等式的基本性质2； （2）解：第一步开始出现错误，错误的原因是漏乘， 故答案为：一，漏乘； （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 19．下面是小龙同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 任务一：填空 （1）以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的； （2）第 步开始出现错误，这一步的错误的原因是 ； 任务二：请你求出方程正确的解． 【答案】任务一：（1）等式的性质2； （2）二，括号前面是减号，去括号时括号里的符号没变号； 任务二：正确解法如下： 解：． 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 任务一：（1）根据等式的性质判断即可； （2）根据去括号法则即可判断解方程中的错误处； 任务二：根据等式的性质（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1）求解即可． 【详解】略 【题型 6·运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】 20．现场学习：无限循环小数可以写成分数形式，求解过程是：设，由可知，，所以，，，解方程，得．解决问题：请你将化成分数的形式． 【答案】 【分析】按照题目描述方法步骤列方程求解即可． 【详解】解：设， 由得 列方程，得 解方程，得 所以 【点睛】本题考查解一元一次方程、无限循环小数化分数，理解题目描述的方法步骤是解题的关键． 21．有理数都能化成分数，不是有理数的不可以化成分数，比如：（1）5可以看作，（2），（3）要把0.3转化成分数形式，可以采用下面的方法：设①，则②，由②①，得，解得．因此，通过阅读以上材料，请你完成下列问题： (1)______和______统称为有理数． (2)把化成分数． 【答案】(1)整数，分数 (2)． 【分析】（1）根据有理数的分类可得答案； （2）按照例题的解法，利用一元一次方程将化成分数． 【详解】（1）解：整数和分数统称为有理数， 故答案为：整数、分数； （2）解：设， 方程两边都乘以10，可得， ∴①， 则②， 由②①，得， 解得． ∴． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，阅读材料型应用题，准确分析材料中的例题解题办法，是解决这类题型的关键． 22．方程思想，解决问题 【阅读理解】 你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法． 例题：利用一元一次方程将化成分数，设，那么，而，所以，化简得，解得．所以，． 【问题探究】 (1)请仿照上述方法把化成分数为______；（直接写出结果） (2)请类比上述方法，把循环小数化为分数，写出解题过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）设①，则②，②-①得出9x=7，再求出x即可； （2）设①，则②，②-①得出99y=16，再求出y即可． 【详解】（1）设①，则②， ②-①，得9x=7， 解得：x=， 即， 故答案为：； （2）设①，则②， ②-①，得99y=16， 解得：y=， 即． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能选择适当的方法求解是解此题的关键． 23．你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法，阅读下列解材料： 问题：利用一元一次方程将 化成分数． 解：设，方程两边都乘10，可得，由可知，即（请你体会将方程两边都乘10起到的作用）． 解得，即． (1)填空：①将写成分数形式为________；②将写成分数形式为________； (2)请仿照上述方法将化成分数（写出后续过程）． 解：设，方程两边都乘10，可得． 【答案】(1)； (2) 设，方程两边都乘10，可得． 由可知， ， 由（1）得， ， ， ， ． 【分析】本题考查了无限循环小数转化为分数的运用，等式的性质以及一元一次方程解实际问题的运用， （1）根据阅读材料设，方程两边都乘以10，转化为，求出其解即可； （2）设，方程两边都乘以10，转化为，即，由（1）得，，解方程即可． 解答时根据等式的性质变形建立方程是解答的关键． 【详解】（1）解：①设， 方程两边都乘以10得： ， ． 故答案为：； ②设， 方程两边都乘以100得： ， ． 故答案为：； （2）略 【题型 7·含绝对值的一元一次方程】 24．同学们都知道：表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为___________． (2)如果，则___________． (3)由以上探索猜想，求的最小值． (4)思考：是否存在使的解，如果有，请求出方程的解． 【答案】(1) (2)7或 (3) (4)存在解，或． 【分析】（1）根据两点间的距离公式表示即可； （2）根据绝对值的几何意义，就是求数轴上距离点有个单位的点，所以或，即得答案； （3）根据绝对值的几何意义，就是求数轴上到点和点的距离之和最小的点，这样的点满足， 此时最小值为； （4）根据绝对值的几何意义，就是求数轴上到点和点的距离之和等于的点，这样的点满足或，求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为； （2）解：由，则对应数轴上距离点有个单位的点， 即点向左或向右移动个单位长度， 或， 故答案是：7或； （3）解：根据绝对值的几何意义：表示数轴上到点和点的距离之和， 当，时，距离之和最小， 此时； （4）解：根据绝对值的几何意义，原方程就是求数轴上到点和点的距离之和等于的点， 这样的点满足或， 当时，方程 可化为， 即， ； 当时，方程 可化为， 即， 综上：存在使的解，此时或． 25．解方程：． 【答案】或 【详解】解：， ， 或， 或（不合题意，舍去）， 或， 或（不合题意，舍去）， 或． 26．已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求z的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）利用绝对值的非负性列等式求解x，y； （2）代入y的值，根据绝对值的性质求解． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴，， 解得 ，； （2）解：将代入，得， ∴或， 解得或， 综上所述，的值为或． 27．大家知道，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点、在数轴上分别表示数、，则、两点的距离可用代数式表示为：．根据以上信息，回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____；数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_____； (2)点、在数轴上分别表示实数和－1． ①用代数式表示、两点之间的距离； ②如果，求的值． (3)若，求的值． 【答案】(1)3；3 (2)①；②或 (3)或 【分析】（1） 利用两点距离公式直接计算； （2）①套用距离公式写出代数式，②根据距离为2列绝对值方程求解； （3） 根据绝对值几何意义，分，两种情况去掉绝对值符号解方程． 【详解】（1）解：表示2和5两点距离， 表示和两点距离． （2）解：①A表示x，B表示， 两点距离． ②， ． 或， 解得或． （3）解：， 几何意义：数轴上x到与5的距离之和为9，到5距离为7， ①当时，， ， ， ∴． ②当时，， ， ， ∴． 综上，或． 28．若与互为相反数． (1)求a，b的值． (2)若，求c的值． 【答案】(1) ， (2) 或 【分析】（1）利用绝对值的非负性，结合互为相反数的两数和为0的性质列方程求解； （2）将（1）中求得的，代入等式，根据绝对值的性质列方程求解． 【详解】（1）解： ∵与互为相反数 ∴ ∵， ∴， 解得 ，； （2）解：将，代入 得 即 ∴或 解得 或 综上所述，的值为或． 【题型 8·一元一次方程-整体法】. 29．在学习中我们掌握了代入法、消元法解方程，整体法、换元法也是初中需要掌握的一种思想方法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．例如，设，则原方程变形为，……，解得，即，所以原方程的解为． (1)补充求解的过程． (2)用换元法解方程． 【答案】(1) 解：， ∴， ∴， 解得：． (2) 【分析】本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复杂的问题转化为简单的问题， （1）根据解一元一次方程的法则解答即可， （2）利用换元的思想解答即可； 【详解】（1）略 （2）解：， 设，则原方程可变形为， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得． 30．在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例如，在解方程时，把看作一个整体． 令，得：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程： 【答案】x= 【分析】把x+2看作一个整体，再按照解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：令a=x+2，则2a=2x+4， 原方程得：， 去括号，得：4a-20=1， 移项，得：4a=21， 系数化为1，得：a=． 故x+2=， 解得x=． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确换元是解此题的关键． 31．在解一元一次方程时，有时根据方程的表面特点，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果． 例如：在解方程时，把看作一个整体． 令，原方程变为， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确换元是解此题的关键．把看作一个整体，再按照解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解： 令，则原方程变为， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故， 解得：． 【题型9·一元一次方程-同解1 32．若关于的方程和有相同的解，请求出的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的求解，熟记相关步骤是解题关键． 【详解】解：解方程，去括号得：， 移项，合并同类项得：． 把代入， 得 移项，合并同类项得： 去分母得： 移项得：， 33．已知与是关于x的方程且有相同的解． (1)求a的值； (2)求多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解方程得到，再把代入方程中求出a的值即可； （2）把（1）求得的结果代入多项式中进行求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵与是关于x的方程且有相同的解， ∴是方程的解， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，代数式求值，正确求出方程的解是解题的关键． 34．已知关于的方程：与有相同的解． (1)求的值 (2)求以为未知数的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解方程，再把的值代入方程，即可求解； （2）把（1）中的值，的值代入即可求解． 【详解】（1）解： 去括号， 移项，合并同类项， 把代入方程得，， ∴． （2）解：，， ∴原方程变为， 去分母， 去括号， 移项，合并同类项， 系数化为，． 【点睛】本题主要考查解方程，掌握解一元一次方程的方法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，是解题的关键． 35．若方程与方程有相同的解，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，同解方程即为两方程的解相同的方程．求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程求出a的值即可． 【详解】解：方程， 解得：， 把代入方程， 得：， 解得：． 【题型 10·一元一次方程-错解】 36．数学迷小虎在解方程这一题时，去分母过程中，方程右边的-1漏乘了6，因而求得方程的解为x=-2，请你帮小虎同学求出a的值，并且正确求出原方程的解． 【答案】a = -1；x= -7． 【分析】先按迷小虎的方法去分母，再将x=-2代入方程，求得a的值，然后把a的值代入原方程并解原方程即可． 【详解】按小虎的解法解方程：， 得， 又∵小虎解得x＝－2， ∴3a+1＝－2， 即a=-1， 把a＝－1代入原方程，得， 解得， 即原方程正确的解为． 【点睛】本题考查一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 37．小颖在解关于的一元一次方程时，方程去分母时，漏乘了不含分母的常数项“”，得到错误方程的解为，求的值． 【答案】 【分析】根据是方程的解，得出，求出即可． 【详解】解：根据题意，得是方程的解， 将代入得， 解得． 38．青青在解关于x的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得，请你求出原方程正确的解． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．先把代入求出m的值，再把m的值代入求解即可． 【详解】把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴． 39．小明解关于的一元一次方程，在去括号时，将漏乘了3，得到方程的解是，请你求出的值及方程正确的解． 【答案】， 【分析】根据已知条件中的去括号的方法来求的值，然后把代入已知方程，通过解方程可以求得的值． 【详解】解：由题意，得 ．即， ， ， 解得，． 则由关于的一元一次方程，得 ，即，即． 综上所述，的值是1，方程的正解是． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 40．已知关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)在解关于的方程去分母时，小明漏乘了方程左侧的常数项，得到方程的解为，求原方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）将代入，再解一元一次方程即可； （2）小明漏乘常数项，错误方程为，然后代入，求出值，再重新解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为 ， 解得； （2）解：小明漏乘常数项，错误方程为， 代入，得 ，即， 则， 解得， 则 原方程为 ， 解得 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 一元一次方程重难点十大题型突破 【题型 1·一元一次方程的定义】 【题型 2·一元一次方程的解】 【题型 3·解一元一次方程】 【题型 4·新定义运算-解一元一次方程】 【题型 5·判断解一元一次方程的过程】 【题型 6·运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】 【题型 7·含绝对值的一元一次方程】 【题型 8·一元一次方程-整体法】. 【题型9·一元一次方程-同解1.. 【题型 10·一元一次方程-错解】 【题型 1·一元一次方程的定义】 1．下列式子中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知方程是关于x的一元一次方程，则k的值是（   ） A．2 B． C．2 , D．1, 3．已知关于的方程是一元一次方程，那么________． 【题型 2·一元一次方程的解】 4．下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C．D． 5．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 6．若是一元一次方程 的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【题型 3·解一元一次方程】 8．解下列方程： (1)； (2)． 9．解方程： (1)； (2)． 10．解方程： (1) (2) 11．解下列一元一次方程： (1)； (2)． 【题型 4·新定义运算-解一元一次方程】 12．定义一种新运算“”： ； ； ． 观察上述各式的运算方法，解答下列问题： (1)________； (2)请按照以上新运算“”的运算方法，写出的运算形式：________； (3)若，求的值． 13．用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)求的值； (2)若，求有理数的值． 14．定义一种新运算“※”：，比如：． (1)求的值； (2)已知，请根据上述运算，求值． 15．计算 (1)计算：． (2)定义一种新运算“※”，规则如下：． ①求的值； ②若，求的值． 【题型 5·判断解一元一次方程的过程】 16．学习了一元一次方程的解法后，王老师布置了这样一道题目： 解方程：．小明同学的解答如下： 解：去分母，得…第①步 去括号，得…第②步 移项，得…第③步 合并同类项，得…第④步 系数化为1，得…第⑤步 根据小明同学的解答过程，回答下列问题： (1)第①步的依据是________； (2)老师发现小明同学的解答过程有错误，请你指出从第________（填序号）步开始出现错误，并帮助小明写出正确的解答过程． 17．阅读材料：学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道题，解方程：．小明同学的解答过程如下： 解：第①步 第②步 第③步 第④步 第⑤步 (1)解答过程中第①步的依据是 ； (2)以上解答过程中，第 步开始出现错误； (3)写出解该方程的正确过程． 18．下面是某同学求解一元一次方程的解题过程． 解方程：． 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 移项，得…………第三步 合并同类项，得…………第四步 系数化为1，得…………第五步 请认真阅读并完成下面的相应问题． (1)以上求解步骤中，第一步去分母的变形依据是___________； (2)上述解题过程从第_____步开始出现错误，错误的原因是______________； (3)请帮该同学改正错误，写出完整的解题过程． 19．下面是小龙同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 任务一：填空 （1）以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的； （2）第 步开始出现错误，这一步的错误的原因是 ； 任务二：请你求出方程正确的解． 【题型 6·运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】 20．现场学习：无限循环小数可以写成分数形式，求解过程是：设，由可知，，所以，，，解方程，得．解决问题：请你将化成分数的形式． 21．有理数都能化成分数，不是有理数的不可以化成分数，比如：（1）5可以看作，（2），（3）要把0.3转化成分数形式，可以采用下面的方法：设①，则②，由②①，得，解得．因此，通过阅读以上材料，请你完成下列问题： (1)______和______统称为有理数． (2)把化成分数． 22．方程思想，解决问题 【阅读理解】 你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法． 例题：利用一元一次方程将化成分数，设，那么，而，所以，化简得，解得．所以，． 【问题探究】 (1)请仿照上述方法把化成分数为______；（直接写出结果） (2)请类比上述方法，把循环小数化为分数，写出解题过程． 23．你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法，阅读下列解材料： 问题：利用一元一次方程将 化成分数． 解：设，方程两边都乘10，可得，由可知，即（请你体会将方程两边都乘10起到的作用）． 解得，即． (1)填空：①将写成分数形式为________；②将写成分数形式为________； (2)请仿照上述方法将化成分数（写出后续过程）． 解：设，方程两边都乘10，可得． 【题型 7·含绝对值的一元一次方程】 24．同学们都知道：表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为___________． (2)如果，则___________． (3)由以上探索猜想，求的最小值． (4)思考：是否存在使的解，如果有，请求出方程的解． 25．解方程：． 26．已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求z的值． 27．大家知道，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点、在数轴上分别表示数、，则、两点的距离可用代数式表示为：．根据以上信息，回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____；数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_____； (2)点、在数轴上分别表示实数和－1． ①用代数式表示、两点之间的距离； ②如果，求的值． (3)若，求的值． 28．若与互为相反数． (1)求a，b的值． (2)若，求c的值． 【题型 8·一元一次方程-整体法】. 29．在学习中我们掌握了代入法、消元法解方程，整体法、换元法也是初中需要掌握的一种思想方法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．例如，设，则原方程变形为，……，解得，即，所以原方程的解为． (1)补充求解的过程． (2)用换元法解方程． 30．在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例如，在解方程时，把看作一个整体． 令，得：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程： 31．在解一元一次方程时，有时根据方程的表面特点，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果． 例如：在解方程时，把看作一个整体． 令，原方程变为， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 【题型9·一元一次方程-同解1 32．若关于的方程和有相同的解，请求出的值． 33．已知与是关于x的方程且有相同的解． (1)求a的值； (2)求多项式的值． 34．已知关于的方程：与有相同的解． (1)求的值 (2)求以为未知数的方程的解． 35．若方程与方程有相同的解，求a的值． 【题型 10·一元一次方程-错解】 36．数学迷小虎在解方程这一题时，去分母过程中，方程右边的-1漏乘了6，因而求得方程的解为x=-2，请你帮小虎同学求出a的值，并且正确求出原方程的解． 37．小颖在解关于的一元一次方程时，方程去分母时，漏乘了不含分母的常数项“”，得到错误方程的解为，求的值． 38．青青在解关于x的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得，请你求出原方程正确的解． 39．小明解关于的一元一次方程，在去括号时，将漏乘了3，得到方程的解是，请你求出的值及方程正确的解． 40．已知关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)在解关于的方程去分母时，小明漏乘了方程左侧的常数项，得到方程的解为，求原方程的解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $