专题2.5 抛物线（高效培优讲义）数学沪教版2020选择性必修第一册

专题2.5 抛物线 教学目标 1.经历从具体情景中抽象出抛物线的过程 2.掌握抛物线的定义 3.掌握抛物线的标准方程和推导过程，会求简单的抛物线的标准方程 教学重难点 1.重点 (1)求抛物线的标准方程； (2)抛物线的标准方程的应用． 2.难点 (1)推导抛物线的标准方程； (2)与抛物线有关的最值问题． 知识点01 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 【即学即练】 1．已知直线，点，点，动点到点的距离比到直线的距离小2，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用定义法可求抛物线方程，也可以利用几何关系代入坐标公式求出抛物线方程，再利用抛物线的几何性质转化线段可求和的最小值. 【详解】方法一：设点，直线， 动点到点的距离比到直线的距离小2， ，化简得， 即点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线． 方法二：设点，直线， 动点到点的距离比到直线的距离小 动点到点的距离等于到直线的距离， 点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线， 即抛物线方程为． 如图，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义，得， 则，当三点共线时， 取得最小值，最小值为． 故选：C． 2．与直线相切，且与圆外切的圆的圆心轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切的可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可得动点的轨迹. 【详解】记与圆外切的圆为圆， 设圆的圆心为，半径为，圆的圆心为， 因为圆与圆外切，所以， 设圆圆心到直线的距离为，则， 所以，即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线. 故选：C 3．已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】先对原方程合理变形，再结合抛物线的定义求解轨迹类型即可. 【详解】因为， 所以， 由两点间距离公式得方程左侧为点到点的距离， 由点到直线的距离公式得方程右侧为到直线的距离， 可得到点的距离和到直线的距离相等， 而且点不在直线上，结合抛物线定义得到点的轨迹是抛物线，故D正确. 故选：D 4．在平面内，到定点的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是 ． 【答案】或 【分析】由抛物线的定义即可求解. 【详解】当点M横坐标大于等于0时，由题意可转化为点M到点的距离等于点M到的距离， 设，所以点M的轨迹是以为焦点，为准线，顶点在原点， 开口向右的抛物线，设其方程为，所以，， 所以点M的轨迹方程为； 当点M横坐标小于0时，因为点到y轴的距离为2，所以点M在x轴上，即点M的轨迹方程为； 所以点M的轨迹方程为或. 故答案为：或. 知识点02 抛物线的标准方程及几何性质 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 【即学即练】 1．点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】由抛物线的定义知，点到焦点的距离等于点到准线的距离，结合点和准线的位置，求点到轴的距离. 【详解】抛物线开口向右，准线方程为， 点到焦点的距离为6，则点到准线的距离为6， 点在y轴右边，所以点到y轴的距离为4． 故选：A． 2．古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.在如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为的中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高为，，则该抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】先利用中位线计算，结合对称性判断抛物线以为对称轴，焦点在上，再以顶点为原点建立坐标系，设抛物线标准方程，根据点在抛物线上求得参数p即得结果. 【详解】因为为底面圆的直径，，，则都是等腰直角三角形. 可求出.M是PB的中点，O是AB的中点，则，， 截圆锥平面平行于母线PA且过母线PB中点M，故O在截面上， 根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上， 建立以M为原点，为x轴，过M点的垂线为y轴， 设抛物线与底面交点为E，则， 设抛物线为，则，解得， 即该抛物线焦点到准线的距离为p，即为. 故选：C. 3．已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为 ． 【答案】 【分析】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，不妨取在第一象限，根据对称性求出点坐标，代入抛物线方程中可得答案． 【详解】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，则两点关于轴对称， 轴是等边三角形边的垂直平分线，不妨取在第一象限， 如图，由，，得， 将代入抛物线方程中得， 所以，抛物线方程为． 故答案为：. 4．已知曲线：，：，给出下列四个结论： ①曲线与且只1个公共点； ②曲线与中，有且只有一个是轴对称图形； ③曲线与中，有且只有一个关于原点成中心对称图形； ④设P为上一点（异于坐标原点O），过点P作直线，则l与有且只有1个公共点． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】根据曲线联立求根判断①，直线和曲线联立结合判别式判断④，根据点代入得出曲线的对称性判断②③即可. 【详解】因为曲线：，：， 对于①：因为，所以，化简得出或，即得出或（舍）， 所以曲线与且只1个公共点，①正确； 对于②：把代入曲线：，：成立， 所以曲线与都是轴对称图形，②错误； 对于③：把代入曲线：，：都不成立， 曲线与都不关于原点成中心对称图形，③错误； 对于④：设为上一点（异于坐标原点O），所以，， 因为过点P作直线，所以， 因为，所以， 所以， ， 则l与有且只有1个公共点，④正确． 故答案为：①④. 知识点03 抛物线的焦半径公式 1．焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2．用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线， （2）抛物线，． （3）抛物线， （4）抛物线，． 注：①在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． ②利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷． 【即学即练】 1．已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据焦半径公式求得，再将点的坐标代入求解即可. 【详解】，得， ∴抛物线的方程为， 再将点的坐标代入，得． 故选：A． 2．已知抛物线的焦点为为上一点，且的横坐标为2，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由焦半径公式计算即可． 【详解】由抛物线方程知， 由题意， 故选：A． 3．已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，，为上两点，．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线方程设坐标，然后根据列等式得到，最后利用抛物线定义和基本不等式求最小值. 【详解】设，， 因为，所以， 由题意知，则，整理得， 由抛物线的定义得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 4．已知抛物线的焦点为，点在上，若，则 . 【答案】4 【分析】根据焦半径列式即可求得. 【详解】因为抛物线的准线为 所以点到的距离， 又， 所以，解得. 故答案为：4. 5．已知抛物线的焦点为，点在上，若，则 . 【答案】 【分析】通过焦半径公式计算出，再把点的坐标代入抛物线即可. 【详解】由抛物线定义可得，又， 所以，则， 所以抛物线的方程为， 因为点在上， 所以，又，则. 故答案为： 题型01 抛物线的定义及应用 【典例1】已知动点满足，则动点轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】C 【分析】我们先将已知等式进行变形，然后结合抛物线的定义即可判断动点的轨迹. 【详解】已知， 将等式右边的变形为，即. 此时原等式变为， 两边同时除以得到. 表示点到点的距离， 表示点到直线的距离. 所以点到点的距离等于点到直线的距离. 点不在直线上， 根据圆锥曲线的定义，到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线， 故动点的轨迹是抛物线. 故选：C. 【变式1】方程所表示的曲线为（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】变形已知方程，结合两点间距离公式和点到直线的距离公式以及抛物线的定义即可得解. 【详解】由原方程得， 即动点到定点的距离与它到直线的距离相等， 且点不在直线上，所以此方程表示的曲线为抛物线. 故选：D 【变式2】若动点M到定点的距离与它到直线的距离相等，则动点的轨迹是什么?某学生认为：“平面内到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.”由此判断动点的轨迹是抛物线.请问该学生的判断是否正确? （填“正确”或“错误”），点的轨迹方程是： . 【答案】 错误 【分析】空一：由抛物线的定义可判断结论错误； 空二：法一：设点，由题意得方程，化简可求得轨迹方程；法二：数形结合法，作出图形可求得轨迹方程. 【详解】空一：抛物线是指平面内与一定点和一定直线（定直线不经过定点）的距离相等的点的轨迹， 其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线.题设中“某学生”的解答依据忽视了“定直线不经过定点”这一关键点，因而导致错误. 空二： 法一：设点，由题意得：， 两边平方并整理得：， 即：，所以， 故点M的轨迹是一条直线，该直线方程为. 法二：作出图形可知，直线过点， 故可得点M的轨迹是一条经过且与垂直的一条， 直线.故M的轨迹为，化简，得. 【变式3】已知动点 (其中)到x轴的距离比它到点F(0,1)的距离少1，则动点P的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】由定义判断出该曲线为抛物线，根据抛物线定义求得准线方程，进而求出动点的轨迹方程． 【详解】因为动点到x轴的距离比它到点F(0,1)的距离少1， 所以动点到的距离与它到点F(0,1)的距离相等， 根据定义可知动点P的轨迹为抛物线，且F(0,1)为焦点， 则，所以动点P的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式4】下列条件中，一定能得到抛物线的标准方程为的是 （填序号）（写出一个正确答案即可）． ①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为3；④焦点到准线的距离为4；⑤由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为． 【答案】①③（答案不唯一） 【分析】由题意可知焦点一定在x轴上，故①必选，②不选，然后逐个分析判断即可 【详解】若要得到抛物线的方程为，则焦点一定在x轴上，故①必选，②不选． 若选①③，由抛物线的定义可知，得，则抛物线的方程为． 若选①⑤，设焦点 ，，，，由，得，解得，故抛物线的方程为． 由④可知，故还可选择①④． 故答案可为①③或①⑤或①④． 故答案为：①③（答案不唯一） 题型02 求抛物线的标准方程 【典例1】抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的坐标，然后利用垂直关系列出等式求出，进而得到抛物线方程. 【详解】根据题意，设抛物线方程为， 则，准线方程为. 所以点. 因为，所以， 化简得，即，解得. 所以抛物线方程为. 故选：D. 【变式1】一个动圆与定圆：相内切，且与定直线相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程． 【详解】设动圆M的半径为r，依题意：， 点M到定直线的距离为， 所以动点M到定点的距离等于到定直线的距离， 即M的轨迹为以F为焦点，为准线的抛物线， 所以此动圆的圆心M的轨迹方程是. 故选：D． 【变式2】过点且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，已知直线经过抛物线的焦点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据已知条件先求得直线和抛物线的方程，联立求得交点坐标，然后求得圆心和半径，进而写出标准方程. 【详解】已知直线 过点 且斜率为1，因此其方程为 . 抛物线的方程为 （），其焦点坐标为 . 由于直线 经过抛物线的焦点，代入焦点坐标得到 ， 解得 ，因此抛物线的方程为 ，焦点为 . 将直线方程 代入抛物线方程 得到：, 展开并整理得：, 解得 ，对应的 值为 ， 因此交点 和 的坐标分别为 和 . 以线段 为直径的圆的圆心为 的中点，坐标为： , , , 半径为 ，因此圆的标准方程为：, 故答案为：. 【变式3】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上.若点和关于经过坐标原点的直线的对称点都在抛物线上，则抛物线的方程为 . 【答案】 【分析】分别设直线和抛物线方程为和 ，再利用求点关于直线的对称点的方法，求对称点，再代入抛物线方程，求直线和抛物线方程. 【详解】如图所示，由题意设抛物线C的方程为 ，且x轴和y轴不是所求直线，又过原点，因而可设的方程为 ，设分别是关于的对称点. 关于对称于， 则， 同理可得， 又在抛物线C上， 所以，由此知，即， ，由此得， 从而，整理得， 解得， 当时，, 这与在抛物线 上矛盾，故舍去， 当时，, 故抛物线方程为. 故答案为：. 【变式4】已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，若C恰过，，三点中的两点，则C的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到抛物线经过与两点，设抛物线的方程为，联立方程组，求得，即可得到C的方程. 【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴， 且恰过，，三点中的两点， 因为点和不关于坐标轴对称，所以抛物线不可能过和两点， 又因为在第一象限，在第三象限， 即抛物线不可能同时过和两点， 所以抛物线经过与两点， 设抛物线的方程为，则，解得， 则C的方程为. 故答案为：. 题型03 抛物线的焦点与准线 【典例1】已知点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点代入抛物线方程，再化简得到标准方程，由标准方程写出准线方程直接计算求解即可. 【详解】因为点在抛物线上，所以，得到，抛物线的标准方程为，所以该抛物线的准线方程为。 故选：C 【变式1】若抛物线与抛物线关于直线对称，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得的焦点坐标为，设抛物线的焦点为，结合和关于直线对称，列出方程组，即可求解. 【详解】由抛物线，可得其焦点坐标为， 设抛物线关于直线对称的抛物线的焦点为， 则和关于直线对称，可得， 解得，即抛物线的焦点为. 故选：D. 【变式2】已知点到抛物线的准线的距离为，则 . 【答案】 【分析】由题知的准线为直线，再根据距离公式求解即可. 【详解】由题意得的准线为直线， 所以点到抛物线的准线的距离为：，解得. 所以. 故答案为： 【变式3】如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成.已知灯口圆的直径为，灯的深度为40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距 .    【答案】/ 【分析】在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，利用代入法进行求解即可； 【详解】   以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴（抛物线开口方向是x轴的正方向），以1cm为单位长度， 则可设抛物线的标准方程为. 灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为， 代入抛物线方程得， 解得，则焦点坐标为. 故光源应安置在与顶点相距处； 故答案为： 【变式4】已知抛物线：的焦点到准线的距离为4，则上的纵坐标为的点到焦点的距离为 ． 【答案】 【分析】结合题意求出抛物线方程和焦点坐标，再代入求出，最后结合两点间距离公式求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为4，所以， 则方程为，可得焦点为， 设抛物线上纵坐标为的点为，代入抛物线方程， 可得，解得，故， 由两点间距离公式得距离为. 故答案为： 题型04 抛物线的几何性质 【典例1】已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 【答案】D 【分析】利用抛物线定义结合已知计算即可. 【详解】因为是上一点， 所以，所以， 由抛物线的定义可得到的距离为， 点到的对称轴的距离为， 则，解得或. 故选：D. 【变式1】下列曲线中，不可能存在内接正方形的是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】利用曲线的图形特征进行分析判断. 【详解】 如图，根据定义，圆、椭圆、双曲线都是轴对称和中心对称图形，在曲线上可以找到4个点作为正方形的4个顶点. 抛物线是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以不可能存在内接正方形. 故选：D. 【变式2】设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为为抛物线上任意一点，所以，， 所以， 所以当时取得最小值，依题意可得，所以. 故答案为： 【变式3】设抛物线，若任意以为圆心的圆与抛物线至多有3个公共点，则的值范围为 ． 【答案】 【分析】令圆为且，讨论、，并依此为前提讨论、、，数形结合判断是否任意圆与抛物线交点个数不超过3个，即可得答案. 【详解】令圆为且，抛物线， 对于，圆与抛物线公共点情况如下， 若，它们恒有1个公共点，    若，它们没有公共点，    若，它们恒有2个公共点，    所以，对于，任意以为圆心的圆与抛物线至多有2个公共点，满足题设； 对于，圆与抛物线公共点情况如下， 若，它们恒有3个公共点，    若，它们恒有2个公共点，    若，它们可能0个或2个或4个公共点，    所以，不满足以为圆心的任意圆与抛物线至多有3个公共点； 综上，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：讨论，，结合的取值、数形结合判断圆与抛物线交点个数. 【变式4】抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是 ． 【答案】1或9 【分析】设该点的坐标为，根据题中条件列出方程组求解即可. 【详解】抛物线的准线方程为，对称轴为轴， 设该点的坐标为， 由题意可得，，则， 即，解得或， 因为，所以或. 故答案为：1或9. 题型05 抛物线的焦半径公式 【典例1】抛物线的焦点为，抛物线上一点在其对称轴的上方，若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】抛物线的方程为，， 设点的坐标为，，， ，代入抛物线方程，得，，， 则点的坐标是. 故选：D. 【变式1】已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一点，，过点作轴的垂线，垂足为，则（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义，结合两点间距离公式进行求解即可. 【详解】由抛物线，设，则， 该抛物线的准线方程为， 由， 所以， 故选：D 【变式2】若是抛物线上一点，为抛物线的焦点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义可得解. 【详解】由抛物线方程为， 则其准线， 又在抛物线上，则，且到直线的距离， 由抛物线定义可知， 故选：C. 【变式3】设点在抛物线C：上，F为C的焦点，则 ． 【答案】4 【分析】确定抛物线的准线方程，利用抛物线的定义即可求解出. 【详解】由题意知抛物线C：，则，准线， 又点在C上，则点A到焦点F的距离等于该点到准线的距离， 所以. 故答案为：. 【变式4】在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则 ． 【答案】或 【分析】设点，得到，根据题意，结合焦半径公式和抛物线的方程，列出方程组，求得的值. 【详解】由抛物线上点的纵坐标比横坐标大4， 设点，其中，抛物线的焦点为，则， 因为点到焦点的距离为，可得，解得或， 所以实数的值为或． 故答案为： 或． 题型06 抛物线上的点到定点的距离问题 【典例1】已知抛物线的焦点为为上的动点，为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】作出图形，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，利用抛物线的定义可知，分析可知，当且仅当为线段分别与圆A､抛物线的交点时，取最小值，即可得解. 【详解】根据已知得到，圆， 所以，圆A的半径为1， 抛物线的准线为，过点作，垂足为点，则， 由抛物线的定义可得， 所以， . 当且仅当为线段分别与圆A､抛物线的交点时，两个等号成立， 因此，的最小值为2. 故选：B. 【变式1】已知是抛物线上一点，圆关于直线对称的圆为，是圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称性求出圆的方程，设，求出的最小值，即可求出的最小值. 【详解】圆圆心为，半径，设， 则由对称性可知：，解得，则， 所以圆 ， 设，则， 所以当，即时，， 所以的最小值是. 故选：A 【变式2】已知点及抛物线上一动点，则的最小值是 ． 【答案】1 【分析】利用抛物线的定义，得，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线的定义，可知点到焦点的距离等于点到准线的距离，即， 所以，当且仅当，，三点共线时，取等号， 所以， 则的最小值是．    故答案为：. 【变式3】已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则两点间的最短距离为 ． 【答案】/ 【分析】由题意转化为抛物线上动点到圆心的距离的最小值即可得解. 【详解】由圆，知圆心为，半径为， 设为抛物线上动点，则两点间的距离为， 所以当时，， 所以． 故答案为： 【变式4】已知抛物线的焦点为，为上的动点，点，则取最小值时，直线的斜率为 . 【答案】 【分析】设点，由抛物线的定义有，两点间的距离公式有，即，只需的最大值即可. 【详解】由题意得，设点，则， 由抛物线的定义有， 所以， 又， 当时，; 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以． 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以． 综上所述，当时，取得最小值， 此时，得点， 所以. 故答案为：. 题型07 抛物线在实际问题中的应用 【典例1】如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（    ）    A．1350米 B．758米 C．725米 D．558米 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立直角坐标系，求出其准线方程，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】以为原点，直线为轴，过且与主塔平行的直线为轴，建立平面直角坐标系， 连接，，则， 设抛物线的方程为， 则，解得， 因此抛物线的焦点为， 准线方程为 ， 利用抛物线的定义得：. 故选：C    【变式1】某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件列方程求，结合抛物线性质可求结论. 【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为. 由题意可得，将点的坐标代入抛物线的方程可得， 解得，所以抛物线的方程为， 焦点的坐标为，即， 所以抛物线焦点到顶点的距离为. 故选：B. 【变式2】图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为，代入抛物线，解得答案. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为， 由点可得，解得，所以. 当时，，所以水面宽度为. 故选：C. 【变式3】吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】建立坐标系，求出点B横坐标，代入抛物线即可求解. 【详解】以为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米）， 依题意可得抛物线的方程为． 因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为米，则点的横坐标为， 则，所以点到桥面的距离为米． 故选：A. 【变式4】如图1，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，若，则到该抛物线顶点的距离为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，利用几何意义求解即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，    设抛物线的方程为， 则，即， 所以，解得（舍去）或，则到顶点的距离为3. 故选：B 1．在平面直角坐标系中，已知两点，点在直线上，若为抛物线上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：设点，利用点到直线的距离求出进而求最小值即可；方法二：：设直线与直线平行，且与抛物线相切，求出直线方程，利用平行线的距离公式求解即可. 【详解】方法一：因为直线的斜率，所以直线的方程为，即， 易知抛物线与直线没有交点， 设点，则点到直线的距离， 所以当时，取得最小值，. 方法二：设直线与直线平行，，且与抛物线相切， 联立得，令解得， 则与的切点为，则.    故选：C 2．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】求出焦点，准线，设动点到直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到． 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线． 点到直线的距离为． 点到直线的距离， 点到直线的距离为， 所以， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间，即时（如图），等号成立， 故动点到直线、直线的距离之和的最小值是2. 故选：B 3．已知抛物线的焦点为，准线为，为上一动点，且在轴上方，为上一动点，且轴，若，则点的纵坐标为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】设点，表示出点的坐标，再利用抛物线的定义列式求解. 【详解】设点，由轴，得，且， 又，则，又，所以. 故选：A 4．已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．6 D．4 【答案】D 【分析】由直线AF的倾斜角为得到得到为等边三角形，进而得到，由，得到答案. 【详解】由抛物线定义可知， 因为直线AF的倾斜角为，轴， ， 所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线l与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D. 5．已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】先由直线求出焦点、准线方程，得及抛物线的方程，进而得点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对于直线 ，令，解得， 所以抛物线的焦点为,准线方程为． ，解得， 所以抛物线的方程为， 设的坐标为，则 ， ∴的坐标为，则，得，所以． 由抛物线的定义，得． 故选：C． 6．如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（   ）    A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，可求两线段的长度之比. 【详解】对抛物线，焦点，准线：. 如图：    过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以； 过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以. 所以，所以. 故选：B 7．已知抛物线的焦点为，准线为，点A，B在上，直线AF与抛物线交于M，N，到准线的距离为3，M，O，B三点共线，若，则（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．9或18 【答案】C 【分析】由题意根据抛物线的定义得到 ，根据的位置分两种情况分别求得的坐标即可得结果. 【详解】    分别过点M，N作，垂足为，则 由抛物线的定义，得 由，得， 则， 由图1，，， ∵M，O，B三点共线，∴ , . 由图2，， ， , ， ∵M，O，B三点共线，∴ 综上，或9. 故选：C. 8．已知直线和直线抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 . 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义把点到准线的距离转化为点到焦点的距离，再利用平面几何知识即可求解. 【详解】由题意可得：抛物线的焦点，准线，    设动点到直线的距离分别为， 点到直线的距离为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立， 故动点到直线和直线的距离之和的最小值是2. 故答案为：2 9．已知为抛物线上的动点，，为两个定点，若周长的最小值为18，则的值为 . 【答案】6 【分析】分析抛物线的焦点和准线，确定点为焦点，利用抛物线定义，将转化为到准线的距离，分析的最小值，结合的定值，得到周长的最小值表达式，即可得解. 【详解】根据题意，则，所以抛物线的焦点坐标为，即定点，准线为，如图所示. 故的周长为，其中为定值，又根据抛物线的定义， 所以当三点共线时取得最小值， 此时，解得. 故答案为：6. 10．已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 【答案】5 【分析】由抛物线定义，将最小值转化为点所在圆的圆心到准线的距离减圆半径. 【详解】曲线，即， 设其圆心为，则. 抛物线的准线， 过点作，垂足为，则， 所以. 当共线时，最小，此时最小值为点到直线的距离. 设到直线的距离为，则， 则的最小值为. 所以的最小值为. 故答案为：. 11．在抛物线上点的纵坐标比横坐标大，且点到焦点的距离为，则 ． 【答案】或 【分析】设点，其中，根据题意可得出关于、的方程组，即可解出的值. 【详解】设点，其中，抛物线的焦点为，则， 由题意可得，解得或， 因此，或. 故答案为：或. 12．已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在C上，且，则C的方程为 【答案】. 【分析】先根据抛物线的定义得出及，再把点代入求参即可得出抛物线方程. 【详解】由抛物线的定义，可知，又，， 则，即， 由点在C上，得，结合，解得. 所以C的方程为. 故答案为：. 13．设抛物线，一光线从点射出，平行的对称轴，射在上的点，经过反射后，又射到上的点，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】第一空，由题可得直线AP方程，据此可得答案；第二空，由抛物线光学性质可得答案. 【详解】第一空，如图6所示，直线平行于对称轴且，则直线：. 又抛物线方程为：，则，则点的坐标为； 第二空，由抛物线光学性质可得反射线过点． 设，则， 由图可得，解得，． 故答案为：；. 14．抛物线绕其顶点逆时针旋转之后，得到抛物线，其准线方程为，则拋物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据旋转前后，抛物线不变的几何关系，利用顶点到准线的距离公式，即可列式求解. 【详解】旋转后顶点到直线的距离为， 所以旋转后的抛物线的焦点到准线方程为8， 旋转前后焦点到其对应准线的距离不变，即，， 所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为： 15．过定点的直线与圆交于，两点，，点为抛物线上一动点． (1)求直线的方程； (2)设为圆上一点，求的最小值． 【答案】(1)或 (2)4 【分析】（1）根据弦长公式可求得圆心到直线的距离为，讨论直线的斜率是否存在即可列出等式求解； （2）根据抛物线的定义进行转化，利用几何意义即可求解最小值. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 已知弦长，根据弦长公式（为圆心到直线的距离），得： ， ①当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； ②当直线的斜率存在时，设直线方程为，即 圆心到直线的距离为：，解得， 所以直线方程为，化简得， 综上，直线的方程为或 （2）    因为为圆上的动点，所以的最小值为， 故， 抛物线的焦点为，准线为， 根据抛物线定义，，因此：， 问题转化为求的最小值，即点到准线的距离与到点的距离之和的最小值， 过作准线的垂线，方程为，与抛物线交于， 此时最小值为到准线的距离：， 因此，的最小值为. 16．已知圆的圆心是抛物线的焦点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于，两点，且点是弦的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆心是抛物线的焦点，找到抛物线的焦点，从而得到抛物线的方程； （2）利用点差法，找到直线的斜率，进而求得直线的方程. 【详解】（1）圆的方程可化为，故圆心的坐标为． 设抛物线的方程为，所以，所以， 所以抛物线的方程为. （2）设，，则， 两式相减，得，即， 所以直线的斜率. 因为点是弦的中点，所以，所以， 所以直线的方程为，即.    17．已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， (1)求C的标准方程. (2)设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用待定系数法求解； （2）设，，结合可得线段关于x轴对称，得，求得，得解. 【详解】（1）因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， 所以可设它的标准方程为 因为点M在抛物线上，所以，解得 因此，所求抛物线的标准方程是 （2）设正三角形的顶点A、B在抛物线上，且设点，， 则，，又， ，即， ，又，，， 由此可得，即线段关于x轴对称， 轴垂直于，且，， ，， 18．某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米.    (1)如图，取拱顶为原点，拱桥的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求在该坐标系下拱桥的抛物线方程； (2)当水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船不能通行？ 【答案】(1)； (2)当水面上涨到与抛物线拱顶相距2米及以下时，木船不能通行. 【分析】（1）设所求抛物线方程为（），根据其所过的点代入求参数，即可得； （2）将点代入抛物线求求参数，结合已知分析木船通过的临界值，即可得结论. 【详解】（1）设所求抛物线方程为（）， 由已知，该抛物线过点，则，解得， 所以，所求抛物线方程为； （2）因为当木船与抛物线拱接触时，木船开始不能通行， 因为木船宽4米，设，如下图，    则，解得，因此米， 所以，当水面上涨到与抛物线拱顶相距2米及以下时，木船不能通行. 38 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 抛物线 教学目标 1.经历从具体情景中抽象出抛物线的过程 2.掌握抛物线的定义 3.掌握抛物线的标准方程和推导过程，会求简单的抛物线的标准方程 教学重难点 1.重点 (1)求抛物线的标准方程； (2)抛物线的标准方程的应用． 2.难点 (1)推导抛物线的标准方程； (2)与抛物线有关的最值问题． 知识点01 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 【即学即练】 1．已知直线，点，点，动点到点的距离比到直线的距离小2，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 2．与直线相切，且与圆外切的圆的圆心轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 3．已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 4．在平面内，到定点的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是 ． 知识点02 抛物线的标准方程及几何性质 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 【即学即练】 1．点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.在如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为的中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高为，，则该抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 3．已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为 ． 4．已知曲线：，：，给出下列四个结论： ①曲线与且只1个公共点； ②曲线与中，有且只有一个是轴对称图形； ③曲线与中，有且只有一个关于原点成中心对称图形； ④设P为上一点（异于坐标原点O），过点P作直线，则l与有且只有1个公共点． 其中所有正确结论的序号是 ． 知识点03 抛物线的焦半径公式 1．焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2．用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线， （2）抛物线，． （3）抛物线， （4）抛物线，． 注：①在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． ②利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷． 【即学即练】 1．已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点为为上一点，且的横坐标为2，则（    ） A． B．3 C． D． 3．已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，，为上两点，．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为，点在上，若，则 . 5．已知抛物线的焦点为，点在上，若，则 . 题型01 抛物线的定义及应用 【典例1】已知动点满足，则动点轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【变式1】方程所表示的曲线为（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式2】若动点M到定点的距离与它到直线的距离相等，则动点的轨迹是什么?某学生认为：“平面内到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.”由此判断动点的轨迹是抛物线.请问该学生的判断是否正确? （填“正确”或“错误”），点的轨迹方程是： . 【变式3】已知动点 (其中)到x轴的距离比它到点F(0,1)的距离少1，则动点P的轨迹方程为 . 【变式4】下列条件中，一定能得到抛物线的标准方程为的是 （填序号）（写出一个正确答案即可）． ①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为3；④焦点到准线的距离为4；⑤由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为． 题型02 求抛物线的标准方程 【典例1】抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】一个动圆与定圆：相内切，且与定直线相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【变式2】过点且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，已知直线经过抛物线的焦点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为 . 【变式3】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上.若点和关于经过坐标原点的直线的对称点都在抛物线上，则抛物线的方程为 . 【变式4】已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，若C恰过，，三点中的两点，则C的方程为 . 题型03 抛物线的焦点与准线 【典例1】已知点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】若抛物线与抛物线关于直线对称，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知点到抛物线的准线的距离为，则 . 【变式3】如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成.已知灯口圆的直径为，灯的深度为40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距 .    【变式4】已知抛物线：的焦点到准线的距离为4，则上的纵坐标为的点到焦点的距离为 ． 题型04 抛物线的几何性质 【典例1】已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 【变式1】下列曲线中，不可能存在内接正方形的是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式2】设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 【变式3】设抛物线，若任意以为圆心的圆与抛物线至多有3个公共点，则的值范围为 ． 【变式4】抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是 ． 题型05 抛物线的焦半径公式 【典例1】抛物线的焦点为，抛物线上一点在其对称轴的上方，若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一点，，过点作轴的垂线，垂足为，则（    ） A．6 B．8 C． D． 【变式2】若是抛物线上一点，为抛物线的焦点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】设点在抛物线C：上，F为C的焦点，则 ． 【变式4】在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则 ． 题型06 抛物线上的点到定点的距离问题 【典例1】已知抛物线的焦点为为上的动点，为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】已知是抛物线上一点，圆关于直线对称的圆为，是圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知点及抛物线上一动点，则的最小值是 ． 【变式3】已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则两点间的最短距离为 ． 【变式4】已知抛物线的焦点为，为上的动点，点，则取最小值时，直线的斜率为 . 题型07 抛物线在实际问题中的应用 【典例1】如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（    ）    A．1350米 B．758米 C．725米 D．558米 【变式1】某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（   ） A． B． C． D． 【变式3】吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式4】如图1，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，若，则到该抛物线顶点的距离为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 1．在平面直角坐标系中，已知两点，点在直线上，若为抛物线上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 3．已知抛物线的焦点为，准线为，为上一动点，且在轴上方，为上一动点，且轴，若，则点的纵坐标为（    ） A． B．2 C．3 D． 4．已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．6 D．4 5．已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（   ）    A．4 B．3 C． D． 7．已知抛物线的焦点为，准线为，点A，B在上，直线AF与抛物线交于M，N，到准线的距离为3，M，O，B三点共线，若，则（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．9或18 8．已知直线和直线抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 . 9．已知为抛物线上的动点，，为两个定点，若周长的最小值为18，则的值为 . 10．已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 11．在抛物线上点的纵坐标比横坐标大，且点到焦点的距离为，则 ． 12．已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在C上，且，则C的方程为 13．设抛物线，一光线从点射出，平行的对称轴，射在上的点，经过反射后，又射到上的点，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． 14．抛物线绕其顶点逆时针旋转之后，得到抛物线，其准线方程为，则拋物线的焦点坐标为 ． 15．过定点的直线与圆交于，两点，，点为抛物线上一动点． (1)求直线的方程； (2)设为圆上一点，求的最小值． 16．已知圆的圆心是抛物线的焦点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于，两点，且点是弦的中点，求直线的方程. 17．已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， (1)求C的标准方程. (2)设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长. 18．某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米.    (1)如图，取拱顶为原点，拱桥的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求在该坐标系下拱桥的抛物线方程； (2)当水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船不能通行？ 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $