专题2.4 抛物线（高效培优讲义）高二数学沪教版选择性必修第一册

专题2.4 抛物线 教学目标 1.了解抛物线的实际背景，理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导过程． 2.会根据条件求抛物线的标准方程（定义法与待定系数法），会判断抛物线的开口方向与焦点位置． 3.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、通径与离心率等几何性质，理解参数 p 的几何意义． 4.理解焦半径与焦点弦的性质，会用定义把"到焦点的距离"转化为"到准线的距离"解决最值问题. 教学重难点 1.重点 （1）抛物线标准方程的四种形式与求法；（2）抛物线定义的应用与焦半径公式； 2.难点 （1）抛物线定义的灵活转化（焦点距离↔准线距离）；（2）与抛物线有关的轨迹与最值问题； 3.核心素养 直观想象、数学运算、逻辑推理. 知识点01 抛物线的定义 定义：平面内到一个定点 和一条定直线 （ 不在 上）距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 即 ，其中定点 叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线. 若定点 在定直线 上，则轨迹退化成过 且垂直于 的一条直线，不是抛物线. 抛物线的离心率 ，它是圆锥曲线中唯一开口、无对称中心的曲线. 定义的价值：可把"到焦点的距离"与"到准线的距离"互相转化，这是求抛物线距离最值的核心工具. 【即学即练】 1．以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知点为抛物线上一点，则点到的焦点的距离是___________． 4．若动点到轴的距离比到点的距离小1，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 知识点02 抛物线的标准方程 开口向右：，焦点 ，准线 . 开口向左：，焦点 ，准线 . 开口向上：，焦点 ，准线 . 开口向下：，焦点 ，准线 . 参数 的几何意义是焦点到准线的距离，恒有 ；标准方程中一次项系数的绝对值就是 . 开口方向的判断：一次项是 则焦点在 轴上，一次项是 则焦点在 轴上；系数为正开口朝正方向，为负开口朝负方向. 求标准方程的两种方法：①定义法——由准线方程（或焦点）定 ；②待定系数法——先定开口方向设出方程，再代入已知点坐标求 . 【即学即练】 1．若抛物线的焦点坐标为，则________． 2．点在抛物线上，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．3 3．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆的圆心，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知为抛物上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为______． 知识点03 抛物线的简单几何性质 （以 为例）范围：，，抛物线位于 轴右侧且向右无限伸展. 对称性：抛物线关于 轴对称；它没有对称中心，对称轴只有一条. 顶点：坐标原点 ，顶点是抛物线上到焦点与准线距离相等且取最小值的点. 离心率：（按定义即到焦点距离与到准线距离之比）. 焦点到顶点的距离为 ，顶点到准线的距离也为 ，二者相等. 通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，其长为 ；通径是所有焦点弦中最短的一条. 参数 决定开口大小： 越大，抛物线的开口越阔. 【即学即练】 1．在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（  ） A． B． C． D． 2．下列抛物线中，开口最小                          A． B． C． D． 3．关于抛物线，下列说法正确的是        ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 4．对于抛物线，下列说法正确的是    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 知识点04 抛物线的焦半径与焦点弦 焦半径：抛物线上一点 到焦点 的距离叫做焦半径. 对 有 ，它恰好等于 到准线的距离 . 一般结论：（开口向右时），其余三种形式按坐标对应改写. 焦点弦：过焦点的直线交抛物线于 、，则 . 焦点弦性质：以焦点弦 为直径的圆必与准线相切，且 . 若 在 上且 过焦点，则 ，. 解题关键：涉及焦半径与焦点弦时，优先用定义把"到焦点"化为"到准线"，再用横坐标表示. 【即学即练】 1．抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且点到焦点的距离为6，则点的横坐标为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知抛物线：的焦点为，是上一点，则点到焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 4．已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为__________. 知识点05 抛物线的实际应用与轨迹方程 实际应用：桥梁拱、隧道截面、卫星接收天线（旋转抛物面）、抛体运动轨迹等常归结为抛物线模型. 建模步骤：建立直角坐标系（常以顶点为原点、对称轴为坐标轴）→设标准方程→代入已知点的坐标求 →回代求解实际问题. 求轨迹方程的三种常用方法：定义法——由题意识别定点与定直线；直接法——设点、列式、化简；相关点法（代入法）——借助已知轨迹的动点转移. 用定义求轨迹时，务必检验"定点不在定直线上"，否则轨迹退化为一条直线. 求得轨迹方程后应注明变量的取值范围（如 ），以保证轨迹的纯粹性与完备性. 【即学即练】 1．图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 2．在平面内，到定点的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是______． 3．已知F是抛物线C：的焦点，P是第一象限内抛物线C上一点，P在抛物线C准线上的投影为Q，，，则抛物线C的标准方程为______． 4．已知抛物线的焦点，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 题型01 求抛物线的标准方程 【典例1】根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦点到准线的距离为； (2)经过点； (3)焦点为直线与坐标轴的交点． 【变式1】与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程为______． 【变式2】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， (1)求C的标准方程. (2)设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长. 【变式3】若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式4】已知抛物线：上点，斜率为1的直线过点，抛物线上存在两点，关于直线对称，则______． 【变式5】设圆，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 题型02 抛物线的定义及应用 【典例1】已知A为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为8，到y轴的距离为6，则______． 【变式1】已知抛物线：（）的焦点为，准线为直线，横坐标为4的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆与该抛物线的准线相切，则动圆必过定点的坐标为__________． 【变式3】下列命题是假命题的有________．（填序号） ①到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ②到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ③到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线． 【变式4】已知坐标平面内一动点P到定点的距离等于到定直线的距离． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)设O为坐标原点，过点的直线m交E于A，B两点，求证：是直角三角形． 【变式5】已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 题型03 求抛物线的焦点或准线 【典例1】抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知是抛物线的焦点，则（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式2】抛物线的准线方程为______． 【变式3】抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式4】抛物线的焦点坐标为_________. 【变式5】已知抛物线的准线为，则与直线的交点坐标为_________ 题型04 抛物线的简单几何性质 【典例1】已知点为抛物上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【变式1】设为抛物上任意一点，若的最小值为，则的值为____________． 【变式2】已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长________. 【变式3】已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则_______． 【变式4】已知方程，则（   ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示双曲线 C．方程可能表示两条直线 D．方程表示的曲线不可能为抛物线 【变式5】已知圆的圆心为抛的顶点，且圆经过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型05 抛物线的焦半径与焦点弦 【典例1】已知点在抛物线上． (1)求的方程； (2)过的焦点作斜率为的直线，且与交于两点，求． 【变式1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上且在第一象限．若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知直线过抛物：（）的焦点，且与抛物线交于，两点，若使的直线有且仅有1条，则______. 【变式5】已知抛物线的焦点，为上的两个动点，且，，当的周长最大时，抛物线的标准方程为______． 题型06 抛物线上点到定点距离的最值 【典例1】已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式1】已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【变式4】已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式5】已知抛物线的焦点F，点A，B在抛物线上．若，则当取得最大值时，___________． 题型07 抛物线的实际应用与轨迹方程 【典例1】如图为抛物线拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为，若经过桥洞的一艘货船宽为，则其船体两侧的货物距离水面的最大高度不超过（    ） A． B． C． D． 【变式1】下边左图是探照灯的反射镜，它可以看作由右图所示抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点F处．已知灯口圆的半径为，灯的深度为． (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点，光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的半径增大到，并且保持光源与顶点的距离不变．求探照灯的深度． 【变式2】某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个单行隧道，隧道横断面由一段抛物线 及一个矩的三边组成，尺寸如图，单位：m. (1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线 所在抛物线的方程； (2)为保证安全，要求车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要有0.5米，若现有一宽3米的载运集装箱车辆需通过该隧道，请计算车辆的限制高度为多少米？（精确至米） 【变式3】图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ） 【变式4】一座桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，求该货车能顺利通过桥洞的限高. 【变式5】如图是一座抛物线型拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m.当水位下降，水面宽为8m时，拱顶到水面的距离是__________m. 1．已知点在抛物线上，O为坐标原点，则________； 2．抛物线的焦点到准线的距离为______. 3．已知抛物线与抛物关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 4．已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 5．已知抛物线的焦点为，若点在该抛物线上，则（    ） A．2 B． C．4 D．5 6．已知抛物线上一点P到x轴的距离为，则点P到C的焦点的距离为_________． 7．已知点满足，则的最小值为（______） A． B．3 C． D．4 8．在同一坐标系中，方的曲线大致是（    ） A． B． C． D． 9．若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 11．已知抛物线与有且仅有一个公共点，则实数（    ） A． B．0 C． D．1 12．已知抛物线和的焦点之间的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 13．设函数，则（     ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．有一个实根 D．有两个实根 14．已知函数，则（   ） A．的最小值为8 B．的最小值为9 C．有2个最小值点 D．仅有1个最小值点 15．如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的点，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 16．抛物线：的焦点为F，准线l交x轴于点，过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（    ） A． B． C．直线AQ与BQ的斜率之和为0 D．准线l上存在点M，若为等边三角形，可得直线AB的斜率为 17．已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，，为上两点，.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．已知圆，抛物的焦点为，为上一点，则下列结论正确的有（   ） A．存在点，使为等边三角形 B．若为上一点，则的最小值为1 C．若，则直线与圆相切 D．若以为直径的圆与圆外切，则 19．已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（     ） A． B． C．9 D． 20．已知曲线，则（    ） A．可以是圆 B．可以是抛物线 C．当或时，为双曲线 D．当时，为椭圆 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 抛物线 教学目标 1.了解抛物线的实际背景，理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导过程． 2.会根据条件求抛物线的标准方程（定义法与待定系数法），会判断抛物线的开口方向与焦点位置． 3.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、通径与离心率等几何性质，理解参数 p 的几何意义． 4.理解焦半径与焦点弦的性质，会用定义把"到焦点的距离"转化为"到准线的距离"解决最值问题. 教学重难点 1.重点 （1）抛物线标准方程的四种形式与求法；（2）抛物线定义的应用与焦半径公式； 2.难点 （1）抛物线定义的灵活转化（焦点距离↔准线距离）；（2）与抛物线有关的轨迹与最值问题； 3.核心素养 直观想象、数学运算、逻辑推理. 知识点01 抛物线的定义 定义：平面内到一个定点 和一条定直线 （ 不在 上）距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 即 ，其中定点 叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线. 若定点 在定直线 上，则轨迹退化成过 且垂直于 的一条直线，不是抛物线. 抛物线的离心率 ，它是圆锥曲线中唯一开口、无对称中心的曲线. 定义的价值：可把"到焦点的距离"与"到准线的距离"互相转化，这是求抛物线距离最值的核心工具. 【即学即练】 1．以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】山西省运城市2025-2026学年高三上学期期末数学试题 【详解】设为抛物线上任意一点，根据抛物线的定义可得，即，化简得．所以，以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为故选：C 2．设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由 得 ，即 ，所以焦点 、准线为 .由抛物线的定义， 等于点 到准线 的距离，故 . 3．已知点为抛物线上一点，则点到的焦点的距离是___________． 【答案】 【来源】上海市市南中学2026-2027学年高三上学期0月素养检测数学试卷 【详解】在抛物线中，，得.焦点坐标为，焦点在轴上，根据抛物线的定义知，抛物线上的点到焦点的距离为. 4．若动点到轴的距离比到点的距离小1，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【来源】江苏省连云港市2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题 【详解】由于到轴的距离比到点的距离小1，则，当时，，化简得；当时，，化简得；故选：AC. 知识点02 抛物线的标准方程 开口向右：，焦点 ，准线 . 开口向左：，焦点 ，准线 . 开口向上：，焦点 ，准线 . 开口向下：，焦点 ，准线 . 参数 的几何意义是焦点到准线的距离，恒有 ；标准方程中一次项系数的绝对值就是 . 开口方向的判断：一次项是 则焦点在 轴上，一次项是 则焦点在 轴上；系数为正开口朝正方向，为负开口朝负方向. 求标准方程的两种方法：①定义法——由准线方程（或焦点）定 ；②待定系数法——先定开口方向设出方程，再代入已知点坐标求 . 【即学即练】 1．若抛物线的焦点坐标为，则________． 【答案】2 【来源】甘肃平凉市静宁县部分校2025~2026学年第二学期期末质量检测高二数学试题 【详解】由题意得，，得. 2．点在抛物线上，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【来源】湖南湘潭市2027届高三第一次模拟考试数学试题 【详解】点在抛物线上，代入可得：，解得：，所以焦点到准线的距离为. 3．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆的圆心，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】山东济南市2026-2027学年高三上学期摸底考试数学试题 【详解】圆的标准方程为，则该圆的圆心为，即抛物线的焦点为，又抛物线的顶点为坐标原点，则设其标准方程为，则，解得，所以的标准方程为． 4．已知为抛物上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为______． 【答案】 【详解】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，则两点关于轴对称，轴是等边三角形边的垂直平分线，不妨取在第一象限，如图，由，，得，将代入抛物线方程中得，所以，抛物线方程为．故答案为：. 知识点03 抛物线的简单几何性质 （以 为例）范围：，，抛物线位于 轴右侧且向右无限伸展. 对称性：抛物线关于 轴对称；它没有对称中心，对称轴只有一条. 顶点：坐标原点 ，顶点是抛物线上到焦点与准线距离相等且取最小值的点. 离心率：（按定义即到焦点距离与到准线距离之比）. 焦点到顶点的距离为 ，顶点到准线的距离也为 ，二者相等. 通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，其长为 ；通径是所有焦点弦中最短的一条. 参数 决定开口大小： 越大，抛物线的开口越阔. 【即学即练】 1．在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2026届湖北省新八校高三下学期第二次联考（二模）数学 【详解】由抛物线的性质，得抛物线中，越大，抛物线开口越大，所以抛物线中，开口最大的为. 2．下列抛物线中，开口最小                          A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于对于抛物线的标准方程中，开口最小：说明一次项的系数的绝对值最小，观察四个选项发现：A选项一次项的系数的绝对值最小，本题选择A选项. 3．关于抛物线，下列说法正确的是        ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 【答案】D 【详解】因为抛物线方程为，则，即，所以开口向左，焦点坐标为，准线为，对称轴为x轴，即D正确，ABC错误.故选：D. 4．对于抛物线，下列说法正确的是    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 【答案】AC 【来源】宁夏固原市泾源高级中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题 【详解】A、B，由已知得，，且抛物线开口向上，所以焦点坐标为，故A正确、B错误；C，根据抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故C正确；D，根据抛物线的方程可知，准线方程为，故D错误.故选：AC. 知识点04 抛物线的焦半径与焦点弦 焦半径：抛物线上一点 到焦点 的距离叫做焦半径. 对 有 ，它恰好等于 到准线的距离 . 一般结论：（开口向右时），其余三种形式按坐标对应改写. 焦点弦：过焦点的直线交抛物线于 、，则 . 焦点弦性质：以焦点弦 为直径的圆必与准线相切，且 . 若 在 上且 过焦点，则 ，. 解题关键：涉及焦半径与焦点弦时，优先用定义把"到焦点"化为"到准线"，再用横坐标表示. 【即学即练】 1．抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且点到焦点的距离为6，则点的横坐标为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【来源】安徽省江南十校2027届高三9月综合素质检测试卷 【详解】由题，抛物线：的焦点为，因为点到焦点的距离为6，设，所以，解得，所以点的横坐标为4. 2．抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【来源】湖南永州市2026-2027学年高三上学期第一次模拟考试数学试题 【详解】设抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标为，则，由于，故. 3．已知抛物线：的焦点为，是上一点，则点到焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】内蒙古锡林郭勒盟2026-2027学年高三上学期教学诊断检测数学试题 【详解】由题知，令，代入，得，则，又抛物线的准线为，所以点到焦点的距离为. 4．已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为__________. 【答案】 【来源】上海市杨浦区复旦大学附属中学2027届高三上学期模拟测试（1）数学试卷 【详解】将点的坐标代入抛物线的方程，得，解得.所以抛物线的方程为，即，其焦点为，准线为.所以点到抛物线焦点的距离等于点到其准线的距离，为. 知识点05 抛物线的实际应用与轨迹方程 实际应用：桥梁拱、隧道截面、卫星接收天线（旋转抛物面）、抛体运动轨迹等常归结为抛物线模型. 建模步骤：建立直角坐标系（常以顶点为原点、对称轴为坐标轴）→设标准方程→代入已知点的坐标求 →回代求解实际问题. 求轨迹方程的三种常用方法：定义法——由题意识别定点与定直线；直接法——设点、列式、化简；相关点法（代入法）——借助已知轨迹的动点转移. 用定义求轨迹时，务必检验"定点不在定直线上"，否则轨迹退化为一条直线. 求得轨迹方程后应注明变量的取值范围（如 ），以保证轨迹的纯粹性与完备性. 【即学即练】 1．图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【来源】江西省南昌市2025-2026学年高二上学期期末数学试题 【详解】设该抛物线的方程为，点的坐标为，则，解得，因此该抛物线的方程为，其焦点，所以.故选：A 2．在平面内，到定点的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是______． 【答案】或 【来源】吉林省延边朝鲜族自治州延边第二中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题 【详解】当点M横坐标大于等于0时，由题意可转化为点M到点的距离等于点M到的距离，设，所以点M的轨迹是以为焦点，为准线，顶点在原点，开口向右的抛物线，设其方程为，所以，，所以点M的轨迹方程为；当点M横坐标小于0时，因为点到y轴的距离为2，所以点M在x轴上，即点M的轨迹方程为；所以点M的轨迹方程为或.故答案为：或. 3．已知F是抛物线C：的焦点，P是第一象限内抛物线C上一点，P在抛物线C准线上的投影为Q，，，则抛物线C的标准方程为______． 【答案】 【来源】福建莆田第四中学2025-2026学年上学期高二年级数学期末考试卷 【详解】抛物线焦点为，准线为.由抛物线定义可得，又，则为正三角形.则，设，又过F作于点G，则，则，又，则，则有，解得.故抛物线的方程为：，即.故答案为：. 4．已知抛物线的焦点，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 【答案】D 【来源】河北省保定市部分高中2024届高三上学期12月联考数学试题 【详解】因为是上一点，所以，所以，由抛物线的定义可得到的距离为，点到的对称轴的距离为，则，解得或.故选：D. 题型01 求抛物线的标准方程 【典例1】根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦点到准线的距离为； (2)经过点； (3)焦点为直线与坐标轴的交点． 【答案】(1)或．；(2)或．；(3)或． 【详解】（1）已知抛物线的焦点在轴上，可设方程为， 由焦点到准线的距离为5，知，， 所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为或． （2）因为点在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为或． 若抛物线的标准方程为，则由，解得； 若抛物线的标准方程为，则由，解得． 故所求抛物线的标准方程为或． （3）对于直线方程，令，得；令，得，所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 故所求抛物线的标准方程为或． 【变式1】与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程为______． 【答案】或 【详解】因为抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，所以直线与坐标轴的交点即抛物线的焦点，令，得；令，得，所以抛物线的焦点坐标为或．当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为；当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为．综上所述，所求抛物线的标准方程为或． 【变式2】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， (1)求C的标准方程. (2)设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长. 【答案】(1)；(2) 【来源】江苏省启东中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题 【详解】（1）因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， 所以可设它的标准方程为 因为点M在抛物线上，所以，解得 因此，所求抛物线的标准方程是 （2）设正三角形的顶点A、B在抛物线上，且设点，， 则，，又， ，即， ，又，，， 由此可得，即线段关于x轴对称， 轴垂直于，且，， ，， 【变式3】若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【详解】直线的方程可化为，因为直线恒过定点，所以解得即，又因为抛物线过点，所以当焦点在轴上时，方程为，当焦点在轴上时，方程为． 【变式4】已知抛物线：上点，斜率为1的直线过点，抛物线上存在两点，关于直线对称，则______． 【答案】 【来源】浙江天域名校协作体2027届高三上学期10月学科练习数学试卷 【详解】如图，因为在抛物线上，所以，解得，所以抛物线方程为，因为直线的斜率为1，所以直线的方程为；设直线MN的方程为，由，消去得，设，则，于是线段MN的中点坐标为，显然点在直线上，即，解得，所以，所以. 【变式5】设圆，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广西崇左市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题 【详解】由圆：，与曲线都关于轴，轴对称，且它们的交点为，，，，又四边形为正方形，则不妨设，，，，其中，所以，解得，又为圆的直径，所以． 题型02 抛物线的定义及应用 【典例1】已知A为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为8，到y轴的距离为6，则______． 【答案】 【来源】广东省广州市2025-2026学年第一学期期末教学质量检测高二数学试卷（A卷） 【详解】因为点A到C的焦点的距离为8， 所以点A到准线的距离为8，因为点A到y轴的距离为6，所以，即.故答案为： 【变式1】已知抛物线：（）的焦点为，准线为直线，横坐标为4的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】云南省昆明市第一中学2027届高三上学期复习诊断新卷（二）数学试题 【详解】不妨设点在第一象限，因为点的横坐标为4，所以，因，则，，因为，由，可得，化简得解得或（舍去）. 【变式2】一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆与该抛物线的准线相切，则动圆必过定点的坐标为__________． 【答案】 【来源】陕西省镇安中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题 【详解】抛物线的焦点，准线方程为，依题意圆心到直线的距离即半径等于圆心到焦点的距离，所以在圆上．即动圆必过定点的坐标为. 【变式3】下列命题是假命题的有________．（填序号） ①到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ②到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ③到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线． 【答案】③ 【详解】由抛物线的定义易得①②是真命题；因为定点在定直线上，所以动点的轨迹为直线，故③是假命题． 【变式4】已知坐标平面内一动点P到定点的距离等于到定直线的距离． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)设O为坐标原点，过点的直线m交E于A，B两点，求证：是直角三角形． 【来源】云南昭通一中教研联盟2025-2026学年高二下学期期末考试数学（B卷） 【详解】（1）由抛物线定义可知，点轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线， 设的方程为：，则，即， 所以动点的轨迹的方程为. （2）设，分两类情况： 第一种：直线垂直于轴，其方程为， 联立，解得，     此时， 所以，是直角三角形； 第二种：直线不垂直于轴， 设直线，联立得， ， 由韦达定理得， ， 即， 因为， 所以，所以为直角三角形． 【变式5】已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 【答案】 【来源】上海市杨浦区复旦大学附属中学2026届高三下学期5月数学限时模拟数学试题 【详解】设动点的坐标为，由题意得，等式两边平方得：化简得：当时，，代入得；当时，，代入得即.综上，点的轨迹方程为（）和（）. 题型03 求抛物线的焦点或准线 【典例1】抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省绍兴市第一中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学（平行班）试卷 【详解】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，所以，所以抛物线的准线方程为． 【变式1】已知是抛物线的焦点，则（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【来源】河北省沧州市多校联考2026-2027学年高三上学期开学摸底检测数学试题 【详解】抛物线的焦点坐标为，已知焦点，故，解得． 【变式2】抛物线的准线方程为______． 【答案】 【来源】广东广州市天河区2026-2027学年高三上学期一模数学试卷 【详解】原抛物线标准形式为：，则，故，故该抛物线的准线方程为. 【变式3】抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】广东广州市海珠区2027届高三上学期综合练习（一） 数学试卷 【详解】抛物线化为,当,则,从而,所以焦点的坐标是;当,则,从而,所以焦点的坐标是.所以抛物线的焦点坐标是. 【变式4】抛物线的焦点坐标为_________. 【答案】 【来源】2026-2027学年高三数学河南部分学校10月检测训练 【详解】由，得，即，所以的焦点坐标为，即抛物线的焦点坐标为，故抛物线的焦点坐标为. 【变式5】已知抛物线的准线为，则与直线的交点坐标为_________ 【答案】 【详解】的准线方程为：，当时，，解得， 故交点为. 题型04 抛物线的简单几何性质 【典例1】已知点为抛物上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【来源】安徽省亳州市涡阳县第三中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题 【详解】因为点为抛物线上一动点，所以，即,所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为，此时，.故选：B 【变式1】设为抛物上任意一点，若的最小值为，则的值为____________． 【答案】 【来源】2025届上海浦东新区高三二模数学试卷 【详解】因为为抛物线上任意一点，所以，，所以，所以当时取得最小值，依题意可得，所以. 故答案为： 【变式2】已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长________. 【答案】 【详解】由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则另外两个顶点关于x轴对称，如图所示：设等边三角形边长为a，，则A点横坐标为，则，代入得，解得（舍去），故等边三角形的边长为.故答案为：. 【变式3】已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则_______． 【答案】6 【来源】上海市回民中学2025-2026学年高三第一学期期中数学试卷 【详解】由题意得双曲线的方程为，则，则，右焦点为，抛物线的焦点为，则有，解得. 【变式4】已知方程，则（   ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示双曲线 C．方程可能表示两条直线 D．方程表示的曲线不可能为抛物线 【答案】BCD 【来源】湖北黄石市2025-2026学年高二上学期2月期末数学试卷 【详解】当时，与同号，将方程化为.当且时，该方程表示椭圆，当且时，该方程表示圆.当时，方程表示的轨迹不存在，故A选项错误.当时，与异号，当时，方程表示焦点在轴上的双曲线.当时，方程表示焦点在轴上的双曲线，故B选项正确.当或时，该方程表示两条直线，C选项正确.因抛物线方程中只存在一个二次项，故中有一个为0，而中有一个为0时，此时无一次项，方程就不可能表示抛物线，故D选项正确.故选：BCD 【变式5】已知圆的圆心为抛的顶点，且圆经过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为抛物线的顶点坐标为，所以圆的圆心坐标为，又圆经过点，所以圆的半径，所以圆的方程为 故选：B 题型05 抛物线的焦半径与焦点弦 【典例1】已知点在抛物线上． (1)求的方程； (2)过的焦点作斜率为的直线，且与交于两点，求． 【来源】广西南宁市第二中学2027届高三上学期入学考数学试题 【详解】（1）将点的坐标代入，得，解得， 所以的方程为． （2）由（1）得的焦点为， 所以直线l的方程为，设，． 由，消得， 则，，， 所以． 【变式1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】海南海口市海南中学2026-2027学年高三上学期第0次月考数学试题 【详解】由题意可得抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，根据抛物线的定义可得，则. 【变式2】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上且在第一象限．若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】甘肃酒泉市多校2027届高三上学期9月测试数学试题A 【详解】对于抛物线，得，即，因此焦点的坐标为，准线方程为， 设点，由在第一象限得，由抛物线的定义可知， 因为，所以，解得， 将代入抛物线方程得，结合得，即， 设直线的斜率为满足，设直线的倾斜角为，，则，解得所以直线的倾斜角为. 【变式3】已知抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题 【详解】抛物线的焦点，设，由，得，解得，因此轴，由对称性得，所以. 【变式4】已知直线过抛物：（）的焦点，且与抛物线交于，两点，若使的直线有且仅有1条，则______. 【答案】1 【详解】焦点弦中，通径最短，所以若使的直线有且仅有1条，则就是通径，即，.故答案为：1 【变式5】已知抛物线的焦点，为上的两个动点，且，，当的周长最大时，抛物线的标准方程为______． 【答案】 【来源】河北省秦皇岛市昌黎第一中学2026届高三上学期开学收心考试数学试题 【详解】设，，在中，，由余弦定理得，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，即时，的周长最大，此时不妨设点 ，所以，化简，解得（舍去），故抛物线的标准方程为．故答案为：. 题型06 抛物线上点到定点距离的最值 【典例1】已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【来源】河北省雄安新区部分高中2027届高三上学期9月考试数学试题 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为：，设点到抛物线的准线：的距离为，则，等号在时成立，所以的最小值为9. 【变式1】已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市南开中学校2025-2026学年高二下学期7月质量检测数学试题 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为，设点到准线的垂线段为，垂足为，根据抛物线定义得，所以，根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立，且此时，所以，即的最小值为. 【变式2】已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【来源】浙江省杭州高级中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题 【详解】由抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线为，所以为抛物线的焦点，因为在抛物线内部，作出示意图如下，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线定义可知，，当且仅当三点共线时等号成立. 【变式3】已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的焦点是,准线是直线，当时，，得，因为，所以点在抛物线外，如图所示，过P作准线，垂足为,交轴于,则,,所以. 【变式4】已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【来源】江苏无锡市江阴市某校2025-2026学年高三下学期4月阶段性检测数学试题 【详解】的焦点为，准线为，即为，所以圆心为即为焦点，半径，显然在抛物线内部，过点作垂直准线，交准线于点，所以，当且仅当三点共线时取等号，又当且仅当三点共线时取最小值，此时最小值为，所以的最小值为5. 【变式5】已知抛物线的焦点F，点A，B在抛物线上．若，则当取得最大值时，___________． 【答案】或4 【详解】在中，由余弦定理可得．，．，，当且仅当时，等号成立．根据抛物线的对称性可知，或，或4．故答案为：或4． 题型07 抛物线的实际应用与轨迹方程 【典例1】如图为抛物线拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为，若经过桥洞的一艘货船宽为，则其船体两侧的货物距离水面的最大高度不超过（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广东中山市第一中学2025-2026学年高二上学期三段考数学试题 【详解】依题意，在平面直角坐标系中画出抛物线如下所示：设抛物线的标准方程为，焦点坐标为，当水面过抛物线焦点时，水面宽度为，因此抛物线经过点，即有，所以，则 ，焦点坐标为， 所以水面距离轴距离为，因为船宽，所以船刚好通过时，点在抛物线上时，此时代入抛物线方程得，此时两侧货物不能超过m. 【变式1】下边左图是探照灯的反射镜，它可以看作由右图所示抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点F处．已知灯口圆的半径为，灯的深度为． (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点，光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的半径增大到，并且保持光源与顶点的距离不变．求探照灯的深度． 【答案】(1)；(2) 【来源】上海市建平中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题 【详解】（1）如右图所示，以反射镜顶点为原点，对称轴为轴，建立坐标系， 抛物线方程设为， 灯口边缘点的坐标由题意确定：灯的深度该点的横坐标， 灯口圆半径该点的纵坐标， 灯口半径cm，灯深cm，故边缘点为，此点在抛物线上， 则有 ，解得 ， ， 焦点到顶点的距离为， 即光源应安置在旋转轴上距顶点（即）处. （2）保持光源与顶点距离不变，即不变， 新灯口边缘点为，代入，得到 ， 解得 ，即 ， 即探照灯的深度为 （即）. 【变式2】某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个单行隧道，隧道横断面由一段抛物线 及一个矩的三边组成，尺寸如图，单位：m. (1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线 所在抛物线的方程； (2)为保证安全，要求车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要有0.5米，若现有一宽3米的载运集装箱车辆需通过该隧道，请计算车辆的限制高度为多少米？（精确至米） 【来源】上海海洋大学附属大团高级中学2025-2026学年高二上学期第二次过程性检测数学试题 【详解】（1）设抛物线方程为，由图知抛物线经过点， 代入方程可得，解得， 故抛物线所在抛物线的方程为． （2）依题意，在抛物线上取点，代入，解得， 设车辆限高为，要使装载集装箱的车能安全通过隧道，需使， 即 所以车辆的限制高度为3.8米． 【变式3】图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ） 【答案】错误 【详解】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为． 【变式4】一座桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，求该货车能顺利通过桥洞的限高. 【详解】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，， 设抛物线方程为， 将代入方程可得，解得， 所以抛物线方程为， 若宽为的一辆货车沿桥洞中线行驶，则货车边缘的横坐标为， 将其代入抛物线方程可得，解得， 所以货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离为， 又因为货车与其正上方的墙壁高度差至少为， 所以货车能顺利通过桥洞的限高为. 【变式5】如图是一座抛物线型拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m.当水位下降，水面宽为8m时，拱顶到水面的距离是__________m. 【答案】8 【来源】陕西渭南市大荔县2025-2026学年度第一学期期末学业水平评估试题高二数学 【详解】以拱顶为原点，过拱顶的水平切线为轴建立直角坐标系（如图），设抛物线的标准方程为，由题意可知点在抛物线上，所以，则，所以抛物线的标准方程为，当水位下降，水面宽为8m时，，设点，则，所以，所以拱顶到水面的距离是8.故答案为：8. 1．已知点在抛物线上，O为坐标原点，则________； 【答案】 【来源】广西桂林市国龙外国语学校2026届高三下学期3月月考数学试卷 【详解】因为点在抛物线上，故，故. 2．抛物线的焦点到准线的距离为______. 【答案】/ 【来源】陕西镇安中学2026届高三下学期模拟预测数学试题 【详解】由，得，解得，即抛物线的焦点到准线的距离为. 3．已知抛物线与抛物关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 【答案】AC 【来源】湖南省长沙市第一中学2024届高三下学期模拟试卷（二）数学试题 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确；抛物线关于轴对称，故B错误；抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误.故选：AC 4．已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【来源】北京市第四中学2025-2026学年第二学期高三考前模拟数学试题 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为，已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3，即 ，解得. 5．已知抛物线的焦点为，若点在该抛物线上，则（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】A 【来源】陕西渭南市韩城市2026届高三下学期教学质量检测（III）数学试题 【详解】点在抛物线上，，则，又抛物线：的焦点，故． 6．已知抛物线上一点P到x轴的距离为，则点P到C的焦点的距离为_________． 【答案】3 【来源】河南郑州市中牟县河南衡水高考复读学校2026届高三下学期模拟预测（二）数学试题 【详解】由题设，不妨设，所以，又，则，故准线方程为，所以点P到C的焦点的距离为． 7．已知点满足，则的最小值为（______） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【来源】安徽省宿州十三校2025-2026学年高二上学期11月期中质量检测数学试卷 【详解】由，得，整理得，则，当且仅当时，等号成立．故选：A． 8．在同一坐标系中，方的曲线大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】天津市第九十五中学2025-2026学年高二上学期第三次学业质量监测数学试题 【详解】由，方程表示焦点在轴上的椭圆，得，因，故该方程表示焦点在轴上开口向左的抛物线.故选：D. 9．若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】四川成都市2025-2026学年高三下学期定时练习数学试题 【详解】设圆心，圆过点，且与轴相切，则，化简得，即得，则圆心的轨迹方程为. 10．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【来源】广东深圳市罗湖区2025-2026学年第二学期期末质量检测高二数学试题 【详解】由抛物线方程，可知，即，该抛物线的焦点为，准线方程为，根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，已知点到焦点的距离，那么点到准线的距离也等于，设点的横坐标为，则它到准线的距离为，即，解得，所以，点的横坐标为. 11．已知抛物线与有且仅有一个公共点，则实数（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【来源】河北邢台市卓越联盟2026届高三下学期4月质量检测数学试题 【详解】由题意得圆，则圆心，半径为，其中为的焦点.设与圆的公共点为，则.由题知上满足条件的点有且只有一个，由抛物线C和圆F均关于x轴对称，故两曲线公共点在x轴上，即为原点，则与原点重合，所以，即，解得. 12．已知抛物线和的焦点之间的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河南安阳市（文峰区,北关区）2027届高三年级上学期9月学情调研数学试卷 【详解】抛物线和的焦点分别为、，由题意得，，即，由基本不等式，可得，所以，即的最大值为（当且仅当时取等号）.故的最大值为. 13．设函数，则（     ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．有一个实根 D．有两个实根 【答案】B 【来源】江西新干中学等校2026届高三下学期5月G20联考数学试题 【详解】因为，所以表示点两点间的距离，表示点到直线的距离，点在抛物线上，过点作，垂足为，则函数表示，点到直线的距离为，则当三点共线且在线段上时，有最小值，最小值为，故A错误，B正确；无解，故C错误；有一个实根，故D错误. 14．已知函数，则（   ） A．的最小值为8 B．的最小值为9 C．有2个最小值点 D．仅有1个最小值点 【答案】BC 【详解】 ，的几何意义为：抛物线上点到的距离与到直线的距离之和，如图：显然当时距离之和最小，最小值为，这样的有两个，故最小值为，即的最小值为9. 15．如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的点，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆市第八中学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试试题 【详解】由题可得：圆与抛物线相切于点，即只有一个交点.由，得，解得，或.所以，所以.圆与抛物线相切，恰有两个切点，且两个切点纵坐标相等并大于零.由，得.所以，即.整理得：，解得.综上的取值范围为.故选：A. 16．抛物线：的焦点为F，准线l交x轴于点，过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（    ） A． B． C．直线AQ与BQ的斜率之和为0 D．准线l上存在点M，若为等边三角形，可得直线AB的斜率为 【答案】C 【详解】对于A，由，可得，故A选项不正确；对于B，设A，B两点的坐标分别为，，根据题意得，焦点，则设直线AB的方程为，联立方程，消去x后整理为，则，，，，，故B选项不正确；对于C，，故C选项正确；对于D，如图，设AB的中点为N，连MN，过N作NH⊥直线l，H为垂足，根据B项可得N点坐标为，则，由为等边三角形可得，则，则，由对称性及MN⊥AB可知直线AB的斜率为，故D选项不正确．故选：C. 17．已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，，为上两点，.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，则，，因为，所以，又，，则，整理得，由抛物线的定义得，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 18．已知圆，抛物的焦点为，为上一点，则下列结论正确的有（   ） A．存在点，使为等边三角形 B．若为上一点，则的最小值为1 C．若，则直线与圆相切 D．若以为直径的圆与圆外切，则 【答案】ACD 【来源】山东省菏泽市2025-2026学年高二上学期期中考试数学A卷 【详解】由题可得圆心，半径，抛物线的焦点为，对于A，若为等边三角形，则，由对称性不妨设P在第一象限，则，显然点P在抛物线上，所以存在点，使为等边三角形，故A正确；对于B，设，则，故B错误；对于C，由B得，令，所以，由A可知为边长为4的等边三角形，圆心C到的距离为，所以若，则直线与圆相切，故C正确；对于D，设，若以为直径的圆与圆外切，设以为直径的圆圆心为G，则，，所以，化简并解得，所以，故D正确.故选：ACD 19．已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（     ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【来源】上海市松江二中2025-2026学年第二学期5月学情调研高二数学试卷 【详解】因为为圆的直径，所以，则，令，则点为直线与圆的交点，且位于线段上，则.设，且，则，则当时，，因为，等号成立时三点共线，所以，则的最小值为. 20．已知曲线，则（    ） A．可以是圆 B．可以是抛物线 C．当或时，为双曲线 D．当时，为椭圆 【答案】AC 【来源】江苏省徐州市2025-2026学年高二第一学期期末抽测数学试题 【详解】令，解得，此时方程，表示圆心在原点，半径为1的圆，故A正确.抛物线的标准方程中或的指数会出现一次，而曲线中都是二次，故B错误.当时，，分母异号，此时曲线可表示为双曲线，当时，，分母异号，此时曲线可表示为双曲线，故C正确.当时，，分母同号，但时曲线表示圆，故D错误.故选：AC. 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $