26.1 二次函数的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十六章 二次函数 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 26.1 二次函数的概念 1 学习目标 1. 理解二次函数的定义，掌握二次函数一般形式 y=ax2+bx+c(a≠0)；能够识别二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项；会根据简单实际问题列出二次函数关系式. 2. 通过分析多个实际问题，经历从实际情境抽象函数表达式的过程，对比一次函数，归纳二次函数概念，提升数学建模能力. 3. 感受二次函数来源于生活，体会函数刻画现实变量关系的作用，激发数学探究兴趣. 2 旧知回顾 1.什么是函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 2. 一次函数的般形式： . 正比例函数的一般形式： . 3.一元二次方程的一般形式： . y=kx(k≠0) ax2+bx+c=0(a≠0) y=kx+b(k≠0) 3 4 新知探究 问题 1 用长为 40 m 的篱笆围成一个矩形区域，设矩形的一边长为 x m，面积为 y m2，写出y与x的关系式. 另一边长为 (20-x) ，根据矩形面积公式，y = x(20-x) = -x2+20x. 这是一个不同于一次函数的新函数. 对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的 值与其对应，即y是x的函数. 5 新知探究 问题 2 n 支球队参加比赛，每两队之间进行 1 场比赛，写出比赛总场数m和球队数n的关系式. 每支球队都要与其他(n-1)支球队各比赛1场，由于甲队对乙队的比赛 与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数m = n(n-1)，即m = n2- n . 表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系，其中m和n都是变量，而且对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数. 6 新知探究 问题 3 某产品现在年产量 20 吨，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年产量增加x倍，写出两年后产量y与x之间关系式. 这种产品的原产量是20t，一年后的产量是20(1+x)t，再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x)t，即两年后的产量 y = 20(1+x)2， 即y = 20x2+40x+20. 表示两年后的产量y与每年的计划增产倍数x之间的关系，其中x和y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数. 7 新知探究 思考 观察函数 y = -x2+20x ， m = n2- n ， y = 20x2+40x+20，有什么共同点？ ① 都是函数关系式； ② 函数解析式都是整式； ③ 自变量的最高次数都是2. 8 新知探究 二次函数定义 一般地，形如 y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数. y = a x2 + b x + c 二次项系数 自变量 一次项系数 常数项 9 新知探究 二次函数的一般形式： y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a≠0) 二次函数的特殊形式： 当b=0，c=0时，y=ax2(a≠0) 当c=0时，y=ax2 +bx(a≠0) 当b=0时，y=ax2 +c (a≠0) 一次项系数、常数项可以为0. 10 新知探究 二次函数解析式必须同时满足的三个条件： (1) 函数解析式是整式； (2) 化简整理后自变量的最高次数是2； (3) 二次项系数不为0，即a≠0. 11 课堂练习 下列函数中哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项. ① y = x2 +2 ② y = 2x2 +x(1-2x) ③ y = x2(1+ x2)-1 ④ y = + x2 ⑤ y = x(x+1) ⑥ y = 解： ①二次项系数是，一次项系数是0，常数项是2 ⑤二次项系数是1，一次项系数是1，常数项是0 ⑥二次项系数是1，一次项系数和常数项是0 ✔ ✘ a = 0 ✘ 最高次数是4 ✘ 分母含有未知数 ✔ ✔ 12 新知探究 判断一个函数是否为二次函数的步骤： (1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数(因变量)的形式； (2) 判断右边含自变量的代数式是否是整式； (3) 判断自变量的最高次数是否是2； (4) 判断二次项系数是否不等于0. 13 新知探究 【提问】如何根据实际问题列二次函数关系式？ 一般方法： 1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系； 2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系； 3）列出相应二次函数的关系式. 14 新知探究 例 (1) 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式. 解：圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以S=2πr2+2πr · r，即S=4πr2. 15 新知探究 (2) 一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x. 写出两年后产品的年销售量y(单位：万件)关于x的函数解析式. 解：一年后产品的年销售量为8(1-x)万件，两年后的年销售量为8(1-x)(1-x)万件，所以y=8(1-x)2，即 y=8x2-16x+8. 16 随堂演练 1. 写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) y = 8x2-16x+8； (2) y = x2； (3) y=- x2 +5x； (4) y=2(x-1)2-5. (1) 二次项系数： 一次项系数： 常数项： (2) 二次项系数： 一次项系数： 常数项： 8 -16 8 1 0 0 17 随堂演练 1. 写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) y = 8x2-16x+8； (2) y = x2； (3) y=- x2 +5x； (4) y=2(x-1)2-5. (3) 二次项系数： 一次项系数： 常数项： (4) 二次项系数： 一次项系数： 常数项： - 5 0 2 -4 -3 y = 2x2-4x -3 18 新知探究 2 .下列函数中（x是自变量），是二次函数的为( ) A. y=ax2+bx+c B. y2=x2-4x+1 C. y=x2 D. y=22+ x+1 3. 函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A. m,n是常数，且m≠0 B. m,n是常数，且n≠0 C. m,n是常数，且m≠n D. m,n为任何实数 C C 19 随堂演练 4. 如图，矩形绿地的两边长各增加 x m，扩充后的绿地面积为ym2，写出y关于x的函数解析式. xm 20 m 30 m xm y = (30+x)(20+x) = x2+50x+600 y关于x的函数解析式为: y = x2+50x+600 (x≥0) 20 随堂演练 5. 已知y关于 x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1. 1）当m为何值时，此函数是一次函数？ 2）当m为何值时，此函数是二次函数？ 解：1）∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1是一次函数， ∴m2+2m=0，m≠0， 解得：m=﹣2； 2）∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1是二次函数， ∴m2+2m≠0， 解得：m≠﹣2且m≠0． 21 随堂演练 解：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0， 解得，m=3或m=﹣1； 当m=3时，y=6x2+9； 当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1； 综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1． 6. 已知y=（m2-m） +(m-3)x+m2是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式. 22 课程小结 二次函数 定 义 y=ax2+bx+c(a ≠0，a，b，c是常数） 一般形式 等号两边都是整式； 自变量的最高次数是2； 二次项系数a ≠0． 特殊形式 y=ax2（a ≠0）； y=ax2+bx(a ≠0，a，b是常数) ； y=ax2+c(a ≠0，a，c是常数)． 23 null 6269.4043 null 11206.512 null 12512.615 $