第07讲 双曲线（知识清单+7题型讲解举三反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（沪教版选择性必修一）数学高二重难点讲义与测试

第07讲 双曲线 知识清单 知识点01：双曲线的定义 知识点02：双曲线的标准方程 知识点03：双曲线的性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：根据方程表示双曲线求参数的范围 题型2：利用双曲线定义求方程 题型3：利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 题型4：求双曲线的焦点坐标、焦距 题型5：双曲线的渐近线方程 题型6：求解双曲线的实轴、虚轴长 题型7：双曲线的离心率问题 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01：双曲线的定义 一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意点： (1)常数要小于两个定点的距离． (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支． (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点02：双曲线的标准方程 1.双曲线的两种标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1_(a>0，b>0) －＝1_(a>0，b>0) 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝c2－a2 注意点： (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上． (2)a与b没有大小关系． (3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2. 2．双曲线与椭圆的比较 曲线 椭圆 双曲线 定义 |PF1|＋|PF2|＝2a (|F1F2|＝2c,2a＞2c) ||PF1|－|PF2||＝2a (|F1F2|＝2c,2a＜2c) 标准方程 ＋＝1或＋＝1(a＞b＞0) －＝1或－＝1(a＞0，b＞0) 图形特征 封闭的连续曲线 分两支，不封闭，不连续 根据标准方程确定a，b的方法 以大小分a，b(如＋＝1中，9＞4，则,a2＝9，b2＝4) 以正负分a，b (如－＝1中，a2＝9，b2＝4) a，b，c的 关系 a2＝b2＋c2(a最大) a2＋b2＝c2(c最大) 3．求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． (2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 4．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 知识点03：双曲线的几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 题型1：根据方程表示双曲线求参数的范围 【例1-1】（24-25高二下·上海黄浦·月考）方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由双曲线方程的特征即可求解. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得. 故答案为：. 【变式1-1】（24-25高二上·上海·月考）曲线是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据焦点在轴上的双曲线的标准方程的特征得到不等式组，即可得解. 【详解】方程，表示焦点在轴上的双曲线， ， ． 故答案为： 【变式1-2】若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将双曲线方程化为焦点在轴上的标准方程，利用且求解. 【详解】将双曲线方程化为焦点在轴上的标准方程为 则，解得：. 故答案为： 【变式1-3】（24-25高二上·上海宝山·月考）已知方程表示双曲线，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据双曲线标准方程的特征即可列不等式求解. 【详解】方程表示双曲线，则需满足，解得， 故答案为： 题型2：利用双曲线定义求方程 【例2-1】已知圆的圆心为C，过点且与x轴不重合的直线l交圆C于A、B两点，点A在点M与点B之间，过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹是（    ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】C 【分析】根据题意找出几何关系，得到，所以，即可得到，可求点的轨迹. 【详解】由已知条件可知 , 所以三角形是等腰三角形， , 因为 所以 则三角形是等腰三角形， 所以 所以点的轨迹是双曲线的左支． 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查数形结合解集动点轨迹问题，本题的关键是根据图形，确定. 【例2-2】（24-25高二上·上海杨浦·期中）在中，，，，则顶点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】由正弦定理化角为边后确定点的轨迹，由双曲线的标准方程求解． 【详解】∵，，∴， ∵，∴由正弦定理得，即，， 所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支(除去顶点)． 该双曲线的半焦距为，实半轴长为，虚半轴长为， 所以轨迹方程为． 故答案为：． 【例2-3】在周长为48的直角三角形中，，求以为焦点，且过点的双曲线方程. 【答案】 【分析】首先应建立适当的坐标系，由于为焦点，建立平面直角坐标系，由双曲线定义可知，可求得双曲线方程为标准方程. 【详解】的周长为48，且.设，则..解方程，得. . 以所在直线为轴，以的中点为原点建立平面直角坐标系， 设所求双曲线方程为，由，得. 由，则.. 因此，所求双曲线方程为. 【点睛】本题考查建立合适的坐标系，求双曲线的标准方程，解题时，注意合理选取坐标系，这样能使所求的曲线方程更简洁.而确立坐标系建立与否的标准是：看题目是否给出了与坐标系有关的内容，如点的坐标方程等.属于基础题. 【变式2-1】动圆与圆和都外切，则动圆圆心轨迹为（    ）. A．圆 B．双曲线 C．椭圆 D．以上结论都不对 【答案】D 【解析】计算得到圆心为，，根据外切得到，得到轨迹为双曲线的左支，得到答案. 【详解】，即，圆心为，，设圆半径为， 则，，故， 故轨迹为双曲线的左支. 故选：D. 【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，错选B时容易发生的错误. 【变式2-2】两定点，，动点满足，则动点M的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据条件结合双曲线的定义确定的轨迹是双曲线的一支，求出，即可得到结论． 【详解】解：满足， 的轨迹是以，为焦点的双曲线的一支， ，，即位于双曲线的右支， 则，，则，， 即动点的轨迹方程是， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25高二上·上海·课后作业）如图，圆E：(x＋2)2＋y2＝4，点F(2,0)，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，求动圆P的圆心P的轨迹方程． 【答案】x2－＝1(x≤－1) 【分析】根据题意，设圆P的半径为R，分别表示出|PF|与|PE|的长，通过分析两条线段的代数关系，再结合圆锥曲线的基本定义，进而求得圆心P的轨迹方程 【详解】由已知，圆E半径为r＝2，设圆P的半径为R， 则|PF|＝|PM|＝R，|ME|＝r＝2，|PE|＝|PM|－|ME|＝R－2， 所以|PF|－|PE|＝2. 由双曲线的定义知，P的轨迹为双曲线的左支， 因为a＝1，c＝2，所以b＝， 所以，所求轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)． 【点睛】本题考查圆锥曲线轨迹方程的求法，以圆为载体，内切为切入点，结合大圆与小圆的半径关系，同时结合了圆锥曲线第一定义，从几何的角度求出了轨迹方程，相比于纯代数运算降低了解题难度 题型3：利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【例3-1】已知P为双曲线上一点，为两焦点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的定义以及余弦定理求出，再利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】由可得，，， 所以，， 不妨设点为双曲线左支上一点，由双曲线的定义可得：， 在中，由余弦定理可得： ， 可得，解得：， 所以的面积为， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是:利用双曲线的定义、余弦定理求出的值. 还可以利用焦点三角形的面积公式求解. 【例3-2】（24-25高二·上海·随堂练习）已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 【答案】 4 【分析】根据双曲线的计算的，设点，结合，计算得到点P到x轴的距离；由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得，利用双曲线的定义得，计算的值． 【详解】由已知得双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 则右焦点的横坐标为，设点， 则，所以，点P到x轴的距离为4， 由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得， 由双曲线的定义，得， 所以． 故答案为： 【例3-3】已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左､右焦点，为的内心，若成立，则的值为 . 【答案】/0.8 【分析】由条件结合内心的定义及三角形面积公式可得，再根据双曲线的定义化简可求. 【详解】设的内切圆半径为， 由双曲线的定义得 由题意得， 故， 又双曲线的， 代入上式得：， 故答案为：. 【变式3-1】设为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，若，直线交轴于点，则的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得a的值，设△APF1的内切圆半径为r，由直角三角形的性质分析可得|PF1|+|PA|﹣|AF1|＝2r，由双曲线的几何性质分析|AF2|﹣|AF1|＝2r﹣2a，由图形的对称性知2r﹣2a＝0，即可得答案． 【详解】根据题意，双曲线， 设△APF1的内切圆半径为r， ∵ ∴PF1⊥PF2， 设内切圆的半径设为r，可得|PF1|+|PA|﹣|AF1|＝2r， ∴|PF2|+2a+|PA|﹣|AF1|＝2r， ∴|AF2|﹣|AF1|＝2r﹣2a， ∵由图形的对称性知：|AF2|＝|AF1|， 即2r﹣2a＝0，解可得r＝a， 故选A． 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，双曲线的定义，注意直角三角形的内切圆半径公式． 【变式3-2】（24-25高二上·上海浦东新·期中）双曲线的焦距是实轴长的倍，点是该双曲线的两焦点，P在双曲线C上，且轴，则的内切圆半径r和外接圆半径R之比 ． 【答案】 【分析】由题意易得，，根据焦点弦性质以及双曲线定义可得，，分别求出和即可得结果. 【详解】由得，则， 设，，，， 因为轴，所以，所以， 所以的内切圆半径， 的外接圆半径， 所以的内切圆半径r和外接圆半径R之比， 故答案为：. 【变式3-3】从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是 . 【答案】/ 【分析】设出双曲线右焦点，连接，利用双曲线的定义和中位线进行解题. 【详解】 不妨将点置于第一象限. 设是双曲线的右焦点，连接. 分别为的中点，故. 又由双曲线定义得， 故. 故答案为： 题型4：求双曲线的焦点坐标、焦距 【例4-1】（24-25高二下·上海·期中）双曲线的焦点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据方程求出值，判断焦点所在坐标轴，即可求解. 【详解】根据双曲线方程可得：，则，因为焦点在轴上，所以双曲线的焦点坐标是， 故答案为： 【变式4-1】双曲线的焦距为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的标准方程，求出基本量，再求得结果. 【详解】由双曲线得，则， 所以双曲线的焦距为， 故答案为：. 【变式4-2】如果双曲线方程焦点在x轴上，且焦距为，则m的值为 . 【答案】/ 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，再利用焦距得到关于的方程，解方程即可. 【详解】由焦点在x轴上知，化成标准方程为，又焦距为，可得，解得. 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高二下·上海·月考）双曲线的右焦点坐标为 . 【答案】 【分析】利用双曲线的标准方程,直接求出双曲线的右焦点即可. 【详解】由双曲线的标准方程为，可得 ， 由可得， 所以双曲线的右焦点坐标. 故答案为：. 题型5：双曲线的渐近线方程 【例5-1】（24-25高二下·上海·期末）双曲线的渐近线方程是 . 【答案】 【分析】由双曲线的标准方程直接求解渐近线. 【详解】因为双曲线所以渐近线方程为， 故答案为：. 【例5-2】（25-26高二上·上海·期中）已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】设双曲线的方程为，由条件得到方程组，求出，得到答案. 【详解】设双曲线的方程为，将代入方程得， 又一条渐近线方程为，而渐近线方程为，即， 联立可得，故双曲线标准方程为. 故答案为： 【例5-3】双曲线中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，又的实轴长为，且一条渐近线为，求双曲线的标准方程． 【答案】或 【分析】按照焦点为分两种情况讨论，利用渐近线的斜率和实轴长可得答案. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，，又，所以， 所以双曲线方程为：； 当双回曲线的焦点在轴上时，，又。所以， 所以双曲线方程为：. 故所求双曲线方程为：或 【点睛】本题考查了根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，按照焦点为分两种情况讨论是解题关键，属于基础题. 【变式5-1】（24-25高二下·上海·期中）双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线方程直接代入渐近线方程计算可得结果. 【详解】由双曲线可得其标准方程为； 所以渐近线方程为； 故答案为： 【变式5-2】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点.若（为坐标原点），且点到直线的距离为，则该双曲线的两条渐近线的夹角为 . 【答案】 【分析】由题意得，进一步得所求为，结合诱导公式、二倍角公式即可求解. 【详解】令双曲线的半焦距为，取的中点，连接，由， 得，，连接，由为的中点，得， 则，，， 因此，即，整理得， 所以，即，所以， 设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则， 所以， 故双曲线的两条渐近线的夹角的正切为. 故答案为：. 【变式5-3】已知双曲线经过点，其渐近线方程为，求此双曲线的方程. 【答案】 【分析】根据题意，设双曲线的方程为，将点的坐标代入方程，计算可得t的值，将方程变形即可得答案． 【详解】根据题意，所求双曲线的渐近线为，设其方程为， 又由双曲线经过点， 则，则， 则双曲线的方程为，即． 故双曲线的方程为． 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，双曲线的标准方程，属于中档题． 题型6：求解双曲线的实轴、虚轴长 【例6-1】（24-25高二上·上海·期中）双曲线的实轴长为 . 【答案】 【分析】根据双曲线方程直接求出实轴长. 【详解】双曲线的实轴长为. 故答案为： 【变式6-1】（24-25高二上·上海·随堂练习）双曲线的焦点坐标为 ；顶点坐标为 ；实轴长为 ；虚轴长为 ；渐近线方程为 ；离心率为 ． 【答案】 2 6 【分析】根据双曲线的方程，求得的值，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由题意，双曲线，可得，，则， 所以双曲线的焦点坐标为，顶点坐标为， 实轴长为2，虚轴长为6，渐近线方程为，离心率为， 故答案为：，，2，6，，. 【变式6-2】（24-25高二上·上海·期末）等轴（实轴长等于虚轴长）双曲线C与椭圆有公共的焦点，则双曲线C的方程为 . 【答案】 【分析】先由椭圆方程求出半焦距，判断出焦点位置，再设出双曲线方程，利用题设列出方程求解即得. 【详解】由可得其半焦距，且椭圆焦点在轴上，故可设与之有公共焦点的等轴双曲线C的方程为， 依题意，，解得，故双曲线C的方程为. 故答案为：. 【变式6-3】双曲线的虚轴长为 . 【答案】 【分析】根据题意，由双曲线的标准方程即可得到，即可得到结果. 【详解】因为双曲线，则，即， 即双曲线的虚轴长为. 故答案为:. 题型7：双曲线的离心率问题 【例7-1】已知，则双曲线与的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】D 【分析】由双曲线方程求得对应的，进而判断选项是否正确. 【详解】因为双曲线与， 所以， 因为，所以， 所以，所以选项A，B错误； 因为， 所以，所以选项C错误； 因为，所以选项D正确. 故选：D. 【例7-2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为 ． 【答案】或 【分析】根据题意分焦点在轴和轴，再利用渐近线与直线平行可求离心率. 【详解】当双曲线焦点在轴时，曲线方程可设， 此时双曲线的一条渐近线为，与直线平行， 所以，又， 所以离心率； 当双曲线焦点在轴时，曲线方程可设， 此时双曲线的一条渐近线为，与直线平行， 所以，又， 所以离心率； 故答案为：或. 【例7-3】已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的方程． 【答案】 【分析】根据题意利用焦距和离心率直接计算出，，即可得出双曲线方程. 【详解】根据题意知，，解得，， 从而． 因为双曲线的中心在原点，焦点在y轴上， 所以所求双曲线方程为． 【变式7-1】从某个角度观察篮球（如图1)可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长等分，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线的标准方程为，求出圆与双曲线在第一象限内的交点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，可得出的值，再利用双曲线的离心率公式可求得该双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的标准方程为， 设圆与双曲线在第一象限内的交点为，连接、， 则， 因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长等分，则， 故点， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，所以， 所以该双曲线的离心率为. 故选：B. 【变式7-2】（24-25高二下·上海·期末）已知双曲线：，则的离心率为 . 【答案】 【分析】根据离心率公式直接求解即可. 【详解】已知双曲线：，则的离心率为. 故答案为：. 【变式7-3】（25-26高二上·上海·月考）已知双曲线的焦距为是的两个焦点. (1)若双曲线的离心率为，求的方程； (2)若双曲线的实轴长为，是上一点， 使得，求三角形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由焦距及离心率定义计算即可得； （2）由双曲线定义结合勾股定理计算可得，再利用三角形面积公式计算即可得. 【详解】（1）由双曲线的焦距为，则，故， 由双曲线的离心率为，则，故， 则，故的方程为； （2）由双曲线的实轴长为，则，故， 由双曲线的焦距为，则， 由双曲线定义可知，又， 则， 即，则， 则三角形的面积. 一、填空题 1．（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的方程写出渐近线方程，对照条件可求答案． 【详解】因为双曲线为，所以它的渐近线方程为， 因为有一条渐近线方程为，所以． 故答案为：. 2．（24-25高二下·上海闵行·期末）双曲线Γ：的左、右焦点分别为、，点P在Γ上，且，，则Γ的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据已知条件以及双曲线的定义列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】由于，， 所以，设， 则， 所以. 故答案为： 3．（24-25高二下·上海徐汇·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义与方程运算求解. 【详解】由双曲线的标准方程可得， 由满足方程，知点在双曲线的右支上， . 故答案为：4. 4．双曲线的一个焦点的坐标是，一条渐近线的方程是，则双曲线的标准方程是 ． 【答案】 【分析】根据双曲线焦点坐标判断焦点位置，设出双曲线方程，由题设条件列出方程组，解之即得. 【详解】因双曲线的一个焦点的坐标是，则双曲线的焦点在轴上， 故设双曲线的标准方程为：，且，① 又由一条渐近线的方程是可得：②， 联立①②解得：，故双曲线的标准方程是. 故答案为：. 5．已知双曲线一条渐近线方程为，且过点则双曲线的标准方程是 . 【答案】 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，依题意可得，解得、，即可得解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 依题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 6．离心率的双曲线与椭圆有公共焦点，则该双曲线实轴长为 ． 【答案】8 【分析】求出椭圆的焦距，再利用给定条件结合双曲线离心率求出双曲线实轴长. 【详解】椭圆的半焦距， 依题意，双曲线的半焦距为，而双曲线的离心率，则双曲线实半轴长， 所以该双曲线的实轴长为. 故答案为：8 7．（24-25高二下·上海杨浦·期末）双曲线的两条渐近线的夹角是，则该双曲线的焦距长是 . 【答案】或4 【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合夹角大小求出，进而求出焦距. 【详解】双曲线的其中一条渐近线方程是， 由两条渐近线的夹角是，得直线的倾斜角是或， 则，或，， 所以该双曲线的焦距长是或4. 故答案为：或4 8．（24-25高二下·上海嘉定·期末）在相距2000m的两个观察站A、B先后听到远处传来的爆炸声，已知A站听到的时间比B站早4s，声速是340m/s，根据以上信息，爆炸点位于以A、B为焦点的双曲线上，该双曲线的离心率是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意结合双曲线的定义与方程求解离心率即可. 【详解】如图，以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则， 设爆炸点为， 由题意可得：， 所以爆炸点在以为焦点的双曲线上（左半支）， 设双曲线的焦距为，实轴长为，虚轴长为， 可得，所以双曲线的离心率是. 故答案为：. 9．（24-25高二下·上海黄浦·期末）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，且C的实轴长为4，则C的方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合双曲线渐近线方程求出即可. 【详解】由双曲线C：的实轴长为4，得， 双曲线C：的渐近线方程为，而双曲线C的一条渐近线方程为， 则，解得，所以C的方程为. 故答案为： 10．（25-26高二上·上海·期中）已知点为双曲线上位于第二象限内的动点，是该双曲线的右顶点，，则面积的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，找到临界值，即可求解. 【详解】由条件可知，，，即， 双曲线的过第二象限的渐近线的斜率，渐近线方程为，即， 此时渐近线与直线的距离， ，渐近线上的点与点、构成的三角形的面积为， 左顶点到直线的距离， 左顶点与点构成的三角形的面积为， 点是第二象限的点，所以面积的取值范围为. 故答案为： 11．（24-25高二下·上海奉贤·期末）点、是双曲线：的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.若、、组成一个直角三角形，且其中两条直角边的长度分别为3和4，则满足条件的双曲线的离心率有 种情况. 【答案】5 【分析】由双曲线的定义得：，所以，根据直角三角形的六种情况可求，进而利用定义可求，再利用勾股定理或余弦定理可求，即可得到离心率. 【详解】 因为两条直角边的长度分别为3和4，所以斜边为5， 由双曲线的定义得：， 所以，解得， ①时，，若 又，， ， 所以此时离心率； 若 又，， ， 所以此时离心率； ②时，，若， ，， ， 所以此时离心率； 若， ，， ， 所以此时离心率； ③，若，， ，， 所以此时离心率； 若，， ，， 所以此时离心率； 综上，满足条件的双曲线的离心率有5种情况. 故答案为：5. 12．（24-25高二下·上海浦东新·期末）如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 .    【答案】/ 【分析】由题意，根据双曲线的定义，结合矩形的性质，可得椭圆长轴长，由离心率的计算公式，可得答案. 【详解】设，，因为在双曲线上，所以， 又四边形为矩形，所以， 所以，， 设椭圆方程为，则，，又因与双曲线有相同焦点，则， 所以离心率为． 故答案为：． 二、单选题 13．已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】C 【分析】先求出表示双曲线的充要条件，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】当表示双曲线时，则， 而当时，表示的是双曲线， 所以是为双曲线方程的充要条件. 故选：C. 14．在下列双曲线中，与共渐近线的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用渐近线方程为计算的渐近线方程，后与各选项对应渐近线比较即可得答案. 【详解】的渐近线方程为：. A选项，渐近线为，故A错误； B选项，渐近线为，故B正确； C选项，渐近线为，故C错误； D选项，渐近线为，故D错误. 故选：B 15．（24-25高二下·上海虹口·期末）双曲线的两条渐近线的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小. 【详解】双曲线的两条渐近线的方程为， 由直线的斜率为，可得倾斜角为， 的斜率为，可得倾斜角为， 所以两条渐近线的夹角的大小为， 故选：B. 16．设双曲线的左右焦点分别为，，双曲线上的点满足，且，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程求出，再根据双曲线的定义及，求出、，再分别在、中利用余弦定理，即可得到，从而求出，即可得解. 【详解】解：双曲线，则，因为且， 所以，，设，则， 在中，即①， 在中，即②， 所以①②得，则， 又，解得，所以. 故选：A 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：的上、下焦点分别为、，P为双曲线C上一点，且满足，求的面积． 【答案】 【分析】记，，，根据双曲线的定义，结合余弦定理可得，再利用三角形面积公式可推得，即可求得结论． 【详解】解：记，，，． ∵， ∴． 在中，由余弦定理得， 配方得：， 即， ∴， 由三角形的面积公式得， ∴， 而，， ∴， 故答案为：． 18．（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求双曲线的方程； (2)过点且倾斜角为的直线交于两点，求线段的长． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据双曲线上的已知点，结合的数量关系，可得答案； （2）求出直线方程，联立方程，写出韦达定理，根据弦长公式，可得答案. 【详解】（1）因为点在上，所以， 又为的右焦点，轴，则，故， 所以，因此的方程为． （2）由题意，直线的方程为， 联立，整理得， 设，此时， 由韦达定理得， 所以． 19．（25-26高二上·上海松江·期中）已知双曲线的离心率为为上一点． (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知条件建立关于的方程组解出即可； （2）根据条件写出直线的方程，联立直线与双曲线方程，求出的坐标，再利用两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）由题得:，解得， 所以双曲线的方程为：. （2）设， 如图所示： 由题得直线的方程为， 联立得：，整理得：， 所以， 所以 所以. 20．（24-25高二下·上海·月考）已知点 到点 和 的距离之差的绝对值等于 为坐标原点， (1)求点 的轨迹及轨迹方程； (2)若过点 的直线 与点 的轨迹交于 两点， 的面积为 ，求直线 的方程. 【答案】(1)双曲线， (2) 【分析】（1）根据距离公式列出等式，化简后可得到轨迹方程. （2）先设出直线的方程,分斜率存在与不存在讨论，斜率不存在时不符合条件舍去，直线斜率存在时，与双曲线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出和，再根据弦长公式求出，根据点到直线距离公式求出原点到直线的距离，由三角形面积公式求出直线斜率，从而得到直线方程. 【详解】（1）设点 到 和 的距离分别为 和 ,根据题意： 两点 、 的距离为4,而 ,符合双曲线的定义,因此轨迹为双曲线， ,得 ； ,得 ； ， 双曲线的标准方程为:， （2）当斜率不存在时，直线与曲线没有交点，不满足题意. 当斜率存在时，设直线的方程为， 联立，得. 展开整理得， ， 设，，由韦达定理（），. 根据弦长公式 先求 . 所以.   原点到直线的距离. 已知. 即. 化简得. 两边平方整理得，即. 得，因为，所以，. 也满足. 所以直线的方程为. 21．已知双曲线的右顶点为是双曲线上两点，过作斜率为的直线，与双曲线只有点这一个交点. (1)求双曲线的方程； (2)若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积； (3)已知点和双曲线上两动点，满足，过点作于点，证明：点在一个定圆上，并求定圆的方程. 【答案】(1) (2)144 (3)证明见解析， 【分析】（1）根据顶点坐标和斜率可得方程； （2）利用弦长公式得出，结合垂直关系可得，利用可求斜率，进而可得三角形的面积； （3）设出的方程，结合垂直关系，得出过定点，进而可证结论. 【详解】（1）因为右顶点为，所以， 又因为过斜率为的直线与双曲线只有点这一个交点， 所以，即，所以方程为. （2）由题意可知直线的斜率存在且不为零，设，则， 联立，， ，， 设，则， ， 利用代换可得， 由题意，， 整理得，， ，因为，所以，即， 此时，所以的面积为. （3）若直线的斜率为0，设，则，解得， 不妨设，则; 因为，所以，解得或（舍）. 若直线的斜率不为0，设，; ，， ，， ， ， ， ， 因为，所以，即， ， 整理得，即， 即或， 当时，过点，舍去； 当时，，此时过定点； 综上可知直线恒过定点. 因为，所以点一定在以为直径的圆上， 定圆的圆心为，半径为，所以方程为. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两点：一是等腰直角三角形条件的转化，利用垂直和相等得出弦长；二是第三问中在定圆上的问题转化为直线恒过定点的问题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 双曲线 知识清单 知识点01：双曲线的定义 知识点02：双曲线的标准方程 知识点03：双曲线的几何性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：根据方程表示双曲线求参数的范围 题型2：利用双曲线定义求方程 题型3：利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 题型4：求双曲线的焦点坐标、焦距 题型5：双曲线的渐近线方程 题型6：求解双曲线的实轴、虚轴长 题型7：双曲线的离心率问题 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01：双曲线的定义 一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意点： (1)常数要小于两个定点的距离． (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支． (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点02：双曲线的标准方程 1.双曲线的两种标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1_(a>0，b>0) －＝1_(a>0，b>0) 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝c2－a2 注意点： (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上． (2)a与b没有大小关系． (3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2. 2．双曲线与椭圆的比较 曲线 椭圆 双曲线 定义 |PF1|＋|PF2|＝2a (|F1F2|＝2c,2a＞2c) ||PF1|－|PF2||＝2a (|F1F2|＝2c,2a＜2c) 标准方程 ＋＝1或＋＝1(a＞b＞0) －＝1或－＝1(a＞0，b＞0) 图形特征 封闭的连续曲线 分两支，不封闭，不连续 根据标准方程确定a，b的方法 以大小分a，b(如＋＝1中，9＞4，则,a2＝9，b2＝4) 以正负分a，b (如－＝1中，a2＝9，b2＝4) a，b，c的 关系 a2＝b2＋c2(a最大) a2＋b2＝c2(c最大) 3．求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． (2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 4．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 知识点03：双曲线的几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 题型1：根据方程表示双曲线求参数的范围 【例1-1】（24-25高二下·上海黄浦·月考）方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 ． 【变式1-1】（24-25高二上·上海·月考）曲线是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为 . 【变式1-2】若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 【变式1-3】（24-25高二上·上海宝山·月考）已知方程表示双曲线，则m的取值范围是 . 题型2：利用双曲线定义求方程 【例2-1】已知圆的圆心为C，过点且与x轴不重合的直线l交圆C于A、B两点，点A在点M与点B之间，过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹是（    ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【例2-2】（24-25高二上·上海杨浦·期中）在中，，，，则顶点的轨迹方程是 . 【例2-3】在周长为48的直角三角形中，，求以为焦点，且过点的双曲线方程. 【变式2-1】动圆与圆和都外切，则动圆圆心轨迹为（    ）. A．圆 B．双曲线 C．椭圆 D．以上结论都不对 【变式2-2】两定点，，动点满足，则动点M的轨迹方程为 . 【变式2-3】（24-25高二上·上海·课后作业）如图，圆E：(x＋2)2＋y2＝4，点F(2,0)，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，求动圆P的圆心P的轨迹方程． 题型3：利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【例3-1】已知P为双曲线上一点，为两焦点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高二·上海·随堂练习）已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 【例3-3】已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左､右焦点，为的内心，若成立，则的值为 . 【变式3-1】设为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，若，直线交轴于点，则的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·上海浦东新·期中）双曲线的焦距是实轴长的倍，点是该双曲线的两焦点，P在双曲线C上，且轴，则的内切圆半径r和外接圆半径R之比 ． 【变式3-3】从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是 . 题型4：求双曲线的焦点坐标、焦距 【例4-1】（24-25高二下·上海·期中）双曲线的焦点坐标是 ． 【变式4-1】双曲线的焦距为 . 【变式4-2】如果双曲线方程焦点在x轴上，且焦距为，则m的值为 . 【变式4-3】（24-25高二下·上海·月考）双曲线的右焦点坐标为 . 题型5：双曲线的渐近线方程 【例5-1】（24-25高二下·上海·期末）双曲线的渐近线方程是 . 【例5-2】（25-26高二上·上海·期中）已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ． 【例5-3】双曲线中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，又的实轴长为，且一条渐近线为，求双曲线的标准方程． 【变式5-1】（24-25高二下·上海·期中）双曲线的渐近线方程为 . 【变式5-2】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点.若（为坐标原点），且点到直线的距离为，则该双曲线的两条渐近线的夹角为 . 【变式5-3】已知双曲线经过点，其渐近线方程为，求此双曲线的方程. 题型6：求解双曲线的实轴、虚轴长 【例6-1】（24-25高二上·上海·期中）双曲线的实轴长为 . 【变式6-1】（24-25高二上·上海·随堂练习）双曲线的焦点坐标为 ；顶点坐标为 ；实轴长为 ；虚轴长为 ；渐近线方程为 ；离心率为 ． 【变式6-2】（24-25高二上·上海·期末）等轴（实轴长等于虚轴长）双曲线C与椭圆有公共的焦点，则双曲线C的方程为 . 【变式6-3】双曲线的虚轴长为 . 题型7：双曲线的离心率问题 【例7-1】已知，则双曲线与的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【例7-2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为 ． 【例7-3】已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的方程． 【变式7-1】从某个角度观察篮球（如图1)可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长等分，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二下·上海·期末）已知双曲线：，则的离心率为 . 【变式7-3】（25-26高二上·上海·月考）已知双曲线的焦距为是的两个焦点. (1)若双曲线的离心率为，求的方程； (2)若双曲线的实轴长为，是上一点， 使得，求三角形的面积. 一、填空题 1．（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则 ． 2．（24-25高二下·上海闵行·期末）双曲线Γ：的左、右焦点分别为、，点P在Γ上，且，，则Γ的离心率为 ． 3．（24-25高二下·上海徐汇·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为 ． 4．双曲线的一个焦点的坐标是，一条渐近线的方程是，则双曲线的标准方程是 ． 5．已知双曲线一条渐近线方程为，且过点则双曲线的标准方程是 . 6．离心率的双曲线与椭圆有公共焦点，则该双曲线实轴长为 ． 7．（24-25高二下·上海杨浦·期末）双曲线的两条渐近线的夹角是，则该双曲线的焦距长是 . 8．（24-25高二下·上海嘉定·期末）在相距2000m的两个观察站A、B先后听到远处传来的爆炸声，已知A站听到的时间比B站早4s，声速是340m/s，根据以上信息，爆炸点位于以A、B为焦点的双曲线上，该双曲线的离心率是 ． 9．（24-25高二下·上海黄浦·期末）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，且C的实轴长为4，则C的方程为 ． 10．（25-26高二上·上海·期中）已知点为双曲线上位于第二象限内的动点，是该双曲线的右顶点，，则面积的取值范围为 ． 11．（24-25高二下·上海奉贤·期末）点、是双曲线：的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.若、、组成一个直角三角形，且其中两条直角边的长度分别为3和4，则满足条件的双曲线的离心率有 种情况. 12．（24-25高二下·上海浦东新·期末）如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 .    二、单选题 13．已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 14．在下列双曲线中，与共渐近线的为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二下·上海虹口·期末）双曲线的两条渐近线的夹角等于（    ） A． B． C． D． 16．设双曲线的左右焦点分别为，，双曲线上的点满足，且，则（    ）. A． B． C． D． 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：的上、下焦点分别为、，P为双曲线C上一点，且满足，求的面积． 18．（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求双曲线的方程； (2)过点且倾斜角为的直线交于两点，求线段的长． 19．（25-26高二上·上海松江·期中）已知双曲线的离心率为为上一点． (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 20．（24-25高二下·上海·月考）已知点 到点 和 的距离之差的绝对值等于 为坐标原点， (1)求点 的轨迹及轨迹方程； (2)若过点 的直线 与点 的轨迹交于 两点， 的面积为 ，求直线 的方程. 21．已知双曲线的右顶点为是双曲线上两点，过作斜率为的直线，与双曲线只有点这一个交点. (1)求双曲线的方程； (2)若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积； (3)已知点和双曲线上两动点，满足，过点作于点，证明：点在一个定圆上，并求定圆的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $