精品解析：安徽蚌埠市五河县第三片区2026-2027学年九年级上学期10月阶段教学监测数学试题

九年级二次函数练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线为（ ） A. B. C. D. 3. 若抛物线，，，为抛物线上的三个点，则（　　） A. B. C. D. 4. 关于的二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 图象与轴的交点坐标为 5. 二次函数，若，则自变量的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 已知二次函数的部分取值如表所示，由数据得，关于x的一元二次方程的解是（ ） x … 0 1 2 3 … … 0 0 … A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 若二次函数与一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表所示，根据表中的数据可知，下列说法中不正确的是（ ） x … 1 3 … y … 0 5 9 5 … A. 这个函数的图象顶点为 B. 抛物线与x轴的交点坐标为和 C. 这个函数的最大值为9 D. 当时，y的值随x值的增大而减小 9. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，且经过点，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若，则时的函数值小于时的函数值 D. 10. 已知关于的二次函数（m为常数）．若时，函数的最大值为，最小值为，且，则的值为（ ） A. 0或3 B. 0或 C. 0或或3 D. 或3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线的顶点在轴上，则该抛物线的顶点坐标为________． 12. 若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为______． 13. 为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地，为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙(墙的长度为)；另外三面用栅栏围成．已知栅栏的总长度为， 设矩形场地中垂直于墙的一边长为（如图)．矩形种植场地的面积最大值是_______． 14. 已知二次函数（为常数，）是该函数图象上一点． （1）当时，抛物线的对称轴是______． （2）当时，，则的取值范围是______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 若是关于的二次函数， （1）求m的值； （2）当时，求自变量的值． 16. 已知二次函数． （1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象回答： ①当时，求的取值范围． ②当时，的取值范围是________． 四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 17. 要修建一个圆形喷水池（如图1），在池中心竖直安装一根水管．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱（如图2）在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管应多长？ 18. 已知抛物线过 与 且有最大值 ． （1）求此二次函数的解析式； （2）抛物线与 轴交于点 ，，在抛物线上存在一点 使 的面积为 ，求出点 的坐标． 五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19. 已知二次函数，其中为实数． （1）求证：不论为何值时，这个二次函数的图像与轴必有两个交点； （2）设这个二次函数的图像与轴交于点和，且，求这个二次函数的解析式． 20. 定义：若直线（是常数）经过抛物线的顶点，则称直线是该抛物线的“最美直线”． （1）若直线是抛物线的“最美直线”，求的值； （2）平移抛物线得到抛物线，若直线是抛物线的“最美直线”，直线与轴的交点为，抛物线与轴的交点为，点与点关于原点对称，求抛物线对应的函数表达式． 六、（本大题共 2 小题，每小题 12 分，满分 24 分） 21. 已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中． （1）求抛物线的函数表达式 （2）如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E；求的最大值并求出此时点P的坐标； 22. 某超市销售一种成本为20元/件的商品，若某个月的第x天（x为整数）的售价与销量的相关信息如下表所示： 第x天 售价（元/件） 日销售量（件） 设销售该商品的日销售利润为y元． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？ （3）如果超市每销售一件商品，就捐赠m元给希望工程，若仅在第15天销售利润额达到最大值，求m的取值范围． 七、（本题满分 14 分） 23. 在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 A，B 两点，与 轴交于点 C，对称轴为 ，点 P 在该抛物线上． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点 在抛物线上，且 ，用含 m 的代数式表示 ． （3）过点 作直线 ，交 轴于点 ，当 的面积等于 时，求 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级二次函数练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：形如（a、b、c为常数，且）的函数是二次函数，即可判断． 【详解】解：A、中的最高次数为1，不是二次函数，故选项不符合题意； B、未明确，不一定是二次函数，故选项不符合题意； C、是分式形式，不是二次函数，故选项不符合题意； D、将整理得，符合二次函数的定义，是二次函数，故选项符合题意． 2. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，得到平移后解析式为：， ∴再向上平移3个单位长度所得的抛物线解析式为：； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键． 3. 若抛物线，，，为抛物线上的三个点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把点分别，，代入分别求出，，的值，再比较即可． 【详解】解：把，，分别代入得 ，，， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标满足二次函数解析式． 4. 关于的二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 图象与轴的交点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解决本题的关键 ． 根据二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴两侧的增减性以及与y轴的交点坐标判断选项即可 ． 【详解】解：二次函数为，其中，因此开口向下，选项A错误； 二次函数为，顶点坐标为，选项B错误； 开口向下时，对称轴直线的右侧，即时，函数值随增大而减小，选项C正确； 令，得，图象与轴的交点坐标为，选项D错误． 故选：C ． 5. 二次函数，若，则自变量的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；把代入函数解析式进行求解，然后问题可求解． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∵该二次函数的开口向上， ∴当时，自变量x的取值范围是或； 故选A． 6. 已知二次函数的部分取值如表所示，由数据得，关于x的一元二次方程的解是（ ） x … 0 1 2 3 … … 0 0 … A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】将方程变形为，结合表格中二次函数的对应值求解． 【详解】解：方程可变形为， 即求二次函数中函数值为时对应的值． 由表格数据得， 当时，； 当时，． 故方程的解为，． 7. 若二次函数与一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，抛物线与轴的交点问题等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．根据抛物线开口方向、对称轴和与轴的交点，确定的符号进行判断即可． 【详解】解：抛物线开口向上，故， 由一次函数图像可知，，， ， ；故A错误； 当时，二次函数，一次函数， 从图象上看，，即；故B错误； 当时，二次函数，一次函数， 从图象上看， 故， ， 的值不能确定正负，故C错误； 当时，由函数图象可知， ， ， 即，解得， ，， ，即， ，故D正确． 8. 二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表所示，根据表中的数据可知，下列说法中不正确的是（ ） x … 1 3 … y … 0 5 9 5 … A. 这个函数的图象顶点为 B. 抛物线与x轴的交点坐标为和 C. 这个函数的最大值为9 D. 当时，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，最值问题，对称问题，抛物线与坐标轴的交点问题等知识点，解题的关键是正确利用表格中的数据进行分析． 先由表格可得当和时的函数值相等，继而确定对称轴为直线，然后即可判断B，由表格可得，当时，y的值随x值的增大而增大，即可判断A、C、D． 【详解】解：由表格可得当和时的函数值相等， ∴对称轴为直线，由表格可得顶点为， 由表格可得，当时，y的值随x值的增大而增大， ∴抛物线开口向下， ∴这个函数的最大值为9， ∵时，，且对称轴为直线， ∴当时，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和， 故A、B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意， 故选：D． 9. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，且经过点，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若，则时的函数值小于时的函数值 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向及对称轴为直线即可判断A；把代入即可判断B；利用二次函数图象开口向下，离对称轴越远函数值越小，然后比较与对称轴的距离即可判断C；先确定的关系，作差配方即可判断D． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴， ∵图象对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴A项错误； ∵图象经过点， ∴， ∴B项错误； 由图可知二次函数图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越远函数值越小， ，，且， 离对称轴的距离小于离对称轴的距离， 时的函数值大于时的函数值， C项错误； ，， ，解得， ， 又∵， ∴， ∴， ∴D项正确． 10. 已知关于的二次函数（m为常数）．若时，函数的最大值为，最小值为，且，则的值为（ ） A. 0或3 B. 0或 C. 0或或3 D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】先确定二次函数的对称轴与最大值，再根据给定范围的两个端点到对称轴的距离分情况求最小值，结合已知等式列方程，即可求解． 【详解】解：∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数的最大值， ∵， ∴，即对称轴在范围内， ∴在时，函数的最大值， ①当时，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， ∵， ∴处函数值更小，即最小值， ∵， ∴，即， 解得，符合； ②当时，到对称轴的距离，大于等于到对称轴的距离， ∴处函数值更小，即最小值， ∵， ∴，即， 解得或， ∵， ∴不符合题意，舍去，取； 综上所述，的值为或． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线的顶点在轴上，则该抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，然后得出b的值，进而问题可求解． 【详解】解：由函数可知对称轴为直线， ∵抛物线的顶点在轴上， ∴， 解得：， ∴原函数的解析式为， ∴该抛物线的顶点坐标为； 故答案为． 12. 若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一次函数的性质，分两种情况：当，即时，此时为一次函数；当时，此时为二次函数，由此计算即可得解，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵函数的图象与x轴只有一个交点， ∴当，即时，函数为，此时为一次函数，该函数图象与x轴只有一个交点， 当时，此时为二次函数，令，则，此时， 解得， 综上所述，m的值为或， 故答案为：或． 13. 为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地，为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙(墙的长度为)；另外三面用栅栏围成．已知栅栏的总长度为， 设矩形场地中垂直于墙的一边长为（如图)．矩形种植场地的面积最大值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求x的取值范围，再根据二次函数得性质求在范围内的最值即可． 【详解】解：矩形种植场地的面积， ∵， ∴， ∵，， ∴时，， 则时，矩形种植场地的面积最大为． 14. 已知二次函数（为常数，）是该函数图象上一点． （1）当时，抛物线的对称轴是______． （2）当时，，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ## ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）把代入解析式，利用公式计算即可； （2）根据抛物线解析式得出对称轴为直线，分，两种情况讨论，根据当时，，得出的范围即可求解． 【详解】解：（1）当时，二次函数为， ， 故答案为：； （2）二次函数对称轴为直线， 当时，， 抛物线与轴的交点为， 当时，， 当时，， 解得：， ， 当时，抛物线开口向下， 当时，抛物线随的增大而减小，， 当时，，则恒成立， 综上所述，或， 故答案为：或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 若是关于的二次函数， （1）求m的值； （2）当时，求自变量的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的定义可得且，即可求出m的值； （2）由（1）可得二次函数解析式为，令，即可求出对应的自变量的值． 【小问1详解】 解：由二次函数的定义可得：且， ∴且， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可得：二次函数解析式为， 令，得： ∴， ∴， ∴或． 16. 已知二次函数． （1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象回答： ①当时，求的取值范围． ②当时，的取值范围是________． 【答案】（1） （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）先对二次函数配方，再求出顶点、坐标轴交点，最后描点画出抛物线； （2）利用二次函数图像，观察图像在轴上方对应的自变量范围，再在指定自变量区间找到顶点处最大值，看区间端点的函数值，判断能否取到，从而确定的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，与轴交点为，，与轴交点为， 图象略 【小问2详解】 由图象可知，抛物线在轴上方的部分对应， ∴当时，； ∵当时，取最大值1， 当时，， 当时，， ∴结合图象可知：当时，． 四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 17. 要修建一个圆形喷水池（如图1），在池中心竖直安装一根水管．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱（如图2）在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管应多长？ 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据题意设抛物线水柱的解析式为，将代入进行求解得出解析式，再令即可求解． 【详解】解：由题意得：拋物线顶点坐标为且经过点 设抛物线水柱的解析式为， 将代入得 解得， ∴拋物线解析式为， 令得，， ∴水管的高度应为米． 18. 已知抛物线过 与 且有最大值 ． （1）求此二次函数的解析式； （2）抛物线与 轴交于点 ，，在抛物线上存在一点 使 的面积为 ，求出点 的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由点和点的坐标可得，对称轴为，根据最大值为，得到顶点坐标为，根据二次函数的顶点式，可得，再把点代入解析式，即可求出二次函数解析式； （2）根据二次函数的图象和性质，先求出，设点，根据三角形的面积公式为：，求出，即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：∵  与  ， ∴对称轴为， ∵抛物线的最大值为， ∴顶点坐标为， ∴， 把点代入， 解得：， ∴． 【小问2详解】 解：∵抛物线与 轴交于点 ，， ∴， 解得：，， ∴， 设点， ∴， ， 解得：， ∴； ①当时，， 整理得：， ，无解，不符合题意； ②当时，， 解得：，； ∴点的坐标为：或． 五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19. 已知二次函数，其中为实数． （1）求证：不论为何值时，这个二次函数的图像与轴必有两个交点； （2）设这个二次函数的图像与轴交于点和，且，求这个二次函数的解析式． 【答案】（1） 令，可得方程：， ∵ ∴不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）或 【解析】 【分析】（1）判断二次函数与x轴的交点情况，需要把问题转化为求方程的判别式的符号； （2）已知二次函数的图象与x轴交于点，相当于已知此方程两根为，可运用根与系数的关系解题，所求m的值不受限制，结果有两个． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 令，可得方程：， ∵， ， 即， 解得或5， 二次函数解析式为：或． 【点睛】主要考查了二次函数图象的性质与一元二次方程根的情况之间的关系，以及根与系数的关系的运用． 20. 定义：若直线（是常数）经过抛物线的顶点，则称直线是该抛物线的“最美直线”． （1）若直线是抛物线的“最美直线”，求的值； （2）平移抛物线得到抛物线，若直线是抛物线的“最美直线”，直线与轴的交点为，抛物线与轴的交点为，点与点关于原点对称，求抛物线对应的函数表达式． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（）求出抛物线的顶点坐标，再代入一次函数解析式解答即可求解； （）求出点坐标，设抛物线的顶点坐标为， 则抛物线的解析式为，可得，，进而得到，求出的值即可求解； 本题考查了求一次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用，理解新定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵直线是抛物线的“最美直线”， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：把代入直线，得， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， 设抛物线的顶点坐标为， 则抛物线的解析式为， ∵直线是抛物线的“最美直线”， ∴直线经过点， ∴， ∵抛物线与轴的交点为， ∴， ∴， 将代入，得， 即， 解得或， 当时，； 当时，； ∴抛物线的函数表达式为或，即或． 六、（本大题共 2 小题，每小题 12 分，满分 24 分） 21. 已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中． （1）求抛物线的函数表达式 （2）如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E；求的最大值并求出此时点P的坐标； 【答案】（1）； （2）的最大值为4，此时点P的坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，一次函数与几何综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A坐标，进而求出直线解析式，设出点P坐标，进而表示出点K，点E的坐标，则可表示出，据此利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解；把代入中得：， ∴， ∴抛物线的函数表达式为 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为4， ∴的最大值为4，此时点P的坐标为． 22. 某超市销售一种成本为20元/件的商品，若某个月的第x天（x为整数）的售价与销量的相关信息如下表所示： 第x天 售价（元/件） 日销售量（件） 设销售该商品的日销售利润为y元． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？ （3）如果超市每销售一件商品，就捐赠m元给希望工程，若仅在第15天销售利润额达到最大值，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）销售该商品第25天时，日销售利润最大，最大日销售利润4900元 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、二次函数的性质等知识点，正确列出函数解析式、掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）根据单件利润、销售数量、总利润的关系列出函数解析式，然后整理即可； （2）根据（1）所得的解析式，运用二次函数的解析式求最值即可解答； （3）设捐赠后的销售利润为元，然后求得与x的函数关系式，再求出对称轴为，再根据题意确定对称轴的取值范围并列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴y与x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，y取得最大值为4900， ∴销售该商品第25天时，日销售利润最大，最大日销售利润4900元． 【小问3详解】 解：设捐赠后的销售利润为元， 由题意得：， ∴对称轴为直线， ∵仅在第15天销售利润额达到最大值， ∴，解得． ∴m的取值范围为． 七、（本题满分 14 分） 23. 在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 A，B 两点，与 轴交于点 C，对称轴为 ，点 P 在该抛物线上． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点 在抛物线上，且 ，用含 m 的代数式表示 ． （3）过点 作直线 ，交 轴于点 ，当 的面积等于 时，求 的值． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，进行解答，即可； （2）根据点在抛物线上，则，，用，得到代数式，进行化简，即可； （3）根据抛物线的性质，求出点的坐标，设直线的解析式为：，求出函数解析式，根据点在轴上，求出点的坐标，根据，求出；联立直线和抛物线，得到一元二次方程，把代入，即可求出． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为：， ∴， 把点代入抛物线，可得， ∵抛物线与 轴交于点 ， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：． 【小问2详解】 解：∵点  ，点  在抛物线上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵抛物线的对称轴为，抛物线 与 轴交于 ， ∴， 解得：，即点； 设直线的解析式为：，代入 ，点 ， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵ ， ∴直线的解析式为； ∵点在轴上， ∴ 解得：，即点 ∵点，点 ∴， ∵ 的面积等于 ， ∴， 整理得：， 解得：，； 联立直线和抛物线的解析式， ， 整理可得：， 当时，，解得：； 当时，，解得：或； ∴ 的值为：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $