专题1.1 直线的倾斜角与斜率（高效培优讲义）高二数学沪教版选择性必修第一册

专题1.1 直线的倾斜角与斜率 教学目标 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.理解直线的方向向量与法向量的概念，会求直线的方向向量与法向量，体会向量方法在研究直线中的作用. 4.会运用斜率公式与倾斜角的关系解决含参数的直线问题以及与线段相交的范围问题. 教学重难点 1.重点 （1）直线的倾斜角与斜率的概念；（2）过两点的直线斜率公式； 2.难点 （1）倾斜角与斜率关系的分类讨论；（2）与线段相交时斜率取值范围的确定； 知识点01 直线的倾斜角 定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 轴相交的直线 ，把 轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线 首次重合时所成的角，称为直线 的倾斜角. 规定：当直线与 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ，因此倾斜角 的取值范围是 （即 ）. 每一条直线都有唯一确定的倾斜角；倾斜角相等的两条直线互相平行或重合. 倾斜角刻画直线的倾斜程度： 时直线水平； 时直线向右上升； 时直线与 轴垂直； 时直线向右下降. 由图形判断倾斜角时，先确定直线与 轴正方向的夹角，再按取值范围 取值，注意不含 . 【即学即练】 1．已知直线经过两点，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线经过点，，则的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 3．直线的倾斜角的大小为____________． 4．直线的倾斜角为______． 知识点02 直线的斜率 定义：一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，记作 （）. 当 时，直线的斜率不存在；反之，斜率不存在的直线垂直于 轴，其倾斜角为 . 当 时 ；当 时 ； 随倾斜角的增大在两个区间内分别增大，但在 处断开. 越大，直线越陡； 时直线向右上升， 时直线向右下降， 时直线水平. 由斜率求倾斜角时，由 结合 唯一确定 ： 时 为锐角或 ； 时 为钝角. 【即学即练】 1．在平面直角坐标系中，过点和点的直线的斜率为（     ） A． B．4 C． D． 2．直线的斜率为________． 3．已知三点在同一条直线上，则实数a的值为______ 4．已知过两点，的直线的倾斜角为45°，则的值为（     ） A．-3 B．-4 C．1 D．2 知识点03 过两点的直线斜率公式 斜率公式：经过两点 、（）的直线的斜率为 . 公式与两点的顺序无关，即 ；使用时分子分母必须是同一方向上的坐标差，不能交叉相减. 当 时直线垂直于 轴，斜率不存在，此时不能用斜率公式，需单独讨论. 三点 共线的充要条件是 （斜率都存在时），这是判断三点共线、求参数的基本方法. 由斜率公式求参数的步骤：先由 或已知斜率列出关于参数的方程（或不等式），再检验 是否成立. 【即学即练】 1．直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 2．已知直线过、两点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 3．若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ） A． B．2 C． D．4 知识点04 直线的方向向量与法向量 方向向量：与直线 平行的非零向量叫做直线 的方向向量，记为 ；当 时 . 直线的方向向量不唯一：若 是方向向量，则 （）也是方向向量. 经过两点 、 的直线的一个方向向量为 ，于是 （）. 法向量：与直线 垂直的非零向量叫做直线的法向量；若方向向量为 ，则法向量可取 或 . 已知方向向量 ： 时直线垂直于 轴，斜率不存在； 时 ，倾斜角 满足 . 【即学即练】 1．经过，两点的直线的方向向量为，则（    ） A． B． C． D． 2．经过，两点的直线的方向向量为（   ） A． B． C． D． 3．经过，两点的直线的方向向量为，则________． 4．过点的直线的方向向量为，则的值为______. 题型01 求直线的倾斜角 【典例1】直线的倾斜角为（______） A． B． C． D． 【变式1】直线的倾斜角为（    ）． A．0° B．75° C．90° D．不存在 【变式2】经过两点，的直线的倾斜角为_________. 【变式3】已知直线过点 (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)求直线的斜率. 【变式4】将直线绕原点旋转得到直线，若直线的斜率为，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C．或 D．或 题型02 求直线的斜率及其范围 【典例1】若直线沿轴向左平移2个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度，所得直线与直线重合，则直线的斜率是__________． 【变式1】如图，已知四边形为正方形，记所在直线的斜率分别为.若，则__________. 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，直线的斜率分别为，若，，则___________． 【变式3】已知点，，且是线段上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知点在线段上，则的范围是（  ） A． B． C． D． 题型03 倾斜角与斜率关系的辨析 【典例1】在平面直角坐标系Oxy中，直线的位置如图所示，记的斜率和倾斜角分别为和，其中，2，3，4，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型04 直线与线段相交的斜率范围 【典例1】已知点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】设点，，过点且斜率存在的直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知直线过点且和以，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 【变式4】已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是______． 题型05 倾斜角的分类讨论 【典例1】若经过，两点的直线的倾斜角为钝角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】已知直线 过点 和点 ，分别求出满足下列条件的 的取值或取值范围. (1)直线 的倾斜角为直角; (2)直线 的倾斜角为锐角; (3)直线 的倾斜角为钝角. 【变式2】已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 【变式3】已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【变式4】已知点，． (1)求直线的倾斜角； (2)过点的直线与过，两点的线段有公共点，求直线斜率和倾斜角的取值范围． 1．过点的直线与线段AB相交，，，则直线斜率取值范围（     ） A． B． C． D． 2．已知点，，若过的直线与线段相交，则直线的斜率取值可能是（     ） A． B．1 C．2 D．3 3．下列说法正确的是（     ） A．直线倾斜角范围为 B．倾斜角为的直线斜率不存在 C．若直线斜率，倾斜角为锐角 D．过两点，的直线斜率一定等于 4．下列四个命题中，错误的有（    ） A．若直线的倾斜角为，则 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 5．下列叙述中正确的有（    ） A．若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 B．若直线斜率，则它的倾斜角为 C．已知点，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 6．下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 7．直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（______） A．8 B．6 C．2 D． 8．直线与的夹角的大小为_______． 9．已知直线经过点，且不经过第四象限，则直线的斜率的取值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．3 10．下列结论正确的是（    ） A．若三点共线，则m的值为0 B．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则的斜率k的取值范围为 C．已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则可以是点B的坐标 D．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则 11．已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则下列选项中，可以是点B的坐标的是（    ）. A． B． C． D． 12．若直线的一个法向量为，则的倾斜角为_______． 13．已知经过、两点的直线的方向向量为． (1)求的值； (2)点为轴正半轴上一点，若直线的倾斜角和直线的倾斜角互补，求点的坐标． 14．已知平面直角坐标系内两点，. (1)当直线的倾斜角为锐角时，求m的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求m的值. 15．已知直线经过点和，求直线的一个方向向量和法向量，并求直线的斜率和倾斜角． 16．在台球运动中，无旋转反弹球技法是一种比较简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边，然后按照光线反射的方向弹出．如图，现有一目标球从点无旋转射出，经过直线（桌边）上的点反弹后，恰好能从，两球的中间穿过去（与，球不能相撞），则直线的斜率的取值范围为__________．（球的大小忽略不计） 17．足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置，当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择. (1)若选择线路，则甲带球多少码时，？ (2)若选择线路，则甲带球多少码时，到达最佳射门位置. 18．已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． 19．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由． 20．已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 21．设点，，，，，，若直线分别与、各恰有一个交点，则直线的斜率的最小值为（   ） A． B． C． D． 22．在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．分别在轴、轴上截距相等的直线的斜率为. 23．直线l过点，且与线段AB有公共点，其中，则直线l的斜率可能是（  ） A．2 B． C．1 D． 24．若直线，，的斜率分别为，，，且，则，，的部分图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   25．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是___________． 26．过，两点的直线的倾斜角为，则______. 27．若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 28．下列叙述错误的是（   ） A．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 D．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 直线的倾斜角与斜率 教学目标 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.理解直线的方向向量与法向量的概念，会求直线的方向向量与法向量，体会向量方法在研究直线中的作用. 4.会运用斜率公式与倾斜角的关系解决含参数的直线问题以及与线段相交的范围问题. 教学重难点 1.重点 （1）直线的倾斜角与斜率的概念；（2）过两点的直线斜率公式； 2.难点 （1）倾斜角与斜率关系的分类讨论；（2）与线段相交时斜率取值范围的确定； 知识点01 直线的倾斜角 定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 轴相交的直线 ，把 轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线 首次重合时所成的角，称为直线 的倾斜角. 规定：当直线与 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ，因此倾斜角 的取值范围是 （即 ）. 每一条直线都有唯一确定的倾斜角；倾斜角相等的两条直线互相平行或重合. 倾斜角刻画直线的倾斜程度： 时直线水平； 时直线向右上升； 时直线与 轴垂直； 时直线向右下降. 由图形判断倾斜角时，先确定直线与 轴正方向的夹角，再按取值范围 取值，注意不含 . 【即学即练】 1．已知直线经过两点，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省黄石市云学联盟2026-2027学年高二上学期10月学科素养测评数学试题 【详解】已知直线过，，所以.设直线倾斜角为，，由，得. 2．已知直线经过点，，则的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】河北邢台市卓越联盟2026-2027学年高二上学期第一次学情调研数学试题 【详解】设直线的倾斜角为，因为 ，可得，结合，解得. 3．直线的倾斜角的大小为____________． 【答案】 【来源】上海市徐汇区2025-2026学年第二学期期末参考样卷高二数学 【详解】将直线方程整理得，可知该直线为垂直于轴的直线，因此该直线的倾斜角大小为. 4．直线的倾斜角为______． 【答案】/ 【来源】上海市川沙中学、川沙中学友任分校、华东理工大学附属浦东科技高级中学三校联考2026-2027学年高二第一学期阶段一考试数学试题 【详解】可变形为易知该直线方程斜率为，设直线的倾斜角为，则，所以. 知识点02 直线的斜率 定义：一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，记作 （）. 当 时，直线的斜率不存在；反之，斜率不存在的直线垂直于 轴，其倾斜角为 . 当 时 ；当 时 ； 随倾斜角的增大在两个区间内分别增大，但在 处断开. 越大，直线越陡； 时直线向右上升， 时直线向右下降， 时直线水平. 由斜率求倾斜角时，由 结合 唯一确定 ： 时 为锐角或 ； 时 为钝角. 【即学即练】 1．在平面直角坐标系中，过点和点的直线的斜率为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【来源】江苏省连云港高级中学2026-2027学年高二上学期第一次学情检测数学试题 【详解】已知直线过点和点.根据过两点的直线的斜率公式可得：该直线的斜率为. 2．直线的斜率为________． 【答案】 【来源】上海市青浦高级中学2025-2026学年高二第二学期期末学业质量调研数学试题 【详解】已知直线的一般式方程为，当时，直线的斜率公式为. 本题中直线方程为，对应参数，，代入斜率公式可得： . 3．已知三点在同一条直线上，则实数a的值为______ 【答案】或 【来源】上海市华东师范大学松江实验高级中学2026-2027学年高二上学期10月教学评估数学试卷 【详解】因为三点在同一条直线上，显然不等于5，所以，所以，所以，即，解得或. 4．已知过两点，的直线的倾斜角为45°，则的值为（     ） A．-3 B．-4 C．1 D．2 【答案】B 【来源】江苏扬州大学附属中学2026-2027学年第一学期高二阶段检测（一）数学试卷 【详解】可知，可得，解得. 知识点03 过两点的直线斜率公式 斜率公式：经过两点 、（）的直线的斜率为 . 公式与两点的顺序无关，即 ；使用时分子分母必须是同一方向上的坐标差，不能交叉相减. 当 时直线垂直于 轴，斜率不存在，此时不能用斜率公式，需单独讨论. 三点 共线的充要条件是 （斜率都存在时），这是判断三点共线、求参数的基本方法. 由斜率公式求参数的步骤：先由 或已知斜率列出关于参数的方程（或不等式），再检验 是否成立. 【即学即练】 1．直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】贵州毕节市金沙县2025-2026学年高二下学期期中素养测评数学试题 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率；又直线经过、两点，可得，且，整理得，解得，经检验符合题意. 2．已知直线过、两点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河南省部分学校联考2026-2027学年高二上学期阶段检测（一）数学试题 【详解】因为直线过、两点，且倾斜角为，故.由斜率公式可得，解得. 3．若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【来源】河北邯郸市曲周县第一中学等校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷 【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为所以，，即，解得. 知识点04 直线的方向向量与法向量 方向向量：与直线 平行的非零向量叫做直线 的方向向量，记为 ；当 时 . 直线的方向向量不唯一：若 是方向向量，则 （）也是方向向量. 经过两点 、 的直线的一个方向向量为 ，于是 （）. 法向量：与直线 垂直的非零向量叫做直线的法向量；若方向向量为 ，则法向量可取 或 . 已知方向向量 ： 时直线垂直于 轴，斜率不存在； 时 ，倾斜角 满足 . 【即学即练】 1．经过，两点的直线的方向向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】河南周口市鹿邑县高级中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试题 【详解】由题意，经过，两点的直线的斜率为,又直线的方向向量为，则得. 2．经过，两点的直线的方向向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【来源】河北省辛集中学2025-2026学年高二上学期阶段二考试数学试题 【详解】由，可得，因 ， .故，都是直线的方向向量，而(1,−2)和(2,−4)都不能表示成的倍数.故选：AC 3．经过，两点的直线的方向向量为，则________． 【答案】/ 【来源】四川省成都市第七中学2026-2027学年高二上学期10月定时练习数学试题 【详解】由，可知，，而直线方向向量为，故，解得. 4．过点的直线的方向向量为，则的值为______. 【答案】 【来源】河北唐山市开滦第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题 【详解】因为直线的方向向量为，故，而，故，故，故，. 题型01 求直线的倾斜角 【典例1】直线的倾斜角为（______） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】上海市杨思高级中学2025-2026学年第二学期期中质量检测高二数学试卷 【详解】直线的斜率为，设倾斜角为，则，． 【变式1】直线的倾斜角为（    ）． A．0° B．75° C．90° D．不存在 【答案】C 【来源】上海市嘉定区嘉一实验高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷 【详解】直线的斜率不存在，所以直线的倾斜角为. 【变式2】经过两点，的直线的倾斜角为_________. 【答案】/ 【来源】上海市晋元高级中学2026-2027学年高二第一学期单元诊断1数学试卷 【详解】直线的斜率，设直线的倾斜角为，所以，又，所以. 【变式3】已知直线过点 (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)求直线的斜率. 【答案】(1)；；(2)且. 【来源】上海市吴淞中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷 【详解】（1）由题设，可得，即； （2）由题设，当时，直线不存在斜率， 所以，则. 【变式4】将直线绕原点旋转得到直线，若直线的斜率为，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角是，若将绕原点逆时针旋转得到直线，则直线的倾斜角是，若将绕原点顺时针旋转得到直线，则直线的倾斜角是， 题型02 求直线的斜率及其范围 【典例1】若直线沿轴向左平移2个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度，所得直线与直线重合，则直线的斜率是__________． 【答案】/ 【来源】安徽淮南第一中学、第四中学等五校2026-2027学年高二上学期10月大联考数学试卷（A） 【详解】设直线上任意一点为，则当直线沿轴向左平移2个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度时，直线上任意一点也进行同样的移动，故平移后得．由于平移后所得直线与直线重合，则点与点都在直线上，则直线的斜率． 【变式1】如图，已知四边形为正方形，记所在直线的斜率分别为.若，则__________. 【答案】 【来源】云南省昭通市文屏镇中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题 【详解】设直线的倾斜角为，四边形是正方形，为正方形对角线，直线倾斜角为，直线倾斜角为，于是：，，，已知，代入：，通分整理：，，，，，因式分解：，得或，①当时，，，，②当时，，此时，与题图中对角线斜率为正矛盾，舍去，综上，. 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，直线的斜率分别为，若，，则___________． 【答案】 【来源】江西省南昌市第二中学2026-2027学年高二上学期月考（一）数学试题 【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，所以． 【变式3】已知点，，且是线段上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】河北廊坊市部分校2026-2027学年高二上学期10月联考数学试卷 【详解】如图所示，代表直线的斜率，当和点重合时，，当和点重合时，，所以的取值范围为. 【变式4】已知点在线段上，则的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁阜新市高级中学2026-2027学年度高二上学期十月数学试题 【详解】可看作线段上的点与定点连线的斜率，因为，如图，由图象知，，即的范围是. 题型03 倾斜角与斜率关系的辨析 【典例1】在平面直角坐标系Oxy中，直线的位置如图所示，记的斜率和倾斜角分别为和，其中，2，3，4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】重庆市合川中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题 【详解】因为，所以，则由图可得，． 【变式1】如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【来源】宁夏海原县某校2025-2026学年高二上学期第三次阶段性质量检测数学试题 【详解】由图象可知，所以，，函数在上单调递增，所以，综上所述，.故选：AD 【变式2】已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【来源】贵州省部分学校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题 【详解】由题可得三条直线在坐标系中的大概位置如下：因为，所以，所以A不正确；B正确；C正确；D不正确；故选：BC 【变式3】已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【来源】河南省南阳市2025-2026学年高二上学期期中质量评估数学试题 【详解】由题意，三条直线的倾斜角分别为，可得，当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得；当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得；当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得；当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得,结合选项，可得选项A、B、C.故选：ABC. 【变式4】已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【来源】安徽省大联考2025-2026学年高二上学期10月调研考试数学试题（池州专版） 【详解】对A：若，则，因，故，故A正确；对B：当时，有，故B错误；对C：若，则，因，故，故C正确；对D：若，，则，故D正确.故选：ACD. 题型04 直线与线段相交的斜率范围 【典例1】已知点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】内蒙古自治区赤峰市红山区赤峰第四中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题 【详解】，.由图像可知，从方向转到方向须经过竖直方向，斜率的取值范围为或，即，A正确. 【变式1】设点，，过点且斜率存在的直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏镇江市实验高级中学2026-2027学年高二第一学期10月份月考数学试题 【详解】由题可知，直线斜率存在，故设经过的直线为：，则，.如图所示：要使直线：与线段有交点，则或，即直线斜率的取值范围是. 【变式2】已知直线过点且和以，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】河南省南阳市多校2026-2027高二上学期阶段性素养评价（一）数学试题 【详解】由题意得，，由斜率公式，，，过点的直线与线段相交，直线绕点旋转，当直线斜率小于等于或大于等于时，直线与线段相交，故斜率的取值范围为. 【变式3】经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 【答案】 【来源】江苏苏州市2026-2027学年高三9月阳光调研数学试卷 【详解】由题知，，，由图像可知，． 【变式4】已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【答案】 【来源】上海市长征中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷 【详解】点，点，可得，，如下图示，所以. 题型05 倾斜角的分类讨论 【典例1】若经过，两点的直线的倾斜角为钝角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】河北石家庄市新乐市部分校2026-2027学年高二上学期10月考试数学试卷 【详解】记直线的倾斜角为，由题意，，得或，故的取值范围是. 【变式1】已知直线 过点 和点 ，分别求出满足下列条件的 的取值或取值范围. (1)直线 的倾斜角为直角; (2)直线 的倾斜角为锐角; (3)直线 的倾斜角为钝角. 【答案】(1)；(2)的取值范围为，；(3)的取值范围为. 【来源】江苏省连云港高级中学2026-2027学年高二上学期第一次学情检测数学试题 【详解】（1）∵直线的倾斜角为直角，所以 . （2）因为直线的倾斜角为锐角， 所以 ， 解得 ， 即的取值范围为， （3）因为直线的倾斜角为钝角， 所以， 解得或， 即的取值范围为. 【变式2】已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 【答案】(1)1；(2)；(3) 【来源】四川省乐山市峨眉第二中学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题 【详解】（1）若直线与轴平行，则直线的斜率，所以； （2）由直线的倾斜角为可知，直线的斜率， 所以，解得； （3）由题意可知，直线的斜率，所以， 即，解得. 【变式3】已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1)；(2)直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：；直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 【来源】江苏省盐城市五校联盟2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率， 即，解得； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率， 即，解得或； 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：； 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 【变式4】已知点，． (1)求直线的倾斜角； (2)过点的直线与过，两点的线段有公共点，求直线斜率和倾斜角的取值范围． 【答案】(1)；(2)； 【来源】内蒙古呼和浩特市和林格尔县第一中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段考试数学试卷 【详解】（1）由已知得直线的斜率，设直线的倾斜角为，其中， 由斜率和倾斜角的关系，得，因此倾斜角． （2）直线的斜率，直线的斜率， 因为过点的直线与过两点的线段有公共点， 结合图像分析：直线绕点从位置逆时针转到位置的过程中， 斜率从趋向负无穷，经过竖直直线（斜率不存在）后从正无穷连续减小到， 所以直线斜率的取值范围为． 设直线倾斜角为，． 当，即，此时倾斜角； 当，即，此时倾斜角； 竖直直线倾斜角为，也满足题意． 综上合并，倾斜角取值范围：． 1．过点的直线与线段AB相交，，，则直线斜率取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】广西南宁市宾阳中学2026-2027学年高二上学期10月考试数学试卷 【详解】如图所示：则直线的斜率，直线的斜率，因为过点的直线与线段AB相交，结合图象，可得直线斜率的取值范围是. 2．已知点，，若过的直线与线段相交，则直线的斜率取值可能是（     ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】BCD 【来源】陕西咸阳市武功县普集高级中学2026-2027学年度第一学期高二年级第一次质量检测数学试题 【详解】设直线的斜率为，则，由图可知，，故A错误，BCD正确. 3．下列说法正确的是（     ） A．直线倾斜角范围为 B．倾斜角为的直线斜率不存在 C．若直线斜率，倾斜角为锐角 D．过两点，的直线斜率一定等于 【答案】AB 【来源】广西南宁市宾阳中学2026-2027学年高二上学期10月考试数学试卷 【详解】对于A，根据倾斜角的定义，直线倾斜角范围为，故A正确；对于B，根据斜率的定义，倾斜角的正切值为斜率，而倾斜角为时，正切值无意义，则倾斜角为的直线斜率不存在，故B正确；对于C，当时，倾斜角为，不为锐角，故C错误；对于D，当时，直线斜率不存在，故D错误. 4．下列四个命题中，错误的有（    ） A．若直线的倾斜角为，则 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 【答案】CD 【来源】甘肃省兰州市永登县第六中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题 【详解】对A，若直线的倾斜角为，则，故，故A正确；对B，直线的倾斜角的取值范围为，故B正确；对C，若一条直线的倾斜角为，当时，此直线的斜率为，当时，此直线的斜率不存在，故C错误；对D，若一条直线的斜率为，当时，此直线的倾斜角为.当时，不是直线的倾斜角，故D错误. 5．下列叙述中正确的有（    ） A．若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 B．若直线斜率，则它的倾斜角为 C．已知点，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 【答案】BCD 【来源】河南省濮阳建业外国语学校2023-2024学年高二上学期第二次阶段性测试数学试题 【详解】对于A，当时，斜率不存在，故A错误；对于B，当直线斜率时，它的倾斜角为，故B正确；对于C，由，，则直线轴，倾斜角为，故C正确；对于D，因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为1，由于，因此这条直线必过点，故D正确.故选：BCD 6．下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 【答案】BD 【来源】陕西省渭南市富平县富平中学2025-2026学年高二上学期第一次检测数学试卷 【详解】由斜率与倾斜角的关系知，因为正切函数在区间上单调递增，但它不是定义域内的增函数，故A错误，B正确，C错误，D正确；故选：BD 7．直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（______） A．8 B．6 C．2 D． 【答案】ABD 【来源】四川省凉山州西昌市2025-2026学年高二上学期期中学科素养监测数学试题 【详解】如下图所示：易知直线的斜率分别为，结合图形可知当直线的斜率满足或时，满足题意；因此直线的斜率可能是.故选：ABD 8．直线与的夹角的大小为_______． 【答案】 【来源】上海市长征中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷 【详解】因为直线的斜率不存在，故它的倾斜角为，又的斜率为，故它的倾斜角为，故这两条直线的夹角的大小为． 9．已知直线经过点，且不经过第四象限，则直线的斜率的取值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】ABC 【来源】重庆市广益中学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷 【详解】如图，，，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故.对比选项可知ABC符合题意．故选：ABC. 10．下列结论正确的是（    ） A．若三点共线，则m的值为0 B．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则的斜率k的取值范围为 C．已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则可以是点B的坐标 D．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则 【答案】AC 【来源】四川省成都市石室中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题 【详解】对于A选项，由可得，由三点共线得，得，A选项正确；对于B选项，由、，，则，，由图可知，要使过点的直线与线段MN有公共点，则或，即的斜率k的取值范围为，故B错误；对于C选项，若，则，故与平行，故C选项正确；对于D选项，若，但是，故D选项错误；故选：AC. 11．已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则下列选项中，可以是点B的坐标的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】BC 【来源】山西省运城市2023-2024学年高二上学期期中测试数学试卷 【详解】经过两点直线的方向向量为，则的斜率为，对于A：，不合题意，A选项错误；对于B：，符合题意，B选项正确；对于C：，符合题意，C选项正确；对于D：，不合题意，D选项错误；故选：BC. 12．若直线的一个法向量为，则的倾斜角为_______． 【答案】 【来源】上海市实验学校东滩高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学 【详解】因为直线的一个法向量为，可得直线的其中一个方向向量为，所以直线的斜率，设直线的倾斜角为，，可得，所以． 13．已知经过、两点的直线的方向向量为． (1)求的值； (2)点为轴正半轴上一点，若直线的倾斜角和直线的倾斜角互补，求点的坐标． 【答案】(1)；(2) 【来源】湖北省黄石市云学联盟2026-2027学年高二上学期10月学科素养测评数学试题 【详解】（1）因为经过、两点的直线的方向向量为， 所以，解得. （2）设，其中， 当或者时直线的倾斜角和直线的倾斜角不互补， 当且时，，， 由题意，即，故点坐标为. 14．已知平面直角坐标系内两点，. (1)当直线的倾斜角为锐角时，求m的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求m的值. 【答案】(1)；(2) 【来源】山东临沂第四中学2026-2027学年高二上学期阶段性测试数学试题 【详解】（1）设直线的倾斜角为，因为倾斜角为锐角， 所以直线的斜率， 又， 即，解得， 即的取值范围为. （2）因为直线的一个方向向量为， 所以斜率， 结合两点斜率公式有，解得. 15．已知直线经过点和，求直线的一个方向向量和法向量，并求直线的斜率和倾斜角． 【答案】直线的一个方向向量为，一个法向量为，斜率，倾斜角为 【详解】由点和，得， 直线的一个方向向量为，由于法向量与方向向量垂直． ∴直线的一个法向量为，斜率， 设直线的倾斜角为，所以，所以． 16．在台球运动中，无旋转反弹球技法是一种比较简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边，然后按照光线反射的方向弹出．如图，现有一目标球从点无旋转射出，经过直线（桌边）上的点反弹后，恰好能从，两球的中间穿过去（与，球不能相撞），则直线的斜率的取值范围为__________．（球的大小忽略不计） 【答案】 【来源】湖南省部分学校2026-2027学年高二上学期10月阶段性素质评价数学试题 【详解】如图所示；设点，使得点与点关于直线对称，点的坐标为，结合对称性可得， ，点的坐标为，设直线与直线分别相交于点与点，直线与直线关于对称，直线与直线关于对称， ，由题知满足条件的直线在图中阴影部分区域， ， ，直线的斜率的取值范围为. 17．足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置，当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择. (1)若选择线路，则甲带球多少码时，？ (2)若选择线路，则甲带球多少码时，到达最佳射门位置. 【答案】(1)甲带球或码时，；(2)甲带球码时，到达最佳射门位置 【来源】江苏省南菁高级中学2026-2027学年高二上学期第一次诊断练习数学试卷 【详解】（1）若选择线路，设，其中，， 则， 所以 ， 又，，所以，所以， 所以，解得或， 所以或， 所以甲带球或码时，. （2）若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 则，直线的方程为， 设点，其中， 所以， 所以 令，则， 所以 ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 当且仅当时，等号成立，此时， 由题意知，因为函数在上单调递增， 所以最大时，最大， 所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置. 18．已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． 【答案】(1)；；(2)等腰直角三角形；；(3). 【来源】江苏省宿迁市马陵中学2025-2026学年高二上学期期初学情调研考试数学试题 【详解】（1）因为为的中点，结合已知坐标有，则； （2）由，，， 由，，知是直角三角形． 又，结合已知，则是的垂直平分线， 所以是等腰直角三角形． （3）由于分别为的中点，所以是的中位线，则， 所以，故直线的斜率为． 19．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由． 【答案】如下图所示， 当直线经过点A时，斜率为，此时倾斜角为 ； 当直线经过点时，斜率为， 此时倾斜角为， 由题意可知，当直线从过点A的位置开始，逆时针旋转至过点的位置， 经过图中阴影部分时都能满足题意， 旋转过程中，倾斜角满足或， 所以倾斜角的取值范围是：； 旋转过程中，斜率先从增大到，再从增大到， 所以斜率的取值范围是：. 【详解】倾斜角的取值范围是：；斜率的取值范围是：.理由略. 20．已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【来源】海南省保亭黎族苗族自治县保亭中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷 【详解】（1）因为、、， 所以，， 先考虑直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以，当直线与线段有公共点，直线的斜率的取值范围是．    故当直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围为. （2）因为，当时，， 当时，， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 21．设点，，，，，，若直线分别与、各恰有一个交点，则直线的斜率的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河北邢台市质检联盟2026-2027学年高二上学期10月测评数学试题 【详解】若直线与一个三角形恰有一个交点，则交点只能是顶点．若交点在某条边的内部而直线不与该边重合，直线会穿过三角形内部，与三角形的交集是一条线段；若与该边重合，则交点也不止一个．因此必经过的一个顶点和的一个顶点．九条顶点连线的斜率分别为：从出发，，，；从出发，，，；从出发，，，．其中最小的候选斜率为，对应直线．直线的方程为．代入、，分别得到、，异号，所以点位于直线的两侧，直线穿过的内部，不符合题意．再看斜率，对应直线，其方程为．代入，所得值依次为，均为正数．因此与直线只有交点，与直线只有交点，故斜率可以取得．由于候选斜率中比更小的只有，且已被排除，所以直线的斜率最小值为． 22．在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．分别在轴、轴上截距相等的直线的斜率为. 【答案】BCD 【来源】湖北省沙市中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题 【详解】任何一条直线都存在倾斜角，A正确；钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B错误；若一条直线的倾斜角，则斜率不存在，C错误；分别在轴、轴上截距相等的直线可以过原点，斜率可以不是，D错误；故选:BCD. 23．直线l过点，且与线段AB有公共点，其中，则直线l的斜率可能是（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】ACD 【来源】贵州省镇宁民族中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题 【详解】如图当直线l过点B时，设直线的斜率为，则；当直线l过点A时，设直线的斜率为，则.故要使直线l过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为，结合选项可知，直线l的斜率可能是2，1，.故选：ACD 24．若直线，，的斜率分别为，，，且，则，，的部分图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AB 【来源】陕西省西安市庆安高级中学2025-2026学年高二上学期月考（一）数学试题 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，对于：，所以，故正确；对于：，所以，故正确；对于：，所以，故错误；对于：，所以，故错误.故选：. 25．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是___________． 【答案】 【来源】陕西汉中市龙岗中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题 【详解】已知，，，，，过点的直线与线段相交，观察图形：故斜率的取值范围是. 26．过，两点的直线的倾斜角为，则______. 【答案】 【来源】湖北省襄阳市致远中学教育集团2026-2027学年高二上学期9月考试数学试题 【详解】因为直线的倾斜角为，故直线的斜率存在且斜率，因为，，由两点斜率公式得 ，即，即，当时，此时，，两点重合，不能确定直线，舍去；当时，得 ，整理得，所以 ，代入验证，、两点不重合，符合题意，综上，的值为. 27．若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【来源】山东省泰安市泰山国际学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题 【详解】对于A，取，则，则，故A错误；对于B，若，即，故B正确；对于C，若，则直线，的斜率存在且不为，因为，又因为正切函数在，上单调递增，所以，故C正确；对于D，若，则，所以，故D错误;故选：AD. 28．下列叙述错误的是（   ） A．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 D．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 【答案】BCD 【来源】湖北省武汉市新洲区问津教育联合体2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题 【详解】对于A，与轴垂直的直线的倾斜角为，与轴垂直的直线的倾斜角为，所以与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故A正确；对于B：由于直线倾斜角的取值范围是，因此不在此范围内时不是直线的倾斜角，如当时，直线斜率，但直线倾斜角为，故B错误；对于C，设直线的倾斜角为，当，斜率，当，斜率，故C错误；对于D，若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，故D错误.故选：BCD. 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $