专题01 函数的概念与表示中的三类综合问题（压轴题专项训练）数学沪教版2020必修第一册

专题01 函数的概念与表示中的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、函数的概念问题 类型二、函数的定义域问题 类型三、函数的表示 压轴专练 类型一、函数的概念问题 1.函数的概念 设A,B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数. 2.判断对应是否为函数的方法 函数f：A→B,满足两个允许、两个不允许： (1)允许多对一,不允许一对多；(2)允许B中有剩余元素,不允许A中有剩余元素. 3.同一函数的判定 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是,函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同,只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值,按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)． 【例1】存在函数满足：都有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：令,则,故,显然不满足函数定义；B：令,则,故,显然不满足函数定义；C：令,则,故,显然不满足函数定义；D：令,则,故,满足函数定义.故选D. 【变式1-1】若函数的定义域,值域,则函数的图像可能是（    ） A．     B．   C．     D．   【答案】B 【解析】选项A,定义域为,与条件不符,故A错误；选项B,定义域、值域均与条件相符,故B正确；选项C,不符合函数的定义,在内的任一的值,在内并非只有唯一的值与之对应,故C错误；选项D,值域与条件不符,故D错误．故选B． 【变式1-2】存在函数,满足对任意都有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据函数的定义,对任意的,按照某种对应法则,存在唯一的与之对应. 对于选项A：若取,则有,取,则有,不满足函数定义,选项A错误； 对于选项B：若取,则有,取,则有,不满足函数定义,选项B错误； 对于选项C：令,, 所以,即,令,则有, 即, 所以存在这样的函数, C选项正确；对于D选项：若取,则有,取,则有,不满足函数定义,选项D错误；故选C. 【例2】（上海市长宁区2024-2025学年高一上学期期末）下列函数与是相同函数的是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的定义域为,对于A：易知,定义域为,错；对于B: ,定义域为,对；对于C：,定义域为,错；对于D：,错；故选B. 【变式2-1】（上海市闵行区2024-2025学年高一上学期期末）下列四组函数中,同组的两个函数是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】A选项,,,两函数对应法则不同,故不是同一函数,A错误； B选项,令,解得,的定义域为,的定义域为R,两函数定义域不同,不是同一函数,B错误；C选项,的定义域为,的定义域为,两函数定义域不同,不是同一函数,C错误；D选项,,, 两函数定义域和对应法则均相同,为同一函数,D正确.故选D. 类型二、函数的定义域问题 1.给出解析式确定函数的定义域 给定函数解析式求定义域往往转化为解不等式(组)的问题,在解不等式(组)取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍．注意定义域是一个集合,要用集合或区间表示.常见基本初等函数定义域的基本要求为： (1)分式的分母不为零； (2)偶次根式的被开方数不小于零； (3)对数函数的真数必须大于零； (4)零次幂的底数不能为零； (5)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求 2．抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a,b),则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得f(x)的定义域． 3.由函数定义域确定参数范围 已知函数定义域求参数范围,可将问题转化成含参数的不等式,然后求解． 【例3】（上海市上海中学东校2024-2025学年高一上学期期末）函数的定义域为 . 【答案】； 【解析】函数的定义域应满足：,解得且, 所以函数的定义域为. 【变式3-1】函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使函数有意义,则,即,解得或3＜x＜4,故函数的定义域为． 故选D． 【例4】（上海市进才中学2024-2025学年高一上学期12月月考）已知函数的定义域是,则函数的定义域为 . 【答案】 【解析】由题意知.故答案为. 【变式4-1】若函数的定义域为,则函数的定义域为 . 【答案】 【解析】对于,因为,所以由的单调性得,即,所以对于,有,即,由的单调性得,解得,所以的定义域为. 【变式4-2】已知函数的定义域为,则的定义域为 【答案】 【解析】因为函数的定义域为,所以要使函数有意义,则,所以,所以函数定义域为. 【例5】函数的定义域为R,则实数a的取值范围为________； 【答案】 【解析】该函数的定义域为R,则没有实根,所以,a的取值范围为. 【变式5-1】函数的定义域为R,则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】函数的定义域为R,则恒成立,且恒成立,因为,所以 类型三、函数的表示 1.给出的解析式求的解析式一般可用换元法,方法是： 设．反解出x,代入,有时反解x不容易,可考虑整体代入. 2.给出函数类型求解析式,可考虑用待定系数法. 3.若所给条件是关于或关于的等式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)． 【例6】（上海市进才中学2024-2025学年高一上学期12月月考）已知函数满足,则的解析式为 . 【答案】 【解析】令.即, 【变式6-1】（上海市奉贤中学2024-2025学年高一上学期12月月考）已知函数,则 . 【答案】 【解析】令,则,所以,所以. 【例7】已知二次函数满足条件,且.则= . 【答案】 【解析】由题意设,,因为,所以,又因为,所以,即,所以,解得,所以. 【变式7-1】（上海市上海中学东校2024-2025学年高一上学期期中）二次函数满足对任意的,恒成立． (1)求证：为定值； (2)若,求二次函数的表达式； (3)求的取值范围． 解：（1）对任意的,恒成立,则, 所以,为定值. （2）由（1）知,,由,得,则, ,不等式, 依题意,一元二次不等式恒成立,则, 解得,此时,恒成立, 所以. （3）由（1）知,,, 不等式, 依题意,一元二次不等式恒成立, 则,且方程有相等的实数根,因此, 不等式, 同理,且方程有相等的实数根,因此, 从而,, 所以的取值范围是. 【例8】若,则 ． 【答案】 【解析】由①,将用代替得②,由①②得. 【变式8-1】若函数满足,则（    ） A．7 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】,①取代入,,② 由2①+②可得：,所以, 则. 一、填空题 1．函数在上有意义,则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意可知在上恒成立,则, 所以满足题意的实数a的取值范围为. 2．（上海市闵行区闵行中学2024届高三上学期12月月考）已知函数的定义域为,值域为的子集,则满足的函数的个数为 . 【答案】7 【解析】因为,所以,此时是一个函数； 因为,所以,,的值为0,1,其中一个,这样的函数共有个； 所以符合条件的函数共有个. 3．设定义在R上的函数满足,且对任意x,都有,则 ； . 【答案】 2 【解析】令得.令则,即. 故, 故 ...,即,. 4．已知函数满足,对任意的,,有,则 . 【答案】 【解析】因为,所以, 因为,所以,从而可得,故 ,故,故, 所以,故. 5．如图,在平面直角坐标系中,正方形的边长为,其中．用直线l：（）截这个正方形,将正方形分为两个部分,其中包含了顶点D部分的面积记为S,将S表示为t的函数,则其解析式为 ． 【答案】 【解析】由题意可知为等腰直角三角形,,当直线在的左侧时,即直线与正方形的交点在上时,即当 时,直线的左侧为等腰直角为三角形, 此时,当直线与正方形的交点在上时,即,直线的左侧为五边形,则,所以S表示为t的函数解析式为. 6.（上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中）已知函数,且同时满足下列三个条件：①对任意的,都有成立；②对任意的,都有成立；③对于,都有成立,则 ． 【答案】 【解析】由①得,∴,因此由②得, 又,而,所以,所以,所以,又,所以,从而,由③得时,, 所以, 而,所以,所以 二、选择题 7．已知函数,则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令,则,所以, 所以.故选D. 8．下列四组函数中,表示相同函数的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,的定义域为,的定义域为,定义域不同,所以不是相同的函数；对于B,的定义域为,的定义域为,定义域不同,所以不是相同的函数；对于C,的定义域为,的定义域为,定义域相同,对应关系也相同,所以是相同的函数；对于D,的定义域为,的定义域为,定义域相同,,对应关系不同,所以不是相同的函数；故选C. 9．已知函数,分别由下表给出,且,,则（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】由题知,,所以,所以,① 又,则,所以,② 联立①②解得,,所以,故选C. 10．已知,,下列对应法则不可以作为从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项,当时,,且,A中的对应法则可以作为从到的函数；对于B选项,当时,,且,B中的对应法则可以作为从到的函数； 对于C选项,当时,,且,C中的对应法则不能作为从到的函数； 对于D选项,当时,,则,且, D中的对应法则可以作为从到的函数.故选C. 11．（上海市杨浦区复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末）如果函数满足对任意实数x都有成立,则称为定义在上的“Y函数”,若存在整数,使得为整数,则称为的“Y点”,则对于所有的“Y函数”,它们不同的“Y点”个数之和为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．至少3个 【答案】A 【解析】假设存在“Y点”即,其中k为整数,又任意的实数x,都有成立,则,又因为,,所以,得若是“Y点”,则,也是“Y点”,所以所有的“Y点”构成以公差为1 的等差数列,故若存在一个“Y点”,就会有无数个“Y点”,若不存在“Y点”,自然“Y点”个数为0.故选A. 12．（上海市川沙中学2024-2025学年高一上学期12月阶段考试）函数定义域为的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的定义域为,所以对任意的恒成立,当时,不等式变形为,解得,不符合题意,当时,不等式的解集为,所以,解得,综上所述：函数的定义域为,则的取值范围；所以是函数的定义域为的一个必要不充分条件,故A错误；所以是函数的定义域为的一个必要不充分条件,故B错误；是函数的定义域为的一个充分不必要条件,故C正确；是函数的定义域为的一个充要条件,故D错误.故选C. 13．（上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中）已知,为常数,且,满足．若关于的方程只有一解,则的值的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 【答案】C 【解析】由；又或, 因为关于的方程只有一解,当为方程的唯一解时,,或方程无解,得；当不为方程的解时,, 此时,满足题意；所以或或.故选C. 14．已知函数的值域为,关于其定义域,下面说法正确的是（    ）． A． B．不可能是无穷多个闭区间的并集 C．任取中两个元素,乘积一定非负 D．可能是所有有理数以及负无理数所成集合 【答案】D 【解析】对于A：取时,函数的值域为,A错误； 对于B：可能是无穷多个闭区间的并集,比如,B错误；对于C：当函数的值域为,取其定义域,取,则,C错误；对于D：所有非正有理数以及负无理数所成集合为,此时函数的值域为.而函数在上为偶函数,所以当为正有理数时,函数值大于0,D正确.故选D. 三、解答题 15．（上海市进才中学2024-2025学年高一上学期期中）若函数对任意的均有,则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质,并说明理由； (2)全集为,函数,试证明具有性质； (3)具有性质,且,求证：对任意均有. 解：（1）因为, 则 因为,所以由基本不等式, ,且, 所以, 所以任意的成立, 即函数具有性质. （2）当为有理数时,具有性质,理由如下： , , 所以恒成立, 即对于任意有理数恒成立, 故具有性质； 当为无理数时,具有性质,理由如下： , 故具有性质P . 综上所述：当时,均有, 故函数具有性质. （3）假设为中第一个大于0的值, 则, 因为具有性质, 所以, 所以, 所以, 这与矛盾, 故原假设不成立, 所以对任意均有. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 函数的概念与表示中的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、函数的概念问题 类型二、函数的定义域问题 类型三、函数的表示 压轴专练 类型一、函数的概念问题 1.函数的概念 设A,B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数. 2.判断对应是否为函数的方法 函数f：A→B,满足两个允许、两个不允许： (1)允许多对一,不允许一对多；(2)允许B中有剩余元素,不允许A中有剩余元素. 3.同一函数的判定 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是,函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同,只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值,按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)． 【例1】存在函数满足：都有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：令,则,故,显然不满足函数定义；B：令,则,故,显然不满足函数定义；C：令,则,故,显然不满足函数定义；D：令,则,故,满足函数定义.故选D. 【变式1-1】若函数的定义域,值域,则函数的图像可能是（    ） A．     B．   C．     D．   【变式1-2】存在函数,满足对任意都有（    ） A． B． C． D． 【例2】（上海市长宁区2024-2025学年高一上学期期末）下列函数与是相同函数的是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的定义域为,对于A：易知,定义域为,错；对于B: ,定义域为,对；对于C：,定义域为,错；对于D：,错；故选B. 【变式2-1】（上海市闵行区2024-2025学年高一上学期期末）下列四组函数中,同组的两个函数是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 类型二、函数的定义域问题 1.给出解析式确定函数的定义域 给定函数解析式求定义域往往转化为解不等式(组)的问题,在解不等式(组)取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍．注意定义域是一个集合,要用集合或区间表示.常见基本初等函数定义域的基本要求为： (1)分式的分母不为零； (2)偶次根式的被开方数不小于零； (3)对数函数的真数必须大于零； (4)零次幂的底数不能为零； (5)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求 2．抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a,b),则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得f(x)的定义域． 3.由函数定义域确定参数范围 已知函数定义域求参数范围,可将问题转化成含参数的不等式,然后求解． 【例3】（上海市上海中学东校2024-2025学年高一上学期期末）函数的定义域为 . 【答案】； 【解析】函数的定义域应满足：,解得且, 所以函数的定义域为. 【变式3-1】函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【例4】（上海市进才中学2024-2025学年高一上学期12月月考）已知函数的定义域是,则函数的定义域为 . 【答案】 【解析】由题意知.故答案为. 【变式4-1】若函数的定义域为,则函数的定义域为 . 【变式4-2】已知函数的定义域为,则的定义域为 【例5】函数的定义域为R,则实数a的取值范围为________； 【答案】 【解析】该函数的定义域为R,则没有实根,所以,a的取值范围为. 【变式5-1】函数的定义域为R,则实数a的取值范围为________. 类型三、函数的表示 1.给出的解析式求的解析式一般可用换元法,方法是： 设．反解出x,代入,有时反解x不容易,可考虑整体代入. 2.给出函数类型求解析式,可考虑用待定系数法. 3.若所给条件是关于或关于的等式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)． 【例6】（上海市进才中学2024-2025学年高一上学期12月月考）已知函数满足,则的解析式为 . 【答案】 【解析】令.即, 【变式6-1】（上海市奉贤中学2024-2025学年高一上学期12月月考）已知函数,则 . 【例7】已知二次函数满足条件,且.则= . 【答案】 【解析】由题意设,,因为,所以,又因为,所以,即,所以,解得,所以. 【变式7-1】（上海市上海中学东校2024-2025学年高一上学期期中）二次函数满足对任意的,恒成立． (1)求证：为定值； (2)若,求二次函数的表达式； (3)求的取值范围． 【例8】若,则 ． 【答案】 【解析】由①,将用代替得②,由①②得. 【变式8-1】若函数满足,则（    ） A．7 B． C．4 D． 一、填空题 1．函数在上有意义,则实数a的取值范围为 ． 2．（上海市闵行区闵行中学2024届高三上学期12月月考）已知函数的定义域为,值域为的子集,则满足的函数的个数为 . 3．设定义在R上的函数满足,且对任意x,都有,则 ； . 4．已知函数满足,对任意的,,有,则 . 5．如图,在平面直角坐标系中,正方形的边长为,其中．用直线l：（）截这个正方形,将正方形分为两个部分,其中包含了顶点D部分的面积记为S,将S表示为t的函数,则其解析式为 ． 6.（上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中）已知函数,且同时满足下列三个条件：①对任意的,都有成立；②对任意的,都有成立；③对于,都有成立,则 ． 二、选择题 7．已知函数,则的解析式为（   ） A． B． C． D． 8．下列四组函数中,表示相同函数的一组是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数,分别由下表给出,且,,则（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 10．已知,,下列对应法则不可以作为从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 11．（上海市杨浦区复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末）如果函数满足对任意实数x都有成立,则称为定义在上的“Y函数”,若存在整数,使得为整数,则称为的“Y点”,则对于所有的“Y函数”,它们不同的“Y点”个数之和为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．至少3个 12．（上海市川沙中学2024-2025学年高一上学期12月阶段考试）函数定义域为的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 13．（上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中）已知,为常数,且,满足．若关于的方程只有一解,则的值的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 14．已知函数的值域为,关于其定义域,下面说法正确的是（    ）． A． B．不可能是无穷多个闭区间的并集 C．任取中两个元素,乘积一定非负 D．可能是所有有理数以及负无理数所成集合 三、解答题 15．（上海市进才中学2024-2025学年高一上学期期中）若函数对任意的均有,则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质,并说明理由； (2)全集为,函数,试证明具有性质； (3)具有性质,且,求证：对任意均有. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $