第02讲 平面向量的数量积（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量的数量积、坐标运算及应用等核心考点，以知识解构（3大知识点）和题型破译（10类题型）搭建系统框架，通过命题透视、思维建模、知识精讲、真题溯源及分层训练的教学流程，帮助学生突破数量积计算、夹角与模的求解等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出数学思维与应用意识的培养，如通过归纳求数量积的3种方法、处理夹角问题的策略等，引导学生构建解题逻辑，结合高考真题与课本典例强化知识迁移能力。分层训练设计满足不同学生需求，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生的应考能力。

第02讲 平面向量的数量积及应用 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 平面向量的数量积 知识点2 平面向量数量积的坐标运算 知识点3 平面向量的应用 题型破译 (含超链接） 题型1 向量数量积的概念与投影向量 题型2 求向量的数量积 【方法技巧】求向量数量积的3种方法 题型3 求向量的模 题型4 求向量的夹角 【归纳总结】处理向量夹角的方法与策略 题型5 向量垂直问题 题型6 向量数量积的坐标运算 题型7 向量数量积中的参数问题 题型8 向量数量积中的最值问题 【方法技巧】求数量积最值与范围的常用方法 题型9 向量在平面几何中的应用 题型10 向量在物理中的应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养,研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 向量的数量积 北京卷T10（5分） 北京卷T5（5分） 数量积的坐标运算 北京卷T6（5分） 北京卷T10（5分） —— 向量的应用 —— —— —— 考情分析 高考中向量为必考知识点,通常以客观题形式考查,可以是基础题,也可以是难度较大的综合题,本专题考查热点是平面向量的数量积运算及应用. 复习目标 1. 理解平面向量夹角的概念,理解平面向量数量积的概念,会计算向量的数量积； 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义； 3.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式,会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明； 4.掌握平面向量数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的坐标运算.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题； 5. 能用向量方法解决简单的几何问题、力学问题及其他实际问题,体会向量在解决几何、物理和实际问题中的作用. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架,构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识,归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 平面向量的数量积 知识梳理 1．向量的夹角 (1)已知两个非零向量a和b,作＝a,＝b,则 就是向量a与b的夹角,向量夹角的范围是 ． (2)如果a与b的夹角是,我们说a与b垂直,记作 . 2.两向量的数量积 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作 ,即 .规定：零向量与任一向量的数量积为 . 3.投影向量 (1)如图,设a,b是两个非零向量,=a,=b,作如下的变换：过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,我们称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的 . (2)在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则与e,a,θ之间的关系为= . 4.向量数量积的性质 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则 (1)a·e=e·a= . (2)a⊥b⇔ . (3)当a∥b时,a·b= 特别地,a·a= 或|a|=. (4)|a·b| |a||b|. 5.向量数量积的运算律 对于向量a,b,c和实数λ,有 (1)a·b=b·a(交换律). (2)(λa)·b=λ(a·b)= (数乘结合律). (3)(a+b)·c= (分配律). 【归纳与解读】 (1)按照向量夹角的定义,只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角,这一点在平面图形中找向量夹角时更需注意.如图所示,∠BAC不是向量与的夹角.作=,则∠BAD才是向量与的夹角. (2)数量积运算中间是“·”,而且此处的“·”不能省略,也不能写成“×”. (3)向量的数量积是一个实数,不是向量,它的值可正、可负、可为0. (4)向量a在向量b上的投影向量是一个向量,它与向量b共线,其大小为||a|cos θ|,其中θ为向量a与b的夹角.a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不相同．因为a在b方向上的投影为|a|cos θ,而b在a方向上的投影为|b|cos θ,其中θ为a与b的夹角． (5)两个向量的数量积大于0,则夹角不一定为锐角,当夹角为0°时,数量积也大于0. (6)a·b=b·c不一定推出a=c. (7)(a·b)c=a(b·c)未必成立. (8)①(a+b)·(a-b)=a2-b2；②(a±b)2=a2±2a·b+b2. 自主检测（2026. 北京市海淀区. 高三上期中）已知向量,在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1,则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 知识点2 平面向量数量积的坐标运算 知识梳理 平面向量数量积的有关结论 (1)a·b= . (2)|a|= . (3)a⊥b⇔ (a,b为非零向量). (4)cos θ== (θ为非零向量a,b的夹角). 自主检测（2026. 北京市一六一中学. 高三上期中）已知向量,,满足,与的夹角为__________. 知识点3 平面向量的应用 1. 向量在平面几何中的应用 用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0, 其中a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),b≠0 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0, 其中a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),且a,b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a,b的夹角),其中a,b为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a|＝＝, 其中a＝(x,y),a为非零向量 (2)用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题． 2．平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相似,可以用向量的知识来解决． (2)物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)． 自主检测如图,飞机飞行中的地面速度（GS）是指飞机相对于地面的实际速度,由飞机相对于周围空气的实际运动速度（TAS）向量加减风速（WS）向量得出,其中风速顺风为正,逆风为负,DA为偏流角. 已知某飞机逆风飞行,在某时刻测得风速对应向量为,地面速度对应的向量为,则飞机在该时刻的实际飞行速度（单位：）为（    ） （参考数据：,,） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 向量数量积的概念与投影向量 例1-1已知平面向量,满足,,则向量在向量上投影数量为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由,得,而,则向量在向量上投影数量为. 例1-2（2026·顺义区第一中学·高三考前适应性检测）已知平面向量,若向量与夹角为,则______,若,写出一个的坐标______． 【答案】 【解析】已知平面向量,若向量与夹角为, 则.设,因为,且,所以.因为,则,化简得,解得.取,则,因此. 【变式训练1-1】已知向量与的夹角为,,则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2. 变考法】（2026. 北京汇文中学. 高三上期中）在平面直角坐标系中,已知三点,若向量在上的投影向量相同,则的值为（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 题型2 求向量的数量积 例2-1（2026·北京市大兴精华学校·高三下5月适应性测试）已知,则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】已知,则原式可化为：. 例2-2【新思维】(2026·北京西城区·高三下5月模拟）已知向量,单位向量,向量满足,则的一个取值为_____. 【答案】0（答案不唯一,取值范围为） 【解析】设,,即,则,因为,即,可知点的轨迹是以点为圆心,半径的圆,可得,所以的一个取值为0. 方法技巧 求平面向量数量积的三种方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b＝|a||b|cos〈a,b〉． (2)当已知向量的坐标时,或平面图形易建系求出各点坐标时可利用坐标法求解. (3)利用数量积的几何意义求解． 【变式训练2-1】（2026. 北京市顺义区.高三下一模）已知平面向量,满足,,,则（    ） A．6 B．3 C． D． 【变式训练2-2.变背景】（2026. 北京海淀教师进修附属实验学校. 高三下3月练）在中,,是边上的中线,且,,则（   ） A． B．20 C． D．10 【变式训练2-3】（2026. 北京市育才学校. 高三上12月月考）在梯形中,,,,则________． 题型3 求向量的模 例3-1(2026. 北京市石景山区. 高三下第一次统练)设为单位向量,且,则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】由题意得两边同时平方得,又为单位向量,故,即,. 例3-2【新考法】（2026. 北京市顺义区. 高三统一测试）已知向量,满足,.当与的夹角最大时,（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】将平方得, 令,则,, 设与的夹角为,,当时,,与条件矛盾,, ,分子分母同时除以,,令,则,当时,取得最小值,此时取最大值, 当时,,,,所以当与的夹角最大时,. 例3-3（2026. 北京市第三十一中. 高三上阶段性练习）设向量的模分别为2和3,且夹角为,则等于_____． 【答案】 【解析】因为,所以. 【变式训练3-1】（2026. 北京市丰台区. 高三上开学统一练）已知两个单位向量的夹角为,若,则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】（2026. 北京市西城区. 高三4月统一测试）设平面向量,其中,的最小值为_________． 题型4 求向量的夹角 例4-1(2026. 北京市. 高三上入学考试) 已知单位向量,满足,则向量与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为单位向量,满足,所以, ,所以, 又,所以,即向量与的夹角为.故选A. 例4-2（2026. 北京市昌平区. 高三下第二次统练）已知向量满足,,且,则与夹角的大小为 _________；__________. 【答案】 【解析】∵ ,∴ ·.展开得 .∵ ,∴ ,代入得 ,解得 .设与的夹角为,,则 ,代入,得 .∵ ,∴ .∵ . 又 ,. ∴ . 归纳总结 处理向量夹角的方法与策略 (1)定义法：． (2)坐标法. (3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中． (4)注意两个易错点：①两个向量a与b的夹角为锐角(钝角),则有a·b＞0(a·b＜0),反之不一定成立． ②△中. 【变式训练4-1】（2026. 北京市丰台区.高三下综合练习二）已知单位向量满足,则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【变式训练4-2.变条件】（2026. 北京市四中.高三下考前模拟）已知非零不共线向量,满足,则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型5 向量垂直问题 例5-1（2025. 北京市大兴精华学校. 高三下5月适应性测试）已知平面向量,,若,则实数（    ） A． B．1 C．或1 D．4 【答案】C 【解析】因为,所以. 因为,所以所以. 解得.故选C. 例5-2【新情景】（2026. 北京市部分学校. 高三上入学考试）在中,为中线,,作,则等于__________. 【答案】7 【解析】在 中,由 ,则,由 三点共线, 则 , 设,则 ,且, 则  . 故,即.所以. 【变式训练5-1.变考法】（2026. 北京市顺义牛栏山. 高三上10月月考）已知. (1)若,求的值； (2)若,求的值； (3)若与的夹角余弦值等于,求的值.（直接写答案） 题型6 向量数量积的坐标运算 例6-1【新背景】（2026. 北京四中. 高三下开学测试）已知正方形的边长为1,为线段的中点,为边上的动点,则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以为坐标原点,为轴,为轴建立如图所示的平面直角坐标系, 则,,,设,,, 则.故选C 例6-2(2025.北京市九中.高三保温卷)已知向量,,则______,的最小值为______． 【答案】 【解析】因为,,所以, 则,所以,当且仅当时取等号,所以. 【变式训练6-1】（2025. 北京市北大附中高三下2月检测）已知,,,则（   ） A．4 B．6 C．14 D．18 【变式训练6-2. 变考法】（2026. 北京市五中.高三上十月检测）已知向量,,如果,那么_____. 题型7 向量数量积中的参数问题 例7-1【开放题】（2026.北京市朝阳区.高三上期中）如图,在正方形中,,点为和的交点.若为钝角,写出符合条件的一组的值为__________,__________. 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【解析】因为,, 所以, 因为为正方形,所以,所以, 因为为钝角,且与互补,所以, 所以,所以符合条件的一组的值为,. 例7-2已知平面向量,若,则=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为,所以, 因为,所以,解得.故选D. 【变式训练7-1. 变条件】已知向量,,若与的夹角的余弦值为,则的值为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 题型8 向量数量积中的最值与范围问题 例8-1【新背景】（2026. 北京市房山区.高三上入学考试）已知在等腰梯形中,,是腰上的动点,则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】建立如图所示的直角坐标系,则, 则,,所以, 故, 故, 由于,故,故,故选C 例8-2【新考法】（2026. 北京市一零一中学. 高三上统练月考）已知平面向量满足,则的最小值是_________． 【答案】1 【解析】已知且,由,所以夹角. 设,因为,,设,则 ,解得 ,不妨取, 设,则,；由,得 化简得,即向量对应的点的轨迹是以为圆心,半径为1的圆； 则,需在圆上求的最小值,因为圆心横坐标为,半径1,故的最小值为；因此的最小值为,即为最小值. 方法技巧 求数量积最值与范围的常用方法 (1) 利用 求最值或范围; (2) 建立直角坐标系求数量积的最值或范围; (3) 转化为三角函数求与数量积有关的最值或范围; (4) 构造几何图形求与数量积有关的最值或范围; (5) 利用基本不等式求最值或范围 【变式训练8-1】（2025. 北京市昌平区. 高三上期末）在△中,,为的中点,为线段上的一个动点,则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2.变背景】（2026. 北京十一学校. 高三上12月月考）已知,,是平面向量,是单位向量.若非零向量与的夹角为,向量满足.（1）当与共线时,_____；（2）的最小值是_____. 题型9 向量在平面几何中的应用 例9-1（2026. 北京首都师大附中. 高三上12月期末）如图,正六边形的边长为 ,半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心,若点 在正六边形的边上运动,动点 在圆 上运动且关于圆心 对称,则 的最大值为（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】连接、、、,则为的中点,由正六边形性质得,,而,因此 ,当且仅当与正六边形的顶点重合时,取最大值. 故选B. 【变式训练9-1】已知A,B,C是单位圆上不同的三点,,则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 题型10 向量在物理中的应用 例10-1如图,无弹性的细绳,的一端分别固定在A,B处,同样的细绳下端系着一个秤盘,且,绳子受力的大小为40 N,受力的大小为30 N,则绳子受力的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设,,三根绳子所受的力分别为,则,因为的合力,所以,如图,在平行四边形中,, 因为,所以,所以绳子受力的大小为. 例10-2冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋,身着防护装备,以球杆击球,球入对方球门,多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中,以力,作用于冰球,使冰球从点移动到点,则力对冰球所做的功的最大值为（   ）（动力做的功） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】由题,可得,又, ,其中,当且仅当,时,取得最大值5.故选D. 【变式训练10-1】已知某无人机在水平面内飞行,地速向量等于空速向量与风速向量之和．图中以同一比例尺给出空速向量和地速向量,其中每格代表．已知风速大小与风力等级对应如下,则此时风速对应的名称为（    ） 风速大小（） 名称 1.6~3.3 轻风 3.4~5.4 微风 5.5~7.9 和风 8.0~10.7 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑,感知高考考向 1.（2026.全国2卷.高考真题）已知,,则（ ） A. B. C. D. 2.（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中,,.设,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3．（2025·全国2卷·高考真题）已知平面向量若,则___________ 4．（2024·北京·高考真题）设 ,是向量,则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2022.北京.高考真题）在中,．P为所在平面内的动点,且,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例,挖掘高考素材 1．已知,求与垂直的单位向量的坐标. 2.利用向量方法证明,对任意实数, . 3.在平行四边形中,证明：. 4.若两两夹角相等,且,则（） A．2 B．5 C．2或5 D．或 课后训练·分层突破 ——突破核心考点,提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：向量的数量积、向量数量积的坐标运算、向量的应用 1. （2026. 北京市第八十中学.高三下考前热身）已知向量,都是单位向量,且,则（     ） A． B． C． D． 2．（2026. 北京市海淀区.高三下期末）已知是单位向量,且,则（   ） A． B． C． D． 3.某河段南北两岸平行,一艘船从南岸码头A点出发航行到北岸,已知船在静水中的航行速度的大小为km/h,水流速度的大小为km/h．设和的夹角,当船的航行距离最短时,则（    ） A． B． C． D． 4．（2026. 北京市昌平区.高三第一次统练）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1,则（   ） A． B．0 C．2 D．4 5.（2026. 北京延庆区.高三下试卷）矩形中,,,且,则（    ）． A． B． C．6 D．3 6．（2026. 北京市顺义区. 高三上期末）已知向量,,,则（   ） A． B． C． D． 7．（2026. 北京市海淀区.高三上期末）已知非零向量满足,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2025. 北京市顺义区. 高三下二模）已知正方形的边长为2,点为中点,则_____. 9．（2026. 北京市第一六一中学.高三下考前热身）已知向量,,函数的一个零点为,则________． 10．（2026. 北京市海淀区.高三上期中）若向量,,则______；______． 11．已知向量,且． (1)证明：向量； (2)求与夹角的大小； (3)求的最小值． 重难·创新演练 试题创新:T8新设问；T3、T5、T7新考法；T9新定义；T1、T4新情境；T2、T6知识交汇 1．（2026. 北京市十一学校.高三下学3月月考）如图,圆为的外接圆,,,为边的中点,则（   ） A．13 B．14 C．20 D．25 2．（2026. 北京密云区.高三下阶段练习）已知向量,则的最小值为（    ） A． B．2 C．-2 D． 3．（2026. 北京中国人大附中.高三上12月月考）已知 ,则使得数对唯一的条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2026. 北京市北大附中.高三上12月阶段练习）在中,已知且,则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026. 北京市大兴精华学校.高三下5月测试）若点关于动直线：的对称点为N,O为坐标原点.给出下面3个结论：①的取值范围是；②当时,符合条件的点有且只有一个；③当取到最大值时,.其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．(2026. 北京延庆区.高三下测试)在平面直角坐标系中,若对任意的点（且）,都存在（且）,使得,且,则（    ）． A． B． C． D． 7．（2026. 北京中国人大附中.高三下假期作业验收）如图,四边形是正方形,延长至E,使,若点P是以点A为圆心,为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点,设向量,则的最小值为________最大值为________． 8．（2026. 北京市第五十五中学.高三上期中）在平面直角坐标系中,点为圆上的动点,点的坐标为,其中为常数且． （1）若,则=_____, （2）若的最大值为,此时的最小值为_____． 9．对于向量集,记向量．如果存在向量,使得,那么称是向量集的“长向量”． (1)设向量,．若是向量集的“长向量”,求实数x的取值范围； (2)设向量,,则向量集是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由； (3)已知均是向量集的“长向量”,其中,．设在平面直角坐标系xOy中的点集,其中,,且与关于点对称,与关于点对称,求的最小值． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 平面向量的数量积及应用 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 平面向量的数量积 知识点2 平面向量数量积的坐标运算 知识点3 平面向量的应用 题型破译 (含超链接） 题型1 向量数量积的概念与投影向量 题型2 求向量的数量积 【方法技巧】求向量数量积的3种方法 题型3 求向量的模 题型4 求向量的夹角 【归纳总结】处理向量夹角的方法与策略 题型5 向量垂直问题 题型6 向量数量积的坐标运算 题型7 向量数量积中的参数问题 题型8 向量数量积中的最值问题 【方法技巧】求数量积最值与范围的常用方法 题型9 向量在平面几何中的应用 题型10 向量在物理中的应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养,研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 向量的数量积 北京卷T10（5分） 北京卷T5（5分） 向量数量积的坐标运算 北京卷T6（5分） 北京卷T10（5分） —— 向量的应用 —— —— —— 考情分析 高考中向量为必考知识点,通常以客观题形式考查,可以是基础题,也可以是难度较大的综合题,本专题考查热点是平面向量的数量积运算及应用. 复习目标 1. 理解平面向量夹角的概念,理解平面向量数量积的概念,会计算平面向量的数量积； 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义； 3.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式,会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明； 4.掌握平面向量数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的坐标运算.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题； 5. 能用向量方法解决简单的几何问题、力学问题及其他实际问题,体会向量在解决几何、物理和实际问题中的作用. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架,构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识,归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 平面向量的数量积 知识梳理 1．向量的夹角 (1)已知两个非零向量a和b,作＝a,＝b,则∠AOB就是向量a与b的夹角,向量夹角的范围是[0,π]． (2)如果a与b的夹角是,我们说a与b垂直,记作a⊥b. 2.两向量的数量积 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0. 3.投影向量 (1)如图,设a,b是两个非零向量,=a,=b,作如下的变换：过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,我们称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量. (2)在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则与e,a,θ之间的关系为=|a|cos θe=b. 4.向量数量积的性质 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则 (1)a·e=e·a=|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b=0. (3)当a∥b时,a·b= 特别地,a·a=|a|2或|a|=. (4)|a·b|≤|a||b|. 5.向量数量积的运算律 对于向量a,b,c和实数λ,有 (1)a·b=b·a(交换律). (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 【归纳与解读】 (1)按照向量夹角的定义,只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角,这一点在平面图形中找向量夹角时更需注意.如图所示,∠BAC不是向量与的夹角.作=,则∠BAD才是向量与的夹角. (2)数量积运算中间是“·”,而且此处的“·”不能省略,也不能写成“×”. (3)向量的数量积是一个实数,不是向量,它的值可正、可负、可为0. (4)向量a在向量b上的投影向量是一个向量,它与向量b共线,其大小为||a|cos θ|,其中θ为向量a与b的夹角.a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不相同．因为a在b方向上的投影为|a|cos θ,而b在a方向上的投影为|b|cos θ,其中θ为a与b的夹角． (5)两个向量的数量积大于0,则夹角不一定为锐角,当夹角为0°时,数量积也大于0. (6)a·b=b·c不一定推出a=c. (7)(a·b)c=a(b·c)未必成立. (8)①(a+b)·(a-b)=a2-b2；②(a±b)2=a2±2a·b+b2. 自主检测（2026. 北京市海淀区. 高三上期中）已知向量,在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1,则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】建立平面直角坐标系可得,,,所以,所以.故选A. 知识点2 平面向量数量积的坐标运算 知识梳理 平面向量数量积的有关结论 (1)a·b=x1x2+y1y2. (2)|a|=. (3)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0(a,b为非零向量). (4)cos θ==(θ为非零向量a,b的夹角). 自主检测（2026. 北京市一六一中学. 高三上期中）已知向量,,满足,与的夹角为__________. 【答案】 【解析】向量,,满足,则,所以,则, 所以与的夹角余弦值为, 又,所以,故与的夹角为. 知识点3 平面向量的应用 1. 向量在平面几何中的应用 用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0, 其中a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),b≠0 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0, 其中a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),且a,b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a,b的夹角),其中a,b为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a|＝＝, 其中a＝(x,y),a为非零向量 (2)用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题． 2．平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相似,可以用向量的知识来解决． (2)物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)． 自主检测如图,飞机飞行中的地面速度（GS）是指飞机相对于地面的实际速度,由飞机相对于周围空气的实际运动速度（TAS）向量加减风速（WS）向量得出,其中风速顺风为正,逆风为负,DA为偏流角. 已知某飞机逆风飞行,在某时刻测得风速对应向量为,地面速度对应的向量为,则飞机在该时刻的实际飞行速度（单位：）为（    ） （参考数据：,,） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设飞机的地面速度向量为,实际运动速度向量和风速向量分别为,由已知可得,且,,所以, 故.故选B. 题●型●破●译 题型1 向量数量积的概念与投影向量 例1-1已知平面向量,满足,,则向量在向量上投影数量为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由,得,而,则向量在向量上投影数量为. 例1-2（2026·顺义区第一中学·高三考前适应性检测）已知平面向量,若向量与夹角为,则______,若,写出一个的坐标______． 【答案】 【解析】已知平面向量,若向量与夹角为, 则.设,因为,且,所以.因为,则,化简得,解得.取,则,因此. 【变式训练1-1】已知向量与的夹角为,,则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知,向量且向量与的夹角为,所以向量在上的投影为, 又因为,所以向量在上的投影向量为.故选A. 【变式训练1-2. 变考法】（2026. 北京汇文中学. 高三上期中）在平面直角坐标系中,已知三点,若向量在上的投影向量相同,则的值为（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 【答案】D 【解析】∵向量在向量上的投影向量相同,,则, 得,而,得, 得,得,得.故选D. 题型2 求向量的数量积 例2-1（2026·北京市大兴精华学校·高三下5月适应性测试）已知,则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】已知,则原式可化为：. 例2-2【新思维】(2026·北京西城区·高三下5月模拟）已知向量,单位向量,向量满足,则的一个取值为_____. 【答案】0（答案不唯一,取值范围为） 【解析】设,,即,则,因为,即,可知点的轨迹是以点为圆心,半径的圆,可得,所以的一个取值为0. 方法技巧 求平面向量数量积的三种方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b＝|a||b|cos〈a,b〉． (2)当已知向量的坐标时,或平面图形易建系求出各点坐标时可利用坐标法求解. (3)利用数量积的几何意义求解． 【变式训练2-1】（2026. 北京市顺义区.高三下一模）已知平面向量,满足,,,则（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】由,则,由, 则,解得.故选D. 【变式训练2-2.变背景】（2026. 北京海淀教师进修附属实验学校. 高三下3月练）在中,,是边上的中线,且,,则（   ） A． B．20 C． D．10 【答案】A 【解析】由向量的运算法则,可得, 则,因为在中,,是边上的中线,所以,可得,则 又因为和大小相等,且方向相反,且,所以 因为,可得,所以. 【变式训练2-3】（2026. 北京市育才学校. 高三上12月月考）在梯形中,,,,则________． 【答案】12 【解析】过点作. 因为,所以梯形为等腰梯形,所以,.在中,.在中,,. 所以. 题型3 求向量的模 例3-1(2026. 北京市石景山区. 高三下第一次统练)设为单位向量,且,则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】由题意得两边同时平方得,又为单位向量,故,即,. 例3-2【新考法】（2026. 北京市顺义区. 高三统一测试）已知向量,满足,.当与的夹角最大时,（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】将平方得, 令,则,, 设与的夹角为,,当时,,与条件矛盾,, ,分子分母同时除以,,令,则,当时,取得最小值,此时取最大值, 当时,,,,所以当与的夹角最大时,. 例3-3（2026. 北京市第三十一中. 高三上阶段性练习）设向量的模分别为2和3,且夹角为,则等于_____． 【答案】 【解析】因为,所以. 【变式训练3-1】（2026. 北京市丰台区. 高三上开学统一练）已知两个单位向量的夹角为,若,则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为,所以,所以.故选A. 【变式训练3-2】（2026. 北京市西城区. 高三4月统一测试）设平面向量,其中,的最小值为_________． 【答案】4 【解析】已知,,其中,得：, 所以,当时, 题型4 求向量的夹角 例4-1(2026. 北京市. 高三上入学考试) 已知单位向量,满足,则向量与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为单位向量,满足,所以, ,所以, 又,所以,即向量与的夹角为.故选A. 例4-2（2026. 北京市昌平区. 高三下第二次统练）已知向量满足,,且,则与夹角的大小为 _________；__________. 【答案】 【解析】∵ ,∴ ·.展开得 .∵ ,∴ ,代入得 ,解得 .设与的夹角为,,则 ,代入,得 .∵ ,∴ .∵ . 又 ,. ∴ . 归纳总结 处理向量夹角的方法与策略 (1)定义法：． (2)坐标法. (3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中． (4)注意两个易错点：①两个向量a与b的夹角为锐角(钝角),则有a·b＞0(a·b＜0),反之不一定成立． ②△中. 【变式训练4-1】（2026. 北京市丰台区.高三下综合练习二）已知单位向量满足,则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【解析】由向量为单位向量,可得,因为,可得,解得,所以, 又因为,可得,所以与的夹角为. 【变式训练4-2.变条件】（2026. 北京市四中.高三下考前模拟）已知非零不共线向量,满足,则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为,所以,化简可得, ,代入可得,因为向量与向量都是非零向量, 所以向量与向量垂直,即夹角为. 题型5 向量垂直问题 例5-1（2025. 北京市大兴精华学校. 高三下5月适应性测试）已知平面向量,,若,则实数（    ） A． B．1 C．或1 D．4 【答案】C 【解析】因为,所以. 因为,所以所以. 解得.故选C. 例5-2【新情景】（2026. 北京市部分学校. 高三上入学考试）在中,为中线,,作,则等于__________. 【答案】7 【解析】在 中,由 ,则,由 三点共线, 则 , 设,则 ,且, 则  . 故,即.所以. 【变式训练5-1.变考法】（2026. 北京市顺义牛栏山. 高三上10月月考）已知. (1)若,求的值； (2)若,求的值； (3)若与的夹角余弦值等于,求的值.（直接写答案） 解：（1）因为,又,则, 解得,此时,,满足题意,所以. （2）因为,则,, 又,则,所以, 整理得到,解得或,所以的值为或. （3）因为,整理得到, 解得或,当时,,所以不合题意, 所以的值为. 题型6 向量数量积的坐标运算 例6-1【新背景】（2026. 北京四中. 高三下开学测试）已知正方形的边长为1,为线段的中点,为边上的动点,则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以为坐标原点,为轴,为轴建立如图所示的平面直角坐标系, 则,,,设,,, 则.故选C 例6-2(2025.北京市九中.高三保温卷)已知向量,,则______,的最小值为______． 【答案】 【解析】因为,,所以, 则,所以,当且仅当时取等号,所以. 【变式训练6-1】（2025. 北京市北大附中高三下2月检测）已知,,,则（   ） A．4 B．6 C．14 D．18 【答案】C 【解析】因为,,所以,. 故选C. 【变式训练6-2. 变考法】（2026. 北京市五中.高三上十月检测）已知向量,,如果,那么_____. 【答案】 【解析】,,即,,即,解得. 题型7 向量数量积中的参数问题 例7-1【开放题】（2026.北京市朝阳区.高三上期中）如图,在正方形中,,点为和的交点.若为钝角,写出符合条件的一组的值为__________,__________. 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【解析】因为,, 所以, 因为为正方形,所以,所以, 因为为钝角,且与互补,所以, 所以,所以符合条件的一组的值为,. 例7-2已知平面向量,若,则=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为,所以, 因为,所以,解得.故选D. 【变式训练7-1. 变条件】已知向量,,若与的夹角的余弦值为,则的值为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【解析】因为,,所以,,所以,,又因为与的夹角的余弦值为, 所以,解得或（因,舍）. 题型8 向量数量积中的最值与范围问题 例8-1【新背景】（2026. 北京市房山区.高三上入学考试）已知在等腰梯形中,,是腰上的动点,则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】建立如图所示的直角坐标系,则, 则,,所以, 故, 故, 由于,故,故,故选C 例8-2【新考法】（2026. 北京市一零一中学. 高三上统练月考）已知平面向量满足,则的最小值是_________． 【答案】1 【解析】已知且,由,所以夹角. 设,因为,,设,则 ,解得 ,不妨取, 设,则,；由,得 化简得,即向量对应的点的轨迹是以为圆心,半径为1的圆； 则,需在圆上求的最小值,因为圆心横坐标为,半径1,故的最小值为；因此的最小值为,即为最小值. 方法技巧 求数量积最值与范围的常用方法 (1) 利用 求最值或范围; (2) 建立直角坐标系求数量积的最值或范围; (3) 转化为三角函数求与数量积有关的最值或范围; (4) 构造几何图形求与数量积有关的最值或范围; (5) 利用基本不等式求最值或范围 【变式训练8-1】（2025. 北京市昌平区. 高三上期末）在△中,,为的中点,为线段上的一个动点,则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】△中,,为的中点,所以, 设,则,, ,即当时,的最小值为. 【变式训练8-2.变背景】（2026. 北京十一学校. 高三上12月月考）已知,,是平面向量,是单位向量.若非零向量与的夹角为,向量满足.（1）当与共线时,_____；（2）的最小值是_____. 【答案】 1或3 【解析】（1）当与共线时,设, 因为向量满足, 所以,即,解得或, 所以或,即或3. （2）设,,以O为原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示坐标系, 则,令,则,, 由,或或, 得点在以为圆心,1为半径的圆上, 又非零向量与的夹角为,则设的起点为原点,则终点在不含端点的两条射线,上, 则的几何意义等价于圆上的点到射线上的点的距离,则其最小值为圆心到直线的距离减去半径,不妨以为例, 则的最小值为 题型9 向量在平面几何中的应用 例9-1（2026. 北京首都师大附中. 高三上12月期末）如图,正六边形的边长为 ,半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心,若点 在正六边形的边上运动,动点 在圆 上运动且关于圆心 对称,则 的最大值为（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】连接、、、,则为的中点,由正六边形性质得,,而,因此 ,当且仅当与正六边形的顶点重合时,取最大值. 故选B. 【变式训练9-1】已知A,B,C是单位圆上不同的三点,,则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨令,,又,则, 所以 , 当时,的最小值为.故选C. 题型10 向量在物理中的应用 例10-1如图,无弹性的细绳,的一端分别固定在A,B处,同样的细绳下端系着一个秤盘,且,绳子受力的大小为40 N,受力的大小为30 N,则绳子受力的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设,,三根绳子所受的力分别为,则,因为的合力,所以,如图,在平行四边形中,, 因为,所以,所以绳子受力的大小为. 例10-2冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋,身着防护装备,以球杆击球,球入对方球门,多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中,以力,作用于冰球,使冰球从点移动到点,则力对冰球所做的功的最大值为（   ）（动力做的功） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】由题,可得,又, ,其中,当且仅当,时,取得最大值5.故选D. 【变式训练10-1】已知某无人机在水平面内飞行,地速向量等于空速向量与风速向量之和．图中以同一比例尺给出空速向量和地速向量,其中每格代表．已知风速大小与风力等级对应如下,则此时风速对应的名称为（    ） 风速大小（） 名称 1.6~3.3 轻风 3.4~5.4 微风 5.5~7.9 和风 8.0~10.7 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【解析】由题设,,此时风速向量为, 所以风速大小为,故此时风速对应的名称为轻风. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑,感知高考考向 1.（2026.全国2卷.高考真题）已知,,则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由,得,所以,即；由,得,所以,即.两式相减,得,所以 . 2.（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中,,.设,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为,, 由平方可得,,所以． ,, 所以, , 又,即, 所以,即,故选D. 3．（2025·全国2卷·高考真题）已知平面向量若,则___________ 【答案】 【解析】,因为,则, 则,解得.则,则. 4．（2024·北京·高考真题）设 ,是向量,则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为,可得,即,可知等价于, 若或,可得,即,可知必要性成立；若,即,无法得出或,例如,满足,但且,可知充分性不成立； 综上所述,“”是“或”的必要不充分条件.故选B. 5．（2022.北京.高考真题）在中,．P为所在平面内的动点,且,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意如图建立平面直角坐标系,则,,, 因为,所以在以为圆心,为半径的圆上运动, 设,, 所以,, 所以 ,其中,, 因为,所以,即；故选D. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例,挖掘高考素材 1．已知,求与垂直的单位向量的坐标. 解：因为,所以, 垂直的单位向量为,坐标为或. 2.利用向量方法证明,对任意实数, . 证明：设, 因为, 所以, 两边平方得. 3.在平行四边形中,证明：. 证明：设, 则, 所以 =. 4.若两两夹角相等,且,则（） A．2 B．5 C．2或5 D．或 【答案】C 【解析】两两夹角相等,则=0或, 当=0时, 当=时 ==2, 故选C. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点,提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：向量的数量积、向量数量积的坐标运算、向量的应用 1. （2026. 北京市第八十中学.高三下考前热身）已知向量,都是单位向量,且,则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为都是单位向量,,所以,所以,所以. 2．（2026. 北京市海淀区.高三下期末）已知是单位向量,且,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是单位向量,且所以 3.某河段南北两岸平行,一艘船从南岸码头A点出发航行到北岸,已知船在静水中的航行速度的大小为km/h,水流速度的大小为km/h．设和的夹角,当船的航行距离最短时,则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使船的航行距离最短,只需,合速度垂直于两岸,如图所示, 所以,其中,所以．故选C． 4．（2026. 北京市昌平区.高三第一次统练）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1,则（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【解析】记向右方向的单位向量为,向上方向的单位向量为,则,,, 所以. 5.（2026. 北京延庆区.高三下试卷）矩形中,,,且,则（    ）． A． B． C．6 D．3 【答案】C 【解析】因为,所以, , 所以. 6．（2026. 北京市顺义区. 高三上期末）已知向量,,,则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得,,则,故.故选D 7．（2026. 北京市海淀区.高三上期末）已知非零向量满足,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】充分性：已知,代入,得若 ,则 ,因此,充分性成立. 必要性：因为 是非零向量,所以,必要性成立. 综上,是的充要条件.故选C. 8．（2025. 北京市顺义区. 高三下二模）已知正方形的边长为2,点为中点,则_____. 【答案】3 【解析】在边长为2的正方形,点为中点,, 所以. 9．（2026. 北京市第一六一中学.高三下考前热身）已知向量,,函数的一个零点为,则________． 【答案】1 【解析】,因为函数的一个零点为,所以． 10．（2026. 北京市海淀区.高三上期中）若向量,,则______；______． 【答案】 ； . 【解析】因,,所以.又,, 所以,且,所以. 11．已知向量,且． (1)证明：向量； (2)求与夹角的大小； (3)求的最小值． (1)证明：因为向量, 由,得． 解得,则． 因此． 解：（2）由（1）知,则． 又,则． 设与夹角为,因此． 又,则,所以与夹角为． （3）由（2）知,,则, 因此, 当且仅当时取等号． 所以最小值为． 重难·创新演练 试题创新:T8新设问；T3、T5、T7新考法；T9新定义；T1、T4新情境；T2、T6知识交汇 1．（2026. 北京市十一学校.高三下学3月月考）如图,圆为的外接圆,,,为边的中点,则（   ） A．13 B．14 C．20 D．25 【答案】D 【解析】因为为边的中点,根据向量的平行四边形法则可知,, 所以. 取边中点,连接,则,所以. 所以 .同理可得,. 所以. 2．（2026. 北京密云区.高三下阶段练习）已知向量,则的最小值为（    ） A． B．2 C．-2 D． 【答案】D 【解析】向量,则, 当时,取最小值. 3．（2026. 北京中国人大附中.高三上12月月考）已知 ,则使得数对唯一的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由,则点是直线上的点,同理可得点是直线上的点.由,则,可得原点到直线的距离,原点到直线的距离.由题意可得,当且仅当等号同时成立时唯一即唯一取值, 此时,,由,则.对于A,当时,存在两个取值,由,则,此时也存在两个取值,故A错误.对于B,, 当且仅当等号成立时唯一即唯一取值,故B正确；对于C,由,,则,令,即, 令,可得,化简可得,由,则存在两个根,故C错误；对于D,由,则,即, 可得,解得,故D错误. 4．（2026. 北京市北大附中.高三上12月阶段练习）在中,已知且,则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得,延长线段至点,使得, 易知在以为直径的圆上（不含两点）,由数量积的几何意义可知 故选C. 5．（2026. 北京市大兴精华学校.高三下5月测试）若点关于动直线：的对称点为N,O为坐标原点.给出下面3个结论：①的取值范围是；②当时,符合条件的点有且只有一个；③当取到最大值时,.其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由,得,所以直线恒过点. 点关于动直线的对称点为,则直线是线段的垂直平分线,所以. 设,则,所以点的轨迹是以为圆心,半径为的圆,轨迹方程为.①,,则. 由圆的方程可知,的范围为,所以的取值范围是,①正确. ②当时,即,表示以原点为圆心,以为半径的圆, 联立,解得或,即或. 当时,,直线的方程为,存在； 当时,,直线的方程为,存在； 故当时,符合条件的点有2个,②错误. ③当取到最大值时,,此时在延长线上,坐标为. 此时的中点为,, 所以,即,解得,③正确. 6．(2026. 北京延庆区.高三下测试)在平面直角坐标系中,若对任意的点（且）,都存在（且）,使得,且,则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得.由①得：, 将其代入②得：, 即.因为,所以,即.又,所以. 将其再代入①得：. 因为该式对都成立,所以.所以. 7．（2026. 北京中国人大附中.高三下假期作业验收）如图,四边形是正方形,延长至E,使,若点P是以点A为圆心,为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点,设向量,则的最小值为________最大值为________． 【答案】 1 【解析】假设,由已知可得,, ,即,令, 则,代入可得,有,解得, ,的最小值为1,最大值为. 8．（2026. 北京市第五十五中学.高三上期中）在平面直角坐标系中,点为圆上的动点,点的坐标为,其中为常数且． （1）若,则=_____, （2）若的最大值为,此时的最小值为_____． 【答案】 【解析】由圆,可得圆心 又由,可得点的坐标为,即, 所以,则； 因为点为圆上的动点,可设, 又因为点的坐标为,可得, 则, 因为,所以当时,取得最大值, 则,解得, 因为,所以,此时的最小值为. 9．对于向量集,记向量．如果存在向量,使得,那么称是向量集的“长向量”． (1)设向量,．若是向量集的“长向量”,求实数x的取值范围； (2)设向量,,则向量集是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由； (3)已知均是向量集的“长向量”,其中,．设在平面直角坐标系xOy中的点集,其中,,且与关于点对称,与关于点对称,求的最小值． 【解析】（1）由题意可得：,,, 则,解得：. （2）存在“长向量”,且“长向量”为,,理由如下： 由题意可得,若存在“长向量”,只需使, 因为,,,,,, 所以,故只需使 , 即,即, 当或6时,符合要求,故存在“长向量”,且“长向量”为,. （3）由题意,得,,即, 即,同理, 三式相加并化简,得：, 即,,所以, 设,由,解得, 即 设,则依题意得：, 得, 故, , 所以, 因为 所以, 当且仅当时等号成立, 所以. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $