第02讲 统计与成对数据的统计分析（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 统计与成对数据的统计分析 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 随机抽样 知识点2 频率分布直方图 知识点3 总体百分位数的估计 知识点4 总体集中趋势的估计 知识点5 总体离散程度的估计 知识点6 成对数据的统计相关性及线性回归直线方程 知识点7 列联表与独立性检验 题型破译 (含超链接） 题型1 简单随机抽样【含方法技巧】 题型2 分层随机抽样【含方法技巧】 题型3 频率分布直方图【含方法技巧】 题型4 总体百分位数的估计【含方法技巧】 题型5 总体集中趋势的估计【含方法技巧】 题型6 总体离散程度的估计【含方法技巧】 题型7 成对数据的统计相关性【含方法技巧】 题型8 一元线性回归模型及其应用【含方法技巧】 题型9 列联表与独立性检验【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 用样本估计总体（平均数、方差） T17(3)（约5分） — — 考情分析 统计与成对数据的统计分析是高考的重要内容，北京卷近年以解答题形式呈现，，难度中等。2026年T17第(3)问直接考查平均数与方差的比较，体现对数据数字特征的深层理解；第(1)(2)问仍延续频率估计概率的基本模式。2025年、2024年T18均为概率题，未涉及统计分析内容。近三年考情显示，统计分析（平均数、方差、回归、独立性检验）的直接考查较少，2026年首次在第(3)问中明确考查平均数与方差，值得关注。复习时需在掌握概率模型的基础上，重视平均数、方差的计算与比较，了解回归分析与独立性检验的基本方法。 复习目标 1.掌握简单随机抽样、分层抽样的方法，理解用样本估计总体的基本思想。 2.会列频率分布表、画频率分布直方图，能由频率估计概率。 3.掌握平均数、方差、标准差的计算公式，能对分组数据取不同代表值（左端、中间、右端）计算统计量并比较大小。 4.理解离散型随机变量的概念，掌握分布列的求法及数学期望的计算公式。 5.了解成对数据的统计分析：会画散点图，理解相关系数的含义，掌握一元线性回归方程的基本求法；了解独立性检验（列联表与统计量）的基本思想。 6.提升数据分析与数学建模素养，做到“读懂数据、选对模型、算准结果”。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 随机抽样 1．总体、个体、样本与样本容量 考察问题涉及的 对象全体 是总体，总体中每个对象是个体，抽取的 部分对象 组成总体的一个样本，一个样本中包含的 个体数目 是样本容量． 2．简单随机抽样 抽签法 和 随机数法 是比较常用的两种方法． 3．分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为 分层随机抽样 ，每一个子总体称为 层 ． 自主检测1总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（ ） 5044664421 6606580562 6165543502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 A．42 B．16 C．56 D．06 【答案】C 【详解】由题意可知，从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字， 则选出来的个体编号依次为：64（舍去），42，16，60（舍去）， 65（舍去），80（舍去），56，26，16（舍去），55，43， 即选出的6个个体编号依次为：42，16，56，26，55，43，所以第3个个体的编号为56. 自主检测2某高中为了解全校学生课外阅读时长情况，采用分层抽样从高一、高二、高三共3000人中抽取人作为样本，已知高一、高二、高三的人数之比为，若样本中高三的人数比高一的人数多20，则（    ） A．120 B．150 C．200 D．250 【答案】B 【分析】利用分层抽样的方法分析即可. 【详解】分层抽样中样本各层人数比等于总体各层人数比，因此样本中高一、高二、高三的人数之比为， 设样本中高一、高二、高三的人数分别为， 则由题意得：，解得：，所以. 知识点2 频率分布直方图 画频率分布直方图的步骤 （1）求极差：极差为一组数据中 最大值 与 最小值 的差． （2）决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成 5～12 组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． （3）将数据分组． （4）列频率分布表：一般分四列：分组、 频数累计 、频数、 频率 ．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1. （5）画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示 .小长方形的面积＝组距× ＝ 频率 ．各小长方形的面积和等于1. 自主检测1为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出如下频率分布直方图，若的频率为，的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据频率分布直方图的性质计算即可求解. 【详解】已知的频率为，组距为，因此，解得. 又因为所有组频率和为，因此， 代入，计算得 ，则， 因此，. 自主检测2从某小区抽取100户居民用户进行月用电量（单位：）调查，将得到的数据按分为6组，画出的频率分布直方图如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在内的户数为（    ） A．35 B．40 C．42 D．45 【答案】B 【分析】利用频率分布直方图的性质先计算参数，再根据图象计算即可. 【详解】易知，所以， 即， 而月用电量落在内的户数为. 故选：B 知识点3 总体百分位数的估计 中位数与百分位数：按照 从小到大 排列后的数据：的中位数是 ；的中位数是 ；一组数的分位数指的是，将这组数按照 从小到大 的顺序排列后，处于位置的数. 自主检测1样本数据4，5，9，7，2的第60百分位数是（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据百分位数的求法求得正确答案. 【详解】样本数据为， ， 所以第百分位数为. 自主检测2某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：，，，．估计本班学生的消防安全知识成绩的第90百分位数是（    ） A．93 B．80 C．90 D．95 【答案】A 【详解】由直方图得，从左到右的第一、二、三、四小组的频率分别是0.10、0.20、0.40、0.30． 第一、二、三小组的频率之和为， 所以第90百分位数处在第四组内，为． 知识点4 总体集中趋势的估计 1．平均数 ①定义：如果给定的一组数是，则这组数的平均数为 . 这一公式在数学中常简记为. ②性质：一般地，利用平均数的计算公式可知，如果的平均数为，且为常数，则的平均数为 . 2．总体均值和样本均值 （1）总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为，，…，，则称 = 为总体均值，又称总体平均数． （2）总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k个个，不妨记为，，…，，其中；出现的频数，则总体均值还可以写成加权平均数的形式了 ． （3）如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为，则称 = ． 自主检测1期中考试后，老师算出了全班40个人数学成绩的平均分为．如果当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】全班40个人数学成绩的平均分为，则全班总分为， 如果当成一个同学的分数，则这41个分数的平均值为，B正确. 自主检测2小王自进入高三以来，四次数学考试的分数逐次递增，第一次的分数为108，第四次的分数为130，且中位数为117，则小王这四次数学考试的平均分为（    ） A．116 B．118 C．119 D．120 【答案】B 【分析】根据几个数的中位数和平均数的定义计算即可. 【详解】设第二次和第三次的分数分别为， 则由题意可得，即， 所以小王这四次数学考试的平均分为. 知识点5 总体离散程度的估计 1．极差､方差与标准差 ①极差：一组数的极差指的是这组数的 最大值 减去 最小值 所得的差，描述了这组数的离散程度 ②方差 定义：如果的平均数为，则方差可用求和符号表示为 性质：如果为常数，则，的方差为 ③标准差 定义：方差的 算术平方根 称为标准差.一般用表示，即样本数据的标准差为. 性质：如果为常数，则，的标准差为. 2．样本方差与样本标准差 若数据、、…、的平均数为，则样本方差 ；（两种表示） 样本标准差 ．（两种表示） 3．分层随机抽样的方差 设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为，两层的平均数分别为，方差分别为，，则这个样本的方差为 ． 自主检测1已知一组数据，，，，的平均数为3，方差为2，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】因为平均数为3，所以，解得：①， 因为方差为2，所以， 化简得：②， 联立①②得：，或，，则. 自主检测2已知一组样本数据，，…，的方差为2，令，，2，…，n，则样本数据，，…，的方差为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】由题可知，， 所以，， . 知识点6 成对数据的统计相关性及线性回归直线方程 1．如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量 正相关 ；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量 负相关 ； 2．相关关系的分类 （1）正相关：从散点图上看，点分布在从 左下角 到 右上角 的区域内． （2）负相关：从散点图上看，点分布在从 左上角 到 右下角 的区域内． 3．， 用它来衡量两个变量间的线性相关关系的强弱． （1）当时，表明两个变量 正相关 ． （2）当时，表明两个变量 负相关 ． （3）的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性 越强 ； （4）的绝对值越接近于0，表明两个变量的线性相关性 越弱 ．通常当时，认为两个变量有很强的线性相关关系． 4．一元线性回归模型参数的最小二乘估计 （1）经验回归方程： 对于一组具有线性相关关系的成对样本数据，由最小二乘法得 ，． 将称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做 最小二乘法 ，求得的，叫做b，a的 最小二乘估计 ． （2）观测值：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值． （3）预测值：通过经验回归方程得到的 称为预测值． （4）残差： 观测值 减去 预测值 称为残差． （5）的计算公式为．在表达式中，与经验回归方程无关，残差平方和与经验回归方程有关．因此越大，表示残差平方和 越小 ，即模型的拟合效果 越好 ；越小，表示残差平方和 越大 ，即模型的拟合效果 越差 ，越接近1，拟合效果越好． 自主检测1调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（     ） A．与负相关 B．当时，一定为1359 C．当时，一定小于1359 D．两变量无线性关系 【答案】A 【详解】因为相关系数，且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域， 所以y与x负相关，所以A正确，D错误； 当时，，所以约为， 所以B，C错误. 自主检测2．已知线性相关的两个变量，的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（   ） 3 4 6 7 20 40 60 A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】由表格可得， 因样本中心点满足回归方程， 故有，解得. 当时，， 此时残差为. 知识点7 列联表与独立性检验 1．2×2列联表 （1）定义：如果随机事件A与B的样本数据整理成如下的表格形式． A 总计 B a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 这个表格中，核心数据是中间4个格子，所以这样的表格通常称为 2×2列联表 ． （2） 计算公式： ，其中 . 2．独立性检验 （1）计算公式:，其中. （2）临界值的定义：对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得成立，我们称为的临界值，概率值越小，临界值越大. （3）独立性检验：，通常称为 零假设 或原假设. 基于小概率值的检验规则是： 当时，我们就推断不成立，即认为和 不独立 ，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立. 这种利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验，读作“ 卡方独立性检验 ”，简称独立性检验. （4）独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001 2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828 自主检测1假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为和，其列联表如下： X Y 合计 合计 对同一样本，以下数据能说明X与Y有关联关系可能性最大的一组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据（其中）， 根据χ2的计算公式及可得， 当相等时，越小，说明与之间的关系越弱；越大，说明与之间的关系越强， 对于A，当时，； 对于B，当时，； 对于C，当时，； 对于D，当时，； 可知D选项中最大，故说明X与Y有关联关系可能性最大的一组为. 自主检测2为检验两个分类变量是否有关，提出零假设：两个分类变量相互独立．在成立的条件下，统计量满足．该等式表示（     ） A．若两变量相互独立，则由随机样本算得的不小于的概率为 B．若两变量相互独立，则由随机样本算得的小于的概率为 C．若某次检验得不小于，则两变量相互独立的概率为 D．若某次检验得不小于，则两变量不相互独立的概率为 【答案】A 【详解】在成立的条件下，统计量满足表示若两变量相互独立，则由随机样本算得的不小于的概率为. 题●型●破●译 题型1 简单随机抽样 例1-1下列抽样方法是简单随机抽样的是（    ） A．某工厂从老年、中年、青年职工中按的比例选取职工代表 B．从5个球中有放回地随机抽取3个 C．福利彩票用摇奖机摇奖 D．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 【答案】C 【分析】根据简单随机抽样，分层抽样，系统抽样的定义和特点，逐一判断即可. 【详解】对于选项A：结合分层抽样的定义，该项描述为分层抽样； 对于选项B：由简单随机抽的定义知，从（为正整数）个不同个体构成的总体中， 逐个不放回的抽取个个体组成的样本，故选项B不是简单随机抽样； 对于选项C：为简单随机抽样； 对于选项D：为系统抽样. 故选：C. 例1-2要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取50袋进行检验．先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读取，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号是（   ） 第7行：84   42   17   53   31   57   24   55   06   88   77   04   74   47   67   21   76   33   50   25   83   92   12   06   78 第8行：63   01   63   78   59   16   95   55   67   19   98   10   50   71   75   12   86   73   58   07   44   39   52   38   79 第9行：33   21   12   34   29   78   64   56   07   82   52   42   07   44   38   15   51   00   13   42   99   66   02   79   54 A．55，67，19，98，10 B．556，719，810，507，175 C．785，567，199，507，175 D．556，719，050，717，512 【答案】C 【分析】定位起点后，依次向右连续读取三位数字，并舍去超出000至799范围以及重复的无效数据，直至筛选出所需的5个符合条件的编号. 【详解】由题意得第8行第7列的数为7，每次取3个连续数字， 数字串为， 其中都超出， 所以最先检测的5袋牛奶的编号是785，567，199，507，175. 方法技巧 1. 简单随机抽样的定义：从总体中逐个不放回地抽取个体，且每个个体被抽到的机会相等，这样的抽样方法称为简单随机抽样。 1. 两种常用方法： 抽签法：将总体中的每个个体编号，把号码写在号签上，搅拌均匀后逐个抽取。适用于总体容量较小的情况。 随机数法：利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。适用于总体容量较大的情况。 1. 抽签法的步骤：编号 → 制签 → 搅拌均匀 → 逐个不放回抽取 → 得到样本。 1. 随机数法的步骤：编号 → 确定随机数读取的起点和方向 → 按规则读取随机数 → 剔除不符合范围的号码 → 取足样本容量为止。 1. 简单随机抽样的特点： 总体个数有限； 逐个抽取； 不放回抽样； 每个个体被抽到的机会相等（等概率抽样）。 1. 注意：使用随机数表时，需注意号码位数与总体编号位数一致；若总体编号超出随机数表范围，则跳过或按规则取模。 【变式训练1-1】某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ） 32 21 18 34 29  78 64 54 07 32  52 42 06 44 38  12 23 43 56 77  35 78 90 56 42 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 04 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 A．623 B．328 C．072 D．457 【答案】A 【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可 【详解】从第5行第6列开始向右读取数据， 第一个数为253，第二个数是313， 第三个数是457，下一个数是860，不符合要求， 下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复， 第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确. 故选：A. 【变式训练1-2】从一个含有个个体的总体中抽取一容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，三者关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽样的概念，每个个体被抽中的概率是均等的，进而即可选择答案. 【详解】因为在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为， 所以. 故选：B. 题型2 分层随机抽样 例2-1（26-27高三上·北京·开学考试）某公司为了解，两个地区用户对其产品的满意程度，从地区随机抽取名用户，从地区随机抽取名用户，请用户对公司产品评分.该公司将收集的评分数据按照，，，分组，统计如下： 地区 地区 40 30 120 20 160 40 80 10 合计 400 100 用频率估计概率. (1)对地区所抽取的名用户按评分区间，，，进行分层随机抽样，从中抽取名用户参加座谈活动.求参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于分的人数； (2)从，两个地区各随机抽取名用户，设为这两人中评分不低于分的人数，求的分布列和数学期望； (3)记地区所抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区所抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，两个地区所抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) 随机变量的分布列为： 数学期望 (3) 【分析】（1） 利用分层抽样等比例抽取的性质，计算评分不低于分的人数占比后乘以抽取总人数即可； （2）先求地区用户评分不低于分的概率，确定的取值及对应概率得到分布列，再用期望公式计算期望； （3）根据题意，依次算出，即可得结论. 【详解】（1）设从地区抽取的用户中抽取的名参加座谈的用户中， 对公司的产品的评分不低于分的用户有名，则，解得. （2）根据题意可知，随机变量的取值为、、， 从、两地区各随机抽取名用户，评分不低于分的概率分别为，， 评分低于分的概率分别为，， 所以， ，， 因此，随机变量的分布列为 数学期望. （3）根据题意，， ，， 所以，得. 方法技巧 1. 分层随机抽样的定义：将总体按其属性特征分成若干互不交叉的层，然后在每一层中按一定的比例独立地进行简单随机抽样，最后将各层抽取的个体合在一起作为总体的样本。 1. 分层抽样的适用条件：总体由差异明显的几部分组成（如不同年级、不同性别、不同地区等），且层内差异小、层间差异大。 1. 分层抽样的比例分配： 其中 为总体容量， 为样本容量， 为第 层的个体数， 为第 层应抽取的个体数。即各层抽取的比例与各层的个体数占总体的比例一致。 1. 分层抽样的步骤：分层 → 确定各层抽取比例 → 计算各层应抽个体数 → 各层独立进行简单随机抽样 → 合并样本。 1. 均值和方差的计算： 若各层均值分别为 ，样本量为 ，则总样本均值为 分层抽样中，各层方差分别为 ，则总样本方差为 注意：此公式仅在分层抽样且各层均值相等时严格成立；一般情况下需加上层均值与总均值之差的平方项（即组间方差）。 1. 与简单随机抽样的比较：分层抽样能保证样本结构与总体结构一致，减少抽样误差，适用于总体内部差异较大的情形。 【变式训练2-1】某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法，抽出一个容量为的样本，样本中型号的产品有16件，那么此样本的容量等于（   ） A．100 B．200 C．90 D．80 【答案】D 【详解】由题意，得，解得. 【变式训练2-2】甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为的样本，应在这三校分别抽取学生（    ） A．人，人，人 B．人，人，人 C．人，人，人 D．人，人，人 【答案】A 【详解】因为，所以甲校应抽取， 乙校应抽取，丙校应抽取. 【变式训练2-3】某校共有学生2000名，各年级男、女人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（   ） 一年级 二年级 三年级 女生 373 男生 377 370 A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】B 【详解】在全校学生中随机抽取1人，抽到二年级女生的概率，解得．即二年级的女生有380人，那么二年级共有学生为750人， 因为一年级共有学生也为750，所以三年级共有学生数是． 则总体中各年级的人数比例为，分层抽样需按该比例分配各年级抽取人数． 故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为． 题型3 频率分布直方图 例3-1某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：，将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则下列选项错误的是（　　） A．图中a的值为0.015 B．样本的第25百分位数约为217 C．样本平均数约为198.4 D．在被调查的用户中，用电量落在内的户数为148 【答案】B 【详解】对于A，由题意，，解得，，故A正确； 对于B，因为用电量在以下的频率为， 用电量在以下的频率为， 所以样本的第百分位数在区间内， 设样本的第百分位数为，则，解得， 即样本的第百分位数约为，故B错误； 对于C，样本的平均数为 ，故C正确； 对于D，用电量落在内的户数为，故D正确． 例3-2．（2026·北京朝阳·一模）某研究团队发现人工智能助手的问题解决“满意度评分”（满分100分）与其使用场景密切相关.该团队将用户分为学习场景用户和工作场景用户两类，为了调研用户对人工智能助手的满意度评分情况，现从这两类用户中各随机抽取100人，记录他们的满意度评分，将数据分成6组：，，，，，，并分别整理得到如下两个频率分布直方图： 现规定满意度评分在80分及以上的满意度评级为，在区间的满意度评级为，在60分以下的满意度评级为.用频率估计概率，假设每个用户的评分相互独立. (1)求的值； (2)从使用人工智能助手的所有学习场景用户中随机抽取2人，从使用人工智能助手的所有工作场景用户中随机抽取1人，设为抽出的3人中满意度评级为A的人数，估计的分布列和数学期望； (3)该研究团队又对另外两款人工智能助手，进行了同样的调研，估计出其学习场景用户的满意度评级为A的概率分别为0.3，0.35.现分别从使用，，这三款人工智能助手的学习场景用户中各随机抽取1人，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为或.设，，判断，的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1)； (2) 0 1 2 3 0.45 0.4125 0.125 0.0125 ； (3). 【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形面积和为1求解. （2）分别求出学习、工作场景用户评级为的概率，再求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. （3）求出分别取的概率，再利用分布的方差公式求出方差，进而比较大小. 【详解】（1）依题意，，所以. （2）依题意，学习场景用户评级为的概率为， 工作场景用户评级为的概率为， 的所有可能值为， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 0.45 0.4125 0.125 0.0125 数学期望. （3）由（2）及已知，得，， ，显然服从分布， 因此， ， 所以. 方法技巧 1. 频率分布直方图的绘制步骤：求极差（最大值与最小值之差）→ 决定组距与组数 → 将数据分组 → 列频率分布表 → 绘制频率分布直方图。 1. 频率分布直方图的关键特征： 横轴表示数据分组，纵轴表示频率/组距（不是频率本身）； 每个小矩形的面积等于该组的频率； 所有小矩形的面积之和等于 ； 频数 频率 样本容量。 1. 由频率分布直方图求频率： 即该组小矩形的面积。 1. 由频率分布直方图求频数： 1. 由频率分布直方图估计众数、中位数、平均数： 众数：最高小矩形底边中点的横坐标； 中位数：使左右两侧小矩形面积各为 的横坐标，需通过面积累积计算； 平均数：各小矩形底边中点横坐标与其面积乘积之和，即 其中 为第 组的中点值， 为第 组的频率。 1. 注意：频率分布直方图中，小矩形的高是频率除以组距，而非频率。画图或读图时务必注意纵轴的含义，避免与频数分布直方图混淆。 【变式训练3-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分．该公司将收集到的数据按照，，，分组，绘制成评分频率分布直方图如下： (1)从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率； (2)从B地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1)0.6 (2)的分布列为： 0 1 2 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图即可求解； （2）先求出地区评分不低于80分的人数，再分别计算为0,1,2的概率，列出分布列计算期望即可； （3）由每组区间的中点值乘对应的频率再求和得到，再由求得，比较大小即可． 【详解】（1）对于该公司产品评分不低于60分的频率为， 由频率估计概率可得对该公司产品的评分不低于60分的概率为0.6． （2）由频率分布直方图可知，评分不低于80分的人数为人， 的可能取值为0,1,2， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 则数学期望． （3）由频率分布直方图可得，， ， 则， 又地区和地区抽取用户人数之比为，地区抽取用户人数占总数的，地区抽取用户人数占总数的， 所以两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为， 所以． 【变式训练3-2】（25-26高三上·北京顺义·开学考试）电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有6名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如图： 专家 A B C D E F 评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7 8.8    (1)求的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率； (2)从6名专家中随机选取3人，表示评分不小于9分的人数；试求的分布列和数学期望； (3)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分.请直接写出与的大小关系. 【答案】(1)，； (2) 1 2 3 数学期望为2； (3). 【分析】（1）由频率和为1可得a的值，用某场外观众评分不小于9的频率可估计概率. （2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. （3）求出及的估计值，再借助权重分析即可判断得解. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，某场外观众评分不小于9的概率是． （2）的可能取值为1，2，3， 6名专家评分不小于9分的有4人， ， 所以的分布列为 1 2 3 数学期望． （3）依题意，专家评分的平均数， 观众评分的平均数的估计值为，则， 由于观众人数远多于专家，在计算时，观众评分（其平均值略低于专家均分）权重大， 因此会比更接近于观众评分的均值，所以. 【变式训练3-3】（2025·北京朝阳·二模）某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按，，…，分组整理得到如下频率分布直方图： (1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率； (2)从B地区评分为的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为，A，B两地区评分的平均值估计为，比较与的大小关系．（直接写出结论） 【答案】(1) (2) X 0 1 2 P 期望为 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图计算概率即可；           （2）应用超几何分布计算概率，再写出分布列，最后计算数学期望即可；                  （3）根据频率分布直方图的特征得出平均值关系即可. 【详解】（1）设事件M：从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，该用户评分不低于分． 由频率分布直方图可知，A地区抽取的500名用户中评分不低于的人数为， 所以． （2）B地区评分为的样本用户共有人， 其中评分不低于分的人数为5人． 由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2． ， ， ． 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 则X的数学期望. （3）． 根据频率分布直方图A地区评分的平均值为， B地区评分的平均值为， 所以A，B两地区评分的平均值； 题型4 总体百分位数的估计 例4-1样本数据3，3，5，7，8，9，则该组数据的第40百分位数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】6个数据由小到大顺序排列为3，3，5，7，8，9， 因为．故第3个数据即为第40百分数． 例4-2已知一组数据：中的最小数据为9，且第75百分位数是14，则的不同取值可能有（   ） A．8个 B．6个 C．4个 D．1个 【答案】B 【分析】由已知条件及百分位数的计算方法，即可求得，从而得出解答. 【详解】因为数据中最小数据为9，可得且，将7个数据从小到大排序， 因为，则该组数据的第75百分位数为第6个数据，可得， 所以，则的可能取值有9，10，11，12，13，14，共6个． 方法技巧 1. 百分位数的定义：一组数据的第 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 的数据小于或等于这个值，且至少有 的数据大于或等于这个值。 1. 由原始数据求第 百分位数： 将数据按从小到大排序； 计算位置 （ 为数据个数）； 若 不是整数，取大于 的最小整数对应的数据值； 若 是整数，取第 项与第 项的平均值。 1. 由频率分布直方图估计百分位数： 从左到右累积各小矩形面积，找到累积面积达到 的组； 在该组内利用面积比例线性插值，求出对应的横坐标值； 设该组左端点为 ，组距为 ，该组小矩形高为 ，进入该组前累积面积为 ，则第 百分位数约为 1. 常用百分位数： 第 百分位数称为第一四分位数 ； 第 百分位数称为中位数 ； 第 百分位数称为第三四分位数 。 1. 注意：百分位数不一定等于数据中的某个值（由频率分布直方图估计时得到的是近似值）；百分位数的计算与数据是否分组有关。 【变式训练4-1】样本数据6，8，4，5，12的第一四分位数为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【详解】先对样本数据进行从小到大的排序：4，5，6，8，12，共5个数据， 因为，不是整数，所以第一四分位数为第2位，即5. 【变式训练4-2】数据的第分位数为（    ） A．93 B．93. 5 C．94 D．94. 5 【答案】C 【分析】先对该组数据从小到大排列，直接由百分位数的定义即可求解. 【详解】该组数据从小到大排列为：共有10个数据， ，所以该组数据的第分位数是第8个数据与第9个数据的平均数, 即. 【变式训练4-3】现有一组数据2，4，8，12，16，20，则该组数据的第65百分位数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．16 【答案】A 【分析】先计算第65百分位数对应的位置，再根据百分位数的计算规则确定对应数值即可. 【详解】该组数据已经从小到大排列为：2，4，8，12，16，20，共个数据， 根据百分位数位置公式可得： ， 由于不是整数，取大于的最小整数， 因此第65百分位数为排序后第4个数据，即12. 题型5 总体集中趋势的估计 例5-1已知样本数据a，b，c的平均数为3，方差为2，则，，的平均数为（  ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【详解】由题意得，，， 则，解得. 例5-2（25-26高三下·北京·阶段检测）某校举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如图： 专家 A B C D E 评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7 (1)求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率； (2)从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；求X的分布列及与的值； (3)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分.请直接写出与的大小关系. 【答案】(1)；估计概率为 (2) (3) 【分析】（1）因为频率分布直方图中所有矩形面积和为1，所以可据此列方程求解的值；因为评分不小于9的概率对应区间的频率，所以计算该区间的频率即可估计概率； （2）先确定5名专家中评分不小于9分的人数，因为是从5名专家中选3人时评分不小于9分的人数，所以服从超几何分布，据此计算取不同值的概率得到分布列，再用超几何分布的期望公式计算；因为是从场外观众中选3人时评分不小于9分的人数，且用频率估计概率，所以服从二项分布，用二项分布的期望公式计算 （3）分别明确和的计算方式，结合专家人数和观众人数的差异，分析两者的大小关系. 【详解】（1）由频率分布直方图的性质，所有组频率和为1，组距为1，因此： 解得； 观众评分不小于9的频率为，用频率估计概率，得评分不小于9的概率为. （2）5名专家中，评分不小于9分的共有4人，小于9分的共1人。 从5名专家中选3人，（评分不小于9分的人数）的可能取值为： 因此的分布列为： 2 3 期望计算： ； 对于：观众评分不小于9的概率为，， 因此： （3） （专家评分平均数； 观众评分平均数 . 方案一：（N 为观众人数，N 很大），近似为 =8.8； 方案二：） 【点睛】本题以比赛评分为背景，综合考查频率分布直方图的性质、超几何分布与二项分布的分布列及期望计算，并用加权平均思想比较两种评分方案的结果大小. 方法技巧 1. 集中趋势的三个统计量：平均数、中位数、众数。 1. 平均数的计算： 原始数据：； 分组数据（频率分布表/直方图）：（ 为组中值， 为频率）； 加权平均数：。 1. 中位数的确定： 原始数据排序后，位于中间位置的数（ 为奇数时取第 项，偶数时取中间两项的平均值）； 频率分布直方图中，通过面积累积求使左右面积各为 的点。 1. 众数的确定： 原始数据中出现次数最多的数（可能不唯一）； 频率分布直方图中，最高小矩形底边中点的横坐标。 1. 三个统计量的特点与选择： 平均数：利用了所有数据信息，但易受极端值影响； 中位数：不受极端值影响，但只利用了中间位置的信息； 众数：反映出现次数最多的数据，但可能不唯一且不利用全部信息。 1. 平均数的重要性质： 若将每个数据加上常数 ，则平均数也加上 ； 若将每个数据乘以常数 ，则平均数也乘以 ； 总体平均数等于各层平均数按样本量加权平均（分层抽样情形）。 【变式训练5-1】若样本数据的平均数为，方差为，则样本数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方差公式展开，结合已知的平均数，推导出数据平方和的总和，再除以数据个数，即可得到平方后数据的平均数． 【详解】由，得， 由，得，即， 所以，解得， 所以样本数据的平均数为． 【变式训练5-2】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2025年12月至2026年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）： 12月 1月 2月 3月 4月 5月 轿车 28.4 21.3 15.4 26.0 16.7 21.0 MPV 0.8 0.2 0.2 0.3 0.4 0.4 SUV 18.1 13.7 11.7 18.1 11.3 14.5 (1)从2025年12月至2026年5月中任选1个月份，求该月MPV零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率； (2)从2026年1月至2026年5月中任选3个月份，将其中SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望； (3)记2025年12月至2026年5月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与对应的MPV月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 (3) 【分析】（1）先求平均值，再找出超过平均值的个数，用古典概型求概率； （2）先确定比上个月份增加的个数，再确定随机变量的取值，超几何分布求分布列及数学期望； （3）先计算轿车、轿车和MPV销量之和的平均值，再用方差公式求、 【详解】（1）由上表可知，这6个月MPV的零售销量分别为： 所以这6个月MPV销量的平均值 这6个月中，销量超过0.38的有3个月份，故所求概率为 （2）由上表可知，2026年1月至2026年5月中SUV的销量与上个月份相比增加的月份有3月、5月，共2个月， 未增加的有3个月.从这5个月中任选3个月，X的可能取值分别为. 所以 的分布列为： 0 1 2 数学期望 （3）设轿车月度零售销量数据为，MPV月度零售销量数据为，轿车和MPV月度零售销量数据之和为， 则，， 可得 则 【变式训练5-3】（25-26高三上·北京·阶段检测）每年8月8日为我国的全民健身日，倡导大家健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单位：分钟），得到下表： 时间人数类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 8 11 11 10 8 高中 m 13 12 7 5 4 (1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率． (2)从该校参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望； (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为，初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为、．写出一个m的值，使得．（结论不要证明） 【答案】(1) (2)的分布列为： (3) 【分析】（1）根据古典概型求解即可. （2）先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可. （3）分别计算关于的解析式可得答案. 【详解】（1）从该校随机抽取名学生，若已知抽到的是女生， 估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率为； （2）依题意，的所有可能值为0，1，2， 参加体育锻炼活动时间在的学生总人数为，其中初中生人， 参加体育锻炼活动时间在的学生总人数为，其中初中生人， 记事件为“从参加体育锻炼活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件为“从参加体育锻炼活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件相互独立，且， 则， ， ， 所以的分布列为： 的数学期望； （3）根据表格人数可知： 内初中生的总体育锻炼活动时间， 内高中生的总体育锻炼活动时间， 则， ， ， 由，得，解得. 题型6 总体离散程度的估计 例6-1某5个数据的样本平均数为8，方差为6．现增加一个数据8，则这6个数的方差为（     ）． A．2 B．5 C．6 D．30 【答案】B 【分析】根据平均数和方差的计算公式代入计算即可． 【详解】因为5个数据的样本平均数为8，则这5个数据总和为40，增加数据8之后，总和为48， 故6个数的平均数为8； 设这5个数为，则方差为， 增加一个数之后，方差变为． 例6-2（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）某家电专卖店销售、、三种型号的空调，销售情况如下表所示： 第一周 第二周 第三周 第四周 型数量（台） 型数量（台） 型数量（台） (1)从前三周随机选一周，求这一周型空调销售量既比型空调多又比型空调多的概率； (2)根据以往的销售和维修记录，一台型空调、型空调在销售后五年内需要维修的概率分别为、.为跟踪调查空调的使用情况，从该家电专卖店售出的型空调中随机抽取一台，型空调中随机抽取两台，试估计抽取的三台空调在销售后五年内恰有两台需要维修的概率； (3)直接写出一组、、的值，使得表中三种类型的空调在前四周销售台数的方差相等. 【答案】(1) (2) (3)，， 【详解】（1）由表格中的数据可知，第三周型空调销售量既比型空调多又比型空调多， 第一周和第二周均不满足要求， 故从前三周随机选一周，这一周型空调销售量既比型空调多又比型空调多的概率为. （2）记事件从该家电专卖店售出的型空调中随机抽取一台，型空调中随机抽取两台，抽取的三台空调在销售后五年内恰有两台需要维修， 包含两种情况：①抽取的一台型空调需要维修，抽取的两台型空调中有且只有一台空调需要维修； ②抽取的一台型空调不需要维修，抽取的两台型空调都需要维修. 故. （3）方差相等，即三组数据波动一样， 、、、， 、、、， 、、、， 一组可行解：，，， 三组数据离散程度相同，方差相等，答案不唯一， 此时组数据的平均数为，方差为； 组数据的平均数为，方差为； 组数据的平均数为，方差为. 所以，，满足题意. 方法技巧 1. 离散程度的三个统计量：方差、标准差、极差。 1. 方差与标准差的计算： 原始数据： 分组数据（频率分布直方图）： 其中 为组中值， 为频率。 1. 方差的性质： 若将每个数据加上常数 ，方差不变； 若将每个数据乘以常数 ，方差变为 ，标准差变为 ； 方差越大，数据越分散；方差越小，数据越集中。 1. 极差：最大值与最小值之差，计算简单但只利用了首尾两个数据，不够全面。 1. 分层抽样的方差：若各层方差为 ，各层样本量为 ，总均值为 ，各层均值为 ，则总方差为 其中 ， 为组间方差项。 1. 选择建议：方差和标准差能全面反映数据的离散程度，是首选；极差适用于快速粗略判断；实际应用中常将平均数与标准差结合使用。 【变式训练6-1】已知一组数据：，，，…，的平均数为m，方差为，在这组数据中的任意位置插入数字m，则插入后这11个数的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，， 则加入后，平均数保持不变， 方差为． 【变式训练6-2】（26-27高三上·北京·开学考试）为评估国内AI大模型的使用效果，某评测机构从国内众多AI大模型中随机抽取9个AI大模型，并从基础能力、中文特性和专业能力三个维度对这9个AI大模型进行评测，评测结果如下表所示． AI大模型 大模型a 大模型b 大模型c 大模型d 大模型e 大模型f 大模型g 大模型h 大模型i 基础能力得分 65 67 70 58 66 53 49 64 中文特性得分 74 76 80 68 75 63 59 77 专业能力得分 56 60 73 63 70 59 54 66 66 综合得分 65.0 67.7 74.3 63.0 70.3 58.3 54.0 69.0 70.0 综合得分是基础能力得分、中文特性得分和专业能力得分的算术平均数（精确到0.1）．其中和都是正整数． (1)若，从这9个AI大模型中随机取1个大模型，求这个大模型的专业能力得分大于基础能力得分的概率； (2)从大模型，，，中随机取2个大模型，从大模型，，，中随机取2个大模型，记这4个大模型中“综合得分超过65分”的大模型的个数为，求的分布列； (3)记这9个大模型的基础能力得分和中文特性得分的方差分别为，，若，写出的值．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 4 (3) 【分析】（1）分析可知，结合可得，再利用古典概型运算求解即可； （2）分析可知随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，结合古典概型以及组合数求相应概率和分布列； （3）根据平均数和方差公式整理可得，结合运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，则， 且和都是正整数，则是正整数，所以， 若，所以. 设这个大模型的专业能力得分大于基础能力得分为事件A， 则样本空间，，可得，， 所以这个大模型的专业能力得分大于基础能力得分的概率为. （2）大模型，，，中综合得分超过65分有，， 大模型，，，中综合得分超过65分有，， 可知随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，则有： ； ； ； ； ； 所以的分布列为 0 1 2 3 4 （3）因为基础能力得分的平均数为， 方差； 中文特性得分的平均数为， 方差； 若，即， 整理可得， 又因为，即，可得，即， 联立方程，解得， 所以的值为67. 【变式训练6-3】（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）2026年暑假国产动画电影再次掀起热潮，下图是A，B两部动画电影第一天至第十三天上映期间的综合票房（亿元）及综合票房占比.其中条形图表示综合票房占比，折线图为综合票房（亿元）. A动画影片综合票房及占比 B动画影片综合票房及占比 (1)从A动画电影上映后的十三天中随机选取一天，求该天电影综合票房超过2亿元的概率； (2)从B动画片上映后的十三天中随机选取2天，设为电影综合票房占比超过70%的天数，求的分布列及数学期望； (3)设A，B两部动画电影第一天至第十三天上映期间综合票房的平均数分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（只需写出结论）. 【答案】(1)； (2)分布列如下： 0 1 2 ； (3)，. 【分析】（1）数据中有6天电影综合票房超过2亿元，从而得到概率； （2）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望； （3）计算出两部电影的票房数据平均数，并根据图形中数据的波动情况，得到方差的大小关系 【详解】（1）从A动画电影上映后的13天中，有6天电影综合票房超过2亿元， 故该天电影综合票房超过2亿元的概率为； （2）B动画片上映后的13天中，超过70%的天数有7天， 故的可能取值为0,1,2， 则，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 则； （3）， ， 所以， 由图可知，A动画电影综合票房数据中，除个别数据外大小变化幅度较小，所以. 题型7 成对数据的统计相关性 例7-1观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为，则判断一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象可得，且，逐项判断. 【详解】观察图像，可以发现图1整体从左往右递减，图2整体从左往右递增，所以， 同时图2整体排列比图1更为紧密，所以， ，A正确； 因为，所以 ， ， ，故BCD都错误. 例7-2近年来，某古镇民俗节庆活动吸引了大量游客，为研究气温对游客量的影响，某调研团队记录了民俗节期间30天的数据．设表示第天的平均气温（单位：），表示第天参与民俗节活动的游客人数（单位：百人），其中，，，…，．根据统计，计算得到如下数据：，，． 附：相关系数． (1)根据所给数据，计算相关系数，并判断是否可用线性回归模型拟合与的关系；（，则认为两个变量具有较强的线性相关性） (2)该古镇景区向参加活动的游客发放纪念品．纪念品由某厂甲，乙，丙三台机器生产，合格率分别为，，，且三台机器产量相同，产品混放．现任取一件纪念品，求其合格的概率． 【答案】(1)相关系数，，可使用线性回归模型拟合与的关系 (2)任取一件纪念品合格的概率为 【详解】（1）， 因为， 所以与具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合与的关系； （2）设事件为“任取一件纪念品为合格品”， 事件为“产品由甲机器生产”， 事件为“产品由乙机器生产”， 事件为“产品由丙机器生产”， 由题意得，，，， 根据全概率公式：， 答：任取一件纪念品，其合格的概率为． 方法技巧 1. 相关关系的定义：两个变量之间存在某种不确定的依赖关系，称为相关关系。与函数关系（确定性关系）不同，相关关系中一个变量的取值不能唯一确定另一个变量的取值。 1. 散点图：将成对数据 在平面直角坐标系中描点，通过观察散点的分布趋势判断相关性的方向和强弱： 散点从左下到右上分布 正相关； 散点从左上到右下分布 负相关； 散点无规律 不相关或相关性很弱。 1. 样本相关系数 ： 其范围为 ： ：正相关；：负相关； 越接近 ，线性相关程度越强； 越接近 ，线性相关程度越弱； 时，两变量完全线性相关（所有点在同一直线上）。 1. 相关系数的计算技巧：利用公式 可减少计算量。 1. 相关性与因果性的区别：相关性只说明两个变量之间存在统计关联，不代表一个变量是另一个变量的原因。判断因果关系需结合专业知识和实验设计。 【变式训练7-1】下图是某城市在2025年元月至十月的最低气温（单位：℃）和最高气温（单位：℃）的散点图．定义各月的温差为该月的最高气温减去最低气温．若最低气温和最高气温的线性相关系数为，最低气温和温差的线性相关系数为，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据线性相关系数的性质与线性相关程度判断即可. 【详解】由散点图可得，随着最低气温的升高，最高气温也升高，所以最低气温和最高气温成正相关，故. 因温差最高气温最低气温，由图知，随着最低气温不断升高，最高气温升高幅度相对较小， 故温差逐渐减小，即最低气温和温差成负相关，故. 由散点图可以看出，最低气温与最高气温的线性相关程度较强，最低气温与温差的线性相关程度较弱， 根据线性相关系数的性质，值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强；值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越弱.由上分析，可得. 【变式训练7-2】近年来，“双11”网购的观念逐渐深入人心，某人统计了近5年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 交易额y/百亿元 9 12 17 21 26 请根据表中提供的数据，画出散点图，推断两个变量是否线性相关，并用样本相关系数说明与的线性相关程度．（结果保留三位小数） 附：，． 【答案】散点图如下： 线性相关，，相关性很强. 【分析】作出散点图，计算相关系数并确定相关程度. 【详解】画出散点图，如图所示： 由图可知交易额与年份代码线性相关． 易得，， 则， ， ， 所以， 所以变量与的线性相关程度很强. 【变式训练7-3】粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素．小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展．将2020～2024年记为年份代码1～5，我国小麦产量如下表所示． 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码i，表示年份代码为i的产量，经计算得，，，，． 附：相关系数，． (1)求样本（）的相关系数r；（精确到0.01） (2)现从这5年中随机抽取3年，记这3年中小麦产量大于13.6千万吨的年数为X，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列为 X 1 2 3 P 【分析】（1）利用题目给的数据和公式先计算出样本平均数，再算出相关系数即可； （2）利用超几何分布求解分布列即可． 【详解】（1）根据统计表格中的数据，可得， 因此样本相关系数 ． （2）根据题意，可得随机变量X的取值为1，2，3， 则，，． 因此随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 期望． 题型8 一元线性回归模型及其应用 例8-1下表提供了甲产品的产量x（吨）与利润y（万元）的几组对照数据： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； (2)计算决定系数的值，并判断（1）中线性回归模型的拟合效果是否良好；（注：若，则认为回归模型拟合效果良好） (3)请利用（1）中的线性回归方程，试估计当甲产品的产量为10吨时，利润是多少万元． 参考公式：，， 【答案】(1) (2)，（1）中线性回归模型的拟合效果良好 (3)当甲产品的产量为10吨时，利润是7.35万元 【分析】（1）直接利用公式，代入数据求解即可； （2）利用公式代入数据求解即可； （3）利用（1）中的线性回归方程，代入甲产品的产量为10吨求解利润即可. 【详解】（1）由题意可知，，， ，， 所以， ， 所以关于的线性回归方程为. （2），， 所以， 因此（1）中线性回归模型的拟合效果良好. （3）当时，， 因此估计当甲产品的产量为10吨时，利润是7.35万元. 例8-2某工厂为进行环境保护与改善，对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了监测与记录，数据如下： 某颗粒物密度 101.02 87.02 57.46 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 51.84 53.2 9.16 6.6 4.4 3.31 3.35 3.86 (1)为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ (2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在，，哪个区间内？ (3)2023年之前9年的年份的平均数为2018，（颗粒物密度）关于（年份）的回归方程拟采用或．若知2023年实际颗粒物浓度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差的绝对值更小（精确到0.01）？ 【答案】(1)． (2)选择散点图，． (3)对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小． 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可. （2）根据相关系数的取值范围及相关系数与相关性的关系判断即可. （3）求出样本中心点，代入回归方程求解判断即可. 【详解】（1）由题意，设该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度为事件， 显然满足题意共有7年，故， 故该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率为． （2）经分析应选择散点图，因相关系数的取值范围是，所以可以排除区间， 通过所给数据可知随着颗粒物密度的减少，二氧化硫密度也呈现减少的趋势，二者变化方向一致，属于正相关，因此， 综上，相关系数的取值区间为． （3）由题意，设样本中心， ， 故，则， 所以. 故时，此时，差值绝对值为2.20， ，差值绝对值为， 因为， 故对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小． 方法技巧 1. 一元线性回归模型： 其中 为回归系数（斜率）， 为截距。 1. 最小二乘法估计公式： 1. 回归直线必过样本中心点：回归直线 一定经过点 。这一性质常用于快速检验计算结果。 1. 残差分析： 残差 ； 残差平方和越小，模型拟合效果越好； 残差图可用于判断模型是否合适（残差应随机分布在 附近）。 1. 决定系数 ： 越接近 ，模型的解释能力越强，拟合效果越好； 越接近 ，拟合效果越差。 1. 预测与应用：给定 ，代入回归方程得预测值 。注意预测值只是估计，不能超出样本数据的适用范围太远（外推需谨慎）。 1. 非线性回归的线性化： 对于 ，两边取对数得 ，令 ，则化为线性回归； 对于 ，两边取对数得 ，令 ，，转化为线性回归。 【变式训练8-1】某创业者计划开设一家咖啡店，他从本市已开业的15家规模相似的咖啡店中收集了以下数据：x表示周边一公里内日均人流量(千人)；y表示日均销售额(百元). x 4.2 5.2 5.2 6.2 6.2 6.2 5.2 7.2 9.2 8.2 8.2 8.2 9.2 9.2 10.2 y 34 38 40 40 46 52 42 52 54 47 58 69 64 74 70 经计算得 (1)求y关于x的线性回归方程； (2)预测x=8时，y的估计值y₀; (3)计算变量x和y的样本相关系数r. 附：最小二乘估计公式分别为： 样本相关系数 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所给数据，代入公式求解即可； （2）利用回归直线方程，求估计值即可； （3）根据相关系数公式求解. 【详解】（1） ， 因为样本中心点在回归直线上，所以 ， 所以关于的线性回归方程为 ． （2）当时，的估计值 ． （3）. 【变式训练8-2】某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出（单位：万元）和销售量（单位：万台）的数据如下： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 广告费支出 1 2 4 6 11 13 19 销售量 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 (1)若用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程； (2)若用模型拟合与的关系，可得回归方程，经计算线性回归模型和该模型的分别约为0.75和0.88，请根据的值，判断选择哪个回归模型更好． 参考数据：，.附：，． 【答案】(1) (2)更好 【分析】（1）根据线性回归方程相关基本量直接计算即可； （2）根据反映的残差平方和与拟合效果关系进行判断. 【详解】（1）由题意得，， ， ，， 所以， 所以， 所以y关于x的线性回归方程为 （2）因为，且越接近于1，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好， 所以选用更好. 【变式训练8-3】为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2015年至2024年的年份代码和年研发投入(单位：亿元)的散点图，其中年份代码1－10分别对应年份2015－2024．     根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中，． (1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并说明理由． (2)①根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程； ②设该科技公司的年利润(单位：亿元)和年研发投入满足（且），该科技公司哪一年的年利润最大？ 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 【答案】(1)选择模型②更适宜，理由如下： 根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差； 模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜. (2)①；②该公司2030年的年利润最大 【分析】（1）根据残差图确定即可； （2）①根据最小二乘法求非线性回归方程即可求解；②根据题意结合二次函数性质计算求解即可. 【详解】（1）略 （2）①设，所以， 所以， ， 所以关于的经验回归方程为； ②由题设可得， 当，即时，年利润有最大值， 故该公司2030年的年利润最大. 题型9 列联表与独立性检验 例9-1某研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计，根据统计数据制作列联表，提出原假设：“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系，计算得，由此可知（     ）．（显著性水平取0.05，） A．接受原假设，没有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 B．拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 C．接受原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 D．拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系 【答案】B 【详解】由于且，故拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系. 例9-2随着生活质量的提高，户外运动得到越来越多人的青睐．某市为了了解市民对户外运动的喜欢情况是否存在性别差异，随机抽取了该市名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计 男性 女性 合计 (1)试根据的独立性检验，能否认为该市市民喜欢户外运动与性别有关联？ (2)用频率估计概率，现从该市随机抽取名市民，记其中喜欢户外运动的人数为随机变量，求的数学期望和方差； (3)户外运动达人小方每周末都会在爬山和骑行中选一项进行，若他上一个周末选择爬山则这个周末仍选择爬山的概率为，若他上一个周末选择骑行则这个周末选择爬山的概率为．已知小方某月份的第三个周末选择了爬山的概率为，求他该月份第二个周末选择爬山的概率． 附：，． 临界值表： 【答案】(1)认为该市市民喜欢户外运动与性别无关联 (2)数学期望，方差 (3) 【分析】（1）提出 “喜欢户外运动与性别无关联” 的零假设，代入列联表数据计算卡方统计量，与的临界值对比，判断是否拒绝原假设并得出结论； （2）用样本频率估计市民喜欢户外运动的概率，判定随机变量X服从二项分布，代入二项分布的期望、方差公式计算结果； （3）设定对应事件并写出条件概率，利用全概率公式建立第三周爬山概率与第二周爬山概率的等量关系，解方程求得结果． 【详解】（1）假设：该市市民喜欢户外运动与性别无关联， ， 根据小概率值＝0.01的独立性检验，没有充分的理由认为不成立， 即认为该市市民喜欢户外运动与性别无关联． （2）用频率估计概率，该市市民喜欢户外运动的概率， 抽取名市民中喜欢户外运动的人数X服从二项分布． 由二项分布期望公式得：； 由二项分布方差公式得：． （3）设＝“小方第i个周末选择爬山”（i＝2，3）， 则， ， 所以，解得， 即小方该月第二个周末选择爬山的概率为． 方法技巧 1. 列联表的构造：将两个分类变量的数据整理成 列联表： 变量 变量 合计 变量 变量 合计 1. 独立性检验的统计量： 其中 。 1. 假设检验的步骤： 提出零假设 ：两个分类变量相互独立（无关联）； 计算 的值：代入公式计算； 查临界值表：根据给定的显著性水平 （常用 、、），查得对应的临界值 ； 作出判断：若 ，则拒绝 ，认为两个变量有关联（在犯错误概率不超过 的前提下）；若 ，则不拒绝 ，没有充分证据认为两个变量有关联。 1. 常用临界值： 时，； 时，； 时，。 1. 的计算技巧： 先计算 （交叉乘积之差），这是判断关联方向的关键； 若 ，说明 与 同时出现的频率高于独立假设下的期望；反之亦然； 分母为四个边缘和的乘积，注意不要漏乘。 1. 注意： 独立性检验的结论是概率性的，不能绝对化（“有 的把握认为有关联”而非“一定有关联”）； 样本容量 越大，检验结果越可靠； 值越大，拒绝 的理由越充分。 【变式训练9-1】一款短视频手机应用最近在某校学生中流行起来，某校团委对“学生性别和喜欢该手机应用是否有关”做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢该手机应用的人数占男生人数的，女生喜欢该手机应用的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢该手机应用和性别有关，则被调查的男生人数至少为（   ） 0.05 0.01 3.841 6.635 A．12 B．6 C．10 D．18 【答案】A 【分析】设被调查的男生人数为，则女生人数为，根据题意得到列联表，由计算公式，及独立性检验思想，得到关于的不等式，求解可得. 【详解】设被调查的男生人数为，则女生人数为，可得列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男生 女生 合计 由公式算得，因为有的把握认为是否喜欢该手机应用和性别有关，所以， 则．而都是整数，所以的值至少为12． 故选：A. 【变式训练9-2】某市为了解本市旅游服务情况，在游客中随机抽取500名游客进行调研，记下评分及格的人数．为了改善旅游消费体验、提升旅游市场服务质量，该市采取了专项整治行动．为了解专项整治行动的效果，在专项整治行动后采取同样的调研方法，记下评分不及格的人数，2次调研得到的列联表如下： 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 300 500 专项整治行动后 100 500 合计 1000 (1)从这1000名游客中随机抽取1人，求此游客的评分及格的概率； (2)补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，试问：评分是否及格与专项整治行动有关吗？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2) 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 200 300 500 专项整治行动后 100 400 500 合计 300 700 1000 及格与专项整治行动有关 【详解】（1）由题意，得专项整治行动后评分及格的人数为人， 所以这1000名游客中评分及格的人数为人， 所以从这1000名游客中随机抽取1人，此游客的评分及格的概率为． （2）列联表如下： 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 200 300 500 专项整治行动后 100 400 500 合计 300 700 1000 统计假设：评分是否及格与专项整治行动无关． 由题意，得，     由查表可得， 因为，所以统计假设不成立，根据小概率值的独立性检验， 可以认为评分是否及格与专项整治行动有关． 【变式训练9-3】某校为了解不同性别的学生对AI的关注情况，随机抽取了100名学生进行调查，得到如下的列联表： 单位：人 性别 关注AI情况 合计 关注 不关注 女生 10 —— 40 男生 —— 20 60 合计 50 —— —— (1)完成上述列联表．依据小概率值的独立性检验，能否认为学生对AI的关注与性别有关联？ (2)将样本中的60名男生按是否关注AI进行分层，按比例分配，用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行进一步调查，记抽到的3人中关注AI的人数为，求的分布列和均值． 附：，． 【答案】(1)补全后的列联表如下： 性别 关注 不关注 合计 女生 10 30 40 男生 40 20 60 合计 50 50 100 依据小概率值的独立性检验，能认为学生对AI的关注与性别有关联； (2)的分布列为： 1 2 3 均值. 【分析】先补全2×2列联表，计算卡方统计量并与临界值比较完成独立性检验，再根据分层抽样规则确定样本构成，利用超几何分布求解X的分布列与均值. 【详解】（1）首先补全列联表： 性别 关注 不关注 合计 女生 10 30 40 男生 40 20 60 合计 50 50 100 女生不关注AI的人数为，男生关注AI的人数为，不关注AI的总人数为，总调查人数为, 提出零假设：学生对AI的关注与性别无关联, 代入卡方公式计算, 由于，依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为学生对AI的关注与性别有关联; （2）60名男生中关注AI的有40人，不关注AI的有20人，按比例分配分层抽样抽取6人时，抽取关注AI的人数为，不关注AI的人数为, 为从6人中抽3人时抽到关注AI的人数，服从超几何分布，可能取值为1,2,3, ,, , 因此的分布列为 1 2 3 所以 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·北京·高考真题）为了解某校高三年级学生的数学学习情况，随机抽查了200名高三年级学生某次考试的数学成绩，整理成下表： 成绩 人数 40 60 60 32 8 假设学生的数学成绩相互独立．用频率估计概率． (1)估计该校高三年级学生这次考试的数学成绩低于120的概率； (2)从该校高三年级学生中随机抽取4人，估计在这次考试中，2人的数学成绩不低于120且2人的数学成绩低于94的概率； (3)为分析该校高三年级学生的数学学习情况，可采用三种方法：将样本中每名学生数学成绩所在区间的左端点值、中点值和右端点值视为该生的数学成绩．分别将这三种方法得到的三组数学成绩的方差记为、和，判断、和的大小关系．（结论不要求证明）． 【答案】(1)根据表格数据，200名学生中有人的数学成绩低于120， 所以该校高三学生这次考试数学成绩低于120的概率可以估计为． (2)设事件：随机抽取1名学生，其数学成绩不低于120； 事件：随机抽取1名学生，其数学成绩低于94． 根据表格数据可知，概率和均可估计为0.2． 由题设可知：在这次考试中，2人的数学成绩不低于120且2人的数学成绩低于94的概率等于． 故所求概率可以估计为. (3). 【分析】（1）先求样本中数学成绩低于分的频率，再由频率估计概率； （2）先分别求事件成绩不低于分的概率和事件成绩小于分的概率，再由独立事件概率乘法公式求结论； （3）根据方差公式分别求，比较大小可得结论. 【详解】（1）略 （2）略 （3）每组数据取左端的值记为，， 每组数据取中间的值记为，， 每组数据取右端的值记为，， 由已知，，，，， 所以， 由已知，，，，， 所以， ，，，，， 所以， ， 所以. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．若将容量为100的样本数据分为如下8组，则第3组的频率为（    ）． 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 10 13 14 15 13 12 9 A．0.14 B．0.03 C．0.07 D．0.21 【答案】A 【分析】根据频数之和为100求出第3组的频数，再除以样本容量100，即可得第3组的频率. 【详解】解：因为第三组的频数为， 所以第三组的频率为， 故选：A. 2．对于数据2，6，8，3，3，4，6，8，下列说法中正确的个数为（    ）． （1）平均数为5； （2）没有众数； （3）没有中位数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】计算数据的平均数众数和中位数，对比选项得到答案. 【详解】数据平均数为，（1）正确； 3，6，8都出现最多的两次，故众数是3，6，8，（2）错误； 数据按从小到大排列得到2，3，3，4，6，6，8，8，故中位数为，（3）错误. 故选：B. 3．在某频率直方图中，从左到右共有11个小矩形，若居中的那个小矩形的面积等于其他10个小矩形的面积和的，且样本容量为160，则居中的那组数据的频数为（    ）． A．32 B．0.2 C．40 D．0.25 【答案】A 【分析】根据题意得到居中的那个小矩形的面积占全部面积的，计算得到答案. 【详解】根据题意：居中的那个小矩形的面积占全部面积的，故. 故选：A. 4．已知变量和满足关系，变量与正相关，下列结论中正确的是 A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关 C．与正相关，与负相关 D．与负相关，与正相关 【答案】A 【详解】试题分析：由题意得，变量和满足关系知；，所以与负相关，又变量与正相关，可得与负相关，故选A． 考点：回归直线方程． 5．在一次数学建模活动中，某同学采集到如下一组数据： x 0 1 2 3 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映y与x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设中表格中的数据画出散点图，结合图象和选项，得到答案. 【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示， 数据散点图和指数型函数的图象类似，所以选项B最能反映之间的函数关系. 故选：B. 6．对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如下图所示，模型误差（    ） A．满足一元线性回归模型的所有假设 B．不满足一元线性回归模型的的假设 C．不满足一元线性回归模型的假设 D．不满足一元线性回归模型的和的假设 【答案】C 【分析】根据用一元线性回归模型有关概念即可判断. 【详解】解：用一元线性回归模型得到经验回归模型， 根据对应的残差图，残差的均值可能成立， 但明显残差的随着的增大偏差增大，不满足一元线性回归模型的假设，正确的只有C. 故选：C. 7．根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（    ）. A．变量与不独立 B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C．变量与独立 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 【答案】C 【分析】根据卡方独立性检验可得 【详解】由表可知当时，， 因为，所以分类变量与相互独立， 因为， 所以分类变量与相互独立，这个结论犯错误的概率不超过， 故选：C 二、解答题 8．1798年英国科学家卡文迪许（Henry Cavendish，1731—1810）对地球密度进行了测量，下面是地球的平均密度相对于水密度的测量值的记录结果： 5.50    5.61    4.88    5.07    5.26    5.55    5.36    5.29    5.79    5.10 5.27    5.39    5.42    5.47    5.58    5.65    5.57    5.53    5.62    5.29 5.44    5.34    5.63    5.34    5.46    5.30    5.75    5.68    5.85 请用适当的统计图表示上述测量数据，并估计地球的平均密度（单位：）． 【答案】由题意，可得频率分布表如下： 地球密度 频数 频率 2 3 11 9 4 合计 29 则频率分布直方图：    所以地球的平均密度为： . 【分析】根据所给数据画出频率分布表，进而画出频率分布直方图，利用频率分布直方图，求得平均数，即可求解. 【详解】统计图表略,     5.45. 9．为了解两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：）： 轮胎； 轮胎． (1)分别计算两种轮胎行驶的最远里程的平均数和中位数； (2)分别计算两种轮胎行驶的最远里程的极差和标准差； (3)根据以上数据，你认为哪种轮胎性能更加稳定？ 【答案】(1)轮胎行驶的最远里程的平均数为：,  中位数为：；   轮胎行驶的最远里程的平均数为：,  中位数为：. (2)轮胎行驶的最远里程的极差为：，标准差为：； 轮胎行驶的最远里程的极差为：，标准差为：. (3) 【分析】（1）根据题中数据，利用平均数和中位数的定义即可求出结果； （2）根据题中数据，利用极差和标准差的定义即可求出结果； （3）根据（1）和（2）的数据，根据数字特征即可作出判断. 【详解】（1）轮胎行驶的最远里程的平均数为：,  中位数为：；   轮胎行驶的最远里程的平均数为：,   中位数为：. （2）轮胎行驶的最远里程的极差为：，   标准差为：   轮胎行驶的最远里程的极差为：，   标准差为： （3）由于和的最远行驶里程的平均数相同，而轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小，所以轮胎性能更加稳定. 10．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下： 零件数X/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间Y/min 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 回归直线，，. (1)画出散点图； (2)求Y关于X的线性回归方程； (3)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？ 【答案】(1)   (2)； (3)由（2）所得线性回归方程知：每多加工10个零件，需多花费分钟. 【分析】（1）根据表格数据绘制散点图即可； （2）应用最小二乘法求线性回归方程； （3）根据回归方程写出加工零件的个数与加工时间之间的关系. 【详解】（1）由表格数据，散点图如下，x轴表示零件个数/个，y轴表示加工时间/min，    （2）设Y关于X的线性回归方程为， 由，，，， 所以，则， 综上，所求回归方程为. （3）由（2）所得线性回归方程知：每多加工10个零件，需多花费分钟. 11．下表给出了2016年太原市和呼和浩特市的月降水量（单位：mm）： 月份 城市 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 太原市 2.5 4.2 3.6 40.7 23.6 74.0 209.4 71.7 21.3 62.0 4.9 10.5 呼和浩特市 0.3 3.0 0.7 3.2 34.6 108.8 140.2 115.0 74.7 48.6 0.5 1.7 (1)请用适当的统计图表示上面的数据； (2)分别计算太原市和呼和浩特市2016年月降水量的平均数和标准差． 【答案】(1) (2)太原市的平均数为：，标准差为：； 呼和浩特市的平均数为：，标准差为：. 【分析】（1）根据图表中数据特点，选择折线图来表示数据； （2）根据表中数据，利用平均数及标准差的定义即可求出结果. 【详解】（1）统计图表如图    （2）太原市的平均数为：，因为方差为： 故太原市的标准差为：. 呼和浩特市的平均数为： ， 因为方差为： 故呼和浩特市的标准差为：. 12．某出版社单册图书的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下： x 1 2 3 5 7 10 11 20 25 30 y 9.02 5.27 4.06 3.03 2.59 2.28 2.21 1.89 1.80 1.75 (1)根据以上数据画出散点图（可借助统计软件），并根据散点图判断：与中哪一个适宜作为回归方程模型? (2)根据（1）的判断结果，试建立成本费y关于印刷册数x的回归方程； (3)利用回归方程估计印刷26000册图书的单册成本（结果保留两位小数）． 【答案】(1)  ，适宜作为回归方程模型； (2)； (3)成本约为元. 【分析】（1）根据表格数据绘制散点图，由各点的变化趋势确定合适的模型即可； （2）利用最小二乘法求回归方程； （3）由（2）所得回归方程估计时对应的单册成本费用. 【详解】（1）由表格数据可得如下散点图，    显然，两者之间是某种非线性关系，故适宜作为回归方程模型. （2）令且，则，， ，，则， 所以，故. （3）由（2），将代入回归方程得元. 13．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 男 女 需要志愿者 40 30 不需要志愿者 160 270 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； (2)能否有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (3)根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿者帮助的老年人的比例？说明理由． 【答案】(1) (2)有 (3) 由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好． 【分析】（1）根据已知得出需要志愿者提供帮助的老人数目，即可得出答案； （2）补充完整列联表，求出的值，比较即可得出答案； （3）根据（2）的结论，可知老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，因此可以先调查男女比例. 【详解】（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为． （2）补充列联表为 男 女 合计 需要志愿者 40 30 70 不需要志愿者 160 270 430 合计 200 300 500 由已知可得，，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． （3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．某校50名学生的身高与体重的散点图如下：根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（   ） A．身高越高，体重越重 B．身高越高，体重越轻 C．身高与体重成正相关 D．身高与体重成负相关 【答案】C 【详解】由散点图可知身高与体重成正相关． 2．已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（     ） A．7 B．9 C．11 D．12 【答案】A 【分析】先将数据从小到大排序，再根据百分位数的定义计算对应位置，即可求得第40百分位数． 【详解】首先将该组数据从小到大排列为：，数据总个数， 因为， 因此该组数据的第40百分位数为排列后的第3个数据7． 3．样本数据、、、、的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出这组数据的平均数，利用方差公式求解即可. 【详解】这组数据的平均数为， 故这组数据的方差为. 4．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生成绩是（   ） A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量 【答案】C 【分析】根据总体，个体，样本，样本量的定义判断即可. 【详解】由题意可得200名学生成绩是样本． 5．根据如下样本数据： 得到的回归方程为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】，， 因为回归方程过样本中心点， 所以， 由样本数据可知，的值随值的增大而大致呈减小趋势，可判断为负相关， 所以，，要使等式成立，必须． 6．为了解我国14岁男生的平均体重，从北方抽取了200名男生，平均体重54kg；从中部抽取100名男生，平均体重55kg；从南方抽取了200名男生，平均体重56kg，根据此样本，估计我国14岁男孩的平均体重为（    ） A．54kg B．56kg C．55kg D．53kg 【答案】C 【详解】由题意，根据此样本，估计我国14岁男孩的平均体重为 7．下列说法中正确的是（    ） A．一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% D．若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】D 【分析】利用百分位数的定义计算可判断A；利用相关系数的意义可判断B；利用独立性检验的意义可判断C，根据正态分布的对称性求解可判断D. 【详解】对于A，由，所以这组数据的第60百分位数为从小到大排列得到的第五个数5，故A错误； 对于B，两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1，故B错误； 对于C，根据小概率值的独立性检验：，因为，则不能推断出犯错误的概率不超过0.5%，故C错误； 对于D，因为服从正态分布，且， 所以，故D正确； 故选：D. 8．下列命题中不正确的是（   ） A．线性回归方程对应的直线一定经过样本点的中心 B．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 C．线性回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系 D．用最小二乘法求回归方程是为了使最小 【答案】B 【分析】利用线性回归直线的性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A，线性回归直线一定经过样本点的中心，故A正确； 对于B，线性回归直线是样本点的‘最佳’拟合直线，可能不经过任何一个样本点，故B错误； 对于C，线性回归直线中的系数为， 则变量与具有负的线性相关关系，故C正确： 对于D，最小二乘法的核心思想就是通过寻找最佳的回归系数， 使得所有的观测值与回归直线上的预测值之间的残差平方和达到最小， 数学表达式是，故D正确. 9．智能驾驶辅助系统是指利用车载传感器、控制器等装置、实现环境感知、规划决策与运动控制，辅助驾驶员完成部分驾驶操作，提升行车安全性与舒适性的系统，驾驶员仍需全程监管车辆并随时接管驾驶：驾龄是指初次领取机动车驾驶证至今的时间长度、为研究智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄的关系，随机调查了200名私家车车主，得到如下列联表： 经常使用智能驾驶辅助系统 不经常使用智能驾驶辅助系统 合计 驾龄≤5年 58 42 100 驾龄＞5年 36 64 100 合计 94 106 200 (1)从这200名车主中随机抽取1人，已知该车主驾龄不超过5年，求该车主经常使用智能驾驶辅助系统的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析智能驾驶辅助系统使用情况是否与驾龄有关. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)0.58 (2)有关 【详解】（1）设事件A为“车主驾龄不超过5年”，事件B为“车主经常使用智能驾驶辅助系统”. 由题意可知：，，根据条件概率公式得：， 所以该车主经常使用智能驾驶辅助系统的概率为0.58. （2）提出假设：智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄无关， 根据表中数据可得：， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄有关，该推断犯错误的概率不超过0.010. 10．某科研团队研发新一代硫化物固态锂电池，测试了5块同批次电池的循环次数x（次）与剩余容量y（单位：），得到如下数据： x（次） 100 200 300 400 500 y（Ah） 9.8 9.5 9.2 8.9 8.6 (1)求y关于x的线性回归方程，预测当循环次数为1000次时电池的剩余容量；并计算样本相关系数r，据此说明线性回归模型拟合x与y关系的合理性. (2)该团队另有10块同批次电池，其中改性优化电池6块，普通电池4块；改性优化电池中有4块循环寿命超过1000次，普通电池循环寿命均未超过1000次，规定循环寿命超过1000次为达标.现从这10块电池中随机抽取3块进行破坏性安全测试，记抽取的3块中达标的电池数为，求的分布列和数学期望. 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，， 相关系数 【答案】(1)线性回归方程为：；当循环次数为1000次时电池的剩余容量为；相关系数，用线性回归模型拟合二者关系是完全合理的. (2)分布列如下： 数学期望为. 【详解】（1）由题意得： ，， ，，所以， 则，所以线性回归方程为：， 将代入得：，即：当循环次数为1000次时电池的剩余容量为. 又因为，所以相关系数， ，表示完全负线性相关，说明循环次数与剩余容量之间存在极强的负线性关系，因此用线性回归模型拟合二者关系是完全合理的。 （2）由题意可知：10块同批次电池中，4块达标，6块未达标，抽取的3块中达标的电池数为，则可能取值为0,1,2,3. ，，，， 所以达标的电池数的分布列为： 数学期望. 重难·创新演练 11．某大学学院共有学生千余人，该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，已知A学院男生与女生人数之比为，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在月份的累计跑步里程进行统计，得到下表. 跑步里程 男生 女生 用样本频率估计总体概率. (1)求的值，并估计从学院所有学生中抽取一人，该学生月份累计跑步里程在中的概率； (2)从学院男生样本中随机抽取人，从学院女生样本中随机抽取人，将这人中在月份的累计跑步里程不低于的人数记为，求的分布列和数学期望； (3)该大学学院男生与女生人数之比为，学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进行分层抽样，已知学院和学院的样本数据整理如下表. 月份累计跑步里程平均值（单位：） 学院性别 A B 男生 50 59 女生 40 45 设学院样本中学生月份累计跑步里程平均值为，学院样本中学生月份累计跑步里程平均值为，是否存在，使得？如果存在，求的最大值；如果不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2) ， (3)存在，最大值为 【分析】（1）先根据男女比即可求出a，再根据古典概型即可求出所求概率； （2）由题意的可能取值为，求得各自对应的概率得到分布列，再计算期望即可； （3）设学院女生人数为，则男生人数为，求，即可得到不等式，解得即可. 【详解】（1）依题意，解得， 所以在中的概率为； （2）学院所抽取的学生中男生有人， 其中月份的累计跑步里程低于有人，不低于有人， 学院所抽取的学生中女生有人， 其中月份的累计跑步里程低于有人，不低于有人， 由题意的可能取值为， ，， ，， 则的分布列为： ； （3）设学院女生有人，则男生有人， 则，， 依题意，即， 显然，解得，所以的最大值为 12．空气质量指数PM2.5（单位：）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重： PM2.5日均浓度 0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 250 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 甲､乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示： (1)根据你所学的统计知识估计甲､乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？并说明理由. (2)在15天内任取1天，估计甲､乙两城市空气质量类别均为优或良的概率； 【答案】(1)甲； (2). 【分析】（1）根据茎叶图，由中位数和数据的集中程度判断； （2）利用古典概型，分别求得甲､乙两城市空气质量类别为优或良的概率，再利用独立事件的概率求解. 【详解】（1）由茎叶图知：甲城市的中位数为：61，乙城市的中位数为79， 并且甲的大多集中在65以下，乙的大多集中在76以上， 所以甲城市空气质量总体较好； （2）甲城市空气质量类别为优或良的有10天， 所以甲城市空气质量类别优或良的概率为, 乙城市空气质量类别为优或良的有5天， 所以乙城市空气质量类别优或良的概率为, 所以甲､乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为. 13．2021年起，江苏省实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．等级排名占比，赋分分数区间是等级排名占比35%，赋分分数区间是；等级排名占比35%，赋分分数区间是70；等级排名占比13%，赋分分数区间是；等级排名占比2%，赋分分数区间是30-40；现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：    (1)求图中的值； (2)求抽取的这100名学生的原始成绩的众数、平均数和中位数； (3)用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上（含C等级）？（结果保留整数） 【答案】(1) (2)众数75分，平均数71分，中位数分； (3)54分. 【分析】（1）由各组频率之和为1列方程求解即可. （2）由频率分布直方图中众数、平均数和中位数的计算公式代入即可得出答案. （3）求出达到赋分后的C等级及以上（含C等级）频率，再利用总体百分位数即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得， 所以. （2）由频率分布直方图得，抽取的这100名学生的原始成绩的众数的估计值为分； 抽取的这100名学生的原始成绩的平均数的估计值为： 分； 原始成绩在的频率为， 原始成绩在的频率为， 因此中位数，且，解得， 所以抽取的这100名学生的原始成绩的中位数的估计值为分. （3）由已知等级达到及以上所占排名等级占比为， 设该校本次化学成绩原始分在等级及以上的最低分为，则， 于是，解得， 所以原始分不少于54分才能达到赋分后的等级及以上． 14．为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展学生数学建模素养，某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动.对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分.从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取10篇，这10篇论文的评分情况如下表所示. 序号 评委甲评分 评委乙评分 初评得分 1 81 83 82 2 80 86 83 3 84 86 85 4 78 84 81 5 70 85 77.5 6 67 82 74.5 7 61 76 68.5 8 68 74 71 9 66 77 71.5 10 64 82 73 (1)从这10篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过5的概率； (2)从这10篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过5的篇数记为，求的分布列及数学期望； (3)对于序号为的论文，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，分别记甲、乙两位评委对这10篇论文评分的平均数为，，标准差为，，以作为序号为的论文的标准化得分.对序号分别为1，2和3的这3篇论文按照标准化得分从高到低进行排名，请你写出排名结果.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)的分布列为： (3)序号，序号，序号 【分析】（1）将数据分为两类后结合概率公式计算即可得； （2）得到的可能取值后计算其对应概率即可得分布列，借助分布列即可得其数学期望 （3）可借助所给公式直接计算出三篇论文的标准化得分，也可借助标准差的性质及具体评分结合作差法得到三篇论文的标准化得分大小关系. 【详解】（1）篇论文中甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的有序号、序号两篇， 超过的有篇，故从这10篇论文中随机抽取1篇， 甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过5的概率为； （2）的可能取值为、、， 、、， 故的分布列为： 则； （3）法一：， ， ， ， 则序号的标准化得分为， 序号的标准化得分为， 序号的标准化得分为， 故从高到低的排名结果为序号，序号，序号. 法二：设序号、序号、序号的标准化得分分别为、、， 则， ， ， 由标准差与数据的波动程度的关系可得， 则， ，故， 故从高到低的排名结果为序号，序号，序号. 15．2025年3月14日（第六个国际数学日），某校开展了“站播台”、“史探秘”、“日海报”、“徽设计”、“帽设计”共5项挑战活动，每名学生至少参与其中一项活动.为了解该校上述活动的参与情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表： 挑战活动参与人数 站播台 史探秘 日海报 徽设计 帽设计 高一 80 45 55 75 45 高二 40 60 60 80 40 高三 15 50 40 20 30 通过样本估计该校全体学生参与活动的情况. (1)从5项活动中随机选择1项，估计此项活动全校参与的人数大于该校总人数的一半的概率； (2)从该校高一年级和高二年级中各随机选取2名学生，求这4名学生中恰有2名学生参与“徽设计”的概率； (3)假设高一某班参加挑战活动的情况如下： 挑战活动 站播台 史探秘 日海报 徽设计 帽设计 参与人数 7 9 已知，当数据，，，，的方差最小时，写出，，的取值.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3)或或. 【分析】（1）根据题意找出符合题意的情况，利用古典概型即可求解； （2）由题可得高一、高二随机选取1名学生参与“徽设计”的概率，然后根据独立事件乘法公式可得. （3）先求出数据，，，，的平均数为8.2，进而结合方差的公式及特点求解即可. 【详解】（1）设“从5项活动中随机选择1项，此项活动全校参与的人数大于该校总人数的一半”， 根据题意，5项活动中，参与的人数大于该校总人数的一半的有：史探秘，日海报，徽设计， 则． （2）从该校高一年级中随机选取1名学生参与“徽设计”的概率为， 从高二年级中随机选取1名学生参与“徽设计”的概率为， 设“从高一年级随机选取2名学生，高二年级随机选取2名学生，这4名学生中恰有2名学生参与徽设计”， 则． （3）由， 则数据，，，，的平均数为 ， 则数据，，，，的方差为 ， 则的值集中在8.2附近时方差最小，又，， 此时的值为（任意分配），此情况相对更集中，其他情况较分散， 则或或. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 统计与成对数据的统计分析 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 随机抽样 知识点2 频率分布直方图 知识点3 总体百分位数的估计 知识点4 总体集中趋势的估计 知识点5 总体离散程度的估计 知识点6 成对数据的统计相关性及线性回归直线方程 知识点7 列联表与独立性检验 题型破译 (含超链接） 题型1 简单随机抽样【含方法技巧】 题型2 分层随机抽样【含方法技巧】 题型3 频率分布直方图【含方法技巧】 题型4 总体百分位数的估计【含方法技巧】 题型5 总体集中趋势的估计【含方法技巧】 题型6 总体离散程度的估计【含方法技巧】 题型7 成对数据的统计相关性【含方法技巧】 题型8 一元线性回归模型及其应用【含方法技巧】 题型9 列联表与独立性检验【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 用样本估计总体（平均数、方差） T17(3)（约5分） — — 考情分析 统计与成对数据的统计分析是高考的重要内容，北京卷近年以解答题形式呈现，，难度中等。2026年T17第(3)问直接考查平均数与方差的比较，体现对数据数字特征的深层理解；第(1)(2)问仍延续频率估计概率的基本模式。2025年、2024年T18均为概率题，未涉及统计分析内容。近三年考情显示，统计分析（平均数、方差、回归、独立性检验）的直接考查较少，2026年首次在第(3)问中明确考查平均数与方差，值得关注。复习时需在掌握概率模型的基础上，重视平均数、方差的计算与比较，了解回归分析与独立性检验的基本方法。 复习目标 1.掌握简单随机抽样、分层抽样的方法，理解用样本估计总体的基本思想。 2.会列频率分布表、画频率分布直方图，能由频率估计概率。 3.掌握平均数、方差、标准差的计算公式，能对分组数据取不同代表值（左端、中间、右端）计算统计量并比较大小。 4.理解离散型随机变量的概念，掌握分布列的求法及数学期望的计算公式。 5.了解成对数据的统计分析：会画散点图，理解相关系数的含义，掌握一元线性回归方程的基本求法；了解独立性检验（列联表与统计量）的基本思想。 6.提升数据分析与数学建模素养，做到“读懂数据、选对模型、算准结果”。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 随机抽样 1．总体、个体、样本与样本容量 考察问题涉及的 是总体，总体中每个对象是个体，抽取的 组成总体的一个样本，一个样本中包含的 是样本容量． 2．简单随机抽样 和 是比较常用的两种方法． 3．分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为 ，每一个子总体称为 ． 自主检测1总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（ ） 5044664421 6606580562 6165543502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 A．42 B．16 C．56 D．06 自主检测2某高中为了解全校学生课外阅读时长情况，采用分层抽样从高一、高二、高三共3000人中抽取人作为样本，已知高一、高二、高三的人数之比为，若样本中高三的人数比高一的人数多20，则（    ） A．120 B．150 C．200 D．250 知识点2 频率分布直方图 画频率分布直方图的步骤 （1）求极差：极差为一组数据中 与 的差． （2）决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成 组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． （3）将数据分组． （4）列频率分布表：一般分四列：分组、 、频数、 ．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1. （5）画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示 .小长方形的面积＝组距× ＝ ．各小长方形的面积和等于1. 自主检测1为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出如下频率分布直方图，若的频率为，的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 自主检测2从某小区抽取100户居民用户进行月用电量（单位：）调查，将得到的数据按分为6组，画出的频率分布直方图如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在内的户数为（    ） A．35 B．40 C．42 D．45 知识点3 总体百分位数的估计 中位数与百分位数：按照 排列后的数据：的中位数是 ；的中位数是 ；一组数的分位数指的是，将这组数按照 的顺序排列后，处于位置的数. 自主检测1样本数据4，5，9，7，2的第60百分位数是（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 自主检测2某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：，，，．估计本班学生的消防安全知识成绩的第90百分位数是（    ） A．93 B．80 C．90 D．95 知识点4 总体集中趋势的估计 1．平均数 ①定义：如果给定的一组数是，则这组数的平均数为 . 这一公式在数学中常简记为. ②性质：一般地，利用平均数的计算公式可知，如果的平均数为，且为常数，则的平均数为 . 2．总体均值和样本均值 （1）总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为，，…，，则称 = 为总体均值，又称总体平均数． （2）总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k个个，不妨记为，，…，，其中；出现的频数，则总体均值还可以写成加权平均数的形式了 ． （3）如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为，则称 = ． 自主检测1期中考试后，老师算出了全班40个人数学成绩的平均分为．如果当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为（   ） A． B． C． D． 自主检测2小王自进入高三以来，四次数学考试的分数逐次递增，第一次的分数为108，第四次的分数为130，且中位数为117，则小王这四次数学考试的平均分为（    ） A．116 B．118 C．119 D．120 知识点5 总体离散程度的估计 1．极差､方差与标准差 ①极差：一组数的极差指的是这组数的 减去 所得的差，描述了这组数的离散程度 ②方差 定义：如果的平均数为，则方差可用求和符号表示为 性质：如果为常数，则，的方差为 ③标准差 定义：方差的 称为标准差.一般用表示，即样本数据的标准差为. 性质：如果为常数，则，的标准差为. 2．样本方差与样本标准差 若数据、、…、的平均数为，则样本方差 ；（两种表示） 样本标准差 ．（两种表示） 3．分层随机抽样的方差 设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为，两层的平均数分别为，方差分别为，，则这个样本的方差为 ． 自主检测1已知一组数据，，，，的平均数为3，方差为2，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 自主检测2已知一组样本数据，，…，的方差为2，令，，2，…，n，则样本数据，，…，的方差为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 知识点6 成对数据的统计相关性及线性回归直线方程 1．如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量 ；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量 ； 2．相关关系的分类 （1）正相关：从散点图上看，点分布在从 到 的区域内． （2）负相关：从散点图上看，点分布在从 到 的区域内． 3．， 用它来衡量两个变量间的线性相关关系的强弱． （1）当时，表明两个变量 ． （2）当时，表明两个变量 ． （3）的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性 ； （4）的绝对值越接近于0，表明两个变量的线性相关性 ．通常当时，认为两个变量有很强的线性相关关系． 4．一元线性回归模型参数的最小二乘估计 （1）经验回归方程： 对于一组具有线性相关关系的成对样本数据，由最小二乘法得 ，． 将称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做 ，求得的，叫做b，a的 ． （2）观测值：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值． （3）预测值：通过经验回归方程得到的 称为预测值． （4）残差： 减去 称为残差． （5）的计算公式为．在表达式中，与经验回归方程无关，残差平方和与经验回归方程有关．因此越大，表示残差平方和 ，即模型的拟合效果 ；越小，表示残差平方和 ，即模型的拟合效果 ，越接近1，拟合效果越好． 自主检测1调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（     ） A．与负相关 B．当时，一定为1359 C．当时，一定小于1359 D．两变量无线性关系 自主检测2．已知线性相关的两个变量，的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（   ） 3 4 6 7 20 40 60 A．2 B． C．3 D． 知识点7 列联表与独立性检验 1．2×2列联表 （1）定义：如果随机事件A与B的样本数据整理成如下的表格形式． A 总计 B a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 这个表格中，核心数据是中间4个格子，所以这样的表格通常称为 ． （2） 计算公式： ，其中 . 2．独立性检验 （1）计算公式:，其中. （2）临界值的定义：对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得成立，我们称为的临界值，概率值越小，临界值越大. （3）独立性检验：，通常称为 或原假设. 基于小概率值的检验规则是： 当时，我们就推断不成立，即认为和 ，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立. 这种利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验，读作“ ”，简称独立性检验. （4）独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001 2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828 自主检测1假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为和，其列联表如下： X Y 合计 合计 对同一样本，以下数据能说明X与Y有关联关系可能性最大的一组为（    ） A． B． C． D． 自主检测2为检验两个分类变量是否有关，提出零假设：两个分类变量相互独立．在成立的条件下，统计量满足．该等式表示（     ） A．若两变量相互独立，则由随机样本算得的不小于的概率为 B．若两变量相互独立，则由随机样本算得的小于的概率为 C．若某次检验得不小于，则两变量相互独立的概率为 D．若某次检验得不小于，则两变量不相互独立的概率为 题●型●破●译 题型1 简单随机抽样 例1-1下列抽样方法是简单随机抽样的是（    ） A．某工厂从老年、中年、青年职工中按的比例选取职工代表 B．从5个球中有放回地随机抽取3个 C．福利彩票用摇奖机摇奖 D．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 例1-2要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取50袋进行检验．先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读取，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号是（   ） 第7行：84   42   17   53   31   57   24   55   06   88   77   04   74   47   67   21   76   33   50   25   83   92   12   06   78 第8行：63   01   63   78   59   16   95   55   67   19   98   10   50   71   75   12   86   73   58   07   44   39   52   38   79 第9行：33   21   12   34   29   78   64   56   07   82   52   42   07   44   38   15   51   00   13   42   99   66   02   79   54 A．55，67，19，98，10 B．556，719，810，507，175 C．785，567，199，507，175 D．556，719，050，717，512 方法技巧 1. 简单随机抽样的定义：从总体中逐个不放回地抽取个体，且每个个体被抽到的机会相等，这样的抽样方法称为简单随机抽样。 1. 两种常用方法： 抽签法：将总体中的每个个体编号，把号码写在号签上，搅拌均匀后逐个抽取。适用于总体容量较小的情况。 随机数法：利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。适用于总体容量较大的情况。 1. 抽签法的步骤：编号 → 制签 → 搅拌均匀 → 逐个不放回抽取 → 得到样本。 1. 随机数法的步骤：编号 → 确定随机数读取的起点和方向 → 按规则读取随机数 → 剔除不符合范围的号码 → 取足样本容量为止。 1. 简单随机抽样的特点： 总体个数有限； 逐个抽取； 不放回抽样； 每个个体被抽到的机会相等（等概率抽样）。 1. 注意：使用随机数表时，需注意号码位数与总体编号位数一致；若总体编号超出随机数表范围，则跳过或按规则取模。 【变式训练1-1】某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ） 32 21 18 34 29  78 64 54 07 32  52 42 06 44 38  12 23 43 56 77  35 78 90 56 42 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 04 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 A．623 B．328 C．072 D．457 【变式训练1-2】从一个含有个个体的总体中抽取一容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，三者关系可能是（    ） A． B． C． D． 题型2 分层随机抽样 例2-1（26-27高三上·北京·开学考试）某公司为了解，两个地区用户对其产品的满意程度，从地区随机抽取名用户，从地区随机抽取名用户，请用户对公司产品评分.该公司将收集的评分数据按照，，，分组，统计如下： 地区 地区 40 30 120 20 160 40 80 10 合计 400 100 用频率估计概率. (1)对地区所抽取的名用户按评分区间，，，进行分层随机抽样，从中抽取名用户参加座谈活动.求参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于分的人数； (2)从，两个地区各随机抽取名用户，设为这两人中评分不低于分的人数，求的分布列和数学期望； (3)记地区所抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区所抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，两个地区所抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明） 方法技巧 1. 分层随机抽样的定义：将总体按其属性特征分成若干互不交叉的层，然后在每一层中按一定的比例独立地进行简单随机抽样，最后将各层抽取的个体合在一起作为总体的样本。 1. 分层抽样的适用条件：总体由差异明显的几部分组成（如不同年级、不同性别、不同地区等），且层内差异小、层间差异大。 1. 分层抽样的比例分配： 其中 为总体容量， 为样本容量， 为第 层的个体数， 为第 层应抽取的个体数。即各层抽取的比例与各层的个体数占总体的比例一致。 1. 分层抽样的步骤：分层 → 确定各层抽取比例 → 计算各层应抽个体数 → 各层独立进行简单随机抽样 → 合并样本。 1. 均值和方差的计算： 若各层均值分别为 ，样本量为 ，则总样本均值为 分层抽样中，各层方差分别为 ，则总样本方差为 注意：此公式仅在分层抽样且各层均值相等时严格成立；一般情况下需加上层均值与总均值之差的平方项（即组间方差）。 1. 与简单随机抽样的比较：分层抽样能保证样本结构与总体结构一致，减少抽样误差，适用于总体内部差异较大的情形。 【变式训练2-1】某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法，抽出一个容量为的样本，样本中型号的产品有16件，那么此样本的容量等于（   ） A．100 B．200 C．90 D．80 【变式训练2-2】甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为的样本，应在这三校分别抽取学生（    ） A．人，人，人 B．人，人，人 C．人，人，人 D．人，人，人 【变式训练2-3】某校共有学生2000名，各年级男、女人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（   ） 一年级 二年级 三年级 女生 373 男生 377 370 A．12 B．16 C．18 D．24 题型3 频率分布直方图 例3-1某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：，将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则下列选项错误的是（　　） A．图中a的值为0.015 B．样本的第25百分位数约为217 C．样本平均数约为198.4 D．在被调查的用户中，用电量落在内的户数为148 例3-2．（2026·北京朝阳·一模）某研究团队发现人工智能助手的问题解决“满意度评分”（满分100分）与其使用场景密切相关.该团队将用户分为学习场景用户和工作场景用户两类，为了调研用户对人工智能助手的满意度评分情况，现从这两类用户中各随机抽取100人，记录他们的满意度评分，将数据分成6组：，，，，，，并分别整理得到如下两个频率分布直方图： 现规定满意度评分在80分及以上的满意度评级为，在区间的满意度评级为，在60分以下的满意度评级为.用频率估计概率，假设每个用户的评分相互独立. (1)求的值； (2)从使用人工智能助手的所有学习场景用户中随机抽取2人，从使用人工智能助手的所有工作场景用户中随机抽取1人，设为抽出的3人中满意度评级为A的人数，估计的分布列和数学期望； (3)该研究团队又对另外两款人工智能助手，进行了同样的调研，估计出其学习场景用户的满意度评级为A的概率分别为0.3，0.35.现分别从使用，，这三款人工智能助手的学习场景用户中各随机抽取1人，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为或.设，，判断，的大小.（结论不要求证明） 方法技巧 1. 频率分布直方图的绘制步骤：求极差（最大值与最小值之差）→ 决定组距与组数 → 将数据分组 → 列频率分布表 → 绘制频率分布直方图。 1. 频率分布直方图的关键特征： 横轴表示数据分组，纵轴表示频率/组距（不是频率本身）； 每个小矩形的面积等于该组的频率； 所有小矩形的面积之和等于 ； 频数 频率 样本容量。 1. 由频率分布直方图求频率： 即该组小矩形的面积。 1. 由频率分布直方图求频数： 1. 由频率分布直方图估计众数、中位数、平均数： 众数：最高小矩形底边中点的横坐标； 中位数：使左右两侧小矩形面积各为 的横坐标，需通过面积累积计算； 平均数：各小矩形底边中点横坐标与其面积乘积之和，即 其中 为第 组的中点值， 为第 组的频率。 1. 注意：频率分布直方图中，小矩形的高是频率除以组距，而非频率。画图或读图时务必注意纵轴的含义，避免与频数分布直方图混淆。 【变式训练3-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分．该公司将收集到的数据按照，，，分组，绘制成评分频率分布直方图如下： (1)从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率； (2)从B地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小．（结论不要求证明） 【变式训练3-2】（25-26高三上·北京顺义·开学考试）电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有6名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如图： 专家 A B C D E F 评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7 8.8    (1)求的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率； (2)从6名专家中随机选取3人，表示评分不小于9分的人数；试求的分布列和数学期望； (3)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分.请直接写出与的大小关系. 【变式训练3-3】（2025·北京朝阳·二模）某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按，，…，分组整理得到如下频率分布直方图： (1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率； (2)从B地区评分为的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为，A，B两地区评分的平均值估计为，比较与的大小关系．（直接写出结论） 题型4 总体百分位数的估计 例4-1样本数据3，3，5，7，8，9，则该组数据的第40百分位数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 例4-2已知一组数据：中的最小数据为9，且第75百分位数是14，则的不同取值可能有（   ） A．8个 B．6个 C．4个 D．1个 方法技巧 1. 百分位数的定义：一组数据的第 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 的数据小于或等于这个值，且至少有 的数据大于或等于这个值。 1. 由原始数据求第 百分位数： 将数据按从小到大排序； 计算位置 （ 为数据个数）； 若 不是整数，取大于 的最小整数对应的数据值； 若 是整数，取第 项与第 项的平均值。 1. 由频率分布直方图估计百分位数： 从左到右累积各小矩形面积，找到累积面积达到 的组； 在该组内利用面积比例线性插值，求出对应的横坐标值； 设该组左端点为 ，组距为 ，该组小矩形高为 ，进入该组前累积面积为 ，则第 百分位数约为 1. 常用百分位数： 第 百分位数称为第一四分位数 ； 第 百分位数称为中位数 ； 第 百分位数称为第三四分位数 。 1. 注意：百分位数不一定等于数据中的某个值（由频率分布直方图估计时得到的是近似值）；百分位数的计算与数据是否分组有关。 【变式训练4-1】样本数据6，8，4，5，12的第一四分位数为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【变式训练4-2】数据的第分位数为（    ） A．93 B．93. 5 C．94 D．94. 5 【变式训练4-3】现有一组数据2，4，8，12，16，20，则该组数据的第65百分位数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．16 题型5 总体集中趋势的估计 例5-1已知样本数据a，b，c的平均数为3，方差为2，则，，的平均数为（  ） A．9 B．11 C．13 D．15 例5-2（25-26高三下·北京·阶段检测）某校举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如图： 专家 A B C D E 评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7 (1)求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率； (2)从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；求X的分布列及与的值； (3)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分.请直接写出与的大小关系. 方法技巧 1. 集中趋势的三个统计量：平均数、中位数、众数。 1. 平均数的计算： 原始数据：； 分组数据（频率分布表/直方图）：（ 为组中值， 为频率）； 加权平均数：。 1. 中位数的确定： 原始数据排序后，位于中间位置的数（ 为奇数时取第 项，偶数时取中间两项的平均值）； 频率分布直方图中，通过面积累积求使左右面积各为 的点。 1. 众数的确定： 原始数据中出现次数最多的数（可能不唯一）； 频率分布直方图中，最高小矩形底边中点的横坐标。 1. 三个统计量的特点与选择： 平均数：利用了所有数据信息，但易受极端值影响； 中位数：不受极端值影响，但只利用了中间位置的信息； 众数：反映出现次数最多的数据，但可能不唯一且不利用全部信息。 1. 平均数的重要性质： 若将每个数据加上常数 ，则平均数也加上 ； 若将每个数据乘以常数 ，则平均数也乘以 ； 总体平均数等于各层平均数按样本量加权平均（分层抽样情形）。 【变式训练5-1】若样本数据的平均数为，方差为，则样本数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2025年12月至2026年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）： 12月 1月 2月 3月 4月 5月 轿车 28.4 21.3 15.4 26.0 16.7 21.0 MPV 0.8 0.2 0.2 0.3 0.4 0.4 SUV 18.1 13.7 11.7 18.1 11.3 14.5 (1)从2025年12月至2026年5月中任选1个月份，求该月MPV零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率； (2)从2026年1月至2026年5月中任选3个月份，将其中SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望； (3)记2025年12月至2026年5月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与对应的MPV月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 【变式训练5-3】（25-26高三上·北京·阶段检测）每年8月8日为我国的全民健身日，倡导大家健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单位：分钟），得到下表： 时间人数类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 8 11 11 10 8 高中 m 13 12 7 5 4 (1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率． (2)从该校参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望； (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为，初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为、．写出一个m的值，使得．（结论不要证明） 题型6 总体离散程度的估计 例6-1某5个数据的样本平均数为8，方差为6．现增加一个数据8，则这6个数的方差为（     ）． A．2 B．5 C．6 D．30 例6-2（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）某家电专卖店销售、、三种型号的空调，销售情况如下表所示： 第一周 第二周 第三周 第四周 型数量（台） 型数量（台） 型数量（台） (1)从前三周随机选一周，求这一周型空调销售量既比型空调多又比型空调多的概率； (2)根据以往的销售和维修记录，一台型空调、型空调在销售后五年内需要维修的概率分别为、.为跟踪调查空调的使用情况，从该家电专卖店售出的型空调中随机抽取一台，型空调中随机抽取两台，试估计抽取的三台空调在销售后五年内恰有两台需要维修的概率； (3)直接写出一组、、的值，使得表中三种类型的空调在前四周销售台数的方差相等. 方法技巧 1. 离散程度的三个统计量：方差、标准差、极差。 1. 方差与标准差的计算： 原始数据： 分组数据（频率分布直方图）： 其中 为组中值， 为频率。 1. 方差的性质： 若将每个数据加上常数 ，方差不变； 若将每个数据乘以常数 ，方差变为 ，标准差变为 ； 方差越大，数据越分散；方差越小，数据越集中。 1. 极差：最大值与最小值之差，计算简单但只利用了首尾两个数据，不够全面。 1. 分层抽样的方差：若各层方差为 ，各层样本量为 ，总均值为 ，各层均值为 ，则总方差为 其中 ， 为组间方差项。 1. 选择建议：方差和标准差能全面反映数据的离散程度，是首选；极差适用于快速粗略判断；实际应用中常将平均数与标准差结合使用。 【变式训练6-1】已知一组数据：，，，…，的平均数为m，方差为，在这组数据中的任意位置插入数字m，则插入后这11个数的方差为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】（26-27高三上·北京·开学考试）为评估国内AI大模型的使用效果，某评测机构从国内众多AI大模型中随机抽取9个AI大模型，并从基础能力、中文特性和专业能力三个维度对这9个AI大模型进行评测，评测结果如下表所示． AI大模型 大模型a 大模型b 大模型c 大模型d 大模型e 大模型f 大模型g 大模型h 大模型i 基础能力得分 65 67 70 58 66 53 49 64 中文特性得分 74 76 80 68 75 63 59 77 专业能力得分 56 60 73 63 70 59 54 66 66 综合得分 65.0 67.7 74.3 63.0 70.3 58.3 54.0 69.0 70.0 综合得分是基础能力得分、中文特性得分和专业能力得分的算术平均数（精确到0.1）．其中和都是正整数． (1)若，从这9个AI大模型中随机取1个大模型，求这个大模型的专业能力得分大于基础能力得分的概率； (2)从大模型，，，中随机取2个大模型，从大模型，，，中随机取2个大模型，记这4个大模型中“综合得分超过65分”的大模型的个数为，求的分布列； (3)记这9个大模型的基础能力得分和中文特性得分的方差分别为，，若，写出的值．（结论不要求证明） 【变式训练6-3】（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）2026年暑假国产动画电影再次掀起热潮，下图是A，B两部动画电影第一天至第十三天上映期间的综合票房（亿元）及综合票房占比.其中条形图表示综合票房占比，折线图为综合票房（亿元）. A动画影片综合票房及占比 B动画影片综合票房及占比 (1)从A动画电影上映后的十三天中随机选取一天，求该天电影综合票房超过2亿元的概率； (2)从B动画片上映后的十三天中随机选取2天，设为电影综合票房占比超过70%的天数，求的分布列及数学期望； (3)设A，B两部动画电影第一天至第十三天上映期间综合票房的平均数分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（只需写出结论）. 题型7 成对数据的统计相关性 例7-1观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为，则判断一定正确的是（     ） A． B． C． D． 例7-2近年来，某古镇民俗节庆活动吸引了大量游客，为研究气温对游客量的影响，某调研团队记录了民俗节期间30天的数据．设表示第天的平均气温（单位：），表示第天参与民俗节活动的游客人数（单位：百人），其中，，，…，．根据统计，计算得到如下数据：，，． 附：相关系数． (1)根据所给数据，计算相关系数，并判断是否可用线性回归模型拟合与的关系；（，则认为两个变量具有较强的线性相关性） (2)该古镇景区向参加活动的游客发放纪念品．纪念品由某厂甲，乙，丙三台机器生产，合格率分别为，，，且三台机器产量相同，产品混放．现任取一件纪念品，求其合格的概率． 方法技巧 1. 相关关系的定义：两个变量之间存在某种不确定的依赖关系，称为相关关系。与函数关系（确定性关系）不同，相关关系中一个变量的取值不能唯一确定另一个变量的取值。 1. 散点图：将成对数据 在平面直角坐标系中描点，通过观察散点的分布趋势判断相关性的方向和强弱： 散点从左下到右上分布 正相关； 散点从左上到右下分布 负相关； 散点无规律 不相关或相关性很弱。 1. 样本相关系数 ： 其范围为 ： ：正相关；：负相关； 越接近 ，线性相关程度越强； 越接近 ，线性相关程度越弱； 时，两变量完全线性相关（所有点在同一直线上）。 1. 相关系数的计算技巧：利用公式 可减少计算量。 1. 相关性与因果性的区别：相关性只说明两个变量之间存在统计关联，不代表一个变量是另一个变量的原因。判断因果关系需结合专业知识和实验设计。 【变式训练7-1】下图是某城市在2025年元月至十月的最低气温（单位：℃）和最高气温（单位：℃）的散点图．定义各月的温差为该月的最高气温减去最低气温．若最低气温和最高气温的线性相关系数为，最低气温和温差的线性相关系数为，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【变式训练7-2】近年来，“双11”网购的观念逐渐深入人心，某人统计了近5年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 交易额y/百亿元 9 12 17 21 26 请根据表中提供的数据，画出散点图，推断两个变量是否线性相关，并用样本相关系数说明与的线性相关程度．（结果保留三位小数） 附：，． 【变式训练7-3】粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素．小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展．将2020～2024年记为年份代码1～5，我国小麦产量如下表所示． 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码i，表示年份代码为i的产量，经计算得，，，，． 附：相关系数，． (1)求样本（）的相关系数r；（精确到0.01） (2)现从这5年中随机抽取3年，记这3年中小麦产量大于13.6千万吨的年数为X，求X的分布列与数学期望． 题型8 一元线性回归模型及其应用 例8-1下表提供了甲产品的产量x（吨）与利润y（万元）的几组对照数据： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； (2)计算决定系数的值，并判断（1）中线性回归模型的拟合效果是否良好；（注：若，则认为回归模型拟合效果良好） (3)请利用（1）中的线性回归方程，试估计当甲产品的产量为10吨时，利润是多少万元． 参考公式：，， 例8-2某工厂为进行环境保护与改善，对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了监测与记录，数据如下： 某颗粒物密度 101.02 87.02 57.46 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 51.84 53.2 9.16 6.6 4.4 3.31 3.35 3.86 (1)为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ (2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在，，哪个区间内？ (3)2023年之前9年的年份的平均数为2018，（颗粒物密度）关于（年份）的回归方程拟采用或．若知2023年实际颗粒物浓度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差的绝对值更小（精确到0.01）？ 方法技巧 1. 一元线性回归模型： 其中 为回归系数（斜率）， 为截距。 1. 最小二乘法估计公式： 1. 回归直线必过样本中心点：回归直线 一定经过点 。这一性质常用于快速检验计算结果。 1. 残差分析： 残差 ； 残差平方和越小，模型拟合效果越好； 残差图可用于判断模型是否合适（残差应随机分布在 附近）。 1. 决定系数 ： 越接近 ，模型的解释能力越强，拟合效果越好； 越接近 ，拟合效果越差。 1. 预测与应用：给定 ，代入回归方程得预测值 。注意预测值只是估计，不能超出样本数据的适用范围太远（外推需谨慎）。 1. 非线性回归的线性化： 对于 ，两边取对数得 ，令 ，则化为线性回归； 对于 ，两边取对数得 ，令 ，，转化为线性回归。 【变式训练8-1】某创业者计划开设一家咖啡店，他从本市已开业的15家规模相似的咖啡店中收集了以下数据：x表示周边一公里内日均人流量(千人)；y表示日均销售额(百元). x 4.2 5.2 5.2 6.2 6.2 6.2 5.2 7.2 9.2 8.2 8.2 8.2 9.2 9.2 10.2 y 34 38 40 40 46 52 42 52 54 47 58 69 64 74 70 经计算得 (1)求y关于x的线性回归方程； (2)预测x=8时，y的估计值y₀; (3)计算变量x和y的样本相关系数r. 附：最小二乘估计公式分别为： 样本相关系数 【变式训练8-2】某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出（单位：万元）和销售量（单位：万台）的数据如下： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 广告费支出 1 2 4 6 11 13 19 销售量 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 (1)若用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程； (2)若用模型拟合与的关系，可得回归方程，经计算线性回归模型和该模型的分别约为0.75和0.88，请根据的值，判断选择哪个回归模型更好． 参考数据：，.附：，． 【变式训练8-3】为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2015年至2024年的年份代码和年研发投入(单位：亿元)的散点图，其中年份代码1－10分别对应年份2015－2024．     根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中，． (1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并说明理由． (2)①根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程； ②设该科技公司的年利润(单位：亿元)和年研发投入满足（且），该科技公司哪一年的年利润最大？ 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 题型9 列联表与独立性检验 例9-1某研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计，根据统计数据制作列联表，提出原假设：“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系，计算得，由此可知（     ）．（显著性水平取0.05，） A．接受原假设，没有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 B．拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 C．接受原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 D．拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系 例9-2随着生活质量的提高，户外运动得到越来越多人的青睐．某市为了了解市民对户外运动的喜欢情况是否存在性别差异，随机抽取了该市名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计 男性 女性 合计 (1)试根据的独立性检验，能否认为该市市民喜欢户外运动与性别有关联？ (2)用频率估计概率，现从该市随机抽取名市民，记其中喜欢户外运动的人数为随机变量，求的数学期望和方差； (3)户外运动达人小方每周末都会在爬山和骑行中选一项进行，若他上一个周末选择爬山则这个周末仍选择爬山的概率为，若他上一个周末选择骑行则这个周末选择爬山的概率为．已知小方某月份的第三个周末选择了爬山的概率为，求他该月份第二个周末选择爬山的概率． 附：，． 临界值表： 方法技巧 1. 列联表的构造：将两个分类变量的数据整理成 列联表： 变量 变量 合计 变量 变量 合计 1. 独立性检验的统计量： 其中 。 1. 假设检验的步骤： 提出零假设 ：两个分类变量相互独立（无关联）； 计算 的值：代入公式计算； 查临界值表：根据给定的显著性水平 （常用 、、），查得对应的临界值 ； 作出判断：若 ，则拒绝 ，认为两个变量有关联（在犯错误概率不超过 的前提下）；若 ，则不拒绝 ，没有充分证据认为两个变量有关联。 1. 常用临界值： 时，； 时，； 时，。 1. 的计算技巧： 先计算 （交叉乘积之差），这是判断关联方向的关键； 若 ，说明 与 同时出现的频率高于独立假设下的期望；反之亦然； 分母为四个边缘和的乘积，注意不要漏乘。 1. 注意： 独立性检验的结论是概率性的，不能绝对化（“有 的把握认为有关联”而非“一定有关联”）； 样本容量 越大，检验结果越可靠； 值越大，拒绝 的理由越充分。 【变式训练9-1】一款短视频手机应用最近在某校学生中流行起来，某校团委对“学生性别和喜欢该手机应用是否有关”做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢该手机应用的人数占男生人数的，女生喜欢该手机应用的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢该手机应用和性别有关，则被调查的男生人数至少为（   ） 0.05 0.01 3.841 6.635 A．12 B．6 C．10 D．18 【变式训练9-2】某市为了解本市旅游服务情况，在游客中随机抽取500名游客进行调研，记下评分及格的人数．为了改善旅游消费体验、提升旅游市场服务质量，该市采取了专项整治行动．为了解专项整治行动的效果，在专项整治行动后采取同样的调研方法，记下评分不及格的人数，2次调研得到的列联表如下： 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 300 500 专项整治行动后 100 500 合计 1000 (1)从这1000名游客中随机抽取1人，求此游客的评分及格的概率； (2)补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，试问：评分是否及格与专项整治行动有关吗？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【变式训练9-3】某校为了解不同性别的学生对AI的关注情况，随机抽取了100名学生进行调查，得到如下的列联表： 单位：人 性别 关注AI情况 合计 关注 不关注 女生 10 —— 40 男生 —— 20 60 合计 50 —— —— (1)完成上述列联表．依据小概率值的独立性检验，能否认为学生对AI的关注与性别有关联？ (2)将样本中的60名男生按是否关注AI进行分层，按比例分配，用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行进一步调查，记抽到的3人中关注AI的人数为，求的分布列和均值． 附：，． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·北京·高考真题）为了解某校高三年级学生的数学学习情况，随机抽查了200名高三年级学生某次考试的数学成绩，整理成下表： 成绩 人数 40 60 60 32 8 假设学生的数学成绩相互独立．用频率估计概率． (1)估计该校高三年级学生这次考试的数学成绩低于120的概率； (2)从该校高三年级学生中随机抽取4人，估计在这次考试中，2人的数学成绩不低于120且2人的数学成绩低于94的概率； (3)为分析该校高三年级学生的数学学习情况，可采用三种方法：将样本中每名学生数学成绩所在区间的左端点值、中点值和右端点值视为该生的数学成绩．分别将这三种方法得到的三组数学成绩的方差记为、和，判断、和的大小关系．（结论不要求证明）． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．若将容量为100的样本数据分为如下8组，则第3组的频率为（    ）． 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 10 13 14 15 13 12 9 A．0.14 B．0.03 C．0.07 D．0.21 2．对于数据2，6，8，3，3，4，6，8，下列说法中正确的个数为（    ）． （1）平均数为5； （2）没有众数； （3）没有中位数． A．0 B．1 C．2 D．3 3．在某频率直方图中，从左到右共有11个小矩形，若居中的那个小矩形的面积等于其他10个小矩形的面积和的，且样本容量为160，则居中的那组数据的频数为（    ）． A．32 B．0.2 C．40 D．0.25 4．已知变量和满足关系，变量与正相关，下列结论中正确的是 A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关 C．与正相关，与负相关 D．与负相关，与正相关 5．在一次数学建模活动中，某同学采集到如下一组数据： x 0 1 2 3 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映y与x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 6．对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如下图所示，模型误差（    ） A．满足一元线性回归模型的所有假设 B．不满足一元线性回归模型的的假设 C．不满足一元线性回归模型的假设 D．不满足一元线性回归模型的和的假设 7．根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（    ）. A．变量与不独立 B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C．变量与独立 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 二、解答题 8．1798年英国科学家卡文迪许（Henry Cavendish，1731—1810）对地球密度进行了测量，下面是地球的平均密度相对于水密度的测量值的记录结果： 5.50    5.61    4.88    5.07    5.26    5.55    5.36    5.29    5.79    5.10 5.27    5.39    5.42    5.47    5.58    5.65    5.57    5.53    5.62    5.29 5.44    5.34    5.63    5.34    5.46    5.30    5.75    5.68    5.85 请用适当的统计图表示上述测量数据，并估计地球的平均密度（单位：）． 9．为了解两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：）： 轮胎； 轮胎． (1)分别计算两种轮胎行驶的最远里程的平均数和中位数； (2)分别计算两种轮胎行驶的最远里程的极差和标准差； (3)根据以上数据，你认为哪种轮胎性能更加稳定？ 10．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下： 零件数X/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间Y/min 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 回归直线，，. (1)画出散点图； (2)求Y关于X的线性回归方程； (3)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？ 11．下表给出了2016年太原市和呼和浩特市的月降水量（单位：mm）： 月份 城市 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 太原市 2.5 4.2 3.6 40.7 23.6 74.0 209.4 71.7 21.3 62.0 4.9 10.5 呼和浩特市 0.3 3.0 0.7 3.2 34.6 108.8 140.2 115.0 74.7 48.6 0.5 1.7 (1)请用适当的统计图表示上面的数据； (2)分别计算太原市和呼和浩特市2016年月降水量的平均数和标准差． 12．某出版社单册图书的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下： x 1 2 3 5 7 10 11 20 25 30 y 9.02 5.27 4.06 3.03 2.59 2.28 2.21 1.89 1.80 1.75 (1)根据以上数据画出散点图（可借助统计软件），并根据散点图判断：与中哪一个适宜作为回归方程模型? (2)根据（1）的判断结果，试建立成本费y关于印刷册数x的回归方程； (3)利用回归方程估计印刷26000册图书的单册成本（结果保留两位小数）． 13．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 男 女 需要志愿者 40 30 不需要志愿者 160 270 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； (2)能否有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (3)根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿者帮助的老年人的比例？说明理由． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．某校50名学生的身高与体重的散点图如下：根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（   ） A．身高越高，体重越重 B．身高越高，体重越轻 C．身高与体重成正相关 D．身高与体重成负相关 2．已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（     ） A．7 B．9 C．11 D．12 3．样本数据、、、、的方差为（    ） A． B． C． D． 4．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生成绩是（   ） A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量 5．根据如下样本数据： 得到的回归方程为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 6．为了解我国14岁男生的平均体重，从北方抽取了200名男生，平均体重54kg；从中部抽取100名男生，平均体重55kg；从南方抽取了200名男生，平均体重56kg，根据此样本，估计我国14岁男孩的平均体重为（    ） A．54kg B．56kg C．55kg D．53kg 7．下列说法中正确的是（    ） A．一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% D．若随机变量服从正态分布，且，则 8．下列命题中不正确的是（   ） A．线性回归方程对应的直线一定经过样本点的中心 B．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 C．线性回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系 D．用最小二乘法求回归方程是为了使最小 9．智能驾驶辅助系统是指利用车载传感器、控制器等装置、实现环境感知、规划决策与运动控制，辅助驾驶员完成部分驾驶操作，提升行车安全性与舒适性的系统，驾驶员仍需全程监管车辆并随时接管驾驶：驾龄是指初次领取机动车驾驶证至今的时间长度、为研究智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄的关系，随机调查了200名私家车车主，得到如下列联表： 经常使用智能驾驶辅助系统 不经常使用智能驾驶辅助系统 合计 驾龄≤5年 58 42 100 驾龄＞5年 36 64 100 合计 94 106 200 (1)从这200名车主中随机抽取1人，已知该车主驾龄不超过5年，求该车主经常使用智能驾驶辅助系统的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析智能驾驶辅助系统使用情况是否与驾龄有关. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 10．某科研团队研发新一代硫化物固态锂电池，测试了5块同批次电池的循环次数x（次）与剩余容量y（单位：），得到如下数据： x（次） 100 200 300 400 500 y（Ah） 9.8 9.5 9.2 8.9 8.6 (1)求y关于x的线性回归方程，预测当循环次数为1000次时电池的剩余容量；并计算样本相关系数r，据此说明线性回归模型拟合x与y关系的合理性. (2)该团队另有10块同批次电池，其中改性优化电池6块，普通电池4块；改性优化电池中有4块循环寿命超过1000次，普通电池循环寿命均未超过1000次，规定循环寿命超过1000次为达标.现从这10块电池中随机抽取3块进行破坏性安全测试，记抽取的3块中达标的电池数为，求的分布列和数学期望. 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，， 相关系数 重难·创新演练 11．某大学学院共有学生千余人，该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，已知A学院男生与女生人数之比为，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在月份的累计跑步里程进行统计，得到下表. 跑步里程 男生 女生 用样本频率估计总体概率. (1)求的值，并估计从学院所有学生中抽取一人，该学生月份累计跑步里程在中的概率； (2)从学院男生样本中随机抽取人，从学院女生样本中随机抽取人，将这人中在月份的累计跑步里程不低于的人数记为，求的分布列和数学期望； (3)该大学学院男生与女生人数之比为，学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进行分层抽样，已知学院和学院的样本数据整理如下表. 月份累计跑步里程平均值（单位：） 学院性别 A B 男生 50 59 女生 40 45 设学院样本中学生月份累计跑步里程平均值为，学院样本中学生月份累计跑步里程平均值为，是否存在，使得？如果存在，求的最大值；如果不存在，说明理由. 12．空气质量指数PM2.5（单位：）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重： PM2.5日均浓度 0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 250 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 甲､乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示： (1)根据你所学的统计知识估计甲､乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？并说明理由. (2)在15天内任取1天，估计甲､乙两城市空气质量类别均为优或良的概率； 13．2021年起，江苏省实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．等级排名占比，赋分分数区间是等级排名占比35%，赋分分数区间是；等级排名占比35%，赋分分数区间是70；等级排名占比13%，赋分分数区间是；等级排名占比2%，赋分分数区间是30-40；现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：    (1)求图中的值； (2)求抽取的这100名学生的原始成绩的众数、平均数和中位数； (3)用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上（含C等级）？（结果保留整数） 14．为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展学生数学建模素养，某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动.对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分.从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取10篇，这10篇论文的评分情况如下表所示. 序号 评委甲评分 评委乙评分 初评得分 1 81 83 82 2 80 86 83 3 84 86 85 4 78 84 81 5 70 85 77.5 6 67 82 74.5 7 61 76 68.5 8 68 74 71 9 66 77 71.5 10 64 82 73 (1)从这10篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过5的概率； (2)从这10篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过5的篇数记为，求的分布列及数学期望； (3)对于序号为的论文，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，分别记甲、乙两位评委对这10篇论文评分的平均数为，，标准差为，，以作为序号为的论文的标准化得分.对序号分别为1，2和3的这3篇论文按照标准化得分从高到低进行排名，请你写出排名结果.（结论不要求证明） 15．2025年3月14日（第六个国际数学日），某校开展了“站播台”、“史探秘”、“日海报”、“徽设计”、“帽设计”共5项挑战活动，每名学生至少参与其中一项活动.为了解该校上述活动的参与情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表： 挑战活动参与人数 站播台 史探秘 日海报 徽设计 帽设计 高一 80 45 55 75 45 高二 40 60 60 80 40 高三 15 50 40 20 30 通过样本估计该校全体学生参与活动的情况. (1)从5项活动中随机选择1项，估计此项活动全校参与的人数大于该校总人数的一半的概率； (2)从该校高一年级和高二年级中各随机选取2名学生，求这4名学生中恰有2名学生参与“徽设计”的概率； (3)假设高一某班参加挑战活动的情况如下： 挑战活动 站播台 史探秘 日海报 徽设计 帽设计 参与人数 7 9 已知，当数据，，，，的方差最小时，写出，，的取值.（结论不要求证明） 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $