专题01 函数的概念与基本性质+重难点题型（高效培优专项训练）高一数学沪教版必修第一册

专题01 函数的概念与基本性质十重难点题型 题型一 函数概念与同一函数判断 题型二 函数定义域求解 题型三 函数的值域 题型四 函数解析式求法 题型五 分段函数 题型六 函数图像与变换 题型七 函数的单调性 题型八 函数的奇偶性 题型九 函数的对称性与周期性 题型十 恒成立 / 存在性、新定义 题型一：函数概念与同一函数判断 1．以下图形中，不是函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应， A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A不是函数图象. 故选：A 2．下列函数中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】对于A，定义域，定义域，不是同一个函数，故A错误； 对于B，定义域，定义域，不是同一个函数，故B错误； 对于C，与定义域都是，且，两函数是同一个函数，故C正确； 对于D，定义域，定义域，不是同一个函数，故D错误. 故选：C 3．下列函数中与函数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A，，当时，，解析式与不同，A不正确； 选项B，的定义域为，解析式为，定义域和解析式与相同，B正确； 选项C，，该函数的定义域为，与函数的定义域不同，C不正确； 选项D，，该函数的定义域为，与函数的定义域不同，D不正确； 故选：B. 4．下列四组函数中，与表示同一函数是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，，的定义域分别为，故A不符题意； 对于B；，的定义域分别为，故B不符题意； 对于C，，的定义域分别为，故C不符题意； 对于D，因为，其定义域、对应法则都是一样的，故D符合题意. 故选：D. 5．下列各组函数中，同组的两个函数是相同函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不是相同函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，，所以两函数对应关系不同，不是相同函数，故B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不是相同函数，故C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，，两函数定义域相同，对应关系相同，是相同函数，故D正确. 故选：D 题型二：函数定义域求解 6．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）函数的定义域是______. 【答案】 【详解】由题意，，解得且. 故答案为： 7．（25-26高一上·上海宝山·期中）函数的定义域是__________. 【答案】 【详解】由题意得，解得， 则其定义域为. 故答案为：. 8．（25-26高一上·上海·期中）函数的定义域为______． 【答案】 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 9．函数的定义域为______． 【答案】 【详解】由题意自变量应满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 10．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）函数的定义域为_____． 【答案】 【详解】由题意，要使函数有意义， 需满足，即，解得， 所以函数的定义域为：． 故答案为： 11．若函数的定义域为，则函数的定义域是___________ 【答案】 【详解】因为函数的定义域为，所以， 所以，解得：， 所以函数的定义域是， 故答案为：. 12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 【答案】 【详解】函数的定义域为，即，所以， 所以，即， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13．已知的定义域为，则的定义域是______________. 【答案】 【详解】因为的定义域为， 对于函数，需使，解得， 即的定义域是， 故答案为： 14．函数在上有意义，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【详解】由题意可知在上恒成立， 则， 所以满足题意的实数a的取值范围为. 故答案为：. 题型三：函数的值域 15．函数的值域为______． 【答案】 【详解】由， 又，则，则，所以， 故函数的值域为． 故答案为：． 16．函数的值域为_________. 【答案】 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的定义域是，值域为. 故答案为：. 17．已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】时，不合题意， 因此且，∴， 故答案为：． 18．若函数的值域为，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【详解】解：因为函数的值域为， 所以能够取到大于等于的所有数， 当时，不合题意； 当时，则，解得； 综上可得. 故答案为：． 19．（1）求函数的值域； （2）求函数的值域. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1），， 当时，，当且仅当时等号成立； 当时，，当且仅当时等号成立. 故函数值域为； （2）函数定义域为，令 ，则，故函数值域为. 题型四：函数解析式求法 20．已知函数，则____________． 【答案】1 【详解】函数，所以. 故答案为：1 21．已知，则______． 【答案】 【详解】由题意得，， 令，由，得， ∴． 故答案为：. 22．已知函数满足：对任意非零实数x，均有，则__________． 【答案】 【详解】，取，则，即. 故答案为： 23．已知函数，且，那么=_________. 【答案】-12 【详解】由题意，，即， 故, 故答案为：-12 24．已知函数满足，则__________． 【答案】10 【详解】令得， 所以，. 故答案为：10. 25．已知函数，则的值为______． 【答案】2020 【详解】因为， 故答案为：2020． 26．已知函数满足，对任意的，，有，则___________. 【答案】 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，从而可得， 故 ， 故，故， 所以，故. 故答案为： 27.如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，其中．用直线l：（）截这个正方形，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点D部分的面积记为S，将S表示为t的函数，则其解析式为________________． 【答案】 【详解】由题意可知为等腰直角三角形，, 当直线在的左侧时，即直线与正方形的交点在上时， 即当 时，直线的左侧为等腰直角为三角形， 此时， 当直线与正方形的交点在上时， 即，直线的左侧为五边形， 则， 所以S表示为t的函数解析式为， 故答案为：. 28．已知函数. （1）求，的值； （2）求证是定值； （3）求：的值. 【详解】（1）因为， 所以，； （2）； （3）由， 所以， ， 题型五：分段函数 29．已知，则________ 【答案】2 【详解】，故. 故答案为：2 30．已知若，则__________. 【答案】2 【详解】令，解得，；令，解得，. 所以 故答案为：2 31．函数，若，则实数的值为_______. 【答案】1 【详解】由题意，解得，即实数的值为1. 故答案为：1. 32．（2025·上海静安·一模）已知函数，则___________． 【答案】 【详解】因为，则， 且， 所以 故答案为：. 33．已知，若，则______. 【答案】或 【详解】由，得； 由， 得； 由，得（舍）； 综上或. 故答案为：或. 34．已知函数的表达式为，，则______. 【答案】或3 【详解】当时，则，解得； 当时，，解得，(舍负) 综上，或， 故答案为：或3． 35．已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】由，可得. 因为，作出函数的图象如下图所示： 当时，， 当时，由， 即，解得或（舍）. 若，则有，且， 若使得满足不等式恰有一个整数解， 由图可知，则该整数解为，且不是不等式的解， 则，即； 若，则，无解； 若，则有， 由图可知，则满足不等式的整数解为， 且与都不是不等式的解，且， 所以，即. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型六：函数图像与变换 36．（25-26高一上·上海黄浦·阶段检测）如果一个函数的图象通过平移后可以得到函数的图象，那么这个函数可以是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因为， 所以将函数的图象向左平移一个单位，可得函数的图象， 再将函数的图象向上平移一个单位，可得函数的图象，故A错误， 对于B，因为， 所以将函数的图象向左平移一个单位，可得函数的图象， 再将函数的图象向上平移一个单位，可得函数的图象，故B错误， 对于C，因为， 所以将函数的图象向左平移一个单位，可得函数的图象， 再将函数的图象向上平移一个单位，可得函数的图象，故C错误， 对于D，因为， 所以将函数的图象向左平移一个单位，可得函数的图象， 再将函数的图象向上平移一个单位，可得函数的图象，故D正确. 故选：D. 37．（25-26高一上·上海·期中）函数的图象的对称中心为______． 【答案】 【详解】函数， 则函数的图象可由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得， 而函数图象的对称中心为，所以函数的图象的对称中心为. 故答案为： 38．（25-26高一上·上海·期中）函数的图象向右平移个单位得到函数___________的图象． 【答案】 【详解】将的图象向右平移个单位得到函数的图象， 故答案为：. 39．（24-25高一上·上海·阶段检测）设函数，将向左平移个单位得到函数，将向上平移个单位得到函数，若的图像恒在的图像的上方，则正数的取值范围为______． 【答案】 【详解】解：由左平移个单位得到函数； 由向上平移个单位得到函数； 在同一坐标系内作出函数，，的图象，如图所示： 因为的图像恒在的图像的上方， 由图象知；恒成立， 即 恒成立， 则，解得， 正数的取值范围为， 故答案为： 40．给出下列4个结论， ①函数与函数的定义域相同； ②函数（为常数）图像可由的图像平移得到； ③函数的图像关于原点成中心对称且的图像关于轴对称； ④若幂函数的图像关于原点成中心对称，则是定义域上的严格增函数，则以上结论中正确结论为______________．（填序号） 【答案】①②③ 【详解】对①，函数的定义域为， 要使函数有意义，则，所以，故①正确； 对②，， 当时，函数（为常数）图像可由的图像向左平移个单位得到， 当时，函数（为常数）图像可由的图像向右平移个单位得到， 所以函数（为常数）图像可由的图像平移得到，②正确； 对③，函数定义域为， ， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 又因为函数为奇函数， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，③正确； 对④，如幂函数关于原点中心对称， 但该幂函数在上单调递减，④错误； 故答案为:①②③. 41．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知函数，若将该函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（其中）后所得到的曲线依然可以看成是某一个函数的图象，则锐角的最大值为________．（用角度表示） 【答案】 【详解】画出函数的图象，如图，在轴正半轴上取一点，则， 由图可知，当函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角大于时， 旋转所得的图象与垂直于轴的直线就有两个交点，此时曲线不是一个函数的图象， 故的最大值是， 故答案为： 42．（24-25高一上·上海宝山·阶段检测）若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图像上；②关于原点对称，则对称点是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）．已知函数，则的“友好点对”有__________个． 【答案】2 【详解】如图： 设函数为奇函数，当时，， 当时，，所以， 又，所以，. 作出函数图象， 因为，， 所以函数与在和上各有一个交点. 故答案为：2 43．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知函数（，常数） (1)讨论的奇偶性，并说明理由； (2)若，将的图像向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到的图像，求的解析式. 【详解】(1)的定义域为 当时，，所以为偶函数； 当时，，且，所以既不是奇函数也不是偶函数. （2）∵，∴， 则， 即. 44．已知幂函数满足：①在区间上是严格增函数；②函数图像关于原点对称. (1)求同时满足①②的幂函数的表达式. (2)在（1）条件下，图像先向左平移了2个单位，再向上平移了1个单位，恰好和函数的图像重合，求函数的表达式. 【详解】（1）∵幂函数在区间上是严格增函数， ∴，即解得， 又∵，∴或. 当时，为偶函数，图像关于轴对称，不满足②， 当，为奇函数，图像关于原点对称，满足②. 故 （2）由（1）知， 图像先向左平移了2个单位，再向上平移了1个单位，得到的图像，即. 题型七：函数的单调性 45．（25-26高一上·上海·期末）已知函数． (1)求证：时，是上的严格减函数； (2)若对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 【详解】(1)当时，， 设，且，则， 所以， 即， 所以是上的严格减函数; （2）由， 所以对任意的，都有， 当时，，由于定义域，所以的值域为，因为， 所以对任意，存在，使得，故 当时，，由于在上单调递增， 可得的值域也为，因为， 所以对任意，存在，使得，故 当时，是奇函数，只需要研究， 则当时，有，当时取等号， 结合奇函数可得， 的值域为， 由于对任意，存在，使得， 所以， 则 ，又因为，所以， 综上可得：实数的取值范围是. 46．（25-26高一上·上海奉贤·阶段检测）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中自驾时，自驾群体中的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)在什么范围时，自驾群体的人均通勤时间多于公交群体的人均通勤时间？ (2)若该地上班族共人，求该地上班族的人均通勤时间的表达式，讨论的单调性． 【详解】（1）当时，自驾群体中的人均通勤时间为30分钟，小于公交群体的人均通勤时间，不满足条件， 当时，，整理为， 解得：或， 综上可知，； （2）当时，， 当时， ， 综上可知，， 当，单调递减， 当，的对称轴为， 当，单调递减，当，单调递增， 且函数在处连续， 所以函数在区间单调递减，在区间单调递增. 47．（25-26高一上·上海奉贤·阶段检测）已知函数． (1)作出的图像并写出的单调区间以及在每个单调区间上的单调性（无需证明）． (2)解不等式． (3)若满足，且，求证：． 【详解】（1）由， 当时，，函数在上单调递增，且， 当时，，函数在上单调递增，且， 当时，，函数在上单调递减， ∴在上单调递增，在上单调递减； （2）由，得， 当时，，，则由不等式，可得， 结合在上单调递增，可得：，则，解得； 综上，； (3)证明：由题意（1）及（2）可知， 当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 若满足，则， 由图象知： ①若，则， ②若，要证明，则要证， 注意到，且在上递减，则可证明， ∵，则可证明， 构造函数，则， 对任意的 即在上单调递减， 时，，即， 从而得证. 48．已知函数是奇函数，且． (1)求和的值； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式． 【详解】（1）因为是奇函数，所以，即，解得， 当时，，可知，所以是奇函数. 因为，即，所以. （2）在上单调递增. 证明：由（1）可知，， 任取，且，则 ， 因为，且在上单调递增，所以，即， 又，故，即， 因此在上单调递增. （3）解不等式， 因为是奇函数，所以， 又在上单调递增，故：， 即，所以， 进而有，解得， 因此不等式的解集为. 49．（25-26高一上·上海·期末）已知函数． (1)若，求的值； (2)判断函数在的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； (3)求关于的不等式的解集． 【详解】（1）由解得或，即的定义域为. 若，则，所以，解得. （2）函数在上单调递增，证明如下： ，且， 则 ， 因为，且，所以， 所以，且， 所以，因此即， 所以函数在上单调递增. （3）因为， 且的定义域为， 所以函数为奇函数，故在上单调递增， 因为， 所以当时，不等式； 当时，，所以， 所以恒成立，此时无实数解. 综上，的解集为 题型八：函数的奇偶性 50．（25-26高一上·上海普陀·期末）设． (1)若函数是定义在上的奇函数，求的值； (2)设，若，集合，，，求的取值范围． 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得，解得， 此时，，是奇函数， 所以. （2）当时，，函数在R上单调递增，函数在R上单调递减， 则函数在R上单调递增，而， 由，得，解得，因此， 由，解得或，因此， 由，得，解得， 所以的取值范围是. 51．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数，且在区间上是严格增函数． (1)求的值； (2)设定义域为的函数为奇函数，当时，，求的表达式. 【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或. 当时，在上是严格减函数，所以不符合题意； 当时，在上是严格增函数，所以符合题意. 故. （2）当时，，又，解得， 时，， 当时，，因为为奇函数，所以，又， 52．（25-26高一上·上海·期末）对于定义在上的函数，记集合，． (1)若，直接写出和； (2)若，求的最小值； (3)已知函数有最小值，证明：“是偶函数”的充要条件为“对任意，都有”． 【详解】（1）当时，，， 则，. （2）作出函数的图象： 由图知，当时，， 若，则的最小值为0，若，则的最小值为； 当时，， 若时，的最小值为；当时，的最小值为0. 故的最小值为. （3）证明：必要性：若为偶函数，则， 当，因为，故； 充分性：取正实数，均有，其中， 因为有最小值，不妨设，由于任意，令，则， 故最小元素为，中最小元素为， 又 则对任意成立，则 ， 若，则对任意成立是偶函数， 若，此后取，， 综上，任意，即是偶函数. 故“是偶函数“的充要条件是“对于任意实数，均有”. 53．（25-26高一上·上海·期末）设函数的定义域为，．定义集合． (1)设，求； (2)若，且对任意，都有，求的最小值； (3)设，证明：“函数是偶函数”的充分必要条件是“对任意实数，都有”． 【详解】（1）由题意知，则， 又，即， 得，解得， 故； （2）由题意知，，且对任意，都有， 对任意和任意，令，则， 即任意，，都有， 故函数在上单调（非严格）递增， ①当时，则， 函数，令，则， 则，由在上单调递增； 则由函数与复合而成， 故由复合函数单调性可知，在上单调递增， 又，对任意，则，所以恒成立， 故； ②当时，，， 函数， 当，令，则， 则，由在上单调递减； 则由函数与复合而成， 故由复合函数单调性可知，在上单调递减， 又，取，则存在正数，使得， 则成立，故，这与任意，都有矛盾， 故时不满足题意； 综合①②可知，的最小值为. （3）必要性证明： 若，是偶函数， 则任意，. 则， 故必要性得证； 充分性证明： 若对任意实数，都有，下面用反证法证明是偶函数. 假设不是偶函数，则，使得， 取， ①若，则， 由且， 得，且， 所以，这与矛盾； ②若，则， 则由且， 得，且， 而与同时成立是矛盾的； 故由①②可知，假设错误，即是偶函数， 故充分性得证. 综上所述，“函数是偶函数”的充分必要条件是“对任意实数，都有”． 题型九：函数的对称性与周期性 54．（24-25高一上·上海·期末）， ______ 【答案】 【详解】因为，所以 ， 则 . 故答案为：. 55．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知函数满足对任意实数均成立．若，，则______． 【答案】1 【详解】由， 得， 两式相减得， 若，则， 当时可得，与矛盾，等式不成立， 因此，即，函数是周期为3的周期函数， 所以. 故答案为：1 56．（24-25高一上·上海徐汇·期末）若函数的图象关于直线对称，则的最大值为__________. 【答案】 【详解】由，可得为的两个零点， 又函数图象关于直线对称，则、也是函数的零点， 所以是的两个根，则， 所以 ， 令，则， 所以，当，即时，最大值. 故答案为： 57．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知， (1)作出图象，若方程有两解，求的取值范围； (2)已知与图象关于点对称，求解析式，并解不等式. 【详解】（1）由，图象如下： 由方程有两解，等价于函数与有两个交点， 由图可知，，则的取值范围为. （2）因为与图象关于点对称， 所以，则， 不等式， 则不等式的解集为. 58．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. (1)若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； (2)若函数是在D上的"L函数"，求实数m的取值范围； (3)若，函数是在D上的"L函数"，满足，设函数是定义在上周期为1的周期函数，满足当时，；求证:对任意的都有 【详解】(1)是，理由如下： 对任意的，且， ，. 显然有， 所以函数是函数在上的“L函数”. （2）已知， 因为函数是在D上的“L函数”， 所以对任意有| 即 因为所以 则变为 根据分子有理化 = 所以， 因为所以 两边同时除以得： 因为 所以 则即解得：. 又因为在上有意义，所以， 综上，m的取值范围是； （3）已知函数是在D上的“L函数”， 所以对任意有. 因为， 所以对任意   因为函数是定义在上周期为1的周期函数， 当时，, 所以对任意，存在使得，其中 则 又因为所以，故. 题型十：恒成立 / 存在性、新定义 59．（25-26高一上·上海宝山·期末）设，是定义在上的两个函数，若对于任意，有恒成立，下列四个命题正确的是（   ） A．若是奇函数，则也一定是奇函数 B．若是偶函数，则也一定是偶函数 C．若是上的严格增函数，则在上一定是严格减函数 D．若存在非零常数m，使得对任意都满足成立，则对任意都满足也成立 【答案】D 【详解】选项A：已知是奇函数，则， 令，，则， 由可得， 仅根据此式不能得出，所以不能确定是奇函数，A错误. 选项B：已知是偶函数，则， 令，，则， 由可得， 仅根据此式不能得出，所以不能确定是偶函数，B错误. 选项C：若 严格递增，即 （）， 则 ， 但 的单调性无法确定， 如 ， 时， 为常数函数，C错误. 选项D：已知存在非零常数，使得对任意都满足成立， 则是周期为的周期函数， 令，，则， 由可得， 即，所以， 令替换为，可得，D正确 故选：D. 60．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知函数，的图像关于点成中心对称． (1)求的值； (2)求函数的单调区间并指出在每一个单调区间上函数的单调性； (3)若对任意都有成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为函数，的图像关于点成中心对称， 所以，即， 所以的图像关于点成中心对称，； （2）， 当时，， 令，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为函数关于点对称， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为， 所以函数的单调递增区间为，递减区间为和； （3）函数关于点对称， 所以， 所以由， 设，则为奇函数，且单调递增区间为，递减区间为和； 且，当时，，当时，， 原不等式可化为，， 所以，， 所以对任意的恒成立， 对于，可得， 而，当且仅当时等号成立，故， 对于，可得对任意的恒成立，则； 综上所述：实数的取值范围为. 61．（25-26高一上·上海·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且． (1)求函数的表达式； (2)设函数，若对任意的，存在使得成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）依题意函数是定义域为的奇函数， 所以，所以，又，解得． 此时，经检验，该函数为奇函数，故． （2）由（1）得， 若对任意的，存在，使得成立，则． 接下来证明函数在上为增函数， 任取、且，则，，所以， 当且仅当或时，，这与矛盾，故，且， ，故，即函数在上为增函数， 因为，故， 存在，成立，即． 若，则在上为增函数， 此时，解得， 若，则，此时符合题意． 若，则在上为减函数， 此时，解得，故符合题意， 综上可知：，即实数的取值范围是． 62．（25-26高一上·上海·期末）若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“负倒域区间”． (1)设，求的“负倒域区间”； (2)已知定义域为的函数． ①求函数在内的“负倒域区间”； ②求函数在定义域内的所有“负倒域区间”． 【详解】（1）由题意得，且在上单调递增， 设的“负倒域区间”为，则， 可得，则是方程的两根， 化简得，解得或， 则的“负倒域区间”为. （2）对于①，因为， 且， 所以， 可得是奇函数，且当时，， 当时，，则， 则由二次函数性质得在上单调递增， 设的“负倒域区间”为， 则，可得，得到是方程的两根， 化简可得方程为，解得或（其它根舍去）， 则在内的“负倒域区间”为. 对于②，当异号时，设， 此时，，不符合题意，则一定同号， 而是奇函数，则讨论在的情况即可， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 当时，设的“负倒域区间”为， 则，可得，得到是方程的两根， 化简可得方程为，解得或（其它根舍去）， 则在内的“负倒域区间”为， 当时，设的“负倒域区间”为， 则，此时在上单调递减， 由二次函数性质得的对称轴为， 则最小值为，可得， 解得，发现矛盾，故排除，当在上时， 由对称性可得的“负倒域区间”为， 综上可知，函数在定义域内的所有“负倒域区间”为和. 63．（25-26高一上·上海·期末）对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有，并且，则称函数为“倒函数”， (1)判断函数和是否为倒函数，并说明理由； (2)若是定义域为的偶函数，且恒成立，是定义域为的奇函数，求证：是倒函数； (3)若函数为倒函数，求实数m、n的值；判断函数的单调性，并用单调性的定义加以证明． 【详解】(1)依题意，函数为“倒函数”，函数的定义域必关于原点对称， 函数的定义域为， 显然1在定义域内，而不在定义域内，即不是“倒函数”； 函数定义域为R，而， 即不是“倒函数”，所以函数和都不是“倒函数”. (2)因函数是偶函数，是奇函数，则它们的定义域必关于原点对称， 依题意，的定义域是函数与的定义域的交集，也必关于原点对称， 因此， 所以是倒函数. (3)显然，函数的定义域关于原点对称，又是倒函数， 于是得， 则，又，解得，所以实数m、n的值分别为； 函数是R上的增函数， ，且， 则 ， 显然，即，而，即，于是有， 即，所以函数是R上的增函数. 64．（25-26高一上·上海浦东新·期末）对于定义域为的函数，以及集合，若对任意的，都有成立，则称：函数满足“关联”． (1)若，分别判断函数是否满足“关联”，“关联”（无需说明理由）； (2)若定义域为的函数满足“关联”，且当时，，解不等式； (3)已知对于定义域为的函数，有如下的两个陈述句：：函数满足“关联”，且满足“关联”；：函数满足“关联”.判断是的什么条件，并证明你的结论. 【详解】（1）因为若对任意的， 则； 而若，则； 所以满足“关联”，不满足“关联”； （2）满足“关联”，对于任意，都有， 即对于任意，都有，即，即， 当时，，， 令，解得； 当时，， 令，解得； 当时，总存在，使得，， 则， 无解； 当时，总存在，使得，， 则，无解； 综上所述，不等式的解是； (3)充要条件，证明如下： ①若函数满足“关联”， 即对于任意，都有， ，， 又是关联的，任取，成立，即是增函数， 任取，则， ，， ，满足“关联”， 是的充分条件； ②若函数满足“关联” 即对于任意，都有成立， 当，都有即， 若存在使得，则， 这与满足，都有相矛盾， 所以成立，即满足“关联”， 任取则存在，使得任取 因为， 又因为满足“关联”，， 所以， 即，所以满足“关联”， 是的必要条件. 综上所述：是的充要条件. 65．（25-26高一上·上海·期末）对于函数，若存在实数，使得为上的奇函数，则称是位差值为的“位差奇函数”． (1)判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由； (2)若是位差值为1的位差奇函数，求的值； (3)若对于任意，都不是位差值为的位差奇函数，求实数的取值范围． 【详解】(1)因为， 所以， 令，定义域为关于原点对称， 且，所以为奇函数， 所以对于任意，都有为位差奇函数； 又，则， 令，由的定义域为关于原点对称， 若为奇函数，则， 即，整理得：， 该式子仅在时成立，不满足对定义域内任意恒成立； 故函数不是奇函数，所以不是位差奇函数. （2）若是位差值为1的位差奇函数， 则 设，则根据题意得为奇函数， 即， 即 整理得恒成立，从而. （3）由， 则 ， 令， 若函数为奇函数，则对任意的恒成立， 由 ， 因为不恒为0， 所以函数为奇函数的条件为， 由题意知若函数不是奇函数， 则需对任意恒成立， 即方程在无解， 又，所以， 所以的取值范围是. 66．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，对于定义域为的函数与，若函数是区间上的单调函数，则称与在区间上满足“性质”． (1)设．若与在区间上满足“性质”，求的取值范围； (2)设．若与在区间上满足“性质”，求的取值范围； (3)设，若不是常值函数，且对任意、，与在上都满足“性质”．求证：存在实数、使得． 【详解】（1）因为在区间上满足“性质”， 故在上为单调函数， 因为为开口向上的抛物线，故即. （2）由题设有在上为单调函数， 设， 则 , 因为，故，， 而为上的单调函数， 故在上恒成立或在上恒成立， 而，，故或， 故或. (3)因为对任意、，与在上都满足“性质”， 故为上的单调函数， 取，则，故为上的单调函数； 取，则，故为上的单调函数； 又当时恒成立或恒成立， 故对任意的有序数对， 恒成立或 恒成立，其中， 先考虑为上的单调增函数， 因为不是常值函数，故存在，使得， 设，不妨设，则， 若存在，设，其中， 若，当时，， 且， 当时，， 且， 考虑， 故，时或，这与为单调函数矛盾； 同理，时，或，这与为单调函数矛盾； 故即任意，有， 同理可证：当为上的单调减函数，上述结论也成立. 故，取， 故存在，使得. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 函数的概念与基本性质十重难点题型 题型一 函数概念与同一函数判断 题型二 函数定义域求解 题型三 函数的值域 题型四 函数解析式求法 题型五 分段函数 题型六 函数图像与变换 题型七 函数的单调性 题型八 函数的奇偶性 题型九 函数的对称性与周期性 题型十 恒成立 / 存在性、新定义 题型一：函数概念与同一函数判断 1．以下图形中，不是函数图象的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．下列函数中与函数相同的是（    ） A． B． C． D． 4．下列四组函数中，与表示同一函数是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．下列各组函数中，同组的两个函数是相同函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型二：函数定义域求解 6．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）函数的定义域是______. 7．（25-26高一上·上海宝山·期中）函数的定义域是__________. 8．（25-26高一上·上海·期中）函数的定义域为______． 9．函数的定义域为______． 10．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）函数的定义域为_____． 11．若函数的定义域为，则函数的定义域是___________ 12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 13．已知的定义域为，则的定义域是______________. 14．函数在上有意义，则实数a的取值范围为______． 题型三：函数的值域 15．函数的值域为______． 16．函数的值域为_________. 17．已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________. 18．若函数的值域为，则实数的取值范围为__________． 19．（1）求函数的值域； （2）求函数的值域. 题型四：函数解析式求法 20．已知函数，则____________． 21．已知，则______． 22．已知函数满足：对任意非零实数x，均有，则__________． 23．已知函数，且，那么=_________. 24．已知函数满足，则__________． 25．已知函数，则的值为______． 26．已知函数满足，对任意的，，有，则___________. 27.如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，其中．用直线l：（）截这个正方形，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点D部分的面积记为S，将S表示为t的函数，则其解析式为________________． 28．已知函数. （1）求，的值； （2）求证是定值； （3）求：的值. 题型五：分段函数 29．已知，则________ 30．已知若，则__________. 31．函数，若，则实数的值为_______. 32．（2025·上海静安·一模）已知函数，则___________． 33．已知，若，则______. 34．已知函数的表达式为，，则______. 35．已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是________． 题型六：函数图像与变换 36．（25-26高一上·上海黄浦·阶段检测）如果一个函数的图象通过平移后可以得到函数的图象，那么这个函数可以是（   ）． A． B． C． D． 37．（25-26高一上·上海·期中）函数的图象的对称中心为______． 38．（25-26高一上·上海·期中）函数的图象向右平移个单位得到函数___________的图象． 39．（24-25高一上·上海·阶段检测）设函数，将向左平移个单位得到函数，将向上平移个单位得到函数，若的图像恒在的图像的上方，则正数的取值范围为______． 40．给出下列4个结论， ①函数与函数的定义域相同； ②函数（为常数）图像可由的图像平移得到； ③函数的图像关于原点成中心对称且的图像关于轴对称； ④若幂函数的图像关于原点成中心对称，则是定义域上的严格增函数，则以上结论中正确结论为______________．（填序号） 41．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知函数，若将该函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（其中）后所得到的曲线依然可以看成是某一个函数的图象，则锐角的最大值为________．（用角度表示） 42．（24-25高一上·上海宝山·阶段检测）若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图像上；②关于原点对称，则对称点是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）．已知函数，则的“友好点对”有__________个． 43．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知函数（，常数） (1)讨论的奇偶性，并说明理由； (2)若，将的图像向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到的图像，求的解析式. 44．已知幂函数满足：①在区间上是严格增函数；②函数图像关于原点对称. (1)求同时满足①②的幂函数的表达式. (2)在（1）条件下，图像先向左平移了2个单位，再向上平移了1个单位，恰好和函数的图像重合，求函数的表达式. 题型七：函数的单调性 45．（25-26高一上·上海·期末）已知函数． (1)求证：时，是上的严格减函数； (2)若对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 46．（25-26高一上·上海奉贤·阶段检测）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中自驾时，自驾群体中的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)在什么范围时，自驾群体的人均通勤时间多于公交群体的人均通勤时间？ (2)若该地上班族共人，求该地上班族的人均通勤时间的表达式，讨论的单调性． 47．（25-26高一上·上海奉贤·阶段检测）已知函数． (1)作出的图像并写出的单调区间以及在每个单调区间上的单调性（无需证明）． (2)解不等式． (3)若满足，且，求证：． 48．已知函数是奇函数，且． (1)求和的值； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式． 49．（25-26高一上·上海·期末）已知函数． (1)若，求的值； (2)判断函数在的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； (3)求关于的不等式的解集． 题型八：函数的奇偶性 50．（25-26高一上·上海普陀·期末）设． (1)若函数是定义在上的奇函数，求的值； (2)设，若，集合，，，求的取值范围． 51．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数，且在区间上是严格增函数． (1)求的值； (2)设定义域为的函数为奇函数，当时，，求的表达式. 52．（25-26高一上·上海·期末）对于定义在上的函数，记集合，． (1)若，直接写出和； (2)若，求的最小值； (3)已知函数有最小值，证明：“是偶函数”的充要条件为“对任意，都有”． 53．（25-26高一上·上海·期末）设函数的定义域为，．定义集合． (1)设，求； (2)若，且对任意，都有，求的最小值； (3)设，证明：“函数是偶函数”的充分必要条件是“对任意实数，都有”． 题型九：函数的对称性与周期性 54．（24-25高一上·上海·期末）， ______ 55．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知函数满足对任意实数均成立．若，，则______． 56．（24-25高一上·上海徐汇·期末）若函数的图象关于直线对称，则的最大值为__________. 57．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知， (1)作出图象，若方程有两解，求的取值范围； (2)已知与图象关于点对称，求解析式，并解不等式. 58．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. (1)若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； (2)若函数是在D上的"L函数"，求实数m的取值范围； (3)若，函数是在D上的"L函数"，满足，设函数是定义在上周期为1的周期函数，满足当时，；求证:对任意的都有 题型十：恒成立 / 存在性、新定义 59．（25-26高一上·上海宝山·期末）设，是定义在上的两个函数，若对于任意，有恒成立，下列四个命题正确的是（   ） A．若是奇函数，则也一定是奇函数 B．若是偶函数，则也一定是偶函数 C．若是上的严格增函数，则在上一定是严格减函数 D．若存在非零常数m，使得对任意都满足成立，则对任意都满足也成立 60．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知函数，的图像关于点成中心对称． (1)求的值； (2)求函数的单调区间并指出在每一个单调区间上函数的单调性； (3)若对任意都有成立，求实数的取值范围． 61．（25-26高一上·上海·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且． (1)求函数的表达式； (2)设函数，若对任意的，存在使得成立，求实数的取值范围． 62．（25-26高一上·上海·期末）若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“负倒域区间”． (1)设，求的“负倒域区间”； (2)已知定义域为的函数． ①求函数在内的“负倒域区间”； ②求函数在定义域内的所有“负倒域区间”． 63．（25-26高一上·上海·期末）对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有，并且，则称函数为“倒函数”， (1)判断函数和是否为倒函数，并说明理由； (2)若是定义域为的偶函数，且恒成立，是定义域为的奇函数，求证：是倒函数； (3)若函数为倒函数，求实数m、n的值；判断函数的单调性，并用单调性的定义加以证明． 64．（25-26高一上·上海浦东新·期末）对于定义域为的函数，以及集合，若对任意的，都有成立，则称：函数满足“关联”． (1)若，分别判断函数是否满足“关联”，“关联”（无需说明理由）； (2)若定义域为的函数满足“关联”，且当时，，解不等式； (3)已知对于定义域为的函数，有如下的两个陈述句：：函数满足“关联”，且满足“关联”；：函数满足“关联”.判断是的什么条件，并证明你的结论. 65．（25-26高一上·上海·期末）对于函数，若存在实数，使得为上的奇函数，则称是位差值为的“位差奇函数”． (1)判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由； (2)若是位差值为1的位差奇函数，求的值； (3)若对于任意，都不是位差值为的位差奇函数，求实数的取值范围． 66．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，对于定义域为的函数与，若函数是区间上的单调函数，则称与在区间上满足“性质”． (1)设．若与在区间上满足“性质”，求的取值范围； (2)设．若与在区间上满足“性质”，求的取值范围； (3)设，若不是常值函数，且对任意、，与在上都满足“性质”．求证：存在实数、使得． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $