精品解析：江苏省苏州市苏州高新区第一中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

苏州高新区第一中学十月作业检测 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据直线斜率与倾斜角满足关系， 由题意，有， 又因为直线倾斜角取值范围在内，则直线倾斜角为, 所以D符合题意． 2. 已知数列的通项公式为，则下列选项正确的是（ ） A. 是等差数列且公差为 B. 前10项和为 C. 前项的和中最大时 D. 是等比数列 【答案】B 【解析】 【分析】由通项公式求公差与前项和，判断ABC；利用相邻项的关系判断D． 【详解】对于A，由，可知是公差为的等差数列，A错误． 对于B，由等差数列的前项和公式，得 故，B正确． 对于C，由，且为正整数，得，当且仅当或时等号成立，故C错误． 对于D，，，，显然，故不是等比数列，D错误． 3. 已知为正项等比数列，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由数列为正项等比数列，得， 所以. 4. 已知数列满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，推出数列的周期为3，由此求解即可. 【详解】因为， 所以，， ，， …… 所以数列为周期数列，周期为3， 又因为， 所以. 5. 设为等比数列的前n项和，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 15 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，此时，不符合题意； 当时，由题意得，则， 所以，解得， 所以，， 所以. 6. 设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由与的关系及等差中项的性质结合题意计算可得. 【详解】因为，所以， ，所以， 因为是等差数列，则，即是递增数列， 因为所以， 又，， 所以当时，；当时，； 所以仅有，即满足的正整数n的值为16. 7. 已知数列的前项和为 ，且，则“”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据与的关系求出，进而求得，结合数列为递增数列，求出的范围；结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 要使数列为递增数列，则， 即，解得； 若，则一定满足且，数列递增，充分性成立； 若数列递增，则必有，必要性成立； 所以“”是“数列为递增数列”的充要条件. 8. 已知数列满足，记的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用取倒数法，结合累加法进行求解即可. 【详解】由， 由， 当时，， 所以， 即， 所以，因此选项C正确，选项A不正确； ， 因为，， 所以数列是单调递减数列， ， 所以数列是递增数列， 因此，所以选项D不正确； 假设， 因为数列是单调递减数列， 所以，因此不成立，假设不成立，选项B不成立. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 的通项公式为 D. 数列是递增数列 【答案】AC 【解析】 【详解】由，得，则， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，故A正确，B错误； 则，即，即数列是递减数列，故C正确，D错误. 10. 已知递增等差数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则的值为36 D. 数列的前2026项和为2026 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先根据条件求和，再求等差数列的通项公式，以及前项和，再去绝对值求和，判断C，利用并项求和法判断D. 【详解】，即，又因为， 所以，或，， 又因为数列单调递增，所以，， 则，，故A正确； ，故B正确； ，设数列的前项和为， 当时，，当时，， 所以， ，故C错误； 数列的前2026项和为，故D正确. 11. 将数列中的所有项排成如下数阵： …… 已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数成等差数列，且．从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，则（　　） A. B. 在第85列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知，根据条件，选项A，设第一列数所组成的等差数列公差为d，根据求解公差，然后再求解即可验证；根据数阵的规律，先计算第行共有项，然后再总结前行共有项，先计算前44行共有项，然后用，即可判断选项B；选项D，先计算第一列数所组成的等差数列第行的第一项为：，然后再根据每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，利用等比数列通项公式即可求解通项；选项C，先表示出，，然后可令、，分别判断数列的单调性，求解出对应的最大值与最小值，比较即可判断. 【详解】由已知，第一列数成等差数列，且， 设第一列数所组成的等差数列公差为d，则， 所以，选项A正确； 第一行共有1项，第二行共有3项，第三行共有5项，，第行共有项， 所以前一行共有项，前二行共有项，前三行共有项，，前行共有项， 所以前44行共有项，而， 所以位于第45行86列，故选项B错误； 第一列数所组成的等差数列第行的第一项为：， 且每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列， 所以第行的数构成以为首项，公比为的等比数列， 所以，故选项D正确； 因为第一列数所组成的等差数列第行的第一项为：， 所以， 令， 所以， 当且时，， 所以，所以， 而令，在上单调递增， 所以，所以成立，选项C正确. 故选：ACD. 【点睛】在处理等差等比数列交叉的数阵问题时，可根据条件说明，或者数阵行、列的规律总结、类比出等差、等比数列，需要注意的是，不要把求通项和求和的式子混淆了. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角的关系，排除倾斜角为的情形，再利用正切函数的单调性求解取值范围． 【详解】当时，正切函数在该区间上单调递增，故． 当时，正切函数在该区间上单调递增，故． 当时，直线的斜率不存在． 综上，的取值范围为． 13. 已知三个互不相同的实数经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可成等比数列，则该等比数列的公比为________． 【答案】或 【解析】 【分析】假设经过适当排序后变成等差数列，依次讨论是等比中项的情况，结合公差即可求解. 【详解】由于经过适当排序后可成等差数列，不妨设这三个数为，其中公差， 这三个数经过适当排序后也可成等比数列，则有： ①当是等比中项时，则有，解得，这与矛盾，所以不是等比中项； ②当是等比中项时，则有，化简得，由于，所以解得， 此时，这三个数分别为，由于这三个数是互不相同的实数，所以， 而这三个数要构成等比数列，只有两种排序方式，即或， 因此公比或； ③当是等比中项时，则有，化简得，由于，所以解得， 此时，这三个数分别为，情况与②相同； 综上所述，该等比数列的公比为或. 14. 某太空项目采用星链卫星组网，第1颗卫星入轨后，后续卫星按如下规则入轨：设第颗卫星与基准轨道的偏差值为，满足递推关系：，，已知初始偏差，则前69颗入轨卫星的总偏差为________． 【答案】1193 【解析】 【分析】先归纳得数列的通项，再求出数列的前项和，最后求得前69颗入轨卫星的总偏差即. 【详解】由题意得，，， ，，， ，，. 可以归纳出，当时，若，则； 若，则． 令，则， 当为偶数，设，那么, 则, , ， 所以，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，且，，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设数列的公差为，则有， 解得， 故； 【小问2详解】 ， 则. 16. “绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共十九大报告.为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，记该地区今年绿洲的面积为万平方公里，第n年绿洲的面积为万平方公里. （1）求第n年绿洲的面积与上一年绿洲的面积的关系； （2）证明：数列是等比数列，并求的通项公式； （3）求第几年该地区的绿洲面积可超过60%?（参考数据：） 【答案】（1），； （2）证明见解析，； （3）第6年. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式、化简即可作答. （2）利用（1）中等式，变形并结合等比数列定义判断，求出通项公式作答. （3）利用（2）中结论，列出不等式，借助对数函数单调性求解作答. 【小问1详解】 依题意，，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，，即，又，有， 于是得是以为首项，为公比的等比数列，则， 所以. 【小问3详解】 由（2）知，，即，两边取常用对数得， 则，即， 所以第6年该地区的绿洲面积可超过60%. 【点睛】思路点睛：涉及实际意义给出的数列问题，正确理解实际意义，列出关系式，作等价变形，转化为基本数列求解. 17. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，记数列的前项和，求证：． 【答案】（1） （2）， ， ， ， ， ， ，故． 【解析】 【分析】（1）利用已知递推式得出数列是等比数列，进而求出的通项公式； （2）先求出，再利用裂项相消法求和，进而证明结论． 【小问1详解】 ，则， ，又， 故是首项为 ，公比是 的等比数列， ，即， 成立， 数列的通项公式为． 【小问2详解】 略 18. 已知数列的前n项和为且． （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，求； （3）对于第（2）题中，若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由数列的通项与前项和的关系，以及等比数列的通项公式，可得所求； （2）由数列的乘公比错位相减法求和，可得； （3）由参数分离和不等式恒成立思想，结合数列的单调性，可得所求取值范围． 【小问1详解】 当时，，解得， 当时，由，可得， 两式相减可得，当时也成立， 由此可得数列是首项为，公比为的等比数列， 则， 所以数列的通项公式为 【小问2详解】 ， 则， ， 两式相减可得： ， 整理可得 【小问3详解】 由（2）可知若对任意的恒成立， 即恒成立， 设，则， 当时，即，所以当时，， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增， 即当时，， 当时，，所以， 故的取值范围为． 19. 若有穷数列（n是正整数），满足即（i是正整数，且），就称该数列为“对称数列”． （1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项； （2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为48，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当k为何值时，取到最大值？最大值为多少？ （3）对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，分别求出所有对称数列的前2026项和． 【答案】（1） （2）或；最大值； （3）①； ②； 【解析】 【分析】（1）设前项的公差为，求出公差，从而得到，再根据对称性得到其余项； （2）首先利用等差数列求和公式求出，则，再由二次函数的性质计算可得； （3）依题意列出满足该条件的对称数列，再分两种情况利用等比数列求和公式及分组求和法计算可得． 【小问1详解】 设数列的公差为，则，解得， 所以数列为； 【小问2详解】 因为构成首项为48，公差为的等差数列， 所以， 所以， 由及二次函数的性质可知 当或时取得最大值，且， 【小问3详解】 因为成为数列中的连续项，且该对称数列的项数为， 所以这样的对称数列有： ； ； 因为， 对于①，当时，； 当时，； 所以； 对于②，当时，； 当时， ； 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州高新区第一中学十月作业检测 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的通项公式为，则下列选项正确的是（ ） A. 是等差数列且公差为 B. 前10项和为 C. 前项的和中最大时 D. 是等比数列 3. 已知为正项等比数列，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知数列满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 5. 设为等比数列的前n项和，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 15 6. 设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 7. 已知数列的前项和为 ，且，则“”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知数列满足，记的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 的通项公式为 D. 数列是递增数列 10. 已知递增等差数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则的值为36 D. 数列的前2026项和为2026 11. 将数列中的所有项排成如下数阵： …… 已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数成等差数列，且．从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，则（　　） A. B. 在第85列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是______ 13. 已知三个互不相同的实数经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可成等比数列，则该等比数列的公比为________． 14. 某太空项目采用星链卫星组网，第1颗卫星入轨后，后续卫星按如下规则入轨：设第颗卫星与基准轨道的偏差值为，满足递推关系：，，已知初始偏差，则前69颗入轨卫星的总偏差为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，且，，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. “绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共十九大报告.为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，记该地区今年绿洲的面积为万平方公里，第n年绿洲的面积为万平方公里. （1）求第n年绿洲的面积与上一年绿洲的面积的关系； （2）证明：数列是等比数列，并求的通项公式； （3）求第几年该地区的绿洲面积可超过60%?（参考数据：） 17. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，记数列的前项和，求证：． 18. 已知数列的前n项和为且． （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，求； （3）对于第（2）题中，若对任意的恒成立，求的取值范围． 19. 若有穷数列（n是正整数），满足即（i是正整数，且），就称该数列为“对称数列”． （1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项； （2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为48，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当k为何值时，取到最大值？最大值为多少？ （3）对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，分别求出所有对称数列的前2026项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $