精品解析：河南省商丘市永城市名校联考2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025~2026学年上学期九年级第一次心素养检测 数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟．调蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填在题后括号内．每小题3分，共30分） 1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 3. 把方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 若一元二次方程的一个根为0，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. y随x增大而增大 D. 顶点坐标为 7. 一次函数与二次函数在同一平面直角内坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 9. 如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 10. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为12时，则点P运动的时间是（　　） A. 2s B. 3s C. 4s D. 6s 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解为_____． 12. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是______． 13. 若是关于x的二次函数，则m=_____ 14. 抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线是______． 15. 定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 _______． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. 解方程． （1）； （2）． 17. 汽车产业的发展，有效促进了我国现代化建设．某汽车销售公司2016年盈利1000万元，2018年盈利1440万元，且从2016年到2018年，每年盈利的年增长率相同． （1）求每年盈利的年增长率； （2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2019年盈利多少万元？ 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一实数根大于2，求a的取值范围． 19. 已知二次函数的图象过点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）画出这个函数的图象； （3）写出当时，函数值的取值范围． 20. 已知二次函数（）的图象经过点． （1）若，求该函数图象的顶点坐标． （2）若，点，在该函数图象上，且，求m的取值范围． 21. 阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： （1）解方程，则______； （2）若，求______． 22. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价元，那么平均可多售出件，设每件童装降价元． （1）每天可销售______件，每件盈利_______元；（用含的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利元． 23. 如图，抛物线（a≠0）与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，OB=OC，抛物线的对称轴为直线x=1． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线的对称轴上一点，连接 AC，CP，AP，当△ACP的周长最小时，求点P的坐标； （3）在（2）的情况下，在y轴上是否存在点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年上学期九年级第一次心素养检测 数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟．调蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填在题后括号内．每小题3分，共30分） 1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是 2 ，（2）二次项系数不为 0 ，（3）是整式方程，（4）只含有一个未知数，熟练掌握一元二次方程必须满足的四个条件，是解题的关键． 根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：A．不是等式，故不是一元二次方程，不符合题意； B．当时，不是一元二次方程，不符合题意； C．该方程化简后为，是一元二次方程，符合题意； D．该方程不是整式方程，不符合题意； 故选：C． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据判别式的值确定根的情况即可． 【详解】解：， ∴方程无实数根， 故选：． 【点睛】此题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 3. 把方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得． 【详解】解：， ， 则，即， 故选：D． 4. 若一元二次方程的一个根为0，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的根，熟知基本知识是解决问题的关键． 由一元二次方程的定义和一元二次方程解的定义得到，求解即可． 【详解】解：由题意得：将代入得：， 解得：， 又， ， ， 故选：C． 5. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴交点的坐标求法，解题的关键是掌握在平面直角坐标系中，轴上的点横坐标都为0． 要求抛物线与轴交点的坐标，根据轴上点的坐标特征，令抛物线方程中，求出对应的值，即可得到交点坐标． 【详解】将代入抛物线方程中，可得． 抛物线与轴交点的坐标为， 故选：A． 6. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. y随x增大而增大 D. 顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握其性质是解题的关键； 根据顶点式的顶点坐标为，开口方向，对称轴，增减性求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴，图象开后向下，故选项A错误； 对称轴为直线，故选项B错误； 当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，故选项C错误； 顶点坐标为，故选项D正确， 故选：D． 7. 一次函数与二次函数在同一平面直角内坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象综合判断．熟练掌握相关函数的性质，是解题的关键．根据一次函数和二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由直线可知，，由抛物线可知：，故，不符合题意； B、由直线可知，，由抛物线可知：，故，符合题意； C、由直线可知，，由抛物线可知：，故，不符合题意； D、由直线可知，，由抛物线可知：，故不符合题意； 故选：B． 8. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 9. 如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】①由抛物线开口向上，对称轴为直线，与y轴的交点B的范围，即可得出，进而可得出，结论①错误；②由抛物线的对称轴以及与x轴的一个交点坐标，可得出另一交点坐标为，进而可得出，结论②正确；③由点B的范围可得出抛物线顶点纵坐标，结合可得出，结论③正确；④由抛物线对称轴为可得出，结论④错误．综上即可得出结论． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴为直线，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点）， ∴，﹣，， ∴， ∴，结论①错误； ②∵二次函数的图像与x轴交于点，对称轴为直线， ∴二次函数的图像与x轴的另一个交点为， ∴9a+3b+c＝0，结论②正确； ③∵二次函数的图像与y轴的交点B在和之间（不包括这两点）， ∴抛物线顶点纵坐标， ∵， ∴，结论③正确； ④∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，结论④错误． 综上所述，正确的结论有：②③． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图像与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 10. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为12时，则点P运动的时间是（　　） A. 2s B. 3s C. 4s D. 6s 【答案】A 【解析】 【分析】设出动点，运动秒，能使的面积为12，用分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设动点，运动秒后，能使的面积为15， 则为cm，为cm，由三角形的面积计算公式列方程得：， 解得，（当时，，不合题意，舍去）， 动点，运动3秒时，能使的面积为， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，能借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 12. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入方程，即可求解． 【详解】解：依题意，将代入方程，得 ， 解得：， 故答案为：． 13. 若是关于x的二次函数，则m=_____ 【答案】2 【解析】 【分析】利用二次函数定义可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：得，且， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是掌握二次函数的定义：形如，、、为常数）的函数叫做二次函数． 14. 抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线是______． 【答案】（或） 【解析】 【分析】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据平移的规律：左加右减，上加下减，可得到的抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线是，即， 故答案为：（或）． 15. 定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，先利用因式分解法解方程，得到或．再分别将，代入，求出a的值即可．求出方程的两个解是解题的关键． 【详解】解：， 分解因式为， 解得或 ①当时，， 整理得， ∵，∴方程无解； ②当时， ， ∴或（舍去） 故答案为：． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. 解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键． （1）利用因式分解的方法求解方程即可； （2）利用公式法求解方程的解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， ，． 17. 汽车产业的发展，有效促进了我国现代化建设．某汽车销售公司2016年盈利1000万元，2018年盈利1440万元，且从2016年到2018年，每年盈利的年增长率相同． （1）求每年盈利的年增长率； （2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2019年盈利多少万元？ 【答案】（1）20%；（2）1728万元. 【解析】 【分析】（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意列出方程求解即可； （2）利用2019年盈利＝1440×（1+x），由此计算即可； 【详解】解：（1）设每年盈利的年增长率为x， 根据题意得1000（1+x）2＝1440 解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去） 答：每年盈利的年增长率为20%． （2）1440（1+0.2）＝1728 答：预计2009年该公司盈利1728万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用中增长率的问题，正确找出数量关系是解题的关键 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一实数根大于2，求a的取值范围． 【答案】（1） ， 根据题意得：， ∴方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求证； （2）利用因式分解法，求出方程的两个根为，再由该方程有一实数根大于2，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴， 解得：， ∵该方程有一实数根大于2， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 19. 已知二次函数的图象过点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）画出这个函数的图象； （3）写出当时，函数值的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，画二次函数图象，二次函数的性质，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求的函数解析式，画出对应的函数图象即可； （3）将函数化为顶点式，求出对称轴及顶点坐标，根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：把，代入中得：， ∴， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：函数图象如下所示： 【小问3详解】 解：， 二次函数的图象关于直线对称，顶点坐标为，且图象开口向上， 当时， 时，y有最小值，最小值为， ， 时，y有最大值，最大值为， ∴当时，函数值的取值范围为． 20. 已知二次函数（）的图象经过点． （1）若，求该函数图象的顶点坐标． （2）若，点，在该函数图象上，且，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）代入条件可求得的值，进而求出顶点坐标； （2）代入，可得到，求出其对称轴，根据开口方向即可解题． 【详解】解：（1）若，则， 代入得：， 解得：， ∴， ∴顶点坐标为； （2）代入点，可得：， 整理得：， ∴， 对称轴为：直线， ∵时，图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小， 若使，则点距离对称轴更远， 则应有：， 解得：或． 21. 阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： （1）解方程，则______； （2）若，求______． 【答案】（1）5或 （2）5 【解析】 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． （1）仿照例题，将看作整体，因式分解后得出，再求解即可． （2）仿照例题，将看作整体，因式分解后得出，再求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， ∴， 故答案为：5或； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，， ∵不论a、b为何值，，即， ， 故答案为：5． 22. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价元，那么平均可多售出件，设每件童装降价元． （1）每天可销售______件，每件盈利_______元；（用含的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利元． 【答案】（1）， （2）元或元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（营销问题），列代数式，因式分解法解一元二次方程等知识点，理解题意找到题目中蕴含的等量关系并列方程求解是解题的关键． （1）根据“销售量原销售量因价格下降而增加的数量”、“每件利润实际售价进价”列式即可； （2）根据“总利润每件利润销售数量”，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意可得： ， 解得：，， 答：每件童装降价元或元时，平均每天盈利元． 23. 如图，抛物线（a≠0）与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，OB=OC，抛物线的对称轴为直线x=1． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线的对称轴上一点，连接 AC，CP，AP，当△ACP的周长最小时，求点P的坐标； （3）在（2）的情况下，在y轴上是否存在点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，或或或． 【解析】 【分析】（1）求出、点坐标，再由，得到，将点坐标代入，求出的值即可求的值； （2）当、、三点共线时，的值最小，此时的周长最小，连接交对称轴于点，求出直线的解析式，再求点； （3）求出，设，则，，，分三种情况讨论：当时，由勾股定理可求；当时，由勾股定理可求；当时，由勾股定理可求或． 【小问1详解】 解：令，则， ， ， ， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 将代入， ， 解得， ； ； 【小问2详解】 解：、关于对称轴对称， ， ， 当、、三点共线时，的值最小，此时的周长最小， 连接交对称轴于点， 设直线的解析式为， ， 解得， ， ； 【小问3详解】 解：存在点，使得以，，为顶点的三角形为直角三角形，理由如下： 在中，令，则， 解得或， ， 设， ，，， 当时，， 解得， ； 当时，， 解得， ； 当时，， 解得或， 或； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $