期中讲义02 实数的初步认识 （12大考点专练）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

期中讲义02 实数的初步认识 （12大考点专练） 【考点一】求算术平方根 【考点七】 实数与数轴上的点 【考点二】利用平方根解方程 【考点八】 无理数的估算：范围、整数部分与小数部分 【考点三】算术平方根的非负性 【考点九】 实数的大小比较 【考点四】求立方根与用立方根解方程 【考点十】 近似值 【考点五】平方根与立方根的综合运用 【考点十一】实数的运算 【考点六】无理数的识别与实数的分类 【考点十二】新定义下的实数运算 知识点1 算术平方根 教材从“已知正方形纸片的面积，求它的边长”引出新的数：面积为 a 的正方形，边长 x 满足 x²＝a。一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x²＝a，那么这个正数 x 叫作 a 的算术平方根，记作 ，读作“根号 a”；规定 0 的算术平方根是 0，即 ＝0。由定义，只有 a≥0 时 才有意义，而且 本身也不小于 0。 例：因为 1.2²＝1.44，所以 1.44 的算术平方根是 1.2，即 ＝1.2。 核心结论 要点 x²＝a 且 x≥0 ⇔ x＝ 算术平方根只取不小于 0 的那一个。 a≥0 时，≥0（两个“非负”） 根号下的数与非负，结果也非负。 知识点2 平方根与开平方 当 x 取哪些值时，x²＝a？一般地，如果 x²＝a（a≥0），那么 x 叫作 a 的平方根，也称为二次方根。因为 x 与－x 的平方相等，所以一个正数有两个平方根，它们互为相反数，记作 ±，其中正的平方根就是算术平方根；0 的平方根是 0；负数没有平方根。求一个数的平方根的运算叫作开平方，开平方与平方互为逆运算。 情况 平方根 说明 a＞0 正的平方根即算术平方根。 a＝0 0 只有一个。 a＜0 没有平方根 在实数范围内无解。 重要公式 对任意实数 a 恒成立。 知识点3 立方根与开立方 体积为 2 的正方体，它的棱长 x 满足 x³＝2。一般地，如果 x³＝a，那么 x 叫作 a 的立方根，也称为三次方根，记作，读作“三次根号 a”。求一个数的立方根的运算叫作开立方，开立方与立方互为逆运算。正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数，所以任何一个数都有并且只有一个立方根。 核心结论 要点 x³＝a ⇔ x＝（a 可以是任意数） 任何数都有唯一的立方根。 ；()³＝a 负号可以提到根号外。 注意：负数没有平方根，却有立方根；正数开平方得到两个结果，开立方只得到一个结果。 知识点4 无理数与实数的分类 有理数包括整数和分数，所有的分数都能写成有限小数或循环小数。无限不循环小数叫作无理数。有理数和无理数统称为实数。本章常见的无理数有三类：①开方开不尽的数，如 、；②含 π 的数，如 π－3、（π 约不掉）；③按规律构造的无限不循环小数，如 5.0505505550…。 判断一个数是否为无理数，关键是“先化简，再归类”：带根号的数不一定是无理数。例如 是分数，属于有理数；＝7，也是有理数。 分类 包含对象 有理数 整数（正整数、0、负整数）、分数（有限小数、循环小数） 无理数 无限不循环小数：开方开不尽的数、含 π 的数、按规律构造的小数 实数 有理数与无理数统称实数 知识点5 实数与数轴、估算与比较大小 有理数可以用数轴上的点表示，无理数也可以。把四个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形，依次连接它的四条边的中点，得到的正方形面积是 2，边长是 ，这条边恰好是一个小正方形的对角线。以原点为圆心、这条对角线的长为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示 。事实上，实数与数轴上的点一一对应：每个实数都能用数轴上的一个点表示，数轴上的每个点都表示一个实数；数轴上右边的点表示的实数比左边的大。 估计一个无理数的范围，常用平方（或立方）去夹：例如 2.6²＝6.76，2.7²＝7.29，而 6.76＜7＜7.29，所以 2.6＜＜2.7。 结论 用途 0≤a＜b 时，＜；a＜b 时，＜ 比较含根号数的大小。 面积为 n 的正方形的边长是 把无理数画到数轴上的依据。 知识点6 实数的运算与近似值 在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，也可以开立方，非负实数还可以开平方；有理数的相反数、绝对值、倒数的意义以及运算律、运算法则，在实数范围内仍然适用。例如 3－的相反数是 －3；因为 ＜3，所以 |－3|＝3－。 对象 结论 相反数 a 的相反数是－a。 绝对值 a≥0 时 |a|＝a，a＜0 时 |a|＝－a。 近似值 四舍五入，并说明精确到哪一位（如精确到 0.1 即十分位）。 注意：近似值 0.3 与 0.30 的精确程度不同——前者精确到十分位，后者精确到百分位；近似值末尾的 0 表示精确程度，不能随手去掉。 【考点一】求算术平方根 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）的值等于（    ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·江苏·期中）下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）已知，则_____． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为____________________． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知：一个正数的两个不同平方根分别是和． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 6．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断3，12，16是不是“和谐组合”，_________； (2)请证明2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (3)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【考点二】利用平方根解方程 7．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）求下列各式中的值：． 8．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）求下列各式中的值： (1)； (2)． 9．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1) (2)． 10．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）求下列各式中的x： (1)； (2)． 11．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）计算： (1)． (2) 12．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【考点三】算术平方根的非负性 13．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）若与互为相反数，则的值为______． 14．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知满足，则的平方根是_________． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知，求的平方根． 16．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知，求的值． 17．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知a，b，c都是实数，且满足，且，求代数式的值． 【考点四】求立方根与用立方根解方程 18．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）求下列各式中的x： (1)； (2)． 19．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）求下列各式中的值： (1) (2) 20．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）求下列各式中x值： (1) (2) 21．（25-26八年级上·江苏常州·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 22．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1)； (2)． 23．（25-26八年级上·江苏常州·期中）求下列各式中的x的值． (1)； (2)． 24．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）求下列各式中的： (1)； (2)． 25．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）计算或求值： (1)计算：； (2)已知，求的值． 【考点五】平方根与立方根的综合运用 26．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的立方根是的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 27．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的立方根． 28．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是 (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 29．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 30．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）（1）已知的平方根为，的立方根为2，求的算术平方根． （2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 31．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）求值 (1)已知的算术平方根是的立方根是2，求的值； (2)已知一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 32．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求的值 (2)求的平方根． 33．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 34．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知的算术平方根是3，b的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【考点六】无理数的识别与实数的分类 35．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在，，，，，（邻两个之间的个数逐次加）这些数中，无理数的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 36．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在实数，，，，中，无理数有__ 个． 37．（25-26八年级上·江苏南京·期中）在下列实数：3.14，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次加1）中，无理数的个数有 _____ 个． 38．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）在实数，，，，中有理数的个数是______． 39．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在 π ，﹣，0， 0.1010010001中，______是负无理数，_____是正实数． 40．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）把下列各数进行分类：0，π，，，，，． 负实数：_______________； 正有理数：_______________； 无理数：_______________． 41．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）把下列各数填在相应的横线上 ，，，，，，，， 有理数：__________________________________________________ 无理数：__________________________________________________ 42．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，，0.31． 有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}； 正实数集合：{ …}． 【考点七】实数与数轴上的点 43．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（   ） A．1的平方根是1 B．两个无理数的和一定是无理数 C．的立方根是 D．数轴上的点与有理数一一对应 44．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 45．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且，则S的值可能为（    ） A． B． C． D． 46．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为______． 47．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上A点表示的数为，B点表示的数是2，过点B作于点B，且（单位长度）以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的一个交点D表示的数为______． 48．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 49．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行2个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是___________； (2)求的值； (3)数轴上另有两点分别表示实数和，且，求的平方根． 【考点八】无理数的估算：范围、整数部分与小数部分 50．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知m，n是连续的两个整数，且，则的值为（   ） A．6 B．12 C．20 D．30 51．（2024八年级·江苏南京·期中）已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D．5 52．（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知的整数部分为，小数部分为，则的值是__________． 53．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）要做一个面积为的正方形，它的边长的整数部分是__________，十分位是__________，百分位是__________，千分位是__________． 54．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如， 3.43 的小数部分为． (1) ； (2)设的小数部分为a，求 的值； (3)已知 其中x是整数， 且， 求的值． 55．（24-25八年级上·江苏南京·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知：，其中x是整数，且，求的值． 56．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．例如是无理数，的小数部分我们不可能全部写出来，由于，所以的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示． 请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)若，其中是整数，且，那么________，________； (3)小明同学利用完全平方公式求的近似值，过程如下： ，其中，，即． 比较小，将忽略不计，，即，得， ． 小丽同学认为也可以表示为，其中． ①请你帮小丽同学利用上述方法求的近似值； ②比较小明和小丽的结果，直接写出哪位同学的结果精确度更高． 【考点九】实数的大小比较 57．（25-26八年级上·江苏南京·期中）下列各数中最小的是（   ） A． B． C． D． 58．（26-27八年级上·江苏常州·期中）比较大小：_____．（填或或） 59．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知，，那么a，b的大小关系是______． 60．（25-26八年级上·江苏常州·期中）比较大小：_____，_____． 61．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）完成下列各题 (1)填空：______；______； (2)当时，______（用“”填空）； (3)当时，求证：． 【考点十】近似值 62．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到十分位） D．（精确到） 63．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）我们知道地球半径大约为千米，下列对近似数描述正确的是（    ） A．精确到十分位 B．精确到个位 C．精确到百位 D．精确到千位 64．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）近似数精确到____位． 65．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）用四舍五入法将取近似数精确到十分位是_________． 66．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【阅读理解】求的近似值（结果精确到0.01）． 小丽是这样做的： 解：因为，所以设，则，即．因为，所以，因为比较小可以忽略不计，所以，解得，即的近似值为10.15． (1)小强看了小丽的解法，想到了是否可以用，求的近似值．他的做法如下： 解：设，则，即…… 请你继续完成小强的解答过程，并比较谁求出的近似值精确度更高（）． 【理解应用】 (2)请你思考两位同学的做法后，选择合适的方法，求的近似值（结果精确到0.01）． 【考点十一】实数的运算 67．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入的值为32，那么输出的值为（   ） A． B．2 C． D． 68．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）设、、、是不等于零的有理数，、、、是无理数，则下列四个数① ，②，③，④中必为无理数的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 69．（24-25八年级上·江苏南京·期中）有一个数值转换器，流程如图所示．当输入x的值为125时，输出y的值是_______． 70．（26-27八年级上·江苏·期中）计算： (1) (2) 71．（26-27八年级上·江苏·期中）计算： (1) (2) 72．（26-27八年级上·江苏·期中）计算、解方程： (1)； (2)． 73．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）计算： (1) (2) 74．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【考点十二】新定义下的实数运算 75．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 76．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）定义新运算“☆”：若，则______． 77．（25-26八年级上·江苏溧阳·期中）定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是_______ 78．（25-26八年级上·江苏南京·期中）我们规定运算符号的意义：当时，；当时，，其他运算符号意义不变按上述规定，计算的结果为__________． 79．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，现对72进行如下操作：2=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地：①对100只需进行___________次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的数与最小数的和是___________． 80．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）对于实数，，定义运算◆：例如，，．若，满足方程求的值． 81．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）阅读与理解： 小明在学习了有关平方根的知识后，知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．一天，善于思考的小明想：如果存在一个数i，使，那么，因此就有两个平方根了．进一步，小明想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根就是．请你根据上面的信息解答下列问题： (1)求，的平方根（写成因为……，所以……的形式）； (2)求的值． 82．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）规定表示一对数对，给出如下定义：，，与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是______； (2)若数对的一个“对称数对”是，则的值是______； (3)若数对一个“对称数对”是，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中讲义02 实数的初步认识 （12大考点专练） 【考点一】求算术平方根 【考点七】 实数与数轴上的点 【考点二】利用平方根解方程 【考点八】 无理数的估算：范围、整数部分与小数部分 【考点三】算术平方根的非负性 【考点九】 实数的大小比较 【考点四】求立方根与用立方根解方程 【考点十】 近似值 【考点五】平方根与立方根的综合运用 【考点十一】实数的运算 【考点六】无理数的识别与实数的分类 【考点十二】新定义下的实数运算 知识点1 算术平方根 教材从“已知正方形纸片的面积，求它的边长”引出新的数：面积为 a 的正方形，边长 x 满足 x²＝a。一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x²＝a，那么这个正数 x 叫作 a 的算术平方根，记作 ，读作“根号 a”；规定 0 的算术平方根是 0，即 ＝0。由定义，只有 a≥0 时 才有意义，而且 本身也不小于 0。 例：因为 1.2²＝1.44，所以 1.44 的算术平方根是 1.2，即 ＝1.2。 核心结论 要点 x²＝a 且 x≥0 ⇔ x＝ 算术平方根只取不小于 0 的那一个。 a≥0 时，≥0（两个“非负”） 根号下的数与非负，结果也非负。 知识点2 平方根与开平方 当 x 取哪些值时，x²＝a？一般地，如果 x²＝a（a≥0），那么 x 叫作 a 的平方根，也称为二次方根。因为 x 与－x 的平方相等，所以一个正数有两个平方根，它们互为相反数，记作 ±，其中正的平方根就是算术平方根；0 的平方根是 0；负数没有平方根。求一个数的平方根的运算叫作开平方，开平方与平方互为逆运算。 情况 平方根 说明 a＞0 正的平方根即算术平方根。 a＝0 0 只有一个。 a＜0 没有平方根 在实数范围内无解。 重要公式 对任意实数 a 恒成立。 知识点3 立方根与开立方 体积为 2 的正方体，它的棱长 x 满足 x³＝2。一般地，如果 x³＝a，那么 x 叫作 a 的立方根，也称为三次方根，记作，读作“三次根号 a”。求一个数的立方根的运算叫作开立方，开立方与立方互为逆运算。正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数，所以任何一个数都有并且只有一个立方根。 核心结论 要点 x³＝a ⇔ x＝（a 可以是任意数） 任何数都有唯一的立方根。 ；()³＝a 负号可以提到根号外。 注意：负数没有平方根，却有立方根；正数开平方得到两个结果，开立方只得到一个结果。 知识点4 无理数与实数的分类 有理数包括整数和分数，所有的分数都能写成有限小数或循环小数。无限不循环小数叫作无理数。有理数和无理数统称为实数。本章常见的无理数有三类：①开方开不尽的数，如 、；②含 π 的数，如 π－3、（π 约不掉）；③按规律构造的无限不循环小数，如 5.0505505550…。 判断一个数是否为无理数，关键是“先化简，再归类”：带根号的数不一定是无理数。例如 是分数，属于有理数；＝7，也是有理数。 分类 包含对象 有理数 整数（正整数、0、负整数）、分数（有限小数、循环小数） 无理数 无限不循环小数：开方开不尽的数、含 π 的数、按规律构造的小数 实数 有理数与无理数统称实数 知识点5 实数与数轴、估算与比较大小 有理数可以用数轴上的点表示，无理数也可以。把四个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形，依次连接它的四条边的中点，得到的正方形面积是 2，边长是 ，这条边恰好是一个小正方形的对角线。以原点为圆心、这条对角线的长为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示 。事实上，实数与数轴上的点一一对应：每个实数都能用数轴上的一个点表示，数轴上的每个点都表示一个实数；数轴上右边的点表示的实数比左边的大。 估计一个无理数的范围，常用平方（或立方）去夹：例如 2.6²＝6.76，2.7²＝7.29，而 6.76＜7＜7.29，所以 2.6＜＜2.7。 结论 用途 0≤a＜b 时，＜；a＜b 时，＜ 比较含根号数的大小。 面积为 n 的正方形的边长是 把无理数画到数轴上的依据。 知识点6 实数的运算与近似值 在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，也可以开立方，非负实数还可以开平方；有理数的相反数、绝对值、倒数的意义以及运算律、运算法则，在实数范围内仍然适用。例如 3－的相反数是 －3；因为 ＜3，所以 |－3|＝3－。 对象 结论 相反数 a 的相反数是－a。 绝对值 a≥0 时 |a|＝a，a＜0 时 |a|＝－a。 近似值 四舍五入，并说明精确到哪一位（如精确到 0.1 即十分位）。 注意：近似值 0.3 与 0.30 的精确程度不同——前者精确到十分位，后者精确到百分位；近似值末尾的 0 表示精确程度，不能随手去掉。 【考点一】求算术平方根 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查的是算术平方根的定义，明确算术平方根的非负性是解题的关键．根据算术平方根的定义，表示的非负平方根，进而确定的唯一非负结果． 【详解】是的算术平方根，且，， ． 故选：． 2．（26-27八年级上·江苏·期中）下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【详解】解：A．原式，该项错误； B．原式，该项错误； C．原式，该项错误； D．原式，该项正确． 3．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）已知，则_____． 【答案】2 【知识点】求一个数的算术平方根 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为____________________． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． 根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得（舍去）； ③当时，，解得； 综上所述，的值为． 故答案为：。 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知：一个正数的两个不同平方根分别是和． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了平方根的性质与算术平方根的计算，解题的关键是利用“正数的两个平方根互为相反数”列方程求解． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程，求解得的值； （2）将的值代入计算结果，再求其算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得 化简得： 解得： （2）将代入，得： 9的算术平方根是3． 6．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断3，12，16是不是“和谐组合”，_________； (2)请证明2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (3)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【答案】(1)不是 (2) 证明：∵，， ∴2，18，8这三个数是“和谐组合” ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； (3)a的值为或． 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． （1）根据“和谐组合”的定义，分别求解算术平方根进行判断即可； （2）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （3）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∵，不是整数， ∴3，12，32不是“和谐组合”； （2）略 （3）解：分三种情况：①当时，得：（舍去）， ②当时，，得：，经检验符合题意， ③当时，．得：，经检验符合题意． 综上所述，a的值为或． 【考点二】利用平方根解方程 7．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）求下列各式中的值：． 【答案】 或 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查的知识点是利用平方根的定义解方程，解题关键是熟练掌握平方根的定义． 直接利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解：， ， ，． 8．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查了利用平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）方程两边同时乘以2，再同时开平方，即可作答． （2）方程两边同时开平方，再分别算出，，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，． 9．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1) (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】利用平方根解方程 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以9，最后把方程两边同时开平方即可得到答案； （2）先把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 10．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）求下列各式中的x： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）先求得，再根据平方根的性质求解即可； （2），根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， 或． 11．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）计算： (1)． (2) 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接利用平方根的定义求解即可； （2）先将前的系数化1，再利用平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： 或， 解得：或； （2）解： 或， 解得：或． 12．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了利用平方根的性质求未知数的值． （1）整理后，根据平方根的性质求解即可； （2）整理后，根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：整理得， 解得； （2）解：整理得， 开方得， 解得． 【考点三】算术平方根的非负性 13．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）若与互为相反数，则的值为______． 【答案】9 【知识点】加减消元法、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质，若两个非负式互为相反数，则每个非负式都等于零，由此列出方程组求解． 【详解】解：与互为相反数， ． ，， 且． 即解得 ． 故答案为：9． 14．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知满足，则的平方根是_________． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值，算术平方根的非负性，平方根的定义，根据非负性可以得到，带入求出的结果，从而得出结果． 【详解】解：∵，，，， ， ， ， 的平方根是． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知，求的平方根． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】本题考查的知识点是绝对值的非负性、算术平方根的非负性及平方根的定义，解题关键是正确得出m，n的值．直接利用绝对值的非负性及算术平方根的非负性得出m，n的值，进而利用平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 的平方根为：． 16．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知，求的值． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了算术平方根与平方的非负性、解二元一次方程组、代数式求值，根据算术平方根与平方的非负性得出方程组求解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 17．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知a，b，c都是实数，且满足，且，求代数式的值． 【答案】212 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】利用非负性求出的值，利用整体思想代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查非负性，代数式求值．熟练掌握非负数的和为0，每个非负数均为0，是解题的关键． 【考点四】求立方根与用立方根解方程 18．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）求下列各式中的x： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了利用平方根解方程，已知一个数的立方根，求这个数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用开平方解方程； （2）利用开立方解方程． 【详解】（1）解：， 开平方，得； （2）解：， 移项，得， 开立方，得， 解得：． 19．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，， 当时，， 或； （2）解：， ， ， ， ． 20．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）求下列各式中x值： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）将原方程整理得，再等号两边同时开立方，得到一个一元一次方程，即可求解． （2）将原方程整理得，再等号两边同时开平方，得到两个一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 两边同时开立方，得 解得． （2）解： 两边同时开平方，得或 解得，． 21．（25-26八年级上·江苏常州·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 则， 解得； （2）解：， ， 则， 解得． 22．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查平方根，立方根求方程的解，掌握平方根，立方根的计算是关键． （1）运用立方根的计算求解即可； （2）运用平方根的计算求解即可． 【详解】（1）解：， 开立方，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 移项、合并同类项，得， 开平方，得， ∴或， 解得． 23．（25-26八年级上·江苏常州·期中）求下列各式中的x的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的意义解方程，熟练掌握平方根和立方根的意义是解答本题的关键． （1）利用平方根的意义求解即可； （2）利用立方根的意义求解即可． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得． 24．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （）把常数移到右边，两边同时乘以，再根据平方根的定义解答即可； （）两边同时乘以，再根据立方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得； （2）解：， ， ， ． 25．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）计算或求值： (1)计算：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握定义是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根，再计算减法即可得解； （2）利用平方根的定义解方程即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴． 【考点五】平方根与立方根的综合运用 26．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的立方根是的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，平方根的定义，代数式求值，根据题意求出的值是解题的关键． （1）根据题意得出，，计算即可得到答案； （2）把代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ， ，； （2）解：当时， 17的平方根是， 的平方根是． 27．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一个数的立方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义； （1）根据算术平方根的定义求出，再根据立方根的定义求出，即可解答； （2）将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答． 【详解】（1）解：是的算术平方根， ， 解得：， 的立方根是， ∴，即 解得：； （2），， ， 的立方根是． 28．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是 (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根． （1）根据算术平方根及立方根的定义即可求得答案； （2）将a，b的值代入中计算后利用平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：的算术平方根是，的立方根是， ， ； （2）解：∵， ， 则的平方根是． 29．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)10 (2) 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了求平方根，求立方根，无理数的估算， （1），先根据立方根求出a，算术平方根求出b，再估算无理数可得c，然后代入求解即可； （2），将数值代入计算，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， 解得． ∵，c是的整数部分， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ， 9的平方根是， 平方根是．· 30．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）（1）已知的平方根为，的立方根为2，求的算术平方根． （2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】（1）5；（2） 【知识点】利用二次根式的性质化简、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】（1）根据的平方根为，的立方根为2，得出，，代入进行计算求出的值，再由算术平方根的定义计算即可； （2）由数轴可得，，从而得出，，再根据绝对值的性质和二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：（1）的平方根为，的立方根为2， ， ， 的算术平方根为； （2）由图可得：，， ，， ． 【点睛】本题考查了平方根、立方根的定义、根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 31．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）求值 (1)已知的算术平方根是的立方根是2，求的值； (2)已知一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 【答案】(1) (2)x的值为9 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】（1）利用算术平方根和立方根的概念即可求得a和b的值,再求得的值； （2）根据一个正数有两个平方根且它们互为相反数，列方程求解得到a的值，即可确定正数x的值． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：； ∴ （2）由题意可得：， 解得：， ∴x的值为9． 【点睛】本题考查算术平方根和立方根，理解算术平方根，平方根，立方根的概念列出相应的方程是解题关键． 32．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求的值 (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、平方根概念理解 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根的定义，根据立方根和算术平方根的定义求出的值是解此题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义得出，，求解即可得出答案； （2）由（1）得：，求出的值，最后根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：的立方根是2，的算术平方根是3， ，， 解得：； （2）解：由（1）得：， ， 的平方根为． 33．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题主要考查了立方根、平方根及算术平方根，熟知立方根、平方根及算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义即可解决问题； （2）先求出的值，再结合平方根的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：的立方根是3， ， ， 的算术平方根是4， ， ∴； （2）解：当，时，， ∵36的平方根是， 的平方根是． 34．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知的算术平方根是3，b的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)2 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查算术平方根和立方根，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据算术平方根和立方根的定义，进行求解即可； （2）根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得，； （2）由（1）可知，； ∴的立方根为2． 【考点六】无理数的识别与实数的分类 35．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在，，，，，（邻两个之间的个数逐次加）这些数中，无理数的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】解：是无理数，符合题意； 是分数，属于有理数，不符合题意； 是整数，属于有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是无限循环小数，是有理数，不符合题意； （邻两个之间的个数逐次加）是无限不循环小数，是无理数，符合题意； ∴无理数共有个， 故选：． 36．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在实数，，，，中，无理数有__ 个． 【答案】2 【知识点】无理数、实数的分类 【分析】本题考查无理数定义和实数分类，熟记实数分类及无理数定义是解决问题的关键． 根据无理数的定义，无限不循环小数称为无理数，对每个实数进行判断． 【详解】解：在实数，，，，中，无理数有，，共2个， 故答案为：2． 37．（25-26八年级上·江苏南京·期中）在下列实数：3.14，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次加1）中，无理数的个数有 _____ 个． 【答案】3 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查无理数的定义，算术平方根，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：3.14是有限小数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是无理数； 是分数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 0.1010010001…是无限不循环小数，属于无理数， 因此无理数有3个， 故答案为：3． 38．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）在实数，，，，中有理数的个数是______． 【答案】6 【知识点】求一个数的立方根、实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类；先利用立方根的性质化简，再根据实数的概念进行判断． 【详解】解：因为， 所以有理数为，，，，，，有6个， 故答案为：6． 39．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在 π ，﹣，0， 0.1010010001中，______是负无理数，_____是正实数． 【答案】 ； ． 【知识点】无理数、实数的分类 【分析】根据正负数、实数的概念和分类解答 ． 【详解】解：在两个负数中，是无理数，-0.1010010001是有理数，在所有四个数中，只有是正数，所以负无理数为 ，正实数为， 故答案为． 【点睛】本题考查实数的概念和分类，正确理解正负数、有理数和无理数的概念是解题关键． 40．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）把下列各数进行分类：0，π，，，，，． 负实数：_______________； 正有理数：_______________； 无理数：_______________． 【答案】，；，；π， 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类． 根据负实数的定义、正有理数的定义、无理数的定义作答即可 【详解】解： 负实数：，； 正有理数，； 无理数：π，． 故答案为：，；，；π，． 41．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）把下列各数填在相应的横线上 ，，，，，，，， 有理数：__________________________________________________ 无理数：__________________________________________________ 【答案】，，；，，，， 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、实数的分类、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数和无理数的概念，解题的关键是熟知：有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称；无理数，也称为无限不循环小数．判断一个数是有理数还是无理数，关键看它能否化为有限小数或无限循环小数，能则为有理数，不能则为无理数． 【详解】解：是整数，是分数，是分数，均属于有理数， ，，，，均属于无理数， 即有理数：，，； 无理数：，，，，， 故答案为：，，；，，，，． 42．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，，0.31． 有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}； 正实数集合：{ …}． 【答案】 ，， 故有理数集合：{，3.14，，0，，0.31}； 无理数集合：{，，，}； 正实数集合：{，3.14，，，0.31}． 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类、求立方根、求算术平方根，先根据立方根与算术平方根的定义进行化简，再根据实数的分类法则即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 【考点七】实数与数轴上的点 43．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（   ） A．1的平方根是1 B．两个无理数的和一定是无理数 C．的立方根是 D．数轴上的点与有理数一一对应 【答案】C 【知识点】无理数、实数与数轴、求一个数的立方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根、立方根、无理数的性质以及数轴与数的对应关系． 根据定义逐一判断即可． 【详解】解：1的平方根是，故A错误； 两个无理数的和可能是有理数，如与的和为0，故B错误； ，则的立方根是，故C正确； 数轴上的点与实数一一对应，有理数不能覆盖所有点，故D错误； 故选：C． 44．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查无理数的估算及实数与数轴，熟练掌握无理数的估算及实数与数轴是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：因为，所以， 所以根据数轴可知只有B选项符合题意； 故选B． 45．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且，则S的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，结合数轴，点应在3~4之间（E靠近4），即可得出，据此确定S的取值范围． 【详解】解：正方形面积，，点E在数轴上A右侧（A表示1），则E表示． 结合数轴，点应在3~4之间（E靠近4）， ∴， ∴， ∴， 选项B中符合条件，其余选项不符合， 故选B． 46．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为______． 【答案】/ 【知识点】实数与数轴 【分析】本题主要考查了算术平方根、实数与数轴等知识，确定正方形的边长是解题关键．首先根据题意确定正方形的边长，然后结合点的位置即可获得答案． 【详解】解：根据题意，正方形的面积为3， 则该正方形的边长为，即， ∴， ∵点表示的数为2，且点在点的左侧， ∴点表示的数为． 故答案为：． 47．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上A点表示的数为，B点表示的数是2，过点B作于点B，且（单位长度）以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的一个交点D表示的数为______． 【答案】 【知识点】实数与数轴 【分析】利用数轴知识和实数的性质解答． 本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握实数的性质，数轴知识． 【详解】解：根据题意得， ， ， 点D表示的数为， 故答案为：． 48．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)； (3)的算术平方根为． 【知识点】实数与数轴、求一个数的算术平方根、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】（1）根据题意可知比小2，即可求解； （2）结合（1），把的值代入计算即可； （3）根据绝对值和算术平方根的非负性，可得，，可得，即可得，求算术平方根即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∴实数的值是． 故答案为：． （2）解：∵， ∴ ． ∴的值为． （3）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴的算术平方根为． 【点睛】本题考查实数与数轴，绝对值，代数式求值，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，求算术平方根． 49．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行2个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是___________； (2)求的值； (3)数轴上另有两点分别表示实数和，且，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3)平方根为 【知识点】实数与数轴、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查实数与数轴，绝对值和算术平方根的非负性，代数式求值，解题的关键是掌握与实数相关的概念． （1）根据比小2，即可解答； （2）结合（1），把的值代入计算即可； （3）求出，，代入，可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意：， 故答案为：； （2）解：当时， ； （3）解：， ，， 解得，， ， 的平方根，即16的平方根为． 【考点八】无理数的估算：范围、整数部分与小数部分 50．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知m，n是连续的两个整数，且，则的值为（   ） A．6 B．12 C．20 D．30 【答案】B 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查的是估算无理数的大小．先估算出的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，m，n是连续的两个整数， ∴， ∴． 故选：B． 51．（2024八年级·江苏南京·期中）已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 本题主要考查了实数的估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 52．（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知的整数部分为，小数部分为，则的值是__________． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算、运用平方差公式进行运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值、利用平方差公式进行计算，先估算出，得出，从而得出，，代入式子，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：， ，即， ， 的整数部分为，小数部分为， ，， ， 故答案为：． 53．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）要做一个面积为的正方形，它的边长的整数部分是__________，十分位是__________，百分位是__________，千分位是__________． 【答案】 4 1 2 3 【知识点】无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“逼近法”是估算的一般方法，也是常用方法． 首先根据正方形的面积公式求出边长为，而，由此找到所求的无理数的各个数位上的数在哪两个和它接近的有理数之间，然后判断出所求的无理数的近似值即可． 【详解】解：根据正方形的面积公式，得， ，即a的整数部分是4； ， ∴，因此十分位是1； ∵， ∴，即百分位是2； ∵， ∴，故千分位是3． 故答案为：4；1；2；3． 54．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如， 3.43 的小数部分为． (1) ； (2)设的小数部分为a，求 的值； (3)已知 其中x是整数， 且， 求的值． 【答案】(1)2 (2)2 (3) 【知识点】不等式的性质、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，不等式的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键． （1）可得，则，再根据定义求解即可； （2）先根据无理数的估算方法得到，那么的小数部分，再估算出，然后根据定义得到 ，再代入求解即可； （3）先根据无理数的估算方法得到，然后根据不等式的性质得到；由， 是整数，且 ，得到 ，，再代入求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ 的小数部分； ∵ ， ∴ ， ∴ ； ∴ ； （3）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ∵ ， 是整数，且 ， ∴ ，； ∴ ． 55．（24-25八年级上·江苏南京·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知：，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算，结合已知条件估算无理数是解题的关键； （1）仿照材料求出，，再代入计算即可； （2）求出，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； ； 的值是； （2）解：， ， ， ，， ， 的值为． 56．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．例如是无理数，的小数部分我们不可能全部写出来，由于，所以的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示． 请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)若，其中是整数，且，那么________，________； (3)小明同学利用完全平方公式求的近似值，过程如下： ，其中，，即． 比较小，将忽略不计，，即，得， ． 小丽同学认为也可以表示为，其中． ①请你帮小丽同学利用上述方法求的近似值； ②比较小明和小丽的结果，直接写出哪位同学的结果精确度更高． 【答案】(1)2， (2)， (3)① ②小明 【知识点】无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了无理数的估算和完全平方公式的应用．熟练掌握无理数的估算和完全平方公式是解题的关键． （1）利用“比较平方数大小估算无理数范围”即可求解； （2）先由得到，再根据（是整数，），的形式，拆分出整数部分和小数部分； （3）①利用完全平方公式进行变形，因，可以忽略，近似求解； ②通过比较两个近似值的平方与的接近程度来判断精确度即可． 【详解】（1）解：（即）， 的整数部分是2， 的小数部分为． 故答案为2，； （2）解：由可得， （是整数，）， 的整数部分为，即， 将代入， 解得， 故答案为，； （3）解：①， ，即， ， 很小，可忽略不计， 近似为，即， 解得， ； ②小明的结果是，小丽的结果是， ，， 又， 小明的结果精确度更高． 【考点九】实数的大小比较 57．（25-26八年级上·江苏南京·期中）下列各数中最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数的大小比较 【分析】此题主要考查了实数大小的比较，先取各数的近似值，然后计算比较大小解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 最小的是， 故选：D． 58．（26-27八年级上·江苏常州·期中）比较大小：_____．（填或或） 【答案】 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 即． 59．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知，，那么a，b的大小关系是______． 【答案】 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、实数的大小比较 【分析】本题考查比较实数的大小，根据立方根和平方根的定义，分别求出a和b的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 60．（25-26八年级上·江苏常州·期中）比较大小：_____，_____． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了实数比较大小，关键是熟练应用实数比较大小的方法； ①先计算的值，再与比较； ②先比较与7的大小，再根据负数比较法则得出结论. 【详解】解：对于①： ∵ ， ， ∴ ； 对于②： ∵， ∴ ， 即： ， 故答案为：，. 61．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）完成下列各题 (1)填空：______；______； (2)当时，______（用“”填空）； (3)当时，求证：． 【答案】(1)； (2) (3)证明：∵， ∴， ∴． 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的大小比较 【详解】（1）解：；； （2）解：当时，， ∴； （3）略 【考点十】近似值 62．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到十分位） D．（精确到） 【答案】A 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了求一个数的近似数，根据四舍五入法，对按照不同精度取近似值，逐项分析判断是否正确即可． 【详解】解：A、对精确到取近似值为，故此选项错误，符合题意； B、对精确到百分位取近似值为，故此选项正确，不符合题意； C、对精确到十分位取近似值为，故此选项正确，不符合题意； D、对精确到取近似值为，故此选项正确，不符合题意； 故选：A． 63．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）我们知道地球半径大约为千米，下列对近似数描述正确的是（    ） A．精确到十分位 B．精确到个位 C．精确到百位 D．精确到千位 【答案】C 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数精确度，由 ，数字在百位上即可求解，掌握科学记数法的精确度由的最后一位数字所在数位乘以决定． 【详解】解：∵，数字在百位上， ∴精确到百位， 故选：． 64．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）近似数精确到____位． 【答案】百 【知识点】求近似数的精确度、将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了科学记数法，近似数，用科学记数法表示的数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 要确定精确到哪一位，首先要把这个数还原，然后看末尾的数字在还原的数中的数位即为所求，据此求解即可． 【详解】解：， 故近似数精确到百位， 故答案为：百． 65．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）用四舍五入法将取近似数精确到十分位是_________． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题主要考查近似数，熟练掌握近似数精确的条件是解题的关键．根据“四舍五入”即可得到答案． 【详解】解：根据四舍五入， 取近似数精确到十分位是， 故答案为：． 66．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【阅读理解】求的近似值（结果精确到0.01）． 小丽是这样做的： 解：因为，所以设，则，即．因为，所以，因为比较小可以忽略不计，所以，解得，即的近似值为10.15． (1)小强看了小丽的解法，想到了是否可以用，求的近似值．他的做法如下： 解：设，则，即…… 请你继续完成小强的解答过程，并比较谁求出的近似值精确度更高（）． 【理解应用】 (2)请你思考两位同学的做法后，选择合适的方法，求的近似值（结果精确到0.01）． 【答案】(1)小强的近似值为10.18，小丽的近似值精确度更高 (2) 【知识点】无理数的大小估算、求一个数的近似数、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义以及完全平方公式是正确解答的关键． （1）利用题目所提供的方法进行计算即可； （2）估算无理数的大小，设，得到，忽略，求出的值即可． 【详解】（1）解：设， 则， 即， ， ． 比较小可以忽略不计， ，解得． 即的近似值为． ∴小丽的精确度较高． （2）由于，可设， ， 即， 由于，， 由于较小，忽略不计， ，解得， ∴． 【考点十一】实数的运算 67．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入的值为32，那么输出的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算 【分析】本题考查程序设计与实数运算，求立方根，求算术平方根． 根据程序框图，将代入，按照运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的算术平方根为， ∴输出的值为． 故选：C． 68．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）设、、、是不等于零的有理数，、、、是无理数，则下列四个数① ，②，③，④中必为无理数的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，利用反证法，根据有理数及无理数的定义逐一判断即可求解，熟练掌握反证法是解题的关键． 【详解】解：依题意得： ①令，，则， 则是有理数； ②令，， 则是有理数； ③令，， 则是有理数， ④中无论取何值时都为无理数， 则必为无理数的有1个， 故选B． 69．（24-25八年级上·江苏南京·期中）有一个数值转换器，流程如图所示．当输入x的值为125时，输出y的值是_______． 【答案】 【知识点】无理数、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算 【分析】根据流程图进行求立方根与算术平方根，并判断是否是无理数即可求解． 【详解】解：由题意得 不是无理数， 的算术平方根是，是无理数， 输出． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了算术平方根以及立方根的定义，以及无理数的概念，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根；正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0． 70．（26-27八年级上·江苏·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、求一个数的绝对值、零指数幂 【分析】（1）先开方，再加减即可； （2）先算乘方和绝对值，再加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 71．（26-27八年级上·江苏·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】（1）利用算术平方根的定义进行计算即可； （2）利用求一个数的立方根和算术平方根法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 72．（26-27八年级上·江苏·期中）计算、解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)或 【知识点】利用平方根解方程、实数的混合运算、零指数幂 【分析】（1）根据算术平方根，立方根，零指数幂计算即可； （2）根据平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 或． 73．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)2 (2) 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据算术平方根，立方根的定义计算，再根据有理数加减法则计算即可； （2）先根据负整数指数幂、算术平方根、绝对值的性质计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式=， =， =． 74．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了实数的混合运算，绝对值，算术平方根和立方根，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先化简算术平方根，然后计算加减即可； （2）先化简绝对值，计算立方根和算术平方根，再进行加减运算． 【详解】（1） ； （2） ． 【考点十二】新定义下的实数运算 75．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】新定义下的实数运算、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了新定义实数的运算，解分式方程，由题干中的新定义得出方程，解分式方程即可得解． 【详解】解：∵对于实数a、b，定义一种新运算“”为：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 当时，， ∴方程的解是， 故选：A． 76．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）定义新运算“☆”：若，则______． 【答案】9 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义运算，根据新运算的定义，将和代入公式中计算即可，理解新定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：9． 77．（25-26八年级上·江苏溧阳·期中）定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是_______ 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义运算、实数的混合运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据新运算的定义进行计算即可． 【详解】解：由定义，， 代入 ，，得： ． 故答案为：10． 78．（25-26八年级上·江苏南京·期中）我们规定运算符号的意义：当时，；当时，，其他运算符号意义不变按上述规定，计算的结果为__________． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据规定的运算规则，分别计算两个部分：比较大小后选择加法或减法，然后合并同类项简化表达式． 【详解】对于，由于 ，故 ； 对于 ，由于 ，故； ∴原式． 79．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，现对72进行如下操作：2=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地：①对100只需进行___________次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的数与最小数的和是___________． 【答案】 3 271 【知识点】求一个数的算术平方根、新定义下的实数运算、无理数的大小估算 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 对于①，计算100的取整平方根操作次数；对于②，找到经过3次操作后变为1的所有正整数中，最大值为255，最小值为16，求和即可，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ∴对100只需进行3次操作后变为1， ∵，，， ∴对255只需进行3次操作后变为1， 从后向前推，找到需要次操作得到的最小整数， ∵，， ， ， ∴对256只需进行4次操作后变为1， ∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255， ∵，， ，，， ∴对16只需进行3次操作后变为1，对15只需进行2次操作后变为1， ∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最小的是16， 则 故答案为：3，271． 80．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）对于实数，，定义运算◆：例如，，．若，满足方程求的值． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、新定义下的实数运算 【分析】本题考查实数的新定义运算，先根据非负数的性质得到x，y的值，再根据新定义的运算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∵， ∴ 即的值为． 81．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）阅读与理解： 小明在学习了有关平方根的知识后，知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．一天，善于思考的小明想：如果存在一个数i，使，那么，因此就有两个平方根了．进一步，小明想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根就是．请你根据上面的信息解答下列问题： (1)求，的平方根（写成因为……，所以……的形式）； (2)求的值． 【答案】(1)因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根就是 (2) 【知识点】求一个数的平方根、新定义下的实数运算 【分析】本题考查平方根，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）仿照题干给出的方法进行求解即可； （2）根据题意，得到i的幂具有周期性，每4项为一个循环，和为0，再计算剩余项即可． 【详解】（1）解：因为，所以的平方根是； 因为，所以的平方根就是． （2）∵， ∴i的幂具有周期性，每4项为一个循环，和为， ∵， ∴． 82．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）规定表示一对数对，给出如下定义：，，与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是______； (2)若数对的一个“对称数对”是，则的值是______； (3)若数对一个“对称数对”是，求的值． 【答案】(1)与 (2)1 (3)或 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义运算，理解和应用新定义是解本题的关键． （1）根据新定义即可得出答案； （2）根据新定义可得，解方程即可得出答案； （3）根据新定义得出方程组，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：，， 数对的一对“对称数对”是与， 故答案为：与 （2）解：数对的一个“对称数对”是， ， ， 故答案为：1； （3）解：数对一个“对称数对”是， 或， 或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $