专题1.2 直线的方程（高效培优讲义）高二数学沪教版选择性必修第一册

专题1.2 直线的方程 教学目标 1.结合具体情境理解曲线与方程的对应关系，知道直线的方程与方程的直线的含义． 2.掌握直线方程的点斜式与斜截式，能根据已知条件熟练写出直线的方程. 3.掌握直线方程的两点式与截距式，理解截距的含义，会把各种形式化为一般式. 4.会用方向向量与法向量求直线方程，会解决直线过定点与直线和坐标轴围成图形的问题. 教学重难点 1.重点 （1）直线方程的点斜式与斜截式；（2）直线方程的一般式； 2.难点 （1）截距式中截距为0与不为0的讨论；（2）直线方程形式的选择与互化； 知识点01 直线的点斜式与斜截式 点斜式：直线 经过点 ，且斜率为 ，则直线的方程为 . 斜截式：直线 的斜率为 ，在 轴上的截距为 ，则方程为 ，其中 是直线与 轴交点的纵坐标. 点斜式与斜截式都要求斜率存在；斜率不存在（垂直于 轴）的直线不能用这两种形式，其方程为 . 截距是一个坐标而不是距离，可以为正、可以为负、也可以为 ；求截距时令另一个坐标为 代入方程即可. 由点斜式化为一般式时，去括号后移项整理成 的形式，并注意 的符号. 【即学即练】 1．若直线过点且斜率为，则的点斜式方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河北邢台市卓越联盟2026-2027学年高二上学期第一次学情调研数学试题 【详解】由题意可知，直线过定点且斜率，由直线的点斜式方程的定义，可得直线的点斜式方程为，故C正确. 2．过点，斜率为的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】广西南宁市宾阳中学2026-2027学年高二上学期10月考试数学试卷 【详解】由题意可得：，斜率为，根据点斜式方程可得：，化简可得：. 3．直线过点且倾斜角为，则其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】福建省三明市沙县区三明北附高级中学有限公司2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题 【详解】因为直线的倾斜角为，则其斜率，且直线过点，所以其点斜式方程为. 4．过点且倾斜角为的直线方程为___________. 【答案】 【来源】福建省厦门第一中学集美分校2026-2027学年高二上学期10月阶段性检测数学试题 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线垂直于轴，直线上所有点的横坐标都等于点的横坐标，点的横坐标为，故该直线的方程为． 知识点02 直线的两点式与截距式 两点式：直线经过两点 、（ 且 ），方程为 . 当 或 时不能直接用两点式，此时直线垂直于坐标轴，方程分别为 或 . 截距式：直线在 轴、 轴上的截距分别为 （）时，方程为 . 截距式不适用于过原点的直线（此时 ），也不适用于与坐标轴平行的直线，使用时要注意条件. 求过定点且在两坐标轴上截距相等的直线时，必须分截距为 （直线过原点）与截距不为 两种情况讨论. 【即学即练】 1．已知直线，则其在轴上的截距为________. 【答案】 【来源】重庆市杨家坪中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷 【详解】令代入直线方程，可得 ，解得，因此该直线在轴上的截距为. 2．过点且斜率为3的直线在轴上的截距是_________. 【答案】 【来源】上海市晋元高级中学2026-2027学年高二第一学期单元诊断1数学试卷 【详解】过点且斜率为的直线的方程为，化简可得，所以过点且斜率为3的直线在轴上的截距是. 3．若直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】河南安阳市部分校2026-2027学年高二年级上学期过程性作业评价数学试卷（人教A版） 【详解】由.因为该直线的倾斜角为，所以. 知识点03 直线的一般式方程 一般式：关于 的二元一次方程 （ 不同时为 ）都表示一条直线. 由一般式求斜率：当 时 ；当 时直线垂直于 轴，斜率不存在. 截距：令 得 轴上的截距 （）；令 得 轴上的截距 （）. 直线方程的各种形式都可以化为一般式；一般式便于判断两条直线的位置关系. 的符号决定直线经过的象限，解题时常化为斜截式，由斜率与截距分析直线的位置. 【即学即练】 1．直线的倾斜角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】北京市平谷中学2026-2027学年高二年级上学期一段考试数学试题 【详解】设直线的倾斜角为，，由可得，则，所以. 2．直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线可变形为，即，所以该直线的斜率是． 3．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广东东莞外国语学校2026-2027学年第一学期段考一高二数学试题 【详解】设直线的倾斜角为，已知直线，则，即，. 4．直线的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【来源】内蒙古师范大学附属第二中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷 【详解】将直线方程化为斜截式： ，可得直线斜率，设倾斜角为，，则，解得. 知识点04 直线的方向向量、法向量与方程 若直线 经过点 ，且一个方向向量为 ，则其方程可写为 . 若直线 经过点 ，且一个法向量为 ，则其方程为 . 由一般式 可直接读出：一个法向量为 ，一个方向向量为 . 方向向量 满足 时 ； 时直线垂直于 轴，斜率不存在. 已知方向向量或法向量求直线方程时，用点向式（或点法式）最简便，最后再化为一般式. 【即学即练】 1．已知直线的方向向量，且过点，则该直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西九江市第三中学2026-2027学年高二上学期阶段性测试数学试卷（10.8） 【详解】因为直线的方向向量为，所以该直线的斜率为，且过点，从而该直线的方程为. 2．直线的一个方向向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省苏州实验中学科技城校2026-2027学年高二第一学期10月学情调研数学试卷 【详解】由题意知，直线的斜率为，故直线的方程为，整理得. 3．已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】山东省泰山中学2026-2027学年高二上学期10月月度质量检测数学试题 【详解】直线的方向向量为，则斜率，又直线过点，所以直线的方程为，整理得，即直线的方程为. 4．已知直线经过点和点，且直线的一个方向向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】安徽淮南第一中学、第四中学等五校2026-2027学年高二上学期10月大联考数学试卷（A） 【详解】.由题意知，与方向向量平行，所以，解得. 题型01 求直线的点斜式与斜截式方程 【典例1】过点且倾斜角为的直线方程是_____． 【答案】 【详解】由已知直线倾斜角为，所以直线斜率不存在，则直线方程为. 【变式1】倾斜角为，且过点的直线的一般式方程是________． 【答案】 【来源】广东深圳市育才中学2026-2027学年高二上学期阶段检测（一）数学试卷 【详解】因为倾斜角为，故斜率，因为直线过点，故直线方程为，整理为一般式可得． 【变式2】已知的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的斜截式方程 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）由题意得的中点坐标， 所以， 所以上的中线方程为，整理得斜截式方程为. （2）所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的斜率， 又上的高过点， 则上的高所在直线的方程为，整理得斜截式方程为. （3）由（2）得，与垂直的直线斜率为， 由（1）得的中点坐标， 所以的垂直平分线的方程为，整理得斜截式方程为. 【变式3】已知点和直线：． (1)若直线经过点，且，求直线的方程； (2)若直线经过点，且在轴上的截距是轴上的截距的4倍，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)或 【来源】浙江省柯桥中学2026-2027学年高二第一学期10月考试数学试卷 【详解】（1）由， ， 直线经过点， 直线的方程为， 整理得. （2）当直线的斜率不存在时，直线在轴上没有截距，不满足条件. 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， ， 当时，直线在轴上没有截距，不满足条件. 当时，令， ， 直线在轴上的截距为， 令， ， 直线在轴上的截距为， 由题意得， ， 或， 直线的方程为或， 整理得或. 【变式4】据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (2)直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)、 【来源】河北唐山市开滦第二中学2026-2027学年第一学期高二年级10月调研数学试卷 【详解】（1）线段的中点的坐标为，即点的坐标为， 而直线的斜率， 所以其垂直平分线的斜率， 因此垂直平分线的方程为，整理得。 （2）由题意得，直线的斜率存在且不为零， 当直线在两坐标轴的截距均为时，直线过原点，设直线的方程为， 因为直线过，故直线的方程为. 当直线的截距不为时，设直线的截距为， 由截距式方程得到直线方程为， 代入点的坐标解得， 因此此时直线方程为. 题型02 求直线的两点式与截距式方程 【典例1】过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【来源】安徽淮南第一中学、第四中学等五校2026-2027学年高二上学期10月大联考数学试卷（A） 【详解】当截距为零时，直线过原点，设直线方程为，因为在直线上，所以，解得，所以方程为；当截距不为零时，设直线方程为，因为在直线上，所以，解得，所以方程为；综上所得，直线的方程为或. 【变式1】过点，并且在两轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【来源】山东省淄博第十一中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段性测试数学试卷 【详解】当直线过原点时，该直线在两轴上的截距的绝对值相等，方程为，即；当直线不过原点时，若该直线在两轴上的截距相等，设方程为，则，解得，所求方程为；若该直线在两轴上的截距互为相反数，设方程为，则，解得，所求方程为，所以符合要求的直线方程为或或. 【变式2】已知直线，若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________ 【答案】或 【来源】黑龙江省绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校2026-2027学年高二上学期10月考试数学试题 【详解】依题意，，直线在轴上的截距分别为，由直线在两坐标轴上的截距相等，得，所以或. 【变式3】已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 【答案】或 【详解】当直线过原点时，符合题意，此时的直线方程为；当直线不过原点时，设直线方程为，由题意知，将代入得，解得，，所以直线方程为.综上，直线方程为或. 【变式4】已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为________． 【答案】 【来源】江苏省南菁高级中学2026-2027学年高二上学期第一次诊断练习数学试卷 【详解】设直线的截距式方程为，代入点得：，变形整理得，可得，已知，故，即是的正约数，的正约数为：、、、、、、、、，共个，对应组不同的正整数，故满足条件的直线共条． 题型03 直线的一般式方程与图象判断 【典例1】如果且，那么直线不通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【来源】山东省临沂市沂水县第一中学年2026--2027学年高二上学期第一次诊断测试数学试题 【详解】由题意可得，因为，所以，因为，所以，即，所以方程不经过第一象限. 【变式1】已知直线（，），则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【来源】江苏省无锡市青山高级中学2026-2027学年高二上学期10月质量调研数学试题 【详解】将直线左右两边同时除以，移项得，因为，，所以，，即直线的斜率为负值且在轴上的截距为负值，斜率为负且纵截距为负的直线经过第二、三、四象限，所以该直线不经过第一象限. 【变式2】直线：与：（其中，，），在同一平面直角坐标系中的图象可能是图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】广东实验中学越秀学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题 【详解】将直线的方程分别化为斜截式：，，联立两直线方程求交点：，移项得，因为，解得，即无论取何值，两条直线的交点横坐标恒为1，即交点一定在轴右侧，对于选项A：两直线交点在轴左侧，矛盾，所以A错误；对于选项B：两直线交点在轴右侧，斜率大于0，即，纵截距为正，即；斜率大于0，即，纵截距为正，即，参数正负完全一致，所以B正确；对于选项C：两直线交点在轴右侧，斜率小于0，即，纵截距为正，即；斜率大于0，即，纵截距为正，即，矛盾，所以C错误；对于选项D：两直线交点在轴右侧，斜率大于0，即，纵截距为负，即；斜率大于0，即，纵截距为正，即，矛盾，所以D错误； 【变式3】设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题 【详解】直线的方程为，当()时，，直线的方程为，此时直线的倾斜角为.当()时，，直线的方程可化为，若倾斜角为，则斜率，因为，所以，所以，又因为倾斜角，所以，综上所述，. 【变式4】已知点，．若直线l：与线段AB相交，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省无锡市青山高级中学2026-2027学年高二上学期10月质量调研数学试题 【详解】将整理为， 令，解得，即直线l恒过定点， ， ， 直线l的斜率为，因直线l与线段AB相交，结合几何关系可知斜率需满足或，即或， 分别解不等式得 或 ，故实数m的取值范围是. 题型04 直线方程的概念与结论辨析 【典例1】下列结论正确的是（      ） A．方程与方程可表示同一直线 B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 【答案】BC 【来源】江苏省镇江中学2026-2027学年高二年级上学期十月份学情检测陕西试题 【详解】对于A选项，方程要求分母不为，即，对应的直线不含点，而方程包含点，二者表示的不是同一直线，故A选项错误；对于B选项，直线倾斜角的取值范围是，且任意直线都有倾斜角，但当倾斜角为时，直线斜率不存在，因此直线不一定有斜率，故B选项正确；对于C选项，斜率不存在的直线垂直于轴，直线上所有点的横坐标均为，因此方程为，故C选项正确；对于D选项，点斜式方程要求直线斜率存在，斜率不存在的直线没有点斜式；截距式方程要求直线的横、纵截距都存在且不为，过原点或垂直于坐标轴的直线没有截距式，因此不是所有直线都有点斜式和截距式方程，故D选项错误. 【变式1】下列结论正确的是（   ） A．所有直线都可以用方程表示 B．过点，的直线的两点式方程为 C．所有过点的直线都可以用方程表示 D．在两坐标轴上的截距相等的直线都可以用方程表示 【答案】AB 【来源】河北邢台市卓越联盟2026-2027学年高二上学期第一次学情调研数学试题 【详解】对于A，所有直线都可以用方程表示，A正确；对于B，过点，的直线的两点式方程为，即，B正确；对于C，直线经过点，但不可以用方程表示，C错误；对于D，在两坐标轴上的截距均为0的直线不能用方程表示，D错误. 【变式2】下列说法正确的是（     ） A．直线（）必过定点 B．直线在轴上的截距为1 C．直线的倾斜角为 D．过，两点的直线方程为 【答案】AC 【来源】贵州黔西南州兴仁市第一中学2026-2027学年度第一学期第一次月考高二数学试卷 【详解】由可得，令可得，，，故直线恒过定点，A正确；由，令计算可得，故在轴上的截距为，B错误；由可得，故，由倾斜角的正切值为斜率可得，可得倾斜角为，故C正确；过，两点的直线当时，直线方程为，故D错误． 【变式3】下列说法正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．在轴､轴上的截距分别为的直线方程为 D．直线恒过定点 【答案】BD 【来源】广东深圳市高级中学高中园2026-2027学年第一学期10月诊断练高二数学试题 【详解】对于A，倾斜角为、的直线，其斜率分别为1、，倾斜角增大而斜率减小，故A错误；对于B，将直线方程化为，可得其斜率，所以，其中且，由正切函数在与上分别单调递增，得，故B正确；对于C，截距式要求且，而直线在两坐标轴上的截距可以为0，例如直线在两坐标轴上的截距均为0，不能写成上述截距式，故C错误；对于D，将代入直线方程，得，对任意均成立，所以直线恒过定点，故D正确． 【变式4】下列说法正确的是（    ） A．若直线的倾斜角为，则其斜率为 B．若直线的斜率，则其倾斜角的取值范围为 C．若直线在轴、轴上的截距相等，且过点，则其方程为 D．直线关于轴对称的直线的方程为 【答案】BD 【来源】海南省儋州市第一中学等校2026-2027学年高二上学期阶段性检测（一） 数学试题 【详解】对于A，当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在，不能写成，A错误．对于B，设直线的倾斜角为，则．当时，由正切函数的性质可得，B正确．对于C，当直线在两坐标轴上的相等截距不为时，可设直线方程为．将点代入，得，此时直线方程为．但当两截距均为时，过点的直线也符合条件，故C错误．对于D，直线关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标变为相反数．将中的换成，得，D正确． 题型05 直线过定点问题 【典例1】直线经过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，由，解得，即直线过定点. 【变式1】直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省营口市普通高中2026-2027学年高二上学期10月巩固训练数学试题 【详解】将直线变形为，因为直线恒过定点，所以与无关，令，解得.因此直线恒过定点. 【变式2】直线过定点，则点的坐标为__________． 【答案】 【来源】河北邢台市卓越联盟2026-2027学年高二上学期第一次学情调研数学试题 【详解】由，得，所以，解得，即． 【变式3】已知直线：． (1)证明：不论为何实数，直线恒过一定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的负半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程． 【答案】(1)将直线的方程整理为， 由，解得，所以不论为何实数，直线恒过定点； (2) (3) 【来源】安徽淮南第一中学、第四中学等五校2026-2027学年高二上学期10月大联考数学试卷（A） (1)将直线的方程整理为， 由，解得，所以不论为何实数，直线恒过定点； （2）当时，直线：，不经过第四象限，符合题意；     当时，直线：， 由不经过第四象限可知，解得， 综上，的取值范围为； （3）设直线与轴负半轴交于，与轴负半轴交于，，， 直线的截距式方程为，即， 因为直线恒过，代入得，即， 三角形面积，由，所以，， 当且仅当时等号成立，即， 代入，得，所以，， 此时直线过点，，方程为，化简得， 该直线对应参数，所以直线的方程为. 【变式4】已知直线，，设为坐标原点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求； (2)若交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，求面积的最小值． 【答案】(1)或0．；(2)4 【来源】安徽蚌埠市、宣城市部分学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题 【详解】（1）①当经过点时，两坐标轴上的截距均为0，则，解得. ②当不经过点时，． 令，得；令，得， 由题意，得，解得， 综上所述，或0． （2）易知，即，设，， 则，解得． 此时，， 所以． 不妨设，则，， ．    当且仅当，即时取等号，此时． 故面积的最小值为4． 题型06 直线与坐标轴围成的三角形面积 【典例1】若直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】广东深圳市松岗中学2025-2026学年第一学期高二年级期中考试数学试卷 【详解】法一：由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，设此直线与轴、轴的交点分别为，，则点，的坐标分别为，，因此面积为，若，化简得，无解；若，化简得，解得，综上，直线的个数为2. 法二：过的直线与坐标轴围成三角形，故的方程可设为，则，，即，当时，又，则，所以，代入得，化简整理得，又，无解；当时，又，则，所以，代入得，化简整理得，又，则方程有两个不相等的实数根，即对应的直线个数为2条. 【变式1】若直线：经过点，则与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为（     ） A．144 B．240 C．288 D．576 【答案】C 【来源】江西师范大学附属中学、南昌启华双语学校2026-2027学年高二上学期10月限时训练数学试题 【详解】依题意可得，当且仅当时，等号成立，则，则所求三角形面积，其最小值为288. 【变式2】若斜率为的直线经过点，则与两坐标轴围成的三角形面积为________ 【答案】 【来源】山东省淄博第一中学2026-2027学年高二上学期10月学情诊断数学试题 【详解】因为斜率为的直线l经过点，所以直线l方程为，令，得，令，得，所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为. 【变式3】已知直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于，两点，若面积为12，则直线的方程为_________________． 【答案】 【来源】广东东莞实验中学2026-2027学年第一学期第一次段考高二数学试题 【详解】设直线方程为：，所以，因为，所以，解得，所以，即. 【变式4】(1)一条直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的倍时，求该直线方程； (2)一条直线经过点，与轴的正半轴分别交于两点，当的面积最小（为坐标原点）时求该直线方程. 【答案】(1)；(2) 【来源】辽宁沈阳市第一二0中学2026-2027学年高二上学期第一次质量监测数学试卷 【详解】（1）设所求直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 将直线化为斜截式，可得其斜率， 由二倍角正切公式，所求直线的斜率， 因为直线过点，故直线方程为，整理为一般式得：. （2）设所求直线与轴正半轴交点为，与轴正半轴交点为，其中， 则直线的截距式方程为，将点代入方程得：， 的面积，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 对不等式两边平方得，即，因此， 即面积的最小值为，联立，解得， 代入截距式方程得，整理为一般式得：. 题型07 直线方程的综合应用 【典例1】已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为． (1)求点的坐标； (2)求边所在直线的方程． 【来源】山东淄博实验中学2026-2027学年高二年级上学期10月教学阶段性检测数学试题 【详解】（1）如图所示；   设边上的中线所在直线为，边上的高所在直线为. 由题知点在直线上，设点的横坐标为，将代入方程得， ， ，点的坐标为. 设点为的中点，由中点坐标公式得， 由点在直线上， ， . .点的坐标为. （2）由题知直线与直线垂直，设直线的斜率为， 直线的斜率为， ， .直线的方程为. 点为直线与直线的交点，联立方程组得，.点的坐标为. 由（1）得点的坐标为， , 直线的方程为，整理得直线的方程为. 【变式1】在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：，：，，为直线上的动点. (1)过点的直线与，分别交于点，，且点平分，求直线的方程； (2)求的最小值． 【来源】江西九江市第三中学2026-2027学年高二上学期阶段性测试数学试卷（10.8） 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，点，的坐标分别为，，此时点不平分，不满足条件. 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线的方程为. 联立方程组 点的坐标为（，当时，直线与平行，两直线无交点.）； 联立方程组 点的坐标为（，当时，直线与平行，两直线无交点.）. 点平分，结合中点坐标公式得, 或. 当时，，的坐标分别为，，此时点不平分，不满足条件. 直线的方程为，整理得. （2）由（1）知点的坐标为，如图所示； 设直线与轴相交于点，点的坐标为，设点，使得与关于直线对称， 直线的倾斜角为， 为等腰直角三角形，点的坐标为. ， . 当，，三点共线时，， 又 ， ，即的最小值为. 【变式2】直线过点且与轴、轴正半轴分别交于，两点． (1)若点P为线段AB的中点，求直线l的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E，F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标． 【来源】贵州贵阳市华东师范大学附属贵阳高级中学2026-2027学年高二第一学期10月检测数学试题 【详解】（1）由点P为线段AB的中点，则有，即，， 故直线l的方程为，即； （2）当直线斜率不存在时，不存在点，舍去； 当直线斜率存在时，设，即， 由题意可知，∴， ∴， ∵时，∴， 当且仅当，即时取等号， ∴； (3)由题意，设，因为，点， 即， ∴，即，∴. 由 轴，则. 直角梯形的顶点为， 上底，下底，高为2， 梯形的面积， 设动点 ， ， 因为直线平分直角梯形的面积，所以四边形的面积为， 四边形是梯形，其上底为，下底为，高为， 所以，即， 因此点的坐标为， 直线经过点和， 当时，其斜率， 则直线的方程为：，化简得， 去分母整理得， 上式对任意恒成立，因此需满足，解得， 所以，直线过定点； 当时，、，此时直线为，过点； 综上可得：直线必过定点. 【变式3】在平面直角坐标系中，将直线先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得直线与自身重合． (1)求的斜率． (2)设过点． （ⅰ）求的一般式方程； （ⅱ）若过点的直线与，轴围成等腰三角形，求直线的一般式方程． 【来源】河北石家庄市部分校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学测评试题 【详解】（1）（方法一）依题可知的斜率存在，设的方程为， 则，则， 所以，即l的斜率为． （方法二）设为直线l上任意一点，则也在直线l上， 所以直线l的斜率． （2）（ⅰ）依题意得直线l的方程为，即． （ⅱ）如图，直线l过点P和． 设直线m与直线l，x轴围成的等腰三角形为． 若，则或，即或． 当点B的坐标为时，直线m的方程为，即； 当点B的坐标为时，直线m的方程为，即． 若，则，即， 此时直线m的方程为，即． 若，过点B作，垂足为H，则H为的中点． 由，得，即，解得， 所以，则，即， 此时直线m的方程为，即． 综上，直线m的一般式方程为或或或 ． 【变式4】已知直线与直线都经过点，记点、，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】河北石家庄市部分校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学测评试题 【详解】已知直线与直线都经过点，所以和分别满足方程，，即点、的坐标都满足方程，因此直线的方程为，故B正确. 1．已知点，在直线：的两侧，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河北邢台市质检联盟2026-2027学年高二上学期10月测评数学试题 【详解】因为直线的方程可化为，得直线过定点，，，又因为点在直线的两侧，即直线与线段相交(除两点)，所以． 2．已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】福建省厦门第一中学2026-2027学年第一学期第一次适应性练习高二年数学试卷 【详解】，则直线方程为.因点在线段上，则，.则，即最小值为. 3．已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】贵州遵义市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题 【详解】由点，点，所以直线的斜率为，由点斜式可得直线的方程为，整理得.由于点在线段上，故横坐标的取值范围为，且.所以，该式为关于的一次函数，斜率，在区间上单调递增，因此当时，取得最小值，最小值为.因此的最小值 为. 4．已知三条直线，，交于一点，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】广东东莞实验中学2026-2027学年第一学期第一次段考高二数学试题 【详解】由，得，即两直线交点坐标为，代入得：，解得. 5．已知点，，过点且斜率为的直线与线段相交，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】安徽蚌埠市、宣城市部分学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题 【详解】已知点，，设，则，，因为直线与线段相交，故或. 6．已知是直线上的动点，是直线上的动点，若的中点为，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】安徽蚌埠市、宣城市部分学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题 【详解】设点的坐标为，∵ 是的中点，∴ 点的坐标为.∵ 在直线上，在直线上，∴ ，解得，，即.∴ 直线的斜率，由点斜式得直线的方程为，整理得. 7．下列说法正确的是（     ） A．直线必过定点 B．直线的倾斜角为 C．直线的一个方向向量为 D．过点，且纵截距是横截距的2倍的直线方程为 【答案】AC 【来源】贵州贵阳市清华中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题 【详解】由，得，当时，，所以直线必过定点.所以A正确.由，得，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角不为，所以B不正确.由，得，所以直线的斜率为，所以其一个方向向量为，与平行，所以C正确.若纵截距与横截距均为零，设直线方程为，由直线过点，得，所以直线方程为；若纵截距与横截距均不为零，设直线方程为，由直线过点，得，所以直线方程为.所以过点，且纵截距是横截距的2倍的直线方程为和.所以D不正确. 8．若直线的倾斜角为，则（     ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【来源】江苏南京市第十二中学2026-2027学年第一学期10月调研考试高二数学试题 【详解】直线与x轴垂直，则倾斜角为. 9．直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由，得，故其斜率为. 10．直线的斜率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由直线化为斜截式方程：所以直线的斜率． 11．过点的直线与轴、轴正半轴分别交于点，，且，过点且平行于轴的直线交轴于点，动点，分别在线段和（为原点）上，若直线平分直角梯形的面积，则直线所过定点的坐标为______ 【答案】 【来源】广东江门广雅学校2026-2027学年高二上学期10月份供题训练数学试题 【详解】如图所示；设点，点的坐标分别为，，由，得，所以，解得，所以点，点的坐标分别为，.由，点的坐标为，设点，点的坐标分别为， .则，，，，，所以，，因为直线平分直角梯形的面积，所以 ，则，得.因为，所以直线的方程为，整理得，由直线过定点，与的取值无关，令， .所以直线所过定点的坐标为. 12．两条不重合的直线、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线与两坐标轴交于，，，，所以设直线为，因为直线过点，所以，，所以，，所以.当且仅当时，面积取得最小值12，又、是两条不重合的直线，所以. 13．已知直线及点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即，则直线经过定点，作出图形如下：则，，若直线与线段相交，则其斜率的范围为，而，所以的取值范围为. 14．已知，，直线：上存在点满足，,则的倾斜角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】安徽芜湖市第一中学2026-2027学年第一学期10月学情监测高二数学试卷 【详解】将直线整理为，令，解得，即直线恒过定点，由可知点在线段上，因此只需直线与线段有交点即可满足条件，直线MA的斜率，对应倾斜角为，直线MB的斜率，对应倾斜角为，当时，，直线与线段有交点；当时，直线方程为，与线段的方程联立，得交点，在线段上，满足条件，当时，，直线与线段有交点， 综上，直线的倾斜角取值范围是. 15．已知点，下列说法错误的是（    ） A．直线经过点P，且一个法向量为，直线的方程为． B．直线经过点P，且一个方向向量为，直线的方程为． C．直线经过点P，且在轴，轴上的截距相等的直线方程为． D．直线经过点P，且点，到它的距离相等，直线的方程为 【答案】CD 【来源】甘肃省张掖市第二中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题A卷 【详解】对于A：直线的一个法向量，可取法向量，由点法式方程得，整理得，故A正确；对于B：直线的一个方向向量为，直线斜率，由点斜式得，化简得，故B正确；对于C：直线在轴，轴上截距相等，分两类讨论，①截距不为，设直线方程为，将代入，，解得，方程为；②截距都为，直线过原点，方程为，该直线过点，也满足截距相等，满足条件的直线共有两条，并非只有，故C错误；对于D：点，到直线距离相等，分两类讨论，①直线过线段的中点，中点坐标为，直线过与，方程为；②直线与直线平行，，由点斜式得，整理得，满足条件的直线为和，选项只给一条，故D错误. 16．下列说法正确的是（ ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．方程表示过点的所有直线 C．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是 D．已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【来源】甘肃白银市第一中学2026-2027学年高二上学期阶段性教学质量检测（10月）数学试卷 【详解】对于选项A：设直线上的两个不同点，则，故A正确；对于选项B：由当时，，解得，方程表示的直线过定点，但直线也过，不能由该方程表示，故B错误；对于选项C：因为直线的斜率为，，且，，即，所以，故C正确；对于选项D：直线的斜率，直线的斜率，由题意可作图如下：因为直线与线段有交点，所以斜率的取值范围为，故D正确. 17．下列四个命题中真命题有（     ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线必过定点 C．点关于直线的对称点为 D．直线与直线关于直线对称 【答案】BCD 【来源】广东省深圳实验学校高中园2026-2027学年度高二第一学期第一阶段考试数学试题 【详解】任意直线都有倾斜角，倾斜角为的直线，斜率不存在，故A错误；，故，令，解得，直线恒过点，故B正确；设点，对称点，则其中点，代入，成立，斜率，对称轴的斜率，，两点连线与对称轴垂直，满足对称点条件，故C正确；两直线关于对称，则交点在对称轴上，且一条直线上任意一点的对称点落到另一条直线上，联立，解得，交点为，代入，成立，交点在第二条直线上；在直线上任取一点，设其关于对称的点为，，解得，将代入，成立，故两条直线关于，D正确． 18．设点，若在直线：与直线：上分别存在点M，N，使得为等边三角形，则（    ） A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】D 【来源】重庆市合川中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题 【详解】根据题意可得点H在上，也在上．因为为等边三角形，所以与的夹角为．因为的倾斜角为，所以的倾斜角为或，所以或． 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 直线的方程 教学目标 1.结合具体情境理解曲线与方程的对应关系，知道直线的方程与方程的直线的含义． 2.掌握直线方程的点斜式与斜截式，能根据已知条件熟练写出直线的方程. 3.掌握直线方程的两点式与截距式，理解截距的含义，会把各种形式化为一般式. 4.会用方向向量与法向量求直线方程，会解决直线过定点与直线和坐标轴围成图形的问题. 教学重难点 1.重点 （1）直线方程的点斜式与斜截式；（2）直线方程的一般式； 2.难点 （1）截距式中截距为0与不为0的讨论；（2）直线方程形式的选择与互化； 知识点01 直线的点斜式与斜截式 点斜式：直线 经过点 ，且斜率为 ，则直线的方程为 . 斜截式：直线 的斜率为 ，在 轴上的截距为 ，则方程为 ，其中 是直线与 轴交点的纵坐标. 点斜式与斜截式都要求斜率存在；斜率不存在（垂直于 轴）的直线不能用这两种形式，其方程为 . 截距是一个坐标而不是距离，可以为正、可以为负、也可以为 ；求截距时令另一个坐标为 代入方程即可. 由点斜式化为一般式时，去括号后移项整理成 的形式，并注意 的符号. 【即学即练】 1．若直线过点且斜率为，则的点斜式方程为（     ） A． B． C． D． 2．过点，斜率为的直线方程为（     ） A． B． C． D． 3．直线过点且倾斜角为，则其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 4．过点且倾斜角为的直线方程为___________. 知识点02 直线的两点式与截距式 两点式：直线经过两点 、（ 且 ），方程为 . 当 或 时不能直接用两点式，此时直线垂直于坐标轴，方程分别为 或 . 截距式：直线在 轴、 轴上的截距分别为 （）时，方程为 . 截距式不适用于过原点的直线（此时 ），也不适用于与坐标轴平行的直线，使用时要注意条件. 求过定点且在两坐标轴上截距相等的直线时，必须分截距为 （直线过原点）与截距不为 两种情况讨论. 【即学即练】 1．已知直线，则其在轴上的截距为________. 2．过点且斜率为3的直线在轴上的截距是_________. 3．若直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 知识点03 直线的一般式方程 一般式：关于 的二元一次方程 （ 不同时为 ）都表示一条直线. 由一般式求斜率：当 时 ；当 时直线垂直于 轴，斜率不存在. 截距：令 得 轴上的截距 （）；令 得 轴上的截距 （）. 直线方程的各种形式都可以化为一般式；一般式便于判断两条直线的位置关系. 的符号决定直线经过的象限，解题时常化为斜截式，由斜率与截距分析直线的位置. 【即学即练】 1．直线的倾斜角是（     ） A． B． C． D． 2．直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 3．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 4．直线的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 知识点04 直线的方向向量、法向量与方程 若直线 经过点 ，且一个方向向量为 ，则其方程可写为 . 若直线 经过点 ，且一个法向量为 ，则其方程为 . 由一般式 可直接读出：一个法向量为 ，一个方向向量为 . 方向向量 满足 时 ； 时直线垂直于 轴，斜率不存在. 已知方向向量或法向量求直线方程时，用点向式（或点法式）最简便，最后再化为一般式. 【即学即练】 1．已知直线的方向向量，且过点，则该直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．直线的一个方向向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知直线经过点和点，且直线的一个方向向量为，则（    ） A． B． C． D． 题型01 求直线的点斜式与斜截式方程 【典例1】过点且倾斜角为的直线方程是_____． 【变式1】倾斜角为，且过点的直线的一般式方程是________． 【变式2】已知的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的斜截式方程 【变式3】已知点和直线：． (1)若直线经过点，且，求直线的方程； (2)若直线经过点，且在轴上的截距是轴上的截距的4倍，求直线的方程． 【变式4】据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (2)直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 题型02 求直线的两点式与截距式方程 【典例1】过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】过点，并且在两轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知直线，若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________ 【变式3】已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 【变式4】已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为________． 题型03 直线的一般式方程与图象判断 【典例1】如果且，那么直线不通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】已知直线（，），则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】直线：与：（其中，，），在同一平面直角坐标系中的图象可能是图中的（     ） A． B． C． D． 【变式3】设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知点，．若直线l：与线段AB相交，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型04 直线方程的概念与结论辨析 【典例1】下列结论正确的是（      ） A．方程与方程可表示同一直线 B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 【变式1】下列结论正确的是（   ） A．所有直线都可以用方程表示 B．过点，的直线的两点式方程为 C．所有过点的直线都可以用方程表示 D．在两坐标轴上的截距相等的直线都可以用方程表示 【变式2】下列说法正确的是（     ） A．直线（）必过定点 B．直线在轴上的截距为1 C．直线的倾斜角为 D．过，两点的直线方程为 【变式3】下列说法正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．在轴､轴上的截距分别为的直线方程为 D．直线恒过定点 【变式4】下列说法正确的是（    ） A．若直线的倾斜角为，则其斜率为 B．若直线的斜率，则其倾斜角的取值范围为 C．若直线在轴、轴上的截距相等，且过点，则其方程为 D．直线关于轴对称的直线的方程为 题型05 直线过定点问题 【典例1】直线经过定点（ ） A． B． C． D． 【变式1】直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式2】直线过定点，则点的坐标为__________． 【变式3】已知直线：． (1)证明：不论为何实数，直线恒过一定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的负半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程． 【变式4】已知直线，，设为坐标原点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求； (2)若交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，求面积的最小值． 题型06 直线与坐标轴围成的三角形面积 【典例1】若直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】若直线：经过点，则与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为（     ） A．144 B．240 C．288 D．576 【变式2】若斜率为的直线经过点，则与两坐标轴围成的三角形面积为________ 【变式3】已知直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于，两点，若面积为12，则直线的方程为_________________． 【变式4】(1)一条直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的倍时，求该直线方程； (2)一条直线经过点，与轴的正半轴分别交于两点，当的面积最小（为坐标原点）时求该直线方程. 题型07 直线方程的综合应用 【典例1】已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为． (1)求点的坐标； (2)求边所在直线的方程． 【变式1】在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：，：，，为直线上的动点. (1)过点的直线与，分别交于点，，且点平分，求直线的方程； (2)求的最小值． 【变式2】直线过点且与轴、轴正半轴分别交于，两点． (1)若点P为线段AB的中点，求直线l的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E，F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标． 【变式3】在平面直角坐标系中，将直线先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得直线与自身重合． (1)求的斜率． (2)设过点． （ⅰ）求的一般式方程； （ⅱ）若过点的直线与，轴围成等腰三角形，求直线的一般式方程． 【变式4】已知直线与直线都经过点，记点、，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 1．已知点，在直线：的两侧，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知三条直线，，交于一点，则实数（     ） A． B． C． D． 5．已知点，，过点且斜率为的直线与线段相交，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．已知是直线上的动点，是直线上的动点，若的中点为，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（     ） A．直线必过定点 B．直线的倾斜角为 C．直线的一个方向向量为 D．过点，且纵截距是横截距的2倍的直线方程为 8．若直线的倾斜角为，则（     ） A． B． C． D．不存在 9．直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D． 10．直线的斜率是（ ） A． B． C． D． 11．过点的直线与轴、轴正半轴分别交于点，，且，过点且平行于轴的直线交轴于点，动点，分别在线段和（为原点）上，若直线平分直角梯形的面积，则直线所过定点的坐标为______ 12．两条不重合的直线、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 13．已知直线及点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 14．已知，，直线：上存在点满足，,则的倾斜角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 15．已知点，下列说法错误的是（    ） A．直线经过点P，且一个法向量为，直线的方程为． B．直线经过点P，且一个方向向量为，直线的方程为． C．直线经过点P，且在轴，轴上的截距相等的直线方程为． D．直线经过点P，且点，到它的距离相等，直线的方程为 16．下列说法正确的是（ ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．方程表示过点的所有直线 C．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是 D．已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 17．下列四个命题中真命题有（     ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线必过定点 C．点关于直线的对称点为 D．直线与直线关于直线对称 18．设点，若在直线：与直线：上分别存在点M，N，使得为等边三角形，则（    ） A．0 B． C．0或 D．0或 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $