第02讲 三角恒等变换（复习讲义）（北京专用）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦三角恒等变换核心考点，涵盖两角和差、倍角、半角、辅助角等公式，按公式逻辑层次构建知识框架。通过考情分析、知识点拆解、题型技巧归纳、真题训练及分层练习，帮助学生系统掌握公式应用，突破化简求值难点。 讲义突出方法技巧与核心素养融合，如辅助角公式教学中引导学生将不同名三角函数合并为标准形式，培养数学思维与模型意识。设置基础与重难分层训练，配合真题溯源与课本典例挖掘，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第02讲 三角恒等变换 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 两角和与差的正、余弦、正切公式 知识点2 倍角公式 知识点3 半角公式 知识点4 辅助角公式 知识点5 和差化积公式 知识点6 积化和差公式 题型破译 (含超链接） 题型1 两角和差公式【含方法技巧】 题型2 倍角公式及其应用【含方法技巧】 题型3 辅助角公式及其应用【含方法技巧】 题型4 三角恒等变换的综合应用【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 三角恒等变换 T16 T8+T13 T16 考情分析 三角恒等变换是高考的重要内容，北京卷近年将其作为解题工具融入三角函数、解三角形题目中。近三年考情显示，恒等变换多以辅助角公式、和差角公式形式渗透于综合题中，分值约5分，难度中等。复习时需熟练记忆核心公式，注重逆向使用及变形技巧，能根据题目特征灵活选择恒等变换路径。 复习目标 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，能熟练进行三角函数式的化简与求值。 2.掌握二倍角公式及其变形，能进行降幂与升幂变换。 3.掌握辅助角公式 ，能将三角函数式化为标准形式。 4.能运用三角恒等变换解决三角函数的图象与性质问题（周期、单调性、最值、对称性）。 5.能在解三角形中灵活运用恒等变换进行边角互化与求值。 6.注重公式的逆向使用与变形技巧，提升数学运算与逻辑推理素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 两角和与差的正、余弦、正切公式 ______； ______； ______． 自主检测1的结果为（     ） A． B． C．0 D． 自主检测2已知，都是锐角，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 自主检测3已知，均为锐角，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 知识点2 倍角公式 ______； ______＝______＝______； ______． 降幂公式：， 自主检测1已知，则（     ） A． B． C． D． 自主检测2已知，则（    ） A． B． C． D． 知识点3 半角公式 __________，        ① __________，        ② __________（无理形式）．    ③ __________．（有理形式）． 上面的公式①②③统称为半角公式，分别简记为，，．半角公式的符号需要根据角所在的象限来判断． 自主检测1已知，且，则＝（   ） A． B． C． D． 自主检测2如果，，那么（    ） A． B． C． D． 知识点4 辅助角公式 __________．（其中，） 自主检测1（    ） A． B． C． D． 自主检测2已知函数的最大值为2，则的值可以是（　　） A．-1 B．1 C． D．2 知识点5 和差化积公式 ___________________； ___________________； ___________________； ___________________． 自主检测1函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 自主检测2已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 知识点6 积化和差公式 ___________________； ___________________； ___________________； ___________________． 题●型●破●译 题型1 两角和差公式 例1-1（25-26高三上·北京·阶段检测）角的终边过点，则（   ） A． B． C． D．3 例1-2（25-26高三上·北京平谷·开学考试）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则（   ） A． B． C． D． 例1-3（2026·北京西城·一模）已知，且，写出满足条件的一组的值_________，_________． 方法技巧 1.公式系统梳理： 正弦：； 余弦：； 正切：（注意 、、 均不等于 ，）。 2.正切公式的变形应用： ； 。 此变形在化简求值中经常使用，可简化运算。 3.给值求值：已知某些角的三角函数值，求其他角的三角函数值时，关键是构造已知角与所求角之间的关系，如 、 等。 4.给值求角：先求该角的某一三角函数值，再结合角的范围确定角的大小。通常选择在所求角范围内单调的三角函数（如 上用余弦， 上用正弦）。 5.公式的逆用与变形：不仅要会用公式从左到右展开，还要能反向合并。如 。 【变式训练1-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）若，且．则______． 【变式训练1-2】已知，，则（   ） A． B． C． D．1 【变式训练1-3】已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型2 倍角公式及其应用 例2-1（2026·北京西城·一模）已知函数，则是（   ） A．奇函数，且最小正周期为 B．奇函数，且最小正周期为 C．偶函数，且最小正周期为 D．偶函数，且最小正周期为 例2-2（2026·北京东城·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 例2-3（2026·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，为终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 例2-4（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数 ，则（    ） A．其最小正周期为，最小值为0 B．其最小正周期为，最小值为0 C．其最小正周期为，最大值为 D．其最小正周期为，最大值为 方法技巧 1.倍角公式： ； ； （注意 ，）。 2.降幂公式（由倍角公式变形得到）： ； ； 。 降幂公式主要用于化简高次三角函数式，为后续研究函数性质（如最值、周期）做准备。 3.升幂公式（逆用降幂公式）： ； 。 升幂公式常用于将常数与三角函数合并，便于因式分解或化简。 4.半角公式： ； ； 。 使用半角公式时，正负号的选取由 所在的象限决定。 5.倍角公式与和差公式的综合：对于 、 等三倍角问题，可先化为 ，再利用倍角公式展开。 【变式训练2-1】（2026·北京海淀·二模）若锐角满足，则的一个取值为___________；的最小值为___________． 【变式训练2-2】已知，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知函数，则的值域为____________． 【变式训练2-4】设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型3 辅助角公式及其应用 例3-1（2026·北京大兴·三模）函数的最大值是_____________，取最大值时，____________． 例3-2（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数，且.若两个不等的实数满足且，则______________，__________________. 方法技巧 1.辅助角公式：，其中辅助角 满足 ，，即 （）， 的象限由 、 的符号共同决定。 2.辅助角的确定原则： 辅助角 通常取 范围内的角； 也可写成 的形式，视题目需求灵活选择。 常见特殊角的辅助角： 时，；， 时，；， 时，。 3.辅助角公式的核心价值：将两个不同名的三角函数合并为一个同名三角函数，从而将问题转化为研究 的形式，方便后续求最值、周期、单调区间、对称轴、值域等。 4.应用场景： 求 的最值，合并后最大值为 ，最小值为 ； 求 的周期，周期 ； 解形如 的方程，合并后化为 求解。 5.扩展形式：对于更复杂的形式，如 ，也可先合并前两项，再结合常数处理；对于含 与 的式子，常通过换元法转化为二次函数问题。 【变式训练3-1】（2026·北京海淀·二模）若函数的值域为，则可以为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】（25-26高三上·北京房山·期末）若函数的最大值为，则常数的一个取值为_____． 题型4 三角恒等变化的综合应用 例4-1已知，均为锐角，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 例4-2（2026·北京通州·一模）已知函数（），若存在，使得，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例4-3（2026·北京石景山·二模）已知α，，且.给出下列四个结论： ①有最小值； ②无最大值； ③有最小值； ④无最大值． 其中所有正确结论的序号是______． 方法技巧 1.化简求值的基本原则： 一看角：观察角之间的和、差、倍、半关系，利用已知角表示未知角； 二看名：观察三角函数名称，利用“切化弦”或“弦化切”统一函数名； 三看式：观察式子的结构特点，选择恰当的公式变形（因式分解、通分、配方等）； 四看范围：涉及开方、取符号时，务必结合角的范围确定正负。 2.“1”的灵活代换：在三角恒等变换中，“1”有多种等价形式： ； ； （）等。 根据题目需要选择合适的代换方式，可有效化简式子。 3.条件求值的策略： 若已知 的值，两边平方可求 或 ； 若已知 的值，求 、 的齐次式（如 ），可分子分母同除以 化为 的式子求解； 若已知 与角的范围，需注意 的正负与角所在象限的关系。 4.与函数性质结合的综合题：先将三角表达式利用和差公式、倍角公式、辅助角公式化简为 的形式，再结合正弦型函数的图象与性质，求解值域、单调区间、对称中心、对称轴、零点等。 5.解三角形中的应用：在 中，常用到隐含条件 ，由此可得 ，，，这些关系是三角恒等变换在解三角形中的常见结合点。 6.换元法的灵活运用：对于含 与 的式子，常用换元 ，则 ，将三角问题转化为二次函数或不等式问题求解。 【变式训练4-1】已知，，，都是锐角，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知 ， ， ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】若，则＝（   ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2022·北京·高考真题）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 2．（2021·北京·高考真题）函数是 A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 3．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；________． 4．（2020·北京·高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1. 若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 2. 化简 (1) (2) (3) (4) 3. 已知与的比是，，求，和的值． 4. 求证： 5. 求的值． 6. 已知，，求． 7. 利用特殊角的三角函数值计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 三、单3选题 8. 函数和都单调递增的区间是（　　）． A． B． C． D． 9. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（    ） A．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 B．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 10. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（    ） A．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 11. 将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（　　）. A． B． C． D． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．的结果为（     ） A． B． C．0 D． 2．函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．已知为锐角，若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 6．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 8．若，则（    ） A． B． C． D． 9．已知对于任意的，都有成立，则（   ） A． B．0 C． D．1 10．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 重难·创新演练11．若，则（    ） A． B． C． D． 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 13．已知，则（    ） A． B． C． D． 14．已知，则（    ） A． B． C． D． 15．已知，则（     ） A． B． C． D． 16．已知，且，则（     ）． A． B． C．1 D．5 17．已知 ， ， ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 18．已知，且，则（    ） A．3 B． C． D．-3 19．已知则（    ） A． B． C． D． 20．已知，，且满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 三角恒等变换 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 两角和与差的正、余弦、正切公式 知识点2 倍角公式 知识点3 半角公式 知识点4 辅助角公式 知识点5 和差化积公式 知识点6 积化和差公式 题型破译 (含超链接） 题型1 两角和差公式【含方法技巧】 题型2 倍角公式及其应用【含方法技巧】 题型3 辅助角公式及其应用【含方法技巧】 题型4 三角恒等变换的综合应用【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 三角恒等变换 T16 T8+T13 T16 考情分析 三角恒等变换是高考的重要内容，北京卷近年将其作为解题工具融入三角函数、解三角形题目中。近三年考情显示，恒等变换多以辅助角公式、和差角公式形式渗透于综合题中，分值约5分，难度中等。复习时需熟练记忆核心公式，注重逆向使用及变形技巧，能根据题目特征灵活选择恒等变换路径。 复习目标 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，能熟练进行三角函数式的化简与求值。 2.掌握二倍角公式及其变形，能进行降幂与升幂变换。 3.掌握辅助角公式 ，能将三角函数式化为标准形式。 4.能运用三角恒等变换解决三角函数的图象与性质问题（周期、单调性、最值、对称性）。 5.能在解三角形中灵活运用恒等变换进行边角互化与求值。 6.注重公式的逆向使用与变形技巧，提升数学运算与逻辑推理素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 两角和与差的正、余弦、正切公式 ______； ______； ______． 自主检测1的结果为（     ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【详解】. 自主检测2已知，都是锐角，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合同角三角函数关系，余弦的差角公式求解即可. 【详解】因为，都是锐角，所以, 因为，， 所以，， 所以 自主检测3已知，均为锐角，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，由辅助角公式得： ， 其中，， 已知等式左边等于，因此，得， 即，因此， 所以，又， 所以. 知识点2 倍角公式 ______； ______＝______＝______； ______． 降幂公式：， 自主检测1已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式及二倍角公式求解即可. 【详解】. 自主检测2已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由辅助角公式结合二倍角余弦公式可得答案. 【详解】， 则. 知识点3 半角公式 __________，        ① __________，        ② __________（无理形式）．    ③ __________．（有理形式）． 上面的公式①②③统称为半角公式，分别简记为，，．半角公式的符号需要根据角所在的象限来判断． 自主检测1已知，且，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据半角公式结合角的范围即可求解. 【详解】因为，则，, 由半角公式可得. 故选：B 自主检测2如果，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先去绝对值，根据二倍角公式求和，即可求解的值. 【详解】由条件可知，，则， 因为，所以，则，， 则，则，， 所以. 故选：B 知识点4 辅助角公式 __________．（其中，） 自主检测1（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得：. 自主检测2已知函数的最大值为2，则的值可以是（　　） A．-1 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】先利用辅助角公式将函数化简，再利用三角函数的最值求出的值. 【详解】由题意，函数， 因为正弦函数的值域是， 所以的最大值为， 已知的最大值为，即， 整理得， 解得. 故答案为： 知识点5 和差化积公式 ___________________； ___________________； ___________________； ___________________． 自主检测1函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由，，令，求解的值，判断选项. 【详解】由，， 令，则，或， 故或，即或， 由，则或， 即或， 故或， 综上所述，存在个零点,即为. 故选：C. 自主检测2已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据和差化积公式化简，得到，再利用正切二倍角公式求出答案. 【详解】由和差化积公式，得， ，所以． 所以． 故选：A． 知识点6 积化和差公式 ___________________； ___________________； ___________________； ___________________． 题●型●破●译 题型1 两角和差公式 例1-1（25-26高三上·北京·阶段检测）角的终边过点，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义先计算，再利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】由题意有：，所以， 故选：B. 例1-2（25-26高三上·北京平谷·开学考试）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，得，分为第一象限角和第二象限角，利用平方关系和余弦的差角公式，即可求解. 【详解】因为角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，且， 则， 若为第一象限角，则为第四象限角， 由，得， 由，得， 此时， 若为第二象限角，则为第三象限角， 由，得， 由，得， 此时， 综上，. 故选：B. 例1-3（2026·北京西城·一模）已知，且，写出满足条件的一组的值_________，_________． 【答案】 （答案不唯一，满足题意即可） （答案不唯一，满足题意即可） 【详解】，即， 结合，可知 两边同除以可得：， 即，又， 故取，满足条件. 方法技巧 1.公式系统梳理： 正弦：； 余弦：； 正切：（注意 、、 均不等于 ，）。 2.正切公式的变形应用： ； 。 此变形在化简求值中经常使用，可简化运算。 3.给值求值：已知某些角的三角函数值，求其他角的三角函数值时，关键是构造已知角与所求角之间的关系，如 、 等。 4.给值求角：先求该角的某一三角函数值，再结合角的范围确定角的大小。通常选择在所求角范围内单调的三角函数（如 上用余弦， 上用正弦）。 5.公式的逆用与变形：不仅要会用公式从左到右展开，还要能反向合并。如 。 【变式训练1-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）若，且．则______． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系和余弦的两角和公式求解即可. 【详解】由题意，且，故， 所以. 故答案为： 【变式训练1-2】已知，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】将给定的两个等式平方相加，再逆用差角的余弦公式即得. 【详解】由，，得， 整理得，所以. 故选：B 【变式训练1-3】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和与差的正弦公式以及同角三角函数的关系求解即可. 【详解】，即， ，即， ， ，解得， ， . 故选：D. 题型2 倍角公式及其应用 例2-1（2026·北京西城·一模）已知函数，则是（   ） A．奇函数，且最小正周期为 B．奇函数，且最小正周期为 C．偶函数，且最小正周期为 D．偶函数，且最小正周期为 【答案】B 【分析】根据的关系判断的奇偶性，再根据周期的定义，判断的周期，即可选择. 【详解】由题意得， 故， 又其定义域为，故为奇函数； 又的最小正周期为， 且的最小正周期为，则的最小正周期为， 且， 故的最小正周期为. 综上所述：是奇函数，且最小正周期为. 例2-2（2026·北京东城·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 故 例2-3（2026·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，为终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知为终边上一点，故， 所以. 例2-4（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数 ，则（    ） A．其最小正周期为，最小值为0 B．其最小正周期为，最小值为0 C．其最小正周期为，最大值为 D．其最小正周期为，最大值为 【答案】C 【分析】首先将拆分为两个函数，通过它们的最小正周期得到的最小正周期，由倍角公式将进行变形，通过二次函数的性质求得最值. 【详解】因为的最小正周期为，的最小正周期为， 所以的最小正周期为. ， 由二次函数的性质知，当时，取得最大值，为； 当时，取得最小值，为. 故选：C. 方法技巧 1.倍角公式： ； ； （注意 ，）。 2.降幂公式（由倍角公式变形得到）： ； ； 。 降幂公式主要用于化简高次三角函数式，为后续研究函数性质（如最值、周期）做准备。 3.升幂公式（逆用降幂公式）： ； 。 升幂公式常用于将常数与三角函数合并，便于因式分解或化简。 4.半角公式： ； ； 。 使用半角公式时，正负号的选取由 所在的象限决定。 5.倍角公式与和差公式的综合：对于 、 等三倍角问题，可先化为 ，再利用倍角公式展开。 【变式训练2-1】（2026·北京海淀·二模）若锐角满足，则的一个取值为___________；的最小值为___________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】由题意知，，再结合同角三角函数关系，根据二次不等式得，最后根据二倍角公式求解最值即可. 【详解】由题意知，， 所以，即， 因为， 所以，即 解不等式得， 又，， 所以， 所以 综上，的值可以是内的任意值，的最小值为. 【变式训练2-2】已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数之间的关系及二倍角公式化简求值即可. 【详解】因为，所以，又， 所以 . 故选：A. 【变式训练2-3】已知函数，则的值域为____________． 【答案】 【分析】先利用二倍角的余弦公式化简函数，将函数转化为二次函数求值域即可. 【详解】因为， 令，所以函数变为， 当时，函数的最小值为， 又函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且， 所以函数的值域为，即的值域为. 故答案为：. 【变式训练2-4】设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用，得出，再换元应用二次函数单调性结合三角函数值域得出的取值范围. 【详解】因为，则， 则， 又因为，所以， 令，当单调递减，当单调递增， 所以当时，，当或时，， 所以的取值范围是. 故选：D. 题型3 辅助角公式及其应用 例3-1（2026·北京大兴·三模）函数的最大值是_____________，取最大值时，____________． 【答案】 / 【分析】先根据辅助角公式化简，再根据正弦函数的值域即可求出的最大值，此时得到的值，再根据同角三角函数的关系，及诱导公式求出取最大值时的值． 【详解】由，，， 又，所以函数的最大值是， 此时，则，， 即，， 所以取最大值时，． 例3-2（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数，且.若两个不等的实数满足且，则______________，__________________. 【答案】 2 /0.6 【分析】利用辅助角公式化简的解析式，再由题意可得函数关于对称，且最小正周期，即可求出的值；进而得到，再由二倍角公式计算即得. 【详解】依题意，函数，其中锐角由确定， 且函数的最小值为，最大值为， 由，得函数的图象关于对称， 又两个不等的实数满足且， 则函数在处同取最大值或同取最小值，且函数的最小正周期， ，又，则，解得， 于是，则，即， 所以 故答案为：2； 方法技巧 1.辅助角公式：，其中辅助角 满足 ，，即 （）， 的象限由 、 的符号共同决定。 2.辅助角的确定原则： 辅助角 通常取 范围内的角； 也可写成 的形式，视题目需求灵活选择。 常见特殊角的辅助角： 时，；， 时，；， 时，。 3.辅助角公式的核心价值：将两个不同名的三角函数合并为一个同名三角函数，从而将问题转化为研究 的形式，方便后续求最值、周期、单调区间、对称轴、值域等。 4.应用场景： 求 的最值，合并后最大值为 ，最小值为 ； 求 的周期，周期 ； 解形如 的方程，合并后化为 求解。 5.扩展形式：对于更复杂的形式，如 ，也可先合并前两项，再结合常数处理；对于含 与 的式子，常通过换元法转化为二次函数问题。 【变式训练3-1】（2026·北京海淀·二模）若函数的值域为，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换先化简，进而求解. 【详解】由 ，其中， 又因为的值域为，所以，解得， 所以或， 当时，或，得到A符合题意. 【变式训练3-2】（25-26高三上·北京房山·期末）若函数的最大值为，则常数的一个取值为_____． 【答案】（答案不唯一，只需，即可） 【分析】由和差角公式及辅助角公式化简函数，然后得到方程，即可解得的值. 【详解】， ， 依题意，，即， 化简得，解得. 故答案为：（，即可）. 题型4 三角恒等变化的综合应用 例4-1已知，均为锐角，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，由辅助角公式得： ， 其中，， 已知等式左边等于，因此，得， 即，因此， 所以，又， 所以. 例4-2（2026·北京通州·一模）已知函数（），若存在，使得，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数关系及二倍角正弦公式进行化简，得到，进而求得，结合已知条件得到关于的不等式，求解验证即可. 【详解】 . 则，整理得， 即，解得. 因为，，所以. 而方程的解为或，， 若存在满足条件，则需中包含至少一个解， 又最小的正解为，则需使，所以. 若，，此时，，满足，所以的最小值为. 例4-3（2026·北京石景山·二模）已知α，，且.给出下列四个结论： ①有最小值； ②无最大值； ③有最小值； ④无最大值． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③④ 【分析】根据所给条件，令，可得，分别令，，转化为关于的式子，令换元后，再由函数单调性判断选项即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 设，由可得，解得， 所以，， 对①②，令，代入得：， 令，则，则，函数在上单调递增，故无最值，故①错误②正确； 令，代入可得， 由可得，则，由函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，由于区间端点取不到，故无最大值，故③④正确. 方法技巧 1.化简求值的基本原则： 一看角：观察角之间的和、差、倍、半关系，利用已知角表示未知角； 二看名：观察三角函数名称，利用“切化弦”或“弦化切”统一函数名； 三看式：观察式子的结构特点，选择恰当的公式变形（因式分解、通分、配方等）； 四看范围：涉及开方、取符号时，务必结合角的范围确定正负。 2.“1”的灵活代换：在三角恒等变换中，“1”有多种等价形式： ； ； （）等。 根据题目需要选择合适的代换方式，可有效化简式子。 3.条件求值的策略： 若已知 的值，两边平方可求 或 ； 若已知 的值，求 、 的齐次式（如 ），可分子分母同除以 化为 的式子求解； 若已知 与角的范围，需注意 的正负与角所在象限的关系。 4.与函数性质结合的综合题：先将三角表达式利用和差公式、倍角公式、辅助角公式化简为 的形式，再结合正弦型函数的图象与性质，求解值域、单调区间、对称中心、对称轴、零点等。 5.解三角形中的应用：在 中，常用到隐含条件 ，由此可得 ，，，这些关系是三角恒等变换在解三角形中的常见结合点。 6.换元法的灵活运用：对于含 与 的式子，常用换元 ，则 ，将三角问题转化为二次函数或不等式问题求解。 【变式训练4-1】已知，，，都是锐角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，， 得，， 两式相加得，， 则，即，则， 因为，都是锐角，所以， 则，即. 【变式训练4-2】已知 ， ， ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的取值范围和同角三角函数基本关系求出、的值，再利用两角和的余弦公式、正弦二倍角公式分别计算分子和分母，最终化简得到结果. 【详解】，则有，， ， ， ， ， 所以. 【变式训练4-3】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对式子进行平方，再相加化简得，进而可得，再回代化简可得，然后用和差公式求解即可． 【详解】因为，所以①； 又因为，所以②. ①+②得，所以. 又因为，所以，即. 把代入，得， 则，即. 把，得， 则，即. 所以. 【变式训练4-4】若，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知等式两侧平方相加，应用差角正弦公式化简得，从而有，代入整理得，并将化为求，即可得. 【详解】由题设，则， 所以，可得， 由，则，故， 代入，则， 所以，则， 所以， 所以. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2022·北京·高考真题）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C 【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为. 对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错； 对于B选项，当时，，则在上不单调，B错； 对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对； 对于D选项，当时，，则在上不单调，D错. 故选：C. 2．（2021·北京·高考真题）函数是 A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 【答案】D 【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值. 【详解】由题意，，所以该函数为偶函数， 又， 所以当时，取最大值. 故选：D. 3．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；________． 【答案】 1 【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可. 【详解】∵，∴ ∴ 故答案为：1， 4．（2020·北京·高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________． 【答案】（均可） 【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出. 【详解】因为， 所以，解得，故可取. 故答案为：（均可）. 【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1. 若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作，利用和差公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D 2. 化简 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用两角和与差的三角函数公式求解. 【详解】（1）解：， ， （2）， ， ， （3）， ， ， （4）， ， ， . 3. 已知与的比是，，求，和的值． 【答案】，，． 【分析】由正弦、余弦的二倍角公式，正切的半角公式求解． 【详解】由题意，， ，， 所以，， ． 4. 求证： 【答案】证明见解析 【分析】利用二倍角正余弦公式化简左侧，即可证结论. 【详解】由 ，得证. 5. 求的值． 【答案】 【分析】利用和差公式将展开，化简后再将看作，利用和差公式求值. 【详解】因为， 所以 6. 已知，，求． 【答案】 【分析】由正弦的和差角公式可得，再由正切的和角公式及同角三角函数的商数关系化简，即可得解. 【详解】因为 ， 所以 所以 . 7. 利用特殊角的三角函数值计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）（5）直接使用和差公式化简求值即可；（2）（3）（6）先使用和差公式或二倍角公式化简，再结合诱导公式即可求解；（4）先用诱导公式转化成和差公式形式，再有和差公式求解即可. 【详解】（1）. （2） . （3）. （4）原式. . （5）. （6）. 三、单3选题 8. 函数和都单调递增的区间是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦函数与余弦函数的单调递增区间即可求解. 【详解】函数的单调递增的区间是， 函数的单调递增的区间是， 由，可得函数和都单调递增的区间是. 故选：A. 9. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（    ） A．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 B．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 【答案】D 【分析】根据相位变换，即可得出答案. 【详解】将函数的图象上的每个点横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变，即可得出. 故选：D. 10. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（    ） A．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 【答案】B 【分析】根据伸缩变换，即可得出答案. 【详解】将函数的图象上的每个点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，即可得到函数的图象. 故选：B. 11. 将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合对函数图象的影响可得. 【详解】将函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到函数即的图象， 再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，就得到函数的图象， 然后再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍，就得到函数的图象. 故选：A. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．的结果为（     ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【详解】. 2．函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 当，即时，函数取得最大值. 3．已知为锐角，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据同角三角函数的关系求出 ，然后根据正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】因为为锐角，所以，由同角三角函数平方关系得： ， 由正弦二倍角公式，代入得： . 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， . 5．函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【分析】先判断函数奇偶性排除偶函数选项，再化简函数求解最小正周期. 【详解】函数的定义域是关于原点对称， ，所以是奇函数， 所以选项C,D错误， ， 其中的最小正周期为π，的最小正周期为π，经验证，不存在更小的正周期，故的最小正周期为π，选项B错误；选项A正确. 6．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 7．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】由于，代入，且， 得，解得，故B正确. 8．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，． 9．已知对于任意的，都有成立，则（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】根据二倍角公式，商数关系展开整理即可求解. 【详解】由，，得， 即，整理得， 因为对任意，恒成立，故，即. 10．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用同角三角函数关系求出，再应用两角差余弦公式计算求解. 【详解】已知， 则， 则 重难·创新演练 11．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得 ， 所以. 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由辅助角公式结合二倍角余弦公式可得答案. 【详解】， 则. 13．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，整理可得，运算求解即可. 【详解】设， 因为，则，且， 可得， 则，解得. 且，则，所以. 14．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用两角差的正弦结合辅助角公式得出，再应用诱导公式求解. 【详解】因为，所以， 所以，即， 所以； 故选：B． 15．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件进行切化弦转换，利用二倍角公式将已知条件转化为一元二次方程，解方程求出，并利用正弦函数的取值范围确定最终解． 【详解】，则， 故， 两边平方得，即， 解得， ， ． 16．已知，且，则（     ）． A． B． C．1 D．5 【答案】D 【分析】将条件变形为，根据两角和差的余弦公式，结合同角三角函数的关系，即可求得答案. 【详解】由，得， 所以， 则， 所以，因为， 所以. 17．已知 ， ， ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的取值范围和同角三角函数基本关系求出、的值，再利用两角和的余弦公式、正弦二倍角公式分别计算分子和分母，最终化简得到结果. 【详解】，则有，， ， ， ， ， 所以. 18．已知，且，则（    ） A．3 B． C． D．-3 【答案】A 【分析】根据余弦差公式和正弦和公式展开已知等式，结合，转化为正切关系，最后根据正切和公式得到答案. 【详解】由已知，可得：， 因为存在，所以， 将上式两边同时除以可得， 代入，得：， 根据正切和公式， 代入和：. 19．已知则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和的正弦公式以及商数关系求解出与的值，继而逆运用两角差的正弦公式求出，再运用余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由，可得，即. 又因为， 所以.所以， 所以， 故选：D. 20．已知，，且满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由三角函数的性质求出，将所求式化为，结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】因为， 因为 ， 所以， 设，因为，，所以， 即，所以， 则，所以， 当时，的最大值为. 故选：B. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $