4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时）（分层作业）数学人教A版选择性必修第二册

分层作业 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时） 目 录 2 题型01 等差数列前n项和的基本量计算 2 题型02由前n项和判断数列是否是等差数列 3 题型03求等差数列前n项和的最值 5 题型04等差数列奇数项或偶数项的和 8 题型05前n项和与n的比所组成的等差数列 9 题型06前n项和与n的比所组成的等差数列 11 题型07 两个等差数列的前n项和之比问题 12 题型08判断数列的增减性 12 13 16 18 题型01 等差数列前n项和的基本量计算题型01 1.（26-27高三上·云南·阶段检测）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以，即，， 又，故，所以. 2.（26-27高三上·山西太原·阶段检测）记为等差数列的前项和，，，则（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【详解】因为数列为等差数列，则，即， 且，则， 可得公差，所以. 3.（2025·江苏泰州·模拟预测）设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、前n项和与n的比所组成的等差数列 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得的值，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 所以. 故答案为：C. 题型02由前n项和判断数列是否是等差数列题型02 4.（2026·山东·模拟预测）已知数列的前项和为，则“”是“为等差数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【知识点】既不充分也不必要条件、由前n项和判断数列是否是等差数列 【分析】由得，根据等差数列得，再结合等差数列的定义判断即可. 【详解】由得， 即， 所以，从第2项起，数列是公差为1的等差数列， 但首项与的关系不一定满足， 所以整个数列不一定是等差数列， 即“”不能推出“为等差数列”. 反之，为等差数列，设公差为，则， 所以，当且仅当时，才有， 若公差，则不满足该式， 所以“数列为等差数列”不能推出“”， 故“”是“为等差数列”既不充分又不必要条件. 5.（25-26高二下·福建莆田·期中）已知是各项均为正数的数列的前项和，，则是为等差数列的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由递推关系证明数列是等差数列、由前n项和判断数列是否是等差数列 【分析】根据等差数列的性质，结合两者之间的推出关系判断即可. 【详解】由，得数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以，所以，即为等差数列，充分性成立. 若为等差数列，设其公差为，则， 故， 当时，， 当时，， 当时，满足上式，此时，所以； 当时，不满足上式，此时， 当时，， 当时，， 因为无解，不成立， 因此，必要性不成立. 故是为等差数列的充分不必要条件. 6.（23-24高三下·浙江·开学考试）已知正项数列满足为的前项和，则“是等差数列”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、判断等差数列、由前n项和判断数列是否是等差数列 【分析】根据等差数列的定义、之间的关系，结合充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】当是等差数列时，设公差为，由， 因此， 当时，因为， 所以为等差数列； 当为等差数列时，设公差为，则有， 所以当时，， 两式相减，得， ，或，因为该数列是正项数列，所以舍去， 因此，显然当时，成立， 当时，因为， 所以是等差数列，因此“是等差数列”是“为等差数列”的充要条件， 故选：C 题型03求等差数列前n项和的最值题型03 7.（2026·福建福州·模拟预测）已知等差数列的公差为d，前n项和为．记甲：，乙：存在最小值，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、二次函数法求等差数列前n项和的最值 【分析】应用等差数列求和公式结合充分必要条件定义计算判断求解. 【详解】当时，，是开口朝上的抛物线上的离散的点的纵坐标，一定有最小值； 当且时，也有最小值. 因此，甲是乙的充分条件但不是必要条件. 8.（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知为等差数列的前项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③满足成立的最小的值为18；④使得取得最大值时的为9.其中正确命题的序号为（   ） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】求等差数列前n项和的最值、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的其他性质及应用 【分析】由及等差数列前n项和的性质判断①④；应用等差数列前n项和公式可得，并结合可判断②③.. 【详解】由题意可得，所以，，故①②对； 由，可知， 所以满足成立的最小的值为18，③对； 由可知，等差数列的前项为正，从第10项开始为负，所以使得取得最大值时的为9.故④对.综上，正确命题的序号为①②③④. 故选：D 9.（25-26高二下·山东淄博·期末）记为数列的前项和，已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B．是等差数列 C．不是等差数列 D．当且仅当时，取到最小值 【答案】D 【知识点】由Sn求通项公式、二次函数法求等差数列前n项和的最值、由递推关系证明数列是等差数列、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法推理判断C；求出判断A；求出及求解判断BD. 【详解】对于C，由， 得到，则数列是公差为2的等差数列，C错误； 对于A，，A错误； 对于B，，则， 当时，， 满足上式，因此，，不是等差数列，B错误； 对于D，， 因此当且仅当时，取到最小值，D正确. 题型04等差数列奇数项或偶数项的和题型04 10.（25-26高二下·江西上饶·期末）等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】设等差数列的公差为，根据已知有得，再结合求公差. 【详解】前项中，奇数项共项，偶数项共项， 由前项和为，奇数项和为， 因此偶数项和为， 设等差数列的公差为， 每一个偶数项比对应前一个奇数项多1个公差，共组， 因此， 由，得， 两式相减， 因此数列公差为. 11.（24-25高二下·广东江门·阶段检测）某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（    ） A．34 B．35 C．36 D．不能确定 【答案】B 【知识点】等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】根据等差数列性质即可化简求出奇数项之和. 【详解】解：由题可知，， 根据等差数列的性质可知，所以，所以， 同理，根据等差数列性质可得. 12.（25-26高二下·辽宁营口·阶段检测）已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】B 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】设等差数列共项，由偶数项之和与奇数项之和的差为可得答案. 【详解】设等差数列共项，则奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列， 所有偶数项之和为，所有奇数项之和为， 则，所以20，则． 题型05前n项和与n的比所组成的等差数列题型05 13.（25-26高三上·江西赣州·期末）已知等差数列的前项和为，且满足，，则下列说法错误的是（   ） A．数列的通项公式为 B． C．前项和 D．数列是公差为的等差数列 【答案】D 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列通项公式求数列中的项、前n项和与n的比所组成的等差数列、求等差数列前n项和 【分析】设等差数列的公差为，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求出数列的通项公式，可判断AB选项；利用等差数列的求和公式可判断C选项；利用等差数列的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，设等差数列的公差为， 则，解得， 所以数列的通项公式为，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，故， 所以数列是公差为的等差数列，D错. 故选：D. 14.（假期必刷18等差数列）设数列满足，是前项和，且，，则（   ） A．1013 B． C．1012 D．1011 【答案】A 【知识点】前n项和与n的比所组成的等差数列、求等差数列前n项和、由递推关系证明数列是等差数列 【详解】由题意，， 则数列为等差数列，设公差为，，， 即，，则，则， 则，所以，（常数），则也为等差数列． 则数列的公差为，所以，所以. 15.已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、前n项和与n的比所组成的等差数列、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】是等差数列的前n项和，则数列是等差数列． ，， 则数列的公差，首项为， ，． 故选：B． 1.（25-26高二下·北京·期中）已知无穷等差数列的公差不为0，前项和为．则“有最小值”是“数列单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、二次函数法求等差数列前n项和的最值、等差数列的单调性 【分析】先由有最小值推出得数列单调递增，再由数列单调递增推出有最小值，判断出充要条件. 【详解】等差数列前项和公式为，是关于的二次函数， 若，二次函数开口向下，当时，， 即不可能有最小值，所以有最小值，即， 而时，，数列单调递增，充分性成立， 若数列单调递增，则，二次函数开口向上，定义域为正整数， 开口向上的抛物线必然存在离对称轴最近的正整数点，对应的最小值， （即使所有项都为正，最小值就是，依然存在），因此必要性成立， 综上，“有最小值”是“数列单调递增”的充要条件. 2.（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前项和，则下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】由Sn求通项公式 【详解】 当， 时，，也满足，所以。 令， 时，，故， 时，，故， 因此. 3.（25-26高二下·四川内江·期末）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由Sn求通项公式 【详解】因为数列的前项和， 当时，； 当时，. 不满足，故. 4.（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【详解】因为，即，即， 则， 又因为，所以， 所以， 所以，即. 5.（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）设是等差数列，其前项和为．则“为递增数列”是“，”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】求等差数列前n项和、既不充分也不必要条件、判断数列的增减性 【分析】先明确等差数列前n项和与项的关系，再分析“单调递增”和“”的等价条件，最后判断两者的逻辑关系即可． 【详解】若等差数列为递增数列，则公差， 取，公差，数列递增，但，，， 此时，不满足 对任意成立， 故充分性不成立； 因为对任意，， 所以 对任意恒成立， 取，此时，满足条件，但公差，数列不是递增数列， 故必要性不成立； 综上，“为递增数列”是“”的既不充分也不必要条件． 6.（26-27高三上·山东青岛·开学考试）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第层比第层多个球，则第100层球的个数为（    ） A．4949 B．4950 C．5049 D．5050 【答案】D 【知识点】由递推关系式求通项公式、累加法求数列通项、图与形中的归纳推理、求等差数列前n项和、递推数列的实际应用 【分析】根据题意得出第层球的个数与层数的递推关系，利用累加法求出通项公式，代入求解. 【详解】设第层球的个数为，． 由题意可知，． 当时，第层比第层多个球，即． 所以 ． 当时，，满足上式． 故第层球的个数为，． 所以当时，． 1.（26-27高三上·广东·阶段检测）记各项均为正整数的等差数列的前项和为，且公差不为0，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】设等差数列的公差为，可得，由题意可得，进而求得，分类讨论可求得. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，得， 所以，所以，所以， 由题意知，则，解得（舍去）或， 又， 要使，则，解得，所以， 当时，得，不符合题意； 当时，得，不符合题意； 当时，得，不符合题意； 当时，得，符合题意，此时， 所以； 当时，得，不符合题意； 当时，得，不符合题意； 当时，得，不符合题意； 综上所述：. 2.（2026·山东济南·模拟预测）记为等差数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【详解】因为在等差数列中，，，， 所以，即，即， 即，即. 3.（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）设是等差数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】利用等差数列前n项和公式，结合题设条件列方程组求解首项和公差，再由通项公式计算. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，其前项和为（）. 由化简得第一个方程： ，，代入比例式得： ， 整理得，即 ①. 由化简得第二个方程： ， 由通项公式得，，因此： ②. 将①代入②，得，解得，代入①得. 由通项公式得. 4.（25-26高二下·北京房山·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由Sn求通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据求解，并检验的情况即可求得答案. 【详解】因为数列的前项和， 所以，当时，; 当时，，， 故， 当时，不满足， 所以. 1.（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知数列的前n项和（p，q，），若，且对任意的，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由Sn求通项公式、利用等差数列的性质计算、等差数列的单调性、利用定义求等差数列通项公式 【分析】令，可得，分析可知数列是以首项，公差的等差数列，进而可得，结合等差数列性质运算求解. 【详解】令， 则， 因为，即，则， 可得，可知数列是以首项，公差的等差数列， 又因为，则，即， 可得，解得， 则， 所以的取值范围是. 2.（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知等差数列的首项为，公差为．将各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表： 则这个三角形数表第10行所有数的和为（    ） A．729 B．980 C．1000 D．1331 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、数与式中的归纳推理 【分析】先求出等差数列通项，根据数表每行项数，算出前行总项数，确定第行对应原数列的首项与末项下标，求出该行首尾数值，再利用等差数列求和公式计算第行所有数的和． 【详解】由题意可得， 第行有项，第行有项，第行有项，……，第行有项， 前行总项数为， 所以第行第一个数是，第行共项，最后一个是， ，， 所以这个三角形数表第行所有数的和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 分层作业 4.2.2等差数列的前n项和公式 目录 A组 巩固过关 题型01等差数列前n项和的基本量计算 题型02由前n项和判断数列是否是等差数列. 题型03求等差数列前n项和的最值. 题型04等差数列奇数项或偶数项的和. 题型05前n项和与n的比所组成的等差数列.… 题型06前n项和与n的比所组成的等差数列… 题型07两个等差数列的前n项和之比问题. …… 题型08判断数列的增减性.… B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 1/8 上好每一堂课 (第1课时) 2 eee。。。。。。。。eeeg。, 2 ..3 5 eeee eee 8 9 11 12 ....12 .13 16 18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A组 巩固过关 题型01 题型01等差数列前n项和的基本量计算 1(2627高三上云南阶段检测)等差数列0，的前”项和为，若8=8,0，则4（) A.-1 B.6 c.1 D.0 2(2627高三上山西太原阶段检测)记为等差数列a的前”项和，4=2.8=20，则%=() A.7 B.6 C.5 D.4 ∫s】 3.(2025江苏泰州模拟预测)设S是等差数列{a}的前n项和，T是数列n了的前n项和若 S4=12,Sg=40T2 ,则等于() A.49 B.50 C.51 D.52 题型02 题型02由前项和判断数列是否是等差数列 4(2026山东模拟预测已知数列a的前”顶和为8，则。8=2战，-8+1a≥2)。是a为等若 数列”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5（2526高二下相建销田期中)已知八是各项均为正数的数列a,}的前”项和，4-1，则-a, S “是 {W⑧}为等差数列的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 2/8 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6(23-24高三下浙江开学考试)已知正项数列{a,}满足4=3a,S为{a}的前n项和，则“{a}是等差数 列”是“VS,为等差数列”的《) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 题型03 题型03求等差数列前n项和的最值 7(2026福建福州模拟预测)已知等差数列a,的公差为4，前n项和为5，.记甲：d>0,乙：8，存在 最小值，则() A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8(2526高二上天津津南阶段检测)已知5为等差数列a,的前”项和，d为其公差，且8>8>S0, 给出以下命题：①d<0:②aa>a ③满足< 成立的最小的”值为18，④使得S取得最大值时的” 为9.其中正确命题的序号为() A.①③④ B.②③④ C.①②④ D.①②③④ 9(25-26高二下山东淄博期末)记8为数列a,的前”项和，已知 nS=(n+1)S,+2n(n+1)S2=6 则下列说法正确的是() A.4=2 (n)是等差数列 n 不是等差数列 D.当且仅当n=2时，S,-6n取到最小值 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04 题型04等差数列奇数项或偶数项的和 10.(25-26高二下江西上饶·期末)等差数 {a}中，前2m项和为104，其中奇数项之和为40，且 am-a1=21 则数列o 公差为() A.-3 B.3 C.4 D.-4 11.(24-25高二下广东江门阶段检测)某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为( ) A.34 B.35 C.36 D.不能确定 12.(25-26高二下辽宁营口阶段检测)已知公差为9的等差数列 a.} 的项数为偶数，其所有奇数项之和为 200,所有偶数项之和为380，则数列 的项数为() A.20 B.40 C.60 D.80 颗型05 题型05前n项和与n的比所组成的等差数列 13.(25-26高三上江西赣州期末)己知等差数列 an} 的前”项和为S,且满足4+a=16,=15 ,则下 列说法错误的是() A数列0的通项公式为，=2m+1 B.%+a4=16 C.前9项和S,=99 D.数列nJ是公差为2的等差数列 14(假期必刷18等差数列)设数列a,}满足20，=a+a,≥2且n∈N）,S,是前n项和，且S=6, 4/8 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4=3,则2025=() 2025 A.1013 B.2 C.1012 D.1011 定如5是等差数列0的前项和，若0=-2024,09206，则8m等于( A.-4040 B.-2024 C.2024 D.4040 B组 能力进阶 1(2526高二下北京期中)已知无穷等差数列a,}的公差4不为0，前”项和为.则有最小值” 是“数 a,}单调递增”的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2(2026高三全国专题练习)己知数列a}的前”项和8，=心加-40)，则下列判断正确的是（) A4g>0,4<0B.a>0,41<0 C.g<041>0 D.4,<0a0>0 3(2526高=下四川内江期末)已知数列a,的前”项和5=+2n-1,则数列a的通项公式为 () A.0,-n+1 8.a,=2n 2,n=1 2,n=1 c.a,-2n-ln≥2 0 2n+1,n≥2 4(2627高三上安徽阶段检测)已知等差数列@，的前”项和为8.8-8=9，。=24，若=0， 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则k=() A.14 B.15 C.16 D.17 5.(26-27高三上·北京昌平·阶段检测)设 ,是等差数列，其前”项和为.则。和}为递增数列”是“ neN,Sn>S,的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(26-27高三上山东青岛开学考试)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中， 后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第n层比第n-1层多n个球，则第100 层球的个数为() A.4949 B.4950 C.5049 D.5050 C组 思维拔高 1(2627高三上广东阶段检测记各现均为正整数的等差数列a,}的前”现和为8，且公差不为0，若 ta S4=12a,则六 S4= () A.16 B.40 c.56 D.72 2(2026山东济南模拟预测D记5为等差数列a}的前”项和，若4=2,8，=10，则4=（) A.3 B.4 c.5 D.6 618 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 66初的上京x安充数四的前a原和，者是2=82，D () A.-12 B.-10 C.8 D.10 4(2526高=下北京房山期中)已知数列0的前”项和8+2n-1,则数刻 {a} 的通项公式为 () A.a=2n-1 8.a,2n 2, n=1, C.a=2n+1 2n+1,n≥2 拓展 链接高考 1.(2526高二下河南南阳阶段检测已知数列a,的前u顶和S=pr+gm+”,g,reR),若 a6= 4,且对任意的n∈N八，都有9 的取值范围是() 64 A 44,5 B.[44,55) c.[44,66) D.[44,+o) 2(2627高=上福建福州开学考试)已知等差数列a的首项为，公差为2.将a}各项拉照上小下大、 左小右大的原则写成如下的三角形数表： 0 a, 0 718 品学科网·上好课 则这个三角形数表第10行所有数的和为( A.729 B.980 www.zxx k com C.1000 D.1331 8/8 上好每一堂课