精品解析：河南商丘市永城市第五初级中学2026-2027学年上学期第一次学情自测九年级数学试题

第一学期阶段性复习作业（1/4）（YCWZ） 九年级数学（RJ） 测试范围：25．1-26．4 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，含有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程，其一般形式为，其中，a、b、c为常数．根据一元二次方程的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意； B、有两个未知数，是二元二次方程，故本选项不符合题意； C、整理得，是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 抛物线的开口向上，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口向上可得，进而求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴， 故选：B． 3. 如果2是方程的一个根，那么c的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义．解题运用“代入求值”思想，将方程的根代入方程转化为关于c的一元一次方程求解．解题关键是准确代入根并正确运算，易错点为代入或后续计算时出错． 根据方程根的定义，把代入方程，得到，然后通过移项、计算，求出c的值． 【详解】解：由题意，将代入方程，得： 解得． 故选：A． 4. 抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是，即， 故选：C． 5. 下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：∵一元二次方程的根可以根据计算， ∴， ∴对应方程为：； 故选B． 6. 一元二次方程的根的情况为（　　） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】计算方程根的判别式，根据属性判断即可． 【详解】∵， ∴， 故方程有两个相等的实数根， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的个数关系是解题的关键． 7. 若是抛物线上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质；先求出二次函数的对称轴，根据二次函数图像的对称性可知，根据二次函数的图像的增减性即可得到答案； 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， ∴两点关于对称轴对称， ∴， ∵， ∴开口向上，当时，y随x的增大而减小； ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的售价出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车前年售价为25万元，今年售价为18万元，设该款汽车这两年售价的年平均降价率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意构造方程直接求解即可． 【详解】解：由题意可知所列方程为； 故选B． 9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断． 【详解】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除； 故选． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系． 10. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即]为例说明，构造如图，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下面四个构图中，能正确说明方程的解法的构图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键． 根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案． 【详解】解：方程，即的拼图如图所示 中间小正方形的边长为，其面积为9， 大正方形的面积：， 其边长为7， 因此，C选项所表示的图形符合题意， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个常数项为0，有一个根为的一元二次方程：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义，常数项为0即，且有一个根为，因此可构造一个以和为根的一元二次方程。 【详解】解：设一元二次方程为， 由题意，常数项，故方程为， 由于有一个根为，代入方程得，即， 整理得，即， 取，则，因此方程为， 故答案为：． 12. 如图，抛物线的对称轴为直线，点，点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线与轴的两个交点、关于其对称轴（直线）对称，利用中点坐标公式由已知交点即可求出另一个交点的横坐标． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，点、是抛物线与轴的两个交点， 、关于对称轴对称． 设，则与的中点横坐标为， 由对称轴为直线得，解得， ． 13. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14. 如图，抛物线与直线相交于点．则关于的方程的根是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是读懂函数图象；由方程变形为，则可看作是二次函数与直线的交点问题，进而问题可求解． 【详解】解：由方程变形为， ∵抛物线与直线相交于点， ∴方程的根是； 故答案为． 15. 已知抛物线，若这两条抛物线与轴共有3个交点，则的值为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的关系，先求抛物线与轴的交点，再分情况讨论与轴的交点情况，使得总交点为个. 【详解】解：， 抛物线与轴交于点和， 情况1：与轴只有一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 可得方程为， 解得：， 交点坐标为，不与交点重合，成立； 情况2：经过点， 代入得， 即， ， 解方程， 可得或， 与轴交点坐标为和， 两条抛物线与轴共有个交点，成立； 情况3：经过点， 代入得， 即， ， 解方程， 可得：或， 与轴的交点坐标为和， 两条抛物线与轴共有个交点． 故答案为：或或． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先移项，把右边式子移到左边，再因式分解，提取公因式，转化为两个一次因式乘积等于0的形式，再分别求解． （2）采用配方法，把常数项移到等式右侧，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，再开方求解；也可以用公式法代入求根公式计算． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ，． 17. 二次函数的图象与直线y＝2x－1交于点P（1，m）． （1）求a、m的值； （2）写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？ （3）指出抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1）a=1， （2）当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小 （3）顶点坐标为(0，0)，对称轴直线x=0（或轴） 【解析】 【分析】（1）把P代入y=2x-1，求得的值，然后将代入二次函数解析式即可求解； （2）根据（1）的结论可写出二次函数解析式，根据解析式求得对称轴为，进而即可求解； （3）根据函数解析式直接写出顶点坐标与对称轴． 【小问1详解】 解： 把P代入y=2x-1中得：m=2×1-1=1， 则P(1，1)， 把P代入中得：1=a×1， ∴a=1； 【小问2详解】 解： 由题（1）得， ∵a=1>0， 对称轴为直线x=0， ∴当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：由可得，抛物线的顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x=0（或轴） 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，一次函数的性质，的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、， ∴ ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴． 19. 已知是二次函数，且当时，随的增大而减小． （1）求的值； （2）若该图象上点的坐标为，则该图象上点的对称点的坐标为________； （3）请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）图象如下： 当时，的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）需同时满足“二次函数”与“增减性”两个条件，前者确定指数为2且二次项系数非零，后者结合对称轴位置判断开口方向，从而筛选k的值； （2）先代入解析式求出点A坐标，再利用关于y轴对称的点的坐标特征求解； （3）依据解析式描点作图，再结合图象在给定区间内的最高与最低位置确定y的取值范围，注意区间端点的开闭对取值范围的影响． 【小问1详解】 解：由是二次函数，且当时，随的增大而减小， 得， ，； 由得， ∴的值为． 【小问2详解】 将代入可得二次函数解析式为， 将代入，得， 故点A的坐标为； 函数的图象关于y轴对称，关于y轴对称的两点横坐标互为相反数、纵坐标相等，故点A的对称点坐标为． 【小问3详解】 函数的图象是开口向下、顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线，取关键点描点，并用平滑曲线连接，即得函数图象； 观察图象，在的范围内：当时y取得最大值0； 计算端点函数值：当时，，当时，， 当时，取值范围为． 20. 如图1是某公园一个抛物线形状的景观竹棚，其截面示意图如图2所示，量得，最高处点P与地面的距离为．现以点O为原点，所在直线为x轴，过点O作的垂线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数解析式． （2）现因举办活动，需要临时搭建一个矩形“装饰门”，该“装饰门”关于抛物线的对称轴对称，其中，，为三根承重钢支架，点A，D在抛物线上，点B，C在上，已知，则“装饰门”高多少米？ 【答案】（1） （2）“装饰门”高 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式． （1）根据题意得到顶点坐标为，再利用待定系数法即可得解； （2）先求得点的横坐标为2，利用二次函数的性质求得，据此即可得解． 【小问1详解】 解：由题意，得该拋物线的顶点坐标为， 设该抛物线对应的函数解析式为． 将代入，得，解得， 该抛物线对应的函数解析式为； 【小问2详解】 解：，矩形关于抛物线的对称轴对称，， ， 点的横坐标为2． 当时，， ， 即“装饰门”高． 21. 如图在矩形中，，，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，点Q从点C开始沿边向点D以的速度移动，两点同时出发，当一个点运动到终点时另一个点也停止运动，设运动时间为（）． （1）填空：______，_____，（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，； （3）当t为何值时，的面积为． 【答案】（1）， （2） （3）或3 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用． （1）由矩形的性质得到，，根据路程＝速度×时间可表示出，的长，即可解答； （2）在中，根据勾股定理构造方程，求解即可； （3）根据即可列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，． 当运动时间为时，，， ∴ 故答案为：， 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴当时，； 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， 解得：，， ∴当或3时，的面积为． 22. 如图，用长为的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门． （1）设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为__________． （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽． （3）在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到．请说明理由．猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 【答案】（1） （2）此时花圃的长为9米，宽为5米 （3）这个花圃的面积不能达到；这个花圃面积最大可以做到． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的应用，列代数式： （1）用篱笆的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出； （2）根据长方形的面积公式列方程求解即可； （3）长方形的面积公式列方程，看方程是否有符合题意的解即可；利用配方法得到，再由偶次方的非负性即可得到答案． 【小问1详解】 解：设花圃的宽为x米， 则米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∴ 解得：，， 当时，，不符合题意，故舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的长为9米，宽为5米； 【小问3详解】 解：当时，则， ∴， ∴此时原方程无解， ∴这个花圃的面积不能达到 ， ∵， ∴， ∴这个花圃面积最大可以做到． 23. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴的交点为，且顶点坐标为． （1）求二次函数的表达式； （2）若抛物线上有一点，将线段沿着y轴向上平移，使平移后的线段与该抛物线恒有公共点，设点的纵坐标为n，求n的取值范围； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为2，求q的值． 【答案】（1） （2） （3）2或 【解析】 【分析】（1）设二次函数的表达式为，再将点代入计算即可得； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得直线的解析式，再与二次函数的解析式联立，利用一元二次方程根的判别式求解即可得； （3）先求出二次函数的对称轴为直线，再分四种情况：①，②，③和④，再利用二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴可设二次函数的表达式为， 将点代入得：，解得， ∴二次函数的表达式为， 故二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：将代入得， ∴． 令，解得或， ∴，． 设直线的函数表达式为， 将点，代入得，解得， ∴直线的函数表达式为， 将线段沿着轴向上平移得到线段，且点的纵坐标为， 直线的函数表达式为，且， 联立得：， 使平移后的线段与该抛物线恒有公共点， 则此方程根的判别式，解得， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 解：二次函数，开口向下，对称轴为直线， 由题意，分以下四种情况： ①当，且，即时， 则当时，函数取最大值为4， 当时，函数取最小值，最小值为， 则， 解得（舍去）或（舍去）； ②当，且，即时， 则当时，函数取最大值为4， 当时，函数取最小值，最小值为， 则， 解得（舍去）或（舍去）； ③当，即时， 则当时，函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， 则， 解得，符合题设； ④当，即时， 则当时，函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， 则， 解得，符合题设； 综上所述，的值为2或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一学期阶段性复习作业（1/4）（YCWZ） 九年级数学（RJ） 测试范围：25．1-26．4 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的开口向上，则的范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如果2是方程的一个根，那么c的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4. 抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况为（　　） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 7. 若是抛物线上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的售价出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车前年售价为25万元，今年售价为18万元，设该款汽车这两年售价的年平均降价率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即]为例说明，构造如图，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下面四个构图中，能正确说明方程的解法的构图是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个常数项为0，有一个根为的一元二次方程：_______． 12. 如图，抛物线的对称轴为直线，点，点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为________． 13. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 14. 如图，抛物线与直线相交于点．则关于的方程的根是____． 15. 已知抛物线，若这两条抛物线与轴共有3个交点，则的值为___________． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 二次函数的图象与直线y＝2x－1交于点P（1，m）． （1）求a、m的值； （2）写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？ （3）指出抛物线的顶点坐标和对称轴． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 19. 已知是二次函数，且当时，随的增大而减小． （1）求的值； （2）若该图象上点的坐标为，则该图象上点的对称点的坐标为________； （3）请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的取值范围． 20. 如图1是某公园一个抛物线形状的景观竹棚，其截面示意图如图2所示，量得，最高处点P与地面的距离为．现以点O为原点，所在直线为x轴，过点O作的垂线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数解析式． （2）现因举办活动，需要临时搭建一个矩形“装饰门”，该“装饰门”关于抛物线的对称轴对称，其中，，为三根承重钢支架，点A，D在抛物线上，点B，C在上，已知，则“装饰门”高多少米？ 21. 如图在矩形中，，，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，点Q从点C开始沿边向点D以的速度移动，两点同时出发，当一个点运动到终点时另一个点也停止运动，设运动时间为（）． （1）填空：______，_____，（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，； （3）当t为何值时，的面积为． 22. 如图，用长为的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门． （1）设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为__________． （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽． （3）在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到．请说明理由．猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 23. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴的交点为，且顶点坐标为． （1）求二次函数的表达式； （2）若抛物线上有一点，将线段沿着y轴向上平移，使平移后的线段与该抛物线恒有公共点，设点的纵坐标为n，求n的取值范围； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为2，求q的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $