第1章 一元二次方程 （单元自测·培优卷） 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

第1章 一元二次方程·培优卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第21题）小林解方程时，两边同除以，得到。他的解法漏掉的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】围绕“因式分解与除法的等价条件”组织等式，关键是：等式两边不能随意除以可能为零的式子。 【详解】原方程等价于，全部解为或。同除以要求，所以漏掉。 【易错提醒】等式两边不能随意除以可能为零的式子。 2．解方程，它的实数解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】围绕“整理后次数判断与一元一次求解”组织等式，关键是：两边都有平方项不代表整理后仍为二次方程。 【详解】展开得，二次项抵消，化为，所以。 【易错提醒】两边都有平方项不代表整理后仍为二次方程。 3．（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第6题）关于的方程既是一元二次方程，又有实数根，则应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】围绕“二次项系数与平方非负的共同约束”组织等式，关键是：有实数根的条件比仅为二次方程更强。 【详解】整理为。有实数解必须；该条件也保证二次项系数不为零。因此。 【易错提醒】有实数根的条件比仅为二次方程更强。 4．（改编自2024·南京金陵河西期初公开重排版第5题）已知、，为任意实数。关于方程，下列结论正确的是（　　） A．有两个异号的实数根 B．有两个同号的实数根 C．两根互为相反数 D．不能确定是否有实数根 【答案】A 【分析】围绕“根的存在与符号”组织等式，关键是：两根符号由乘积判断，不能由的符号单独判断。 【详解】因为，所以，方程有两个不相等的实数根。 两根之积为，故两根异号。 【易错提醒】两根符号由乘积判断，不能由的符号单独判断。 5．（改编自2024·南京金陵河西期初公开重排版第2题）方程化为后，较大根位于下面哪个区间内？（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】围绕“配方后根的估算”组织等式，关键是：不要把本身所在的区间当作原方程根的区间。 【详解】较大根为。因为，所以。 【易错提醒】不要把本身所在的区间当作原方程根的区间。 6．（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第4题）九年级篮球赛采用单循环赛制，原计划每两个队比赛一场。后来增加个队，比赛总场数比原计划增加场。增加后共有多少个队？（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】围绕“相邻规模的场次数差”组织等式，关键是：新增一队增加的场次等于原队数，而非原比赛场数。 【详解】新增的一个队要与原来每个队各比赛一场，因此原有队，增加后有队。也可由得。 【易错提醒】新增一队增加的场次等于原队数，而非原比赛场数。 7．（改编自2024·扬州江都三中10月月考公开重排版第22题）已知方程的两个实数根在数轴上对应的点相距个单位长度，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】围绕“根距与和积的联系”组织等式，关键是：根距是两根差的绝对值，其平方为和的平方减四倍积。 【详解】两根和为，积为。根差平方为，于是，得。 【易错提醒】根距是两根差的绝对值，其平方为和的平方减四倍积。 8．（改编自2024·无锡江南10月月考公开重排版第11题）实数满足，则的取值是（　　） A． B． C． D．无实数解 【答案】A 【分析】围绕“换元后回代与非负限制”组织等式，关键是：换元解出后还需返回求。 【详解】令，得，故。 所以，即。 【易错提醒】换元解出后还需返回求。 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．已知关于的方程有两个不相等的实数根，且，则________。 【答案】 【分析】先把两根的和代入非线性条件，求出较小根的候选值，再排除重根情形。 【详解】由和，得，所以或。 若，则，不满足，应舍去。故、，从而。 代回有，两根确为，且，条件可实现。 【易错提醒】由平方条件得到的会令两根重合，不能漏掉的筛选。 10．给赋值，使式子成为完全平方式。若将该式记为，则的所有实数解之和为________。 【答案】 【分析】围绕“配方与两根对称”组织等式，关键是：填空后的方程有两个解，不要漏掉负号分支。 【详解】应填，得到。 由，得或，其和为。 【易错提醒】填空后的方程有两个解，不要漏掉负号分支。 11．（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第11题）若的一个根为，则把代入左边所得的值为________。 【答案】 【分析】围绕“根的定义与多项式求值”组织等式，关键是：“一个根”只说明在该点取零，不能认为任意代入值都为零。 【详解】由得，再算。 【易错提醒】“一个根”只说明在该点取零，不能认为任意代入值都为零。 12．（改编自2024·无锡江南10月月考公开重排版第25题）实数是方程的两根，则________。 【答案】 【分析】围绕“平移后的对称平方和”组织等式，关键是：展开时两个平方各产生一个常数项。 【详解】，，所以。 【易错提醒】展开时两个平方各产生一个常数项。 13．（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第10题）某小区绿化面积连续两年按相同比例增加，由平方米增加到平方米。这两年增加面积中，第二年比第一年多________平方米。 【答案】 【分析】围绕“平均增长率与逐年增量”组织等式，关键是：相同增长率对应的每年增加量一般不同。 【详解】设年增长率，，得。第一年增加平方米，第二年增加平方米，差为平方米。 【易错提醒】相同增长率对应的每年增加量一般不同。 14．（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第15题）一根长厘米的绳子恰好围成矩形，面积为平方厘米。这个矩形较长边比相邻的短边长________厘米。 【答案】 【分析】围绕“定周长矩形的边差”组织等式，关键是：边差取非负值，不能只写平方值。 【详解】设两边，则，。因此，长度差为厘米。 【易错提醒】边差取非负值，不能只写平方值。 15．（改编自2024·扬州树人期中公开重排版第22题）方程的两个根都在闭区间内，则实数的取值范围为________。 【答案】 【分析】围绕“显式根与区间约束”组织等式，关键是：两个根均需满足区间端点，且闭区间可取边界。 【详解】方程可分解为，两根为。同时落在内当且仅当且，即。 【易错提醒】两个根均需满足区间端点，且闭区间可取边界。 16．从正整数中取互不相同的两个数，并以它们为方程的两个根。若，则________。 【答案】 【分析】围绕“整数根的因数配对”组织等式，关键是：根无顺序但不能相同；注意给定的有限范围。 【详解】由，得。因且不相同，只能为，所以。 【易错提醒】根无顺序但不能相同；注意给定的有限范围。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第21题）解方程：。请分别说明你所取两根的来源。 【答案】，即或。 【分析】围绕“配方与正负两分支”组织等式，关键是：两个一次因式的乘积是，不能直接令某一因式等于零。 【详解】展开、移项得，配方得。 故或，得到或。代入原式两者均使积等于。 【易错提醒】两个一次因式的乘积是，不能直接令某一因式等于零。 【评分标准】（2分）正确配方为。 （3分）得到两根并解释正负两分支。 18．（5分）解方程。小雨令后，求得或，便写原方程解为或。 （1）指出小雨结论中的问题。 （2）求原方程的正确解，并检验。 【答案】（1）未从返回；（2）或。 【分析】围绕“整体换元与回代”组织等式，关键是：换元的中间变量解不等于原变量解。 【详解】是而不是，所以求出后还须用返回原未知数。 由得或，于是或。代入原式分别得和，两者均成立。 【易错提醒】换元的中间变量解不等于原变量解。 【评分标准】（2分）指出把中间变量当作原变量的错误。 （3分）回代求出并检验。 19．（6分）（改编自2024·南京金陵仙林第一周周练公开重排版第20题）已知关于的方程。 （1）不使用求根公式，写出它的两个根。 （2）若两个根都为负数且互不相等，求的取值范围。 【答案】（1）或；（2）且。 【分析】围绕“因式分解后的根符号及重根排除”组织等式，关键是：两个负根可以相等；题目另有不等条件必须再次排除。 【详解】原方程可写为，所以两个根为。 两个根都负要求，即；互不相等还要求，即。故且。 【易错提醒】两个负根可以相等；题目另有不等条件必须再次排除。 【评分标准】（3分）分解得到两根。 （3分）得到且。 20．（6分）（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第22题）已知是方程的两个实数根。 （1）求的取值范围。 （2）若两个根到原点的距离之和等于，求的取值范围。 【答案】（1）；（2）。 【分析】围绕“实数根条件与绝对值距离”组织等式，关键是：允许零根，也允许两个根相等。 【详解】，故。 。若根异号，则；若根都非负，则距离和等于。因根和为正，距离和等于当且仅当积。 结合与，得。 【易错提醒】允许零根，也允许两个根相等。 【评分标准】（2分）由判别式得。 （2分）论证距离和等于根和时两根都非负。 （2分）联合得到。 21．（6分）（改编自2024·南京金陵河西期初公开重排版第11题）如图，矩形纸片中，厘米，为的中点。沿过的直线折叠，使点与点重合。 （1）证明厘米。 （2）求的长及原矩形面积。 【答案】（1）厘米；（2）厘米，面积平方厘米。 【分析】围绕“折叠距离不变与长度正根”组织等式，关键是：折痕不是线段本身；边长只能取正根。 【详解】折叠保持两点间距离，折痕上的点不动，对应，所以厘米。 矩形中，且厘米。直角三角形满足，故厘米。 矩形面积平方厘米。 【易错提醒】折痕不是线段本身；边长只能取正根。 【评分标准】（2分）利用折叠得。 （2分）勾股求。 （2分）求出面积。 22．（8分）（改编自2024·扬州江都三中10月月考公开重排版第27题）已知实数满足、。 （1）证明且。 （2）若将第二个条件改为，并保持，求的取值范围。 【答案】（1）；（2）。 【分析】围绕“和积的可实现性与充分性”组织等式，关键是：求出必要范围后要说明范围内确有实数。 【详解】由。左边非负，右边非正，只能都为零，所以且。 改动后，可视为方程的两个实数根，需，得。 反之若，取、，两条件均成立，故这个范围充分且必要。 【易错提醒】求出必要范围后要说明范围内确有实数。 【评分标准】（3分）用非负平方确定唯一边界情形。 （3分）改动条件后得到。 （2分）构造验证充分性。 23．（8分）（改编自2024·南京金陵仙林第一周周练公开重排版第21题）一件产品原成本为元、售价为元。售价第一个月降低，第二个月在第一个月的基础上提高。企业计划成本连续两个月按相同比例降低。 （1）求第二个月的售价。 （2）要使第二个月每件利润仍为元，成本的月平均降低率应是多少？ 【答案】（1）元；（2）。 【分析】围绕“连续变化后的成本利润模型”组织等式，关键是：售价变化率与成本变化率针对不同基数，不能直接相加相减。 【详解】第二个月售价为元。 设成本月平均降低率为，。成本为，令，得。 因，只能，所以。另一形式解不合范围。 【易错提醒】售价变化率与成本变化率针对不同基数，不能直接相加相减。 【评分标准】（2分）得到第二个月售价元。 （4分）建立并解成本降低率方程。 （2分）筛去超范围解，得。 24．（8分）（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第23题）在直角三角形中，，米，米。点同时由出发，分别沿向运动，速度均为米/秒。一点先到时，两点同时停止。设时间为秒。 （1）写出的取值范围，并表示的面积。 （2）求面积等于平方米的时刻。 【答案】（1），面积为；（2）秒。 【分析】围绕“两点同向终点运动的面积与停止范围”组织等式，关键是：停止时刻由较早到终点者决定。 【详解】两点到终点的时间分别为秒、秒，故。，，面积为。 令面积为，得，所以。 舍去，成立。因此秒。 【易错提醒】停止时刻由较早到终点者决定。 【评分标准】（3分）确定共同停止时间并表示面积。 （3分）解目标面积方程得到两代数根。 （2分）按范围取秒。 25．（10分）（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第19题）把一根长米的篱笆围成矩形花圃，利用一面长不超过米的墙作一边，并在花圃中加一道垂直于墙的篱笆，将其分成两块矩形。设垂直墙的一边长为米。 （1）写出花圃面积与的关系式及的取值范围。 （2）求时的全部可行方案。 （3）面积能否达到平方米？说明理由。 【答案】（1），；（2）或；（3）不能，最大面积为平方米。 【分析】围绕“带隔栏的面积方程与配方最值”组织等式，关键是：隔栏要计入总篱笆，和三面围墙的模型不同。 【详解】垂直墙方向用篱笆共米，所以沿墙边长为。由得，面积。 化为，故或，都在范围内，沿墙边长分别为米、米。 ，且在范围内，所以最大面积为平方米，不能达到。 【易错提醒】隔栏要计入总篱笆，和三面围墙的模型不同。 【评分标准】（3分）计入隔栏，求面积式和范围。 （3分）求出两个平方米方案并检验。 （4分）配方证明上限，否定平方米。 26．（10分）为减少浪费，某活动报名时先收取每人元，报名人数为人。活动规定：若参加人数每增加人，则对所有参加者每人退还元；人数不足一个人的部分不触发新的退费。 （1）若最终增加的人数恰好为人（为非负整数），写出总收入关于的表达式。 （2）若收入为元且每人实际支付金额为正，求增加的人数。 （3）若实际只增加人，求收入，并说明能否把直接代入（1）的式子。 【答案】（1）；（2）人或人；（3）元，不能。 【分析】围绕“分档规则与整数参数”组织等式，关键是：连续模型不能直接套用于分档规则。 【详解】参加人数为，每人实付元，故，且。 由，得，所以或。都满足，对应增加人或人。 增加人只触发次退费，每人实付元，收入元；直接代入会把未满人的部分也算一次比例退费，错误。 【易错提醒】连续模型不能直接套用于分档规则。 【评分标准】（3分）正确写总人数、实付金额及范围。 （4分）解元目标方程并换回增加人数。 （3分）按整档解释人的真实退费与收入。 27．（10分）给定正整数，研究方程。 （1）用含的式子表示两根。 （2）若两个根互不相等，且较大根比小根的倍多，求。 （3）若把两根分别作为矩形相邻两边长，且矩形对角线长小于，求全部可行的。 【答案】（1）；（2）或；（3）。 【分析】围绕“排序分类与几何不等式”组织等式，关键是：第二问的互不相等条件不自动延伸至第三问，第三问单独按矩形定义。 【详解】因式分解为，两根为。 若，由得；若，由得。两值都满足不等。 对角线平方为。由得，所以正整数。此问未要求两边不等，正方形情形应保留。 【易错提醒】第二问的互不相等条件不自动延伸至第三问，第三问单独按矩形定义。 【评分标准】（2分）分解得到根与。 （4分）按根的大小分类求出,。 （4分）用勾股及正整数条件得,,。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 一元二次方程·培优卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：130分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷共27题：选择8题（24分）、填空8题（24分）、解答11题（82分），满分130分，限时120分钟。 答卷前请填写姓名、班级和考号。选择题选出唯一正确答案；非选择题在本卷预留区域作答，写出必要过程。考试结束后按教师要求交卷。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第21题）小林解方程时，两边同除以，得到。他的解法漏掉的解是（　　） A． B． C． D． 2．解方程，它的实数解为（　　） A． B． C． D． 3．（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第6题）关于的方程既是一元二次方程，又有实数根，则应满足（　　） A． B． C． D． 4．（改编自2024·南京金陵河西期初公开重排版第5题）已知、，为任意实数。关于方程，下列结论正确的是（　　） A．有两个异号的实数根 B．有两个同号的实数根 C．两根互为相反数 D．不能确定是否有实数根 5．（改编自2024·南京金陵河西期初公开重排版第2题）方程化为后，较大根位于下面哪个区间内？（　　） A． B． C． D． 6．（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第4题）九年级篮球赛采用单循环赛制，原计划每两个队比赛一场。后来增加个队，比赛总场数比原计划增加场。增加后共有多少个队？（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 7．（改编自2024·扬州江都三中10月月考公开重排版第22题）已知方程的两个实数根在数轴上对应的点相距个单位长度，则等于（　　） A． B． C． D． 8．（改编自2024·无锡江南10月月考公开重排版第11题）实数满足，则的取值是（　　） A． B． C． D．无实数解 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．已知关于的方程有两个不相等的实数根，且，则________。 10．给赋值，使式子成为完全平方式。若将该式记为，则的所有实数解之和为________。 11．（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第11题）若的一个根为，则把代入左边所得的值为________。 12．（改编自2024·无锡江南10月月考公开重排版第25题）实数是方程的两根，则________。 13．（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第10题）某小区绿化面积连续两年按相同比例增加，由平方米增加到平方米。这两年增加面积中，第二年比第一年多________平方米。 14．（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第15题）一根长厘米的绳子恰好围成矩形，面积为平方厘米。这个矩形较长边比相邻的短边长________厘米。 15．（改编自2024·扬州树人期中公开重排版第22题）方程的两个根都在闭区间内，则实数的取值范围为________。 16．从正整数中取互不相同的两个数，并以它们为方程的两个根。若，则________。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第21题）解方程：。请分别说明你所取两根的来源。 18．（5分）解方程。小雨令后，求得或，便写原方程解为或。 （1）指出小雨结论中的问题。 （2）求原方程的正确解，并检验。 19．（6分）（改编自2024·南京金陵仙林第一周周练公开重排版第20题）已知关于的方程。 （1）不使用求根公式，写出它的两个根。 （2）若两个根都为负数且互不相等，求的取值范围。 20．（6分）（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第22题）已知是方程的两个实数根。 （1）求的取值范围。 （2）若两个根到原点的距离之和等于，求的取值范围。 21．（6分）（改编自2024·南京金陵河西期初公开重排版第11题）如图，矩形纸片中，厘米，为的中点。沿过的直线折叠，使点与点重合。 （1）证明厘米。 （2）求的长及原矩形面积。 22．（8分）（改编自2024·扬州江都三中10月月考公开重排版第27题）已知实数满足、。 （1）证明且。 （2）若将第二个条件改为，并保持，求的取值范围。 23．（8分）（改编自2024·南京金陵仙林第一周周练公开重排版第21题）一件产品原成本为元、售价为元。售价第一个月降低，第二个月在第一个月的基础上提高。企业计划成本连续两个月按相同比例降低。 （1）求第二个月的售价。 （2）要使第二个月每件利润仍为元，成本的月平均降低率应是多少？ 24．（8分）（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第23题）在直角三角形中，，米，米。点同时由出发，分别沿向运动，速度均为米/秒。一点先到时，两点同时停止。设时间为秒。 （1）写出的取值范围，并表示的面积。 （2）求面积等于平方米的时刻。 25．（10分）（改编自2024·泰州民兴首次月考公开重排版第19题）把一根长米的篱笆围成矩形花圃，利用一面长不超过米的墙作一边，并在花圃中加一道垂直于墙的篱笆，将其分成两块矩形。设垂直墙的一边长为米。 （1）写出花圃面积与的关系式及的取值范围。 （2）求时的全部可行方案。 （3）面积能否达到平方米？说明理由。 26．（10分）为减少浪费，某活动报名时先收取每人元，报名人数为人。活动规定：若参加人数每增加人，则对所有参加者每人退还元；人数不足一个人的部分不触发新的退费。 （1）若最终增加的人数恰好为人（为非负整数），写出总收入关于的表达式。 （2）若收入为元且每人实际支付金额为正，求增加的人数。 （3）若实际只增加人，求收入，并说明能否把直接代入（1）的式子。 27．（10分）给定正整数，研究方程。 （1）用含的式子表示两根。 （2）若两个根互不相等，且较大根比小根的倍多，求。 （3）若把两根分别作为矩形相邻两边长，且矩形对角线长小于，求全部可行的。 1 学科网（北京）股份有限公司 $