精品解析：河南漯河市实验中学2026-2027学年上学期九年级第一次质量检测数学试题

2026—2027学年上学期九年级质量检测数学试题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于A选项，∵当时，方程二次项系数为0， ∴不是一元二次方程． 对于B选项，∵方程的未知数为， ∴不是关于的方程． 对于C选项，整理得， ∵仅含未知数，的最高次数为2，二次项系数不为0， ∴是关于的一元二次方程． 对于D选项，整理得， ∵当时，二次项系数为0，方程为一元一次方程， ∴不一定是一元二次方程． 2. 用配方法解一元二次方程时，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，关键是掌握配方的方法：当二次项系数为1时，移项后两边加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：， ， ， 故选D． 3. 关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为（ ） A. 0 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化简为一般式，再将一次项的系数为0且二次项系数不为0，求解即可． 【详解】解：， 一元二次方程不含一次项， ，， ，， 解得， 故选：D． 4. 设a、b是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. -3 B. 5 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，整理得， 将代入得： 原式， ∵，是方程的两个根， 根据一元二次方程根与系数的关系，得， ∴原式． 5. 将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（ ） A. 先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B. 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D. 先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 【答案】B 【解析】 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到， 再向下平移4个单位长度，得到． 6. 已知点和都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性，并利用增减性比较函数值的大小问题，能够理解在二次函数中比较函数值大小的方法并灵活运用是解决问题的关键．利用二次函数的增减性比较大小即可． 【详解】解；由题知：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 离对称轴越远则函数值越小， 题中三个点离直线距离由远及近为， 故选：B． 7. 某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出相同数目的小分支，若主干、枝干、小分支的总数是43，则每个枝干长出的小分支的个数为（ ） A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个 【答案】B 【解析】 【分析】设每个枝干长出的小分支个数为，根据题意，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设每个枝干长出的小分支个数为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）； 故每个枝干长出的小分支的个数为6个. 8. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象不可能是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴的位置确定、的符号，再结合一次函数图象所过的象限进行判断即可． 【详解】解：A、由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧可知，得； 由直线过一、三、四象限可知，，即， ∴b矛盾，故选项A符合题意； B、由抛物线开口向下可知，对称轴在轴左侧可知，得； 由直线过一、二、四象限可知，，即， 故选项B不符合题意； C、由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧可知，得； 由直线过二、三、四象限可知，，即． 故选项C不符合题意； D、由抛物线开口向下可知，对称轴在轴右侧可知，得； 由直线过一、二、三象限可知，，即， 故选项D不符合题意． 9. 关于 x 的一元二次方程，下列命题： ①若 a 、c 异号，则方程必有两个不相等的实数根； ②若，则方程有一个根为； ③若，则方程的两根互为相反数； ④若，由根与系数的关系可得， ； 其中真命题有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系，判断命题的真假，根据根的判别式，方程的解，根与系数的关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵异号， ∴ ∴， ∴方程必有两个不相等的实数根；故①为真命题； ∵， ∴方程有一个根为；故②为真命题； ∵， ∴方程的两根之和为， ∴方程的两根互为相反数，故③为真命题； 若，由根与系数的关系可得，；故④为真命题； 故选D． 10. 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x＝，且经过点(2，0)，下列说法：①abc＜0；②a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－2，y1)，(，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2.其中说法正确的有( ) A. ②③④ B. ①②③ C. ①④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象得出a<0, a+b=0,c>0,即可判断①②;把x=2代入抛物线的解析式即可判断③,根据(－2，y1)，(，y2)到对称轴的距离即可判断④. 【详解】∵二次函数的图象的开口向下, ∴a<0, ∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的正半轴上, ∴c>0, ∵二次函数图象的对称轴是直线x=, ∴a=-b, ∴b>0, ∴abc<0,故①正确; ∵a=-b, ∴a+b=0,故②正确; 把x=2代入抛物线的解析式得， 4a+2b+c=0,故③错误; ∵ , 故④正确; 故选D.. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用,题目比较典型,主要考查学生的理解能力和辨析能力. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式；根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；同时，方程有实数根需满足判别式非负，由此建立条件不等式组求解即可． 【详解】解：方程 是一元二次方程， ， 一元二次方程有实数根， ， 解得 ， 故 的取值范围是 且 ． 12. 若点和点在抛物线上，且，则的取值范围是______________． 【答案】或 【解析】 【分析】对于抛物线，可先将其化为顶点式来确定对称轴，根据二次函数的单调性，结合来确定的取值范围． 【详解】解：∵ ， ∴该抛物线的对称轴直线为，且二次项系数， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大， 设点关于对称轴直线的对称点为， ∴根据对称轴公式2，解得， ∵，抛物线开口向上： ∴当在对称轴右侧时，满足， ∴当在对称轴左侧时，满足， ∴m的取值范围是或． 13. 已知为实数，且，则的值是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了换元法，解一元二次方程，注意解的取值范围是解题关键． 设，则原方程化为，解二次方程并根据确定值． 【详解】解：设，则， 原方程化为， 即， ， ， 解得或， 由于，故， 即． 故答案为：4． 14. 如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于C（0，3），M是抛物线对称轴上的任意一点，则△AMC的周长最小值是___________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：连结BC,直线BC与抛物线的对称轴的交点即为所求的点M,此时AM+CM=BC,因为B（4，0），C（0，3），所以BC=5，又因为A（-1，0），C（0，3），所以AC=,所以△AMC的周长最小值=AC+BC=. 考点：1.抛物线的性质2.轴对称的性质. 15. 将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】求出翻折后新函数的分段解析式，分别计算直线与中间段抛物线相切、直线经过右侧交点时的值，结合图象确定范围． 【详解】解：令，得解得， 抛物线与轴交点为和 新函数在时，； 在或时， 当直线与相切时 方程有两个相等实数根 整理得 即 解得 当直线经过点时 ，解得 如图， 结合图象可知，当时，直线与新函数的图象有个公共点． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： ，，， ， ， ，． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求实数的取值范围； 若方程的两个实数根为、，且，求实数的值． 【答案】； 的值为． 【解析】 【分析】（1）由关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根，可得△＞0，继而求得实数m的取值范围； （2）由方程的两个实数根为x1、x2，且x1+x2+x1•x2=m2-1，可得方程1+m=m2-1，继而求得答案． 【详解】∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即； 由根与系数的关系可知：，， ∴， 整理得：， 解得：或， ∵， ∴所求的值为． 【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意△＞0⇔方程有两个不相等的实数根，若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q． 18. 如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 【答案】经过秒或秒，的面积等于100平方厘米 【解析】 【分析】设运动时间为t秒，根据题意和三角形面积公式进行分类讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， 当时，依题意，得 解得，（不合题意，舍去）； 当时，依题意，得 解得． ∴经过秒或秒，的面积等于100平方厘米． 19. 已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： 0 1 0 0 （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）当时，直接写出的取值范围； （4）当时，关于的一元二次方程有实根，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式． （1）根据，，三个点求解析式即可； （2）画出函数图象；观察图象可得当时有最大值，当时有最小值，即可求出y的取值范围； （3）观察图象可得当时，当时，在上方，即可求出x的取值范围； （4）利用图象法求出当时函数的取值范围，即为t的取值范围． 【小问1详解】 解：二次函数的图象过点和， 设二次函数的解析式为：， 将代入得：， 解得：， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：函数图象如图所示： 观察图象可知，当时，； 【小问3详解】 解：观察图象可知，当时，或； 【小问4详解】 解：观察图象可知，当时，， ∵当时，关于x的一元二次方程有实根， ∴． 20. 中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团 圆和完 美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的倍，用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个． （1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？ （2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以元销售时，那么半个月可以售出个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高元，销量会相应减少个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）普通豆沙饼的单价是元，蛋黄豆沙饼的单价是元 （2）当售价定为元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用， （1）设普通豆沙饼的单价是元，则蛋黄豆沙饼的单价是元，根据“用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个”列出分式方程求解即可； （2）设售价定为元，利润为元，根据题意列出关于的二次函数，结合二次函数的性质求解即可； 解题的关键：（1）正确理解题意，列出方程；（2）正确列出函数关系式． 【小问1详解】 解：设普通豆沙饼的单价是元，则蛋黄豆沙饼的单价是元， 依题意，得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解且符合题意， ∴（元）， 答：普通豆沙饼的单价是元，蛋黄豆沙饼的单价是元； 【小问2详解】 设售价定为元，利润为元， 依题意，得：， ∵ ∴二次函数的图像开口向下，函数有最大值， ∴当时，有最大值，最大值为元， 答：当售价定为元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是元． 21. 如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）抛物线的函数表达式为 （2）当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可求得． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点D的坐标为， ∴将点D坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 22. 已知二次函数（m为常数） （1）若该二次函数图像经过，求二次函数解析式； （2）求证：不论m取何值，该二次函数图像与x轴总有两个交点； （3）当时，y的最小值为，求m的值． 【答案】（1）； （2） 证明：将代入解析式可得 判别式 一元二次方程始终有两个解， 即二次函数图像与x轴总有两个交点； （3） 【解析】 【分析】（1）将代入解析式，求出即可； （2）将代入解析式可得一元二次方程，判断判别式即可； （3）分三种情况讨论，当对称轴在左边，中间以及右边三种情况，分别求解． 【小问1详解】 解：将代入解析式可得 解得， 则 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：二次函数的对称轴为 当时，即，此时在对称轴的右侧， 又∵，开口向上 ∴当时，随的增大而增大， 当时，最小，即， 解得，不符合题意，舍去； 当时，即，此时对称轴在中间 当时，最小，即 解得，符合题意， 当时，即，此时对称轴在的右边 当时，最小，即， 解得，不符合题意，舍去； 综上， 【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，待定系数法求解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质． 23. 如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； （3）如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在点P，横坐标为,， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题． （1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式； （2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围； （3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 ∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． 【小问2详解】 当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． 【小问3详解】 抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期九年级质量检测数学试题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为（ ） A. 0 B. C. 4 D. 4. 设a、b是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. -3 B. 5 C. 3 D. 5. 将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（ ） A. 先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B. 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D. 先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 6. 已知点和都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出相同数目的小分支，若主干、枝干、小分支的总数是43，则每个枝干长出的小分支的个数为（ ） A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个 8. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象不可能是（     ） A. B. C. D. 9. 关于 x 的一元二次方程，下列命题： ①若 a 、c 异号，则方程必有两个不相等的实数根； ②若，则方程有一个根为； ③若，则方程的两根互为相反数； ④若，由根与系数的关系可得， ； 其中真命题有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 10. 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x＝，且经过点(2，0)，下列说法：①abc＜0；②a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－2，y1)，(，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2.其中说法正确的有( ) A. ②③④ B. ①②③ C. ①④ D. ①②④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 12. 若点和点在抛物线上，且，则的取值范围是______________． 13. 已知为实数，且，则的值是___________． 14. 如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于C（0，3），M是抛物线对称轴上的任意一点，则△AMC的周长最小值是___________. 15. 将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为____________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求实数的取值范围； 若方程的两个实数根为、，且，求实数的值． 18. 如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 19. 已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： 0 1 0 0 （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）当时，直接写出的取值范围； （4）当时，关于的一元二次方程有实根，直接写出的取值范围． 20. 中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团 圆和完 美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的倍，用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个． （1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？ （2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以元销售时，那么半个月可以售出个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高元，销量会相应减少个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 21. 如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 22. 已知二次函数（m为常数） （1）若该二次函数图像经过，求二次函数解析式； （2）求证：不论m取何值，该二次函数图像与x轴总有两个交点； （3）当时，y的最小值为，求m的值． 23. 如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； （3）如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $