精品解析：广西壮族自治区梧州市苍梧县2026-2027学年八年级上学期10月期中数学试题

2026年梧州市苍梧县八年级上学期期中检测 数学 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班别、姓名、准考证号填写在答题卡上，按要求粘贴条形码． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是(　 　) A. B. C. D. 2. 有下列长度的三条线段，其中能组成三角形的是（　　） A. 3、5、10 B. 10、4、6 C. 3、1、1 D. 4、6、9 3. 与点 A（-4,2）关于 y 轴成轴对称的点的坐标是（ ） A. （4,2） B. （-4，-2） C. （-2，-4） D. （4，-2） 4. 如图是一个电线杆的示意图，在电线杆中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是（ ） A. 三角形两边之和大于第三边 B. 三角形具有稳定性 C. 两点之间线段最短 D. 直角三角形的性质 5. 如图，在中，平分，交于点，于，，则长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，如在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 10. 若一个等腰三角形有一个内角为82°，则它的底角为（ ） A. 82° B. 16° C. 82°或49° D. 82°或36° 11. 对于非零的两个实数a 、b，规定，若，则x的值为（ ） A. B. 1 C. D. 12. 如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF．若，，则EF的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 计算：_____． 14. 如图，在中，、分别是边上的高和中线，，，则＝______． 15. 如图，在中，，，点C在直线MN上，于D，于E，，，则_________． 16. 如图，在中，，，平分交于点D，点E、F分别是线段、上动点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 计算和证明 （1）． （2）如图，．求证：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． （1）画出，使它与关于直线m对称； （2）在直线m上找一点D，使得的和最小：（保留作图痕迹） （3）延长交直线m于E，若是以为底边的等腰三角形，那么图中这样的格点F共有 个． 20. 如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF． （1）求证：△ADE≌△CFE； （2）若AB＝6，CF＝4，求BD的长． 21. 如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，，求四边形的周长． 22. 【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 23. 新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年梧州市苍梧县八年级上学期期中检测 数学 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班别、姓名、准考证号填写在答题卡上，按要求粘贴条形码． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是(　 　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据轴对称图形与中心对称图形的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项错误； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查的是轴对称图形，熟知轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质的图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合是解答此题的关键． 2. 有下列长度的三条线段，其中能组成三角形的是（　　） A. 3、5、10 B. 10、4、6 C. 3、1、1 D. 4、6、9 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边满足任意两边之和大于第三边进行判断． 【详解】解：A、3+5＜10，所以不能组成三角形； B、4+6=10，不能组成三角形； C、1+1＜3，不能组成三角形； D、4+6＞9，能组成三角形． 故选D． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 3. 与点 A（-4,2）关于 y 轴成轴对称的点的坐标是（ ） A. （4,2） B. （-4，-2） C. （-2，-4） D. （4，-2） 【答案】A 【解析】 【分析】关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标变相反数即可. 【详解】点 A（-4,2）关于 y 轴成轴对称的点的坐标是（4,2）， 故选A. 【点睛】本题考查坐标系中点的对称，熟记口诀“关于谁对称，谁不变，另一个变号，关于原点对称，两个都变号”. 4. 如图是一个电线杆的示意图，在电线杆中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是（ ） A. 三角形两边之和大于第三边 B. 三角形具有稳定性 C. 两点之间线段最短 D. 直角三角形的性质 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，熟练掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来是解题的关键． 根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：在电线杆中间增加了很多斜条，构成了三角形，故它所运用的几何原理是三角形具有稳定性． 故选：B． 5. 如图，在中，平分，交于点，于，，则长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质，掌握角平分线性质是解题的关键． 由平分，且，根据角平分线的性质，可得． 【详解】解：在中，平分，且， ． 故选：C． 6. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 7. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定， 根据尺规作图的过程可知，，，再根据全等三角形的判定定理得出答案． 【详解】解：由作图过程可知，，， ∴ ∴的依据是． 故选：B． 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法分别判断即可． 【详解】A：，错误； B：正确； C：，错误； D：，错误 故答案选：B． 【点睛】本题考查幂运算以及合并同类项，掌握相关公式以及运算法则是解题关键． 9. 如图，如在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD,AE=EC,进而可得AD+ED+AE=BD+DE+EC,从而可得答案． 【详解】解：∵AB的垂直平分线交BC于D, ∴AD=BD, ∵AC的垂直平分线交BC与E, ∴AE=CE, ∵BC=8, ∴BD+CE+DE=8, ∴AD+ED+AE=8, ∴△ADE的周长为8, 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质,关键是掌握线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等． 10. 若一个等腰三角形有一个内角为82°，则它的底角为（ ） A. 82° B. 16° C. 82°或49° D. 82°或36° 【答案】C 【解析】 【分析】分底角为82°与顶角为82°两种情况讨论，当顶角为82°时，底角为×（180°﹣82°）＝49°． 【详解】解：有两种情况：①底角是82°， ②顶角是82°，则底角是×（180°﹣82°）＝49°． 所以底角为82°或49°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，分类讨论． 11. 对于非零的两个实数a 、b，规定，若，则x的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，化简得到一个关于x的分式方程，即可得出答案. 【详解】∵ ∴ 解得： 将代入最简公分母进行检验：x+1≠0 ∴是分式方程的解 故答案选择C. 【点睛】本题主要考查定义新运算. 12. 如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF．若，，则EF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过作于证明 四边形为矩形，再证明求解可得：再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，过作于 矩形ABCD， 四边形为矩形， 由对折可知： 四边形为矩形， 故选： 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】按照幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘进行计算，注意保留原式的负号即可． 【详解】． 14. 如图，在中，、分别是边上的高和中线，，，则＝______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的面积，利用三角形的面积公式求出，可得结论． 【详解】，， ∴ ， 是的中线， ． 故答案为：6． 15. 如图，在中，，，点C在直线MN上，于D，于E，，，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点的应用及作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 首先证明，利用“”证明即可；由全等三角形的性质可得，再结合求解即可； 【详解】解：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：4； 16. 如图，在中，，，平分交于点D，点E、F分别是线段、上动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，等边对等角，线段和最短问题，作点关于的对称点，作，根据，推出的最小值为线段的长度；即可求解； 【详解】解：作点关于的对称点，作，如图所示： ∵平分， ∴必在上； ∵， ∴的最小值为线段的长度； ∵， ∴； ∵， ∴，解得； ∴， ∴， 即的最小值为：； 故答案为： 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 计算和证明 （1）． （2）如图，．求证：． 【答案】（1） （2） 证明：， 即， ∵在和中， ． 【解析】 【分析】（1）先逐项化简，再进行加减运算即可； （2）先证明，再利用即可得证． 【小问1详解】 解:； 【小问2详解】 略 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整式乘法法则是关键；先去括号，再合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． （1）画出，使它与关于直线m对称； （2）在直线m上找一点D，使得的和最小：（保留作图痕迹） （3）延长交直线m于E，若是以为底边的等腰三角形，那么图中这样的格点F共有 个． 【答案】（1）如图， （2）如图； （3）3 【解析】 【分析】本题考查了轴对称作图，最短路径问题等腰三角形的性质，解答（3）关键是根据题意构造底边的垂直平分线． （1）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点即可； （2）在（1）的基础上，连交，直线m于点D，点D即为所求； （3）先做出的垂直平分线，再找到垂直平分线进过的格点即可． 【小问1详解】 解：由题意，作，使它与关于直线m对称， 【小问2详解】 解：由题意，连，交直线m于点D，连，点即为所求； 理由：由作图可知，三点共线，，此时，最小，则点D即为所求． 【小问3详解】 解：如图，取点，画直线，理由：若是以为底边的等腰三角形， 则格点F在底边的垂直平分线上， 如图，取点，则可知，，，且, ∴， ∴，即点C是线段的中点， 同理，， ∴， ∴， ∴直线垂直平分线段， 将分别向上、向左平移1个，3个单位或者向下，向右平移1个，3个单位，分别得到直线上的格点， 则点即为所求． 故答案为：3． 20. 如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF． （1）求证：△ADE≌△CFE； （2）若AB＝6，CF＝4，求BD的长． 【答案】（1） 如图，∵CF∥AB， ∴∠ADE=∠F，∠A=∠ECF， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）． （2）2 【解析】 【分析】（1）由CF∥AB得∠ADE=∠F，∠A=∠ECF，还有DE=EF这一条件，则根据“角角边”定理可以证明△ADE≌△CFE； （2）由△ADE≌△CFE得AD=CF=4，因为AB=6，所以BD=AB-AD=6-4=2． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵AD=CF=4，AB=6， ∴BD=AB-AD=6-4=2， ∴BD的长是2． 【点睛】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，准确地找出全等三角形的对应边和对应角是解题的关键． 21. 如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）四边形的周长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （）由等腰三角形的性质可得，又，从而可证是等边三角形； （）由是等边三角形，则，所以，通过角度和差可得，证明，所以，，又是等边三角形，，则，得，最后通过四边形的周长为即可求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴，， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为 ． 22. 【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】理解应用：；能力提升： 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的无关型问题、单项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握运算法则是解题关键． 理解应用：先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； 能力提升：设，则，，先计算，再根据含项的系数为0求解即可得． 【详解】解：理解应用： ， ∵的值与无关， ∴， ∴． 能力提升：设，则，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴的值与无关， ∴， ∴． 23. 新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）2； （3）是积等三角形 证明：如图3，过点作于点， 在和中， ， 与为积等三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， 在和中， ， 在中 为正整数， ； （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $