20.1 锐角三角函数（第3课时 应用）（教学课件）数学新教材北京版九年级上册

第二十章 解直角三角形 20.1 锐角三角函数 第3课时 应用 学 习 目 标 1 2 3 掌握等角转换求三角函数值的技巧，能熟练运用设参数k法解决三角函数问题； 通过问题1学习等角转换技巧；通过问题2学习实际问题的建模方法； 在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的密切联系 旧知复习 回顾 前两节课我们学习了的定义，你还记得吗？ 锐角三角函数的定义 在中，： = = = 在中，，如果，那么的值是（     ） A． B．2 C． D． A 探究1：等角转换技巧 探究 如图，在中，于点 。求 和 的值。 利用同角的余角相等转化,再借助Rt直接求对应三角函数值简化运算. 分析 怎样求比较简便？ 解：∵ 在 中 ∴ 由勾股定理 得 新知探究 探究1：等角转换技巧 又∵ CD ⊥ AB 于点 D， ∴ ∠DCA = ∠B ∴ ， 等角转换技巧 在中 则 新知探究 技巧1：当所求角不在直角三角形中，或所在直角三角形边未知时，找它的等角（在已知的直角三角形中） 拓展总结 等角转换技巧 探究1：等角转换技巧 技巧2：找等角的常用方法——同角的余角相等、对顶角相等、平行线的同位角/内错角相等 新知探究 新知探究 等角转换 【分析】利用同角的余角相等，将转化为再在中按正弦定义求值。 ． 在中，于点求的值。 解：∵在Rt△ABC中，， 由勾股定理得： = 。 探究2：设参数k法的应用 探究 如图,一盏可调节台灯放在水平桌面上，连接底座的支撑杆与底座垂直，支撑杆与连接成固定角度.调节杆可绕着点 旋转，灯体始终与垂直. 旋转调节杆，使与桌面平行.测量得 cm cm , cm. 求此时台灯灯体端点与桌面间的距离. 在 Rt 中，利用 和 ，可求出 的长． 延长 ，交 于点 可得四边形 是矩形，可求出 ， 的长. 延长 ，交 于点 分析 新知探究 探究2：设参数k法的应用 解答 解：延长 ，交 于点 ． 在 Rt 中，， 设 ，则 ． 新知探究 解得 （ 不合题意，舍去）． 探究2：设参数k法的应用 新知探究 延长 ，交 于点 ． 四边形 是矩形． 又： 答：台灯灯体端点 与桌面间的距离为 ． 第一步：根据已知的三角函数值，写出两条直角边的比； 拓展总结 设参数k法的应用 探究2：设参数k法的应用 新知探究 第二步：设两条直角边分别为和； 第三步：用勾股定理求斜边； 第四步：根据已知的斜边长，求出k的值； 第五步：求出所需的边长。 新知探究 设参数k法的应用 【分析】根据正切值得到两条直角边的比值，设参数k，结合勾股定理列方程求出参数，进而得到两条直角边长． 在Rt△ABC中，，求AC和BC的长。 解：∵在Rt△ABC中，∠C = 90° ∴ tan A = = 设BC = 3k，AC = 4k （k > 0） 由勾股定理： 8 巩固训练1 等角转换的应用 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质得到等角∠ACD = ∠A，转化角度后再在大直角三角形中求正弦值． 在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD是斜边AB上的中线，AC = 6，BC = 8。求sin∠ACD的值。 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 6，BC = 8 由勾股定理得： ∵CD是斜边AB上的中线 ∴CD = AD = ∴∠ACD = ∠A ∴sin∠ACD = sinA = 巩固训练1 等角转换的应用 变式题 1.在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD是斜边AB上的中线，AB = 20，AC = 12。求cos∠ACD的值。 解：∵ 在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD是斜边AB上的中线 ∴ CD = AD = AB = 10（直角三角形斜边中线等于斜边的一半） ∴ ∠ACD = ∠A ∴ cos∠ACD = cos A = = = 巩固训练1 等角转换的应用 变式题 2.在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD ⊥ AB于点D，AB = 15，AC = 9。求tan∠BCD的值。 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 15，AC = 9 由勾股定理得： ∵ CD ⊥ AB ∴ ∠BCD + ∠B = 90°，∠A + ∠B = 90° ∴ ∠BCD = ∠A ∴ tan∠BCD = tan A = 巩固训练2 设参数k法的应用 【分析】构造直角三角形，利用正切设参数求出竖直高度，再结合线段位置关系算出 D 到地面距离 . 在Rt△ABC中，∠C = 90°，cos B = ，AB = 26。求AC和BC的长。 解：∵ 在Rt△ABC中，∠C = 90° ∴ cos B = = ∵ AB = 26 ∴ BC = × 26 = 24 由勾股定理： AC = = = = 10 ∴ AC = 10，BC = 24 巩固训练2 设参数k法的应用 变式题 1.如图，晾衣架侧面示意图中，竖直杆 ，，，。求挂钩 到地面的距离。 解：过点 作 于 在 中， 设 ，， 由勾股定理： 得 ， 点到地面高度： 与 等高 竖直向下长 到地面距离： 答：挂钩 到地面的距离为 。 巩固训练2 设参数k法的应用 变式题 1.如图，晾衣架侧面示意图中，竖直杆 ，，，。求挂钩 到地面的距离。 巩固训练2 设参数k法的应用 变式题 2.如图，阅读架侧面示意图中，底座竖直段 cm，支撑板 cm，，测得顶端 到底座平面距离为 cm。求 的长。 解：过点 作 ，交 的延长线于 ， 在 中，， 设 ，， 由勾股定理： ，解得 巩固训练2 设参数k法的应用 变式题 2.如图，阅读架侧面示意图中，底座竖直段 cm，支撑板 cm，，测得顶端 到底座平面距离为 cm。求 的长。 cm， cm 点到底座平面的高度： cm 为水平线段， 与 等高， 到底座平面高度为 cm 已知 到底座平面距离为 cm， cm 答： 的长为 cm。 课堂总结 本节课你学到了什么？ 21 感谢聆听! $