精品解析：安徽省六安市舒城晓天中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

晓天中学2026年秋学期第一次质量检测 高二数学（试题卷） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，， . 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 所以复数的虚部是. 3. 向量，若∥，则的值是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，得，解得；故选C. 4. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】点关于平面Oxy对称的点的坐标为. 5. 设向量，，且，则的值是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意可得， 由得，即，解得，故选C. 6. 已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角关系结合象限角的三角函数值的符号分析求解. 【详解】因为，且为第二象限角， 所以. 故选：A. 7. 中，D为上一点且满足，为直线上一点，且，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据向量的线性运算利用表示，根据平面向量基本定理列方程求的值. 【详解】设，则， 因为，所以， 又，所以， 所以， 所以. 故选：A. 8. 已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以、为邻边作平行四边形，以、为邻边作平行四边形，连接、、，分析可知异面直线与所成角为或其补角，计算出三边边长，利用余弦定理可求得结果. 【详解】以、为邻边作平行四边形，以、为邻边作平行四边形，连接、、，如下图所示： 因为四边形为平行四边形，则且， 同理可知且，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 所以，异面直线与所成角为或其补角， 由勾股定理可得，， 在中，，，， 所以，， 由余弦定理可得， 因此，直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 二、多选题：本题共4小题，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知是空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ） A. 两两共面 B. 若，则 C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D. 不一定能构成空间的一个基底 【答案】AC 【解析】 【分析】AC选项，根据基底的定义以及空间向量基本定理可得；B选项，，不一定垂直；D选项，判断出，，一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底. 【详解】A选项，由基底的定义可知，不能共面，两两共面，A正确； B选项，，但，不一定垂直，B错误； C选项，根据空间向量基本定理，对空间任一向量，总存在有序实数组， 使，C正确； D选项，设，故，无解， 故，，一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底，D错误. 故选：AC 10. 已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列是假命题的是（ ）. A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐项判断命题的真假. 【详解】对于A，若，则存在，使得，又，则，所以，故A正确； 对于B，若，，则可能在平面内，故B错误； 对于C，若，，，，则与可能平行，也可能相交，故C错误； 对于D，若，，，则与可能平行，也可能异面，故D错误. 11. 已知函数，则函数的（ ） A. 值域为 B. 值域为 C. 零点个数为4个 D. 零点个数为5个 【答案】BC 【解析】 【详解】当即时，，当时取等号； 当即时，，当且仅当时取等号. 综上，，当且仅当或或时取等号， 所以，即的值域为，故A错误，B正确； 当时，由得或， 解得或或（因为，故舍去）； 当时，由得或， 解得或. 综上，方程有4个解，即函数有4个零点，故C正确，D错误. 12. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. 直线与直线所成的角为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】如图建立空间直角坐标系，求出和的坐标，由可判断A； 证明，可得，，由线面垂直的判定定理可判断C；计算的值可得线面角的正弦值，再由同角三角函数基本关系求出夹角的余弦值可判断B；利用向量求出点到平面的距离可判断D，进而可得正确选项. 【详解】 如图以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， ，，， 对于A：，， 因为，所以，即，直线与直线所成的角为，故选项A正确； 对于C：因为 ，，， 所以，，所以，， 因为，所以平面，故选项C正确； 对于B：由选项C知：平面，所以平面的一个法向量，因为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，所以直线与平面所成角的余弦值为，故选项B正确； 对于D：因为，平面的一个法向量， ，， 故，令，则， 故， 所以点到平面的距离，故选项D不正确 故选：ABC. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的最小正周期是______________. 【答案】 【解析】 【详解】函数的最小正周期是. 14. 命题“”的否定___________. 【答案】. 【解析】 【分析】特称命题的否定是全称命题，所以任意要改成存在，同时对结论进行否定. 【详解】命题为特称命题，因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题的否定是：. 故答案为：. 15. 从张元，张元的上海世博会门票中任取2张，则所取张门票价格相同的概率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型，结合组合问题求解概率即可. 【详解】从张门票中选取两张共有种，若所取张门票价格相同，则有两种情况； 若张门票价格均为元，则有种；若2张门票价格均为元，则有种， 所以所取张门票价格相同的概率为. 16. 已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】已知，， 则 ， . 故向量在向量上的投影向量为. 四、解答题：本题共5小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知. （1）化简； （2）若为第四象限角，且，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由条件利用诱导公式化简可得所给式子的值，可得结果； （2）由条件利用同角三角函数的基本关系以及诱导公式即可求得的值. 【详解】（1） （2）若是第四象限角，且， ∴，. ∴. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题. 18. 如图，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，E、F分别为BC和PC的中点 （1）求证：EF//平面PBD; （2）如果AB=PD，求EF与平面ABCD所成角的正切值 【答案】(1)证明见解析. (2) . 【解析】 【分析】（1）先由三角形中位线定理证明出，进而根据线面平行的判定定理证明出平面；（2）先证明出为直线与平面所成的角，进而在中求得的值. 【详解】①E、F分别为BC和PC中点，EF//PB 又面PBD EF//面PBD. ②设，， 又EF//PB 且面 为所求角， 在△PBD中为所求. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面角的求法，属于中档题.求线面角的方法：1、根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，但这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；2、对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解. 19. 皖星电子科技公司于2008年底已建成了太阳能电池生产线.自2009年1月份产品投产上市一年来，该公司的营销状况所反映出的每月获得的利润（万元）与月份之间的函数关系式为：. （1）2009年第几个月该公司的月利润最大？最大值是多少万元？ （2）若公司前个月的月平均利润（）达到最大时，公司下个月就应采取改变营销模式、拓宽销售渠道等措施，以保持盈利水平. 求（万元）与（月）之间的函数关系式，并指出这家公司在2009年的第几个月就应采取措施. 【答案】（1）在6月份取最大值，且万元. （2），公司在第9月份就应采取措施. 【解析】 【分析】（1）利用一次函数的单调性，分别求出每一段上函数的最大值，再比较大小即可得出解答； （2）根据题意先求出平均利润的函数表达式，再利用一次函数的单调性及基本不等式，求出每一段上函数的最大值，进行大小比较即可得出解答. 【小问1详解】 因为一次函数（，）单调递增， 所以当时，（万元）； 又一次函数（，）单调递减， 所以当时，（万元）， 因为，所以在6月份取最大值，且万元； 【小问2详解】 由题意知，当，时，； 当，时，， 所以. 当时，一次函数单调递增，所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时取等号，此时取最大值40， 又因为，所以当时，达到最大，因此公司在第9月份就应采取措施. 20. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明:连接交于点，连接， 由底面是正方形，故为中点， 又点为线段的中点，故， 又平面，平面， 故平面； （2）证明:由点为线段的中点，，故， 由平面，平面，故， 又底面是正方形，故， 又、平面，， 故平面，又平面， 故，又、平面，， 故平面； （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线的性质得线线平行，即可证明线面平行； （2）利用线面垂直的性质与判定定理得，结合等腰三角形的性质即可得线面垂直； （3）利用等体积法及三棱锥的体积公式计算即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由点为线段的中点，故点与点到平面距离相等， 故. 21. 如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且. （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 取的中点，连结，，因为，所以. 在中，，所以，在中，， 在中， ，，，所以， 所以，又因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明平面即得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，用点到平面距离的向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，，，，又为中点， 所以，且，由（1）可知平面， 又因为平面， 所以，，所以两两垂直， 如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，     取，得，则， 所以点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晓天中学2026年秋学期第一次质量检测 高二数学（试题卷） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 向量，若∥，则的值是 A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 设向量，，且，则的值是 A. B. C. D. 6. 已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 7. 中，D为上一点且满足，为直线上一点，且，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 8. 已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知是空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ） A. 两两共面 B. 若，则 C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D. 不一定能构成空间的一个基底 10. 已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列是假命题的是（ ）. A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 11. 已知函数，则函数的（ ） A. 值域为 B. 值域为 C. 零点个数为4个 D. 零点个数为5个 12. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. 直线与直线所成的角为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的最小正周期是______________. 14. 命题“”的否定___________. 15. 从张元，张元的上海世博会门票中任取2张，则所取张门票价格相同的概率为_______. 16. 已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________． 四、解答题：本题共5小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知. （1）化简； （2）若为第四象限角，且，求的值. 18. 如图，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，E、F分别为BC和PC的中点 （1）求证：EF//平面PBD; （2）如果AB=PD，求EF与平面ABCD所成角的正切值 19. 皖星电子科技公司于2008年底已建成了太阳能电池生产线.自2009年1月份产品投产上市一年来，该公司的营销状况所反映出的每月获得的利润（万元）与月份之间的函数关系式为：. （1）2009年第几个月该公司的月利润最大？最大值是多少万元？ （2）若公司前个月的月平均利润（）达到最大时，公司下个月就应采取改变营销模式、拓宽销售渠道等措施，以保持盈利水平. 求（万元）与（月）之间的函数关系式，并指出这家公司在2009年的第几个月就应采取措施. 20. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积. 21. 如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且. （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $