安徽省怀宁县高河中学2026-2027学年高二上学期第一次学情检测数学试题

2026年秋高河中学高二第一次学情检测数学试题 一、单选题（每小题5分） 1．过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A． B． C． D． 2．如图，已知平行六面体，E，F分别是棱，的中点，记，则（    ）  A． B． C． D． 3．若点到直线：的距离为，则（   ） A．1 B． C．或9 D．1或 4．圆和圆的交点为A，B，则有（     ） A．公共弦AB所在直线的方程为 B．公共弦AB所在直线的方程为 C．公共弦AB的长为 D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值不是 5．已知F为椭圆的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且垂直于x轴．若直线AB的斜率为，则椭圆C的离心率为（     ） A． B． C． D． 6．已知二面角的平面角为，，若，则长为（  ） A．4 B．2 C． D． 7．已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（     ） A． B． C． D．  二、多选题（每小题6分） 9．在两坐标轴上截距相等，且与点的距离为的直线方程可以是（   ） A． B． C． D．x-2y-3=0 10．已知左、右焦点分别为，的椭圆上有一动点（异于长轴端点，），则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．射线与椭圆交于点，则的最小值为 C. 椭圆上存在4个不同的点，使得为直角三角形 D．直线，的斜率之积为 11．如图1，《卢卡•帕乔利肖像》是意大利画师的作品.图1中左上方悬着的是一个水晶多面体，其表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，该水晶多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上，如图2.若，则（    ） A． B．该水晶多面体外接球的表面积为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．点到平面的距离为 三、填空题（每小题5分） 12．一条沿直线传播的光线经过点和，然后被轴反射，则反射光线所在直线的方程是______________ 13．设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于____________________ 14．棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别为A1B1，BC的中点，P为线段BD1上的动点，则△PEF面积的最小值为__________________ 四、解答题 15．（13分）已知圆C的圆心在直线x+ y﹣2＝0上，且经过点A（4，0），B（2，2）． (1)求圆C的方程；（6分） (2)若直线l过点P（3，4）与圆交于M，N两点，且弦长，求直线l的方程．（7分） 16.（15分）平面直角坐标系中，点，，，点的轨迹为． (1)求的方程（7分） (2)若，求的面积．（8分） 17．（7+8=15分）如图，直三棱柱的所有棱长都是2，分别是的中点.  (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 18．（5+5+7=17分）可以证明：当是圆O：上一点，则圆O的过点的切线方程为；当是圆O：外一点，过作圆O的两条切线，切点分别为，则方程表示直线AB的方程，即切点弦所在直线方程. 请利用上述结论解决以下问题： 已知圆C的圆心在x轴非负半轴上，半径为3，且与直线相切，点在直线上，过点作圆C的两条切线，切点分别为. (1) 求圆C的方程； (2)当时，求线段AB的长； (3)当点在直线上运动时，求线段AB长度的最小值. 19．（5+5+7=17分）如图1，在平面五边形ABCDE中，四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，AD⊥AE，AE=．将△ADE沿AD翻折至△ADP，如图2．点M在线段PD上运动． (1)若PM=MD，证明：PB∥ 平面MAC； (2)若AM⊥CD，且，证明：平面PAD⊥平面PCD； (3)求二面角P-CD-A的余弦值的最小值 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C D A B B C D ABC AC BCD 12． 13．7或5 14. 15．(1) (2) x﹣3＝0或15x﹣8y﹣13＝0 【详解】（1）由题意可得：，AB中点坐标为M（3，1）， 则直线AB的垂直平分线方程为y﹣1＝x﹣3， 与直线x+y﹣2＝0联立可得两直线的交点坐标为（2，0），即所求圆的圆心坐标为（2，0）， 圆的半径r＝4﹣2＝2， 圆的方程为：． （2）设圆心到直线的距离为d，则，解得d＝1，很明显直线斜率不存在时，直线x﹣3＝0满足题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为：y﹣4＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+4＝0， 从而有：，解得，则直线方程为，即15x﹣8y﹣13＝0， 综上可得，直线方程为x﹣3＝0或15x﹣8y﹣13＝0． 16 (1) (2) 17．第（1）题几何法只需证明AE⊥A1 D ，AE⊥BD即可 下面给出向量法 (1)证明：如图所示，取的中点，连接， 由直三棱柱的所有棱长都是2，是中点， 所以，又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 由分别为的中点，可得，可得两两垂直. 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，，， ，，，， 又，平面，平面. （2）由（1）可得平面，则，即为平面的一个法向量，又由， 设直线与平面所成的角为， 可得，所以直线与平面所成角的正弦值为. 18．（1）由题，设圆C的标准方程为， 则，解得. 故圆C方程为； （2）根据题意可知，直线的方程为，即， 圆心C到直线的距离为，故弦长； （3）设，则，又直线方程为：，故直线过定点Q， 设圆心C到直线的距离为，则， 故当最大时，最短，而，故与垂直时最大， 此时，， ∴线段长度的最小值4. 19．(1)如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接，四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． (2)如图，作出符合题意的图形， 因为，有，所以，得，有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，，则，即，， 又，，，平面，所以平面，又平面， 所以平面平面； (3) 高二数学试题 第4页（共2页） 高二数学试题 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $