专题2.6 直线与圆锥曲线的位置关系（高效培优讲义）数学沪教版2020选择性必修第一册

本讲义聚焦直线与圆锥曲线的位置关系这一核心知识点，系统梳理椭圆、双曲线、抛物线的位置判定方法，涵盖联立方程与判别式应用、双曲线渐近线及抛物线对称轴平行的特殊情况，延伸至弦长计算与中点弦问题，构建从基础判定到综合应用的学习支架。 资料通过分层设计知识点与题型，结合“即学即练”和典例变式，引导学生用数学眼光发现曲线差异，用数学思维掌握点差法等思想，用数学语言规范解题过程。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固提升，有效查漏补缺。

专题2.6 直线与圆锥曲线的位置关系 教学目标 1. 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法. 2.会利用直线与圆锥曲线的位置关系求参数的取值范围. 3.掌握坐标法解决直线与圆锥曲线相交的问题. 4.学会解决直线与圆锥曲线的综合问题. 教学重难点 1.重点: （1）直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法. （2）四大常见题型：定点、定值、最值及范围问题. 2.难点：（1）由直线与圆锥曲线的位置关系求参； （2）圆锥曲线的切线问题及弦长问题. （3）利用设而不求思想解决直线与圆锥曲线相交的问题. 知识点01 直线与椭圆位置关系的判断 1.直线与椭圆的三种位置关系 当直线与椭圆有两个交点时，称直线与椭圆相交；当直线与椭圆只有一个公共点时，称直线与椭圆相切;当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆相离. 2.直线与椭圆位置关系的判定 将直线方程与椭圆方程联立，消去y（或消去x）得到关于x（或y）的一元二次方程，计算判别式. 当Δ>0时，方程组有两个不相等的实数解，直线与椭圆相交; 当Δ=0时，方程组有唯一实数解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程组没有实数解，直线与椭圆相离. 特点： （1）将直线方程与椭圆的标准方程联立消元后必然会得到一个一元二次方程，即二次项系数必不为零. （2）直线与椭圆的位置关系类似于直线与圆的位置关系. 【即学即练】 1．直线与曲线（）的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】应用特殊值法结合直线和椭圆的交点判断即可. 【详解】取，原方程变为，两个椭圆与直线有4个公共点， 故选：D 2．已知两定点，若某直线上存在点，使，则该直线称为“型直线”，给出下列直线，其中是“型直线”的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．①② C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义得出点的轨迹是以为焦点的椭圆，然后将“型直线”的判定问题转化为直线与椭圆是否有公共点的问题. 【详解】由题意可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆方程为， 且，则， 所以椭圆方程为， 对于①，把代入并整理得， ，因为， 所以方程有一个解， 该直线称为“型直线”，故①正确； 对于②，把代入得，，无解， 所以直线不是“型直线”，故②错误； 对于③，把代入并整理得， ，因为， 所以方程无解， 所以直线不是“型直线”，故③错误； 对于④，把代入并整理得， ，因为， 所以方程有两个解， 该直线称为“型直线”，故④正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：将“型直线”的判定问题转化为直线与椭圆是否有公共点的问题. 3．已知椭圆，直线，则直线与椭圆的公共点有 个. 【答案】2 【分析】由直线过定点且定点在椭圆内，可得直线与椭圆 C 的公共点有两个． 【详解】直线 过定点 , ，即定点在椭圆内， 则直线 与椭圆 C 的公共点有两个. 故答案为：2. 4．给定四条曲线：①；②；③；④．其中与直线仅有一个交点的曲线是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】判断直线和圆的位置关系时，只要比较圆心到这条直线的距离与半径的大小即可.当时，直线和圆只有一个交点；判断直线和椭圆的交点个数的时候，联立直线方程和椭圆方程，整理后判断是否为0，当时，只有一个交点. 【详解】①中，圆心到直线的距离为，圆的半径为，故满足题意； ②中，联立方程整理可得：，，故不满足题意； ③中，联立方程整理得：，，故满足题意； ④中，联立方程整理得：，，故满足题意. 满足题意的有①③④. 故答案为：①③④ 知识点02 直线与双曲线位置关系的判断 1.将直线方程与双曲线的标准方程联立，消去y（或x）得到关于x(或y)的一元方程. (1)当二次项系数等于0时，一元方程为一次方程，且有唯一实数解，从而方程组有唯一实数解，此时直线与双曲线有唯一交点，直线与双曲线相交.此时直线平行于双曲线的渐近线. (2)当二次项的系数不等于0时，一元方程为一元二次方程，计算判别式. ①当Δ>0时，方程组有两个不相等的实数解,直线和双曲线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，方程组有唯一实数解，直线和双曲线相切，有一个公共点； 当Δ<0时，方程组无实数解,直线和双曲线相离，无公共点． 2.讨论直线与双曲线位置关系时的两个注意 （1）直线与双曲线方程联立，消元得到一次方程时，要注意对二次项系数是否为0分类讨论. （2）要注意直线与双曲线相交包括交于两点和交于一点两种情况，其中交于一点时，直线平行于渐近线. 【即学即练】 1．与双曲线有两个交点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线与直线的位置关系判断即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为：， 当直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点， 故CD与双曲线只有一个交点错误； 对于A，联立，可得：，无解，故A错误； 对于B，联立，可得：， ，故B正确； 故选：B. 2．设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】首先求出双曲线的方程，再分两类讨论直线即可. 【详解】由题可设双曲线C的方程为（）， 将点代入上式得：， 故双曲线C的方程为，显然其右顶点的坐标为，渐近线方程为， 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，符合题意， 当直线与双曲线的渐近线平行时，即直线方程为时，此时也符合题意， 综上，这样的直线共有3条. 故选：D. 3．双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为 . 【答案】0或1 【分析】根据双曲线的图像性质，以及渐近线来分析即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，    所以当时，直线l：与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线l与渐近线平行，此时直线l与双曲线有一个交点． 故答案为：0或1. 4．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条． 【答案】4 【分析】结合图形，将直线分成斜率不存在和存在两种情况考虑，在斜率存在时，再考虑所得方程的二次项系数为0的情况，最后结合根的判别式为0考虑相切的情况即得. 【详解】 当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时直线恰只经过双曲线的右顶点，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入双曲线方程， 整理得：， 当时，即时，代入方程解得或， 即直线与双曲线只有1个交点为； 直线与双曲线只有1个交点为，均符合题意； 当时，由，解得， 此时直线与双曲线相切于点，符合题意. 综上，过点与双曲线有且只有一个交点的直线共有4条. 故答案为：4. 5．过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有 条，它们的方程分别是 ． 【答案】 和 【分析】若直线的斜率不存在，可得直线方程为满足条件；若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入到双曲线方程，分二次项系数为0和判别式等于0讨论，即可得到答案． 【详解】解：若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时仅有一个交点，满足条件； 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组， 整理得到， 当时，方程无解，不满足条件； 当时，方程有一解，满足条件； 当时，令， 解得，此时恰好为渐近线的斜率，不满足条件， 所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为和． 故答案为：；和. 知识点03 直线与抛物线位置关系的判断 将直线方程与抛物线的标准方程联立，消去y（或x）得到关于x(或y)的一元方程. (1)当二次项系数等于0时，一元方程为一次方程，且有唯一实数解，从而方程组有唯一实数解，此时直线与抛物线有唯一交点，直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合. (2)当二次项的系数不等于0时，一元方程为一元二次方程，计算判别式. ①当Δ>0时，方程组有两个不相等的实数解,直线和抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，方程组有唯一的实数解，直线和抛物线相切，有一个公共点； 当Δ<0时，方程组没有实数解,直线和抛物线相离，无公共点． 注意： 直线与抛物线只有一个公共点，既要考虑直线与抛物线相切的情况，又要考虑直线与抛物线的对称轴平行的情况． 【即学即练】 1．已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分斜率不存在，斜率为0及斜率其他情况分类讨论，结合联立方程组应用判别式计算判断即可. 【详解】由抛物线的方程为知． 当过点的直线斜率不存在，即直线与轴重合时，满足直线与地物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率为0时，直线方程为，满足直线与抛物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 由得关于的方程， 令，解得，此时满足条件的直线有1条． 综上，过点与抛物线有唯一公共点的直线有3条， 故选：C． 2．过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据抛物线的几何性质，分当直线与轴平行时，直线与轴垂直时，和直线与坐标轴不平行时，三种情况，结合，即可求解. 【详解】当直线过点，且与轴平行时，此时直线与抛物线只有1个公共点； 当直线过点，且与轴垂直时，此时直线与抛物线有2个公共点； 当直线过点，斜率存在且不为0时，设直线 ，代入抛物线，得：， 因为 . 由 ，因为，所以方程有两根， 故过点可以作两条直线与抛物线相切. 综上，过点共有3条直线，与抛物线只有1个公共点. 故选：D 3．在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多，记点的轨迹为．直线与轨迹恰好有两个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，利用可求得轨迹的方程；当时，可知其与有且仅有一个交点，不合题意；当时，将直线方程分别与的两段方程联立，通过讨论其与是否有交点可确定与的交点个数，利用可构造方程或不等式求得结果. 【详解】设点，则，即， 整理可得：，； 记，， 当时，与有且仅有一个交点，与无交点，与有且仅有一个交点，不合题意； 当时：， 由得：； 由得：，即，则； ①当，即或时，与有一个交点， 与有且仅有一个交点，，解得：或； ②当，即时，与无交点， 与有两个不同交点，，解得：，； 综上所述：的取值范围为. 故答案为：. 4．设，若曲线与直线有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据题意得到，画出曲线的图形，再结合图形求解即可. 【详解】， 如图所示： 当直线与曲线相切时， ， ，解得. 当直线与曲线相切时， ， ，解得. 因为曲线与直线有公共点， 所以的取值范围为. 故答案为： 5．若，则称点在抛物线C：外．已知点在抛物线C：外，则直线与抛物线C的位置关系是 . 【答案】相交 【解析】利用点在抛物线C：外，可得，直线与抛物线联立，根据根的判别式即可得出结论. 【详解】因为点在抛物线C：外， 所以 由与联立方程组消得： 因此， 所以直线与抛物线相交. 故答案为：相交. 【点睛】本题考查新定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确计算是关键，是基础题. 知识点04 直线与圆锥曲线相交的弦长问题 若直线与圆锥曲线有两个公共点M(x1，y1)，N(x2，y2)，可结合韦达定理，代入弦长公式|MN|＝或|MN|＝求距离． 若涉及直线过圆锥曲线焦点的弦问题，一般利用圆锥曲线的定义去解决． 【即学即练】 1．已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线只与双曲线右支相交，②直线与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，可得答案． 【详解】设，令，则， 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点， 如果在同一支上，则有， 如果在两支上，则有， 因为这样的直线有4条， 所以，解得， 故选：B 2．已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于轴的直线与的一个交点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设点为椭圆的右焦点，将代入椭圆方程，求出的值，即可得出的值. 【详解】在椭圆中，，，则. 不妨设点为椭圆的右焦点，则， 将代入椭圆的方程得，解得，故. 故选：B. 3．已知椭圆C：，过右焦点的直线交椭圆于A，B两点，且，则 ， ． 【答案】 / 【分析】在中，由余弦定理求解可得，然后记，在中，由余弦定理求出，然后可得. 【详解】由椭圆C：可知，， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 即； 记，则， 在中，由余弦定理得， 解得，所以. 故答案为：；. 4．已知双曲线的对称轴为坐标轴，其中一条渐近线方程为，直线截该双曲线的弦长为6，则该双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】由渐近线方程设出双曲线方程，再直曲联立得到韦达定理，最后由弦长公式求出，解出即可； 【详解】由于的一条渐近线为，可设双曲线的方程为， 将代入双曲线得， 若直线与双曲线交点为， 则，， 则，解得， 经检验，满足题意； 故该双曲线的方程为，即. 故答案为：. 5．已知O是坐标原点，等腰三角形AOB的顶点A，B在抛物线C上，且，若C的焦点F到直线AB的距离为，则 . 【答案】 【分析】结合已知条件及抛物线的对称性得到点的坐标，利用点F到直线AB的距离求出的值，即可得解. 【详解】在等腰三角形AOB中，，所以， 由抛物线的对称性可知A，B两点关于轴对称，即轴，所以， 不妨设点A在轴上方，则直线的斜率， 所以直线的方程为，设， 由于点A在抛物线上，所以，得（舍去）， 所以， 直线的方程为，又， 所以点F到直线AB的距离为，得， 所以，所以， 故答案为： 知识点05 圆锥曲线的中点弦问题（点差法） 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝. 点差法：（ 以椭圆为例） 直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，与弦AB中点有关的问题称为中点弦问题，这类问题的解决常用到“点差法”，其方法是：将A，B两点的坐标代入椭圆方程中，得＋＝1，① ＋＝1，② ①—②，得＋＝0， 即＋＝0③ 设M(x0，y0)为AB的中点，则有 同时有直线AB的斜率kAB＝.⑥ 将④⑤⑥代入③得kAB＝. 直线与双曲线、直线与抛物线的中点弦问题同样用“点差法”． 【即学即练】 1．已知抛物线的焦点到准线的距离为，、是上关于直线对称的两个点，若直线与轴交于点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出的值，可得出抛物线的方程，设的中点为，则，可得出，再结合点差法可得出，求出直线的方程，根据点在抛物线的内部可得出，由此可得出的取值范围. 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，则，即抛物线的方程为， 设的中点为，则， 因为点在直线上，则， 得①， 又②，且③，④， 将③④代入②可得：， 代入①可得，    所以的中点坐标为， 则直线的方程为：，令得：， 而位于抛物线内部，即，可得，则． 故选：C. 2．直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求出直线的斜率，即得方程. 【详解】设 ，。 因为是的中点，所以：， 即： 点和都在椭圆上： ， 将 (1) 和 (2) 相减： ， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为 1，其方程为： ，即. 直线过点，点在椭圆内， 所以直线与椭圆相交，满足条件. 故选：D 3．若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法求出直线斜率，再利用点斜式求出直线方程，再化为一般式即可求解． 【详解】设端点，，作图如下：    由，在双曲线上，则，两式做差可得， 即，又弦被点平分， 则，代入上式可得，则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D． 4．已知椭圆C:，过点的直线交椭圆C于A，B两点，若P为的中点，则直线AB的方程为 . 【答案】 【分析】先由点差法求解直线AB的斜率，再由点斜式方程求解即可. 【详解】设点A（x1，y1），B（x2，y2），由中点坐标公式可得，所以. 由两式作差得+=0，整理得-， 即·= ，所以 ， 因此直线的方程为，即. 故答案为：. 5．已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 . 【答案】 【分析】设，，由F为的重心，得，，可求MN的中点坐标；点差法求出直线MN的斜率，得直线方程. 【详解】由题知，，设M点的坐标为，N点的坐标为， 因为F为的重心，所以， ， 即，， 所以MN的中点坐标为； 因为M，N是双曲线C右支上的两点，所以， 两式相减并化简得， 所以直线MN的方程为，即. 故答案为：； 题型01 直线与椭圆的位置关系 【典例1】已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，联立椭圆方程，利用判别式求得的范围即可. 【详解】设，则，可看作是一组与椭圆有公共点的平行直线. 由，得. ，解得. 故选：B. 【变式1】已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令与直线平行且与椭圆相切的直线为，与椭圆方程联立，应用求参数值，再由平行线的距离公式求最小距离. 【详解】令与直线平行且与椭圆相切的直线为， 联立，则， 所以，可得，即， 所以，所求直线为， 对于，与直线的距离为， 对于，与直线的距离为， 所以最小距离为. 故选：B 【变式2】已知椭圆，F为的右焦点，P为第一象限内椭圆上的一点，过点P作的切线，与x、y轴分别交于A，B两点，若，则点P的坐标为 . 【答案】 【分析】设，设切线方程为，与椭圆方程联立求得切线方程，然后求出A，B两点坐标，进而利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】设，易知切线斜率存在，则设切线方程为， 联立，可得， 则， 所以，代入直线，可得，即， 即直线为，即，令，得， 同理令，得，因此， 又因为， 故，得， 故点P的坐标为. 故答案为： 【变式3】已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，其长轴长是短轴长的2倍，则过椭圆上点且与椭圆相切的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据条件，求出椭圆方程，设所求切线方程为，联立直线与椭圆方程，利用直线与椭圆的位置关系求出，即可求解. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为， 又长轴长是短轴长的2倍，点在椭圆上， 所以，解得， 所以椭圆的方程为， 由题知切线斜率存在，设切线方程为， 由，消得到， 所以，整理得到， 解得，故所求的直线方程为，即， 故答案为：. 【变式4】已知椭圆 的离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于两点，当轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据离心率及椭圆参数关系得，再由通径的长度求参数，即可得； （2）根据已知，设，联立椭圆，结合向量坐标的线性关系、韦达定理求参数值，即可得直线方程. 【详解】（1）由题意， 过右焦点作垂直轴的直线，交椭圆于， 代入，则， 所以，则， 所以椭圆方程； （2）由（1）可得，设， 由题意，直线斜率存在，设直线且， 联立，整理得， 所以，则，， 而， 由，则，即，， 所以，可得，则（舍）或，    当时，经验证满足题设，所以直线方程. 题型02 椭圆的弦长相关问题 【典例1】若直线与椭圆交于两点，椭圆的右焦点为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆的左焦点为，根据椭圆的定义得为直角三角形，利用余弦定理求得，由同角三角函数关系式求得，即的值. 【详解】设椭圆的左焦点为，由椭圆及直线的对称性，知. 若点B在第一象限，因为，所以. 因为，所以，所以. 所以，所以. 所以. 所以，所以. 由椭圆及直线的对称性，. 故选：D.      【变式1】已知椭圆与直线交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线的方程与椭圆方程联立，求出两个交点的横坐标，结合弦长公式可求得的值. 【详解】设点、，直线的方程可化为， 联立可得，解得，， 由弦长公式可得. 故选：C. 【变式2】已知椭圆的左焦点为，过的直线交椭圆于，两点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先确定椭圆基本参数，再分直线斜率存在与不存在两种情况，利用椭圆性质、弦长公式或几何意义求的取值范围. 【详解】依题意得：，，，左焦点的坐标为， 过焦点的弦的长度有两个极端情况： 最长弦：当直线与椭圆的长轴重合时，此时弦长等于长轴长， 最短弦：当直线垂直于轴时，将代入椭圆方程： 此时弦长， 当直线绕焦点旋转时，弦长会在“最短弦（3）”和“最长弦（4）”之间变化，因此的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性，结合椭圆过焦点最短弦长为通径求出最小值. 【详解】由椭圆的对称性可知． 设点，．所以， 想求的最小值，只需求的最小值， 而过椭圆焦点的最短弦长为通径：， 故的最小值为3. 故答案为：3. 【变式4】已知椭圆的离心率为，点(2，1)在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据离心率和过点，列式计算即可求解； （2）①将直线的方程与椭圆方程联立，利用根的判别式即可求解；②利用韦达定理和弦长公式即可求解. 【详解】（1）因为点在椭圆C上，所以． 椭圆的离心率为，解得． 故椭圆的标准方程为； （2）联立，得（*）． ①，解得， 所以的取值范围为． ②设，由（*）式有， 由弦长公式有， 整理得， 解得且满足， 所以.    题型03 直线与双曲线的位置关系 【典例1】抛物线 ()的焦点为 ，抛物线的准线与双曲线 相交于两点， 若为等边三角形， 则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的几何性质可得准线方程为，即可与双曲线联立得，再根据等边三角形的性质求解即可. 【详解】由题意抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 准线方程与双曲线联立可得，解得， 所以， 因为为等边三角形，所以， 即有，解得， 故选：D 【变式1】若直线l过点，且与曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】由题意，分直线斜率存在与不存在进行讨论，若不存在，设出直线方程，联立方程，由唯一解，可得答案. 【详解】当直线的斜率不存在时，由题意，则直线的方程为，代入， 可得，解得，故此时直线与曲线有唯一交点； 当直线的斜率存在时，可设其方程为， 联立，消去可得， 当，即时，方程为一次方程，必定有唯一解； 当，即时，由题意，可得该一元二次方程有唯一解， 则，， ，，解得， 综上所述，直线的方程有，，，共四条， 故选：D. 【变式2】若直线与双曲线的左支交于不同的两点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】把两个交点问题转化为直线和双曲线联立方程组判别式大于零及两根和为负两根积为正，求解即可. 【详解】联立方程得,① 若直线与双曲线的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负根. 所以 解得. 故答案为：. 【变式3】已知双曲线C的左、右焦点分别为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则双曲线C的方程为 ． 【答案】 【分析】根据已知结合双曲线的定义结合余弦定理得出，最后再应用计算求出即可解题. 【详解】如图，令，则， ， 又， ， 所以，又， 由余弦定理得， 解得， 故双曲线C的方程为． 故答案为： 【变式4】已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线 (1)求曲线的方程； (2)若过点且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率公式表示出和，利用斜率之积为，列方程，化简后得到双曲线方程即可； （2）先求直线的方程，再与双曲线方程联立，利用韦达定理求出和，最后代入弦长公式计算即可． 【详解】（1）因为的坐标为，又，，, 又动点满足直线与的斜率之积为，， 即， 故曲线的方程为. （2）根据已知作图如下： 直线过点且倾斜角为，直线的方程为， 联立，消去，整理得，， 设，则， ， 故. 题型04 双曲线的弦长相关问题 【典例1】过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的方程，将直线的方程与双曲线的方程联立，求出交点坐标，即可求得的值. 【详解】在双曲线中，，，则， 所以，双曲线的右焦点坐标为， 由题意可知，直线的方程为，联立，解得， 可取、，故. 故选：B. 【变式1】已知双曲线的两个焦点分别为，过的直线与双曲线的同一支交于，两点，且，则线段的长度为（    ） A． B．9 C． D．6 【答案】C 【分析】根据对称性不妨设过的直线为，与双曲线的方程联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，结合弦长公式，计算可得． 【详解】双曲线中，，，则， 根据对称性不妨设过的直线为， 联立，可得， 则 设，，则，，① 由，可得， 即有，② 由①②可得，，所以， 解得（负值已舍去），， 所以． 故选：C． 【变式2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，且在第四象限，，则 . 【答案】 【分析】由题意联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，根据弦长公式，建立方程求得斜率，求得交点坐标，从而求得线段长，可得答案. 【详解】    设，，，设直线的方程为， 联立，可得，， 由韦达定理可得， ，则， ，解得，， ，由，则，， 由可知，则，，即. 故答案为：. 【变式3】已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 【答案】 【分析】设直线为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可. 【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线为， 联立，得， 设，则， 所以，解得，经检验符合题意； 则，. 弦长. 故答案为：. 【变式4】已知双曲线的一条渐近线的斜率为为上一点. (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件建立关于的方程组，解出即可； （2）根据条件写出直线的方程，联立直线与双曲线方程，求出的坐标，再利用两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）由题得:，解得， 所以双曲线的方程为：. （2）设， 如图所示： 由题得直线的方程为， 联立得：，整理得：， 所以， 所以 所以. 题型05 直线与抛物线的位置关系 【典例1】已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直线与抛物线相切时，切点到直线的距离即为最小值，由此可求解． 【详解】设直线与抛物线相切于点，显然切点位于第一象限， 在第一象限内，由，得，则， 所以，即，所以点的坐标为， 所以的最小值为点到直线的距离，即. 故选：A. 【变式1】已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据题意，由直线与抛物线C有交点求解. 【详解】设直线的斜率为k,则直线的方程为， 由题意，得直线与抛物线C有交点， 联立方程，得， 当时，，即； 当时，， 解得且． 综上所述，． 故选：D． 【变式2】若直线与抛物线C：相切于点A，l与x轴交于点B、F为C的焦点．则 . 【答案】/ 【分析】先根据直线与抛物线相切求出直线方程，再求出点的坐标，从而得出三角形的形状，再根据角的正切值求. 【详解】依题意联立方程，即， 则，解得， 此时直线，则， 所以，解得，即， 如图所示： 又，所以， ，即， 又，所以 所以， 故答案为： 【变式3】过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于、两点，则 ． 【答案】 【分析】设出、坐标，利用焦半径公式求出，可得，结合，求出、的坐标，然后求其比值． 【详解】解：设，， 直线的方程为 由抛物线的焦点弦公式，， ∴， 联立直线与抛物线的方程即， 消去y得，， 故， 联立方程组， 解得，， 则， 故答案为． 【点睛】本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题． 【变式4】已知抛物线，过点作直线. (1)若直线与抛物线只有一个公共点，求直线的方程； (2)若直线过点，且交抛物线于、两点，求线段的长. 【答案】(1)或或 (2) 【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，由求出的值，综合可得出直线的方程； （2）设、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可求得的值. 【详解】（1）若直线的斜率不存在，则的方程为，与抛物线只有一个公共点，符合题意； 若直线的斜率存在，设的方程为， 联立消去得， 因为直线与抛物线只有一个公共点， 所以，解得或， 此时直线的方程为或. 综上，直线的方程为或或. （2）因为直线过点，又过点，所以直线的方程为， 设、，联立消去得，则， 因为点为抛物线的焦点，故， 即线段的长为.    题型06 抛物线的弦长相关问题 【典例1】已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴交于点K，以F为圆心，为半径的圆与抛物线C在第一象限的交点为P，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】由题意求得的坐标，判断的形状，进而求得其面积. 【详解】由题可知，以F为圆心，为半径的圆的方程为. 设. 由得. 因为点在一象限，所以，.即. 显然，所以为直角三角形，所以的面积为. 故选：D. 【变式1】设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，由题可得，利用向量的坐标运算、抛物线的定义及韦达定理即可求解. 【详解】由题可得， 设直线的方程为，， ，可得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以，所以， ， . 故选：B. 【变式2】已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点，线段PQ的中点的纵坐标为1，且，则 . 【答案】1 【分析】设出直线PQ的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数，利用线段的中点坐标以及的长列方程，由此求得的值. 【详解】设直线PQ的方程为，，. 由消去得，， 则，. 因为线段PQ的中点的纵坐标为1，所以，则. 因为，所以， 即，解得. 故答案为： 【变式3】已知直线过抛物线的焦点，且与交于A，B两点.过A，B两点分别作的切线，设两条切线交于点，线段AB的中点为.若，则 . 【答案】4 【分析】根据题意求出抛物线焦点，联立直线和抛物线，再结合导数的几何意义解出两直线方程，求出两点坐标，最后求出距离即可. 【详解】因为抛物线的焦点在直线上， 所以，所以抛物线， 当时，直线为， 联立，解得， 解得或， 不妨设， 所以线段AB的中点为， 因为，所以， 所以， 所以直线AM：， 直线BM：， 联立直线AM，BM方程可得 解得， 所以，得到. 故答案为：4. 【变式4】倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)求直线的方程； (3)求的长． 【答案】(1)焦点， 准线方程 (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线方程即可确定，进而可得抛物线准线方程及焦点坐标； （2）由直线的点斜式方程即可求解； （3）求出过焦点且倾斜角为的直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，利用抛物线的弦长公式即可求得. 【详解】（1）由题意抛物线可知，则焦点，抛物线准线方程为； （2）直线的方程为，即. （3）联立消去得， 设，则，故.    题型07 圆锥曲线中的定点、定值问题 【典例1】圆E：与曲线H：在第一象限内交于P，Q两点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则直线的斜率，将与联立，利用韦达定理即可求解. 【详解】依题意，，设， 则直线的斜率， 由，得，即， 由韦达定理得，则，所以. 故选：D 【变式1】已知双曲线的左､右焦点分别为，圆与的渐近线相切.为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为.给出以下结论： ①的离心率； ②两渐近线夹角为； ③为定值； ④的最小值为. 则所有正确结论为（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据圆与渐近线相切可求出，，根据离心率公式求出离心率可判断①正确； 根据渐近线方程可得倾斜角，从而可得两渐近线的夹角，可判断②不正确； 设，根据点到直线距离公式求出 为定值，可判断③正确； 设，联立直线方程解得的坐标，再根据两点间的距离公式求出可判断④正确. 【详解】因为圆与的渐近线相切， 所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径， 即，解得， 所以，离心率，故①正确； 因为的渐近线为，所以两渐近线的倾斜角为和，所以两渐近线夹角为，故②不正确； 设，则， 为定值，故③正确； 依题意设， 联立，得，则， 联立，，则， 所以 ， 因为，所以，当且仅当，即为双曲线的右顶点时，等号成立.故④正确. 故选：D. 【变式2】已知抛物线上两点，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出的方程，，的坐标，进而把直线与抛物线方程联立消去，根据韦达定理求得，的表达式，进而根据推断出，求得，即可求出结果. 【详解】设直线的方程为代入抛物线，消去得， 设，，则，，， 所以 ， 所以，故直线过定点. 故选：B. 【变式3】已知椭圆，其短轴长为，右焦点为，右顶点为．以其短轴为直径的圆上任意一点，都有为定值，则其椭圆的方程为 ． 【答案】 【分析】运用直接法，代入坐标进行运算. 【详解】设，，设，（为常数）， 则有， 即有，对恒成立， 所以，消去得， 即． 由，得， 又．解得，， 则椭圆． 故答案为：. 【变式4】已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上不同于，的动点，直线，分别与轴交于点，，则 ． 【答案】9 【分析】方法1：设动点，求出直线与的方程，得到点的坐标，结合在双曲线上，即可计算得的值； 方法2：设，，．由，得到，结合在双曲线上，求得，即可求得的值. 【详解】解法1：设动点，由双曲线方程可得，， 则，， 所以直线，直线， 由此可得，， 所以． 因为动点在双曲线上， 所以，即， 则． 解法2：由双曲线方程可得，， 设，，． 由，，三点共线可得，即①， 由，，三点共线可得，即②． 将①②相乘可得③， 又④， 由③④可得， 所以． 题型08 圆锥曲线的中点弦问题 【典例1】过双曲线右焦点的直线与交于两点．若的中点为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点坐标，利用点差法列式可得，进而求出值. 【详解】设点，由的中点为，得， 由共线，得， 由，两式相减，得， 则，而双曲线右焦点为，故， 所以. 故选：D 【变式1】过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】通过设椭圆上两点坐标，运用点差法，结合中点坐标和直线斜率，推导出与的比值. 【详解】设，，则，. 两式相减得. 因为是中点，所以，，且直线的斜率. 将其代入上式，得，两边除以，得， 整理得，故. 故选：B 【变式2】已知抛物线，直线与抛物线相交于，两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线的方程为并与抛物线联立，由中点坐标可得，求得直线方程. 【详解】易知直线的斜率不为0，设方程为，， 联立，整理可得， ， 由中点为可得，可得， 因此直线的方程为，即. 故选：A 【变式3】已知双曲线的左､右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于两点，是的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是 . 【答案】 【分析】利用点差法设，，代入椭圆方程可得可得，计算可得． 【详解】设，，则，， 两式相减得， 是的中点，，， ，又，， ， 解得，． 故答案为：. 【变式4】设a，b是实数，若椭圆与直线交于点A，B，点M为AB的中点，直线为原点的斜率为，又，则椭圆方程为 . 【答案】 【分析】将椭圆与直线联立，由韦达定理表示出AB中点M的坐标，由OM的斜率可得的值，由，则，化简得，联立，可得a、b的值，从而得出椭圆方程． 【详解】由已知条件可知，， 联立，消去并整理得： 设，， 则， 则， 由，则， 又因为, 所以， 解得 所以椭圆方程为 故答案为：    1．已知抛物线的焦点为，为上一点，为的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨假设在第一象限，设，可得,由,结合基本不等式求解即可. 【详解】根据对称性，不妨假设在第一象限，设，由于，则，即, 则, 由基本不等式可得：，当且仅当时取等号； 所以,所以则的最大值为， 故选：C 2．双曲线，过点作的两条渐近线的平行线，分别与渐近线相交于A，B两点，则平行四边形OAPB的面积是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】先由双曲线的渐近线方程和点斜式得到方程，再联立渐近线解出点坐标，然后由两点间距离公式求出，最后计算面积即可. 【详解】渐近线方程为， 方程为，与渐近线联立， 得，； 点到的距离 所以平行四边形OAPB的面积. 故选：A. 3．已知双曲线，椭圆上一点（不在的渐近线上），过点分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，分别交渐近线于，两点，且，则（   ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】先把点的坐标设成参数形式，再由平行关系可得直线，的方程，与淅近线方程联立可得E，F点的坐标，再由四边形是平行四边形及可得. 【详解】由双曲线，得，，故双曲线的渐近线为， 设，，，如图： 故直线的方程为，直线的方程为. 由，解得，即； 由，解得，即. 再由四边形是平行四边形，且， ， 所以. 故选：B． 4．圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的A，B两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点；过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M，则下列说法正确的是（   ） A．面积的最大值为6 B．的最小值为 C．M的轨迹方程为 D．的最小值为8 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义和性质、等腰三角形的性质，结合圆的定义、对勾函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：根据题意可知直线如果存在斜率，斜率一定不为零， 由椭圆， 设直线的方程为， 于是有， ，设， ， ， 令， ， 对钩函数在上单调递增， 所以当时，对钩函数单调递增， 于是由， 所以 ，即， 所以当，面积有最大值为3，因此本选项不正确； B：因为， 所以 ， 即，当且仅当时取等号， 即当时，的最小值为，所以本选项不正确； C：因为过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M， 所以， 因为， 所以点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其方程为，所以本选项正确； D：由上可知：， 所以， 因为A，B两点是椭圆上非长轴上顶点， 所以由椭圆的性质可知：， 所以没有最小值，故本选项不正确， 故选：C      5．椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上一点且满足，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】利用椭圆定义和勾股定理求出的值，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】由题意可得，所以， 根据椭圆定义有：， 两边同时平方得：，① 因为，所以， 根据勾股定理可得，② 将②代入①中得，解得， 所以； 故选：C 6．已知抛物线，过焦点的弦交抛物线于两点，且有，准线与轴交于点，作到准线的垂线，垂足为，则当四边形的面积为时，的值为（   ） A． B．4 C．8 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线焦半径的性质，结合向量关系，即可求解直线倾斜角，根据面积公式即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，不妨设在第一象限，过作轴，垂足为， 则，可得， 同理可得， 因为，则，解得， 又，所以， 则，， 可得四边形的面积，解得． 故选：D. 7．设是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可知，则，则求的最小值，即求的最小值，再结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 即定点到直线距离最小即可， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故选：C 8．已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是 ． 【答案】 【分析】利用点差法可求得直线斜率，进而得到方程，与双曲线联立检验即可确定结果. 【详解】设，且， 由得：，即， 为中点，，，， 直线方程为：，即； 由得：， 则，满足题意； 直线的方程为：. 故答案为：. 9．已知点为双曲线上位于第二象限内的动点，是该双曲线的右顶点，，则面积的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，找到临界值，即可求解. 【详解】由条件可知，，，即， 双曲线的过第二象限的渐近线的斜率，渐近线方程为，即， 此时渐近线与直线的距离， ，渐近线上的点与点、构成的三角形的面积为， 左顶点到直线的距离， 左顶点与点构成的三角形的面积为， 点是第二象限的点，所以面积的取值范围为. 故答案为： 10．椭圆的焦点为，过原点的直线与该椭圆交于两点，若，的面积为1，的周长为 . 【答案】 【分析】根据椭圆方程，求得椭圆的焦距，结合的面积为1，，求得点A的坐标，将点A坐标代入椭圆方程，可求得，进而得到的周长为. 【详解】椭圆的焦点在轴上，令半焦距为，则， 所以该椭圆的焦距为； 设点，而，则的面积， 解得，又直线过原点，且，由椭圆对称性知， 因此，解得，又，则， 整理得，而，于是，解得， 所以的周长为. 故答案为：. 11．记椭圆C：（）的离心率为，一个顶点坐标为，则直线被椭圆截得的弦长 . 【答案】 【分析】由已知条件可得椭圆方程，与直线联立，结合韦达定理以及弦长公式即可求解. 【详解】由题可得：解得：，所以椭圆方程为：, 设直线与椭圆的交点为, 联立，可得：, 所以,则； 故答案为： 12．设随机变量满足（其中），直线与抛物线的公共点个数为随机变量，若的数学期望，则抛物线的焦点坐标为 . 【答案】 【分析】设分别取时，对应的直线与抛物线的交点个数分别是，根据随机变量的数学期望可得，再根据，从而可得直线与抛物线的位置关系，联立得，即可得抛物线方程确定焦点坐标. 【详解】设分别取时，对应的直线与抛物线的交点个数分别是， 则，其中， 从而， 所以，故， 因为，所以必有三个取值为2，一个取值为1， 设直线与抛物线相切， 由得，由得， 对于其余的三个值，直线均与抛物线有两个交点，则 所以，在中，只有当时，其余均满足， 因此，只有直线与抛物线相切，即，故， 所以抛物线方程为，故焦点坐标为. 故答案为：. 13．设直线与椭圆相交于两点，且的中点为，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】利用点差法求解即可． 【详解】设，，则，， 所以，也即， 因为，的中点为，所以，， 所以，所以， 所以直线的斜率为，经检验满足题意． 故答案为： 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，点为坐标原点，点在椭圆上，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求得椭圆的方程，再由，分轴和AB为长轴求得最值即可. 【详解】因为，所以， 因为， 当轴时，， 所以； 当AB为长轴时，， 所以， 所以的取值范围为， 故答案为： 15．已知直线与双曲线相切，双曲线的左､右顶点分别为．若是双曲线上一点（异于点），则直线的斜率和直线的斜率之积为 ． 【答案】/ 【分析】先列出直线斜率的表达式，然后联立直线与双曲线的方程，令判别式为0，即可求出的值，进而求出结果. 【详解】因为双曲线的方程为，所以． 设，则，直线的斜率，直线的斜率， 所以． 因为点在双曲线上，所以满足， 化简得，所以． 联立直线与双曲线的方程，得消去，整理得． 由题意得解得，所以． 故答案为：. 16．已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与椭圆交于两点，，则的周长是 ． 【答案】16 【分析】根据已知得到为等边三角形，为的垂直平分线，进而有的周长等于，结合椭圆的定义求三角形的周长，再联立直线与椭圆并应用韦达定理、弦长公式列方程求椭圆参数，即可得周长. 【详解】因为离心率为，故，则， 又，故， 故为等边三角形，为的垂直平分线， 所以，，则的周长等于， 其中，则的周长为， 直线的斜率为，故直线的斜率为， 故直线为，联立，得， 又，故， 设，则， 故，解得，故， 则的周长为.    故答案为：16 17．已知椭圆（）的焦距是，点在上. (1)求椭圆的离心率； (2)若直线交椭圆于两点，且坐标原点是△的重心，求△外接圆的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的焦距与椭圆上一点集合椭圆的定义求解椭圆方程即可得椭圆离心率； （2） 设点，，的中点为，结合点差法确定直线的方程，从而与椭圆相交得坐标，结合正弦定理求解外接圆半径或者利用集合性质求解圆心或者利用圆的方程用待定系数法求解外接圆，从而得所求. 【详解】（1）方法1：因为，所以， 因为，所以，将点代入方程， 得，解得或， 因为，所以，所以，， 所以椭圆的离心率为. 方法2：因为，所以，所以焦点坐标和， 因为点在上，由椭圆定义可得 ，即. 所以椭圆的离心率为. （2）因为，所以椭圆的方程为， 设点，，的中点为， 因为是的重心，所以， 所以点的坐标为， 又因为，， 两式相减，可得， 设直线的斜率为，所以，得， 所以直线的方程为，即， 将代入， 得，，， 将其代入，可解得两点坐标，不妨设，； 方法1：因为轴，且， 所以，， 设外接圆的半径为， 由正弦定理可得，所以. 所以外接圆的面积为. 方法2：设的中点为， 又因为直线的斜率等于， 所以线段的垂直平分线方程为， 即， 又因为线段的垂直平分线方程为， 由可解得， 所以外接圆圆心坐标为， 设外接圆的半径为， 则， 所以外接圆的面积为. 方法3：设外接圆的方程为， 则，解得， 所以外接圆的方程为， 即， 所以外接圆的面积为. 18．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆的焦距为4. (1)求椭圆的方程； (2)设点，直线过且与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得， ，利用求得即可求解方程； （2）设，，代入椭圆方程作差求得直线的斜率，代入点斜式直线方程即可求解. 【详解】（1）设的焦距为，因为的长轴长是短轴长的倍，所以. 因为的焦距为4，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，则的方程为. （2）设，，因为点，在上，所以 两方程相减得，所以. 因为是线段的中点，所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为，即.    19．已知点是抛物线： 的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，． (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值． 【答案】(1). (2)2. 【分析】（1）根据抛物线方程求出焦点坐标，再利用点在抛物线上得到点横坐标与的关系，最后根据圆的性质求出的值即可； （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到，的值，最后利用斜率公式求出即可. 【详解】（1） 设圆的半径为，以为圆心、为半径的圆交轴于，，点在轴上，为原点， 所以. ，. 点坐标为，所以. 设点坐标为，则，所以， 所以， 即， 解得， 所以抛物线的方程为：. （2）由（1）知. 设直线的方程为，，. 代入抛物线方程，整理得， ，所以， 所以，. 所以的值为2. 20．已知椭圆的左顶点为，且椭圆过点. (1)求的方程； (2)已知为的左焦点，在轴上有两动点，且. （i）若的外接圆与在第一象限的交点为，连接交轴于点，求； （ii）直线分别与交于点，求证：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)（i）3；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据左顶点及点在椭圆上列式计算求解； （2）（i）根据的外接圆是以为直径的圆再设化简得出，即可得出比值；（ii）设直线联立后应用斜率乘积计算得出即得定点. 【详解】（1）因为椭圆的左顶点为，所以， 又椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）由得，所以. 显然的外接圆是以为直径的圆， 则其方程为，化简得. 设，则， 消去得，， 化简得，又，所以， 所以. （ii）设直线的方程为 联立，消去整理得， 则. 因为，所以， 故，即，化简得， 因为，所以， 所以直线的方程为，即直线恒过定点.    21．已知椭圆的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线交椭圆于两点，且（其中为坐标原点），求的面积. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用椭圆的短轴长与离心率，结合求出椭圆的基本参数，得到标准方程； （2）设直线方程与椭圆联立，利用向量垂直的条件求出直线斜率，再通过弦长公式与点到直线的距离公式计算三角形面积. 【详解】（1）由短轴长，得，故. 由离心率，得. 结合，代入得，解得. 故椭圆的标准方程为. （2）设直线方程为，代入椭圆方程得. 设，，则，. 由，得，代入、，化简得， 解得，此时， 原点到直线的距离， 弦长. 故的面积为. 22．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与双曲线左右两支分别交于两点. (1)求； (2)求的周长. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）先求出过点且倾斜角为的直线方程，然后联立方程组写出韦达定理利用弦长公式求解即可； （2）的周长为，根据题意得出的表达式然后结合完全平方公式和韦达定理求解即可. 【详解】（1）由题知，过且倾斜角为的直线斜率为： ， 所以直线的方程为即， 设，， 联立， 整理得：. 由， 所以. 所以 . （2）已知直线与双曲线左右两支分别交于两点， 如图所示： 记的周长为则：， 因为， 且， 所以 ， 又点是直线与双曲线的右支上交点， 所以，所以， 同理， 由点是直线与双曲线的左支上交点， 所以，所以， 所以 ， 所以. 23．已知点和点在椭圆上 (1)求椭圆C的标准方程及离心率； (2)若点B为直线与椭圆C的公共点，求的面积. 【答案】(1)；； (2)或. 【分析】（1）根据椭圆上两点列方程可得，进而求出，即可求解离心率； （2）联立直线与椭圆的方程，求得点B的坐标，进而求出的底和高，代入面积公式求解即可. 【详解】（1）因为点和点在椭圆上， 所以，解得，即，所以椭圆的方程为； 所以，所以，所以椭圆C的离心率为； （2）联立与椭圆，消x得， 解得或，所以或， 当时，由点知直线BP方程为，且， 点到直线BP的距离为，所以的面积为； 当时，由点知直线AB方程为，且， 点到直线AB的距离为，所以的面积为； 综上，的面积为或. 57 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 直线与圆锥曲线的位置关系 教学目标 1. 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法. 2.会利用直线与圆锥曲线的位置关系求参数的取值范围. 3.掌握坐标法解决直线与圆锥曲线相交的问题. 4.学会解决直线与圆锥曲线的综合问题. 教学重难点 1.重点: （1）直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法. （2）四大常见题型：定点、定值、最值及范围问题. 2.难点：（1）由直线与圆锥曲线的位置关系求参； （2）圆锥曲线的切线问题及弦长问题. （3）利用设而不求思想解决直线与圆锥曲线相交的问题. 知识点01 直线与椭圆位置关系的判断 1.直线与椭圆的三种位置关系 当直线与椭圆有两个交点时，称直线与椭圆相交；当直线与椭圆只有一个公共点时，称直线与椭圆相切;当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆相离. 2.直线与椭圆位置关系的判定 将直线方程与椭圆方程联立，消去y（或消去x）得到关于x（或y）的一元二次方程，计算判别式. 当Δ>0时，方程组有两个不相等的实数解，直线与椭圆相交; 当Δ=0时，方程组有唯一实数解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程组没有实数解，直线与椭圆相离. 特点： （1）将直线方程与椭圆的标准方程联立消元后必然会得到一个一元二次方程，即二次项系数必不为零. （2）直线与椭圆的位置关系类似于直线与圆的位置关系. 【即学即练】 1．直线与曲线（）的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知两定点，若某直线上存在点，使，则该直线称为“型直线”，给出下列直线，其中是“型直线”的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．①② C．③④ D．①④ 3．已知椭圆，直线，则直线与椭圆的公共点有 个. 4．给定四条曲线：①；②；③；④．其中与直线仅有一个交点的曲线是 ．（填序号） 知识点02 直线与双曲线位置关系的判断 1.将直线方程与双曲线的标准方程联立，消去y（或x）得到关于x(或y)的一元方程. (1)当二次项系数等于0时，一元方程为一次方程，且有唯一实数解，从而方程组有唯一实数解，此时直线与双曲线有唯一交点，直线与双曲线相交.此时直线平行于双曲线的渐近线. (2)当二次项的系数不等于0时，一元方程为一元二次方程，计算判别式. ①当Δ>0时，方程组有两个不相等的实数解,直线和双曲线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，方程组有唯一实数解，直线和双曲线相切，有一个公共点； 当Δ<0时，方程组无实数解,直线和双曲线相离，无公共点． 2.讨论直线与双曲线位置关系时的两个注意 （1）直线与双曲线方程联立，消元得到一次方程时，要注意对二次项系数是否为0分类讨论. （2）要注意直线与双曲线相交包括交于两点和交于一点两种情况，其中交于一点时，直线平行于渐近线. 【即学即练】 1．与双曲线有两个交点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 2．设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 3．双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为 . 4．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条． 5．过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有 条，它们的方程分别是 ． 知识点03 直线与抛物线位置关系的判断 将直线方程与抛物线的标准方程联立，消去y（或x）得到关于x(或y)的一元方程. (1)当二次项系数等于0时，一元方程为一次方程，且有唯一实数解，从而方程组有唯一实数解，此时直线与抛物线有唯一交点，直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合. (2)当二次项的系数不等于0时，一元方程为一元二次方程，计算判别式. ①当Δ>0时，方程组有两个不相等的实数解,直线和抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，方程组有唯一的实数解，直线和抛物线相切，有一个公共点； 当Δ<0时，方程组没有实数解,直线和抛物线相离，无公共点． 注意： 直线与抛物线只有一个公共点，既要考虑直线与抛物线相切的情况，又要考虑直线与抛物线的对称轴平行的情况． 【即学即练】 1．已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多，记点的轨迹为．直线与轨迹恰好有两个公共点，则的取值范围是 ． 4．设，若曲线与直线有公共点，则的取值范围是 ． 5．若，则称点在抛物线C：外．已知点在抛物线C：外，则直线与抛物线C的位置关系是 . 知识点04 直线与圆锥曲线相交的弦长问题 若直线与圆锥曲线有两个公共点M(x1，y1)，N(x2，y2)，可结合韦达定理，代入弦长公式|MN|＝或|MN|＝求距离． 若涉及直线过圆锥曲线焦点的弦问题，一般利用圆锥曲线的定义去解决． 【即学即练】 1．已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于轴的直线与的一个交点为，则（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆C：，过右焦点的直线交椭圆于A，B两点，且，则 ， ． 4．已知双曲线的对称轴为坐标轴，其中一条渐近线方程为，直线截该双曲线的弦长为6，则该双曲线的方程为 . 5．已知O是坐标原点，等腰三角形AOB的顶点A，B在抛物线C上，且，若C的焦点F到直线AB的距离为，则 . 知识点05 圆锥曲线的中点弦问题（点差法） 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝. 点差法：（ 以椭圆为例） 直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，与弦AB中点有关的问题称为中点弦问题，这类问题的解决常用到“点差法”，其方法是：将A，B两点的坐标代入椭圆方程中，得＋＝1，① ＋＝1，② ①—②，得＋＝0， 即＋＝0③ 设M(x0，y0)为AB的中点，则有 同时有直线AB的斜率kAB＝.⑥ 将④⑤⑥代入③得kAB＝. 直线与双曲线、直线与抛物线的中点弦问题同样用“点差法”． 【即学即练】 1．已知抛物线的焦点到准线的距离为，、是上关于直线对称的两个点，若直线与轴交于点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆C:，过点的直线交椭圆C于A，B两点，若P为的中点，则直线AB的方程为 . 5．已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 . 题型01 直线与椭圆的位置关系 【典例1】已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知椭圆，F为的右焦点，P为第一象限内椭圆上的一点，过点P作的切线，与x、y轴分别交于A，B两点，若，则点P的坐标为 . 【变式3】已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，其长轴长是短轴长的2倍，则过椭圆上点且与椭圆相切的直线方程为 . 【变式4】已知椭圆 的离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于两点，当轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程. 题型02 椭圆的弦长相关问题 【典例1】若直线与椭圆交于两点，椭圆的右焦点为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知椭圆与直线交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知椭圆的左焦点为，过的直线交椭圆于，两点，则的取值范围为 . 【变式3】如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的最小值为 ． 【变式4】已知椭圆的离心率为，点(2，1)在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 题型03 直线与双曲线的位置关系 【典例1】抛物线 ()的焦点为 ，抛物线的准线与双曲线 相交于两点， 若为等边三角形， 则 的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】若直线l过点，且与曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式2】若直线与双曲线的左支交于不同的两点，则的取值范围为 . 【变式3】已知双曲线C的左、右焦点分别为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则双曲线C的方程为 ． 【变式4】已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线 (1)求曲线的方程； (2)若过点且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 题型04 双曲线的弦长相关问题 【典例1】过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（     ） A． B． C． D． 【变式1】已知双曲线的两个焦点分别为，过的直线与双曲线的同一支交于，两点，且，则线段的长度为（    ） A． B．9 C． D．6 【变式2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，且在第四象限，，则 . 【变式3】已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 【变式4】已知双曲线的一条渐近线的斜率为为上一点. (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 题型05 直线与抛物线的位置关系 【典例1】已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【变式1】已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若直线与抛物线C：相切于点A，l与x轴交于点B、F为C的焦点．则 . 【变式3】过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于、两点，则 ． 【变式4】已知抛物线，过点作直线. (1)若直线与抛物线只有一个公共点，求直线的方程； (2)若直线过点，且交抛物线于、两点，求线段的长. 题型06 抛物线的弦长相关问题 【典例1】已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴交于点K，以F为圆心，为半径的圆与抛物线C在第一象限的交点为P，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式1】设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B． C． D．3 【变式2】已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点，线段PQ的中点的纵坐标为1，且，则 . 【变式3】已知直线过抛物线的焦点，且与交于A，B两点.过A，B两点分别作的切线，设两条切线交于点，线段AB的中点为.若，则 . 【变式4】倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)求直线的方程； (3)求的长． 题型07 圆锥曲线中的定点、定值问题 【典例1】圆E：与曲线H：在第一象限内交于P，Q两点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知双曲线的左､右焦点分别为，圆与的渐近线相切.为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为.给出以下结论： ①的离心率； ②两渐近线夹角为； ③为定值； ④的最小值为. 则所有正确结论为（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①③④ 【变式2】已知抛物线上两点，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知椭圆，其短轴长为，右焦点为，右顶点为．以其短轴为直径的圆上任意一点，都有为定值，则其椭圆的方程为 ． 【变式4】已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上不同于，的动点，直线，分别与轴交于点，，则 ． 题型08 圆锥曲线的中点弦问题 【典例1】过双曲线右焦点的直线与交于两点．若的中点为，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式1】过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则（   ） A． B． C． D．2 【变式2】已知抛物线，直线与抛物线相交于，两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知双曲线的左､右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于两点，是的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是 . 【变式4】设a，b是实数，若椭圆与直线交于点A，B，点M为AB的中点，直线为原点的斜率为，又，则椭圆方程为 . 1．已知抛物线的焦点为，为上一点，为的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．双曲线，过点作的两条渐近线的平行线，分别与渐近线相交于A，B两点，则平行四边形OAPB的面积是（   ） A． B．1 C． D．2 3．已知双曲线，椭圆上一点（不在的渐近线上），过点分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，分别交渐近线于，两点，且，则（   ） A． B．2 C．4 D．8 4．圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的A，B两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点；过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M，则下列说法正确的是（   ） A．面积的最大值为6 B．的最小值为 C．M的轨迹方程为 D．的最小值为8 5．椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上一点且满足，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 6．已知抛物线，过焦点的弦交抛物线于两点，且有，准线与轴交于点，作到准线的垂线，垂足为，则当四边形的面积为时，的值为（   ） A． B．4 C．8 D． 7．设是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 8．已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是 ． 9．已知点为双曲线上位于第二象限内的动点，是该双曲线的右顶点，，则面积的取值范围为 ． 10．椭圆的焦点为，过原点的直线与该椭圆交于两点，若，的面积为1，的周长为 . 11．记椭圆C：（）的离心率为，一个顶点坐标为，则直线被椭圆截得的弦长 . 12．设随机变量满足（其中），直线与抛物线的公共点个数为随机变量，若的数学期望，则抛物线的焦点坐标为 . 13．设直线与椭圆相交于两点，且的中点为，则直线的斜率为 ． 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，点为坐标原点，点在椭圆上，且，则的取值范围为 . 15．已知直线与双曲线相切，双曲线的左､右顶点分别为．若是双曲线上一点（异于点），则直线的斜率和直线的斜率之积为 ． 16．已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与椭圆交于两点，，则的周长是 ． 17．已知椭圆（）的焦距是，点在上. (1)求椭圆的离心率； (2)若直线交椭圆于两点，且坐标原点是△的重心，求△外接圆的面积. 18．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆的焦距为4. (1)求椭圆的方程； (2)设点，直线过且与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，求直线的方程. 19．已知点是抛物线： 的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，． (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值． 20．已知椭圆的左顶点为，且椭圆过点. (1)求的方程； (2)已知为的左焦点，在轴上有两动点，且. （i）若的外接圆与在第一象限的交点为，连接交轴于点，求； （ii）直线分别与交于点，求证：直线恒过定点. 21．已知椭圆的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线交椭圆于两点，且（其中为坐标原点），求的面积. 22．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与双曲线左右两支分别交于两点. (1)求； (2)求的周长. 23．已知点和点在椭圆上 (1)求椭圆C的标准方程及离心率； (2)若点B为直线与椭圆C的公共点，求的面积. 13 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $