福建省三明第一中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

三明一中2025-2026学年上学期高二半期考 数学试卷 (考试时间：120分钟满分：150分) 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的。 1.直线x+y-6=0的倾斜角是 元 A.0 B.4 C. D. 2.点(-2,1)到直线2x-y-5=0的距离是 A.2 B. C.2W5 D.105 3 3.设x,yeR,向量a=(1,x,y),万=(2，-4,2)，a/i,则2x+y= A.4 B.-3 C.-2 D.-1 4.若方程大+少 =1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为 3-mm+1 A.(2,3) B.(（1,3) C.（-1,2) D.（-1,1) 5.在正方体ABCD-ABCD中，异面直线AD与DB所成角的余弦值为 A.② 2 B.2 C.0 D.1 2 6.已知椭圆方程二+上=，过左焦点乃的直线与椭圆交于AB两点，连接A仍，弧，则 43 三角形ABF的周长为 A.8 B.10 C.12 D.14 7.空间直角坐标系O-z中，经过点P(x,y,2o),且法向量为m=(A,B,C)的平面方程为 A(x-x)+B(y-)+C(z-zo)=0,经过点P(x,o,2)且一个方向向量为i=(4,心，ω) (心0w≠O)的直线I的方程为二=y二=二，阅读上面的材料并解决下面问愿：现 给出平面a的方程为3x-5y+:-7=0,经过(@Q,0)的直线的方程为宁兰-导则直 线1与平面a所成角的余弦值为 A.0 B.0 c.5 D.915 5 35 35 8,已知的题C:若+卡-a八>0以尽月分别是C的东、右袋点，P是C上异于左 右顶点的动点，记△FR的内切因面积为S,△P以5的外接圆面积为S5,考：的景 S 小值为4，则C的离心率为 1 A:2 B.V2 1 c.3 D.V3 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个 选项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.已知u1,u2分别为两不同平面α，B的一个法向量，为直线1的一个方向向量，则下列 结论一定正确的是 A.若⊥%，则l/a B,若元1/元2，则x11F C.若//元1，则l⊥a D.若a⊥B,lca,则/12 10.己知直线13x-y-6=0被圆C:x2+y2-4x-6y=0截得的弦为AB,则 A.圆C的半径为5 B.圆心C(2,3) C.圆心C到直线距离为30 D.4B=10 10 11.已知平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点B在y轴上，满足AB=3,点P满足 3P=2AB,记P的轨迹为E,则 A.OP≤2 B.E的方程为+y=1 C.当直线AB与E相切时，OP=V5 D.存在线段AB,使△OAB内心在E外部 第Ⅱ卷（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.向量ā=(1,1,0)在向量b=（(0,1,1)上的投影向量为 13.双曲线女y a212 =1(a>0)的两个焦点分别是耳和F2,焦距为8，M是双曲线上的一点， 且M=5,则△MFF,的周长为 14.已知直线l:x-y+4=0与x轴相交于点A,过直线1上的动点P作圆x2+y2=4的两 条切线，切点分别为C,D两点，记M是CD的中点，则AM的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知直线1：ax+2y+6=0和直线l2:x+y-1=0. (1)求直线恒过的定点，及该定点到直线，的距离： (2)若，川2，求两直线人与12间的距离. 16.(15分) 已知圆x2+y2+2x=0的圆心F是抛物线C的焦点. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线1交抛物线C于A、B两点，是否存在直线1，使得点P(2,-1)是弦AB的中 点？若存在，求出直线1的方程；若不存在，说明理由 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD,PD⊥DC,AD⊥DC, AB/DC,AD=PD=AB=CD=1,M为棱PC的中点. B (I)证明：BM/平面PAD; (2)求平面PDM和平面BDM的夹角的余弦值； 6)在线段PA上是香存在点Q,使点Q到平面BDM的距离是26？若存在，求P0的 长；若不存在，说明理由 高二上数学半期考试卷第3页，共4页 18.（17分) 己知圆M与直线√5x+y+2=0相切于点(-√3,1)，圆心M在y轴上. (1)求圆M的标准方程： (2)过点R(2,5)作圆M的切线，求切线的方程： (3)设点D(0,3),过点D作直线1，交圆M于P,2两点，再过点D作与直线L垂直的直 线l2,交圆M于E,F两点，记四边形EPF?的面积为S,求S的最大值. 19.（17分) 温知FL0)是椭圆C兰+红Q>b>0的石焦点，过F作直线1交椭圆于4B两息 其中A在x轴上方当ABLx轴时，AB=3. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设P(4,0), (①)求证：∠APF=∠BPF; ()设点M在椭圆C上，点N是△FMP的外接圆与椭圆C的另一个交点（异于M),若 MF平分∠AMB,且+L=V3 NMM阿=NM'求cos∠AWB的值. 三明一中2025-2026学年上学期高二半期考 数学答案 一、选择题：本题共11小题，共58分。 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 D C B D A D A BC BC AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 别 13.22 14.2√2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解：(1)直线4：ax+2y+6=0恒过定点(0，-3)， ……………3分 定点(0，-3)到直线42的距离为 -3-l1-25. 12+12 ….6分 (2)由1L2,则a×1-2×1=0,即a=2, .9分 此时1：2x+2y+6=0,即x+y+3=0,2:x+y-1=0,满足l2, 则两直线与2间的距离为 3+1=2W2 .13分 V12+12 16.解：(1)圆x2+y2+2x=0的方程可化为(x+1)+y2=1, .2分 故圆心的坐标为F(-1,0). 设抛物线C的方程为y2=-2x(p>0),所以-2=-1，所以p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x. ….5分 (2)不存在符合题意的直线1，理由如下 …6分 方法一：假设存在符合题意的直线L,设A(x,),B(2) 则=-4两式相减，得-巧=4(5-)，即0+y沁y-)=4(-x), =-4x2 所以直线1的斜率k=上一五=一4 七-x2乃+y2 ….10分 若点P2,-)是AB的中点，则y+为=-2，所以k=二4=2. y1+y2 所以直线1的方程为y+1=2(x-2),即2x-y-5=0. ……13分 2x-y-5=0 联立方程 y2=-4x 消去x得y2+2y+10=0,△=4-40=-36<0，方程组无解 即该直线与抛物线没有两个交点，不符合题意，即直线1不存在。.15分 方法二：假设存在符合题意的直线1，设A(xy),B(x2:y2) 依题直线1的斜率不为0，设其方程为x=my+n x=my+n 联立方程 y2=-4x 消去y得y2+4my+4n=0 ….8分 △=16m2-16m>0∴.m2-n>0 1 y1+y2=-4m=2×（-1)=-2.m= ……….11分 x+x=m0+)+2m=-1+2m=4n=5与△>0矛盾 所以假设不成立，即符合题意的直线1不存在. ….15分 第16题图 第17题图(1) 17.解：(1)取PD的中点H,连接AH,MH, 因为M为棱PC的中点，所以HM/1CD且HM= 又AB=0D,散AB=, 又AB/ICD,故ABI/HM, 所以四边形ABMH为平行四边形， .2分 故AH//BM, 又AHC平面PAD,BM文平面PAD, 所以BM//平面PAD; ……4分 (2)平面PDC⊥平面ABCD,交线为DC,又PD⊥DC,PDC平面PDC, 故PD⊥平面ABCD, 因为AD,DCC平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥DC, 又AD⊥DC,故AD,DC,PD两两垂直， 图(2) 以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则P(00,1.D(00,o,M01BL,Lo,40,o, …6分 其中平面PDM的一个法向量为m=(1,0,0), 设平面BDM的一个法向量为n=(x,y,z), 元.DB=(x,,z)(1,1,0)=x+y=0 令x=1,则y=-1,z=2,故i=(1,-1,2), ….8分 设平面PDM和平面BDM的夹角为O, 圆c0=cs佩a万L0oL-12-一=6 V1+1+4 6=6 所以平面PDM和平面BDM的夹角的余弦值为 .10分 (3)存在符合题意的点2，理由如下： ….11分 设P0=PA,0≤≤1，(s,k,a), 故(s,t,a-1)=(1,0,-1),所以s=元，t=0,a=1-1,故(2,0,1-)， 由（2)知平面BDM的一个法向量为n=(1,-1,2), 点2到平面BM的距离是P@列_《L01-)L-12_2-2V6】 .....13分 V1+1+4 6 9 解得元=或0（合去）， 3 3 此时0-号A- 2W1+1+0=2V2 3 若存在点Q,使点2到平面BDM的距离是26，PQ的长为25 ….15分 9 b-1V3 18.解：(1)设M(0,b),由题得 0-5号，解得6=2，所以M0,2) .3分 则圆M半径r=V(-5-0)2+(1-2)2=2, .4分 所以圆M的标准方程为x2+(y-2)2=4. …5分 (2)当切线斜率不存在时，直线方程为x=2,显然与圆M:x2+(y-2)2=4相切.7分 当切线斜率存在时，设切线方程为y-5=k(x-2),即x-y+5-2k=0, 由圆心到切线的距离为2得， B-2通-2，解特- V1+k2 则y-5= 3c-2),整理得5x-12y+50=0 .10分 综上所述，切线方程为x=2或5x-12y+50=0. ..11分 (3)法-：当直线无斜率时，Pg=4EF=25,S=2PgEr=45, .12分 当直线马斜率为0时，Pg=25,EF=4,S=POEF=45. ....13分 当直线斜率存在且不为0时，设直线l为y=kc+3,即c-y+3=0, 则圆心(0,2)到直线4距离4-上-2+-一1 Vk2+1Vk2+1 所以p-2413 42+3 =2 ...15分 =2 因为1h,用-替换上式中的k可得=24+ 3k2+4 k2+1 则s=P)=2 42+3)3k2+4 2k4+2k2+1+k2 k2 22+ (k2+1少 2 k4+2k2 k422 =2 12+1 —≤212+ =7 ++2 2Vk2.1 当且仅当k2=京，即&=1时取等号 综上所述，因为7>45，所以S的最大值为7. …17分 法二：设圆心(0,2)到直线4的距离d,,到直线2的距离d2, 则|Pg=2√4-d,lEF=2V4-d好， .13分 又直线与直线2垂直，所以d+d=1, .........15分 s=2P@=24-4-s(4-）+(4-)-=7, 当且仅当d,=d2时取等，所以s的最大值为7. …….17分 19.解：(1)由题知，AB=2 -=3,c=1又a2=b2+1, …….2分 a 解得a=2,b=√3. ………4分 故椭圆C的方程为二+上=1。 43 ……….5分 (2)(i)记A(x,),B(x2,2),由题意知y>0,2<0. 设直线AB的方程为1：x=my+1,代入椭圆得：（3m2+4)y2+6my-9=0. 6m 9 则有y+4=3nm+4%=3m产+4@ …9分 设AP与BP的斜率分别为k,k2,则 -l8m+ 18m 6+6=名t上230+】知+4加+40 x-4'x32-4(y-3)y2-3）y-3)y2-3)】 所以∠APF=∠BPF. …….12分 (i)设T(o,o)满足 AM_AE-」 AT 则 BT (。-x}+-4-片② (-2)2+(。-为}经 将x=%+1,x2=%2+1代入②，并化简得 x好+-20 1+m当 -2,出+2m业+1=(，® 乃+y2 y+y2为+y2 将(2》中①代入®得：+乃-5必， m%+4=0, 、99 4m24 又因为直线AB和直线x=4的交点为R4,3】 m AM AF AT 故满足 的T点都在以FR为直径的圆上. BM BF BT 因为R,P,F,M,N都在以FR为直径的圆上， AT AF AN 故 所以NF是∠ANB的角平分线： ....15分 BN SAANF +SABNF =SAANB 所以VA.NF.sin∠ANF+NB NF .sinBNF=NA NB.sin∠AWB, 即sin ANF+sin∠BNT-sinLANB_2sin∠ANFc0∠ANr NB NA N NR 1=2cos☑AWF√3 所以w+N网N网 解得cos∠dNr=5 所以eos∠ANB=方 .17分