26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，通过回顾抛物线y=a(x-h)²+k的性质及平移关系，结合对比表格引出一般式顶点坐标等未知问题，搭建前后知识的学习支架。 其亮点在于以配方法“提、配、化”步骤分解和公式法推导为核心，通过实例（如y=1/2x²-6x+21配方）培养运算能力与推理意识，结合对称性列表绘制图象发展几何直观，课堂小结系统归纳顶点坐标、对称轴公式及方法，助力学生构建知识脉络，教师可高效开展教学。

M A T H E M A T I C S y = ax² + bx + c (General Form) 用函数读世界 用图象写未来 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 数学课件 教 学 设 计 把万物的变化，压缩成一个等式。 —— 笛卡尔 教 学 课 件 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1 第二十六章 二次函数 26.2.3　二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 目录页 新课导入 讲授新课 当堂练习 课堂小结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 3 新课导入 教学目标 教学重点 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 4 学习目标 1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点） 2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点） 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 向上 向下 (h ,k) (h ,k) x=h x=h 当x<h时，y随着x的增大而减小；当x>h时， y随着x的增大而增大. 当x<h时,y随着x的增大而增大；当x>h时， y随着x的增大而减小. x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的. 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 6 顶点坐标 对称轴 最值 y=-2x2 y=-2x2-5 y=-2(x+2)2 y=-2(x+2)2-4 y=(x-4)2+3 y=-x2+2x y=3x2+x-6 (0,0) y轴 0 (0,-5) y轴 -5 (-2,0) 直线x=-2 0 (-2,-4) 直线x=-2 -4 (4,3) 直线x=4 3 ? ? ? ? ? ? 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 7 讲授新课 典例精讲 归纳总结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 8 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ 问题 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？ 探究归纳 1 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 9 配方可得 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 配方 你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 提示:配方后的解析式通常称为顶点式. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 方法一：平移法 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 6 8 有哪几种画图方法？ 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 6 8 方法二：描点法 先利用对称性列表: 开口方向： 对称轴： 顶点： 向上 直线x=6 (6,3) 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 y=ax²+bx+c 二次函数y=ax2+bx+c 与y=a(x-h)2+k的关系? 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 通过配方可以转化成y=a(x-h)2+k形式. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质吗？ y=ax2+bx+c 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 y=ax2+bx+c 二次函数的顶点式 对称轴为 。 二次函数的一般式 因此，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是 ，顶点坐标是 。 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 y O x （a>0） y O x （a<0） 二次函数y=ax2+bx+c的图象： 增减性？ 最小值 最大值 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质： y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴　 直线x＝ 直线x＝ 增减性　 当x＜ 时，y随x的增大而减小；当x＞ 时， y随x的增大而增大 当x＜ 时，y随x的增大而增大；当x＞ 时， y随x的增大而减小 最值　　 当x＝ 时，y有最小值，为 当x＝ 时，y有最大值，为 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4 D 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0， 故③正确； 由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第 二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0， 可得(a＋c)2＜b2，故④正确． 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系 【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 例1 2 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系 ①a决定开口方向：a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下； ②a，b同号对称轴在y轴的左侧； a，b异号对称轴在y轴的右侧； ③c＝0⇔经过原点； c>0⇔与y轴的交点位于x轴的上方； c<0⇔与y轴的交点位于x轴的下方； 归纳总结 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 ④当x＝1时，y的值为a＋b＋c， 当x＝－1时，y的值为a－b＋c． ⑤当对称轴x＝1时，x＝ ＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0； 当对称轴x＝－1时，x＝ ＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0． 因此，判断2a＋b的符号，需判断对称轴x＝ 与1的大小，若对称轴在直线x＝1的左边，则 ，再根据a的符号即可得出结果；判断2a－b的符号，同理需判断对称轴与-1的大小. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 当堂练习 当堂反馈 即学即用 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 22 1 (3分) 选择题 下列各点中，在二次函数y＝x2－8x－9的图象上的是（　） A．(1，－16)　 B．(－1，－16)　 C．(－3，－8)　 D．(3，24) 答案 答案：A 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 2 (3分) 填空题 抛物线y＝x2＋4x＋6的对称轴为直线________． 答案 答案：x＝－2 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 3 (3分) 填空题 抛物线y＝－x2－6x的顶点在第________象限． 答案 答案：二 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 4 (3分) 填空题 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，则当x＜0时， y随x的增大而________(填“增大”或“减小”)． 答案 答案：增大 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 5 (8分) 解答题 已知抛物线y＝2x2＋ax－6的对称轴是直线x＝－1. (1)求a的值； (2)将该抛物线向右平移m(m>0)个单位长度， 平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m的值． 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 5 (8分) 解答题（续） 答案 解：(1)∵抛物线y＝2x2＋ax－6的对称轴是直线x＝－1， ∴x＝－ a 2×2 ＝－1. 解得a＝4. (2)由(1)得，y＝2x2＋4x－6＝2(x＋1)2－8， 将该抛物线向右平移m(m>0)个单位长度，则平移后解析式为y＝2(x＋1－m)2－8. ∵平移后所得新抛物线经过坐标原点， ∴2(1－m)2－8＝0，解得m＝3(负值舍去)． 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 课堂小结 归纳总结 构建脉络 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 29 顶点： 对称轴： y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 课堂小结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 E N D O F C L A S S · 感谢您的聆听 再会 愿函数与变化之间的探索，成为你日常的乐趣。 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 · 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 31 $