精品解析：贵州贵阳市清华中学2026-2027学年高一上学期10月份月考数学试卷

2029届高一年级10月考试卷 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则集合的元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以集合的元素个数为. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，即可表达. 【详解】命题“，”的否定是“,”, 故选：B. 3. 函数的定义域是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可得：且 故答案为. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，取，，满足，但，故A不正确； 对于B，令，满足，但，故B不正确； 对于C，因为，则，由，可得：，故C正确； 对于D，取，，则，故D不正确. 5. 已知是定义在上的偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义域关于原点对称，函数奇偶性的定义列式即可求解. 【详解】由题意可知，得， 并且，即，故， 因此. 6. 已知是奇函数，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据是奇函数及在上的单调性，逐项判断，即可求解. 【详解】因为是奇函数，且在上单调递减， 对于A，因为是奇函数，得，故A错误； 对于B，因为是奇函数，，不确定正负，故B错误； 对于C选项，因为是奇函数，故， 又在上单调递减，故，所以，故C错误，D正确； 故选：D 7. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可得出时，，然后根据的值域为可得出，从而得出时，，从而可得出，从而解出的范围即可． 【详解】当时，， ∵的值域为，∴，即， ∴时，， ∴，解得，又因为，所以， ∴实数的取值范围是． 故选：B． 8. 若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】整理可得，分类讨论的范围确定整数解即可. 【详解】由，得， 当时，不等式的解集为，不符合题意舍去； 当时，不等式的解集为，此时若有3个整数解，则； 当时，不等式的解集为，此时若有3个整数解，则； 综上所述：实数的取值范围为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A选项：空集不含任何元素，故错误，所以A选项错误； 对于B选项：空集是任何非空集合的真子集，故 正确，所以B选项正确； 对于C选项：集合元素具有无序性，故 ，所以正确，正确； 对于D选项：与的元素分别为有序数对和， 当 时两者不相等，所以D选项错误． 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若，，则 D. 若集合，则“”是“”的必要条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质、不等式的性质、充分条件必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，，则根据基本不等式的性质可得， 当且仅当，即时等号成立，A正确； 对于B，当时，中至少有一个为0，当时，不成立， 当时，且，所以， 所以“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对于C，因为，所以根据基本不等式的性质可得， ，当且仅当时等号成立；，当且仅当时等号成立； 所以，当且仅当时等号成立，所以C正确； 对于D，由于集合，则，而不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，D错误. 11. 已知函数，且，则（ ） A. 的值域为 B. 不等式的解集为 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出函数的图象，即可看出函数的值域可判断A；求出时的解，即可根据图象写出不等式的解集可判断B；令，根据函数图象即可得出的关系和取值范围，可判断CD. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 对于选项A：由图可知函数的值域为，故A错误； 对于选项B：当时，有或，解得，，， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于选项C：由题可令， 则为函数和直线交点的横坐标， 由图可知，关于对称，所以，即，故C正确； 对于选项D：因为为函数和直线交点的横坐标， 由图可知，而， 所以，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】. 则不等式解集为：. 13. 设是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】由图可知在上，的解集为， 因为是定义在上的偶函数， 所以在上，的解集为， 所以不等式的解集为. 14. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，，设函数，关于有以下四个命题： （1）对任意整数，满足 （2）当时，的值域为 （3），有恒成立，则实数 （4）若，则实数的取值范围是 以上命题为真命题的有__________． 【答案】（1）（3）（4） 【解析】 【分析】对（1），设，其中，，分别写出与的值并比较即可； 对（2），拆分的区间，分别求出在不同区间的值域，综合即可得到在的值域； 对（3），由（2）可知在的值域，只需令大于这个值域的最大值即可； 对（4），设，其中，，对范围分类讨论，即可化简，求出的取值范围. 【详解】对（1），设，其中，，则，，（1）对； 对（2），时，，，此时， 同理，时，；时，；时，， 综上，时，，（2）错； 对（3），如前所述，时，，故若，恒成立，则，（3）对； 对（4），设，其中，， 时，， 则可化为，解得，不是整数，舍去； 时，， 则可化为，解得，故 即，（4）对. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【详解】（1）由题意有，，又， 或， 所以或． （2）当时， 当时，，即， 当时，或，解得， 综上，时，或， 16. 已知命题，，命题，． （1）当p为假命题时，求实数a的取值范围； （2）若p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）通过为真命题，得到在时有解，即可求解； （2）通过p为真命题，q为假命题和为假命题，为真命题讨论即可. 【小问1详解】 由为假命题，得为真命题， 即，， 即在时有解， 所以，， 易知当时，， 所以，即实数a的取值范围是． 【小问2详解】 由（1）可知，当为真命题时，；当为假命题时，． 当q为真命题时，方程在上有解， 故，解得；当为假命题时，． 所以当为真命题，为假命题时，； 当为假命题，为真命题时，． 所以当和中有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是或． 17. 近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． （1）求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； （2）当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）45万件；2600万元. 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出的值，然后根据利润=销售收入-成本求出年利润与年产量的关系式. （2）先求出时年利润的最大值，再求出时利润的最大值，最后比较大小可得公司所获年利润最大. 【小问1详解】 当时，，解得. 由题意可知， 当时，， 当时，. 所以年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式为. 【小问2详解】 当时， 开口向下，所以当时，. 当时， . 当且仅当，即时，等号成立，此时， ，所以该组件的年产量为45万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2600万元. 18. 已知函数是定义在上的奇函数,且． （1）确定函数的解析式; （2）当时,判断函数的单调性,并证明; （3）解不等式． 【答案】（1） （2）单调递增, 证明如下: 设为上的任意两个数,且, , , , , 故函数在上为增函数; （3） 【解析】 【分析】(1)根据奇函数可得,结合代入可得的解析式; (2)先判断单调性,根据单调性的定义证明,先取值,再做差,变形至几个因式的乘积,定号,最后写出结论即可. (3)将移至右侧,根据奇函数,将不等式转化为,再根据(2)的结论转化为,再加上均在定义域内,即可求出不等式解集. 【小问1详解】 解:由题意可知为奇函数, , 即,, ∵,∴, ∴; 【小问2详解】 当时,函数单调递增,证明略. 【小问3详解】 , , 为奇函数, ∴, 当时,函数单调递增, , , 不等式的解集为． 19. 教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．也即：若，，…，，则有，，，当且仅当时取等．利用此结论解决下列问题： （1）若，，，求的最小值； （2）已知，求的最大值，并求取得最大值时的的值； （3）对任意，判断与的大小关系并加以严格证明． 【答案】（1）； （2）最大值为，取得最大值时； （3）对任意，. 证明： 当且仅当时取等，但是任意时，所以等号不成立， 故任意时，. 【解析】 【分析】（1）代数式中共有三项且各项均为正数，三项的乘积为定值，直接用三元均值不等式求最小值； （2）将代数式中拆成三个，构造四个正数，使四个数之和为定值，利用四元均值不等式求最大值； （3）要比较两个幂的大小，对变形，构造个正数，使用均值不等式放缩进行证明. 【小问1详解】 因为，，，有，， 所以，当且仅当时取等， 故的最小值为. 【小问2详解】 因为，所以 当且仅当，即，取等 所以时，的最大值是，取最大值时. 【小问3详解】 略. 【点睛】（1）代数式拆项时，要满足和为定值，还可以拆成； （2）对进行变形使用，常用变形和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2029届高一年级10月考试卷 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则集合的元素个数为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的定义域是 A. B. C. D. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上的偶函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是奇函数，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若，，则 D. 若集合，则“”是“”的必要条件 11. 已知函数，且，则（ ） A. 的值域为 B. 不等式的解集为 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 不等式的解集为______． 13. 设是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为______． 14. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，，设函数，关于有以下四个命题： （1）对任意整数，满足 （2）当时，的值域为 （3），有恒成立，则实数 （4）若，则实数的取值范围是 以上命题为真命题的有__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知命题，，命题，． （1）当p为假命题时，求实数a的取值范围； （2）若p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围． 17. 近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． （1）求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； （2）当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 已知函数是定义在上的奇函数,且． （1）确定函数的解析式; （2）当时,判断函数的单调性,并证明; （3）解不等式． 19. 教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．也即：若，，…，，则有，，，当且仅当时取等．利用此结论解决下列问题： （1）若，，，求的最小值； （2）已知，求的最大值，并求取得最大值时的的值； （3）对任意，判断与的大小关系并加以严格证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $