精品解析：江苏省苏州市昆山震川高级中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

2026-2027学年第一学期昆山震川高级中学高二年级第一次月考 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若等比数列满足，则（ ） A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则 A. B. 3 C. D. 6 3. 若直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4. 我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？” A. 6斤 B. 7斤 C. 8斤 D. 9斤 5. 已知点，若线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是（ ） A. B. C. 3 D. 1 6. 已知数列为等差数列，若，且它的前n项和有最大值，则使成立的n的最大值为（ ） A. 40 B. 39 C. 21 D. 20 7. 已知直线恒过定点，若点到直线的最大距离为2，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 8. 已知数列，的通项分别为，，现将和中所有的项，按从小到大的顺序排成数列，则满足的的最小值为（ ） A. 21 B. 38 C. 43 D. 44 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则斜率 B. 若斜率，则 C. 若倾斜角，则 D. 若，则倾斜角 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线与直线互相垂直，则或 B. 若直线与直线互相平行，则或 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若点，直线l过点且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是或 11. 已知数列的前项和为，，且，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为常数列 B. 数列为等比数列 C. 记数列的前项和为，则 D. 记数列的前项和为，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列、满足，且数列是等差数列，若，，则数列的前n项和＝_______. 13. 已知直线经过点，当在两坐标轴上的截距相等时，则直线的方程为______． 14. 设函数，数列满足（，且）．则数列的通项公式_______，令，设，若对恒成立，则实数t的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知直角的直角顶点，且，C在y轴上． （1）求点C的坐标； （2）求斜边中线所在的直线方程； （3）若直线l过点B，且与直线AC平行，求直线l的方程． 16. 已知数列满足：，. （1）设，证明：数列是等差数列； （2）求数列的前项和. 17. 已知数列满足是正整数 （1）求数列的通项公式； （2）设，如果对于任意正整数，都有，求实数的取值范围． 18. 在平面直角坐标系中，已知两条直线． （1）若，求与之间的距离； （2）若直线与轴正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求的面积的最小值及此时直线的方程； （3）已知，若与线段有公共点（包括端点），求a的取值范围． 19. 已知数列的前n项和为，且． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前n项和． （3）若，数列的前n项和为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期昆山震川高级中学高二年级第一次月考 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若等比数列满足，则（ ） A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的基本量运算计算即得. 【详解】设等比数列的公比为， 由可得， 则. 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则 A. B. 3 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】，选A. 3. 若直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系计算即可； 【详解】由题知直线的斜率为， 因为，所以倾斜角， 故选：D． 4. 我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？” A. 6斤 B. 7斤 C. 8斤 D. 9斤 【答案】D 【解析】 【分析】将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可. 【详解】原问题等价于等差数列中，已知，求的值. 由等差数列的性质可知：， 则，即中间三尺共重斤. 本题选择D选项. 【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5. 已知点，若线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是（ ） A. B. C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质，结合互相垂直两直线的斜率的性质进行求解即可. 【详解】由，所以直线的斜率为， 因为线段的垂直平分线的方程是， 所以有， 检验中点可知m=3符合题意. 故选：C 6. 已知数列为等差数列，若，且它的前n项和有最大值，则使成立的n的最大值为（ ） A. 40 B. 39 C. 21 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，结合等差数列的前n项和有最大值可得数列为递减数列，进而得到，，再结合等差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】由，得， 因为等差数列的前n项和有最大值，所以数列的公差，为递减数列， 则，， 所以，， 所以使成立的n的最大值为39. 7. 已知直线恒过定点，若点到直线的最大距离为2，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一个定点到动直线的最大距离可求出，再根据基本不等式中1的代换计算即可. 【详解】∵直线恒过定点， ∴点到直线的最大距离为， 解得，即直线恒过定点， 即， ∴， 当且仅当，即时，等号成立. 即的最小值为. 8. 已知数列，的通项分别为，，现将和中所有的项，按从小到大的顺序排成数列，则满足的的最小值为（ ） A. 21 B. 38 C. 43 D. 44 【答案】C 【解析】 【分析】利用分组求和列出关于和的不等式，求出其解后可得的最小值 【详解】因为，故， 若， 则， 由可得， 若，则，故， 不合题意，舍； 故，故，故此时. 若，其中，其中， ， 由可得， 而，故即， 故， 当时，由可得， 此时，故. 综上， 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则斜率 B. 若斜率，则 C. 若倾斜角，则 D. 若，则倾斜角 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果． 【详解】A选项，，可能直线与的倾斜角都是，斜率不存在，所以A选项错误. B选项，根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行，所以B选项正确. C选项，当两条直线的倾斜角相等时，直线平行，所以C选项正确. D选项，当两条直线平行时，则倾斜角必相等，所以D选项正确. 故选：BCD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线与直线互相垂直，则或 B. 若直线与直线互相平行，则或 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若点，直线l过点且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是或 【答案】AC 【解析】 【分析】利用直线与直线垂直的判定即可判断A；利用两直线平行的判定即可判断B；先利用得k的范围，再由的范围求出倾斜角的取值范围即可判断C；先求出定点与线段两端点的连线斜率，再结合图象进行临界分析即可判断D. 【详解】选项A，∵直线与直线互相垂直， ∴，解得或，A正确. 选项B，∵直线与直线互相平行， ∴，解得，B错误. 选项C，∵直线的斜率， 即直线倾斜角满足，又∵， ∴倾斜角的取值范围是，C正确. 选项D，∵，，直线l与线段AB相交， 则画图可以判断直线l的斜率k的取值范围为，D错误. 11. 已知数列的前项和为，，且，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为常数列 B. 数列为等比数列 C. 记数列的前项和为，则 D. 记数列的前项和为，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，证明，即可判断；对于B，利用求出时，，即可判断；对于C，利用裂项相消法求出，即可判断；对于D，通过作差法得到为递增数列，即可判断. 【详解】对于A，， 而， 所以，所以为常数列，故A正确； 对于B，因为，所以当时，， 当时，，而， 所以数列不是等比数列，故B错误； 对于C，当时，，此时， 则， ， 因为，则，所以，故C正确； 对于D，记， ， 当时，，则， 所以为递增数列，当时，最小，最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列、满足，且数列是等差数列，若，，则数列的前n项和＝_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据是等差数列，且，，利用“”法，求得，再由，求得，利用等比数列前n项和公式求解. 【详解】∵是等差数列，且，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故是的前n项和. 故答案为： 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的前n项和，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 13. 已知直线经过点，当在两坐标轴上的截距相等时，则直线的方程为______． 【答案】或 【解析】 【详解】当直线在两坐标轴上的截距均为零时，直线过原点， 此时直线的斜率为，则直线的方程为，即； 当直线在两坐标轴上的截距均不为零时，设直线的方程为， 将点代入直线方程，得，即， 则直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 14. 设函数，数列满足（，且）．则数列的通项公式_______，令，设，若对恒成立，则实数t的取值范围为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由条件推得，将其变形后，即得数列为首项是1，公差为的等差数列，继而求出的通项以及的通项公式，根据的奇偶分类，利用分组求和法推得的表达式，再根据参变分离法与函数的单调性即可求出t的取值范围. 【详解】因，，易得， 两边取倒数，可得，即， 则数列为首项是，公差为的等差数列， 故，则，， 当为偶数时， ； 当为奇数时， . 因对恒成立，而对恒成立， 则只需使，即在为偶数时恒成立， 又因在为偶数时单调递增， 故，可得， 即实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知直角的直角顶点，且，C在y轴上． （1）求点C的坐标； （2）求斜边中线所在的直线方程； （3）若直线l过点B，且与直线AC平行，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两直角边垂直，转化为斜率的关系式，即可求解； （2）首先求斜边的中点坐标，再求直线方程； （3）根据平行关系求斜率，再代入点斜式方程，即可求解. 【小问1详解】 设，，， 因为，所以，则，解得：， 所以点的坐标为； 【小问2详解】 斜边的中点坐标为， ， 直线，整理为， 所以斜边中线所在的直线方程为； 【小问3详解】 ， 因为，所以直线的斜率为， 直线的方程为，整理为， 所以直线的方程为. 16. 已知数列满足：，. （1）设，证明：数列是等差数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）将条件变形得，再代入即可； （2）根据数列是等差数列可求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）证明：由，可得，所以， 由于，可得，又， 所以为首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）可知为等差数列. 所以，可得，所以， 所以， 则 所以数列的前项和. 17. 已知数列满足是正整数 （1）求数列的通项公式； （2）设，如果对于任意正整数，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用的方法求得的递推关系式，得出等比数列，从而可得 通项公式； （2）求出，利用作差法求得的最大值是，然后解不等式可得． 【小问1详解】 ， 时，． 两式相减得，， 又，，从而，所以等比数列，公比为， 所以，； 【小问2详解】 由（1）知，，，，，当时，， ，当时，，，即时，递减， 所以的最大值是， 对于任意正整数，都有，则，解得或， 所以的取值范围是． 18. 在平面直角坐标系中，已知两条直线． （1）若，求与之间的距离； （2）若直线与轴正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求的面积的最小值及此时直线的方程； （3）已知，若与线段有公共点（包括端点），求a的取值范围． 【答案】（1） （2）面积最小值为，此时直线的方程为 （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据平行关系求，再代入平行线距离公式，即可求解； （2）首先求点的坐标，再表示的面积，最后根据基本不等式求最值； （3）首先求直线的定点坐标，再求边界直线的斜率，即可求解. 【小问1详解】 若，则，得， 当时，，，其中，满足， 当时，，，其中， 所以与重合，所以，，， 所以与之间的距离； 【小问2详解】 当时，，则，当时，，即， 由条件可知，且，得， 所以， 当，即时，等号成立， 所以的面积的最小值为，此时直线的方程为； 【小问3详解】 直线过定点，，， 若直线与线段有公共点（包括端点），则直线的斜率存在， 故，直线的斜率，所以，解得， 所以的取值范围是. 19. 已知数列的前n项和为，且． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前n项和． （3）若，数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1） 在数列中，，当时，， 两式相减得，即， 而，解得，则， 所以是首项为3，公比为3的等比数列. （2）； （3） 由（2）得， 由， 得，即， 因此， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用，结合等比数列的定义推理证明. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求和. （3）由（2）求得，再利用放缩法及等比数列前n和公式推理得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， 则，， 因此， 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $