精品解析：江苏苏州市吴中区、吴江区、相城区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区 八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 如图，D在上，E在上，且．补充下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，中，，，的垂直平分线交于D，交于E，下述结论：（1）平分；（2）；（3）的周长等于；（4）D是的中点．其中正确结论的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 如图，为面积为的等边的中线，点F在过点C且垂直于的直线上运动，连接，以为边在的左侧作等边，则点E恰好始终落在上，连接，当最小时，的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 我国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来了很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入为3800美元，预计2019年年人均收入将达到5000美元，设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 小华先向东走了后，接着向北走了，此时小华离出发点的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 日常生活中，我们会看到很多标志，在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 4的平方根是（　　） A. ±16 B. 2 C. ﹣2 D. ±2 8. 已知满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A. 或 B. C. D. 以上答案都不对 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 如图，在中，将按如图所示的方式折叠，点B、C均落于边上的点Q处，为折痕，若，则__． 10. 1234567精确到千位，并用科学记数法表示为______． 11. 计算： ____________ ____________ ____________． 12. 如图，长方形OABC放在数轴上，，，以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示的数为_______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10，8），则点E的坐标为 . 14. 计算______． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝15，且BD∶DC＝3∶2，则D到边AB的距离是_________． 16. 如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 求下列各式中的值． （1）． （2）． 18. 某校校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱(如图)，学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点A绕三棱柱侧面一周到顶点安装灯带，已知此三棱柱的高为4m，底面边长为1m，求灯带最短的长度． 19. 在平面直角坐标系中，点的坐标满足． （1）当点P在第一象限时，画出点P组成的图形； （2）已知点 ，当的面积为6时，求点P的坐标． 20. 如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动．设运动的时间为t秒． （1）直接写出： ①BD＝　 　厘米； ②BP＝　 　厘米； ③CP＝　 　厘米； ④CQ＝　 　厘米； （可用含t、a的代数式表示） （2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a、t的值． 21. 如图，点在一条直线上，，，．写出与之间的关系，并证明你的结论． 22. 如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB且∠AOC=50°，求∠COD的度数． 23. 分别求出下列各数的立方根 ①125 ②． 24. 如图，已知正方形和，连接，以为边作正方形，试用该图形证明勾股定理：． 25. （1）如图，实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果． （2）已知实数，，满足，求的平方根． 26. 如图，在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接． （1）如图1，射线，都在的内部． ①设，则 （用含有的式子表示）； ②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段 的长度相等； （2）如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 27. 操作与探究 探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a ． （1）如图1, 延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1=________（用含a的代数式表示）； （2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2= （用含a的代数式表示）； （3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=__________（用含a的代数式表示）． 发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_____倍． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区 八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 如图，D在上，E在上，且．补充下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴要使全等，只需要一组对应边对应相等即可， ∴当或或时，， 当时，三组对应角相等，不能判定， 故选B． 【点睛】本题考查添加条件证明三角形全等．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．注意不能判定三角形全等． 2. 如图，中，，，的垂直平分线交于D，交于E，下述结论：（1）平分；（2）；（3）的周长等于；（4）D是的中点．其中正确结论的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质与判定定理逐一判断即可． 【详解】解：，，  ，  垂直平分， ， ，  ，  ，即平分，故（1）正确 ； ，  ，  ，  ，故（2）正确；  的周长，故（3）正确； ， ， ，  ，即不是的中点，故（4）错误； 综上所述，正确的结论有3个． 3. 如图，为面积为的等边的中线，点F在过点C且垂直于的直线上运动，连接，以为边在的左侧作等边，则点E恰好始终落在上，连接，当最小时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作点D关于直线对称的点，连接，得到，证明，，在同一直线上，证明，得到，根据等边面积为6求出，再根据，即可求出的面积． 【详解】解：如图所示，作点D关于直线对称的点，连接， 则, ∴, 由对称性知，且 ， 故， ∴为等边三角形，得， ∵D为中点， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴， ∵共线， ∴， 在中，， ∵， ∴，即点F在线段的垂直平分线上， ∵是等边三角形，是中线， ∴垂直平分， ∴点必在直线，则，，在同一直线上， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等边的中线， ∴，， ∵等边面积为6， ∴， ∴， ∵， ∴． 4. 我国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来了很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入为3800美元，预计2019年年人均收入将达到5000美元，设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设2017年到2019年该地区居民年人均收入增长率为x，根据2017年和2019年该地区居民年人均收入，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设2017年到2019年该地区居民年人均收入增长率为x， 依题意，得：3800（1+x）2=5000， 故选C 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5. 小华先向东走了后，接着向北走了，此时小华离出发点的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：根据勾股定理可得小华离出发点的距离是． 6. 日常生活中，我们会看到很多标志，在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念进行求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，本选项符合题意； 、不是轴对称图形，本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 7. 4的平方根是（　　） A. ±16 B. 2 C. ﹣2 D. ±2 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的定义以及性质进行计算即可． 【详解】4的平方根是±2， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的问题，掌握平方根的定义以及性质是解题的关键． 8. 已知满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A. 或 B. C. D. 以上答案都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值与算术平方根的非负性求出，的值，然后分两种情况讨论：①当等腰三角形腰长为4时；②当等腰三角形腰长为8时；讨论两种情况下边长能否构成三角形，再选择能构成三角形的情况求周长即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， 若腰长为，则三边长为， ∵，不能构成三角形，舍去； 若腰长为，则三边长为， ∵，能构成三角形， 周长为． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 如图，在中，将按如图所示的方式折叠，点B、C均落于边上的点Q处，为折痕，若，则__． 【答案】##82度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到的度数． 由折叠的性质可知：，根据三角形的内角和为，可求出的度数，进而得到的度数，问题得解． 【详解】解：∵线段、为折痕， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10. 1234567精确到千位，并用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】依据四舍五入规则判断百位数字的取舍，得到千位精度的近似值，再用科学记数法规范表示结果． 【详解】解：∵精确到千位取近似值时，需根据千位后一位即百位上的数字做四舍五入判断 ∴对1234567按数位定位，从右到左依次为个位7、十位6、百位5、千位4，百位数字为5，满足向千位进1的条件， ∴千位上的4加1变为5，千位之后的数位补0，得到近似值1235000， ∵科学记数法的表达形式为，其中，等于原数的整数位数减1， ∴ 1235000共7位整数，对应，，最终近似值为． 11. 计算： ____________ ____________ ____________． 【答案】 ①. ##； ②. ##； ③. ④. ⑤. ⑥. ## 【解析】 【详解】解：， ， ． 12. 如图，长方形OABC放在数轴上，，，以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示的数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出AC，然后根据数轴写出点P所表示的数即可． 【详解】解：∵长方形OABC的长OA为2，宽OC为1， ∴由勾股定理得，， ∴， ∵点A表示的数是2， ∴点P表示的数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，主要是无理数在数轴上的表示，熟记定理是解题的关键． 13. 如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10，8），则点E的坐标为 . 【答案】（10，3） 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标． 【详解】∵四边形AOCD为矩形,D的坐标为(10,8), ∴AD=BC=10，DC=AB=8， ∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处， ∴AD=AF=10，DE=EF， 在Rt△AOF中,OF= =6， ∴FC=10−6=4， 设EC=x，则DE=EF=8−x， 在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2， 即(8−x)2=x2+42， 解得x=3，即EC的长为3. ∴点E的坐标为(10,3). 故答案为：(10,3). 14. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】运用完全平方差公式展开原式，结合二次根式的性质与乘法法则化简计算 【详解】解： ． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝15，且BD∶DC＝3∶2，则D到边AB的距离是_________． 【答案】6 【解析】 【详解】 过点D作DE⊥AB于点E， ∵在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC， ∴CD=DE ∵BD：CD=3：2，BC=15 ∴CD=6， ∴DE=6． 故答案为6． 16. 如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式大于且等于零列式求解即可. 【详解】由题意得 x+8≥0， ∴. 故答案为. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方式大于且等于零时二次根式有意义是解答本题的关键. 三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 求下列各式中的值． （1）． （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据直接开平方法可以解答此方程； （2）先移项，然后根据直接开立方法可以解答此方程． 【小问1详解】 ， ， 解得，； 【小问2详解】 ， ， ， ． 【点睛】本题考查立方根、平方根、解方程，解答本题的关键是明确解方程的方法． 18. 某校校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱(如图)，学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点A绕三棱柱侧面一周到顶点安装灯带，已知此三棱柱的高为4m，底面边长为1m，求灯带最短的长度． 【答案】5m 【解析】 【分析】先画出三棱柱的侧面展开图，再根据勾股定理求解． 【详解】将三棱柱展开如图，连接A’A，则A’A的长度就是彩带的最短长度， 如图，在Rt△AA'B中 AB=底面等边三角形的周长=3×1=3(m) ∵AA'=4(m) 由勾股定理得：(m)． 答：灯带的最短长度为5m． 【点睛】本题考查学生对勾股定理的应用能力，熟练掌握勾股定理是解题的关键. 19. 在平面直角坐标系中，点的坐标满足． （1）当点P在第一象限时，画出点P组成的图形； （2）已知点 ，当的面积为6时，求点P的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出一次函数与x轴，y轴的交点坐标，再根据点P在一次函数图象上且在第一象限即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积公式求出，由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，，当时，； ∵点P在第一象限，且点的坐标满足， ∴如图所示，点P组成的图形为：线段（不包括端点），其中，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∴，即， 当时，则，解得； 当时，则，解得； ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，画一次函数图象，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． 20. 如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动．设运动的时间为t秒． （1）直接写出： ①BD＝　 　厘米； ②BP＝　 　厘米； ③CP＝　 　厘米； ④CQ＝　 　厘米； （可用含t、a的代数式表示） （2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a、t的值． 【答案】（1）①12；②4t；③（16﹣4t）；④at；（2）a的值为6、t的值为2或a的值为4、t的值为1 【解析】 【分析】（1）根据速度与时间可得路程和，根据边长和中点定义可得和的长； （2）根据，可知：分两种情况：①若，②若，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论． 【详解】解（1）由题意得：①，②；③，④， （2），，，， ， 分两种情况： ①若， 则， ， ， ②若， 则， ， ． ，综上所述，的值为6、的值为2或的值为4、的值为1． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用及动点运动问题，关键是能根据题意得出方程． 21. 如图，点在一条直线上，，，．写出与之间的关系，并证明你的结论． 【答案】 解：，，证明如下： ∵， ∴， ∴， 在中 ， ∴， ∴，， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和全等三角形的性质和判定，先求出，再根据证明，得出，，再根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”得出． 【详解】略 22. 如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB且∠AOC=50°，求∠COD的度数． 【答案】∠COD=25°. 【解析】 【分析】求出∠BOC，求出∠AOB，根据角平分线求出∠AOD，代入∠COD=∠AOD-∠AOC求出即可． 【详解】∵∠BOC=2∠AOC，∠AOC=50°， ∴∠BOC=2×50°=100°， ∴∠AOB=∠BOC+∠AOC=100°+50°=150°， ∵OD平分∠AOB， ∴∠AOD=∠AOB=×150°=75°， ∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=75°﹣50°=25°． 【点睛】本题考查了角的平分线定义和角的计算，关键是求出∠AOD的度数和得出∠COD=∠AOD-∠AOC． 23. 分别求出下列各数的立方根 ①125 ②． 【答案】①；② 【解析】 【详解】解：①； ②． 24. 如图，已知正方形和，连接，以为边作正方形，试用该图形证明勾股定理：． 【答案】证明：如图，过作于，设交于，交于， 四边形和、都是正方形， ，，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理， ，，， 又，， ， 又，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 【解析】 【分析】过作于，设交于，交于，根据正方形的性质可证明，得到，，推出，证明得到，同理，得到，，，证明得到，进而得到，即可得证． 【详解】略 25. （1）如图，实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果． （2）已知实数，，满足，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据图示，可得：，据此化简即可． （2）根据实数，，满足．可得：，，，求出、、的值各是多少，再应用代入法，求出的值，进而求出它的平方根即可． 【详解】解：（1）根据图示，可得：， ． （2）实数，，满足， ，，， ，，， ， 的平方根是：． 【点睛】此题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的含义和求法，以及实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 26. 如图，在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接． （1）如图1，射线，都在的内部． ①设，则 （用含有的式子表示）； ②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段 的长度相等； （2）如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）①；② （2）， 证明如下： 作点关于直线的对称点，连接，如下图， 由对称的性质可得，，， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据，即可获得答案； ②连接，证明，即可获得答案； （2）作点关于直线的对称点，连接，设，证明，由全等三角形的性质可得，即可获得结论． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∵， ∴； ②如下图，连接， 由对称的性质可得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：①；②； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 27. 操作与探究 探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a ． （1）如图1, 延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1=________（用含a的代数式表示）； （2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2= （用含a的代数式表示）； （3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=__________（用含a的代数式表示）． 发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_____倍． 【答案】（1）a；（2）2a；（3）6a；7. 【解析】 【详解】分析：(1)根据等底等高的三角形面积相等解答即可;(2)分别过A、E作BD的垂线,根据三角形中位线定理及三角形的面积公式求解即可;(3)由△BFD、△ECD及△AEF的边长为△ABC边长的一半,高与△AEF的高相等解答即可. 详解： 解:(1) ∵CD=BC, △ABC的面积为a, △ABC与△ACD的高相等,; (2)分别过A、E作AG⊥BD,EF⊥BD,G、F为垂足, 则AG∥EF,∵A为CE的中点,, ∵BC=CD,; (3) ∵△BDF的边长BD是△ABC边长BC的2倍,两三角形的两边互为另一三角形两边的延长线,,∵△ABC的面积为a,.同理可得,,,. ,,, ∴扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的7倍. 点睛：本题比较复杂,只要根据三角形的面积公式进行分析即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $