21.3 圆的对称性（分层作业练题型）数学新教材北京版九年级上册

分层作业 21.3圆的对称性 目 录 A组 巩固过关 题型01 弧、弦、圆心角的关系 题型02求圆弧的度数 题型03 利用垂径定理求值 题型04 利用垂径定理求平行弦问题 题型05 垂径定理的推论 题型06 垂径定理的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 弧、弦、圆心角的关系题型01 1．如图，是的直径，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．在同圆或等圆中，若的长度等于的长度，则下列说法正确的个数是（     ） ①和是等弧； ②所对的圆心角等于所对的圆心角； ③所对的弦的长度等于所对的弦的长度． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（2026·云南玉溪·一模）如图，点A，B，C，D都在上，，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南娄底·一模）如图，是的直径，C，D是上的点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 求圆弧的度数题型02 6．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，则丁扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·广东茂名·一模）如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 9．（22-23八年级下·河南洛阳·期中）如图是两个大小不同的量角器．小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清．现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）．如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 利用垂径定理求值 题型03 11．如图，是的直径，于，，则为（     ） A． B． C． D． 12．如图，是的直径，弦，垂足为C，则下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·云南德宏·期末）如图，在中，弦的长为8，圆心到的距离，则的半径长为（     ） A． B． C． D． 14．如图，的直径垂直于弦，垂足为点M，，，则的长为（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 15．如图，为的弦，，垂足为C，已知，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 利用垂径定理求平行弦问题题型04 16．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 17．（21-22九年级上·福建厦门·期中）如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 18．（19-20九年级上·浙江宁波·期中）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（   ） A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m 19．（14-15九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（　　） A．7 B．17 C．7或17 D．34 20．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（ )    A．弧AB =弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．无法确定 垂径定理的推论题型05 21．（25-26九年级上·陕西安康·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是圆中最长的弦 22．下列命题是真命题的是（     ） A．过一点作已知直线的平行线有且只有一条 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于同一条直线的两直线平行 D．垂线段最短 23．（2026·上海松江·二模）已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦，下列对这两个命题的判断，正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题 24．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，的直径平分弦．若，则为（   ） A． B． C． D． 25．如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过格点A，B，C，则这条圆弧所在圆的圆心是（   ） A．点P B．点Q C．点R D．点M 垂径定理的实际应用题型06 26．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），此管件的直径为，测得水的深度为，则水面宽为（     ） A． B． C． D． 27．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 28．（25-26九年级上·河北保定·期末）在某古典园林的景观设计中，园林计划建造一座“月亮门”，其门洞形状是圆形的一部分（如图所示）．在圆形月亮门洞的截面中，表示门洞下沿宽度，D为弦的中点，经过圆心O并延伸至门洞顶部最高点C．已知，点C到点D的距离，则该圆形门洞的半径为（    ） A． B． C． D． 29．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ）． A．6 B．7 C．8 D．9 30．（25-26九年级上·广东惠州·期中）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接，作的垂直平分线交于点D，交弧于点C，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 31．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管件的直径为，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽为，则水的最大深度为（   ） A． B． C． D． 1．如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，中，弦直径，若的度数是，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，是半圆O的直径，，，的度数为（     ） A． B． C． D． 4．在同一个圆中，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 5．如图，在中，是弦，，的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 7．如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：），则液面宽度（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 11．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 12．（2026·河北石家庄·一模）如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 13．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于，两点，若，则两圆之间的圆环的面积是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 15．（25-26九年级下·福建莆田·期中）如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接，若，则的长是（   ） A．9 B．4 C．7 D．8 16．（2026·北京昌平·一模）如图，点为射线上一点，将射线绕点逆时针旋转得到射线，以为圆心，长为半径画圆，交射线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点不重合），连接交于点，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 17．下列5个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的两条弧是等弧；④优弧一定大于劣弧；⑤圆既是轴对称图形又是中心对称图形．正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（     ） A．①④ B．① C．②③ D．①③ 19．如图①是古典园林中的门洞，它的示意图近似为一个圆形拱门，如图②所示，若点O为圆心，测得的半径为，圆形拱门的最高点到最低点的距离为，则底端的长为（     ） A． B． C． D． 20．（2026·广西柳州·二模）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（寸），锯道长8寸（寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径是（     ） A．5寸 B．6寸 C．8寸 D．10寸 21．（2026·广东广州·二模）花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ） A． B． C． D． 22．（2026·浙江杭州·二模）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为（     ） A． B． C． D． 1．【几何综合】如图，在中，以为圆心，为半径画弧，分别交、于点、，若，，则弧的度数为（     ） A． B． C． D． 2．【动点问题+最值问题】（2026·四川南充·一模）如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 3．【作图问题】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知，按如下步骤操作： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，画射线； ②在上任取一点，以点为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点，，； ③连接，．则下列结论不正确的是（    ）． A． B． C．垂直平分 D． 4．【折叠问题】如图，扇形中，，，将扇形沿着直线折叠，使点A与点O重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．【几何综合】如图，是的直径，是的弦，于点E，C是的中点，连接．若的半径为10，且，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．【折叠问题】如图，的半径为，把劣弧沿折叠，使劣弧经过圆心，再把劣弧沿折叠，使劣弧经过的中点，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 7．【代几综合】如图，在中，动弦与直径相交于点E且总有，则的值（     ） A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．保持不变 8．【几何综合】如图，的直径和弦相交于点，已知，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．【代几综合】（2026·河北沧州·三模）如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．【几何综合】（2026·广西玉林·三模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 11．【几何综合】如图，的直径长为4，垂直平分圆内的线段，，，以点为圆心，为半径画扇形，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 12．【折叠问题】（2026·河南驻马店·二模）如图，扇形中，连接，将弓形沿着翻折，恰好经过点，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 13．【实际情境】（2026·湖南·一模）如图，将一装有水的球形容器放在水平地面上，其轴截面为的一部分，为容器口，为水面．已知的半径为，，，将容器从甲处与地面平行时向右缓慢滚至乙处水面恰好经过点B时（水无溢出）停止，则容器口边缘点A相对甲处时升高了（   ） A． B． C． D． 14．【最值问题】（22-23九年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，动点A、B（不重合）的横、纵坐标均满足等式，当A、B运动到直线上时，线段的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 15．【实际情境】（22-23九年级下·浙江台州·期中）如图这是我市某跨海大桥正侧面的照片，大桥的主桥拱为圆弧型，桥面长为800米，且与水面平行，小王用计算机根据照片对大桥进行了模拟分析，在桥正下方的水面上取一点P，在桥面上取点C，作射线交弧（主桥拱）于点D，右边画出了与关于长的函数图象，下列对此桥的判断不合理的是（　　） A．桥拱的最高点与桥面的实际距离约为210米 B．桥拱正下方的桥面的实际长度约为500米 C．拍摄照片时，桥面离水面的实际高度约为110米 D．桥面上段的实际长度约200米 16．【动点问题+最值问题】如图，矩形的顶点，在半径为5的上，，当点在上运动时，点也随之运动，则矩形的对角线的最小值为（    ）． A． B． C． D． 1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 2．（2024·新疆·中考真题）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 21.3圆的对称性 目 录 A组 巩固过关 题型01 弧、弦、圆心角的关系 题型02求圆弧的度数 题型03 利用垂径定理求值 题型04 利用垂径定理求平行弦问题 题型05 垂径定理的推论 题型06 垂径定理的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 弧、弦、圆心角的关系题型01 1．如图，是的直径，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系可推出，结合平角的定义和角度的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴． 2．如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由弧与圆心角之间的关系可得，证明都是等边三角形，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴． 3．在同圆或等圆中，若的长度等于的长度，则下列说法正确的个数是（     ） ①和是等弧； ②所对的圆心角等于所对的圆心角； ③所对的弦的长度等于所对的弦的长度． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】以同圆或等圆中弧长相等判定是等弧为基础，结合弧、圆心角、弦的对应关系判断． 【详解】解：在同圆或等圆中，与长度相等， 和是等弧，①正确； 等弧所对的圆心角相等， 所对的圆心角等于所对的圆心角，②正确； 同圆或等圆中，等弧所对的弦相等， 所对的弦长等于所对的弦长，③正确； 故正确的说法有个． 4．（2026·云南玉溪·一模）如图，点A，B，C，D都在上，，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心角，弧，弦的关系判断即可． 【详解】解：∵， ，，，． 5．（2026·湖南娄底·一模）如图，是的直径，C，D是上的点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过邻补角的性质得到的度数，再由圆心角定理即可求得结果． 【详解】在中，C，D是上的点，， ∴， ∴． 求圆弧的度数题型02 6．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 弧的度数为， 故选：． 7．如图，已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，则丁扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要根据扇形面积与圆心角的关系来求解丁扇形的圆心角． 【详解】已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，那么整个圆的面积可看作份 丁扇形的面积占6份，所以丁扇形面积占整个圆面积的比例为 ∵整个圆的圆心角是 ∴丁扇形的圆心角为． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积与圆心角的关系，掌握在同一个圆中，扇形的面积比等于圆心角的比，利用这一关系结合圆的圆心角为，计算扇形的圆心角是解题的关键． 8．（2024·广东茂名·一模）如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 由为的直径，得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的， ∴， ∴． ∴所对的圆心角度数为． 故选：C． 9．（22-23八年级下·河南洛阳·期中）如图是两个大小不同的量角器．小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清．现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）．如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，根据三角形外角的性质可得，根据等边对等角可得，进而可得． 【详解】 由题意知 ∴ ∵量角器为半圆 ∴ ∴ ∴ 故选D． 【点睛】本题考查量角器的使用、三角形外角的性质、等腰三角形的性质、圆的性质等知识点，难度较小，解题的关键是读懂题意，得出小量角器上对应的度数为的度数． 10．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，连接 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的度数为： 故选B． 【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键． 利用垂径定理求值 题型03 11．如图，是的直径，于，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用垂径定理即可得到答案． 【详解】解：是的直径，， ， ， ． 12．如图，是的直径，弦，垂足为C，则下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：是的直径，， ，，， ， 由于的位置不确定，与的长度没有必然的相等关系， 所以不成立， 则下列结论中错误的是B． 13．（25-26九年级上·云南德宏·期末）如图，在中，弦的长为8，圆心到的距离，则的半径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由垂径定理可得，再利用勾股定理求解． 【详解】解：在中，弦的长为8，圆心到的距离， ， ， 在中，， 的半径长为． 14．如图，的直径垂直于弦，垂足为点M，，，则的长为（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】由垂径定理结合勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 是的直径，且， ， 由垂径定理可得，且， 在中，由勾股定理可得． 15．如图，为的弦，，垂足为C，已知，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】运用垂径定理即可求解． 【详解】解：， ． 利用垂径定理求平行弦问题题型04 16．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 17．（21-22九年级上·福建厦门·期中）如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 【答案】C 【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意； D、若也是直径，则原说法不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键． 18．（19-20九年级上·浙江宁波·期中）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（   ） A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m 【答案】C 【分析】先根据垂径定理和勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF，即可得出结论. 【详解】如图 作OE⊥AB于点E，交CD于F ∵AB=1.2，OE⊥AB，OA=1 ∴OE=0.8m ∵水管水面上升了0.2米， ∴OF=OE-EF=0.8-0.2=0.6m ∴m ∴CD=1.6m 故选C 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理是解题关键. 19．（14-15九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（　　） A．7 B．17 C．7或17 D．34 【答案】C 【分析】先作出图象根据勾股定理分别求出弦AB,CD的弦心距OE,OF,再根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧两种情况讨论. 【详解】解：如图, 设E、F为AB、CD的中点， AE=AB=24=12, CF=CD=10=5, OE===5, OF===12, ①当两弦在圆心同侧时,距离=OF-OE=12-5=7; ②当两弦在圆心异侧时,距离=OE+OF=12+5=17. 所以距离为7或17. 故选C. 【点睛】本题主要考查勾股定理及垂径定理的应用. 20．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（ )    A．弧AB =弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．无法确定 【答案】A 【详解】因为在同圆中,平行弦所夹弧是等弧.故选A. 点睛:本题主要考查圆中平行弦所夹弧,解决本题的关键是要熟练掌握平行弦定理. 垂径定理的推论题型05 21．（25-26九年级上·陕西安康·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是圆中最长的弦 【答案】D 【详解】解：A、B．∵等弧的定义、圆心角与所对弧的相等关系均需在同圆或等圆的前提下成立，∴长度相等的弧不一定是等弧，相等的圆心角所对的弧也不一定相等，故A、B均错误． C．∵平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， ∴当被平分的弦是直径时结论不成立，故C错误． D．∵直径是经过圆心的弦， ∴直径是圆中最长的弦，故D正确． 22．下列命题是真命题的是（     ） A．过一点作已知直线的平行线有且只有一条 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于同一条直线的两直线平行 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】结合各定理的前提条件逐一分析选项，最终确定真命题． 【详解】选项A：∵当该点在已知直线上时，无法作出已知直线的平行线，定理要求“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，∴A是假命题； 选项B：∵当被平分的弦本身是直径时，两条直径互相平分但不一定垂直，定理要求“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”，∴B是假命题； 选项C：∵该命题缺少“同一平面内”的前提条件，不在同一平面内时结论不成立，∴C是假命题； 选项D：由初中数学基本公理可知，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，∴D是真命题． 23．（2026·上海松江·二模）已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦，下列对这两个命题的判断，正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题 【答案】A 【分析】根据垂径定理及其推论求解即可． 【详解】解：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，因此命题①是真命题； 对于命题②，当被平分的弦是直径时，任意两条直径互相平分，但不一定垂直，该命题缺少“被平分的弦不是直径”的条件，因此命题②是假命题， 综上，①是真命题，②是假命题． 24．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，的直径平分弦．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，同弧所对的圆周角相等， 先根据垂径定理的推论得，进而得出，然后根据“同弧所对的圆周角相等”得出答案． 【详解】解：∵直径平分弦， ∴，交于点E， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：A． 25．如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过格点A，B，C，则这条圆弧所在圆的圆心是（   ） A．点P B．点Q C．点R D．点M 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，熟知“弦的垂直平分线必过圆心”是解答此题的关键． 根据垂径定理的推论：“弦的垂直平分线必过圆心”，分别作，的垂直平分线即可得到答案． 【详解】解：如图，作的垂直平分线，作的垂直平分线， 它们都经过，所以点为这条圆弧所在圆的圆心． 故选：B． 垂径定理的实际应用题型06 26．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），此管件的直径为，测得水的深度为，则水面宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵此管件的直径为， ∴， ∵水的深度为， ∴， ∴， ∵， ∴． 27．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 【答案】A 【分析】设拱门的圆心为O，连接，设拱门的半径为r，由垂径定理可得米，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱门的半径r． 【详解】解：如图，设拱门的圆心为O，连接， 设拱门的半径为r， 由题意可得：米，米，点O，D，C三点共线， 米， ， ， ， ． 28．（25-26九年级上·河北保定·期末）在某古典园林的景观设计中，园林计划建造一座“月亮门”，其门洞形状是圆形的一部分（如图所示）．在圆形月亮门洞的截面中，表示门洞下沿宽度，D为弦的中点，经过圆心O并延伸至门洞顶部最高点C．已知，点C到点D的距离，则该圆形门洞的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理的实际应用，勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，设拱门所在圆的半径为，再进一步的利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为． 故选：B． 29．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ）． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，已知，球的半径为，可得的长度，结合勾股定理，可得的长度，最终得的长度． 【详解】解：连接，如下图： ∵，球的半径为， ∴，，由题意可得，结合垂径定理，点为的中点， 结合勾股定理得， 则， 故选：C． 30．（25-26九年级上·广东惠州·期中）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接，作的垂直平分线交于点D，交弧于点C，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心， 设圆心为，连接，如图． 中，， 根据勾股定理得：， 即：， 解得：； 故圆形工件的半径为， 故选：A． 31．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管件的直径为，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽为，则水的最大深度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上两个定理． 连接，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由垂径定理得，， ∵管件的直径为， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：B． 1．如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：直径垂直于弦于点， ，，，故选项A，B，D正确；无法得出，故C错误． 2．如图，中，弦直径，若的度数是，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将弧的度数问题转化为圆心角的度数问题是解题关键，先由的度数得到圆心角的度数，再利用平行线性质和等腰三角形性质求出圆心角的度数，从而得到的度数． 【详解】解：连接、， 的度数是， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数是． 3．如图，是半圆O的直径，，，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧、弦、圆心角之间的关系得到，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 4．在同一个圆中，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】作的中点，连接、，将弧的倍数关系转化为等弧，利用等弧对等弦得到相等线段，再结合三角形三边关系比较大小． 【详解】解：如图，作的中点，连接、． ， ． ． 在中，， ，即． 5．如图，在中，是弦，，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等边对等角得到的度数，再由三角形外角的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 6．（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 7．如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，垂径定理．连接、，如图，根据垂径定理得到，，再证明为等边三角形得到，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到的度数为，从而得到的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴，， ∵D是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为． 故选：C． 8．如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：），则液面宽度（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解． 【详解】解：设半圆圆心为O，过点O作于点C，连接， 由图可知，半圆半径，圆心O距地面，液面距地面， ∴， 在中，， ∵， ∴． 9．如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理得，为定值，最小时最大，根据垂线段最短，当时最小，最后求出最大值． 【详解】解：如图，连接， ， ， 为定值，则当取得最小值时，取得最大值， 当时，取得最小值， 此时点与点重合， ， ． 10．如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， 即的半径为10． 11．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 12．（2026·河北石家庄·一模）如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 13．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于，两点，若，则两圆之间的圆环的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，连接，过点O作，得出，进而求出结论． 【详解】解：连接，过点O作， ， ，即， ， 由圆环的面积公式可得： ， 故选：D． 14．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是正确作出垂线．连接，过点作于点，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，求出，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴（舍去负值）， ∴ 故选：C． 15．（25-26九年级下·福建莆田·期中）如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接，若，则的长是（   ） A．9 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】连接，由题意易得是的中位线，是的中位线，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点O是的外心，，， ∴点D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点M、N分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 16．（2026·北京昌平·一模）如图，点为射线上一点，将射线绕点逆时针旋转得到射线，以为圆心，长为半径画圆，交射线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点不重合），连接交于点，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图可知：和，由垂径定理可得出，，，由不确定大小则无法判断． 【详解】解：根据作图可知：，， ∴，， ∴，， ∵不确定大小， ∴无法判断得出． 17．下列5个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的两条弧是等弧；④优弧一定大于劣弧；⑤圆既是轴对称图形又是中心对称图形．正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①直径是过圆心的弦，正确； ②当被平分的弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，错误； ③④等弧的定义、优弧与劣弧的大小比较均需以同圆或等圆为前提，仅长度相等的弧不一定是等弧，优弧也不一定大于劣弧，均错误； ⑤圆的对称轴为任意过圆心的直线，对称中心为圆心，既是轴对称图形又是中心对称图形，正确. 综上，正确的说法共2个. 18．下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（     ） A．①④ B．① C．②③ D．①③ 【答案】B 【分析】需关注各圆相关结论的适用前提，结合定义判断说法的正确性． 【详解】解：①直径是经过圆心的弦，故①正确； ②平分弦的直径垂直于弦的前提是被平分的弦不是直径，该说法缺少此前提，故②错误； ③圆的对称轴是直径所在的直线，直径是线段，不是对称轴，故③错误； ④相等的圆心角所对的弧相等的前提是在同圆或等圆中，该说法缺少此前提，故④错误； 综上，正确的说法是①． 19．如图①是古典园林中的门洞，它的示意图近似为一个圆形拱门，如图②所示，若点O为圆心，测得的半径为，圆形拱门的最高点到最低点的距离为，则底端的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂径定理可得，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理可得：， 解得：， ∴， 答：底端的长为． 20．（2026·广西柳州·二模）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（寸），锯道长8寸（寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径是（     ） A．5寸 B．6寸 C．8寸 D．10寸 【答案】D 【分析】设的半径为r，在中， ，则有，解方程可得r，进而确定直径． 【详解】解：设的半径为r， ∵， ∴， 在中， ， 则有， 解得， ∴圆形木材的直径是为10寸． 21．（2026·广东广州·二模）花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，连接，根据矩形的性质和垂径定理求得的值，通过构建直角三角形，利用勾股定理进行计算即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接，如图： 根据题意可得：四边形是矩形，， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴，， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得， ∴拱门最高点到地面的距离是． 22．（2026·浙江杭州·二模）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，交于点，利用垂径定理得出，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∴， 由勾股定理得， ∴． 1．【几何综合】如图，在中，以为圆心，为半径画弧，分别交、于点、，若，，则弧的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用半径相等及已知条件证得，结合等腰三角形性质与三角形外角性质，通过三角形内角和定理列方程求解． 【详解】解：连接， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 2．【动点问题+最值问题】（2026·四川南充·一模）如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接，交于点，连接，由轴对称性可得，则，故当三点共线时，最小，最小值为，由弧和圆心角的关系可求，进而求出，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点，连接， ∵点与点关于对称， ， ， 则当三点共线时，最小，最小值为， ∵是的直径，，点是的中点， ， ， 又， ， ∴的最小值为2． 3．【作图问题】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知，按如下步骤操作： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，画射线； ②在上任取一点，以点为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点，，； ③连接，．则下列结论不正确的是（    ）． A． B． C．垂直平分 D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理及推论，垂径定理，平行线的判定和性质．解题的关键是灵活运用以上知识点解决问题． 选项：根据作图可得，根据圆周角定理，可得，进而可得； 、选项：通过证明，得到，根据圆周角定理的推论和三角形中位线定理，得到垂直平分线段，继而根据垂径定理，得到； 选项：根据不一定等于，得到不一定等于． 【详解】解：由作图可知， 又， ，选项正确，不符合题意； ， ， ， 如图，设和交于点， ， 又， ， 垂直平分线段，，选项、正确，不符合题意； 的度数未知，和互余，但不一定等于， 不一定等于，选项符合题意． 故选：． 4．【折叠问题】如图，扇形中，，，将扇形沿着直线折叠，使点A与点O重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质及扇形的弧长公式．连接，，利用折叠性质先找出边的关系，再确定扇形的半径，紧接着求弧所对的圆心角，最后利用弧长公式计算弧的长度即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵在扇形中，， ∴， 又∵点D为上一点， ∴， 根据折叠的性质可知，， ∴， ∴为的中垂线， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴． 故选：C． 5．【几何综合】如图，是的直径，是的弦，于点E，C是的中点，连接．若的半径为10，且，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，连接，先证明，进而得，从而即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，于点E， ∴，， ∵C是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， 故选：B． 6．【折叠问题】如图，的半径为，把劣弧沿折叠，使劣弧经过圆心，再把劣弧沿折叠，使劣弧经过的中点，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据第一次折叠性质得出 的长，根据第二次折叠性质得出且平分，从而求出的弦心距，最后利用勾股定理求的长． 【详解】解：如图 设为的半径，于，则为 中点，， ∵劣弧沿折叠,经过圆心， ∴点与点关于对称， ∴，且 . 如图 ∵劣弧沿折叠，经过的中点， ∴且平分， 设 与 所在直线交于点 F，则． 设为关于的对称点，则为折后弧所在圆的圆心，连接， ∴，， 在中，， 由垂径定理得． 7．【代几综合】如图，在中，动弦与直径相交于点E且总有，则的值（     ） A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．保持不变 【答案】B 【分析】过点O作于点H，连接，则，证明是等腰直角三角形，得到，可得到，结合勾股定理可推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于点H，连接，则， 设的半径为r， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴的值随着的增大而减小． 8．【几何综合】如图，的直径和弦相交于点，已知，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点作于， 根据题意先求出，再由，得，再根据勾股定理求得，，由垂径定理得出的长． 【详解】解：连接，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 9．【代几综合】（2026·河北沧州·三模）如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于，于，则，，，，由，得，进而得到，即可证，得到，即得到，再根据函数图象可知的直径为，即得，设，则，利用勾股定理求出的值即可求解． 【详解】解：作于，于，则，， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由函数图象可知，当时，，此时为直径， ∴的直径为， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理得，, ∴， ∴． 10．【几何综合】（2026·广西玉林·三模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，作于点，取上的球心，连接，设，在中利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图，取的中点，作于点， ∵是的中点，于点， ∴经过球心， ∴取上的球心，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴在直角三角形中，，即， 解得：， ∴球的半径为． 11．【几何综合】如图，的直径长为4，垂直平分圆内的线段，，，以点为圆心，为半径画扇形，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、扇形面积公式；过点作垂足为点，可以判断，，可得；根据勾股定理可以求出，所以；根据扇形的面积公式可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：如下图所示，过点作垂足为点， 垂直平分圆内的线段， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， 故选：C． 12．【折叠问题】（2026·河南驻马店·二模）如图，扇形中，连接，将弓形沿着翻折，恰好经过点，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，并交于点，根据折叠的性质，可得，，再由垂径定理可得，；设，则，在中，利用勾股定理以及三角函数，解得，，进而可得，然后计算阴影部分的面积即可． 【详解】解：如下图，过点作，垂足为，并交于点， 根据题意，将弓形沿着翻折，恰好经过点， ∴，， ∵， ∴由垂径定理可得，， 设，则， ∴在中，可得，即， 解得， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 13．【实际情境】（2026·湖南·一模）如图，将一装有水的球形容器放在水平地面上，其轴截面为的一部分，为容器口，为水面．已知的半径为，，，将容器从甲处与地面平行时向右缓慢滚至乙处水面恰好经过点B时（水无溢出）停止，则容器口边缘点A相对甲处时升高了（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点O作于点M，交于点N，连接，，利用勾股定理求得和的长度，得出的长度，即点A到水面的距离；过点A作于点G，过点O作于点H，交于点J，作于点N．同法可得，证明，得到，设， 利用勾股定理列方程求解x的值，从而得到的长度，通过相似三角形证得，从而得出的长度，进而得出此时点A到水平面的距离为，相对甲处时升高了． 【详解】如图甲，过点O作于点M，交于点N，连接，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，，∴， ∴点A到水面的距离为， 如图乙，过点A作于点G，过点O作于点H，交于点J，作于点N．同法可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， 则有，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点A到水平面的距离为，相对甲处时升高了． 14．【最值问题】（22-23九年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，动点A、B（不重合）的横、纵坐标均满足等式，当A、B运动到直线上时，线段的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】将变形为，设点，，由勾股定理知道动点A、B到点的距离都为5，得到动点A、B在以为圆心，半径为5的圆上运动，设直线恒过定点，求得，连接，，，直线随k值变化而变化时，当时，此时最大，利用勾股定理求得，在中，此时最小，则最小，利用勾股定理求得，即可求出的最小值． 【详解】解：将变形为， 设点，，， 动点A、B（不重合）的横、纵坐标均满足等式， 即，， 动点A、B到点的距离都为5，动点A、B在以为圆心，半径为5的圆上运动， 设直线恒过定点， 令，则， ， 如图，连接，，，   ， 为等腰三角形， 直线随k值变化而变化时， 当时，此时最大， ，， 在中，此时最小，则最小， ， 为等腰三角形，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 15．【实际情境】（22-23九年级下·浙江台州·期中）如图这是我市某跨海大桥正侧面的照片，大桥的主桥拱为圆弧型，桥面长为800米，且与水面平行，小王用计算机根据照片对大桥进行了模拟分析，在桥正下方的水面上取一点P，在桥面上取点C，作射线交弧（主桥拱）于点D，右边画出了与关于长的函数图象，下列对此桥的判断不合理的是（　　） A．桥拱的最高点与桥面的实际距离约为210米 B．桥拱正下方的桥面的实际长度约为500米 C．拍摄照片时，桥面离水面的实际高度约为110米 D．桥面上段的实际长度约200米 【答案】A 【分析】由题意知，从0变化到8，米，横坐标一个单位长度对应的长度为100米，函数图象中与函数图象的交点即为桥拱与桥面的交点、，对应的横坐标分别为1、6，可求，进而可判断B的正误；如图，过最高点作，交于，由题意知，中点对应最高点，根据时，， 结合图象可判断A的正误；纵坐标最小时，，由函数图象可得的值，进而可判断C的正误；根据桥面上段的实际长度约 米，计算可判断D的正误． 【详解】解：由题意知，从0变化到8，米， ∴横坐标一个单位长度对应的长度为100米， 函数图象中与函数图象的交点即为桥拱与桥面的交点、，对应的横坐标分别为1、6， ∴米，B正确，故不符合要求； 如图，过最高点作，交于， 由题意知，中点对应最高点， ∴时，， 由图象可知，米， ∴桥拱的最高点与桥面的实际距离小于180米，A错误，故符合要求； 纵坐标最小时，此时，由函数图象可知，米，C正确，故不符合要求； 桥面上段的实际长度约 米，D正确，故不符合要求． 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象，垂径定理．解题的关键在于结合题意理解图象信息． 16．【动点问题+最值问题】如图，矩形的顶点，在半径为5的上，，当点在上运动时，点也随之运动，则矩形的对角线的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，取的中点，连接，，在Rt中，为中点，，当时，最小，此时矩形的对角线最小. 、、三点共线时，最小，此时在Rt中，设，知道，长度，根据勾股定理建立方程，即可求解的长度，进而求得的长度. 【详解】解：如图，取的中点，连接，， 在Rt中，为中点，， 当时，最小，此时矩形的对角线最小， ∵，为弦，为中点， ∴在过的直径上， 而为圆心，则、、三点都在一条直线上； 故、、三点共线时，最小； 此时在Rt中，设，知道，， 有， 有， 解得，(舍去)， ， 故选A． 【点睛】本题考查了圆内动点问题、垂径定理等知识，根据垂径定理作出图形是解题的关键． 1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离， ∴，， 在中，， 故选：B． 2．（2024·新疆·中考真题）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据垂径定理求得，再对运用勾股定理即可求，最后即可求解． 【详解】解：∵，是的直径， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 故选：B． 3．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得出根据勾股定理求出，进一步可求出的长． 【详解】解：∵ ∴点为的中点， ∵ ∴， 由勾股定理得， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答本题的关键 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 21.3圆的对称性 参考答案 A组 巩固过关 瓶孔型01 弧、弦、圆心角的关系 A 2.C 3.D 4.C5.D 题型02 求园弧的度数 6.D 7.C 8.C 9.D10.B 题型03 利用垂径定理求值 11.C 12.B 13.A14.C15.C 题型04 利用垂径定理求平行弦问题 16.C 17.C 18.C19.C20.A 题型05 垂径定理的推论 21.D 22.D 23.A24.A25.B 题型06 垂径定理的实际应用 26.C27.A28.B29.C30.A31.B 1/2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 1.C2.A3.B4.B5.B6.C7.C8.D9.D10.C11.A12.D13.D 14.C 15.D16.D17.B18.B19.B20.D 21.D22.A C组 思维拔高 1.C2.C3.A4.C5.B6.D7.B8.D9.C10.A11.C12.B13.B 14.D 15.A16.A 拓展 链接中考 1.B2.B3.B 2/2