13.3.1.1三角形的内角和-课件--2026-2027学年人教版数学八年级上册

# 人教版八年级上册 13.3.1.1 三角形的内角和 专项练习 （全文约1500字\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)可直接打印） ## 知识要点速记 1. **三角形内角和定理**：三角形三个内角的和等于$\boldsymbol{180^\circ}$。 符号语言：在$\triangle ABC$中\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$。 2. **定理证明思路**：通过作平行线\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)把三个内角转化成一个平角（平行线的性质：内错角相等）。 3. **推论1（直角三角形性质）**：直角三角形的两个锐角互余。 即在$Rt\triangle ABC$中\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$\angle C=90^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)则$\angle A+\angle B=90^\circ$。 4. **推论2**：有两个角互余的三角形是直角三角形。 5. **常用解题思想**： - 已知两个角\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)直接求第三个角； - 角度带比例关系\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)常设未知数$x$列方程求解； - 结合高\(\because BP、CP\)角平分线\(\because BP、CP\)中线综合求角度； - 无图题注意分类讨论。 ⚠️易错提醒：内角和只和三角形形状有关\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)和大小无关。 ## 一\(\because BP、CP\)基础过关（判断+填空+选择） ### 判断题（对√\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)错×） 1. 一个三角形最多有两个直角。（） 2. 三角形内角和等于$180^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)与三角形大小无关。（） 3. 在直角三角形中\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)两个锐角之和等于$90^\circ$。（） 4. 一个三角形最少有两个锐角。（） 5. 如果三角形两个内角和小于$90^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)那么它是锐角三角形。（） ### 填空题 6. 在$\triangle ABC$中\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$\angle A=50^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$\angle B=60^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)则$\angle C=$______$^\circ$。 7. 直角三角形一个锐角为$36^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)另一个锐角是______$^\circ$。 8. 一个三角形三个内角之比为$\(1:2:3\)$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)这个三角形是______三角形。 9. 在$\triangle ABC$中\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$\angle A:\angle B:\angle C=2:3:4$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)则$\angle A=$______$^\circ$。 10. 在$\triangle ABC$中\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$\angle A=45^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$\angle B=\angle C$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)则$\angle B=$______$^\circ$。 ### 选择题 11. 在$\triangle ABC$中\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$\angle A=70^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$\angle B=50^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)则$\angle C$等于（） A.$40^\circ$　B.$50^\circ$　C.$60^\circ$　D.$70^\circ$ 12. 下列角度\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)不可能是同一个三角形三个内角的是（） A.$50^\circ,60^\circ,70^\circ$ B.$90^\circ,35^\circ,55^\circ$ C.$100^\circ,40^\circ,40^\circ$ D.$80^\circ,80^\circ,30^\circ$ 13. 一个三角形\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)两个内角之和等于第三个内角\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)这个三角形是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 14. 在$\triangle ABC$中\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$\angle A=2\angle B$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$\angle C=60^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)则$\angle A$的度数为（） A.$60^\circ$ B.$80^\circ$ C.$100^\circ$ D.$120^\circ$ ## 二\(\because BP、CP\)中档解答题 15. 在$\triangle ABC$中\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)已知$\angle A=48^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$\angle B=72^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)求$\angle C$的度数。 16. 一个三角形三个内角的度数比是$\(2:3:5\)$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)求三个内角分别是多少度\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)并判断三角形的类型。 17. 在$\triangle ABC$中\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$AD$是$BC$边上的高\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$\angle B=50^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$\angle BAD=40^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$\angle C=60^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)求$\angle DAC$的度数。 18. 在$\triangle ABC$中\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$AE$平分$\angle BAC$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$\angle B=45^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$\angle C=55^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)求$\angle BAE$的度数。 ## 三\(\because BP、CP\)拓展提升题 19. 在$\triangle ABC$中\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$\angle A-\angle B=20^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$\angle C=60^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)求$\angle A$\(\because BP、CP\)$\angle B$的度数。 20. 已知$\triangle ABC$中\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$\angle ABC$与$\angle ACB$的角平分线交于点$P$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$\angle A=60^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)求$\angle BPC$的度数。 ## 参考答案 1. ×（两个直角相加已经是$180^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)不能构成三角形） 2. √ 3. √ 4. √ 5. ×（两个内角和小于$90^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)第三个角大于$90^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)是钝角三角形） 6. $70$ 7. $54$ 8. 直角 9. $40$ 10. $\(67.5\)$ 11. A 12. D（$80+80+30=190^\circ eq180^\circ$） 13. B 14. B 15. 解：$\because \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$ $\therefore \angle C=180^\circ-48^\circ-72^\circ=60^\circ$ 答：$\angle C=60^\circ$。 16. 解：设三个内角为$\(2x,3x,5x\)$ $2x+3x+5x=180^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$10x=180^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$x=18^\circ$ $2x=36^\circ\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)3x=54^\circ\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)5x=90^\circ$ 有一个角是$90^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)是直角三角形。 答：三个内角为$36^\circ\(\because BP、CP\)54^\circ\(\because BP、CP\)90^\circ$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)直角三角形。 17. 解：$\because AD$是高\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)$\therefore \angle ADC=90^\circ$ $\angle DAC=90^\circ-\angle C=90^\circ-60^\circ=30^\circ$ 答：$\angle DAC=30^\circ$。 18. 解：$\angle BAC=180^\circ-\angle B-\angle C=180^\circ-45^\circ-55^\circ=80^\circ$ $\because AE$平分$\angle BAC$ $\therefore \angle BAE=\dfrac12\angle BAC=40^\circ$ 答：$\angle BAE=40^\circ$。 19. 解：$\begin{cases} \angle A-\angle B=20^\circ \\ \angle A+\angle B=180^\circ-60^\circ=120^\circ \end{cases}$ 两式相加：$2\angle A=140^\circ\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)\angle A=70^\circ$ $\angle B=120^\circ-70^\circ=50^\circ$ 答：$\angle A=70^\circ\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)\angle B=50^\circ$。 20. 解：$\because \angle A=60^\circ$ $\therefore \angle ABC+\angle ACB=180^\circ-60^\circ=120^\circ$ $\because BP\(\because BP、CP\)CP$是角平分线 $\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)\angle PCB=\dfrac12\angle ACB$ $\angle PBC+\angle PCB=\dfrac12(\angle ABC+\angle ACB)=60^\circ$ $\angle BPC=180^\circ-60^\circ=120^\circ$ 答：$\angle BPC=120^\circ$。 ## 解题小结 1. 核心公式：$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$；直角三角形两锐角互余； 2. 比例题型：设未知数$x$\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)列方程是最稳妥方法； 3. 综合题经常搭配**角平分线\(\because BP、CP\)高**一起考\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)先找直角\(\because BP、CP\)等角； 4. 模型：三角形两个内角平分线夹角$\angle BPC=90^\circ+\dfrac12\angle A$（可以直接记住\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)选择填空提速）。 下一节是**三角形的外角**\(2\angle A=140^\circ\(\angle A=70^\circ\(\therefore \angle PBC=\dfrac12\angle ABC，\angle PCB=\dfrac12\angle ACB\)\angle B=50^\circ\)\angle A=70^\circ\)要不要直接给你 13.3.1.2 的专项练习？ 人教版数学（新教材）八年级上册 13.3.1.1三角形的内角和 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/28 第十三章 三角形 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 1. 探索并证明三角形的内角和定理.(重、难点) 2.三角形内角和定理及其运用.(重点) 3. 学会解决与求角度有关的实际问题. 4. 体会转化的数学思想. 学习目标 请你帮忙评判一下这些关于三角形内角和的观点！ 我是钝角三角形，我有一个钝角，我的内角和最大！ 我是直角三角形， 我的形状最大， 我的内角和肯 定最大！ 我是锐角三角形，我的形状最小，我的内角和也最小！ 情境导入 问题1 在小学我们已经知道任意一个三角形的三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家借助手中的三角形纸片，回忆小学时的学习经历. 1.用度量的方法得出结论. 探究新知 与边一样，三角形的角也是构成三角形的元素。本节我们学习三角形的三个内角之间的关系。 探究新知 5 在小学，通过度量或剪拼，我们已经知道三角形的内角和等于180°，这样的方法获得的结论可靠吗？ 由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于180°，不能完全令人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°.因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和等于180°. 探究新知 探究：你还记得在小学是如何通过剪拼的方法得出三角形的内角和吗？下图给出了两种剪拼的方法。从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？ 探究新知 在图(1)中，将△ABC的∠B和∠C剪下，分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点的直线，移动后的∠B和∠C各有一条边在直线l上。想一想，直线l与△ABC的边BC有什么关系？ 你能由这个图想出证明“三角形的内角和等于180”的方法吗？ 探究新知 由上述拼合过程得到启发，过△ABC的顶点A作直线l 平行于△ABC的边BC. 由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论。 探究新知 A B C 2 4 1 5 3 　l 证明：如图所示，过点A作直线l，使l//BC． ∵l//BC， ∴∠2=∠4, （两直线平行，内错角相等） 同理，∠3=∠5. ∵∠1，∠4，∠5组成平角 ∴∠1+∠4+∠5=180°, （平角定义） ∴∠A+∠B+∠C=180°. （等量代换） ∴任意一个三角形的内角和都等于180° 已知：△ABC（如图所示）． 求证：∠A+∠B+∠C=180°． 探究新知 以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到如下定理： 三角形内角和定理： 三角形的三个内角和等于180° 即：∠A+∠B+∠C=180° 探究新知 知识点1 三角形内角和定理 1.如图，在中， ， ，则 的度数为( ) C （第1题） A. B. C. D. 返回 举一反三 12 （第2题） 2.［2025唐山月考］如图，已知 ， ， ，则 的度数为 ( ) A A. B. C. D. 3.［2024长沙中考］如图，在 中， ， ，，则 的 度数为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 13 4.在中， ，，则 _____. 返回 举一反三 14 试一试：由图（2），你能给出这个定理的其他证法吗？ 探究新知 证明：如图，延长 BC，过点 C 作直线 l，使 l//AB． ∵ l∥AB， ∴∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等）， ∠2＝∠5（两直线平行，同位角相等）． ∵∠3，∠4，∠5 组成平角， ∴∠3＋∠4＋∠5＝180°（平角定义）． ∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（等量代换）． A B C 1 2 3 l 5 4 试一试：由图（2），你能给出这个定理的其他证法吗？ 探究新知 16 例1：如图，在△ABC 中， ∠BAC =40°, ∠B =75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数． C B D A 解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得 ∠DAB=∠BAC=20°， 在△ABD 中， ∠ADB=180°－∠B－∠BAD=180°－20°－75°=85°． 探究新知 例2：如图，是A、B、C三岛的平面图. C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°向．从B 岛看A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB 呢？ 北 北 C A B D E 分析：A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角. 如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB. 探究新知 解：∠CAB=∠BAD−∠CAD=80°−50°=30°, 由AD//BE，得 ∠BAD+∠ABE=180°， ∴∠ABE=180°－∠BAD=180°−80°=100° ∠ABC=∠ABE－∠EBC=100°−40°=60° 在△ABC 中， ∠ACB=180°−∠ABC−∠CAB=180°−60°−30°=90° 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°. 你还能想出其他解法吗？ 北 北 C A B D E 探究新知 求角有技巧，一转二计算 （1）转移：根据平行线的性质，转移已知角（或所求角）的位置． （2）计算：集中条件应用三角形内角和定理计算角． 探究新知 随堂演练 教材P13练习 第1题 1. 如图，从 A 处观测 C 处的仰角 ∠CAD = 30°，从 B 处观测 C 处的仰角 ∠CBD = 45°. 从 C 处观测 A，B 两处的视角∠ACB 是多少度？ C A B D 当堂检测 随堂演练 教材P13练习 第1题 C A B D 解：在△ABC 中， ∠ACD = 180° – (∠BAD +∠CAD) = 180° – (30° + 90°) = 60° . 在△BCD 中， ∠BCD = 180° – (∠CBD +∠D) = 180° – (45° + 90°) = 45° . ∴∠ACB =∠ACD –∠BCD = 60° – 45° = 15° . 当堂检测 随堂演练 教材P13练习 第2题 2. 如图，在△ABC 中，∠A = 40°，求∠B + ∠C + ∠ADE + ∠AED 的度数. C A B D E 当堂检测 随堂演练 教材P13练习 第2题 C A B D E 解：在△ADE 中， ∠ACD +∠AED = 180° –∠A = 180° – 40° = 140° . 在△ABC 中， ∠B +∠C = 180° – ∠A = 180° – 40° = 140° . ∴ ∠B + ∠C + ∠ADE + ∠AED = 140° + 140° = 280° . 当堂检测 随堂演练 3. 已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角. （1）若∠A = 95°，∠B = 40°，则∠C =_____； （2）若∠A :∠B :∠C = 4 : 5 : 9，则∠C =_____； （3）若∠A = 2∠B = 6∠C，则∠B =_____. （1）∠C = 180°–∠A –∠B 45° （2）设∠A = 4x°，则∠B = 5x°，∠C = 9x° ∴ 4x + 5x + 9x = 180 解得 x = 10 90° 54° （3）设∠C = x°，则∠A = 6x°，∠B = 3x° ∴ 6x + 3x + x = 180 解得 x = 18 当堂检测 5. ［教材 探究变式］数学课上，同学们通过撕、拼 的方法，探索、验证三角形的内角和等于 .下面是小彬的课堂笔记， 请阅读操作方法，补全证明过程. 举一反三 26 如图①，的三个内角分别为，，.将和 撕下，按图 ②的方式摆拼，使和的顶点均与的顶点重合，的一边与 重合，的一边与 重合. _________________________________________________________________________________________________ 证明：由操作可知 ， 举一反三 （________________________）. 同理，， ____//____. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 点，， 在同一条直线上， _____ ， 即________ ______. 内错角相等，两直线平行 180 返回 举一反三 6.如图，在中， ， . （1）求 的度数； 解： ， ， . 举一反三 29 （2）若 ，交于点，求 的度数. 解：， ， . 又 ， . 返回 举一反三 30 求角度 证法 应用 转化为一个平角 或同旁内角互补 辅助线 三角形的内角和等于180 ° 作平行线 转化思想 课堂小结 谢谢观看 THANKS $