第一章 一元二次方程 单元检测卷 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

第一单元检测卷　参考答案与解析 （满分：100分） 一、选择题（每小题2分，共16分） 答案：1．A　　2．B　　3．D　　4．B　　5．C　　6．A　　7．C　　8．D 1． A 选项中，当 时方程不是一元二次方程；C 选项中含有两个未知数；D 选项中，当 时方程可化为 ，是一元一次方程，三者均不符合"一定是"的要求．B 选项可化为 ，二次项系数 ，且只含一个未知数，一定是一元二次方程．故选 A． 2． 移项，得 ．两边同时加上 4，得 ，即 ．故选 B． 3． 因为方程有两个不相等的实数根，所以 ，解得 ．又因为方程是一元二次方程，二次项系数 ，即 ．所以 的取值范围是 且 ．故选 D． 4． 小影只写错常数项，说明一次项系数正确，由根与系数的关系得一次项系数为 ；小冬只写错一次项的系数，说明常数项正确，常数项为 ．所以原来的方程为 ．故选 B． 5． 方程可化为 ，所以 ，，．所以函数 的图象位于第一、三象限．故选 C． 6． 设 ，则 ，原等式可化为 ，即 ，解得 或 ．因为 ，所以 舍去，．故选 A． 7． 解方程 ，得 ，．若腰长为 3，则三边为 3，3，6，不满足"三角形两边之和大于第三边"，不能构成三角形；若腰长为 6，则三边为 6，6，3，可以构成三角形，周长为 ．故选 C． 8． 在 中，，所以 ．而 ，即 的长满足方程 ，所以该方程的一个正根是 的长．故选 D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 答案：9．　　10．，　　11．　　12．　　13． 或 　　14．（答案不唯一）　　15．　　16． 9． 由一元二次方程的定义，二次项系数 ，所以 的取值范围是 ． 10． 因式分解，得 ，所以 ，． 11． 设方程的两根为 ，，由根与系数的关系得 ．因为两根互为倒数，所以 ，即 ，．当 时，方程为 ，，方程没有实数根，不合题意；当 时，方程为 ，，符合题意．所以 的值为 ． 12． 因为 是方程 的一个根，所以 ，即 ．所以 ． 13． 方程 的两根为 ，．若 ，则 ；若 ，则 ．所以 或 ，即 的值为 2 或 18． 14． 两根之和 ，两根之积 ．所以所求方程为 （答案不唯一，写成一般形式即可）． 15． 设修建的道路宽为 ．根据题意，耕地面积为 ，整理得 ，解得 ，．因为道路的宽不可能超过地面的宽 ，所以 不合题意，舍去．所以修建的道路的宽应为 ． 16． 设小正方形的边长为 ，则大正方形的边长为 ．根据题意，得 ，整理得 ，解得 ，（不合题意，舍去）．所以小正方形的边长为 ，大正方形的边长为 ，阴影部分的面积为 ． 三、解答题（共60分） 17．（8分） （1）两边同时除以 3，得 ，所以 或 ，解得 ，．（2分） （2）原方程可化为 ，所以 ．（2分） （3）移项，得 ，因式分解，得 ，所以 ，．（2分） （4）移项，得 ．设 ，则原方程化为 ，即 ，所以 或 ．当 时，；当 时，．所以原方程的解为 ，．（2分） 18．（8分） （1）证明：．（3分） 因为 ，即 ，所以无论 为何值，方程总有实数根．（1分） （2）由根与系数的关系，得 ，．（1分） 所以 ，即 ．（1分） 化简得 ，即 ，解得 ，．（1分） 检验：当 时，；当 时，，均符合题意．所以 的值为 或 1．（1分） 19．（8分） （1）设 与 之间的函数表达式为 （）．把 、 代入，得 ，，解得 ，．（3分） 所以 与 之间的函数表达式为 （检验：当 时，，符合）．（1分） （2）根据题意，得 ，即 ，整理得 ，即 ，解得 ，．（3分） 经检验， 或 均符合题意．答：每件玩具的售价为 10 元或 30 元．（1分） 20．（8分） 设矩形羊圈的长（边 ）为 ，宽为 ．因为借助房屋外墙，且门 （宽 ）用的是其他材料，所以栅栏的长度为 ，即 ．（2分） （1）根据题意，得 ，即 ，整理得 ，即 ，解得 ，．（2分） 当 时，；当 时，，均符合题意．答：矩形羊圈的长和宽分别为 、 或 、．（1分） （2）不能．（1分）理由：矩形羊圈的面积 ，即面积至多为 ．（1分）因为 ，所以矩形羊圈的面积不能达到 ．（1分） 21．（8分） （1）设去年 2 月至 4 月该景区游客人数的月平均增长率为 ．根据题意，得 ，即 ．（2分） 解得 或 （不合题意，舍去），所以 ．答：去年 2 月至 4 月该景区游客人数的月平均增长率为 ．（2分） （2）5 月该景区游客人数为 （万人）．（1分） 所以 5 月后 10 天该景区最多还可接待游客 （万人），日均接待游客人数最多为 （万人）．（2分） 答：5 月后 10 天的日均接待游客人数最多是 0.1 万人．（1分） 22．（10分） 解：当 ，即 时，原方程可化为 ，即 ，（2分） 解得 ．（1分）因为 ，所以 舍去，．（2分） 当 ，即 时，原方程可化为 ，即 ，（2分） 解得 ，．（1分）因为 ，所以 舍去，．（1分） 综上所述，原方程的解为 ，．（1分） 23．（10分） 由题意，得 ，（）．（1分） 当点 在 上时，，（）；当点 在 上时，（）．（1分） （1）不存在．（1分）理由如下： 当点 在 上时，．（1分） 因为 ，所以 ．（1分） 当点 在 上时，．（1分） 综上， 的面积最大为 ，不可能等于 ，所以不存在符合条件的 的值．（1分） （2）存在．（1分）当点 在 上时，，，． 若 ，则 ，整理得 ，解得 ．因为 ，所以 ；（1分） 若 ，则 ，整理得 ，解得 ，（不合题意，舍去），所以 ．（1分） 综上所述，符合条件的 的值为 或 ．（1分） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元检测卷 （考试范围：第一单元　一元二次方程） 满分：100分　　考试时间：90分钟 注意事项：本试卷共三大题23小题．请将答案写在试卷相应位置上，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．下列方程中，一定是关于 的一元二次方程的为（　　） A．　B．　C．　D． 2．用配方法解方程 时，配方正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 3．关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C． 且 　D． 且 4．小影与小冬一起写作业，解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 6 和 1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是 和 ．原来的方程可以是（　　） A．　B．　C．　D． 5．若一元二次方程 的两根之和与两根之积分别为 ，，则函数 的图象所在的象限是（　　） A．第二、四象限　B．第一、二象限　C．第一、三象限　D．第三、四象限 6．已知实数 ， 满足 ，则 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 7．一个等腰三角形的两条边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是（　　） A．　B．　C．　D． 或 8．欧几里得的《原本》中记载了形如 的方程的图解法：如图，画 ，使 ，，，再在斜边 上截取 ，则该方程的一个正根是（　　） A． 的长　B． 的长　C． 的长　D． 的长 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上） 9．若关于 的方程 是一元二次方程，则 的取值范围是＿＿＿＿． 10．方程 的实数根是＿＿＿＿． 11．若关于 的一元二次方程 的两个根互为倒数，则 的值为＿＿＿＿． 12．已知 是方程 的一个根，则 的值为＿＿＿＿． 13．如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 3 倍，那么 的值为＿＿＿＿． 14．写出一个根为 ， 的一元二次方程：＿＿＿＿（写成一般形式）． 15．如图，在长 、宽 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地的面积为 ，则修建的道路的宽应为＿＿＿＿． 16．如图，某工厂师傅要在一块面积为 的矩形钢板上裁剪下两块相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大 ，则裁剪后剩下的阴影部分的面积为＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共7小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18．（8分）已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：无论 为何值，方程总有实数根； （2）若 ， 是方程的两个实数根，且 ，求 的值． 19．（8分）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量 （件）与每件的售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价 /元 25 28 31 日销售量 /件 15 12 9 （1）求 与 之间的函数表达式（不要求写出自变量 的取值范围）； （2）当玩具日销售额为 300 元时，求每件玩具的售价． 20．（8分）如图，李伯伯想用长为 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈 ，并在边 上留一个 宽的门（建在 处，且用的是其他材料）． （1）当矩形羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为 的矩形羊圈？ （2）矩形羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 21．（8分）随着旅游旺季的到来，去年某景区游客人数逐月增加，2 月游客人数为 1.6 万，4 月游客人数为 2.5 万． （1）求去年 2 月至 4 月该景区游客人数的月平均增长率； （2）5 月该景区游客人数继续增长，但增长率不超过（1）中所求的月平均增长率．已知该景区 5 月 1 日至 5 月 21 日已接待游客 2.125 万人，则 5 月后 10 天的日均接待游客人数最多是多少万？ 22．（10分）分类讨论在数学中既是一个重要的策略思想，又是一个重要的数学方法．例如：对于像 这样含有绝对值符号的方程，可采用如下的分类讨论方法： 解：当 时，原方程可化为 ，解得 ，．因为 ，所以 ；当 时，原方程可化为 ，解得 ，．因为 ，所以 ．综上所述，原方程的解为 ，． 仿照上面的解法，解方程：． 23．（10分）如图，正方形 的边长为 ，动点 从点 出发，以 的速度沿 的方向向点 运动；动点 从点 出发，以 的速度沿 的方向向点 运动．若 ， 两点同时出发，运动时间为 ． （1）连接 ，，．是否存在 的值，使 的面积为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． （2）当点 在 上运动时，是否存在 的值，使 是以 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的 的值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $