专题1.3 两条直线的位置关系（高效培优讲义）高二数学沪教版选择性必修第一册

专题1.3 两条直线的位置关系 教学目标 1.理解两条直线平行、重合、相交的判定方法，掌握用方程的系数关系判断两条直线位置关系的方法. 2.掌握两条直线垂直的判定条件，能根据斜率或一般式系数判断两直线是否垂直. 3.理解两条直线的夹角公式，会求两条直线的夹角，会求两直线的交点坐标. 4.能综合运用两条直线的位置关系解决三角形面积、含参数讨论等综合问题. 教学重难点 1.重点 （1）两条直线平行、垂直的判定与应用； （2）两直线交点坐标的求法； 2.难点 （1）含参数的两直线位置关系讨论；（2）两直线夹角与对称的综合问题. 3.核心素养 知识点01 直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行. (2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 【即学即练】 1．求过点且与直线平行的直线方程为（     ） A． B． C． D． 2．若直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 3．已知两条不重合的直线：和：，，若，则的值为__________． 4．已知直线经过点和点，直线经过点和点，若与没有公共点，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 知识点02 两直线相交 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点（即交点）的坐标与方程组的解一一对应. 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解. 【即学即练】 1．直线与直线的交点坐标是______． 2．直线：与：的交点坐标为______． 3．直线和直线的交点坐标为，则__________． 4．直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 知识点03 两直线的夹角 设两条直线，，当时，直线到的角为，则；当时，两直线垂直. 两条直线相交成四个角，其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角；当两直线平行或重合时，规定夹角为0.求夹角时可先由斜率求出夹角的正切值，再结合确定夹角的大小. 【即学即练】 1．已知直线与垂直，则实数的值为__________. 2．直线，直线，若，则实数的值为_____． 3．直线经过点，且与直线：垂直．则直线的方程__________． 4．“”是“直线与垂直”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型01 直线平行的判定和应用 【典例1】已知直线，直线，若，则（     ） A．或 B．或2 C． D． 【变式1】已知直线：，：，若与平行，则实数的取值集合为（     ） A． B． C． D． 【变式2】若直线与直线平行，则（     ） A． B． C．或 D． 【变式3】“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】已知直线和直线，则“或”是“”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型02 直线垂直的判定和应用 【典例1】是直线：与直线：垂直的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】在，，这三条直线中，其中一条与另外两条直线都垂直，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知的顶点为，，，则垂心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】在三角形中，角的对边分别为，直线与直线平行，则三角形是______三角形． 【变式4】已知中，，， ，则 边上的高所在直线的一般式方程为____________ . 题型03 直线围成的图形面积问题 【典例1】已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l2：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知三条直线的方程分别为，则使这三条直线能围成等腰直角三角形的的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】三角形的顶点是， 求： (1)边所在直线的方程． (2)边上的高所在直线的方程； (3)边的垂直平分线的方程． 【变式3】如图，已知直线过点，且与直线垂直，与轴、轴的正半轴分别交于，两点，点为线段上一动点，且，交于点． (1)求线段的垂直平分线方程； (2)判断在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4】如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割． (1)若，， ①求直线的斜率的取值范围； ②是否存在直线，使得点关于直线的对称点在轴上？若存在，求出此时直线的一般方程，若不存在，请说明理由； (2)若，设玉石经切割后剩余部分的面积为S，求S的取值范围． 题型04 两直线的交点坐标及应用 【典例1】已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】求经过直线和的交点，且平行于直线的直线为_______. 【变式2】过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 【变式3】若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4】若直线与的交点在第四象限，则的取值范围为 （   ） A． B． C． D． 题型05 含参数的直线位置关系 【典例1】若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【变式1】若直线与直线平行，则的值可以为（     ） A． B． C． D． 【变式2】已知直线：，：．且，则实数________________． 【变式3】已知直线：，：，若，则__________；若曲线与直线有两个公共点，则实数的取值范围是__________． 【变式4】已知直线与直线，． (1)不管取何值，直线过定点，求定点的坐标； (2)若，求的值； (3)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程． 题型06 三角形中的直线综合 【典例1】已知的三个顶点分别为，，，求： (1)所在直线的方程： (2)过点与边平行的直线方程； 【变式1】已知的顶点为，，． (1)求过点且平行于直线的直线方程； (2)求边上的中线所在直线方程； 【变式2】已知点，，； (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍的直线方程． 【变式3】已知的顶点，，且重心G的坐标为． (1)求C点坐标； (2)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．求的欧拉线的方程． 【变式4】已知的三个顶点是，，． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程； (3)求一点的坐标，使得四边形为平行四边形． 1．经过点，且与直线平行的直线方程__________． 2．若直线与直线平行，则______． 3．判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标. (1)，； (2)，. 4．判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 5．求满足下列条件的直线的方程： (1)已知，求线段的垂直平分线的方程． (2)经过两直线和的交点，且平行于直线. 6．已知三个顶点的坐标为，，． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)若直线与边平行，且在轴上的截距与在轴上的截距之和等于4，求的方程． 7．已知直线经过点． (1)若直线与直线平行，求直线的一般式方程； (2)若直线与直线垂直，求直线的一般式方程． 8．已知点，直线. (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程. 9．已知直线l的方程为，． (1)若直线l的斜率为2，求m的值； (2)若直线l与直线垂直，求m的值． 10．已知直线：． (1)若直线：与垂直，求的值； (2)若直线：与平行，求直线与轴、轴围成的三角形面积． 11．求符合下列条件的直线方程． (1)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (2)过点，且与：平行的直线的方程． 12．下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 13．已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 14．已知的顶点，，若经过的外心和重心的直线方程是，则顶点的坐标为______． 15．在中，已知顶点，，过点的角平分线方程是，则直线的方程为________________． 16．如图，射线分别与轴的正半轴成角，过点作直线分别交于两点，当线段的中点恰好落在直线上时，则直线的方程为___________． 17．过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____. 18．（1）已知两直线：，：．求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线l的方程为．直线l交坐标轴正半轴于A，B两点，当的面积最小时，求直线l方程的一般式和的周长． 19．已知直线l过点 (1)若直线l在x轴上的截距为1，求直线l的方程. (2)若直线l与直线垂直，求直线l的方程. (3)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程. 20．中，顶点，，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求边所在直线的方程； (2)求边的中线所在直线的方程． 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 两条直线的位置关系 教学目标 1.理解两条直线平行、重合、相交的判定方法，掌握用方程的系数关系判断两条直线位置关系的方法. 2.掌握两条直线垂直的判定条件，能根据斜率或一般式系数判断两直线是否垂直. 3.理解两条直线的夹角公式，会求两条直线的夹角，会求两直线的交点坐标. 4.能综合运用两条直线的位置关系解决三角形面积、含参数讨论等综合问题. 教学重难点 1.重点 （1）两条直线平行、垂直的判定与应用； （2）两直线交点坐标的求法； 2.难点 （1）含参数的两直线位置关系讨论；（2）两直线夹角与对称的综合问题. 3.核心素养 知识点01 直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行. (2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 【即学即练】 1．求过点且与直线平行的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市巴蜀中学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题 【详解】与直线平行的直线方程满足，且该直线过点，则，解得，故该直线方程为． 2．若直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】安徽蚌埠市、宣城市部分学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题 【详解】设直线为，将代入得，解得，故直线的方程为. 3．已知两条不重合的直线：和：，，若，则的值为__________． 【答案】 【来源】北京市第八十中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题B卷 【详解】由题意得，解得. 4．已知直线经过点和点，直线经过点和点，若与没有公共点，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏扬州市广陵区红桥高级中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题 【详解】由与没有公共点，可知，两条直线斜率相等，先求的斜率，，，，直线过，，，由，得，解得，检验当时，：，：，两直线平行，符合题意. 知识点02 两直线相交 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点（即交点）的坐标与方程组的解一一对应. 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解. 【即学即练】 1．直线与直线的交点坐标是______． 【答案】 【来源】福建厦门沧江高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题 【详解】联立两条直线的方程，得，由第一式得，代入第二式得，从而，所以交点坐标为． 2．直线：与：的交点坐标为______． 【答案】 【来源】河北廊坊市部分校2026-2027学年高二上学期10月联考数学试卷 【详解】联立直线与的方程，得方程组，解得.所以直线与的交点坐标为 3．直线和直线的交点坐标为，则__________． 【答案】 【来源】江西省重点中学盟校2026-2027学年高二上学期10月联考数学试题 【详解】联立方程，解得，即两直线的交点坐标为，则，所以. 4．直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】8.2直线的交点坐标与距离公式【讲】2027届高三大一轮【实战高考】 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 知识点03 两直线的夹角 设两条直线，，当时，直线到的角为，则；当时，两直线垂直. 两条直线相交成四个角，其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角；当两直线平行或重合时，规定夹角为0.求夹角时可先由斜率求出夹角的正切值，再结合确定夹角的大小. 【即学即练】 1．已知直线与垂直，则实数的值为__________. 【答案】 【来源】广东深圳市高级中学高中园2026-2027学年第一学期10月诊断练高二数学试题 【详解】由与垂直，得，解得. 2．直线，直线，若，则实数的值为_____． 【答案】 【来源】福建莆田第四中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷 【详解】若，则，解得． 3．直线经过点，且与直线：垂直．则直线的方程__________． 【答案】 【来源】吉林长春市第二中学2026-2027学年度高二年级上学期第一学程考试数学试卷 【详解】设与直线：垂直的直线的方程为，因为直线经过点，所以，所以，所以直线的方程为. 4．“”是“直线与垂直”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【来源】河北石家庄市新乐市部分校2026-2027学年高二上学期10月考试数学试卷 【详解】充分性：当时，直线的斜率，直线的斜率，此时，两直线垂直，充分性成立.必要性：①时，两条直线分别为和，两直线垂直，符合题意，②时，两条直线斜率均存在，直线的斜率，直线的斜率，此时，当直线与垂直时，此时，必要性不成立.综上，“”是“直线与垂直”的充分不必要条件. 题型01 直线平行的判定和应用 【典例1】已知直线，直线，若，则（     ） A．或 B．或2 C． D． 【答案】D 【来源】山东省青岛第十七中学2026-2027学年第一学期高二年级素养能力测试（一）数学试题 【详解】∵，∴由一般方程满足的条件可得，解得. 【变式1】已知直线：，：，若与平行，则实数的取值集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省常州高级中学2026-2027学年高二上学期10月单元检测数学试题 【详解】因为 直线：，：，与平行，所以，即，解得或，当时，，，满足平行要求；当时，，，即，与重合，不符合要求.综上所述，实数的取值集合为. 【变式2】若直线与直线平行，则（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【来源】江西省南昌市第二中学2026-2027学年高二上学期月考（一）数学试题 【详解】由直线与直线平行，得，所以. 【变式3】“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【来源】辽宁本溪市某校2026-2027学年高二上学期十月份调研数学试题 【详解】或重合解得或若，则若，则重合所以，，即充分必要条件. 【变式4】已知直线和直线，则“或”是“”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【来源】湖南长沙市长郡中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷 【详解】直线和直线，当时，，两直线重合，不是平行；当时，，化简，两直线平行不重合，所以“或”不能推出“”，充分性不成立；若，首先满足，得，得或，当时，，两直线重合，不是平行；当时，，化简，两直线平行不重合，所以等价于，所以“”能推出“或”，必要性成立；所以“或”是“”的必要不充分条件. 题型02 直线垂直的判定和应用 【典例1】是直线：与直线：垂直的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由直线：与直线：垂直，得，解得或，所以是直线与直线：垂直的充分不必要条件． 【变式1】在，，这三条直线中，其中一条与另外两条直线都垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】河北邢台市卓越联盟2026-2027学年高二上学期第一次学情调研数学试题 【详解】根据题意，当时，不符合题意，所以，则，，，因为，所以只能是同时垂直于，所以，解得． 【变式2】已知的顶点为，，，则垂心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】河南周口市部分学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题 【详解】因为直线AB的斜率为，所以边AB上的高所在直线的方程为，即．因为直线AC的斜率为，所以边AC上的高所在直线的方程为，即．由解得故垂心的坐标为． 【变式3】在三角形中，角的对边分别为，直线与直线平行，则三角形是______三角形． 【答案】等腰 【来源】上海市上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学2026-2027学年高二上学期10月第一次学情检测数学试卷 【详解】已知直线与平行，根据两直线平行的充要条件：对于直线和平行，等价于且.代入对应系数得，且，由于边长，故，，显然不相等，因此只需满足即可。由正弦定理，，（为外接圆半径，），代入得：，移项后由两角差的正弦公式得.在中，，故，因此，即，故为等腰三角形. 【变式4】已知中，，， ，则 边上的高所在直线的一般式方程为____________ . 【答案】 【来源】黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题 【详解】因为，，所以，因为是边上的高，所以，即，所以边上的高所在直线的方程为，即. 题型03 直线围成的图形面积问题 【典例1】已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l2：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】安徽省黄山市屯溪第一中学2025-2026学年高二上学期10月教学质量检测数学试题 【详解】直线可化为，由可得，即直线恒过定点，直线可化为，由，解得，即直线恒过定点，由可得，即直线与轴交点为，由可得，即直线与轴交点为，则四边形由点围成，其面积，当时，取得最小值.故选：D. 【变式1】已知三条直线的方程分别为，则使这三条直线能围成等腰直角三角形的的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁本溪市某校2026-2027学年高二上学期十月份调研数学试题 【详解】显然，解方程组得，故的交点坐标为，直线的斜率为，其倾斜角为；直线的斜率为，其倾斜角为.对直线的方程变形为，由可得，故直线恒过定点，作图可知使三条直线能围成等腰直角三角形的直线有两条：和，当直线的方程为时，；当直线的方程为时，.故满足条件的实数的个数为. 【变式2】三角形的顶点是， 求： (1)边所在直线的方程． (2)边上的高所在直线的方程； (3)边的垂直平分线的方程． 【答案】(1)．；(2)．；(3)． 【来源】江苏镇江市句容碧桂园学校2026-2027学年高二第一学期10月月考数学试题 【详解】（1）因为， 所以直线的斜率，直线在轴上的截距， 故直线的方程为，即． （2）由已知， 由得：，解得， 直线过点，则直线的方程为：，即． （3）取中点，则，， 设其垂直平分线斜率为，则，解得， 故直线的方程为，即． 【变式3】如图，已知直线过点，且与直线垂直，与轴、轴的正半轴分别交于，两点，点为线段上一动点，且，交于点． (1)求线段的垂直平分线方程； (2)判断在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在点或或 【来源】广东东莞实验中学2026-2027学年第一学期第一次段考高二数学试题 【详解】（1）因为直线与直线垂直，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线的方程为，即． 令，得，即；令，得，即． 则线段的中点坐标为， 又直线的斜率，所以线段的垂直平分线方程为， 即； （2）假定在轴上存在点，使为等腰直角三角形， 由（1）知直线的方程为， 如图1，当时，而点在轴上，点在轴的正半轴上， 则点必与原点重合，设， 因为，所以， ∴，解得，此时满足题意； 如图2，当时，由，，知四边形为正方形， 设，则，， ∴，解得，此时满足题意； 如图3，当时，由，， 得，即， 设，则，， 显然直线斜率为，则直线斜率必为1， 即，解得，此时满足题意． 综上，轴上存在点或或，使为等腰直角三角形． 【变式4】如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割． (1)若，， ①求直线的斜率的取值范围； ②是否存在直线，使得点关于直线的对称点在轴上？若存在，求出此时直线的一般方程，若不存在，请说明理由； (2)若，设玉石经切割后剩余部分的面积为S，求S的取值范围． 【答案】(1)①；②存在直线，使得点关于直线的对称点在轴上；此时直线的一般方程为；(2) 【来源】重庆市璧山中学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题 【详解】（1）若，，则， ①由图可知，点在第一象限，设点， 因为，，，则， 所以，解得，即点， 由题图可知，当直线过点时，直线倾斜角最小， 当直线过点时，直线倾斜角最大， 又，， 由图形可得或， 所以直线斜率的取值范围为； ②假设存在直线，使得点关于直线的对称点在轴上，设其为， 直线的斜率显然存在，设直线的方程为， 又因为，所以的中点，所以，即， 又，所以，所以，所以， 所以，所以，解得，又， 所以存在直线，使得点关于直线的对称点在轴上， 此时直线的方程为，即； （2）若，则，因为，又，所以. 当轴时，此时，为线段的垂直平分线， 此时； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即，其中， 直线的方程为，即， 联立，可得，即点， 联立，可得，即点， 所以， 所以， 因为，则，所以， 综上所述，S的取值范围是 题型04 两直线的交点坐标及应用 【典例1】已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【来源】内蒙古呼和浩特市第三十二学校2025-2026学年高二上学期1月检测训练数学试题 【详解】由，解得，即两条直线的交点坐标为，所以两条直线的交点所在的象限是第二象限，故选：B 【变式1】求经过直线和的交点，且平行于直线的直线为_______. 【答案】 【来源】四川省仁寿第一中学校南校区2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题 【详解】联立和的方程，解得，，因此与的交点为，直线的斜率为，因为与该直线平行，所以的斜率也为， 由点斜式代入交点，得，整理得. 【变式2】过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 【答案】或 【来源】内蒙古包头市景泰高级中学2025-2026学年高二上学期一月月考数学试卷 【详解】由，解得，则两直线交点.由题意所求直线在两坐标轴上截距相等，①当截距为0时，则过点的直线方程为，即；②当截距不等于0时，设直线方程为将点坐标代入，得，解得故答案为：或. 【变式3】若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】河南新乡县第一中学等学校2025-2026学年高二下学期素养测评（一） 数学试题 【详解】由题意得，解方程组，得，因为直线与的交点在第二象限，所以，解得，即实数的取值范围是． 【变式4】若直线与的交点在第四象限，则的取值范围为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西省樟树中学2026-2027学年高二上学期第一次诊断作业数学试题 【详解】因为直线与的交点在第四象限，所以两直线相交，，即，联立方程解得,由两直线与的交点在第四象限可得解此不等式组可得，即的取值范围为. 题型05 含参数的直线位置关系 【典例1】若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【来源】河南省郑州市第五十六高级中学2025-2026学年高二上学期月考2数学试题 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意；当时，方程组消去y得，，当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意；当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故.故选：B. 【变式1】若直线与直线平行，则的值可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【来源】江西师范大学附属中学、南昌启华双语学校2026-2027学年高二上学期10月限时训练数学试题 【详解】因为直线与直线平行，所以，解得或.当时，即为，这显然不成立，所以.经检验，符合题意. 【变式2】已知直线：，：．且，则实数________________． 【答案】2 【来源】湖北武汉市第二中学2026-2027学年高二年级上学期10月阶段性检测数学试卷 【详解】因为，所以，解得或，当时，直线：，：，满足题意；当时，直线：，：，两直线重合，不满足题意.综上所述，. 【变式3】已知直线：，：，若，则__________；若曲线与直线有两个公共点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【来源】北京市平谷中学2026-2027学年高二年级上学期一段考试数学试题 【详解】由，所以，即，解得，因为，恒过定点，画出函数图像，如图：因为与直线有两个公共点，所以或或，解得，所以. 【变式4】已知直线与直线，． (1)不管取何值，直线过定点，求定点的坐标； (2)若，求的值； (3)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【来源】江苏省无锡市青山高级中学2026-2027学年高二上学期10月质量调研数学试题 【详解】（1）直线可化为， 要使上式对任意恒成立，则，解得， 因此定点的坐标为． （2）因为，所以，解得或， 当时，，，即，此时，满足题意； 当时，，即，，此时重合，不满足题意. 综上所述，． （3）因为点在直线上， 所以，得，则点的坐标为， 而直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，直线的斜率为，则直线的方程为，即， 当两截距不为0时，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 则直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 题型06 三角形中的直线综合 【典例1】已知的三个顶点分别为，，，求： (1)所在直线的方程： (2)过点与边平行的直线方程； 【答案】(1)；；(2) 【来源】广东省东莞市众美中学2026-2027学年度高二上学期第一次月考数学试卷 【详解】（1）解：由，，直线的斜率 由点斜式，代入点，，化简得：, 所以，所在直线的方程为 （2）解：与平行的直线斜率，直线过， 所以，所求直线方程为：，化简得：. 所以，所求直线方程为： 【变式1】已知的顶点为，，． (1)求过点且平行于直线的直线方程； (2)求边上的中线所在直线方程； 【答案】(1)；(2) 【来源】福建厦门市九溪高级中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷 【详解】（1）直线的斜率为， 设平行于直线的直线方程为，将代入得， 故过点且平行于直线的直线方程为； （2）线段的中点，则， 则边上的中线所在直线方程为，即. 【变式2】已知点，，； (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍的直线方程． 【答案】(1)；(2)或 【来源】江苏省姜堰中学2026-2027学年高二第一学期阶段测试一数学试题 【详解】（1）直线的斜率：， 故过点且与平行的直线方程斜率，且， 故直线方程为，即． （2）当截距为0时，直线过原点，直线的斜率是， 所以直线方程为，即； 当截距不为0时，可设直线方程为：， 代入，得，， 故直线方程为， 综上得：直线方程为或． 【变式3】已知的顶点，，且重心G的坐标为． (1)求C点坐标； (2)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．求的欧拉线的方程． 【答案】(1)；(2) 【来源】黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题 【详解】（1）设，则由重心的坐标为，得 ，解得，所以点坐标为. （2）设的外心为，则由外心性质可得在的中垂线上，即. ，. ，解得，. 又，故欧拉线的斜率. 故的欧拉线的方程为，即. 【变式4】已知的三个顶点是，，． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程； (3)求一点的坐标，使得四边形为平行四边形． 【答案】(1)；(2)；(3) 【来源】河南郑州市第十六高级中学2026-2027学年上学期第一次月考高二数学试卷 【详解】（1）直线的斜率为， 边上的高所在直线的斜率为， 边上的高所在直线的方程为，即． （2）记的中点为，的坐标为， 直线的斜率为， 边上的中线所在直线的方程为． （3）设点的坐标为， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以，即， 所以，， 故当为时，四边形为平行四边形． 1．经过点，且与直线平行的直线方程__________． 【答案】 【来源】河北唐山市开滦第二中学2026-2027学年第一学期高二年级10月调研数学试卷 【详解】由两直线平行的性质，与直线平行的直线可设为（）， 将点代入所设方程，可得，解得，故所求直线方程为. 2．若直线与直线平行，则______． 【答案】4 【来源】河北邢台市质检联盟2026-2027学年高二上学期10月测评数学试题 【详解】已知直线，其斜率，在轴上的截距.直线，其斜率，在轴上的截距.因为直线与直线平行，所以且.即，且（恒成立）.解方程，得，即，解得. 3．判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标. (1)，； (2)，. 【答案】(1)相交，；(2)重合 【详解】（1）解方程组，得， 所以这两条直线相交，交点坐标是. （2）由化为方程可知， 所以有无数多个解， 故与重合， 4．判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为；(2)平行；(3)重合 【详解】（1）由，解得， 因此直线和相交，交点坐标为． （2）因为，， 由， 得，矛盾， 由此可知方程组无解，因此直线与平行． （3）由， 得， 说明方程②是方程①的倍，方程①的解都是方程②的解． 因此直线与重合． 5．求满足下列条件的直线的方程： (1)已知，求线段的垂直平分线的方程． (2)经过两直线和的交点，且平行于直线. 【答案】(1)；(2) 【来源】黑龙江省牡丹江市第一高级中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题 【详解】（1）由点，得线段的中点坐标为，直线的斜率为， 因此线段的垂直平分线的斜率为2，方程为，即. （2）由，解得，则直线和的交点坐标为， 设平行于直线的直线方程为，于是， 解得，所以所求直线方程为. 6．已知三个顶点的坐标为，，． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)若直线与边平行，且在轴上的截距与在轴上的截距之和等于4，求的方程． 【答案】(1)；(2)；(3) 【来源】广东江门广雅学校2026-2027学年高二上学期10月份供题训练数学试题 【详解】（1），， 因为为的中点，所以，即， 所以边上的中线所在直线的方程为； （2），， 因为所在直线的斜率， 所以所在直线的斜率， 所以所在直线的方程为，即； （3），， 因为所在直线的斜率， 所以可设直线的方程为， 此时在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以，解得， 所以直线的方程为，即． 7．已知直线经过点． (1)若直线与直线平行，求直线的一般式方程； (2)若直线与直线垂直，求直线的一般式方程． 【答案】(1)；(2) 【来源】安徽淮南第一中学、第四中学等五校2026-2027学年高二上学期10月大联考数学试卷（A） 【详解】（1）因为直线与直线平行， 所以设直线的方程为，，     将点代入，得，解得， 故直线的一般式方程为． （2）由题知，直线的斜率为，     设直线的斜率为， 由题意知，即，解得．     又因为直线经过点， 由点斜式得，     整理得， 故直线的一般式方程为． 8．已知点，直线. (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1)；(2). 【来源】山西太原市第四中学2026-2027学年高二上学期10月素质测试数学试题 【详解】（1）设与直线垂直的直线方程为， 因为过点，所以，解得. 所以过点且与直线垂直的直线方程为. （2）设与直线平行的直线方程为， 因为过点，所以，解得. 所以过点且与直线平行的直线方程为：. 9．已知直线l的方程为，． (1)若直线l的斜率为2，求m的值； (2)若直线l与直线垂直，求m的值． 【答案】(1)；(2) 【来源】四川绵阳市南山中学2026-2027学年度第一学期高二年级第一次月考数学试题 【详解】（1）因为直线l：的斜率为2， 则，解得. （2）若直线l与直线垂直， 则，解得. 10．已知直线：． (1)若直线：与垂直，求的值； (2)若直线：与平行，求直线与轴、轴围成的三角形面积． 【答案】(1)​；(2)​ 【来源】海南省儋州市第一中学等校2026-2027学年高二上学期阶段性检测（一） 数学试题 【详解】（1）若，则为轴，与斜率为的不垂直， 故． 此时的斜率为，由与垂直，得，解得． （2）直线的斜率为，由与平行可知，且，解得． 此时直线的方程为，化为， 所以它与轴、轴的交点分别为和． 直线的方程为，与不重合，故两直线确实平行． 因此，直线与两坐标轴围成的三角形面积为． 11．求符合下列条件的直线方程． (1)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (2)过点，且与：平行的直线的方程． 【答案】(1)；(2) 【来源】河北石家庄市新乐市部分校2026-2027学年高二上学期10月考试数学试卷 【详解】（1）设直线方程为，令，得，令，得， ，解得， ∴直线方程为， 即． （2）已知直线：，则直线的方程可化为， ∴直线的斜率为． 与平行，的斜率为． 又过点， 由点斜式知直线的方程为，即． 12．下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 【答案】AD 【来源】甘肃省兰州市学府致远学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷 【详解】方程组的解为，因此直线和相交，交点坐标为，A正确；方程组有无数个解，这表明直线和重合，B错误；方程组无解，这表明直线和没有公共点，故，C错误；方程组的解为方程组的解为方程组的解也为所以，三条直线两两相交且交于同一点，D正确.故选：AD 13．已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 【答案】ABD 【来源】安徽省亳州市蒙城县实验永兴中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题 【详解】由于与是直线（k为常数）上两个不同的点，故，，又，由于，因此，故直线不平行，也不重合，故两直线相交，因此只有唯一的交点，故C正确，ABD错误，故选：ABD 14．已知的顶点，，若经过的外心和重心的直线方程是，则顶点的坐标为______． 【答案】 【来源】福建省厦门市外国语学校2025-2026学年高二上学期期末冲刺数学练习试题 【详解】设，由重心坐标公式得，的重心为，代入方程得：，整理得： ①，的中点为，，的中垂线斜率为，的中垂线方程为，即．联立，解得， 的外心为．外心到各顶点距离相等，则，即，，整理得：②，联立①②得：或．当时重合，舍去，顶点的坐标是．故答案为：． 15．在中，已知顶点，，过点的角平分线方程是，则直线的方程为________________． 【答案】 【来源】四川省成都市第七中学2026-2027学年高二上学期10月定时练习数学试题 【详解】设点关于直线l的对称点坐标，则中点坐标为，直线斜率，点与点 关于直线对称，即，整理得化简得解得即点坐标，因为直线平分角，所以点在直线上，可得，结合有直线的方程为：，化简得. 16．如图，射线分别与轴的正半轴成角，过点作直线分别交于两点，当线段的中点恰好落在直线上时，则直线的方程为___________． 【答案】 【来源】广东湛江市港城、海东、崇文三校2025-2026学年第一学期高二年级期中考试数学学科试卷 【详解】由题意，可得，所以直线．当直线斜率不存在时，，的中点不在上，不满足；当直线斜率存在时，设，所以的中点．由点在直线上，且三点共线得解得所以．又，所以，所以，直线的点斜式方程表示为：，即直线的方程为或． 17．过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____. 【答案】或 【来源】安徽省黄山市屯溪第一中学2025-2026学年高二上学期10月教学质量检测数学试题 【详解】由，解得，即两直线交点坐标为，若所求直线在两坐标轴上截距为0，则该直线经过原点和，方程为，整理得；若所求直线在两坐标轴上截距不为0，则该直线方程可设为，将点坐标代入方程可得，所以此时直线方程为，整理得，综上，所求直线方程为或.故答案为：或. 18．（1）已知两直线：，：．求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线l的方程为．直线l交坐标轴正半轴于A，B两点，当的面积最小时，求直线l方程的一般式和的周长． 【答案】（1）；（2）直线的一般式为，的周长为 【来源】江苏淮安市淮州中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题 【详解】（1）由题可知，联立方程得，解得，则直线与的交点坐标为， 又直线与垂直，设直线方程为，代入点得， 则，所以过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程为； （2）由可得， 令，解得，所以直线l过定点， 设直线的截距式为，又经过定点，则，所以， 因为，两边同时平方，化简整理得，当且仅当，即时取等号， 此时取最小值24，所以，则直线l方程为，即， 设，，则斜边，所以的周长为. 19．已知直线l过点 (1)若直线l在x轴上的截距为1，求直线l的方程. (2)若直线l与直线垂直，求直线l的方程. (3)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程. 【答案】(1)；(2)；(3) 或 【来源】四川省内江市资中第二中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷 【详解】（1）设直线方程为，因为直线l过点且在x轴上的截距为1，所以，解得， 所以直线方程为，即 （2）设直线方程为，因为直线l过点，所以，解得， 所以直线方程为. （3）当直线过原点时，直线方程为. 当直线不过原点时设直线方程为， 因为直线l过点且在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，所以，解得， 所以直线方程为，即. 20．中，顶点，，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求边所在直线的方程； (2)求边的中线所在直线的方程． 【答案】(1)；(2) 【来源】重庆市璧山中学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题 【详解】（1）边上的高所在直线方程为，可得该直线的斜率为， 所以边所在直线的斜率为， 所以边所在直线的方程为，即. （2），可得， 所以中点为，又因为边的中线过点， 所以边的中线所在直线的方程为. 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $