2026-2027年浙教版数学七年级上册期中专题复习： 九宫格问题

2026-2027年浙教版七年级第一学期期中专题复习：九宫格问题 【知识导图】 【知识梳理】 中心主题：‌初一数学九宫格计算（三阶幻方）‌ 基础概念 定义：3×3方格，横、竖、对角线三数之和相等 核心来源：洛书经典布局，幻和固定为15 核心公式：幻和=9数总和÷3，中间数=幻和÷3 经典解题方法 口诀法： 牢记“二四为肩，六八为足，上九下一，左七右三，中央填五” 斜填法：1放首行中间，右上斜填，出界绕对面，占格填下方 通用规律：9个连续数，中间数放中心，剩余数大小配对填四周 通用解题步骤 第一步：计算9数总和，求出幻和 第二步：锁定中心位置，确定中间数 第三步：配对互补数，放在中心相对位置 第四步：调整验证，确保所有行列斜和相等 【一阶练习】 1.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将这九个数字填入的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都是15，如图所示幻方中，所表示的数是　　 8 5 A．16 B．15 C．12 D．10 【分析】根据三行、三列、两对角线上的三个数之和都是15，可用含的代数式表示出第一行第三个方格及第三行第一个方格中的数，再结合对角线上的三个数之和是15，即可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：三行、三列、两对角线上的三个数之和都是15， 可补充部分数据，如图所示． 根据题意得：， 解得：． 故选：． 2.我国古代数学家杨辉的著作《续古摘奇算法》中给出了三至十阶幻方．如图，在一个的方格中填入，，，0，1，2，3，4，5，使得每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，若已知，，则下列代数式的值不确定的是（ ） （第10题） A． B． C． D． 【答案】B 3.相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的“九宫格”中也有类似于图2的数字之和的这个规律，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了有理数的减法和乘法运算，解题的关键是正确列出算式． 首先由，得到每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍，然后在图3的“九宫格”中，列式求解即可． 【详解】解：由图2可得， ∴每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍 ∴在图3的“九宫格”中，每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和等于 ∴． 故选：B． 4.同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，4，，8，，12，，16分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（　） A. 或 B. 或 C. 2或 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的加法， 根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4，再由已经填写的数，确定或，分类求解即可． 【详解】解：， 横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4， ， ， ，， ，， 或， 当时，，此时， 当时，，此时， 故选∶A． 5.我国古代《洛书》中记载了最早的三阶幻方——九宫图．如图所示的九宫图中，每行、每列的三个数字之和都相等，则x的值是（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．2 D．5 【分析】根据第一行和第二列上的三个数字之和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：根据题意，得﹣2+3＝x+4， 解方程，得x＝﹣3． 故选：B． 6.下方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，若区域①的两数之和为11，区域②的四个数之和为27，则阴影格子中最大数字可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的加减法的应用，先求得九宫格数字总和为45，再求得区域①和区域②以外的3个格子中的数字之和为7，再根据“方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，”即可求解． 【详解】解：∵九宫格数字总和为， ∴区域①和区域②以外的3个格子中的数字之和为， ∵， ∴阴影格子中最大数字可能是4， 故选：A． 【二阶练习】 1.《易·系辞上》记载：“河出图，洛出书，圣人则之．”洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，如图1，则________．图2是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，x的值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化类，根据题意列出等式，即可求得答案，解答本题的关键是理解题意，准确进行计算． 【详解】解：如图， 则， 则； 如图，①， ②， ①②得：， 即：， 解得：； 故答案为：，． 2.如图1，我国宋代数学家杨辉创作第一个幻圆，为“米”字形九宫组合结构，由自然数1至33填成，每条直径上（除圆心位置的数）各数之和相等，且与每个同心圆上各数之和相等．今有幻圆如图2，用至6的连续不同整数填写，根据前述幻圆的规律，则a的值是_________ 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了数字的变化类，根据规律可知，用至6的连续不同整数的和减去中心的数再除以2就是每个直径上的数值之和． 【详解】解：， ， ∴， 故答案为：0 3.“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来（斜行的和均小于10），得2397．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，这两个两位数相乘的结果为 _________． 【答案】615或645或675或705或735 【解析】 【分析】本题考查有理数乘法，理解并运用数学常识是解题关键． 根据示例求出b，再根据已知判断a应为奇数，从而求出结果即可． 【详解】解：由图得，，，， ∴如图， ∴， ∴如图， 由图得，a应为奇数1，3，5，7，9． 所以两个两位数可以为；；；；， ∴相乘结果为615或645或675或705或735． 故答案为：615或645或675或705或735． 4.在明代数学著作《算法统宗》一书中，作者程大位记载了一种被称为“铺地锦”的多位数相乘方法．例如：如图1，计算，将乘数357写在方格上边，乘数46写在方格右边，然后用乘数357的每位数字乘以乘数46的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，加的时候满十要向前进位，最终得16422．如图2，若用该方法计算三位数乘以两位数时，得到结果为14442，则______，______． 【答案】2；1． 4.将9个代数式填入九宫格的方格中，使得九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等．已知九宫格中的部分代数式如图所示，则_________；__________．（用含有x的代数式表示） M x N 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确题意，用含的代数式表示出、． 先设最中间的代数式为P，然后根据题意，即可用含的代数式表示出P，利用九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等，利用整式加减即可求解． 【详解】解：设最中间的代数式为p， 由题意可得， ∴ ， ， 第一列中间的代数式为：， 第一列的三个数之和第三行的三个数之和， ， 化简，得：， 故答案为：；． 5. 将这九个数字填入的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等如图，字母所表示的数是________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意可知再加上左下角里面的数等于再加上左下角里面的数，由此建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故答案为：4． 6.《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤： （1）将34，25分别写在方格的上边和右边； （2）把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧； （3）沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边； （4）将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）． 若图2中a，b，c，d均为自然数，且c，d都不大于5，该图表示的乘积结果为__________． 【答案】510 【解析】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，总结归纳出数字的变化规律是解题的关键．根据运算规律可知每个方框外上边和右边的数字相乘，十位数写在方框内斜上方白色部分个位数写在方框斜下方阴影部分，多位数相乘时则出现同一数位多个数字求和，即斜线方向数字相加，根据此规律求出图2各值即可． 【详解】解：根据题意可知，且为自然数， ， 故的斜上方为， ，且，都不大于5的自然数， 或， 当时，， 此组解不符合题意舍去， 即，，， 图2表示的是， 故答案为：510． 7.“洛书”是我国文化中最古老、神秘的事物之一，相传洛书以九个格子为基础结构，每个格子都包含着1个数字，横、竖、斜数字之和均为15．图中mn的值为 　8　 ． 【专题】一元二次方程及应用；几何直观；运算能力． 【分析】根据题意先求得第一行最中间的数，再求得m的值，然后求得左下角的数，进而求得n的值，最后计算mn的值即可． 【解答】解：由题意得第一行最中间的数为15﹣1﹣5＝9， 则m+9+4＝15， 解得：m＝2， 那么左下角的数为15﹣2﹣5＝8， 则4+n+8＝15， 解得：n＝3， 则mn＝23＝8， 故答案为：8． 8.密码学是研究编制和破译密码规律的一门学科，它与数学有密切关系．把整数，2，，4，，6，…，按图1所示排列，用的网格在图1中任意覆盖16个数，其中选取固定的四个位置的数（如图2）作为密文元素，分别记为、、、，则任意覆盖一次后，产生的密文的结果为______；若在某一次覆盖中，得到密文，则此时的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了数字规律探索，整式加减运算，一元一次方程的应用，解题的关键是找出数字规律．设A表示的数为m，分两种情况：当时，，，，当时，，，，分别求出的值即可；设A表示的数为x，分两种情况：当时，当时，分别列出方程，求出结果即可． 【详解】解：设A表示的数为m， 当时，，，， ∴ ； 当时，，，， ∴ ； ∴的值为； 设A表示的数为x， 当时，，，， ∵， ∴， 解得：（不符合题意舍去）； 当时，，，， ∵， ， 解得：； ∴A的值为． 故答案为：；． 9.爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的加法及解一元一次方程、求代数式的值，关键在于理解题意，正确计算出a、b的值． 因为这8个数字的和是，所以横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都等于，因此；内圈右边的圆圈应填3，则或，或． 【详解】解∶这8个数字的和是， 横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都等于， 根据题意有∶，解得； 根据内圈正方形的4个数字之和等于，得内圈右边的圆圈应填3，则或． 因此，或． 故答案为：或． 10.幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书（图1）用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个三阶幻方，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设最中间的方格中的数为a，数字5下面的方格中的数为b，数字1上面的方格中的数为c，根据题意可得，，解方程求出a的值，即可求出x的值． 【详解】解：设最中间的方格中的数为a，数字5下面的方格中的数为b，数字1上面的方格中的数为c， ∴， ∴，， ∴． 【三阶练习】 1.幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． （1）现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次） ①将图1的三阶幻方补充完整； ②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系； （2）如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的数量关系． 【答案】（1）①见解析；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，等式的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）①求出这9个数字的和，可得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为18，据此填写幻方即可；②用含b的式子表示出右下角的数字，再用a、b分别表示出左上角的数字，从而可得关系式； （2）设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s，可证明，表示出右上角的数字，进而表示出右下角和左上角的数字，据此可得关系式． 【小问1详解】 解：①∵， ∴每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为， 故满足题意的幻方可以是下图所示 ②右下角的数， ∵左上角的数， ∴； 【小问2详解】 解：设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s， ∴中间一行的三个数字之和加上中间一列三个数字之和，再加上两条对角线上6个数字（每条对角线都有3个数字）之和等于， ∴， ∴， ∴右上角的数字为， ∴右下角的数字为，左上角的数字为， ∴左上角的数字为， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年浙教版七年级第一学期期中专题复习：九宫格问题 【知识导图】 【知识梳理】 中心主题：‌初一数学九宫格计算（三阶幻方）‌ 基础概念 定义：3×3方格，横、竖、对角线三数之和相等 核心来源：洛书经典布局，幻和固定为15 核心公式：幻和=9数总和÷3，中间数=幻和÷3 经典解题方法 口诀法： 牢记“二四为肩，六八为足，上九下一，左七右三，中央填五” 斜填法：1放首行中间，右上斜填，出界绕对面，占格填下方 通用规律：9个连续数，中间数放中心，剩余数大小配对填四周 通用解题步骤 第一步：计算9数总和，求出幻和 第二步：锁定中心位置，确定中间数 第三步：配对互补数，放在中心相对位置 第四步：调整验证，确保所有行列斜和相等 【一阶练习】 1.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将这九个数字填入的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都是15，如图所示幻方中，所表示的数是　　 8 5 A．16 B．15 C．12 D．10 2.我国古代数学家杨辉的著作《续古摘奇算法》中给出了三至十阶幻方．如图，在一个的方格中填入，，，0，1，2，3，4，5，使得每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，若已知，，则下列代数式的值不确定的是（ ） （第10题） A． B． C． D． 3.相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的“九宫格”中也有类似于图2的数字之和的这个规律，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 9 4.同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，4，，8，，12，，16分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（　） A. 或 B. 或 C. 2或 D. 2或 5.我国古代《洛书》中记载了最早的三阶幻方——九宫图．如图所示的九宫图中，每行、每列的三个数字之和都相等，则x的值是（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．2 D．5 6.下方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，若区域①的两数之和为11，区域②的四个数之和为27，则阴影格子中最大数字可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【二阶练习】 1.《易·系辞上》记载：“河出图，洛出书，圣人则之．”洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，如图1，则________．图2是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，x的值为_________． 2.如图1，我国宋代数学家杨辉创作第一个幻圆，为“米”字形九宫组合结构，由自然数1至33填成，每条直径上（除圆心位置的数）各数之和相等，且与每个同心圆上各数之和相等．今有幻圆如图2，用至6的连续不同整数填写，根据前述幻圆的规律，则a的值是_________ 3.“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来（斜行的和均小于10），得2397．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，这两个两位数相乘的结果为 _________． 4.在明代数学著作《算法统宗》一书中，作者程大位记载了一种被称为“铺地锦”的多位数相乘方法．例如：如图1，计算，将乘数357写在方格上边，乘数46写在方格右边，然后用乘数357的每位数字乘以乘数46的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，加的时候满十要向前进位，最终得16422．如图2，若用该方法计算三位数乘以两位数时，得到结果为14442，则______，______． 4.将9个代数式填入九宫格的方格中，使得九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等．已知九宫格中的部分代数式如图所示，则_________；__________．（用含有x的代数式表示） M x N 5. 将这九个数字填入的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等如图，字母所表示的数是________． 6.《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤： （1）将34，25分别写在方格的上边和右边； （2）把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧； （3）沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边； （4）将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）． 若图2中a，b，c，d均为自然数，且c，d都不大于5，该图表示的乘积结果为__________． 7.“洛书”是我国文化中最古老、神秘的事物之一，相传洛书以九个格子为基础结构，每个格子都包含着1个数字，横、竖、斜数字之和均为15．图中mn的值为 　 　 ． 8.密码学是研究编制和破译密码规律的一门学科，它与数学有密切关系．把整数，2，，4，，6，…，按图1所示排列，用的网格在图1中任意覆盖16个数，其中选取固定的四个位置的数（如图2）作为密文元素，分别记为、、、，则任意覆盖一次后，产生的密文的结果为______；若在某一次覆盖中，得到密文，则此时的值为______． 9.爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为________． 10.幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书（图1）用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个三阶幻方，则的值为________． 【三阶练习】 1.幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． （1）现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次） ①将图1的三阶幻方补充完整； ②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系； （2）如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $