20.2 30°，45°，60°角的三角函数值（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第20章 解直角三角形 20.2 30°，45°，60°角的三角函数值 （第1课时）特殊角的三角函数值 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 本课要解决的问题 会说 推导30°、45°、60°角的三角函数值。 会做 用精确值进行计算或反求锐角。 会解释 理解函数值的平方与角度记号，避免错误分配。 复习引入 三个特殊角能否用精确值表示 情境 此前30°、45°角的正弦已出现过。 思考 能否一并求出这三个特殊角的正弦、余弦和正切？ 连接 把等边三角形和等腰直角三角形作为计算模型。 知识讲授 45°角的模型 作图 取两直角边均为1的等腰直角三角形。 算边 斜边为。 作比 sin45°=cos45°=/2，tan45°=1。 知识讲授 30°与60°角的模型 作图 边长为2的等边三角形作底边上的高。 算边 一半底边为1，高为，斜边为2。 作比 分别从30°与60°锐角的位置观察两直角边。 知识讲授 30°角的三个值 正弦 。 余弦 。 正切 。 知识讲授 60°角的三个值 正弦 。 余弦 。 正切 。 知识讲授 把九个值组织起来 正弦一行 30°、45°、60°对应1/2、/2、/2。 余弦一行 对应/2、/2、1/2，与正弦一行顺序相反。 正切一行 对应/3、1、，可由正弦÷余弦复核。 随堂探究 探究　理解平方记号 sin²45°与2sin45°有什么区别？分别计算。 答：分别是1/2与。 解 sin²45°=(sin45°)²=(/2)²。 2sin45°=2×/2。 方法：看清上标的位置。 注意：平方作用在整个函数值上。 归纳总结 知识环节归纳 来源 每个特殊值都能由两个基本三角形推导。 计算 保留分数和根式，比过早化小数更准确。 反查 由一个函数值反求特殊锐角时，要先辨函数名称。 例题讲解 例 1 计算： （1） （2） 解第（1）题 1。 代入得到1/4+3/4。 相加得1。 解第（2）题 0。 分子为1−1=0。 分母≠0，商为0。 方法：先代入，再按顺序计算。 注意：两个乘积各自算清。 方法：先观察分子能否简化。 注意：分母不为零才可求商。 例题讲解 例 2 求适合下列条件的锐角α： （1） （2） （3） 解第（1）题 α=45°。 sinα=/2。 对应45°的正弦值。 解第（2）题 α=60°。 2cosα+1=2，故cosα=1/2。 对应60°的余弦值。 方法：先解关于函数值的方程。 注意：已知α为锐角。 方法：先去分母，再移项。 注意：别把1/2认成sin60°。 例题讲解 例 2 求适合下列条件的锐角α： （1） （2） （3） 解第（3）题 α=30°。 tanα=/3。 对应30°的正切值。 方法：先将系数化为1。 注意：辨清正切与正弦。 例题讲解 变式 例 2 若α为锐角，sinα=1/2；若β为锐角，cosβ=1/2。分别求α、β。 答：α=30°，β=60°。 解 同一数值可对应不同函数、不同角度。 核对函数名后再查特殊值。 方法：函数名称与数值一起匹配。 注意：只看1/2会把两角混淆。 课堂练习 练习1 计算下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 0。 /2−2×1/2×/2=0。 解第（2）题 。 ×−2×/2=3−。 方法：先算乘法。 注意：根式项可相减。 方法：先乘除后加减。 注意：不能与3合并。 课堂练习 练习1 计算下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 1/2−/(/3)=1/2−3。 解第（4）题 。 /3+1/2−1/2=/3。 方法：先求分式的商。 注意：减号作用于整个商。 方法：注意平方优先。 注意：sin²45°=1/2。 课堂练习 练习2 求适合下列条件的锐角α： （1） （2） （3） 解第（1）题 45°。 cosα=/2。 解第（2）题 30°。 tanα=/3。 方法：先求函数值。 注意：α为锐角。 方法：移项再除系数。 注意：对应正切值。 课堂练习 练习2 求适合下列条件的锐角α： （1） （2） （3） 解第（3）题 60°。 sinα=3/(2)=/2。 方法：先将根式分母化简。 注意：勿遗漏系数2。 归纳总结 练习归纳 代入 特殊角的函数值尽量写成精确值。 顺序 平方、乘除、加减逐层处理。 反求 先解出函数值，再确定锐角。 课堂总结 特殊角三角函数 识别条件 等腰直角与等边三角形 选择关系 由边长比例整理九个特殊值 规范运算 先保留精确值；近似计算按题目要求取值。 检验解释 核对大小、单位与实际意义，回答完整。 特别提醒：sin²α表示(sinα)²。 针对训练 辨析　特殊角与记号 （1）sin30°=cos60°。 √ 理由：两者都等于1/2。 （2）tan60°=3tan30°。 √ 理由：=3×/3。 （3）sin²45°表示sin(45°×45°)。 × 理由：表示(sin45°)²。 （4）sin60°=sin30°+sin30°。 × 理由：左边为/2，右边为1。 方法：先解释符号，再代入精确值。 注意：不能把和的正弦拆成两个正弦值的和。 针对训练 训练2　计算｜准确代入 计算：。 答：。 解 代入特殊角函数值，得1/2+1/2=1。 先乘方、再乘除、后加减。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：三角函数值优先保留根式精确值。 针对训练 训练3　计算｜准确代入 计算：。 答：。 解 代入特殊角函数值，得/2−/2=0。 先乘方、再乘除、后加减。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：三角函数值优先保留根式精确值。 针对训练 训练4　计算｜准确代入 计算：。 答：。 解 代入特殊角函数值，得/3×=1。 先乘方、再乘除、后加减。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：三角函数值优先保留根式精确值。 针对训练 训练5　计算｜准确代入 计算：。 答：。 解 代入特殊角函数值，得2×(/2)²=1。 先乘方、再乘除、后加减。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：三角函数值优先保留根式精确值。 针对训练 训练6　计算｜准确代入 计算：。 答：。 解 代入特殊角函数值，得1/4+3/4=1。 先乘方、再乘除、后加减。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：三角函数值优先保留根式精确值。 针对训练 训练7　计算｜准确代入 计算：。 答：。 解 代入特殊角函数值，得3−1=2。 先乘方、再乘除、后加减。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：三角函数值优先保留根式精确值。 针对训练 训练8　计算｜准确代入 计算：。 答：。 解 代入特殊角函数值，得1+1=2。 先乘方、再乘除、后加减。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：三角函数值优先保留根式精确值。 针对训练 训练9　计算｜准确代入 计算：。 答：。 解 代入特殊角函数值，得3/2−3/2=0。 先乘方、再乘除、后加减。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：三角函数值优先保留根式精确值。 针对训练 训练10　反求｜由函数值找锐角 已知α为锐角，。求α。 答：30° 解 先解得sinα=1/2。 对应特殊角函数值表确定锐角。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：题设明确α是锐角。 针对训练 训练11　反求｜由函数值找锐角 已知α为锐角，。求α。 答：45° 解 先解得cosα=/2。 对应特殊角函数值表确定锐角。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：题设明确α是锐角。 针对训练 训练12　反求｜由函数值找锐角 已知α为锐角，。求α。 答：60° 解 先解得tanα=。 对应特殊角函数值表确定锐角。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：题设明确α是锐角。 针对训练 训练13　反求｜由函数值找锐角 已知α为锐角，。求α。 答：30° 解 先解得tanα=/3。 对应特殊角函数值表确定锐角。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：题设明确α是锐角。 针对训练 训练14　选择｜函数值排序 下列排列正确的是（　）。 A. sin30°>sin45°>sin60° B. cos30°>cos45°>cos60° C. tan30°>tan45°>tan60° D. sin60°<sin30° 答：B。 解 比较正数/2、/2、1/2。 因3>2>1，对应平方根也按此顺序。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练15　改错｜平方漏掉了 计算2sin²30°时，小明写2×1/2=1。请改正。 答：。 解 应先算(sin30°)²=(1/2)²。 再乘2，结果为1/2。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练16　填空｜互余的两个锐角 α=30°，β=90°−α。求sinα−cosβ以及tanα·tanβ。 答：分别为0、1。 解 β=60°，sin30°=cos60°。 tan30°×tan60°=1。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练17　求边｜特殊角与斜边 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=18。求BC和AC。 答：BC=9，AC=。 解 BC=18sin30°=9。 AC=18cos30°=。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练18　求边｜等腰直角三角形 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=10。求两直角边和面积。 答：两直角边均为，面积25。 解 直角边=10sin45°=。 面积为(5)²/2=25。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练19　说明｜表格中的三个正切值 不依靠小数，比较tan30°、tan45°、tan60°。 答：。 解 它们分别是/3、1、。 平方比较得1/3<1<3，均为正数，顺序不变。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练20　应用｜装饰支架 一根长6 m的斜杆与水平地面成60°，杆的另一端固定在竖直墙上。求固定点高度及杆脚到墙的距离。 答：高度 m，距离3 m。 解 高度=6sin60°，距离=6cos60°。 斜杆是直角三角形的斜边。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练21　应用｜对称棚架 棚架横截面为等腰三角形，每侧斜梁4 m，与水平底边夹角45°。求棚架高度和跨度。 答：高 m，跨度 m。 解 作顶点到底边的高，分为两个直角三角形。 高=4sin45°，半跨度=4cos45°。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 方法总结 把本课方法整理成可操作的步骤 建模记值 （1）45°看等腰直角三角形。 （2）30°、60°看等边三角形的一半。 （3）用对斜、邻斜、对邻检查。 计算反查 （1）按运算顺序代入精确值。 （2）由值求角先化简得到标准函数值。 （3）同时核对函数名和锐角范围。 $