第2章 有理数期中复习专题讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

有理数期中复习专题讲义学生版 有理数期中复习专题讲义 2026一2027学年第一学期苏科版七年级数学上册 学生版 目录导航 知识梳理. .3 正数与负数的意义. 3 有理数的分类与零的归属， .3 数轴的画法与读法. .4 相反数与符号的化简..… 绝对值的意义与计算.… .5 绝对值的基本性质与简单应用.. 有理数的大小比较. ….6 倒数及其与相反数的区别.. ....6 有理数加法的法则与符号判断.… 7 减法转化为加法与加减混合运算 8 有理数乘法与积的符号. 8 有理数除法与乘除混合运算.… .9 运算律的内容与适用范围.… 9 简便运算的选择与规范步骤.… ….10 乘方的意义与负号括号 .10 有理数混合运算的顺序.…。 .11 科学记数法与数量单位， ..11 近似数与精确到哪一位.。 .12 实际问题中的正负记录与绝对值. .12 运算程序与简单周期规律.… .13 第1页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 题型导航 题型一正负数的意义与有理数分类.… .15 题型二数轴读图与大小比较.… 17 题型三相反数倒数与绝对值. 20 题型四有理数加减与符号判断.… …23 题型五有理数乘除与符号判断.. .25 题型大乘方与科学记数法.…。 .28 题型七混合运算与错解辨析.… .31 题型八运算律与简便计算.… .34 题型九数轴条件下的绝对值化简. .37 题型十非负性与综合求值.... .40 题型十一新定义运算与程序计算.… …42 题型十二数的规律与求和. ..46 题型十三正负记录与实际应用…48 题型十四数轴运动与距离综合. .53 第2页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 知识梳理 正数与负数的意义 为了表示具有相反意义的量，可以把其中一种意义的量规定为正，另一种意义的量规定为负。例如 向东与向西、收入与支出、高于标准与低于标准，都要先说明正负号的规定，再记录数值。 大于0的数叫作正数，在正数前面加上负号“-”所得的数叫作负数。正数前面的正号“+”通常可以省 略，负数前面的负号不能省略。0既不是正数，也不是负数。 0不只表示“没有”。在以海平面为基准的高度记录中，0表示处于海平面；在以标准质量为基准的记 录中，0表示恰好达到标准。负数记录的量也并非没有实际意义。 例规定标准后读懂正负记录 一袋食品的标准质量为500克。把超过标准的克数记为正，低于标准的克数记为负。记录为+6 克、~4克和0克的三袋食品，实际质量各是多少克？ 解析记录的是“实际质量与标准质量的差”，不是实际质量本身。三袋的实际质量依次为 500+6=506克、500-4=496克、500+0=500克。 若一袋实际质量为497克，则比标准少3克，应记录为-3克。 只有属于同一类量、意义相反，才适合用同一规定下的正负数表示。记录时还要统一单位，不能把 方向、单位或基准省略后再猜数的意义。 有理数的分类与零的归属 整数和分数统称有理数。整数包括正整数、0和负整数；分数包括正分数和负分数。有理数也可以 按符号分为正有理数、0和负有理数。分类时应采用同一个标准，做到不重复、不遗漏。 分类标准 有理数的分类 按整数和分数分 整数：正整数、0、负整数；分数：正分数、负分数。 按正负号分 正有理数：正整数、正分数；0；负有理数：负整数、负分数。 有理数都能写成号的形式。其中Q,6是整数。且b0。判断类别看数的值，不只看写法。例如 2是整致20也是整数：-075=星是负分数 3 有限小数和无限循环小数都可以写成分数。有理数分类中，不能把所有带小数点的写法都判为分 数，也不能把所有无限小数都排除在有理数之外。 非负数是正数和0的统称；非正数是负数和0的统称。非负整数包括0,1,2,3，…，因此“非负整数” 不等于“正整数”。 第3页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 例同一组数按同一标准分类 把4、0、号-0,7万、号按整数和分数分类。 6 解新先把号化为2，整载是4、0.号分数是0万、。 62 若改按正负号分类，则正有理数是3、，负有理数是4、-0.75,0单独列出。 数轴的画法与读法 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。通常取向右为正方向，原点表示零。表示相差一 个单位的两个数时，所用长度必须相同；单位长度可以根据需要选择，但一条数轴上不能随意改 变。 每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。正数在原点右侧，负数在原点左侧。表示负分数时， 要从原点向左量出相应长度，不能只看分子或把分数放到右侧。 A B -4 -2 0 2 图1数轴上的整数点与分数点 例读出点的位置并判断移动结果 如图，点A表示3，点B表示多，点A向右移动5个单位长度后到达哪里？点B位于哪两个相 邻整数之间？ 解析从-3向右移动5个单位长度，所表示的数增加5，到达表示-3+5=2的点。 因为1<<2，所以点B位于表示1与2的两点之间。恰在中间。 数轴上，向右移动表示所表示的数增大，向左移动表示所表示的数减小。若从表示α的点向右移动 b个单位长度，则到达表示Q+b的点；这里作为移动长度的b必须非负。 相反数与符号的化简 只有符号不同的两个数互为相反数。0的相反数仍是0。一般地，数a的相反数是-a,一个数的相 反数的相反数仍是它本身，即-(-a)=a。 两个数互为相反数，它们的和为0；反过来，两个数的和为0，它们互为相反数。数轴上表示一对非 零相反数的两点分居原点两侧，到原点的距离相等。 a+(-a)=0 第4页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 -a表示a的相反数，不能只凭前面的负号就断定它是负数。例如当a=-7时，-Q=7;当Q=0时， -a=0。同样，+a不一定是正数。 例逐层理解负号的作用 化简--6儿，并求吾的相反数。 解析从内向外计算：-（-6)=6，因此-[-(-6)门]=-6。 号的相反数是票两数相加为心。 若若干个负号逐层作用于同一个数，每多一个负号就取一次相反数。但是遇到加减混合运算，不能 把整串算式的所有负号简单计数。两个非零相反数相除的商是-1；“非零”不能漏掉，因为0÷0没有 意义。 绝对值的意义与计算 数轴上表示数x的点与原点的距离，叫作数x的绝对值，记作|x。绝对值表示距离，结果可以是 0,但不能是负数。 4 A S 5 -3 -2 图2相反数到原点的距离相等 正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。可写成 xx>0 |x|=0x=0 -xx<0 把前两种情况合并，就是当x≥0时，x=x;当x<0时，x|=-X。因此去绝对值符号之前，要判 断符号内整个数或式子的正负，而不是机械地“删掉负号”。 例先算绝对值符号内的数 计算-61、10和吃后。 115 解析-61=-(-6)=6,10=0。 先算2吾京再取绝对位得片导 15_1 若已知a<0,则|a=-a,这里的-a是正数，不与绝对值非负矛盾。a=a的条件是a≥0；|a=-a 的条件是a≤0，两种条件都不能遗漏a=0。 第5页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 绝对值的基本性质与简单应用 绝对值具有非负性：a≥0，并且只有a=0时才有a=0。相反数的绝对值相等，即-a=|a。但 绝对值相等的两个数不一定互为相反数，也可能是同一个数。也就是说，若|=|bl,则a=b或 a=-b。 已知一个数的绝对值，要看给出的值是否可能是距离。若|x=3,则x=3或x=-3;若|x=0,则 只有x=0;若|x=-3,则没有符合条件的数。 若几个非负数的和为0，每个数都必须为0。例如由|a+|b|=0可得a=b=0。若是差为0，就不能 这样判断：α-b|=0只说明两数的绝对值相等。 例结合相反数条件求和与积 已知a=4,b是a的相反数，求a+b和ab。 解析当a=4时，b=-4;当a=-4时，b=4。两种情况都满足a+b=0,ab=-16。 不能只取a=4；但由互为相反数可以先判断和为0，不必分别重复计算。 数轴上表示a,b的两点之间的距离为|a-b|。已知左右顺序时，也可以用右边的数减去左边的数。 例如表示-2与3的两点相距3-(-2)=5个单位长度。距离不能写成-2-3=-5。 绝对值作用于整体，不具有对加法的分配性质。例如|-2+3=1，而-2+3=5。本章要先熟练掌 握这些基本应用，再处理较复杂的绝对值分类问题。 有理数的大小比较 数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。因此正数大于0,0大于负数，正数大于负数。 两个正数可以按小学学过的方法比较；两个负数则是绝对值大的反而小。 比较两个负分数时，先通分比较绝对值，再把大小关系反过来。不要把比较绝对值的结论直接当成 比较原数的结论。 例比较两个负分数 比较君与写的大小 解析它们的绝对值分8别足居与了，通分得吾品舌是所以名子。 5<.7 两个数都为负，绝对值大的反而小，因此6g 有理数中没有最大的数，也没有最小的数。最大负整数是-1，最小正整数是1， 最小非负整数是0；不能把“整数”二字漏掉，说成“最大负数是-1”或“最小正数是1”。 当题目只给a>b时，不能直接判断a>b,还要结合符号。例如a=-8、b=2,虽然a>b,却 有a<b。比较数的大小与比较它离原点的远近，是不同的问题。 倒数及其与相反数的区别 乘积为1的两个数互为倒数。非零数a的倒数是。因为a×。-1.0与任何数相乘都得0，所以 0没有倒数。 第6页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 互为倒数的两个数同号。求分数的倒数时，分子、分母交换位置，原来的正负号不变；求小数或带 分数的倒数时，通常先把它化成分数。 比较项目 相反数 倒数 判断依据 两数的和为0 两数的积为1 数a对应的结果 -a 1 要求a≠0 0的情况 相反数是0 没有倒数 等于它本身的数 0 1和-1 例一个数的相反数和倒数 求-1.25的相反数和倒数。 解析-1.25的相反数是1.25。先把原数化为分数：-1.25=三 所以它的倒数为斗。 检验：-125+125=0：(-×号-1 1 1 “取倒数"不是“取相反数，也不是只改变符号。例如-2的倒数是2，不是2。涉及倒数的式子，首 先检查原数是否为0。 有理数加法的法则与符号判断 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的 加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得零。一个数与零相 加，仍得这个数。 例如(-7)+(-4)=-11；（-9)+14=5；（-9)+9=0。异号相加时，是比较绝对值，不是比较两个原数 谁大。 +5 A B -3 -2 -1 0 图3加上正数时在数轴上向右移动 第7页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 例分数的异号加法 计算名+县 解析无比较能对值温分后，石兰子是前者较大所以弟为负数。 两个负数相加一定为负；正数与负数相加，结果可能为正、为负，也可能为0。例如5+(-2)=3， 2+(-5)=-3,5+(-5)=0。不要套用乘法中的“同号得正”。 减法转化为加法与加减混合运算 减去一个数，等于加上这个数的相反数。转化时减号变为加号，同时减数变为它的相反数，被减数 不变。 a-b=a+(-b) 例如-5-(-8)=-5+8=3。只把减号改成加号而不改变减数，或者只改变减数而不改变运算符号，都 会改变原式的值。 例先写成几个数的和再计算 计算7-（-3)+(-6)-4。 解析把减法全部转化为加法，得7+(+3)+(-6)+(-4)。 正数的和为10，负数的和为-10，所以原式等于0。 把一个加减算式看成几个数的和以后，每个加数都要连同前面的符号一起移动。例如5-8+3中的三 个加数是5、-8、3，不是5、8、3。 减法不满足交换律、结合律。例如8-3=5，而3-8=-5；(8-3)-2=3，而8-(3-2)=7。要调整加减 运算的顺序，应先转化为加法。 有理数乘法与积的符号 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与零相乘，都得零。计算时先确定符 号，再计算绝对值，分数能约分的先约分。 几个非零数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有奇数个时积为负，有偶数个时积为正。 这里的偶数个包括0个。若有一个因数为0，乘积就是0，不用再数负因数。 例先确定符号再约分 计算x0×. 解析三个因数都非零，其中负因数有3个，所以乘积为负数。 绝对位的积为君×品×告1，因此原式等于山 乘积为0，至少有一个因数为0，不要求每个因数都为0。例如0×(-7)=0。当ab>0时，a,b同 号，但不一定都为正；当ab<0时，a,b异号。 第8页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 乘以一个数，结果不一定变大。例如6×}=3。是否变大要结合因数的符号和大小，不能沿用“乘法 2 总使数变大”的印象。 有理数除法与乘除混合运算 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。除数不为0是除法有意义的前提。只把除数变为倒 数，被除数不变。 1 a÷b=a× b≠0 b 两个非零数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何不等于0的数都得0；任何 数都不能除以0,0÷0也没有意义。 例分清除法顺序与括号作用 分别计算12÷(-3)×(-2)和12÷[(-3)×(-2)]。 解析第一式只有同一级乘除运算，应从左到右：12÷(-3)×(-2)=(-4)×(-2)=8。 第二式先算括号：12÷[(-3)×(-2)]=12÷6=2。括号改变了除数，两个算式不能混淆。 也可先把除法全部转化为乘法。再运用乘法运算律。例如12=(-3×-2=12×兮×(-2=8。不能 未经转化就交换被除数和除数。 约分适用于乘法中的因数，不可以隔着加减号直接约去某一项。含有分母或除法的式子应先检查是 否有意义；不能用“最后还要乘0”来掩盖除以0的错误。 运算律的内容与适用范围 有理数的加法和乘法都满足交换律、结合律；乘法对加法满足分配律。字母表示任意有理数时，下 面五个等式都成立。运算律可以从左到右使用，也可以从右到左使用。 运算律 字母表示 加法交换律 a+b=b+a 加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律 ab=ba 乘法结合律 (ab)c=a(bc) 乘法分配律 a(b+c)=ab+ac 减法本身不满足交换律、结合律；除法本身也不满足交换律、结合律。加减混合运算先转化为加 法，乘除混合运算先转化为乘法，再按需要交换或结合。 分配律要求括号外的数与括号内每一项分别相乘，不能漏项。由于减法可以看成加上相反数，也有 a(b-c)=ab-ac。这里只把它作为有理数简便运算的依据。 第9页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 例判断除法能不能拆开 比较(12+6)÷3与12÷3+6÷3，再比较12÷(2+4)与12÷2+12÷4。 解析第一组两式都等于6。因为除以3等于乘子，可以对被除数中的和使用分配律。 第二组前式等于2，后式等于9，不相等。除数中的和不能拆成两个除法相加。 一般地，当c≠0时，(a+b)÷c=a÷c+b÷c。这不是除法另有一个分配律，而是先转化为乘法后的 结果。涉及a÷(b+℃)时，首先要求b+c≠0，即使有意义，也不能照搬上述拆法。 简便运算的选择与规范步骤 简便运算不是随意改变顺序，而是选择合适的运算律。加法中优先考虑互为相反数、凑整数和同分 母的数；乘法中考虑先约分、凑整数或利用分配律。每一步应看得出依据，负号要跟着对应的数。 例1先把相反数和能凑整的数结合 计算-4.8+7.25+4.8-2.25。 解析把减法看作加上相反数，再交换、结合：(-4.8+4.8)+(7.25-2.25)=0+5=5。 例2根据分母选择分配律 计算-×号石+日。 解析36能被三个分母整除，分别相乘较方便。 原或=-36j×号-36×7+-361×合言-20*21-6=-5。 12 6 例3反向使用分配律 计算（-7)×19.8+(-7)×0.2。 解析两个乘积有相同的因数-7，所以原式=(-7)×(19.8+0.2)=(-7)×20=-140。 拆数时要保持原数的值。例如19.8=-20+02，不是-20-02：负带分数2兮-2+-2行不 是2+ 简算前先观察，若拆开后反而更繁琐，可以按通常顺序计算。完成后用符号和大致大小检查结果， 比只重做同一串笔算更容易发现错误。 乘方的意义与负号括号 求几个相同因数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂。在a”中，a叫作底数，n叫作指数。本 讲讨论的指数为正整数；当n>1时，a”表示n个a相乘，a=a。 例如34=3×3×3×3=81，而3×4=12。指数说明相同因数的个数，不是让底数与指数相乘。 正数的正整数次幂是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；0 的正整数次幂都是0。这里不把零指数幂和负整数指数幂作为本章要求。 第10页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 例1看清底数是否包含负号 分别计算（-42、-42和（-43。 解析（-42=(-4)×(-4)=16，底数是-4。 -42=-(4×4)=-16,先算4的平方，再取相反数。 (-43=(-4)×(-4)×(-4)=-64。 例2分数乘方要把整个分数括起来 计算（子并说明号与它是香扫宝。 解折（号-（号×-号-子=·9。 -2=8.只有分子中的2参与乘方，与前式不相等。 3 3’ 任何有理数的平方都非负，即a2≥0.1的正整数次幂总是1；(-1”在n为奇数时等于-1，在n为 偶数时等于1。而-1”始终表示-(1”)=-1，不能把它与（-1”混同。 有理数混合运算的顺序 有括号时先算括号里面的运算，从最里面的括号逐层向外计算。在没有括号的部分，先算乘方，再 算乘除，最后算加减；同一级运算按从左到右的顺序进行。先乘除不是先乘后除，先加减也不是先 加后减。 例如18÷3×2=6×2=12，不能先算3×2。分数线相当于把分子、分母各自括成一个整体，绝对值 符号也要求先计算符号内部的整体。 例按层次计算含乘方的混合算式 计算-2+3×[21-3。 解折先计算乘方：2=4，”子再算中括号。得子号1。 原式=-4+3×(-1)÷(-3)=-4+1=-3。 书写时，一行中的等号表示前后数值相等，不能把尚未算完的式子与某一个局部结果直接相等。例 如计算2+3×4，应写2+3×4=2+12=14，错误写法2+3×4=12=14中，12只是局部乘积，不等 于原式，不能放在这条等式链中。 检查时可分三次看：先看运算顺序和括号，再看正负号，最后看通分、约分及数值计算。若某一步 使用了简便运算，应确认它来自正确的运算律，而非改变原式的运算对象。 科学记数法与数量单位 把一个较大的正数写成a×10”的形式，其中1≤a<10,n是正整数，这种记数方法叫作科学记数 法。本讲只讨论用正整数次幂表示较大数，不引入负整数指数幂。 对大于或等于10的正数，小数点向左移动几位成为一个大于或等于1且小于10的数，10的指数 就是几。也可以用原数整数部分的位数减去1来确定指数。 第11页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 例写成科学记数法并核对单位 用科学记数法表示48600000，并把4.86×10人改写成以“万人”为单位的数。 解析48600000有8位整数，小数点向左移动7位得到4.86，所以48600000=4.86×10。 4.86×10'人就是48600000人，也就是4860万人。数值和单位必须同时对应，不能只换单位名 称。 48.6×10虽然与上述数值相同，但48.6不满足1≤a<10,所以不是规范的科学记数法。检查科学 记数法要同时看前面的数和10的指数。 科学记数法是数的表示方法，本身不等于取近似值。4.86×10'与48600000精确相等；如果题目 要求保留若干位数，再按相应要求使用近似号。 近似数与精确到哪一位 通过数数可以得到准确数，而测量、估计或四舍五入得到的数可能是近似数。近似到哪一位，就是 保留到哪一位；四舍五入时，观察被保留的最后一位的后一位。 例如8.376精确到十分位时，看百分位上的7，得8.4；精确到百分位时，看千分位上的6， 得8.38。应写成8.376≈8.4或8.376≈8.38，不能写精确相等。 例末尾的零和附带的单位都有意义 数6.995精确到百分位是多少？近似数3.20万精确到哪一位？ 解析6.995的千分位是5，需要进一；进位后得到7.00。未尾两个零保留了“精确到百分位”的信 息，不能把答案简写成7。 3.20万中，最后一位对应0.01万，也就是100，所以它精确到百位，不是普通单位下的百分位。 对一个正数，若四舍五入到十分位得到2.4，原数应满足2.35≤a<2.45。左端点能进到2.4，右端点 却要进到2.5，所以两端的取法不同。 有实际单位或科学记数法时，判断精确位要回到原数的数位。取近似值与更换单位是两件事，不要 把保留的小数位数当作原量的精确位。 实际问题中的正负记录与绝对值 解决正负数应用题，先写清正方向或标准，再判断每一个记录表示位置、变化量还是偏差。不同问 题所需的总量不同：求最后位置或总增减量，用带符号的数相加；求累计路程或总偏差的大小，往 往要用各段长度或各个绝对值相加。 例行驶后的位置与总路程 一辆小车从点O出发沿东西方向行驶，规定向东为正。三次行驶的记录依次为+4千米、-7千米、 +2千米。最后在出发点的什么方向？距出发点多远？共行驶多少千米？ 解析最后位置相对出发点的记录为4+(-7)+2=-1，所以最后在出发点西边1千米处。距出发点的 距离为-1|=1千米。 总路程为4+-7+2=4+7+2=13千米，不能用最后位置的绝对值代替总路程。 第12页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 +4千米 -7千米 +2千米 ⊙ A -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 5 向东 图4三段行驶的方向与位置 若每件产品的标准质量是a,共有5件，五件的偏差记录之和为b,则总实际质量为5a+b。这里 b可以为正、为负或为0，偏差相互抵消不表示每件都恰好达标。 平均偏差应先把各次带符号的偏差相加，再除以次数。累计偏离标准的大小则要看题意，不能把“各 偏差的和”与“各偏差绝对值的和”混用。 写答语前应检查三件事：单位是否一致，正负号对应的实际意义是否说清，所求的是位置、变化 量、路程还是总量。最终结果为负数时，通常要用反方向或低于标准等文字解释。 运算程序与简单周期规律 运算程序是按指定顺序反复计算。每次先看当前输入数满足什么条件，再按对应规则计算；若要求 把输出重新输入，就用刚得到的数继续下一次，不是每次都从最初的数开始。次数也要从题目规定 的第一次输出算起。 例按规则计算并找出重复的部分 规定一个整数输入后，若为偶数，就除以2；若为奇数，就加上3，再把输出继续输入。从10开 始，第20次输出是多少？ 解析依次计算：第1次为5，第2次为8，第3次为4，第4次为2，第5次为1，第6次又为 4。 从第3次起，输出按4,2,1循环，每3次一组。第3次到第20次共有20-3+1=18次，恰为6 组，所以第20次输出是1。 输入 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 10→5→8 →4→2 →1→ 4 从第3次起4、2、1每3次重复 图5从输入数开始依次计算 第13页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 判断周期不能只看到两个数相同就结束，还要确认以后执行的是同一规则。上例每次只由当前整数 的奇偶性决定下一步，因此再次出现4后，后面必然再次出现2,1,4。 乘方也会出现简单周期。例如(-1)”的结果按-1,1交替变化；21,2,2,24,2的个位数字依次为 2,4,8,6,2。只有题目明确了规律或已经说明重复原因后，才能用周期计算较后面的项。 遇到新规定的运算，应先按定义代入具体数，保留必要括号，再做本章的有理数计算。不要把题目 新规定的符号当作普通加、减、乘、除，也不要凭少量数值随意推广成一个未经说明的结论。 第14页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 题型一正负数的意义与有理数分类 先明确正负号所依据的标准，再按数的实际值分类。注意零、有限小数、百分数以及可以约成整数的分数形 式。 1.某仓库用正数表示入库数量，用负数表示出库数量。 (1)入库18吨、出库7.5吨，应分别怎样记录？ (2)记录为0吨，表示本次出入库数量有什么特点？能否据此断定仓库中没有货物？ 2.把下列各数分别填入相应的类别中：6，-24,0，子(-3.-25%，033。 (1)整数；(2)分数；(3)非负整数；(4)负有理数。 3.判断下列说法是否正确；若不正确，请举一个反例。 (1)整数都是有理数。 (2)非负有理数就是正有理数。 (3)写成小数形式的数一定不是整数。 (4)任意两个负整数之间都没有分数。 第15页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 4.某种零件的标准质量为35克，质量与标准质量相差不超过0.5克的零件为合格品。规定超过标 准质量记为正，不足记为负。 甲、乙、丙、丁四个零件的记录依次为-0.6克、+0.4克、0克、+0.9克。 (1)求这四个零件的实际质量。 (2)哪些零件合格？说明判断依据。 5.以60千克为标准，甲、乙、丙三袋原料的质量记录分别为-0.3千克、+0.4千克、+0.1千克。 (1)若改以60.2千克为标准，仍规定超过标准记为正，不足记为负，求三袋原料的新记录。 (2)丙的新记录与原记录符号不同，是否说明它的实际质量发生了变化？说明理由。 6.有六个互不相同的有理数，其中正数有三个，负数有两个，整数有四个。 (1)这六个数中是否一定有0？说明理由。 (2)非负整数的个数有哪些可能？对每一种可能，各写出一组符合条件的六个数。 第16页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 题型二数轴读图与大小比较 数轴先看原点、正方向和单位长度，再读位置。比较负数可先比较绝对值；涉及整数点时，注意端点是否计 入。 1.如图，数轴上每相邻两个小刻度之间的距离相等。 (1)分别写出点A、B、C表示的数。 (2)把这三个数按从小到大的顺序排列，并指出哪个点到原点的距离最远。 A B C 十+十十十十+十十十十十十+十→ 4 3 -2 -1 0 2 3 2.在下面的数轴上表示下列各数，并用“<”把它们按从小到大的顺序连接起来。 -25,小151.0，-05，子 十十十十十十十十十十十+十十十十十十十十十十 -3 -2 3.比较下列各组数的大小，并说明理由。 0)弓与君②12与9。 第17页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 4.原数轴上点A、O、B表示的数分别为-2、0、4，如图。现在保持正方向不变，以点A为新原 点，并把原来的2个单位长度规定为新的1个单位长度。 (1)在新规定下，点O、B分别表示什么数？ (2）新数轴上表示-1的点，在原数轴上表示什么数？ P O B 十 十 十 -4 -3-2-1 0 2 3 4 5 5。在数轴上找出所有大于号且小于子的整数，并回答下列问题。 (1)这些整数共有几个？其中最大的负整数和最小的非负整数分别是什么？ 2)若把大于号且小于子改为大于或等于号且小于或等于子，整数的个数是否改变？说明 理由。 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 第18页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 6.数轴上的线段AB长3.5个单位长度，点A在点B的左边，且点A严格位于表示-1和0的 两点之间。 线段AB上的整数点（包括可能位于端点处的整数点）共有几个？说明所有可能情况，并分别举 例，在备用图上表示。 十 十 -2 7 0 2 3 第19页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 题型三相反数倒数与绝对值 相反数看和是否为零，倒数看积是否为一，绝对值看离原点的距离。遇到零先检查倒数或除法是否有意义，条 件题要把所有可能情况列全。 1.分别写出-0.8、0、2 的相反数、倒数和绝对值；没有倒数的，请写明。 2.下列说法中，正确的是（)。 A.对任意有理数a,-a都是负数。 B.互为倒数的两个数一定同号。 C.互为相反数的两个数的商一定是-1。 D.绝对值相等的两个数一定互为相反数。 3.已知a=-a,且a=2.5,b是a的倒数。 (1)求a、b。 (2）比较a、b、b的大小用“<"连接。 第20页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 4.已知a、b互为相反数，且a≠0；c、d互为倒数。 ()求8+ad+-2的值。 (2)如果去掉条件Q≠0，第（1)问的式子是否一定有意义？说明理由。 5.整数x满足|x<3,且x的倒数也是整数。求所有符合条件的x,并说明没有遗漏。 6.已知1a=3,1b1=5且b>0。 求a-b与号的值，并写出符合条件的ab。 第21页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 7.已知1a+21+b引0。 (1)求a、b。 (2)判断a与b是否互为相反数、是否互为倒数；再判断a与-b是否互为倒数。 8.三个非零有理数a、b、c中，a与b互为相反数，b与c互为倒数。 (1)a与c能否互为倒数？说明理由。 (2)若a与c互为相反数，求a、b、c的所有可能值。 第22页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 题型四有理数加减与符号判断 计算时先把减法转化为加法，保留每一项的符号。判断和的符号要同时看两个加数的符号与绝对值，不能把乘 法的同号规则套到加法中。 1.计算。 (1)（-13)+8；(2)（-7)-（-12)；(3)（-5)-6-(-9)。 2.计算。 (1)(-3.75)+21-(-1.25片 @君7 3.小明的计算如下： ①-8-4+6=-8-(4+6： ②-8-4+6)=-8-10； ③-8-10=-18。 (1)指出第一处错误，并说明原因。 (2）写出正确计算过程。 第23页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 4.已知a<0<b,且a>b。判断下列各式的正负，并说明理由。 (1)a+b;(2）a-b;(3)b-a。 (4)a+b与a哪一个大？这一结论与第（1)问是否矛盾？ 5.已知有理数a、b满足a+b<0,且a-b>0。 (1)b一定是负数吗？请说明理由。 (2)能否确定a的符号？若不能，请分别举例说明a为正数、零、负数时都可能满足条件。 第24页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 题型五有理数乘除与符号判断 先检查零，再判断负因数的个数：除以非零数可转化为乘它的倒数。连乘连除同级运算应从左到右进行，字母 判号要列全可能。 1.计算。 (1)(-18)÷6:(2) :③)0 2.计算。 (1)(-12)÷(-3)×(-2): 2引 3.小华计算： (1)指出第一处错误，并说明原因。 (2)写出正确计算过程。 第25页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 4.非零有理数a、b、c满足ab<0、bc>0。 (1)判断ac的正负。 (2)能否确定abc的正负？若不能，请列出所有可能的符号情况。 (3)若再知道abc<0,分别判断a、b、c的正负。 5。从-6、-2、0.子、4这五个数中选取两个不同的数。分别作为被除数和除数。要求所得商为负 数。 (1)共有多少种不同的选取和安排方法？写出所有情况。 (2)求这些负商的最大值和最小值，并写出相应的算式。 第26页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 6.四个非零有理数a、b、c、d中，任意三个数的乘积都是负数。 (1)判断四个数各自的符号，并判断abCd的正负，说明理由。 (2)若把条件改成“任意两个数的乘积都是负数”，是否存在这样的四个非零有理数？说明理由。 第27页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 题型六乘方与科学记数法 先看清乘方的底数是否包含负号，再由指数的奇偶性确定符号。科学记数法既要保持数值不变，又要检查前面 的数是否符合规定。 本题型兼顾乘方的意义、相近写法辨析、大数表示、单位换算与近似数精确度；不使用负整数指数幂。 1.分别计第-4职和份 指出前两个式子的底数，并说明后两个式子为什么相等。 2.n为正整数。求下列两式的值，并说明理由。 (1)(-1)”+(-1m+1+(-1”*2+(-1)”+3。 (2）(-1”×(-1)m+1×(-1+2×(-1n+3。 3.甲、乙、丙、丁分别把72000000写成72×10、7.2×107、0.72×108、7.2×108。 (1)哪些写法与原数相等？ (2)哪些写法是原数的科学记数法？对其余写法分别说明问题。 第28页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 4.某次资料备份中，每张图片占用4800000字节，共有750张。这里按1吉字节=1000000000字节计 算。 (1)这批图片共占用多少字节？用科学记数法表示。 (2)容量为4吉字节的空存储盘能否装下这些图片？若能，还剩多少吉字节？忽略其他文件和系统 占用。 5.两个近似数分别记为6.030×10和6.03×10。 (1)它们表示的数值是否相等？各精确到哪一位？ (2)把603049四舍五入到百位，并用科学记数法表示所得近似数。 6.计算： 引 第29页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 7.某实验记录规定：第一轮放入1枚计数片，以后每一轮放入的枚数都是上一轮的2倍。 (1)第六轮放入多少枚？写出乘方算式。 (2)前六轮一共放入多少枚？小明把这个总数写成2°，请指出错在哪里。 第30页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 题型七混合运算与错解辨析 计算前先划清乘方、绝对值和分数线的作用范围。同级乘除从左到右计算，也可以先把除法统一改写成乘法。 遇到错解，要指出第一处不成立的等号并说明规则，再从原式重新计算，不能只改最后答案。 1.计算：-3+(-23-12÷(-3)。 2.计算：+o 6 3.分别计算，并说明两式结果不同的原因。 (1)18÷(-3)×(-2)-(-23。 (2)18÷[(-3)×(-2)]-(-2)3。 第31页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 4.小明的计算如下： -24-[6-(-32]÷(-3) =16-（6-9)÷(-3) =16-1=15。 指出第一处错误，并写出正确解答。 -14+(-32 5.计算： （-23+61 6.(1)计算：0×(-5-0÷(-2)+8÷|-4。 (2)有人认为把第二项中的0÷(-2)换成-2)÷0，结果仍是0。这句话是否正确？说明理由。 第32页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 7.原式为6-2×(-3。 (1)计算原式的值。 (2)保持数字、运算符号和它们的先后顺序不变，只添加一对括号，使结果变为36。 (3)仍只添加一对括号，使结果变为144。分别写出算式并验算。 8计第：1合 +-2× 第33页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 题型八运算律与简便计算 先观察哪些数可以凑整、配对或合并共同因数，再决定是交换结合还是使用分配律。减法先看成加相反数，除 法先看成乘倒数，移动一项时必须连同它前面的符号一起移动。 分配律可以用于一个和乘同一个数，不能把一个数除以一个和随意拆开。阅读型简算要先核实给出的等式，再 写出中间抵消过程。 1.用简便方法计算：+4.75+三-1,75。 6 6 2.计算 5+7.1 ×(-36)。 12189 用两种方法计算。 3.用简便方法计算：（-12.5)×(-0.32)×(-8)×25。 第34页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 4计第36×-9吕时.小明把-99号号成10立 (1)说明这个改写为什么错误，并作正确改写。 (2)用简便方法计算。 5.不分别算出三个莱积计第：号x18+马x-山号×7。 6:()分别计笔引品引吉位此较给果。 .3 ②分别计1号+51引1 3+5 比较结果。 说明为什么不能把“除以一个和”照着“一个和除以同一个数”那样拆开。 第35页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 7.同资是分片5总8日 (1)用通分说明上述第一个等式成立。 3+3+3 3 (2)用类似方法计算2×5+5×88×111×14° 第36页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 题型九数轴条件下的绝对值化简 数轴位置首先告诉我们数的大小关系；绝对值符号内的和、差是否为正，还要分别判断。图中没有给出的距离 关系不能凭外观补充。 本题型把判号与有理数运算结合。有除法时，要注意除数不能为零；涉及原点或对称关系时，要把图上的信息 转成明确理由。 1,有理数a、b、C在数轴上的位置如图。示意图只给出先后顺序，不提供距离大小关系。 (1)化简a-b+|b-a。 (2)能否仅根据此图判断a+c的正负？若不能，分别举一组使a+c>0和a+c<0的数。 b 0 2.有理数a、b在数轴上的位置如图，且a<b。 98ta-b2a倚m 1 a 0 b 第37页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 3.点P在数轴上表示X,且P在线段AB上，包括两个端点，如图。 计算3÷(1x+3+x+1)-（-1的值。 A ? B 0 -3 X -1 0 4.如图，点A、B表示的数分别为a、b,点O为原点。点B是线段AO的中点。 (1)用b表示a。 b的值。 ②)求a-bla和 A B O b 0 第38页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 5.有理数a、b在数轴上的位置如图。化简a+b-a+1-b-1。 -1 0 b 6.数轴上点A、B、C从左到右排列，表示的数分别为a、b、c,其中a、b互为相反数，原点尚未标 出，如图。 (1)在图上标出原点O,并说明位置。 (2)化简|a+c|-|b-c。 A B C a b 第39页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 题型十非负性与综合求值 绝对值和有理数的平方都不小于零。若若干非负数的和为零，才能逐项判定为零；两个非负数相等并不表示它 们都是零。 综合求值时，不必总把所有字母分别求出。先看目标式需要哪些和、积、平方或符号关系，并注意整数条件、 零值和除数限制。 1.已知0+引b-2=0,求o+ab的位， 2.已知a+a+(b+3=0。 (1)求b,并写出a的取值范围。 (2)a÷b是否一定为正数？说明理由，并举例说明它能否为0。 3.小明说：“因为a-1和(b+2都是非负数，若a-1=(b+22,就有a=1、b=-2。” (1)他的推理正确吗？举出一组不满足a=1、b=-2但满足原等式的数。 (2)只凭原等式，α+b是否能确定？至少用两组符合条件的数说明。 第40页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 4.已知a=9,b=16,且a+b<0。 (1)判断b的值，说明a能否唯一确定。 (2）求a-b的值。 5.a、b、c都是整数，且a+|b+|c=1。 (1)求a+b2+c2和abc的值。 (2)如果把“整数”改为“有理数”，第一问的两个结论是否都仍成立？请分别说明或举出反例。 6.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|a=3,且(c-22=0。 求a2+b2-4cd与a+b+c+d的值。 第41页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 题型十一新定义运算与程序计算 新符号的意义由题目规定，不能套用通常的乘法。遇到嵌套先算内层；遇到程序要分清“输入”“一次输出”和“是 否继续”。反向寻找输入时，每退一步都要检验取值范围。 1.规定一种运算：a*b=a-2b+ab。 (1)计算(-2)*3与3*(-2)。 (2)这种运算是否一定满足交换律？ 2.规定a*b=a2-2b。分别计算[(-1)*2]*(-3)和(-1)*[2*(-3)]，并判断结果是否相同。 3.按图中的程序计算，每个方框表示一步运算。 (1)输入-2和时，输出的数分别是多少？ (2)若输出的数为-7，求所有可能的整数输入。 输入X 平方 减4 除以一3 输出 第42页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 4.把n个相同的非零有理数a从左到右连续相除，称为这n个数的连除结果，其中为不小于2的整 数。例如，22÷2=(2*2)2=克 (1)求4个-2的连除结果，以及5个的连除结果。 (2)小明把4个-2的连除写成(-2)÷[(-2)÷(-2)÷(-2]。他的写法是否正确？计算说明。 (3)当n≥3时，用含a、n的式子表示连除结果。 第43页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 5.按图中的规则，每次输出后都把输出数作为下一次输入，继续运算。若首次输入为-5： (1)写出前7次输出的数。 (2)求第2026次输出的数。 是 -2X+1 输入X X≥0？ 输出 X+3 否 作为下一次输入 第44页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 6.按图中的程序，每轮都先把当前的数乘2再加3，若所得的数大于20就输出并结束；否则把所得的 数继续送回运算框。首次输入必须是0到10之间的整数（包括0和10）。 (1)首次输入1时，最后输出多少？一共进行了几轮运算？ (2)若最后输出为37，求所有可能的首次输入。 是 首次输入 乘2再加3 大于20？ 输出 否 用所得数继续运算 第45页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 题型十二数的规律与求和 先说清变化的是符号、绝对值还是一组数的重复顺序，再决定用配对、周期、拆项或约分。观察到几项规律 后，要用题目给出的排列规则解释它；长算式应看清首项、末项与项数。 1.一列数按以下规则排列：第n个数的绝对值为n；当n为奇数时取负号，为偶数时取正号，其中n 为正整数。前几项是-1,4，-9,16，-25，…。 (1)写出第8个数和第15个数。 (2)求前10个数的和。 2.求下列正整数的个位数字，并说明所用的重复规律。 (1）22025+32026。 (2）3+32+33+…+32026。 第46页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 3.观察并核算：1-2×4 3233° ()仿照上式，把1京写成两个分数相乘的形式，其中两个分母均为4。 2)计算1201-1-110。 (3)所得结果比大多少？ 第47页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 题型十三正负记录与实际应用 先确定正负号表示什么，再区分“变化量”“实际量”与“累计量”。求最后位置要把有符号记录相加，求总路程要 把各段长度相加；误差、容量与分段收费还要逐一检查边界。 1.某地7时气温为-3.5℃，到12时上升了5.2℃，到20时又比12时下降了6.8℃。 (1)求12时、20时的气温。 (2)这三次记录中的最高气温与最低气温相差多少？20时比7时降低了多少？ 2.某种袋装食品的标示质量为每袋0.50千克。抽查5袋，把“实际质量减去标示质量”的结果记在下 表。质量偏差的绝对值不超过0.02千克视为合格。 (1)哪些袋合格？ (2)这5袋的总质量与平均每袋质量各是多少？ 袋号 第1袋 第2袋 第3袋 第4袋 第5袋 质量偏差（千克） +0.02 -0.01 +0.03 -0.02 0 第48页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 3.某车间五天的计划产量及实际产量相对于当天计划的增减量如下表，超产记为正，少产记为负。 (1)实际产量最多、最少的是哪一天？各是多少件？ (2)求五天的实际总产量及平均每天实际产量。 (3)若按天结算，超产部分每件奖励2元，少产部分每件扣3元；若按这五天合并结算，则把实际总 产量与计划总产量相比，再按同样标准奖扣。两种结算办法分别应奖或扣多少元？ 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计划产量（件） 80 80 90 90 100 增减量（件） +5 3 0 +8 -6 第49页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 4.一辆检修车从服务站出发，始终沿同一条东西方向的道路行驶。以向东为正、向西为负，五段行 驶记录（单位：千米)依次为+4.5，-7，+3，-2.5，+6。 (1)完成这五段后，车在服务站的什么方向，距服务站多远？ (2)完成五段后沿这条道路直接返回服务站，途中不再往返。此次行程共需行驶多少千米？ (3)出发时有汽油2.10升，行驶每千米耗油0.08升，不考虑其他耗油。能否完成上述行程并返回？ 若不能，至少还差多少升汽油？ 0 单位：千米 第1段+4.5 A 第2段-7 B 第3段+3 第4段-2.5 第5段+6 P 西 服务站 东 各行依次表示一段行程，箭头表示行驶方向。 第50页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 5.一个水箱最多可储水50吨，计划依次进行四次加水或取水操作，记录如下表，加水记为正，取水 记为负。每次操作过程中只进行表中规定的加水或取水，不同时进行其他操作。 为使四次操作都能完成，每次取水时都有足够的水，且加水后不超过水箱容量，开始时至少应有多 少吨水，至多可有多少吨水？这里允许储水量恰好为0吨或50吨。 操作次序 第1次 第2次 第3次 第4次 加水或取水量（吨） +20 -35 +30 -15 第51页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 6.某地居民用水按月分段收费，标准见下表。表中的价格只用于对应部分的用水量。某户两个月的 用水量分别为10立方米、26立方米。 (1)求这两个月各自的水费及水费总额。 (2)若错误地把两个月的用水量先求平均，再按这个平均用水量计算每月水费，两个月合计会比正 确总额少多少元？ (3)若其中一个月能少用4立方米水，选择在哪个月节水可节省更多水费？能多节省多少元？ 每月用水量的对应部分 每立方米价格 不超过12立方米的部分 3元 超过12且不超过20立方米的部分 4元 超过20立方米的部分 6元 第52页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 题型十四数轴运动与距离综合 数轴上的位置用有正负的数表示，距离与路程则是非负数。先统一单位长度，再按出发、停留、继续运动等时 刻分清过程；追及可用原有间距除以每秒缩短的距离，反复往返先求一整次往返所需时间。 1.如图，把一把刻度尺放在数轴下方，尺上的0厘米刻度对准点A。点A、C表示的数分别为-6 4;点B、C分别对准尺上的1.75厘米、5厘米刻度。 (1)点B表示什么数？原点O对准尺上的多少厘米刻度？ (2)若只把刻度尺沿数轴向右移动0.5厘米，数轴和各点不动，此时尺上的0厘米刻度对准数轴上的 什么数？点B对准尺上的多少厘米刻度？ A B C -6 4 0 厘米 第53页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 2.如图，数轴上A、B、C、D从左到右排列，且AB=BC=CD。点A、C表示的数分别为-7、1。 (1)求点B、D表示的数。 2)点P装示-2+分点Q来示引 (-1。在图中标出P、Q,并求PQ。 A 8 O C D -7 01 第54页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 3.如图，点A、C、B分别表示-6、-2、8。点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动；到 达C后停留1秒，再以每秒5个单位长度的速度向右运动，到达B时停止。设从出发起经过的时间为t 秒。 (1)当t=1.5、t=2.5、t=4时，点P分别表示什么数？ (2)从出发到到达B共用多少秒？按这个全过程（包括停留时间）计算，平均每秒移动多少个单位 长度？ A C 0 B -6 -2 0 8 第55页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 4.如图，点A、B分别表示-8、-2。点Q从B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动；2秒后，点 P才从A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动。两点均保持原方向、原速度。以Q出发时开始计 时。 (1)第4秒时，点P、Q分别表示什么数？两点间的距离是多少？ (2)两点首次相遇是第几秒？相遇点表示什么数？ A 0 -8 -2 0 第56页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 5.如图，点A、B分别表示-4、5。点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度在A、B之间不断往 返，到达端点立即转向，不停留。转向前后速度大小不变。 (1)出发后第14秒、第28秒时，点P分别表示什么数？各自正在向哪个方向运动？ (2)从出发到第28秒，点P经过的总路程是多少？此时它离出发点多远？ 每秒3个单位长度 A 0 B -4 0 5 第57页共58页 有理数期中复习专题讲义学生版 6.如图，点A、C、B分别表示-10、-2、10。点P从A出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动， 到达C后停留2秒，再按原速度继续向右运动，到达B后停止。点Q同时从B出发，以每秒2个单位长 度的速度向左运动，到达A后停止；Q途中不停留。 求从同时出发到两点首次相遇所经过的时间，以及相遇点表示的数。 A B b→ -10 -2 0 10 第58页共58页有理数期中复习专题讲义教师详解版 有理数期中复习专题讲义 2026一2027学年第一学期苏科版七年级数学上册 教师详解版 目录导航 知识梳理. 3 正数与负数的意义… 3 有理数的分类与零的归属， 3 数轴的画法与读法. .4 相反数与符号的化简.. 绝对值的意义与计算.… .5 绝对值的基本性质与简单应用.. 有理数的大小比较. ….6 倒数及其与相反数的区别.. ....6 有理数加法的法则与符号判断. 7 减法转化为加法与加减混合运算 8 有理数乘法与积的符号. 8 有理数除法与乘除混合运算.… .9 运算律的内容与适用范围.. 9 简便运算的选择与规范步骤.… ….10 乘方的意义与负号括号… .10 有理数混合运算的顺序.… 11 科学记数法与数量单位， ..11 近似数与精确到哪一位.。 .12 实际问题中的正负记录与绝对值. .12 运算程序与简单周期规律.… .13 第1页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 题型导航 题型一正负数的意义与有理数分类. .15 题型二数轴读图与大小比较.… .18 题型三相反数倒数与绝对值.… .21 题型四有理数加减与符号判断.… ……24 题型五有理数乘除与符号判断. .26 题型大乘方与科学记数法.… .29 题型七混合运算与错解辨析..… .32 题型八运算律与简便计算.… .34 题型九数轴条件下的绝对值化简.… .37 题型十非负性与综合求值.....… .40 题型十一新定义运算与程序计算.… .42 题型十二数的规律与求和. ...45 题型十三正负记录与实际应用47 题型十四数轴运动与距离综合.。 .51 第2页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 知识梳理 正数与负数的意义 为了表示具有相反意义的量，可以把其中一种意义的量规定为正，另一种意义的量规定为负。例如 向东与向西、收入与支出、高于标准与低于标准，都要先说明正负号的规定，再记录数值。 大于0的数叫作正数，在正数前面加上负号“-”所得的数叫作负数。正数前面的正号“+”通常可以省 略，负数前面的负号不能省略。0既不是正数，也不是负数。 0不只表示“没有”。在以海平面为基准的高度记录中，0表示处于海平面；在以标准质量为基准的记 录中，0表示恰好达到标准。负数记录的量也并非没有实际意义。 例规定标准后读懂正负记录 一袋食品的标准质量为500克。把超过标准的克数记为正，低于标准的克数记为负。记录为+6 克、~4克和0克的三袋食品，实际质量各是多少克？ 解析记录的是“实际质量与标准质量的差”，不是实际质量本身。三袋的实际质量依次为 500+6=506克、500-4=496克、500+0=500克。 若一袋实际质量为497克，则比标准少3克，应记录为-3克。 只有属于同一类量、意义相反，才适合用同一规定下的正负数表示。记录时还要统一单位，不能把 方向、单位或基准省略后再猜数的意义。 有理数的分类与零的归属 整数和分数统称有理数。整数包括正整数、0和负整数；分数包括正分数和负分数。有理数也可以 按符号分为正有理数、0和负有理数。分类时应采用同一个标准，做到不重复、不遗漏。 分类标准 有理数的分类 按整数和分数分 整数：正整数、0、负整数；分数：正分数、负分数。 按正负号分 正有理数：正整数、正分数；0；负有理数：负整数、负分数。 有理数都能写成号的形式。其中Q,6是整数。且b0。判断类别看数的值，不只看写法。例如 2是整致20也是整数：-075=星是负分数 3 有限小数和无限循环小数都可以写成分数。有理数分类中，不能把所有带小数点的写法都判为分 数，也不能把所有无限小数都排除在有理数之外。 非负数是正数和0的统称；非正数是负数和0的统称。非负整数包括0,1,2,3，…，因此“非负整数” 不等于“正整数”。 第3页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 例同一组数按同一标准分类 把4、0、号-0,7万、号按整数和分数分类。 6 解折先记号化为2。整数是4、0。号分数是07万、。 62 若改按正负号分类，则正有理数是3、，负有理数是4、-0.75,0单独列出。 数轴的画法与读法 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。通常取向右为正方向，原点表示零。表示相差一 个单位的两个数时，所用长度必须相同；单位长度可以根据需要选择，但一条数轴上不能随意改 变。 每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。正数在原点右侧，负数在原点左侧。表示负分数时， 要从原点向左量出相应长度，不能只看分子或把分数放到右侧。 A B -4 -2 0 2 图1数轴上的整数点与分数点 例读出点的位置并判断移动结果 如图，点A表示3，点B表示多，点A向右移动5个单位长度后到达哪里？点B位于哪两个相 邻整数之间？ 解析从-3向右移动5个单位长度，所表示的数增加5，到达表示-3+5=2的点。 因为1<弓2，所以点B位于表示1与2的两点之间，恰在中间。 数轴上，向右移动表示所表示的数增大，向左移动表示所表示的数减小。若从表示α的点向右移动 b个单位长度，则到达表示Q+b的点；这里作为移动长度的b必须非负。 相反数与符号的化简 只有符号不同的两个数互为相反数。0的相反数仍是0。一般地，数a的相反数是-a,一个数的相 反数的相反数仍是它本身，即-(-a)=a。 两个数互为相反数，它们的和为0；反过来，两个数的和为0，它们互为相反数。数轴上表示一对非 零相反数的两点分居原点两侧，到原点的距离相等。 a+(-a)=0 第4页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 -a表示a的相反数，不能只凭前面的负号就断定它是负数。例如当a=-7时，-Q=7;当Q=0时， -a=0。同样，+a不一定是正数。 例逐层理解负号的作用 化简--6儿，并求吾的相反数。 解析从内向外计算：-（-6)=6，因此-[-(-6)门]=-6。 号的相反数是票两数相加为心。 若若干个负号逐层作用于同一个数，每多一个负号就取一次相反数。但是遇到加减混合运算，不能 把整串算式的所有负号简单计数。两个非零相反数相除的商是-1；“非零”不能漏掉，因为0÷0没有 意义。 绝对值的意义与计算 数轴上表示数x的点与原点的距离，叫作数x的绝对值，记作|x。绝对值表示距离，结果可以是 0,但不能是负数。 4 A S 5 -3 -2 图2相反数到原点的距离相等 正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。可写成 xx>0 |x|=0x=0 -xx<0 把前两种情况合并，就是当x≥0时，x=x;当x<0时，x|=-X。因此去绝对值符号之前，要判 断符号内整个数或式子的正负，而不是机械地“删掉负号”。 例先算绝对值符号内的数 计算-61、10和吃后。 115 解析-61=-(-6)=6,10=0。 先算2吾京再取绝对位得片导 15_1 若已知a<0,则|a=-a,这里的-a是正数，不与绝对值非负矛盾。a=a的条件是a≥0；|a=-a 的条件是a≤0，两种条件都不能遗漏a=0。 第5页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 绝对值的基本性质与简单应用 绝对值具有非负性：a≥0，并且只有a=0时才有a=0。相反数的绝对值相等，即-a=|a。但 绝对值相等的两个数不一定互为相反数，也可能是同一个数。也就是说，若|=|bl,则a=b或 a=-b。 已知一个数的绝对值，要看给出的值是否可能是距离。若|x=3,则x=3或x=-3;若|x=0,则 只有x=0;若|x=-3,则没有符合条件的数。 若几个非负数的和为0，每个数都必须为0。例如由|a+|b|=0可得a=b=0。若是差为0，就不能 这样判断：α-b|=0只说明两数的绝对值相等。 例结合相反数条件求和与积 已知a=4,b是a的相反数，求a+b和ab。 解析当a=4时，b=-4;当a=-4时，b=4。两种情况都满足a+b=0,ab=-16。 不能只取a=4；但由互为相反数可以先判断和为0，不必分别重复计算。 数轴上表示a,b的两点之间的距离为|a-b|。已知左右顺序时，也可以用右边的数减去左边的数。 例如表示-2与3的两点相距3-(-2)=5个单位长度。距离不能写成-2-3=-5。 绝对值作用于整体，不具有对加法的分配性质。例如|-2+3=1，而-2+3=5。本章要先熟练掌 握这些基本应用，再处理较复杂的绝对值分类问题。 有理数的大小比较 数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。因此正数大于0,0大于负数，正数大于负数。 两个正数可以按小学学过的方法比较；两个负数则是绝对值大的反而小。 比较两个负分数时，先通分比较绝对值，再把大小关系反过来。不要把比较绝对值的结论直接当成 比较原数的结论。 例比较两个负分数 比较君与写的大小 解析它们的绝对值分8别足居与了，通分得吾品舌是所以名子。 5<.7 两个数都为负，绝对值大的反而小，因此6g 有理数中没有最大的数，也没有最小的数。最大负整数是-1，最小正整数是1， 最小非负整数是0；不能把“整数”二字漏掉，说成“最大负数是-1”或“最小正数是1”。 当题目只给a>b时，不能直接判断a>b,还要结合符号。例如a=-8、b=2,虽然a>b,却 有a<b。比较数的大小与比较它离原点的远近，是不同的问题。 倒数及其与相反数的区别 乘积为1的两个数互为倒数。非零数▣的倒数是。因为Q×。=1,0与任何数相乘都得0，所以 0没有倒数。 第6页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 互为倒数的两个数同号。求分数的倒数时，分子、分母交换位置，原来的正负号不变；求小数或带 分数的倒数时，通常先把它化成分数。 比较项目 相反数 倒数 判断依据 两数的和为0 两数的积为1 数a对应的结果 -a 1 要求a≠0 0的情况 相反数是0 没有倒数 等于它本身的数 0 1和-1 例一个数的相反数和倒数 求-1.25的相反数和倒数。 解析-1.25的相反数是1.25。先把原数化为分数：-1.25=三 所以它的倒数为斗。 检验：-125+125=0：(-×号-1 1 1 “取倒数"不是“取相反数，也不是只改变符号。例如-2的倒数是2，不是2。涉及倒数的式子，首 先检查原数是否为0。 有理数加法的法则与符号判断 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的 加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得零。一个数与零相 加，仍得这个数。 例如(-7)+(-4)=-11；（-9)+14=5；（-9)+9=0。异号相加时，是比较绝对值，不是比较两个原数 谁大。 +5 A B -3 -2 -1 0 图3加上正数时在数轴上向右移动 第7页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 例分数的异号加法 计算名+县 解析无比较能对值温分后，石兰子是前者较大所以弟为负数。 两个负数相加一定为负；正数与负数相加，结果可能为正、为负，也可能为0。例如5+(-2)=3， 2+(-5)=-3,5+(-5)=0。不要套用乘法中的“同号得正”。 减法转化为加法与加减混合运算 减去一个数，等于加上这个数的相反数。转化时减号变为加号，同时减数变为它的相反数，被减数 不变。 a-b=a+(-b) 例如-5-(-8)=-5+8=3。只把减号改成加号而不改变减数，或者只改变减数而不改变运算符号，都 会改变原式的值。 例先写成几个数的和再计算 计算7-（-3)+(-6)-4。 解析把减法全部转化为加法，得7+(+3)+(-6)+(-4)。 正数的和为10，负数的和为-10，所以原式等于0。 把一个加减算式看成几个数的和以后，每个加数都要连同前面的符号一起移动。例如5-8+3中的三 个加数是5、-8、3，不是5、8、3。 减法不满足交换律、结合律。例如8-3=5，而3-8=-5；(8-3)-2=3，而8-(3-2)=7。要调整加减 运算的顺序，应先转化为加法。 有理数乘法与积的符号 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与零相乘，都得零。计算时先确定符 号，再计算绝对值，分数能约分的先约分。 几个非零数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有奇数个时积为负，有偶数个时积为正。 这里的偶数个包括0个。若有一个因数为0，乘积就是0，不用再数负因数。 例先确定符号再约分 计算x0×. 解析三个因数都非零，其中负因数有3个，所以乘积为负数。 绝对位的积为君×品×告1，因此原式等于山 乘积为0，至少有一个因数为0，不要求每个因数都为0。例如0×(-7)=0。当ab>0时，a,b同 号，但不一定都为正；当ab<0时，a,b异号。 第8页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 乘以一个数，结果不一定变大。例如6×}=3。是否变大要结合因数的符号和大小，不能沿用“乘法 2 总使数变大”的印象。 有理数除法与乘除混合运算 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。除数不为0是除法有意义的前提。只把除数变为倒 数，被除数不变。 1 a÷b=a× b≠0 b 两个非零数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何不等于0的数都得0；任何 数都不能除以0,0÷0也没有意义。 例分清除法顺序与括号作用 分别计算12÷(-3)×(-2)和12÷[(-3)×(-2)]。 解析第一式只有同一级乘除运算，应从左到右：12÷(-3)×(-2)=(-4)×(-2)=8。 第二式先算括号：12÷[(-3)×(-2)]=12÷6=2。括号改变了除数，两个算式不能混淆。 也可先把除法全部转化为乘法。再运用乘法运算律。例如12=(-3×-2=12×兮×(-2=8。不能 未经转化就交换被除数和除数。 约分适用于乘法中的因数，不可以隔着加减号直接约去某一项。含有分母或除法的式子应先检查是 否有意义；不能用“最后还要乘0”来掩盖除以0的错误。 运算律的内容与适用范围 有理数的加法和乘法都满足交换律、结合律；乘法对加法满足分配律。字母表示任意有理数时，下 面五个等式都成立。运算律可以从左到右使用，也可以从右到左使用。 运算律 字母表示 加法交换律 a+b=b+a 加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律 ab=ba 乘法结合律 (ab)c=a(bc) 乘法分配律 a(b+c)=ab+ac 减法本身不满足交换律、结合律；除法本身也不满足交换律、结合律。加减混合运算先转化为加 法，乘除混合运算先转化为乘法，再按需要交换或结合。 分配律要求括号外的数与括号内每一项分别相乘，不能漏项。由于减法可以看成加上相反数，也有 a(b-c)=ab-ac。这里只把它作为有理数简便运算的依据。 第9页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 例判断除法能不能拆开 比较(12+6)÷3与12÷3+6÷3，再比较12÷(2+4)与12÷2+12÷4。 解析第一组两式都等于6。因为除以3等于乘子，可以对被除数中的和使用分配律。 第二组前式等于2，后式等于9，不相等。除数中的和不能拆成两个除法相加。 一般地，当c≠0时，(a+b)÷c=a÷c+b÷c。这不是除法另有一个分配律，而是先转化为乘法后的 结果。涉及a÷(b+℃)时，首先要求b+c≠0，即使有意义，也不能照搬上述拆法。 简便运算的选择与规范步骤 简便运算不是随意改变顺序，而是选择合适的运算律。加法中优先考虑互为相反数、凑整数和同分 母的数；乘法中考虑先约分、凑整数或利用分配律。每一步应看得出依据，负号要跟着对应的数。 例1先把相反数和能凑整的数结合 计算-4.8+7.25+4.8-2.25。 解析把减法看作加上相反数，再交换、结合：(-4.8+4.8)+(7.25-2.25)=0+5=5。 例2根据分母选择分配律 计算-×号日. 解析36能被三个分母整除，分别相乘较方便。 原或=-36j×号-36×7+-361×合言-20*21-6=-5。 12 6 例3反向使用分配律 计算（-7)×19.8+(-7)×0.2。 解析两个乘积有相同的因数-7，所以原式=(-7)×(19.8+0.2)=(-7)×20=-140。 拆数时要保持原数的值。例如19.8=-20+02，不是-20-02：负带分数2兮-2+-2行不 是2+ 简算前先观察，若拆开后反而更繁琐，可以按通常顺序计算。完成后用符号和大致大小检查结果， 比只重做同一串笔算更容易发现错误。 乘方的意义与负号括号 求几个相同因数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂。在a”中，a叫作底数，n叫作指数。本 讲讨论的指数为正整数；当n>1时，a”表示n个a相乘，a=a。 例如34=3×3×3×3=81，而3×4=12。指数说明相同因数的个数，不是让底数与指数相乘。 正数的正整数次幂是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；0 的正整数次幂都是0。这里不把零指数幂和负整数指数幂作为本章要求。 第10页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 例1看清底数是否包含负号 分别计算（-42、-42和（-43。 解析（-42=(-4)×(-4)=16，底数是-4。 -42=-(4×4)=-16,先算4的平方，再取相反数。 (-43=(-4)×(-4)×(-4)=-64。 例2分数乘方要把整个分数括起来 计算（子并说明号与它是香扫宝。 解折（号-（号×-号-子=·9。 -2=8.只有分子中的2参与乘方，与前式不相等。 3 3’ 任何有理数的平方都非负，即a2≥0.1的正整数次幂总是1；(-1”在n为奇数时等于-1，在n为 偶数时等于1。而-1”始终表示-(1”)=-1，不能把它与（-1”混同。 有理数混合运算的顺序 有括号时先算括号里面的运算，从最里面的括号逐层向外计算。在没有括号的部分，先算乘方，再 算乘除，最后算加减；同一级运算按从左到右的顺序进行。先乘除不是先乘后除，先加减也不是先 加后减。 例如18÷3×2=6×2=12，不能先算3×2。分数线相当于把分子、分母各自括成一个整体，绝对值 符号也要求先计算符号内部的整体。 例按层次计算含乘方的混合算式 计算-2+3×[21-3。 解折先计算乘方：2=4，”子再算中括号。得子号1。 原式=-4+3×(-1)÷(-3)=-4+1=-3。 书写时，一行中的等号表示前后数值相等，不能把尚未算完的式子与某一个局部结果直接相等。例 如计算2+3×4，应写2+3×4=2+12=14，错误写法2+3×4=12=14中，12只是局部乘积，不等 于原式，不能放在这条等式链中。 检查时可分三次看：先看运算顺序和括号，再看正负号，最后看通分、约分及数值计算。若某一步 使用了简便运算，应确认它来自正确的运算律，而非改变原式的运算对象。 科学记数法与数量单位 把一个较大的正数写成a×10”的形式，其中1≤a<10,n是正整数，这种记数方法叫作科学记数 法。本讲只讨论用正整数次幂表示较大数，不引入负整数指数幂。 对大于或等于10的正数，小数点向左移动几位成为一个大于或等于1且小于10的数，10的指数 就是几。也可以用原数整数部分的位数减去1来确定指数。 第11页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 例写成科学记数法并核对单位 用科学记数法表示48600000，并把4.86×10人改写成以“万人”为单位的数。 解析48600000有8位整数，小数点向左移动7位得到4.86，所以48600000=4.86×10。 4.86×10'人就是48600000人，也就是4860万人。数值和单位必须同时对应，不能只换单位名 称。 48.6×10虽然与上述数值相同，但48.6不满足1≤a<10,所以不是规范的科学记数法。检查科学 记数法要同时看前面的数和10的指数。 科学记数法是数的表示方法，本身不等于取近似值。4.86×10'与48600000精确相等；如果题目 要求保留若干位数，再按相应要求使用近似号。 近似数与精确到哪一位 通过数数可以得到准确数，而测量、估计或四舍五入得到的数可能是近似数。近似到哪一位，就是 保留到哪一位；四舍五入时，观察被保留的最后一位的后一位。 例如8.376精确到十分位时，看百分位上的7，得8.4；精确到百分位时，看千分位上的6， 得8.38。应写成8.376≈8.4或8.376≈8.38，不能写精确相等。 例末尾的零和附带的单位都有意义 数6.995精确到百分位是多少？近似数3.20万精确到哪一位？ 解析6.995的千分位是5，需要进一；进位后得到7.00。未尾两个零保留了“精确到百分位”的信 息，不能把答案简写成7。 3.20万中，最后一位对应0.01万，也就是100，所以它精确到百位，不是普通单位下的百分位。 对一个正数，若四舍五入到十分位得到2.4，原数应满足2.35≤a<2.45。左端点能进到2.4，右端点 却要进到2.5，所以两端的取法不同。 有实际单位或科学记数法时，判断精确位要回到原数的数位。取近似值与更换单位是两件事，不要 把保留的小数位数当作原量的精确位。 实际问题中的正负记录与绝对值 解决正负数应用题，先写清正方向或标准，再判断每一个记录表示位置、变化量还是偏差。不同问 题所需的总量不同：求最后位置或总增减量，用带符号的数相加；求累计路程或总偏差的大小，往 往要用各段长度或各个绝对值相加。 例行驶后的位置与总路程 一辆小车从点O出发沿东西方向行驶，规定向东为正。三次行驶的记录依次为+4千米、-7千米、 +2千米。最后在出发点的什么方向？距出发点多远？共行驶多少千米？ 解析最后位置相对出发点的记录为4+(-7)+2=-1，所以最后在出发点西边1千米处。距出发点的 距离为-1=1千米。 总路程为4+-7+2=4+7+2=13千米，不能用最后位置的绝对值代替总路程。 第12页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 +4千米 -7千米 +2千米 A -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 5 向东 图4三段行驶的方向与位置 若每件产品的标准质量是a,共有5件，五件的偏差记录之和为b,则总实际质量为5a+b。这里 b可以为正、为负或为0，偏差相互抵消不表示每件都恰好达标。 平均偏差应先把各次带符号的偏差相加，再除以次数。累计偏离标准的大小则要看题意，不能把“各 偏差的和”与“各偏差绝对值的和”混用。 写答语前应检查三件事：单位是否一致，正负号对应的实际意义是否说清，所求的是位置、变化 量、路程还是总量。最终结果为负数时，通常要用反方向或低于标准等文字解释。 运算程序与简单周期规律 运算程序是按指定顺序反复计算。每次先看当前输入数满足什么条件，再按对应规则计算；若要求 把输出重新输入，就用刚得到的数继续下一次，不是每次都从最初的数开始。次数也要从题目规定 的第一次输出算起。 例按规则计算并找出重复的部分 规定一个整数输入后，若为偶数，就除以2；若为奇数，就加上3，再把输出继续输入。从10开 始，第20次输出是多少？ 解析依次计算：第1次为5，第2次为8，第3次为4，第4次为2，第5次为1，第6次又为 4。 从第3次起，输出按4,2,1循环，每3次一组。第3次到第20次共有20-3+1=18次，恰为6 组，所以第20次输出是1。 输入 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 10→5→8 →4→2 →1→ 4 从第3次起4、2、1每3次重复 图5从输入数开始依次计算 第13页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 判断周期不能只看到两个数相同就结束，还要确认以后执行的是同一规则。上例每次只由当前整数 的奇偶性决定下一步，因此再次出现4后，后面必然再次出现2,1,4。 乘方也会出现简单周期。例如(-1)”的结果按-1,1交替变化；21,2,2,24,2的个位数字依次为 2,4,8,6,2。只有题目明确了规律或已经说明重复原因后，才能用周期计算较后面的项。 遇到新规定的运算，应先按定义代入具体数，保留必要括号，再做本章的有理数计算。不要把题目 新规定的符号当作普通加、减、乘、除，也不要凭少量数值随意推广成一个未经说明的结论。 第14页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 题型一正负数的意义与有理数分类 先明确正负号所依据的标准，再按数的实际值分类。注意零、有限小数、百分数以及可以约成整数的分数形 式。 1.某仓库用正数表示入库数量，用负数表示出库数量。 (1)入库18吨、出库7.5吨，应分别怎样记录？ (2)记录为0吨，表示本次出入库数量有什么特点？能否据此断定仓库中没有货物？ 答案（1)分别记为+18吨、-7.5吨。 (2)本次没有入库或出库；不能断定库存为零。 解析同一记录标准中，入库与出库是意义相反的量，所以分别用正数和负数表示。 这里的记录表示本次出入库数量，不表示仓库原有库存。记录为0吨只说明本次出入库数量为零， 库存仍可能大于零。 2.把下列各数分别填入相应的类别中：6，-240.子-3).是-25%，033。 (1)整数；(2)分数；(3)非负整数；(4)负有理数。 8 答案 )6.0,-3. 224,子 -25%,0.333。 3)6,0,-3. 8 7 (4）-2.4,-7,-25%。 解析先确定实际值：-(-3)=3,8=2，-25%= 4 4。 2.4=.12 0.333=333 1000, 它们都是分数；写成小数形式不影响分类。 非负整数包含正整数和零；负有理数包含负整数和负分数。分类依据是数的实际值，不能只看书写 形式。 3.判断下列说法是否正确；若不正确，请举一个反例。 (1)整数都是有理数。 (2)非负有理数就是正有理数。 (3)写成小数形式的数一定不是整数。 (4)任意两个负整数之间都没有分数。 答案（1)正确；(2)(3)(4)均不正确。 解析(1)整数和分数统称有理数，所以整数都是有理数。 (2)0是非负有理数，但不是正有理数，故说法不正确。 第15页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 (3)例如2.0=2，虽然写成小数形式，实际是整数。 (4)例如-2与-1之间有分数-1.5，故说法不正确。 4.某种零件的标准质量为35克，质量与标准质量相差不超过0.5克的零件为合格品。规定超过标 准质量记为正，不足记为负。 甲、乙、丙、丁四个零件的记录依次为-0.6克、+0.4克、0克、+0.9克。 (1)求这四个零件的实际质量。 (2)哪些零件合格？说明判断依据。 答案(1)依次为34.4克、35.4克、35克、35.9克。 (2)乙、丙合格。 解析实际质量等于标准质量加上带符号的记录。因此四个实际质量分别为35-0.6=34.4 35+0.4=35.4、35+0=35、35+0.9=35.9,单位均为克。 四个零件与标准质量的差的绝对值分别为0.6、0.4、0、0.9。其中不超过0.5的是0.4和0，所以 乙、丙合格。 “不超过”包含正好相差0.5克；合格判断看偏差的绝对值，而不只看偏差正负。 5.以60千克为标准，甲、乙、丙三袋原料的质量记录分别为-0.3千克、+0.4千克、+0.1千克。 (1)若改以60.2千克为标准，仍规定超过标准记为正，不足记为负，求三袋原料的新记录。 (2)丙的新记录与原记录符号不同，是否说明它的实际质量发生了变化？说明理由。 答案(1)新记录依次为-0.5千克、+0.2千克、-0.1千克。 (2)没有变化，丙的实际质量仍为60.1千克。 解析先由原标准还原实际质量：甲为59.7千克，乙为60.4千克，丙为60.1千克。 再分别与新标准比较：59.7-60.2=-0.5,60.4-60.2=0.2,60.1-60.2=-0.1。 丙原来比60千克多0.1千克，现在比60.2千克少0.1千克。改变的是比较标准，不是实际质量。 6.有六个互不相同的有理数，其中正数有三个，负数有两个，整数有四个。 (1)这六个数中是否一定有0？说明理由。 (2)非负整数的个数有哪些可能？对每一种可能，各写出一组符合条件的六个数。 答案(1)一定有0。 (2)非负整数可能有2个、3个或4个。 解析(1)三个正数与两个负数共五个，剩下的一个数既不为正也不为负，只能是0。 (2)四个整数中包含0，其余三个为非零整数。负数一共只有两个，所以负整数最多有两个，正整 数至少有一个；正整数也最多有三个。因此非负整数的个数只能是2、3、4。 有2个非负整数的子：分是之，山，2,0： 有3个非负整数的例子：左1,2，之1,0， 第16页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 有4个非负整数的例子：1,2,3之三0。 每组均有三个正数、两个负数、四个整数，且六个数互不相同，故三种可能都能取得。 第17页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 题型二数轴读图与大小比较 数轴先看原点、正方向和单位长度，再读位置。比较负数可先比较绝对值；涉及整数点时，注意端点是否计 入。 1.如图，数轴上每相邻两个小刻度之间的距离相等。 (1)分别写出点A、B、C表示的数。 (2)把这三个数按从小到大的顺序排列，并指出哪个点到原点的距离最远。 A B C 十一 十 十十十+十十 十十十十+十→ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 答案(1)分别为-3.5、-1、2.5。 (2)-3.5<-1<2.5;点A到原点的距离最远。 解析由0与1之间有两个相等的小间隔，可知每个小间隔表示0.5。按从原点向左为负、向右为正 读数，得到A表示-3.5，B表示-1，C表示2.5。 数轴上的点越靠右，表示的数越大，故-3.5<-1<2.5。 三点到原点的距离分别为3.5、1、2.5，最大的是3.5，所以点A最远。最小的数不一定离原点最 近。 2.在下面的数轴上表示下列各数，并用“<”把它们按从小到大的顺序连接起来。 -25.-151.0,-05.4 十十十十十十十十十十 十十 -3 -2 、1 0 答案-2.5<-1.5<0<-(-0.5< 4 解析先化简：-15=-15，-05=0.5，子=1.75。 在数轴上依次标出-2.5、-1.5、0、0.5、1.75对应的点，其中1.75在1.5与2的正中间。 由点的左右顺序，得到-25<小151<0<-05<子。 -2.5 -1.5 00.5 1.75 十十+十十十+十十十十十+十+十十十十+十→ -3 -2 -1 0 1 2 第18页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 3.比较下列各组数的大小，并说明理由。 号与 ②2与 答案(1)g (2)-1.2=.6 解析(1) 7_145_15 75 与8618所以。6。两个预数比较大小，绝对值大的反而小，故名>各 (2)-1.2=.12=6 ·05,两种写法表示同一个数，所以相等。 4.原数轴上点A、O、B表示的数分别为-2、0、4，如图。现在保持正方向不变，以点A为新原 点，并把原来的2个单位长度规定为新的1个单位长度。 (1)在新规定下，点O、B分别表示什么数？ (2)新数轴上表示~1的点，在原数轴上表示什么数？ A O B 十 -4-3 -2-1 0 2 答案(1)点0表示1，点B表示3。 (2)原数轴上表示-4。 解析（1)O在A右侧，二者相距原来的2个单位长度，即新的1个单位长度，所以0表示1。 从A到B的距离为原来的4-(-2)=6个单位长度，即新的6÷2=3个单位长度，所以B表示3。 (2)新数轴上表示-1的点在新原点A的左侧，距A为原来的2个单位长度，因此它在原数轴上 表示-2-2=-4。 5。在数轴上找出所有大于号且小于子的整数，并回答下列问题。 7 (1)这些整数共有几个？其中最大的负整数和最小的非负整数分别是什么？ (②)若把大于号且小于？改为大于或等于号且小于或等于子整数的个数是香改变？说明 理由。 -3 2 0 3 答案（1)整数为-2、-1、0、1，共4个；最大的负整数为-1，最小的非负整数为0。 (2)不改变，仍为4个。 折因为3<8<-2，且1<4<2，所以两端之间的整数恰为2、10 3 负整数中越靠近零的数越大，所以最大的负整数为-1；非负整数包括零， 所以最小的非负整数为0。 第19页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 7 两个端点一和4都不是整数。加人端点并没有加入新的整数，所以整数个数不变 6.数轴上的线段AB长3.5个单位长度，点A在点B的左边，且点A严格位于表示-1和0的 两点之间。 线段AB上的整数点（包括可能位于端点处的整数点）共有几个？说明所有可能情况，并分别举 例，在备用图上表示。 十 -2 -1 0 3 答案可能有3个或4个整数点。 解析点A位于-1与0之间。由于AB=3.5,点B位于2.5与3.5之间。因此0、1、2对应的点 一定在线段上，-1和4对应的点一定不在线段上。 只需判断表示3的点是否在线段上。它可能在线段上，也可能不在线段上，所以整数点可能为3个 或4个。 例如，A表示-0.8时，B表示2.7，线段上整数点为0、1、2，共3个。 例如，A表示-0.2时，B表示3.3，线段上整数点为0、1、2、3，共4个。 若A表示-0.5，则B表示3，端点也应计入，此时仍有4个整数点。 -0.8 2.7 A B -1 0 、P 4 -0.2 3.3 ⊙ -1 0 2 第20页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 题型三相反数倒数与绝对值 相反数看和是否为零，倒数看积是否为一，绝对值看离原点的距离。遇到零先检查倒数或除法是否有意义，条 件题要把所有可能情况列全。 5 1.分别写出-0.8、0、- 的相反数、倒数和绝对值；没有倒数的，请写明。 答案08：相反数为08，倒数为系 绝对值为0.8。 0:相反数为0，没有倒数，绝对值为0。 2 相反数为多倒数为子绝对值为。 解析-0.8=- 零与任意数相乘都得零，不可能得到1，所以零没有倒数。 先算出 5 2 ，再依据三种概念分别得到结果。不能跳过外层负号。 2.下列说法中，正确的是()。 A.对任意有理数a,-a都是负数。 B.互为倒数的两个数一定同号。 C.互为相反数的两个数的商一定是-1。 D.绝对值相等的两个数一定互为相反数。 答案B。 解析A不正确。例如a=-2时，-a=2,是正数。 B正确。互为倒数的两个数乘积为1，积为正且两数均不为零，因此这两个数同号。 C不正确。例如0与0互为相反数，但0÷0没有意义。 D不正确。例如2与2的绝对值相等，但它们的和不为零，不互为相反数。 3.已知a=-a,且|a=2.5,b是a的倒数。 (1)求a、b。 (2)比较a、b、1b|的大小，用“<”连接。 2 答案 )a=是6=号。 (2)a<b<b。 解析由|a=-a可知a为非正数，又因|a=2.5>0,所以a不为零，只能是负数。 因此a=-25=受其创数b=子且导。 两个负数比技绝对值大的反而小，故号号负数小于正数所以口6<b。 第21页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 4.已知a、b互为相反数，且a≠0；c、d互为倒数。 (①)求号+d+-21的值。 (2)如果去掉条件α≠0，第（1)问的式子是否一定有意义？说明理由。 答案(1)2。 (2)不一定有意义；当a=b=0时，分母为零。 解析由a、b互为相反数且a0,可知b=-a≠0，。所以合-山。 由c、d互为倒数，得到cd=1;又有|-2=2。 所以号+cd+-2=-1+1+2=2。 若不要求a≠0，就允许a=b=0,此时分式的分母为零，式子没有意义。因此非零条件不能删去。 5.整数x满足|x<3,且x的倒数也是整数。求所有符合条件的X,并说明没有遗漏。 答案x=1或x=-1。 解析由|x<3且x为整数，可列出所有候选：-2、-1、0、1、2。 11 0没有倒数，排除；2、2的倒数分别为22，不是整数，排除。 -1、1的倒数分别为-1、1，都是整数，因此x=-1或x=1。所有整数候选已经逐个检查，没有遗 漏。 6.已知1a=3,1b1=3且b>0。 求a-b与号的值，并写出符合条件的a、b。 答案a=3、b分或a=-8b=宁：两种情况下均有a-1号吕-9。 解析由绝对值条件。可以取3或-3.b可以取行或片 因为ab>0,所以a、b同号，只有同时为正或同时为负两种情况。 若a=3b字则a-13-号8=39。 3 若a=36=京则1a-b13+景号(-31-号=9。 两个原数有两组取值，但题目所求的两个结果都唯一。 第22页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 7.已知1a+21引0 (1)求a、b。 (2)判断a与b是否互为相反数、是否互为倒数；再判断a与-b是否互为倒数。 答案 (1)a=-2,b=2 (2)a与b既不互为相反数，也不互为倒数；a与-b互为倒数。 解析两个绝对值都不小于零，它们的和等于零，说明两个绝对值分别为零。 因此a+2=0,b:2=0,可直接得到a=-2、b= 因为a+b=2+分号*0，所以a与6不互为相反数 因为b=-2×登-11，所以a与b不互为倒数。 而a-b=(-2×(=1,所以a与-b互为倒数。 8.三个非零有理数a、b、c中，a与b互为相反数，b与c互为倒数。 (1)a与c能否互为倒数？说明理由。 (2)若a与c互为相反数，求a、b、c的所有可能值。 答案(1)不能。 (2)a=-1、b=1、c=1,或a=1、b=-1、c=-1。 解析(1)a、b为非零相反数，所以异号；b、c互为倒数，所以同号。因此a、c异号，乘积为 负，不可能等于1，不能互为倒数。 (2)若a、c也互为相反数，则b、c都是a的相反数，故b=c。 这说明b的倒数等于它本身。正数中只有1的倒数等于自身，负数中只有-1的倒数等于自身，因 此b=c=1或b=c=-1。 具体说明：若一个正数大于1，它的倒数小于1；若它小于1，倒数大于1，只有等于1才可能相 等。负数可对绝对值作同样判断，得到-1。 再由a是b的相反数，得到两组取值。逐组检验均满足原条件。 第23页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 题型四有理数加减与符号判断 计算时先把减法转化为加法，保留每一项的符号。判断和的符号要同时看两个加数的符号与绝对值，不能把乘 法的同号规则套到加法中。 1.计算。 (1)(-13)+8；(2)（-7)-(-12；(3)(-5)-6-(-9)。 答案(1)-5；(2)5；(3)-2。 解析(1)异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，所以(-13)+8=-(13-8)=-5。 (2)减去负数等于加上它的相反数，所以（-7)-(-12)=-7+12=5。 (3)(-5)-6-（-9)=-5-6+9=-11+9=-2。 2.计算。 (1)(-3.75)+22-(-1.25； 5.71 (2）-5+ 6124° 答案 (1)0:2) 解折(1)先化为统-形式：2=25，减去125等于加上125。 因此原式=-3.75+2.5+1.25=-3.75+3.75=0。 2通分并保⑧每项的行号：音+品子吕品吕分 3.小明的计算如下： ①-8-4+6=-8-4+6： ②-8-(4+6)=-8-10； ③-8-10=-18。 (1)指出第一处错误，并说明原因。 (2)写出正确计算过程。 答案（1)第①步错误，把+6的符号改变了。 (2)正确结果为-6。 解析第①步右边的-(4+6)等于-4-6，而原式中后两项是-4+6，两者不相等。不能把减法当成 可以随意结合的运算。 正确方法一：-8-4+6=(-8)+(-4)+6=-12+6=-6。 也可先把后两项合并：-8+(-4+6)=-8+2=-6。移动或结合各项时，必须把每项的符号一起保留。 第24页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 4.已知a<0<b,且a>b。判断下列各式的正负，并说明理由。 (1)a+b;(2）a-b;(3)b-a。 (4)a+b与a哪一个大？这一结论与第(1)问是否矛盾？ 答案(1)负；(2)负；(3)正。 (4)a+b>a,与第(1)问不矛盾。 解析(1)a、b异号，且负数a的绝对值较大，所以a+b<0。 (2)a-b=a+(-b),两个负数相加仍为负，所以a-b<0。 (3)b-a=b+(-a),两个正数相加为正，所以b-a>0。 (4)在a的基础上加一个正数b,结果增大，所以a+b>a。但增加后的结果仍可能是负数；这里 恰有a<a+b<0,两项结论并不矛盾。 5.已知有理数a、b满足a+b<0,且a-b>0。 (1)b一定是负数吗？请说明理由。 (2)能否确定a的符号？若不能，请分别举例说明a为正数、零、负数时都可能满足条件。 答案（1)b一定是负数。 (2)不能；a可以是正数、零或负数。 解析（1)由a-b>0可知a>b。假设b不是负数，则b≥0，于是a>b≥0，两个数的和必为正， 与a+b<0矛盾。所以b<0。 (2)取a=1、b=-2,则a+b=-1<0、a-b=3>0,此时a为正数。 取a=0、b=-2,则a+b=-2<0、a-b=2>0,此时a为零。 取a=-1、b=-2,则a+b=-3<0、a-b=1>0,此时a为负数。 三个例子都经过两个条件的检验，因此Q的符号不能唯一确定。 第25页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 题型五有理数乘除与符号判断 先检查零，再判断负因数的个数；除以非零数可转化为乘它的倒数。连乘连除同级运算应从左到右进行，字母 判号要列全可能。 1.计算。 (1)（-18)÷6; (2) (3)0÷ 答案 (1)-3； (2） 3(3)0。 解析 （1)异号两数相除得负，绝对值相除为18÷6=3，所以结果为-3。 3×10=2 (2)同号两数相乘得正，约分计算得亏×93 1 (3)除数-4不为零，零除以任何非零数都得零，所以结果为0。 2.计算。 (1)(-12)÷(-3)×(-2: (2) 答案(1)-8；(2)-1。 解析(1)乘除为同级运算，从左到右计算：（-12)÷(-3)×(-2)=4×(-2)=-8。不能先把 (-3)×(-2)作为除数。 ②依次把除法转为来法：原式引引 三个非零负因数相乘，积为负。 绝对值的积为子号×号1，所以原式=1： 3.小华计算： 8品器 (1)指出第一处错误，并说明原因。 (2)写出正确计算过程。 3 答案 (1)把被除数也取了倒数；(2)正确结果为 解析第一处等号不成立。“除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”只要求把除数取倒数，被除 数保持不变。 正确计算为 品 原来的两个数都是负数，商应为正；这个符号检查不能代替取倒数和约分的检查，错误答案虽然为 正，数值仍不正确。 第26页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 4.非零有理数a、b、c满足ab<0、bc>0。 (1)判断ac的正负。 (2)能否确定abc的正负？若不能，请列出所有可能的符号情况。 (3)若再知道abc<0,分别判断a、b、c的正负。 答案（1)ac<0。 (2)不能确定：a>0、b<0、C<0时积为正；a<0、b>0、C>0时积为负。 (3)a<0、b>0、c>0。 解析由ab<0,得a、b异号；由bc>0,得b、c同号。因此a、c异号，ac<0。 当b<0时，c<0、a>0,三个数中有两个负数，所以abc>0。 当b>0时，c>0、a<0,三个数中只有一个负数，所以abc<0。 因为b非零，上述正、负两种情况已经穷尽。若再有abc<0,只能保留第二种情况，即a<0、 b>0、c>0。 5。从-6、2、0、子4这五个数中选取两个不同的数，分别作为被除数和除数。要求所得商为负 数。 (1)共有多少种不同的选取和安排方法？写出所有情况。 (2)求这些负商的最大值和最小值，并写出相应的算式。 答案(1)共8种。 (2)最大值为合相应算式为子(-6：最小值为8，相应算式为-6)是 解析(1)商为负数，说明被除数与除数异号，且两者均非零。零作除数时无意义，作被除数时商 为零，均不符合题意。 负数作被除数有四种：-6)÷子(-6片4，(-2片子(-2)片4。 正数作被除数也有四种：子-61.4：-6。是-2.4(-2。因此共8种，没有造漏。 ②)以上八个商依次为8、是号宝合子是2 负数比较大小绝对值小的反而大。所以最大值为日，由子(-6)取得：最小值为8，由 1 (-62取得。 第27页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 6.四个非零有理数a、b、c、d中，任意三个数的乘积都是负数。 (1)判断四个数各自的符号，并判断abcd的正负，说明理由。 (2)若把条件改成“任意两个数的乘积都是负数”，是否存在这样的四个非零有理数？说明理由。 答案(1)四个数都是负数，abcd>0。 (2)不存在。 解析（1)先说明四个数不可能有正有负。若存在一正一负两个数，则剩下的两个数乘积非零。把 这一固定乘积分别乘前述正数、负数，所得两个三数乘积必异号，不可能都为负。 所以四个数必同号。若四个数都为正，任意三个数的乘积为正，与条件矛盾；因此四个数都为负。 四个负数的乘积为正，故abcd>0。 (2)假设存在。由ab<0、ac<0,可知b、c都与a异号，所以b、c同号，得到bc>0,与“任意 两个数的乘积都是负数”矛盾。因此不存在。 第28页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 题型六乘方与科学记数法 先看清乘方的底数是否包含负号，再由指数的奇偶性确定符号。科学记数法既要保持数值不变，又要检查前面 的数是否符合规定。 本题型兼顾乘方的意义、相近写法辨析、大数表示、单位换算与近似数精确度；不使用负整数指数幂。 1.分别计到-4、和引 指出前两个式子的底数，并说明后两个式子为什么相等。 答案四个结果依次为16、-16、日日。前两个乘方的底数分别为-4、4。 解析（-4=(-4)×(-4)=16；-42=-(4×4)=-16，第二式的负号不属于乘方的底数。 ×分g 【号=日。负数的奇次幂为负，与先求对应正数的奇次幂再取相反数所得结果相同 2.n为正整数。求下列两式的值，并说明理由。 (1)(-1)”+-1)m+1+(-1*2+(-1m+3。 (2)(-1)P×(-1*1×(-1*+2×(-1n*3。 答案（1)0；(2）1。 解析四个连续正整数n、n+1、n+2、n+3中，恰有两个奇数、两个偶数。 因此四个幂中有两个-1、两个1。它们的和为-1-1+1+1=0，积为(-1)×(-1)×1×1=1。 3.甲、乙、丙、丁分别把72000000写成72×10、7.2×10、0.72×103、7.2×10。 (1)哪些写法与原数相等？ (2)哪些写法是原数的科学记数法？对其余写法分别说明问题。 答案（1)甲、乙、丙与原数相等。 (2)只有乙符合要求。甲、丙的数值正确但形式不规范；丁的数值是原数的10倍。 解析72×10=72000000,7.2×10=72000000,0.72×108=72000000。 科学记数法写成a×10”时，这里的正数a应满足1≤a<10。甲的72≥10，丙的0.72<1，所以都不规 范。 丁的7.2×10=720000000，是原数的10倍，既不是等值写法，也不是原数的科学记数法。 第29页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 4.某次资料备份中，每张图片占用4800000字节，共有750张。这里按1吉字节=1000000000字节计 算。 (1)这批图片共占用多少字节？用科学记数法表示。 (2)容量为4吉字节的空存储盘能否装下这些图片？若能，还剩多少吉字节？忽略其他文件和系统 占用。 答案(1)3.6×109字节。 (2)能装下，还剩0.4吉字节。 解析总容量为4800000×750=3600000000字节，写成科学记数法是3.6×109字节。 3600000000÷1000000000=3.6,所以共占用3.6吉字节。 3.6<4,可以装下；剩余容量为4-3.6=0.4吉字节。 5.两个近似数分别记为6.030×10和6.03×10。 (1)它们表示的数值是否相等？各精确到哪一位？ (2)把603049四舍五入到百位，并用科学记数法表示所得近似数。 答案(1)数值相等，都为603000；前者精确到百位，后者精确到千位。 (2）6.030×10。 解析6.030×100000=603000,6.03×100000=603000，两者数值相同。 前者中6.030的最后一位对应原数的百位，后者中6.03的最后一位对应原数的千位，因此精确度不 同。 603049的十位数字是4，四舍五入到百位得到603000；为体现精确到百位，应记为6.030×10，末尾 的0不能省略。 3 5 6.计算：2 2/4 3。 答案灵 解析第一个幂是5个2相采，第二个深是4个号相乘。 3 利用乘法交换律、结合律，把其中4个)分别与4个配对，每一对的积都是-1。 于是原式=(-1)×(-1)×(-1)x(-1)×3=.3 2-2 第30页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 7.某实验记录规定：第一轮放入1枚计数片，以后每一轮放入的枚数都是上一轮的2倍。 (1)第六轮放入多少枚？写出乘方算式。 (2)前六轮一共放入多少枚？小明把这个总数写成2，请指出错在哪里。 答案(1)25=32枚。 (2)共63枚；2=64不是前六轮的总数。 解析各轮枚数依次是1、2、4、8、16、32。从第一轮到第六轮只翻倍5次，所以第六轮是2=32 枚。 前六轮总数为1+2+4+8+16+32=63枚。 乘方2°表示6个2相乘，不表示这六轮枚数相加；在本题中，2=64是第七轮单独放入的枚数。 第31页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 题型七混合运算与错解辨析 计算前先划清乘方、绝对值和分数线的作用范围。同级乘除从左到右计算，也可以先把除法统一改写成乘法。 遇到错解，要指出第一处不成立的等号并说明规则，再从原式重新计算，不能只改最后答案。 1.计算：-32+(-23-12÷(-3)。 答案-13。 解析先算乘方与除法：-3=-9，（-23=-8,12÷(-3)=-4。 原式=-9+(-8)-(-4)=-9-8+4=-13。 2.计算： (0 答案1。 解析先算括号内的乘方：(0.52=0.25=1 5+1=.10+3=.7 括号内6+4121212 原1 3.分别计算，并说明两式结果不同的原因。 (1)18÷(-3)×-2)-(-23。 (2)18÷[(-3)×(-2)]-(-2)3。 答案(1)20；(2)11。 解析(1)乘除同级，从左到右：18÷(-3)=-6，（-6)×(-2)=12，又(-2=-8，所以结果为 12-（-8)=20。 (2)先算中括号：（-3)×(-2)=6，因此结果为18÷6-（-8)=3+8=11。 第一式的除数只是-3；第二式的除数是整个乘积-3)×(-2)。括号改变了运算顺序，不能随意添加或 去掉。 4.小明的计算如下： -24-[6-(-32]÷(-3) =16-（6-9)÷(-3) =16-1=15。 指出第一处错误，并写出正确解答。 答案第一处错误是把-24算成16；正确结果是-17。 解析-24=-(2×2×2×2)=-16，不能把底数2误看成-2。 原式=-16-（6-9)÷(-3)=-16-（-3)÷(-3)=-16-1=-17。 后续(-3)÷(-3)=1本身正确，应定位并改正最先出现的乘方符号错误。 第32页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 -14+(-3)2 5.计算：-2+6 答案-4。 解析应先分别计算整个分子与整个分母，不能把分母中的+6移到分式外面。 分子为-14+(-32=-1+9=8；分母为(-2)3+6=-8+6=-2，不为0。 原式=8÷(-2)=-4。 6.(1)计算：0×(-53-0÷(-2)+8÷4。 (2)有人认为把第二项中的0÷(-2)换成(-2)÷0，结果仍是0。这句话是否正确？说明理由。 答案(1)2。 (2)不正确，（-2)÷0没有意义。 解析（1)0×(-5=0,0÷(-2)=0，-4=4，所以原式=0-0+8÷4=2。 (2)只有0除以一个非零数才等于0。除数不能为0；不存在一个数与0相乘得到-2，所以(-2)÷0没 有意义。 7.原式为6-2×-32。 (1)计算原式的值。 (2)保持数字、运算符号和它们的先后顺序不变，只添加一对括号，使结果变为36。 (3)仍只添加一对括号，使结果变为144。分别写出算式并验算。 答案(1)-12。 (2）(6-2)×(-3)2=36。 (3)[6-2×(-3)=144。 解析(1)先算平方：6-2×9=6-18=-12。 (2)把6-2括起来，先得4，再算4×9=36。 (3)把6-2×(-3)整体括起来作为平方的底数，括号内为6-（-6)=12，再算12=144。 8宴：1专引2× 答案1。 解析(-1P026=1, 传引-2-8 子引-2-8×-2。 原式=1-(-2)+(-2)=1。 第33页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 题型八运算律与简便计算 先观察哪些数可以凑整、配对或合并共同因数，再决定是交换结合还是使用分配律。减法先看成加相反数，除 法先看成乘倒数，移动一项时必须连同它前面的符号一起移动。 分配律可以用于一个和乘同一个数，不能把一个数除以一个和随意拆开。阅读型简算要先核实给出的等式，再 写出中间抵消过程。 1.用简便方法计算：+4,75+三-1,75。 6 6 答案1。 解析把两个分数结合，把两个小数结合；交换加数的位置时，要连同它前面的符号一起移动。 原式 117+5 +4.75-1.75)=-2+3=1。 66 这里使用的是加法交换律与结合律，减去1.75视为加上-1.75。 5,71 2.计算12189 ×(-36). 用两种方法计算。 答案5。 解折方法：括号内号治。所以原式忌1361=5 36 方法=：原式1-36)+日×-36)-日×136。 18 因此原式=15-14+4=5。特别注意第三项原来前面是减号，乘以负数后该项贡献为正。 分配律把三项化为整数，适合逐项检查；先通分也正确，只要各项符号保持不变。 3.用简便方法计算：(-12.5)×(-0.32)×(-8)×25。 答案-800。 解析四个非零因数中有3个负数，所以积为负数。 利用交换律和结合律，把-12.5与-8配对，把-0.32与25配对。 原式=[(-12.5)×(-8)]×[(-0.32)×25]=100×(-8)=-800。 4.计算36×-9911 时、小用把9号写成100 (1)说明这个改写为什么错误，并作正确改写。 (2)用简便方法计算。 答案 (1)应写成100+1 2 (2)-3597。 解析负带分数-99 2表示99+ 1 12 它此100大2所以应写成-100+ 2° 第34页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 原式=36×-100+1 =-3600+3=-3597。 2 由于-100<-99号<-99，与正数36相乘所得结果应在-3600与-3564之间：-3597满足此条件。 12 5.不分别算出三个乘积，计算： 答案0。 13 解析三个乘积含有相同的数号，逆用分配律合并。 13 原式 x18+--7- ×0=0。 第三个乘积前面是减号，因此括号内对应的是-7，不是+7。 6. 0分计到吉与引立后立 3 比较结果。 )分别计第1与1引1 6 ,比较结果。 说明为什么不能把“除以一个和”照着“一个和除以同一个数”那样拆开。 答案(1)两个结果都是1。 (2)两个结果分别为12、品不相等。 解折号是吕立所以0)第-式为位立 1÷1=1。 (1)第二式为-9+10=1。这里除以2就是乘12，可以使用分配律。 4+6-20.18_2 (2)第-式为1立=12。第二式为青+号$+8后· 第二问的除数是整个和，必须先求这个和的倒数，不能分别取各项的倒数再相加。两种实际结果不 同，也给出了明确反例。 7.阅读： 3-113-11 2×525'5×858° (1)用通分说明上述第一个等式成立。 ②用类似方法计年是5之8R品+ +3 答案 11_5-2-3 (1)252x52×5 解析(1)两个分母的差为3，通分后分子正好为5-2=3，所以等式成立。 311311 (2)同理，8×178立11×14五14° 第35页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 11,11,11,11113 原式= 255881111142147° 第36页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 题型九数轴条件下的绝对值化简 数轴位置首先告诉我们数的大小关系；绝对值符号内的和、差是否为正，还要分别判断。图中没有给出的距离 关系不能凭外观补充。 本题型把判号与有理数运算结合。有除法时，要注意除数不能为零；涉及原点或对称关系时，要把图上的信息 转成明确理由。 1,有理数a、b、c在数轴上的位置如图。示意图只给出先后顺序，不提供距离大小关系。 (1)化简a-b+|b-|a。 (2)能否仅根据此图判断a+c的正负？若不能，分别举一组使a+c>0和a+c<0的数。 a 6 0 答案（1)0。 (2)不能。例如a=-3、b=-1、c=4时为正；a=-3、b=-1、c=2时为负。 解析由图知a<b<0<c,所以a-b<0,a-b=b-a,b|=-b,a=-a。 因此原式=(b-a)+(-b)-(-a)=0。 图中没有给出|a与c的大小关系。取a=-3、b=-1、c=4,有a+c=1>0;取a=-3、b=-1、c=2,有 a+c=-1<0。两组都满足图示的先后顺序，所以不能确定a+c的正负。 2.有理数a、b在数轴上的位置如图，且a<b。 求g+h+a-b-2a的值。 a+b a 0 b 答案2。 解析由图知a<0<b,又a<b,因此b>-a,从而a+b>0,分母a+b=a+b>0。 另有a-b<0,所以a-b=b-a,|a=-a。 分子=(a+b)+(b-a)-2(-a)=2(a+b),是分母的2倍。 因此原式=2。 第37页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 3.点P在数轴上表示X,且P在线段AB上，包括两个端点，如图。 计算3÷(1x+3+x+1)-（-1的值。 A P B 0 -3 -1 0 答案式子的值恒为。 解析由图知-3≤x≤-1，所以x+3≥0，x+1≤0。 因此x+3+|x+1|=(x+3)-(x+1)=2,分母恒为2，不为0。 原我32小-12+1-受 当x=-3或x=-1时，两项中有一项为0，另一项为2，其和仍是2，所以端点不例外。 4.如图，点A、B表示的数分别为a、b,点O为原点。点B是线段AO的中点。 (1)用b表示a。 ②*8回号的位。 A B 0 a b 0 答案（1)a=2b。 (2)两个值依次为3、-2。 解析由图知a<b<0。由于AB=BO,点A到原点的距离是点B到原点距离的2倍，且二者都在原点左 侧，所以a=2b。 la-bl=b-a=-b,1a=-a=-2b,|b|=-b>0。 第一个式子的分子为-b-2b=-3b,是分母-b的3倍，所以值为3。 第二个式子2沙-2，其中6<0，可以作除数 第38页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 5.有理数a、b在数轴上的位置如图。化简a+b-a+1-b-1。 -1 0 b 答案0。 解析由图知a<-1,0<b<1。因此a+1<0,b-1<0。 因为a<-1且b<1,所以a+b<-1+1=0。 原式=-(a+b)-[-(a+1)]-[-(b-1)]。 即原式=-a-b+a+1+b-1=0。 6.数轴上点A、B、C从左到右排列，表示的数分别为a、b、C,其中a、b互为相反数，原点尚未标 出，如图。 (1)在图上标出原点O,并说明位置。 (2）化简a+c-|b-cl A B C a 6 答案（1)原点O是线段AB的中点。 (2)0。 解析相反数对应的点关于原点对称。A、B是不同的点，所以a、b都不为0，原点在二者正中间。 由先后顺序知a<0<b<c。 因为a=-b,所以a+c=c-b>0;又b-c<0。 因此|a+c=c-b,|b-c=c-b,两者之差为0。 A 0 B a 0 b 第39页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 题型十非负性与综合求值 绝对值和有理数的平方都不小于零。若若干非负数的和为零，才能逐项判定为零；两个非负数相等并不表示它 们都是零。 综合求值时，不必总把所有字母分别求出。先看目标式需要哪些和、积、平方或符号关系，并注意整数条件、 零值和除数限制。 1 1.已知a+ +(b-2)2=0。求(-a)3+a÷b的值。 1 答案8° 解析绝对值Q+与平方b-2都非负。和为0，所以两项都为0。 由此a=,b=2:b0,除法有意义。 ,111 所求值为848° 2.已知a+a+(b+32=0。 (1)求b,并写出a的取值范围。 (2)a÷b是否一定为正数？说明理由，并举例说明它能否为0。 答案（1)b=-3,a≤0。 (2)不一定为正数，但一定非负；当a=0时，商为0。 解析若a≥0，则|a+a=2a≥0；若a<0,则a+a=-a+a=0。因此la+a总是非负。 它与非负数(b+3)的和为0，所以二者都为0。于是b=-3,并且a+a=0给出a≤0。 当a<0时，负数除以-3为正数；当a=0时，0÷(-3)=0。例如a=0、b=-3符合全部条件，所以不能断 言商一定为正数。 3.小明说：“因为a-1和(b+2)2都是非负数，若a-1=(b+22,就有a=1、b=-2。” (1)他的推理正确吗？举出一组不满足a=1、b=-2但满足原等式的数。 (2)只凭原等式，a+b是否能确定？至少用两组符合条件的数说明。 答案(1)不正确，例如a=5、b=0时，两边都等于4。 (2)不能确定，例如a=1、b=-2时和为-1；a=5、b=0时和为5。 解析两个非负数相等时，可以同时为正数，不一定都是0。只有已知它们的和为0时，才能分别判定 为0。 取a=5、b=0,有5-1=4，（0+22=4，原等式成立，但a≠1且b≠-2。 取a=1、b=-2,原等式两边都是0，且a+b=-1;上一组数中a+b=5。同一条件对应不同的和，所以 a+b不能确定。 第40页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 4.已知a=9,b=16,且a+b<0。 (1)判断b的值，说明a能否唯一确定。 (2)求a-b3的值。 答案(1)b=-4,a可以为3或-3，不能唯一确定。 (2)73。 解析a2=9给出a=3或a=-3;b2=16给出b=4或b=-4。 若b=4,无论a=3还是a=-3,都有a+b>0,与条件矛盾。因此b=-4。此时a=3或a=-3 都使a+b<0,所以a不唯一。 目标式只需要a而不需要a的符号，故a-b=9-(-43=9-(-64)=73。 5.a、b、c都是整数，且a+|b+|c=1。 (1)求a+b2+c2和abc的值。 (2)如果把“整数”改为“有理数”，第一问的两个结论是否都仍成立？请分别说明或举出反例。 答案(1)a2+b2+c2=1,abc=0。 (2)两个结论都不一定成立。例如a=-b=c=时。平方和为行积为分 1 解析（1)三个绝对值都是非负整数，且和为1，所以其中恰有一个是1，另两个都是0。 于是a、b、c中恰有一个是1或-1，另两个是0，所以平方和为1，积为0。 (2)有理数的非负绝对值可以小于1而不等于0。取a=b=c=号有a+b1+c=1。 但平方和为对+甘甘专不等于1：积为了×兮×行方不等于0。因此两个结论都不能直接保留。 1x1×1=1 6.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|a=3,且(c-22=0。 求a+b2-4cd与a+b+c+d的值。 5 答案两式的值分别为14、 解析a、b互为相反数，所以a+b=0,并且b=a=3,于是a=b2=9。 &、d互为倒数所以d=l。由c-2P=0得c=2,从而d 第-式9+9-4×1=14：第=式=0+2号月。 两式用到的是a+b、a、b2,这些都已确定，所以不必分别确定a、b的符号。 第41页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 题型十一新定义运算与程序计算 新符号的意义由题目规定，不能套用通常的乘法。遇到嵌套先算内层；遇到程序要分清“输入”“一次输出”和“是 否继续”。反向寻找输入时，每退一步都要检验取值范围。 1.规定一种运算：a*b=a-2b+ab。 (1)计算(-2)*3与3*(-2)。 (2)这种运算是否一定满足交换律？ 答案（(1)分别为-14、1；(2)不一定满足交换律。 解析（-2)*3=(-2)-2×3+(-2)×3=-2-6-6=-14。 3*(-2)=3-2×(-2)+3×(-2)=3+4-6=1。 同样的两个数交换位置后结果不同，故这种运算不一定满足交换律。新运算中的第一、第二个位置 不能随意互换。 2.规定a*b=a2-2b。分别计算[(-1)*2]*(-3)和(-1)*[2*(-3)]，并判断结果是否相同。 答案两个结果分别为15与-19，不相同。 解析先算左式内层：（-1)*2=(-12-2×2=-3。再算外层：（-3)*(-3)=(-32-2×(-3)=15。 右式先算2*(-3)=2-2×(-3)=10，再算(-1)*10=(-1)2-2×10=-19。 两式的数及顺序相同，但括号位置不同，计算结果不同，不能把这种新运算直接看成满足结合律的 运算。 3.按图中的程序计算，每个方框表示一步运算。 (1)输入-2和时，输出的数分别是多少？ (2)若输出的数为-7，求所有可能的整数输入。 输入X 平方 减4 除以一3 输出 答案( ①)分别为0.：(2)5或-5。 解折输入-2时.-2-45-3=0，输入时.41=-3到=-1：(-3到=。 由输出向前倒推：除以-3前的数为(-7)×(-3)=21，减4前的数为21+4=25。 输入数的平方为25。整数5和-5的平方都是25，其余整数的平方均不是25，所以全部输入为5、-5。 第42页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 4.把n个相同的非零有理数a从左到右连续相除，称为这n个数的连除结果，其中n为不小于2的整 数例如，22=2=2=21卢2- (1)求4个-2的连除结果，以及5个的连除结果。 (2)小明把4个-2的连除写成(-2)÷[(-2)÷(-2)÷(-2)]。他的写法是否正确？计算说明。 (3)当n≥3时，用含a、n的式子表示连除结果。 1 答案 (1)年8：(2)不正确，所写式子的值为4；(3)。 -2。 解析(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)=1÷(-2)÷(-2)= 49 111:1:1-1×2×2×2=8。 22222 小明括号内为-2(-2(-2)=之整个式子为-2(=4，与行不同。连续除法不能随意结 合。 1 到1，剩余n-2次都是除以a,即乘n-2个，所以结果为n-2。条件a 有意义。 5.按图中的规则，每次输出后都把输出数作为下一次输入，继续运算。若首次输入为-5： (1)写出前7次输出的数。 (2)求第2026次输出的数。 -2X+1 输入X X≥0？ 输出 X+3 否 作为下一次输入 答案(1)-2、1、-1、2、-3、0、1；(2)0。 解析负数输入时加3，非负数输入时先乘-2再加1，因此输出依次为-2,1，-1,2，-3,0,1。 第2次与第7次都输出1，此后每次面对相同输入都会按同一规则得到相同输出，因此从第2次起按 1,-1,2,-3,0五个数循环。 2026-1=2025=5×405。从第2次至第2026次恰有405组完整的五项，最后一项应为0。 第43页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 6.按图中的程序，每轮都先把当前的数乘2再加3，若所得的数大于20就输出并结束；否则把所得的 数继续送回运算框。首次输入必须是0到10之间的整数（包括0和10）。 (1)首次输入1时，最后输出多少？一共进行了几轮运算？ (2)若最后输出为37，求所有可能的首次输入。 是 首次输入 乘2再加3 大于20？ 输出 否 用所得数继续运算 答案(1)输出29，共3轮；(2)首次输入为2或7。 解析输入1时，依次得到5、13、29。前两次结果都不大于20，第三次29>20，所以输出29，共3 轮。 每轮都是乘2再加3，倒推一步就先减3再除以2。由37依次向前得到(37-3)÷2=17、（17-3)÷2=7、 (7-3)÷2=2、(2-3):2=.1 。 17不在首次输入范围内，7和2在范围内；再往前已不是非负整数，不可能成为允许的首次输入。每 一步倒推结果唯一，所以没有其他可能。 正向检验：7→17一37，以及2→7→17→37。中间数均不大于20，最后的37大于20，均满足停止 规则。 第44页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 题型十二数的规律与求和 先说清变化的是符号、绝对值还是一组数的重复顺序，再决定用配对、周期、拆项或约分。观察到几项规律 后，要用题目给出的排列规则解释它；长算式应看清首项、末项与项数。 1.一列数按以下规则排列：第n个数的绝对值为n；当n为奇数时取负号，为偶数时取正号，其中n 为正整数。前几项是-1,4，-9,16，-25，…。 (1)写出第8个数和第15个数。 (2)求前10个数的和。 答案(1)64、-225；(2)55。 解析8是偶数，第8个数为82=64；15是奇数，第15个数为-152=-225。 把相邻两项分为一组：(-1+4)+(-9+16)+(-25+36)+(-49+64)+(-81+100)。 五组依次为3,7,11,15,19，所以和为(3+19)+(7+15)+11=55。先处理每组中的异号加法，再把等差 增加的组和首尾配对。 2.求下列正整数的个位数字，并说明所用的重复规律。 (1）22026+32026。 (2）3+32+33+.+32026 答案(1)个位数字为3；(2)个位数字为2。 解析2,2,23,2的个位数字依次为2,4,8,6，再乘2后重复；3的正整数次幂的个位数字依次按3,9,7,1 重复。两种周期均为4。 2026=4×506+2,所以22026和32026的个位数字分别为4、9，和的个位数字为3。 (2)每4项个位数字的和为3+9+7+1=20。前2024项组成506组，组和的个位数字均为0；剩下两 项的个位数字为3、9，故总和的个位数字为2。 3.观察并核算：1-二=2×4 3233 (1)仿照上式。把1京写成两个分数相乘的形式，其中两个分母均为4。 2计第121号1-10 (3)所得结果比大多少？ 答案 (1) 4*4:(2)11. 3×5. 20: )大品 解析(1)1- 1_15_3、5 161644° 1×324 各因数依次为2×23×3 易 利用乘法交换律、结合律分成两串：(2x号义 1x2x…x93x4x…x1)】 1023 10。 第45页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 11 1111 二电连续约分得0第三串连续约分得故原式为品0×，0。最局20220·全程只需数 字的通分、乘法与约分，无须乘法公式。 第46页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 题型十三正负记录与实际应用 先确定正负号表示什么，再区分“变化量”“实际量”与“累计量”。求最后位置要把有符号记录相加，求总路程要 把各段长度相加；误差、容量与分段收费还要逐一检查边界。 1.某地7时气温为-3.5℃，到12时上升了5.2℃，到20时又比12时下降了6.8℃。 (1)求12时、20时的气温。 (2)这三次记录中的最高气温与最低气温相差多少？20时比7时降低了多少？ 答案（1)1.7℃、-5.1℃；(2）相差6.8℃，降低1.6℃。 解析12时气温为-3.5+5.2=1.7℃。20时气温为1.7-6.8=-5.1℃。 三次记录为-3.5℃、1.7℃、-5.1℃，最高与最低相差1.7-（-5.1)=6.8℃。 20时比7时降低-3.5-(-5.1)=1.6℃。下降6.8℃是相对于12时而言，不能直接把它当成相对于7时的降 幅。 2.某种袋装食品的标示质量为每袋0.50千克。抽查5袋，把“实际质量减去标示质量”的结果记在下 表。质量偏差的绝对值不超过0.02千克视为合格。 (1)哪些袋合格？ (2)这5袋的总质量与平均每袋质量各是多少？ 袋号 第1袋 第2袋 第3袋 第4袋 第5袋 质量偏差（千克） +0.02 -0.01 +0.03 -0.02 0 答案（1)第1、2、4、5袋合格； (2)总质量2.52千克，平均每袋0.504千克。 解析第1、4袋偏差的绝对值均为0.02，等于允许上限，仍合格；第2、5袋也合格。第3袋偏差为 0.03>0.02,不合格。 五袋偏差和为0.02-0.01+0.03-0.02+0=0.02（千克）。 总质量为5×0.50+0.02=2.52（千克），平均每袋为2.52÷5=0.504（千克）。平均质量接近标示质 量，并不说明每一袋都合格。 第47页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 3.某车间五天的计划产量及实际产量相对于当天计划的增减量如下表，超产记为正，少产记为负。 (1)实际产量最多、最少的是哪一天？各是多少件？ (2)求五天的实际总产量及平均每天实际产量。 (3)若按天结算，超产部分每件奖励2元，少产部分每件扣3元；若按这五天合并结算，则把实际总 产量与计划总产量相比，再按同样标准奖扣。两种结算办法分别应奖或扣多少元？ 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计划产量（件） 80 80 90 90 100 增减量（件） +5 -3 0 +8 -6 答案(1)星期四最多，为98件；星期二最少，为77件。(2)共444件，平均每天88.8件。(3) 按天结算合计扣1元；合并结算奖8元。 解析每天实际产量等于当天计划加对应记录，依次为85,77,90,98,94件，因此星期四最多，星期二 最少。 计划总产量为80+80+90+90+100=440（件）；增减量之和为5-3+0+8-6=4（件）。实际总产量 为440+4=444（件），平均为444÷5=88.8（件）。 按天结算：超产共5+8=13（件），少产共3+6=9（件），奖扣合计为13×2-9×3=-1（元），即 扣1元。 合并结算时，五天净超产4件，故奖励4×2=8（元）。超产和少产的单价不同，不能把每天的记录 先抵消后仍声称等同于按天结算。 第48页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 4.一辆检修车从服务站出发，始终沿同一条东西方向的道路行驶。以向东为正、向西为负，五段行 驶记录（单位：千米）依次为+4.5，-7，+3，-2.5，+6。 (1)完成这五段后，车在服务站的什么方向，距服务站多远？ (2)完成五段后沿这条道路直接返回服务站，途中不再往返。此次行程共需行驶多少千米？ (3)出发时有汽油2.10升，行驶每千米耗油0.08升，不考虑其他耗油。能否完成上述行程并返回？ 若不能，至少还差多少升汽油？ 0 单位：千米 第1段+4.5 第2段-7 B 第3段+3 第4段-2.5 第5段+6 P 西 服务站 东 各行依次表示一段行程，箭头表示行驶方向。 答案(1)在服务站东边4千米处；(2）共27千米；(3)不能，至少还差0.06升。 解析五段有符号记录之和为4.5-7+3-2.5+6=4（千米），正号表示最后在服务站东边4千米处。 五段总路程为4.5+7+3+2.5+6=23（千米）。直接返回还需4千米，故全程为23+4=27（千米）。 全程需油27×0.08=2.16（升），比已有汽油多2.16-2.10=0.06（升），所以不能完成全程并返回。 不能用最后距服务站的4千米代替已经走过的23千米。 5.一个水箱最多可储水50吨，计划依次进行四次加水或取水操作，记录如下表，加水记为正，取水 记为负。每次操作过程中只进行表中规定的加水或取水，不同时进行其他操作。 为使四次操作都能完成，每次取水时都有足够的水，且加水后不超过水箱容量，开始时至少应有多 少吨水，至多可有多少吨水？这里允许储水量恰好为0吨或50吨。 操作次序 第1次 第2次 第3次 第4次 加水或取水量（吨） +20 -35 +30 -15 答案开始时至少应有15吨水，至多可有30吨水。 解析相对于初始水量，四次操作后的累计变化依次为20、20-35=-15、-15+30=15、15-15=0 (吨)。 第49页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 累计变化最小为-15吨，所以初始水量至少为15吨，才能保证第二次取水完成后不出现缺水。 累计变化最大为20吨，水箱容量为50吨，所以初始水量至多为50-20=30吨。 初始为15吨时，各次操作后为35,0,30,15吨；初始为30吨时，则为50,15,45,30吨。每次操作水量单向 变化，因此端点不缺水、不溢出就保证全过程可行。任意介于15吨和30吨之间的初始水量也满足要 求。 6.某地居民用水按月分段收费，标准见下表。表中的价格只用于对应部分的用水量。某户两个月的 用水量分别为10立方米、26立方米。 (1)求这两个月各自的水费及水费总额。 (2)若错误地把两个月的用水量先求平均，再按这个平均用水量计算每月水费，两个月合计会比正 确总额少多少元？ (3)若其中一个月能少用4立方米水，选择在哪个月节水可节省更多水费？能多节省多少元？ 每月用水量的对应部分 每立方米价格 不超过12立方米的部分 3元 超过12且不超过20立方米的部分 4元 超过20立方米的部分 6元 答案(1)分别为30元、104元，总额134元。(2)少14元。(3)在用水26立方米的月份节水可 节省更多水费，比在另一月节水多节省12元。 解析用水10立方米时，水费为10×3=30（元）。 用水26立方米时，三个部分的用水量分别为12、8、6立方米，水费为12×3+8×4+6×6=104 (元)。总额为30+104=134（元）。 平均用水量为(10+26)÷2=18（立方米）。按此错误算法，每月为12×3+(18-12)×4=60（元）， 两个月共120元，比正确总额少134-120=14（元）。 在用水10立方米的月份少用4立方米，省4×3=12（元）；在用水26立方米的月份少用4立方米后仍 超过20立方米，这4立方米全按最高档计价，省4×6=24（元）。因此后一种多省24-12=12 (元)。 第50页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 题型十四数轴运动与距离综合 数轴上的位置用有正负的数表示，距离与路程则是非负数。先统一单位长度，再按出发、停留、继续运动等时 刻分清过程；追及可用原有间距除以每秒缩短的距离，反复往返先求一整次往返所需时间。 1.如图，把一把刻度尺放在数轴下方，尺上的0厘米刻度对准点A。点A、C表示的数分别为-6、 4;点B、C分别对准尺上的1.75厘米、5厘米刻度。 (1)点B表示什么数？原点O对准尺上的多少厘米刻度？ (2)若只把刻度尺沿数轴向右移动0.5厘米，数轴和各点不动，此时尺上的0厘米刻度对准数轴上的 什么数？点B对准尺上的多少厘米刻度？ A B -6 4 厘米 答案(1)点B表示-2.5，原点对准3厘米刻度；(2)尺零对准-5，点B对准1.25厘米刻度。 解析AC=4-(-6)=10个单位长度，对应尺上的5厘米，所以1厘米对应10÷5=2个单位长度。 AB对应1.75厘米，即1.75×2=3.5个单位长度，故B表示-6+3.5=-2.5。A0=6个单位长度，对应 6÷2=3厘米。 刻度尺向右移动0.5厘米相当于向右移动0.5×2=1个单位长度，尺零从-6移至-5。 点B没有移动，相对于新尺零的读数减少0.5厘米，变为1.75-0.5=1.25厘米。尺零变化不会改变点B 在数轴上表示的数。 2.如图，数轴上A、B、C、D从左到右排列，且AB=BC=CD。点A、C表示的数分别为-7、1。 (1)求点B、D表示的数。 (2)点P表示-(-2P+,点Q表示 7 2 +(-1)3。在图中标出P、Q,并求PQ。 A B C D -7 01 答案()点BD分别表示3、5：2)点R、,Q分别表示子是PQ=6, 解析AC=1-（-7)=8,由AB=BC可得每段长度为8÷2=4。因此B表示-7+4=-3，D表示1+4=5。 第51页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 P表示的数为-(-2P+=-4+1=.7 5 2 +22:Q表示的数为21= 20 3 P在A、B之间，位于B左侧吃个单位长度处；Q在C、D之间，位于C右侧5个单位长度处。 PQ多-子=6。注意-(-2的平方只作用于括号内的-2.外面的负号最后处理。 o A B D -7 0 3.如图，点A、C、B分别表示-6、-2、8。点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动；到 达C后停留1秒，再以每秒5个单位长度的速度向右运动，到达B时停止。设从出发起经过的时间为t 秒。 (1)当t=1.5、t=2.5、t=4时，点P分别表示什么数？ (2)从出发到到达B共用多少秒？按这个全过程（包括停留时间）计算，平均每秒移动多少个单位 长度？ y C B -6 -2 0 8 答案（1)依次表示-3、-2、3；(2)共5秒，平均每秒移动2.8个单位长度。 解析AC=-2-(-6)=4,到达C所需时间为4÷2=2（秒）；停留到第3秒才继续运动。 CB=8-(-2)=10,第二段需10÷5=2（秒），故到达B时为第5秒。 t=1.5时仍在第一段，表示-6+2×1.5=-3。t=2.5时正在C停留，表示-2。 t=4时第二段已运动4-3=1（秒），表示-2+5×1=3。 全程路程为8-(-6)=14，共用2+1+2=5（秒），平均每秒移动14÷5=2.8个单位长度。不能把两个 运动速度直接求平均，也不能漏掉停留时间。 第52页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 4.如图，点A、B分别表示-8、-2。点Q从B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动；2秒后，点 P才从A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动。两点均保持原方向、原速度。以Q出发时开始计 时。 (1)第4秒时，点P、Q分别表示什么数？两点间的距离是多少？ (2)两点首次相遇是第几秒？相遇点表示什么数？ B 0 -8 -2 0 答案（1)点P、Q分别表示-2、2，相距4；(2)第6秒首次相遇，相遇点表示4。 解析第4秒时，Q运动了4秒，表示-2+1×4=2；P只运动4-2=2（秒），表示-8+3×2=-2。两点 间距离为2-(-2)=4。 P出发时，Q已从-2走到0两点相距0-(-8)=8。以后每秒P比Q多向右移动3-1=2个单位长度，所 以追上需要8÷2=4（秒）。 计时从Q出发起算，因此首次相遇在第2+4=6秒，相遇点表示-2+1×6=4。检验P也到达 -8+3×4=4。 5.如图，点A、B分别表示-4、5。点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度在A、B之间不断往 返，到达端点立即转向，不停留。转向前后速度大小不变。 (1)出发后第14秒、第28秒时，点P分别表示什么数？各自正在向哪个方向运动？ (2)从出发到第28秒，点P经过的总路程是多少？此时它离出发点多远？ 每秒3个单位长度 0 B -4 0 5 答案(1)两次均表示2；第14秒向右，第28秒向左。(2）总路程为84个单位长度，离出发点6个 单位长度。 解析AB=5-(-4)=9,单程需9÷3=3（秒），一次完整往返需6秒，之后回到同样的起点和运动方 向。 14=6×2+2,两次完整往返后又从A向右运动2秒，表示-4+3×2=2，向右运动。 28=6×4+4,四次完整往返后又运动4秒，其中前3秒到达B,随后向左运动1秒，表示5-3×1=2， 向左运动。 第53页共54页 有理数期中复习专题讲义教师详解版 总路程为3×28=84；离出发点的距离为2-(-4)=6。两次处于相同位置不表示运动方向相同，经过的 总路程也不是到出发点的距离。 6.如图，点A、C、B分别表示-10、-2、10。点P从A出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动， 到达C后停留2秒，再按原速度继续向右运动，到达B后停止。点Q同时从B出发，以每秒2个单位长 度的速度向左运动，到达A后停止；Q途中不停留。 求从同时出发到两点首次相遇所经过的时间，以及相遇点表示的数。 A B 上◆→ -10 -2 0 10 答案在P继续运动后首次相遇：出发后4秒相遇，相遇点表示。 解析P到达C需[-2-(-10)]÷4=2（秒）。这时Q表示10-2×2=6，两点还相距6-（-2)=8，所以停 留前没有相遇。 P停留的2秒内，Q又向左运动2×2=4个单位长度，到达表示2的点。此时两点仍相距2-（-2)=4，因 此停留期间也没有相遇。 4秒起，P继续向右、Q继续向左，两点每秒靠近4+2=6个单位长度，再经过4÷6=秒 遇。 从出发到相遇共经过2+2+子=4（秒），相遇点表示2+4×子号 33 `33 用Q检验：10-2义14=。这个点在C与B之间，确实出现在两点都还没有停止的阶段 第54页共54页有理数期中复习专题讲义 学生版 有理数期中复习专题讲义 2026—2027学年第一学期 苏科版七年级数学上册 学生版 目录导航 知识梳理 3 正数与负数的意义 3 有理数的分类与零的归属 3 数轴的画法与读法 4 相反数与符号的化简 4 绝对值的意义与计算 5 绝对值的基本性质与简单应用 6 有理数的大小比较 6 倒数及其与相反数的区别 6 有理数加法的法则与符号判断 7 减法转化为加法与加减混合运算 8 有理数乘法与积的符号 8 有理数除法与乘除混合运算 9 运算律的内容与适用范围 9 简便运算的选择与规范步骤 10 乘方的意义与负号括号 10 有理数混合运算的顺序 11 科学记数法与数量单位 11 近似数与精确到哪一位 12 实际问题中的正负记录与绝对值 12 运算程序与简单周期规律 13 题型导航 题型一 正负数的意义与有理数分类 15 题型二 数轴读图与大小比较 17 题型三 相反数倒数与绝对值 20 题型四 有理数加减与符号判断 23 题型五 有理数乘除与符号判断 25 题型六 乘方与科学记数法 28 题型七 混合运算与错解辨析 31 题型八 运算律与简便计算 34 题型九 数轴条件下的绝对值化简 37 题型十 非负性与综合求值 40 题型十一 新定义运算与程序计算 42 题型十二 数的规律与求和 46 题型十三 正负记录与实际应用 48 题型十四 数轴运动与距离综合 53 知识梳理 正数与负数的意义 为了表示具有相反意义的量，可以把其中一种意义的量规定为正，另一种意义的量规定为负。例如向东与向西、收入与支出、高于标准与低于标准，都要先说明正负号的规定，再记录数值。 大于 的数叫作正数，在正数前面加上负号“”所得的数叫作负数。正数前面的正号“”通常可以省略，负数前面的负号不能省略。 既不是正数，也不是负数。 不只表示“没有”。在以海平面为基准的高度记录中， 表示处于海平面；在以标准质量为基准的记录中， 表示恰好达到标准。负数记录的量也并非没有实际意义。 例 规定标准后读懂正负记录 一袋食品的标准质量为 克。把超过标准的克数记为正，低于标准的克数记为负。记录为 克、 克和 克的三袋食品，实际质量各是多少克？ 解析 记录的是“实际质量与标准质量的差”，不是实际质量本身。三袋的实际质量依次为 克、 克、 克。 若一袋实际质量为 克，则比标准少 克，应记录为 克。 只有属于同一类量、意义相反，才适合用同一规定下的正负数表示。记录时还要统一单位，不能把方向、单位或基准省略后再猜数的意义。 有理数的分类与零的归属 整数和分数统称有理数。整数包括正整数、 和负整数；分数包括正分数和负分数。有理数也可以按符号分为正有理数、 和负有理数。分类时应采用同一个标准，做到不重复、不遗漏。 分类标准 有理数的分类 按整数和分数分 整数：正整数、、负整数；分数：正分数、负分数。 按正负号分 正有理数：正整数、正分数；；负有理数：负整数、负分数。 有理数都能写成 的形式，其中 是整数，且 。判断类别看数的值，不只看写法。例如 是整数， 也是整数； 是负分数。 有限小数和无限循环小数都可以写成分数。有理数分类中，不能把所有带小数点的写法都判为分数，也不能把所有无限小数都排除在有理数之外。 非负数是正数和 的统称；非正数是负数和 的统称。非负整数包括 ，因此“非负整数”不等于“正整数”。 例 同一组数按同一标准分类 把 、、、、 按整数和分数分类。 解析 先把 化为 。整数是 、、；分数是 、。 若改按正负号分类，则正有理数是 、，负有理数是 、， 单独列出。 数轴的画法与读法 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。通常取向右为正方向，原点表示零。表示相差一个单位的两个数时，所用长度必须相同；单位长度可以根据需要选择，但一条数轴上不能随意改变。 每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。正数在原点右侧，负数在原点左侧。表示负分数时，要从原点向左量出相应长度，不能只看分子或把分数放到右侧。 图1 数轴上的整数点与分数点 例 读出点的位置并判断移动结果 如图，点 表示 ，点 表示 。点 向右移动 个单位长度后到达哪里？点 位于哪两个相邻整数之间？ 解析 从 向右移动 个单位长度，所表示的数增加 ，到达表示 的点。 因为 ，所以点 位于表示 与 的两点之间，恰在中间。 数轴上，向右移动表示所表示的数增大，向左移动表示所表示的数减小。若从表示 的点向右移动 个单位长度，则到达表示 的点；这里作为移动长度的 必须非负。 相反数与符号的化简 只有符号不同的两个数互为相反数。 的相反数仍是 。一般地，数 的相反数是 ，一个数的相反数的相反数仍是它本身，即 。 两个数互为相反数，它们的和为 ；反过来，两个数的和为 ，它们互为相反数。数轴上表示一对非零相反数的两点分居原点两侧，到原点的距离相等。 表示 的相反数，不能只凭前面的负号就断定它是负数。例如当 时，；当 时，。同样， 不一定是正数。 例 逐层理解负号的作用 化简 ，并求 的相反数。 解析 从内向外计算：，因此 。 的相反数是 ，两数相加为 。 若若干个负号逐层作用于同一个数，每多一个负号就取一次相反数。但是遇到加减混合运算，不能把整串算式的所有负号简单计数。两个非零相反数相除的商是 ；“非零”不能漏掉，因为 没有意义。 绝对值的意义与计算 数轴上表示数 的点与原点的距离，叫作数 的绝对值，记作 。绝对值表示距离，结果可以是 ，但不能是负数。 图2 相反数到原点的距离相等 正数的绝对值是它本身， 的绝对值是 ，负数的绝对值是它的相反数。可写成 把前两种情况合并，就是当 时，；当 时，。因此去绝对值符号之前，要判断符号内整个数或式子的正负，而不是机械地“删掉负号”。 例 先算绝对值符号内的数 计算 、 和 。 解析 ，。 先算 ，再取绝对值，得 。 若已知 ，则 ，这里的 是正数，不与绝对值非负矛盾。 的条件是 ； 的条件是 ，两种条件都不能遗漏 。 绝对值的基本性质与简单应用 绝对值具有非负性：，并且只有 时才有 。相反数的绝对值相等，即 。但绝对值相等的两个数不一定互为相反数，也可能是同一个数。也就是说，若 ，则 或 。 已知一个数的绝对值，要看给出的值是否可能是距离。若 ，则 或 ；若 ，则只有 ；若 ，则没有符合条件的数。 若几个非负数的和为 ，每个数都必须为 。例如由 可得 。若是差为 ，就不能这样判断： 只说明两数的绝对值相等。 例 结合相反数条件求和与积 已知 ， 是 的相反数，求 和 。 解析 当 时，；当 时，。两种情况都满足 ，。 不能只取 ；但由互为相反数可以先判断和为 ，不必分别重复计算。 数轴上表示 的两点之间的距离为 。已知左右顺序时，也可以用右边的数减去左边的数。例如表示 与 的两点相距 个单位长度。距离不能写成 。 绝对值作用于整体，不具有对加法的分配性质。例如 ，而 。本章要先熟练掌握这些基本应用，再处理较复杂的绝对值分类问题。 有理数的大小比较 数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。因此正数大于 ， 大于负数，正数大于负数。两个正数可以按小学学过的方法比较；两个负数则是绝对值大的反而小。 比较两个负分数时，先通分比较绝对值，再把大小关系反过来。不要把比较绝对值的结论直接当成比较原数的结论。 例 比较两个负分数 比较 与 的大小。 解析 它们的绝对值分别是 与 。通分得 ，，所以 。 两个数都为负，绝对值大的反而小，因此 。 有理数中没有最大的数，也没有最小的数。最大负整数是 ，最小正整数是 ， 最小非负整数是 ；不能把“整数”二字漏掉，说成“最大负数是 ”或“最小正数是 ”。 当题目只给 时，不能直接判断 ，还要结合符号。例如 、，虽然 ，却有 。比较数的大小与比较它离原点的远近，是不同的问题。 倒数及其与相反数的区别 乘积为 的两个数互为倒数。非零数 的倒数是 ，因为 。 与任何数相乘都得 ，所以 没有倒数。 互为倒数的两个数同号。求分数的倒数时，分子、分母交换位置，原来的正负号不变；求小数或带分数的倒数时，通常先把它化成分数。 比较项目 相反数 倒数 判断依据 两数的和为 两数的积为 数 对应的结果 ，要求 的情况 相反数是 没有倒数 等于它本身的数 和 例 一个数的相反数和倒数 求 的相反数和倒数。 解析 的相反数是 。先把原数化为分数：，所以它的倒数为 。 检验：；。 “取倒数”不是“取相反数”，也不是只改变符号。例如 的倒数是 ，不是 。涉及倒数的式子，首先检查原数是否为 。 有理数加法的法则与符号判断 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得零。一个数与零相加，仍得这个数。 例如 ；；。异号相加时，是比较绝对值，不是比较两个原数谁大。 图3 加上正数时在数轴上向右移动 例 分数的异号加法 计算 。 解析 先比较绝对值。通分后，，，前者较大，所以和为负数。 。 两个负数相加一定为负；正数与负数相加，结果可能为正、为负，也可能为 。例如 ，，。不要套用乘法中的“同号得正”。 减法转化为加法与加减混合运算 减去一个数，等于加上这个数的相反数。转化时减号变为加号，同时减数变为它的相反数，被减数不变。 例如 。只把减号改成加号而不改变减数，或者只改变减数而不改变运算符号，都会改变原式的值。 例 先写成几个数的和再计算 计算 。 解析 把减法全部转化为加法，得 。 正数的和为 ，负数的和为 ，所以原式等于 。 把一个加减算式看成几个数的和以后，每个加数都要连同前面的符号一起移动。例如 中的三个加数是 、、，不是 、、。 减法不满足交换律、结合律。例如 ，而 ；，而 。要调整加减运算的顺序，应先转化为加法。 有理数乘法与积的符号 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与零相乘，都得零。计算时先确定符号，再计算绝对值，分数能约分的先约分。 几个非零数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有奇数个时积为负，有偶数个时积为正。这里的偶数个包括 个。若有一个因数为 ，乘积就是 ，不用再数负因数。 例 先确定符号再约分 计算 。 解析 三个因数都非零，其中负因数有 个，所以乘积为负数。 绝对值的积为 ，因此原式等于 。 乘积为 ，至少有一个因数为 ，不要求每个因数都为 。例如 。当 时， 同号，但不一定都为正；当 时， 异号。 乘以一个数，结果不一定变大。例如 。是否变大要结合因数的符号和大小，不能沿用“乘法总使数变大”的印象。 有理数除法与乘除混合运算 除以一个不等于 的数，等于乘这个数的倒数。除数不为 是除法有意义的前提。只把除数变为倒数，被除数不变。 两个非零数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 除以任何不等于 的数都得 ；任何数都不能除以 ， 也没有意义。 例 分清除法顺序与括号作用 分别计算 和 。 解析 第一式只有同一级乘除运算，应从左到右：。 第二式先算括号：。括号改变了除数，两个算式不能混淆。 也可先把除法全部转化为乘法，再运用乘法运算律。例如 。不能未经转化就交换被除数和除数。 约分适用于乘法中的因数，不可以隔着加减号直接约去某一项。含有分母或除法的式子应先检查是否有意义；不能用“最后还要乘 ”来掩盖除以 的错误。 运算律的内容与适用范围 有理数的加法和乘法都满足交换律、结合律；乘法对加法满足分配律。字母表示任意有理数时，下面五个等式都成立。运算律可以从左到右使用，也可以从右到左使用。 运算律 字母表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 减法本身不满足交换律、结合律；除法本身也不满足交换律、结合律。加减混合运算先转化为加法，乘除混合运算先转化为乘法，再按需要交换或结合。 分配律要求括号外的数与括号内每一项分别相乘，不能漏项。由于减法可以看成加上相反数，也有 。这里只把它作为有理数简便运算的依据。 例 判断除法能不能拆开 比较 与 ，再比较 与 。 解析 第一组两式都等于 。因为除以 等于乘 ，可以对被除数中的和使用分配律。 第二组前式等于 ，后式等于 ，不相等。除数中的和不能拆成两个除法相加。 一般地，当 时，。这不是除法另有一个分配律，而是先转化为乘法后的结果。涉及 时，首先要求 ，即使有意义，也不能照搬上述拆法。 简便运算的选择与规范步骤 简便运算不是随意改变顺序，而是选择合适的运算律。加法中优先考虑互为相反数、凑整数和同分母的数；乘法中考虑先约分、凑整数或利用分配律。每一步应看得出依据，负号要跟着对应的数。 例1 先把相反数和能凑整的数结合 计算 。 解析 把减法看作加上相反数，再交换、结合：。 例2 根据分母选择分配律 计算 。 解析 能被三个分母整除，分别相乘较方便。 原式 。 例3 反向使用分配律 计算 。 解析 两个乘积有相同的因数 ，所以原式 。 拆数时要保持原数的值。例如 ，不是 ；负带分数 ，不是 。 简算前先观察，若拆开后反而更繁琐，可以按通常顺序计算。完成后用符号和大致大小检查结果，比只重做同一串笔算更容易发现错误。 乘方的意义与负号括号 求几个相同因数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂。在 中， 叫作底数， 叫作指数。本讲讨论的指数为正整数；当 时， 表示 个 相乘，。 例如 ，而 。指数说明相同因数的个数，不是让底数与指数相乘。 正数的正整数次幂是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 的正整数次幂都是 。这里不把零指数幂和负整数指数幂作为本章要求。 例1 看清底数是否包含负号 分别计算 、 和 。 解析 ，底数是 。 ，先算 的平方，再取相反数。 。 例2 分数乘方要把整个分数括起来 计算 ，并说明 与它是否相等。 解析 。 ，只有分子中的 参与乘方，与前式不相等。 任何有理数的平方都非负，即 。 的正整数次幂总是 ； 在 为奇数时等于 ，在 为偶数时等于 。而 始终表示 ，不能把它与 混同。 有理数混合运算的顺序 有括号时先算括号里面的运算，从最里面的括号逐层向外计算。在没有括号的部分，先算乘方，再算乘除，最后算加减；同一级运算按从左到右的顺序进行。先乘除不是先乘后除，先加减也不是先加后减。 例如 ，不能先算 。分数线相当于把分子、分母各自括成一个整体，绝对值符号也要求先计算符号内部的整体。 例 按层次计算含乘方的混合算式 计算 。 解析 先计算乘方：，。再算中括号，得 。 原式 。 书写时，一行中的等号表示前后数值相等，不能把尚未算完的式子与某一个局部结果直接相等。例如计算 ，应写 ，错误写法 中， 只是局部乘积，不等于原式，不能放在这条等式链中。 检查时可分三次看：先看运算顺序和括号，再看正负号，最后看通分、约分及数值计算。若某一步使用了简便运算，应确认它来自正确的运算律，而非改变原式的运算对象。 科学记数法与数量单位 把一个较大的正数写成 的形式，其中 ， 是正整数，这种记数方法叫作科学记数法。本讲只讨论用正整数次幂表示较大数，不引入负整数指数幂。 对大于或等于 的正数，小数点向左移动几位成为一个大于或等于 且小于 的数， 的指数就是几。也可以用原数整数部分的位数减去 来确定指数。 例 写成科学记数法并核对单位 用科学记数法表示 ，并把 人改写成以“万人”为单位的数。 解析 有 位整数，小数点向左移动 位得到 ，所以 。 人就是 人，也就是 万人。数值和单位必须同时对应，不能只换单位名称。 虽然与上述数值相同，但 不满足 ，所以不是规范的科学记数法。检查科学记数法要同时看前面的数和 的指数。 科学记数法是数的表示方法，本身不等于取近似值。 与 精确相等；如果题目要求保留若干位数，再按相应要求使用近似号。 近似数与精确到哪一位 通过数数可以得到准确数，而测量、估计或四舍五入得到的数可能是近似数。近似到哪一位，就是保留到哪一位；四舍五入时，观察被保留的最后一位的后一位。 例如 精确到十分位时，看百分位上的 ，得 ；精确到百分位时，看千分位上的 ， 得 。应写成 或 ，不能写精确相等。 例 末尾的零和附带的单位都有意义 数 精确到百分位是多少？近似数 万精确到哪一位？ 解析 的千分位是 ，需要进一；进位后得到 。末尾两个零保留了“精确到百分位”的信息，不能把答案简写成 。 万中，最后一位对应 万，也就是 ，所以它精确到百位，不是普通单位下的百分位。 对一个正数，若四舍五入到十分位得到 ，原数应满足 。左端点能进到 ，右端点却要进到 ，所以两端的取法不同。 有实际单位或科学记数法时，判断精确位要回到原数的数位。取近似值与更换单位是两件事，不要把保留的小数位数当作原量的精确位。 实际问题中的正负记录与绝对值 解决正负数应用题，先写清正方向或标准，再判断每一个记录表示位置、变化量还是偏差。不同问题所需的总量不同：求最后位置或总增减量，用带符号的数相加；求累计路程或总偏差的大小，往往要用各段长度或各个绝对值相加。 例 行驶后的位置与总路程 一辆小车从点 出发沿东西方向行驶，规定向东为正。三次行驶的记录依次为 千米、 千米、 千米。最后在出发点的什么方向？距出发点多远？共行驶多少千米？ 解析 最后位置相对出发点的记录为 ，所以最后在出发点西边 千米处。距出发点的距离为 千米。 总路程为 千米，不能用最后位置的绝对值代替总路程。 图4 三段行驶的方向与位置 若每件产品的标准质量是 ，共有 件，五件的偏差记录之和为 ，则总实际质量为 。这里 可以为正、为负或为 ，偏差相互抵消不表示每件都恰好达标。 平均偏差应先把各次带符号的偏差相加，再除以次数。累计偏离标准的大小则要看题意，不能把“各偏差的和”与“各偏差绝对值的和”混用。 写答语前应检查三件事：单位是否一致，正负号对应的实际意义是否说清，所求的是位置、变化量、路程还是总量。最终结果为负数时，通常要用反方向或低于标准等文字解释。 运算程序与简单周期规律 运算程序是按指定顺序反复计算。每次先看当前输入数满足什么条件，再按对应规则计算；若要求把输出重新输入，就用刚得到的数继续下一次，不是每次都从最初的数开始。次数也要从题目规定的第一次输出算起。 例 按规则计算并找出重复的部分 规定一个整数输入后，若为偶数，就除以 ；若为奇数，就加上 ，再把输出继续输入。从 开始，第 次输出是多少？ 解析 依次计算：第 次为 ，第 次为 ，第 次为 ，第 次为 ，第 次为 ，第 次又为 。 从第 次起，输出按 循环，每 次一组。第 次到第 次共有 次，恰为 组，所以第 次输出是 。 图5 从输入数开始依次计算 判断周期不能只看到两个数相同就结束，还要确认以后执行的是同一规则。上例每次只由当前整数的奇偶性决定下一步，因此再次出现 后，后面必然再次出现 。 乘方也会出现简单周期。例如 的结果按 交替变化； 的个位数字依次为 。只有题目明确了规律或已经说明重复原因后，才能用周期计算较后面的项。 遇到新规定的运算，应先按定义代入具体数，保留必要括号，再做本章的有理数计算。不要把题目新规定的符号当作普通加、减、乘、除，也不要凭少量数值随意推广成一个未经说明的结论。 题型一 正负数的意义与有理数分类 先明确正负号所依据的标准，再按数的实际值分类。注意零、有限小数、百分数以及可以约成整数的分数形式。 1．某仓库用正数表示入库数量，用负数表示出库数量。 （1）入库 吨、出库 吨，应分别怎样记录？ （2）记录为 吨，表示本次出入库数量有什么特点？能否据此断定仓库中没有货物？             2．把下列各数分别填入相应的类别中：，，，，，，，。 （1）整数；（2）分数；（3）非负整数；（4）负有理数。               3．判断下列说法是否正确；若不正确，请举一个反例。 （1）整数都是有理数。 （2）非负有理数就是正有理数。 （3）写成小数形式的数一定不是整数。 （4）任意两个负整数之间都没有分数。               4．某种零件的标准质量为 克，质量与标准质量相差不超过 克的零件为合格品。规定超过标准质量记为正，不足记为负。 甲、乙、丙、丁四个零件的记录依次为 克、 克、 克、 克。 （1）求这四个零件的实际质量。 （2）哪些零件合格？说明判断依据。               5．以 千克为标准，甲、乙、丙三袋原料的质量记录分别为 千克、 千克、 千克。 （1）若改以 千克为标准，仍规定超过标准记为正，不足记为负，求三袋原料的新记录。 （2）丙的新记录与原记录符号不同，是否说明它的实际质量发生了变化？说明理由。               6．有六个互不相同的有理数，其中正数有三个，负数有两个，整数有四个。 （1）这六个数中是否一定有 ？说明理由。 （2）非负整数的个数有哪些可能？对每一种可能，各写出一组符合条件的六个数。                   题型二 数轴读图与大小比较 数轴先看原点、正方向和单位长度，再读位置。比较负数可先比较绝对值；涉及整数点时，注意端点是否计入。 1．如图，数轴上每相邻两个小刻度之间的距离相等。 （1）分别写出点 、、 表示的数。 （2）把这三个数按从小到大的顺序排列，并指出哪个点到原点的距离最远。             2．在下面的数轴上表示下列各数，并用“”把它们按从小到大的顺序连接起来。 ，，，，。           3．比较下列各组数的大小，并说明理由。 （1） 与 ；（2） 与 。             4．原数轴上点 、、 表示的数分别为 、、，如图。现在保持正方向不变，以点 为新原点，并把原来的 个单位长度规定为新的 个单位长度。 （1）在新规定下，点 、 分别表示什么数？ （2）新数轴上表示 的点，在原数轴上表示什么数？                 5．在数轴上找出所有大于 且小于 的整数，并回答下列问题。 （1）这些整数共有几个？其中最大的负整数和最小的非负整数分别是什么？ （2）若把“大于 且小于 ”改为“大于或等于 且小于或等于 ”，整数的个数是否改变？说明理由。               6．数轴上的线段 长 个单位长度，点 在点 的左边，且点 严格位于表示 和 的两点之间。 线段 上的整数点（包括可能位于端点处的整数点）共有几个？说明所有可能情况，并分别举例，在备用图上表示。                   题型三 相反数倒数与绝对值 相反数看和是否为零，倒数看积是否为一，绝对值看离原点的距离。遇到零先检查倒数或除法是否有意义，条件题要把所有可能情况列全。 1．分别写出 、、 的相反数、倒数和绝对值；没有倒数的，请写明。           2．下列说法中，正确的是（　　）。 A．对任意有理数 ， 都是负数。 B．互为倒数的两个数一定同号。 C．互为相反数的两个数的商一定是 。 D．绝对值相等的两个数一定互为相反数。     3．已知 ，且 ， 是 的倒数。 （1）求 、。 （2）比较 、、 的大小，用“”连接。               4．已知 、 互为相反数，且 ；、 互为倒数。 （1）求 的值。 （2）如果去掉条件 ，第（1）问的式子是否一定有意义？说明理由。               5．整数 满足 ，且 的倒数也是整数。求所有符合条件的 ，并说明没有遗漏。             6．已知 ，，且 。 求 与 的值，并写出符合条件的 、。                   7．已知 。 （1）求 、。 （2）判断 与 是否互为相反数、是否互为倒数；再判断 与 是否互为倒数。                 8．三个非零有理数 、、 中， 与 互为相反数， 与 互为倒数。 （1） 与 能否互为倒数？说明理由。 （2）若 与 互为相反数，求 、、 的所有可能值。                   题型四 有理数加减与符号判断 计算时先把减法转化为加法，保留每一项的符号。判断和的符号要同时看两个加数的符号与绝对值，不能把乘法的同号规则套到加法中。 1．计算。 （1）；（2）；（3）。             2．计算。 （1）； （2）。               3．小明的计算如下： ① ； ② ； ③ 。 （1）指出第一处错误，并说明原因。 （2）写出正确计算过程。               4．已知 ，且 。判断下列各式的正负，并说明理由。 （1）；（2）；（3）。 （4） 与 哪一个大？这一结论与第（1）问是否矛盾？                 5．已知有理数 、 满足 ，且 。 （1） 一定是负数吗？请说明理由。 （2）能否确定 的符号？若不能，请分别举例说明 为正数、零、负数时都可能满足条件。                   题型五 有理数乘除与符号判断 先检查零，再判断负因数的个数；除以非零数可转化为乘它的倒数。连乘连除同级运算应从左到右进行，字母判号要列全可能。 1．计算。 （1）；（2）；（3）。       2．计算。 （1）； （2）。               3．小华计算： 。 （1）指出第一处错误，并说明原因。 （2）写出正确计算过程。               4．非零有理数 、、 满足 、。 （1）判断 的正负。 （2）能否确定 的正负？若不能，请列出所有可能的符号情况。 （3）若再知道 ，分别判断 、、 的正负。                   5．从 、、、、 这五个数中选取两个不同的数，分别作为被除数和除数，要求所得商为负数。 （1）共有多少种不同的选取和安排方法？写出所有情况。 （2）求这些负商的最大值和最小值，并写出相应的算式。                     6．四个非零有理数 、、、 中，任意三个数的乘积都是负数。 （1）判断四个数各自的符号，并判断 的正负，说明理由。 （2）若把条件改成“任意两个数的乘积都是负数”，是否存在这样的四个非零有理数？说明理由。                     题型六 乘方与科学记数法 先看清乘方的底数是否包含负号，再由指数的奇偶性确定符号。科学记数法既要保持数值不变，又要检查前面的数是否符合规定。 本题型兼顾乘方的意义、相近写法辨析、大数表示、单位换算与近似数精确度；不使用负整数指数幂。 1．分别计算、、和。 指出前两个式子的底数，并说明后两个式子为什么相等。             2．为正整数。求下列两式的值，并说明理由。 （1）。 （2）。           3．甲、乙、丙、丁分别把写成、、、。 （1）哪些写法与原数相等？ （2）哪些写法是原数的科学记数法？对其余写法分别说明问题。             4．某次资料备份中，每张图片占用字节，共有张。这里按吉字节字节计算。 （1）这批图片共占用多少字节？用科学记数法表示。 （2）容量为吉字节的空存储盘能否装下这些图片？若能，还剩多少吉字节？忽略其他文件和系统占用。               5．两个近似数分别记为和。 （1）它们表示的数值是否相等？各精确到哪一位？ （2）把四舍五入到百位，并用科学记数法表示所得近似数。             6．计算：。             7．某实验记录规定：第一轮放入枚计数片，以后每一轮放入的枚数都是上一轮的倍。 （1）第六轮放入多少枚？写出乘方算式。 （2）前六轮一共放入多少枚？小明把这个总数写成，请指出错在哪里。             题型七 混合运算与错解辨析 计算前先划清乘方、绝对值和分数线的作用范围。同级乘除从左到右计算，也可以先把除法统一改写成乘法。 遇到错解，要指出第一处不成立的等号并说明规则，再从原式重新计算，不能只改最后答案。 1．计算：。           2．计算：。           3．分别计算，并说明两式结果不同的原因。 （1）。 （2）。               4．小明的计算如下： 。 指出第一处错误，并写出正确解答。             5．计算：。             6．（1）计算：。 （2）有人认为把第二项中的换成，结果仍是。这句话是否正确？说明理由。             7．原式为。 （1）计算原式的值。 （2）保持数字、运算符号和它们的先后顺序不变，只添加一对括号，使结果变为。 （3）仍只添加一对括号，使结果变为。分别写出算式并验算。               8．计算：。             题型八 运算律与简便计算 先观察哪些数可以凑整、配对或合并共同因数，再决定是交换结合还是使用分配律。减法先看成加相反数，除法先看成乘倒数，移动一项时必须连同它前面的符号一起移动。 分配律可以用于一个和乘同一个数，不能把一个数除以一个和随意拆开。阅读型简算要先核实给出的等式，再写出中间抵消过程。 1．用简便方法计算：。           2．计算。 用两种方法计算。               3．用简便方法计算：。           4．计算时，小明把写成。 （1）说明这个改写为什么错误，并作正确改写。 （2）用简便方法计算。               5．不分别算出三个乘积，计算：。           6．（1）分别计算与，比较结果。 （2）分别计算与，比较结果。 说明为什么不能把“除以一个和”照着“一个和除以同一个数”那样拆开。                 7．阅读：，。 （1）用通分说明上述第一个等式成立。 （2）用类似方法计算。               题型九 数轴条件下的绝对值化简 数轴位置首先告诉我们数的大小关系；绝对值符号内的和、差是否为正，还要分别判断。图中没有给出的距离关系不能凭外观补充。 本题型把判号与有理数运算结合。有除法时，要注意除数不能为零；涉及原点或对称关系时，要把图上的信息转成明确理由。 1．有理数、、在数轴上的位置如图。示意图只给出先后顺序，不提供距离大小关系。 （1）化简。 （2）能否仅根据此图判断的正负？若不能，分别举一组使和的数。               2．有理数、在数轴上的位置如图，且。 求的值。               3．点在数轴上表示，且在线段上，包括两个端点，如图。 计算的值。               4．如图，点、表示的数分别为、，点为原点。点是线段的中点。 （1）用表示。 （2）求和的值。               5．有理数、在数轴上的位置如图。化简。             6．数轴上点、、从左到右排列，表示的数分别为、、，其中、互为相反数，原点尚未标出，如图。 （1）在图上标出原点，并说明位置。 （2）化简。               题型十 非负性与综合求值 绝对值和有理数的平方都不小于零。若若干非负数的和为零，才能逐项判定为零；两个非负数相等并不表示它们都是零。 综合求值时，不必总把所有字母分别求出。先看目标式需要哪些和、积、平方或符号关系，并注意整数条件、零值和除数限制。 1．已知。求的值。             2．已知。 （1）求，并写出的取值范围。 （2）是否一定为正数？说明理由，并举例说明它能否为。               3．小明说：“因为和都是非负数，若，就有、。” （1）他的推理正确吗？举出一组不满足、但满足原等式的数。 （2）只凭原等式，是否能确定？至少用两组符合条件的数说明。               4．已知，，且。 （1）判断的值，说明能否唯一确定。 （2）求的值。               5．、、都是整数，且。 （1）求和的值。 （2）如果把“整数”改为“有理数”，第一问的两个结论是否都仍成立？请分别说明或举出反例。                 6．已知、互为相反数，、互为倒数，，且。 求与的值。               题型十一 新定义运算与程序计算 新符号的意义由题目规定，不能套用通常的乘法。遇到嵌套先算内层；遇到程序要分清“输入”“一次输出”和“是否继续”。反向寻找输入时，每退一步都要检验取值范围。 1．规定一种运算：。 （1）计算与。 （2）这种运算是否一定满足交换律？             2．规定。分别计算和，并判断结果是否相同。               3．按图中的程序计算，每个方框表示一步运算。 （1）输入和时，输出的数分别是多少？ （2）若输出的数为，求所有可能的整数输入。                 4．把个相同的非零有理数从左到右连续相除，称为这个数的连除结果，其中为不小于的整数。例如，。 （1）求个的连除结果，以及个的连除结果。 （2）小明把个的连除写成。他的写法是否正确？计算说明。 （3）当时，用含、的式子表示连除结果。                   5．按图中的规则，每次输出后都把输出数作为下一次输入，继续运算。若首次输入为： （1）写出前次输出的数。 （2）求第次输出的数。                   6．按图中的程序，每轮都先把当前的数乘再加，若所得的数大于就输出并结束；否则把所得的数继续送回运算框。首次输入必须是到之间的整数（包括和）。 （1）首次输入时，最后输出多少？一共进行了几轮运算？ （2）若最后输出为，求所有可能的首次输入。                     题型十二 数的规律与求和 先说清变化的是符号、绝对值还是一组数的重复顺序，再决定用配对、周期、拆项或约分。观察到几项规律后，要用题目给出的排列规则解释它；长算式应看清首项、末项与项数。 1．一列数按以下规则排列：第个数的绝对值为；当为奇数时取负号，为偶数时取正号，其中为正整数。前几项是。 （1）写出第个数和第个数。 （2）求前个数的和。               2．求下列正整数的个位数字，并说明所用的重复规律。 （1）。 （2）。                 3．观察并核算：。 （1）仿照上式，把写成两个分数相乘的形式，其中两个分母均为。 （2）计算。 （3）所得结果比大多少？                   题型十三 正负记录与实际应用 先确定正负号表示什么，再区分“变化量”“实际量”与“累计量”。求最后位置要把有符号记录相加，求总路程要把各段长度相加；误差、容量与分段收费还要逐一检查边界。 1．某地时气温为℃，到时上升了℃，到时又比时下降了℃。 （1）求时、时的气温。 （2）这三次记录中的最高气温与最低气温相差多少？时比时降低了多少？             2．某种袋装食品的标示质量为每袋千克。抽查袋，把“实际质量减去标示质量”的结果记在下表。质量偏差的绝对值不超过千克视为合格。 （1）哪些袋合格？ （2）这袋的总质量与平均每袋质量各是多少？ 袋号 第袋 第袋 第袋 第袋 第袋 质量偏差（千克）                 3．某车间五天的计划产量及实际产量相对于当天计划的增减量如下表，超产记为正，少产记为负。 （1）实际产量最多、最少的是哪一天？各是多少件？ （2）求五天的实际总产量及平均每天实际产量。 （3）若按天结算，超产部分每件奖励元，少产部分每件扣元；若按这五天合并结算，则把实际总产量与计划总产量相比，再按同样标准奖扣。两种结算办法分别应奖或扣多少元？ 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计划产量（件） 增减量（件）                         4．一辆检修车从服务站出发，始终沿同一条东西方向的道路行驶。以向东为正、向西为负，五段行驶记录（单位：千米）依次为。 （1）完成这五段后，车在服务站的什么方向，距服务站多远？ （2）完成五段后沿这条道路直接返回服务站，途中不再往返。此次行程共需行驶多少千米？ （3）出发时有汽油升，行驶每千米耗油升，不考虑其他耗油。能否完成上述行程并返回？若不能，至少还差多少升汽油？ 各行依次表示一段行程，箭头表示行驶方向。                   5．一个水箱最多可储水吨，计划依次进行四次加水或取水操作，记录如下表，加水记为正，取水记为负。每次操作过程中只进行表中规定的加水或取水，不同时进行其他操作。 为使四次操作都能完成，每次取水时都有足够的水，且加水后不超过水箱容量，开始时至少应有多少吨水，至多可有多少吨水？这里允许储水量恰好为吨或吨。 操作次序 第次 第次 第次 第次 加水或取水量（吨）                     6．某地居民用水按月分段收费，标准见下表。表中的价格只用于对应部分的用水量。某户两个月的用水量分别为立方米、立方米。 （1）求这两个月各自的水费及水费总额。 （2）若错误地把两个月的用水量先求平均，再按这个平均用水量计算每月水费，两个月合计会比正确总额少多少元？ （3）若其中一个月能少用立方米水，选择在哪个月节水可节省更多水费？能多节省多少元？ 每月用水量的对应部分 每立方米价格 不超过立方米的部分 元 超过且不超过立方米的部分 元 超过立方米的部分 元                         题型十四 数轴运动与距离综合 数轴上的位置用有正负的数表示，距离与路程则是非负数。先统一单位长度，再按出发、停留、继续运动等时刻分清过程；追及可用原有间距除以每秒缩短的距离，反复往返先求一整次往返所需时间。 1．如图，把一把刻度尺放在数轴下方，尺上的厘米刻度对准点。点、表示的数分别为、 ；点、分别对准尺上的厘米、厘米刻度。 （1）点表示什么数？原点对准尺上的多少厘米刻度？ （2）若只把刻度尺沿数轴向右移动厘米，数轴和各点不动，此时尺上的厘米刻度对准数轴上的什么数？点对准尺上的多少厘米刻度？                     2．如图，数轴上、、、从左到右排列，且。点、表示的数分别为、。 （1）求点、表示的数。 （2）点表示，点表示。在图中标出、，并求。                   3．如图，点、、分别表示、、。点从出发，以每秒个单位长度的速度向右运动；到达后停留秒，再以每秒个单位长度的速度向右运动，到达时停止。设从出发起经过的时间为秒。 （1）当、、时，点分别表示什么数？ （2）从出发到到达共用多少秒？按这个全过程（包括停留时间）计算，平均每秒移动多少个单位长度？                     4．如图，点、分别表示、。点从出发，以每秒个单位长度的速度向右运动；秒后，点才从出发，以每秒个单位长度的速度向右运动。两点均保持原方向、原速度。以出发时开始计时。 （1）第秒时，点、分别表示什么数？两点间的距离是多少？ （2）两点首次相遇是第几秒？相遇点表示什么数？                   5．如图，点、分别表示、。点从出发，以每秒个单位长度的速度在、之间不断往返，到达端点立即转向，不停留。转向前后速度大小不变。 （1）出发后第秒、第秒时，点分别表示什么数？各自正在向哪个方向运动？ （2）从出发到第秒，点经过的总路程是多少？此时它离出发点多远？                     6．如图，点、、分别表示、、。点从出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，到达后停留秒，再按原速度继续向右运动，到达后停止。点同时从出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，到达后停止；途中不停留。 求从同时出发到两点首次相遇所经过的时间，以及相遇点表示的数。                         第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $有理数期中复习专题讲义 教师详解版 有理数期中复习专题讲义 2026—2027学年第一学期 苏科版七年级数学上册 教师详解版 目录导航 知识梳理 3 正数与负数的意义 3 有理数的分类与零的归属 3 数轴的画法与读法 4 相反数与符号的化简 4 绝对值的意义与计算 5 绝对值的基本性质与简单应用 6 有理数的大小比较 6 倒数及其与相反数的区别 6 有理数加法的法则与符号判断 7 减法转化为加法与加减混合运算 8 有理数乘法与积的符号 8 有理数除法与乘除混合运算 9 运算律的内容与适用范围 9 简便运算的选择与规范步骤 10 乘方的意义与负号括号 10 有理数混合运算的顺序 11 科学记数法与数量单位 11 近似数与精确到哪一位 12 实际问题中的正负记录与绝对值 12 运算程序与简单周期规律 13 题型导航 题型一 正负数的意义与有理数分类 15 题型二 数轴读图与大小比较 18 题型三 相反数倒数与绝对值 21 题型四 有理数加减与符号判断 24 题型五 有理数乘除与符号判断 26 题型六 乘方与科学记数法 29 题型七 混合运算与错解辨析 32 题型八 运算律与简便计算 34 题型九 数轴条件下的绝对值化简 37 题型十 非负性与综合求值 40 题型十一 新定义运算与程序计算 42 题型十二 数的规律与求和 45 题型十三 正负记录与实际应用 47 题型十四 数轴运动与距离综合 51 知识梳理 正数与负数的意义 为了表示具有相反意义的量，可以把其中一种意义的量规定为正，另一种意义的量规定为负。例如向东与向西、收入与支出、高于标准与低于标准，都要先说明正负号的规定，再记录数值。 大于 的数叫作正数，在正数前面加上负号“”所得的数叫作负数。正数前面的正号“”通常可以省略，负数前面的负号不能省略。 既不是正数，也不是负数。 不只表示“没有”。在以海平面为基准的高度记录中， 表示处于海平面；在以标准质量为基准的记录中， 表示恰好达到标准。负数记录的量也并非没有实际意义。 例 规定标准后读懂正负记录 一袋食品的标准质量为 克。把超过标准的克数记为正，低于标准的克数记为负。记录为 克、 克和 克的三袋食品，实际质量各是多少克？ 解析 记录的是“实际质量与标准质量的差”，不是实际质量本身。三袋的实际质量依次为 克、 克、 克。 若一袋实际质量为 克，则比标准少 克，应记录为 克。 只有属于同一类量、意义相反，才适合用同一规定下的正负数表示。记录时还要统一单位，不能把方向、单位或基准省略后再猜数的意义。 有理数的分类与零的归属 整数和分数统称有理数。整数包括正整数、 和负整数；分数包括正分数和负分数。有理数也可以按符号分为正有理数、 和负有理数。分类时应采用同一个标准，做到不重复、不遗漏。 分类标准 有理数的分类 按整数和分数分 整数：正整数、、负整数；分数：正分数、负分数。 按正负号分 正有理数：正整数、正分数；；负有理数：负整数、负分数。 有理数都能写成 的形式，其中 是整数，且 。判断类别看数的值，不只看写法。例如 是整数， 也是整数； 是负分数。 有限小数和无限循环小数都可以写成分数。有理数分类中，不能把所有带小数点的写法都判为分数，也不能把所有无限小数都排除在有理数之外。 非负数是正数和 的统称；非正数是负数和 的统称。非负整数包括 ，因此“非负整数”不等于“正整数”。 例 同一组数按同一标准分类 把 、、、、 按整数和分数分类。 解析 先把 化为 。整数是 、、；分数是 、。 若改按正负号分类，则正有理数是 、，负有理数是 、， 单独列出。 数轴的画法与读法 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。通常取向右为正方向，原点表示零。表示相差一个单位的两个数时，所用长度必须相同；单位长度可以根据需要选择，但一条数轴上不能随意改变。 每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。正数在原点右侧，负数在原点左侧。表示负分数时，要从原点向左量出相应长度，不能只看分子或把分数放到右侧。 图1 数轴上的整数点与分数点 例 读出点的位置并判断移动结果 如图，点 表示 ，点 表示 。点 向右移动 个单位长度后到达哪里？点 位于哪两个相邻整数之间？ 解析 从 向右移动 个单位长度，所表示的数增加 ，到达表示 的点。 因为 ，所以点 位于表示 与 的两点之间，恰在中间。 数轴上，向右移动表示所表示的数增大，向左移动表示所表示的数减小。若从表示 的点向右移动 个单位长度，则到达表示 的点；这里作为移动长度的 必须非负。 相反数与符号的化简 只有符号不同的两个数互为相反数。 的相反数仍是 。一般地，数 的相反数是 ，一个数的相反数的相反数仍是它本身，即 。 两个数互为相反数，它们的和为 ；反过来，两个数的和为 ，它们互为相反数。数轴上表示一对非零相反数的两点分居原点两侧，到原点的距离相等。 表示 的相反数，不能只凭前面的负号就断定它是负数。例如当 时，；当 时，。同样， 不一定是正数。 例 逐层理解负号的作用 化简 ，并求 的相反数。 解析 从内向外计算：，因此 。 的相反数是 ，两数相加为 。 若若干个负号逐层作用于同一个数，每多一个负号就取一次相反数。但是遇到加减混合运算，不能把整串算式的所有负号简单计数。两个非零相反数相除的商是 ；“非零”不能漏掉，因为 没有意义。 绝对值的意义与计算 数轴上表示数 的点与原点的距离，叫作数 的绝对值，记作 。绝对值表示距离，结果可以是 ，但不能是负数。 图2 相反数到原点的距离相等 正数的绝对值是它本身， 的绝对值是 ，负数的绝对值是它的相反数。可写成 把前两种情况合并，就是当 时，；当 时，。因此去绝对值符号之前，要判断符号内整个数或式子的正负，而不是机械地“删掉负号”。 例 先算绝对值符号内的数 计算 、 和 。 解析 ，。 先算 ，再取绝对值，得 。 若已知 ，则 ，这里的 是正数，不与绝对值非负矛盾。 的条件是 ； 的条件是 ，两种条件都不能遗漏 。 绝对值的基本性质与简单应用 绝对值具有非负性：，并且只有 时才有 。相反数的绝对值相等，即 。但绝对值相等的两个数不一定互为相反数，也可能是同一个数。也就是说，若 ，则 或 。 已知一个数的绝对值，要看给出的值是否可能是距离。若 ，则 或 ；若 ，则只有 ；若 ，则没有符合条件的数。 若几个非负数的和为 ，每个数都必须为 。例如由 可得 。若是差为 ，就不能这样判断： 只说明两数的绝对值相等。 例 结合相反数条件求和与积 已知 ， 是 的相反数，求 和 。 解析 当 时，；当 时，。两种情况都满足 ，。 不能只取 ；但由互为相反数可以先判断和为 ，不必分别重复计算。 数轴上表示 的两点之间的距离为 。已知左右顺序时，也可以用右边的数减去左边的数。例如表示 与 的两点相距 个单位长度。距离不能写成 。 绝对值作用于整体，不具有对加法的分配性质。例如 ，而 。本章要先熟练掌握这些基本应用，再处理较复杂的绝对值分类问题。 有理数的大小比较 数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。因此正数大于 ， 大于负数，正数大于负数。两个正数可以按小学学过的方法比较；两个负数则是绝对值大的反而小。 比较两个负分数时，先通分比较绝对值，再把大小关系反过来。不要把比较绝对值的结论直接当成比较原数的结论。 例 比较两个负分数 比较 与 的大小。 解析 它们的绝对值分别是 与 。通分得 ，，所以 。 两个数都为负，绝对值大的反而小，因此 。 有理数中没有最大的数，也没有最小的数。最大负整数是 ，最小正整数是 ， 最小非负整数是 ；不能把“整数”二字漏掉，说成“最大负数是 ”或“最小正数是 ”。 当题目只给 时，不能直接判断 ，还要结合符号。例如 、，虽然 ，却有 。比较数的大小与比较它离原点的远近，是不同的问题。 倒数及其与相反数的区别 乘积为 的两个数互为倒数。非零数 的倒数是 ，因为 。 与任何数相乘都得 ，所以 没有倒数。 互为倒数的两个数同号。求分数的倒数时，分子、分母交换位置，原来的正负号不变；求小数或带分数的倒数时，通常先把它化成分数。 比较项目 相反数 倒数 判断依据 两数的和为 两数的积为 数 对应的结果 ，要求 的情况 相反数是 没有倒数 等于它本身的数 和 例 一个数的相反数和倒数 求 的相反数和倒数。 解析 的相反数是 。先把原数化为分数：，所以它的倒数为 。 检验：；。 “取倒数”不是“取相反数”，也不是只改变符号。例如 的倒数是 ，不是 。涉及倒数的式子，首先检查原数是否为 。 有理数加法的法则与符号判断 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得零。一个数与零相加，仍得这个数。 例如 ；；。异号相加时，是比较绝对值，不是比较两个原数谁大。 图3 加上正数时在数轴上向右移动 例 分数的异号加法 计算 。 解析 先比较绝对值。通分后，，，前者较大，所以和为负数。 。 两个负数相加一定为负；正数与负数相加，结果可能为正、为负，也可能为 。例如 ，，。不要套用乘法中的“同号得正”。 减法转化为加法与加减混合运算 减去一个数，等于加上这个数的相反数。转化时减号变为加号，同时减数变为它的相反数，被减数不变。 例如 。只把减号改成加号而不改变减数，或者只改变减数而不改变运算符号，都会改变原式的值。 例 先写成几个数的和再计算 计算 。 解析 把减法全部转化为加法，得 。 正数的和为 ，负数的和为 ，所以原式等于 。 把一个加减算式看成几个数的和以后，每个加数都要连同前面的符号一起移动。例如 中的三个加数是 、、，不是 、、。 减法不满足交换律、结合律。例如 ，而 ；，而 。要调整加减运算的顺序，应先转化为加法。 有理数乘法与积的符号 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与零相乘，都得零。计算时先确定符号，再计算绝对值，分数能约分的先约分。 几个非零数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有奇数个时积为负，有偶数个时积为正。这里的偶数个包括 个。若有一个因数为 ，乘积就是 ，不用再数负因数。 例 先确定符号再约分 计算 。 解析 三个因数都非零，其中负因数有 个，所以乘积为负数。 绝对值的积为 ，因此原式等于 。 乘积为 ，至少有一个因数为 ，不要求每个因数都为 。例如 。当 时， 同号，但不一定都为正；当 时， 异号。 乘以一个数，结果不一定变大。例如 。是否变大要结合因数的符号和大小，不能沿用“乘法总使数变大”的印象。 有理数除法与乘除混合运算 除以一个不等于 的数，等于乘这个数的倒数。除数不为 是除法有意义的前提。只把除数变为倒数，被除数不变。 两个非零数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 除以任何不等于 的数都得 ；任何数都不能除以 ， 也没有意义。 例 分清除法顺序与括号作用 分别计算 和 。 解析 第一式只有同一级乘除运算，应从左到右：。 第二式先算括号：。括号改变了除数，两个算式不能混淆。 也可先把除法全部转化为乘法，再运用乘法运算律。例如 。不能未经转化就交换被除数和除数。 约分适用于乘法中的因数，不可以隔着加减号直接约去某一项。含有分母或除法的式子应先检查是否有意义；不能用“最后还要乘 ”来掩盖除以 的错误。 运算律的内容与适用范围 有理数的加法和乘法都满足交换律、结合律；乘法对加法满足分配律。字母表示任意有理数时，下面五个等式都成立。运算律可以从左到右使用，也可以从右到左使用。 运算律 字母表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 减法本身不满足交换律、结合律；除法本身也不满足交换律、结合律。加减混合运算先转化为加法，乘除混合运算先转化为乘法，再按需要交换或结合。 分配律要求括号外的数与括号内每一项分别相乘，不能漏项。由于减法可以看成加上相反数，也有 。这里只把它作为有理数简便运算的依据。 例 判断除法能不能拆开 比较 与 ，再比较 与 。 解析 第一组两式都等于 。因为除以 等于乘 ，可以对被除数中的和使用分配律。 第二组前式等于 ，后式等于 ，不相等。除数中的和不能拆成两个除法相加。 一般地，当 时，。这不是除法另有一个分配律，而是先转化为乘法后的结果。涉及 时，首先要求 ，即使有意义，也不能照搬上述拆法。 简便运算的选择与规范步骤 简便运算不是随意改变顺序，而是选择合适的运算律。加法中优先考虑互为相反数、凑整数和同分母的数；乘法中考虑先约分、凑整数或利用分配律。每一步应看得出依据，负号要跟着对应的数。 例1 先把相反数和能凑整的数结合 计算 。 解析 把减法看作加上相反数，再交换、结合：。 例2 根据分母选择分配律 计算 。 解析 能被三个分母整除，分别相乘较方便。 原式 。 例3 反向使用分配律 计算 。 解析 两个乘积有相同的因数 ，所以原式 。 拆数时要保持原数的值。例如 ，不是 ；负带分数 ，不是 。 简算前先观察，若拆开后反而更繁琐，可以按通常顺序计算。完成后用符号和大致大小检查结果，比只重做同一串笔算更容易发现错误。 乘方的意义与负号括号 求几个相同因数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂。在 中， 叫作底数， 叫作指数。本讲讨论的指数为正整数；当 时， 表示 个 相乘，。 例如 ，而 。指数说明相同因数的个数，不是让底数与指数相乘。 正数的正整数次幂是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 的正整数次幂都是 。这里不把零指数幂和负整数指数幂作为本章要求。 例1 看清底数是否包含负号 分别计算 、 和 。 解析 ，底数是 。 ，先算 的平方，再取相反数。 。 例2 分数乘方要把整个分数括起来 计算 ，并说明 与它是否相等。 解析 。 ，只有分子中的 参与乘方，与前式不相等。 任何有理数的平方都非负，即 。 的正整数次幂总是 ； 在 为奇数时等于 ，在 为偶数时等于 。而 始终表示 ，不能把它与 混同。 有理数混合运算的顺序 有括号时先算括号里面的运算，从最里面的括号逐层向外计算。在没有括号的部分，先算乘方，再算乘除，最后算加减；同一级运算按从左到右的顺序进行。先乘除不是先乘后除，先加减也不是先加后减。 例如 ，不能先算 。分数线相当于把分子、分母各自括成一个整体，绝对值符号也要求先计算符号内部的整体。 例 按层次计算含乘方的混合算式 计算 。 解析 先计算乘方：，。再算中括号，得 。 原式 。 书写时，一行中的等号表示前后数值相等，不能把尚未算完的式子与某一个局部结果直接相等。例如计算 ，应写 ，错误写法 中， 只是局部乘积，不等于原式，不能放在这条等式链中。 检查时可分三次看：先看运算顺序和括号，再看正负号，最后看通分、约分及数值计算。若某一步使用了简便运算，应确认它来自正确的运算律，而非改变原式的运算对象。 科学记数法与数量单位 把一个较大的正数写成 的形式，其中 ， 是正整数，这种记数方法叫作科学记数法。本讲只讨论用正整数次幂表示较大数，不引入负整数指数幂。 对大于或等于 的正数，小数点向左移动几位成为一个大于或等于 且小于 的数， 的指数就是几。也可以用原数整数部分的位数减去 来确定指数。 例 写成科学记数法并核对单位 用科学记数法表示 ，并把 人改写成以“万人”为单位的数。 解析 有 位整数，小数点向左移动 位得到 ，所以 。 人就是 人，也就是 万人。数值和单位必须同时对应，不能只换单位名称。 虽然与上述数值相同，但 不满足 ，所以不是规范的科学记数法。检查科学记数法要同时看前面的数和 的指数。 科学记数法是数的表示方法，本身不等于取近似值。 与 精确相等；如果题目要求保留若干位数，再按相应要求使用近似号。 近似数与精确到哪一位 通过数数可以得到准确数，而测量、估计或四舍五入得到的数可能是近似数。近似到哪一位，就是保留到哪一位；四舍五入时，观察被保留的最后一位的后一位。 例如 精确到十分位时，看百分位上的 ，得 ；精确到百分位时，看千分位上的 ， 得 。应写成 或 ，不能写精确相等。 例 末尾的零和附带的单位都有意义 数 精确到百分位是多少？近似数 万精确到哪一位？ 解析 的千分位是 ，需要进一；进位后得到 。末尾两个零保留了“精确到百分位”的信息，不能把答案简写成 。 万中，最后一位对应 万，也就是 ，所以它精确到百位，不是普通单位下的百分位。 对一个正数，若四舍五入到十分位得到 ，原数应满足 。左端点能进到 ，右端点却要进到 ，所以两端的取法不同。 有实际单位或科学记数法时，判断精确位要回到原数的数位。取近似值与更换单位是两件事，不要把保留的小数位数当作原量的精确位。 实际问题中的正负记录与绝对值 解决正负数应用题，先写清正方向或标准，再判断每一个记录表示位置、变化量还是偏差。不同问题所需的总量不同：求最后位置或总增减量，用带符号的数相加；求累计路程或总偏差的大小，往往要用各段长度或各个绝对值相加。 例 行驶后的位置与总路程 一辆小车从点 出发沿东西方向行驶，规定向东为正。三次行驶的记录依次为 千米、 千米、 千米。最后在出发点的什么方向？距出发点多远？共行驶多少千米？ 解析 最后位置相对出发点的记录为 ，所以最后在出发点西边 千米处。距出发点的距离为 千米。 总路程为 千米，不能用最后位置的绝对值代替总路程。 图4 三段行驶的方向与位置 若每件产品的标准质量是 ，共有 件，五件的偏差记录之和为 ，则总实际质量为 。这里 可以为正、为负或为 ，偏差相互抵消不表示每件都恰好达标。 平均偏差应先把各次带符号的偏差相加，再除以次数。累计偏离标准的大小则要看题意，不能把“各偏差的和”与“各偏差绝对值的和”混用。 写答语前应检查三件事：单位是否一致，正负号对应的实际意义是否说清，所求的是位置、变化量、路程还是总量。最终结果为负数时，通常要用反方向或低于标准等文字解释。 运算程序与简单周期规律 运算程序是按指定顺序反复计算。每次先看当前输入数满足什么条件，再按对应规则计算；若要求把输出重新输入，就用刚得到的数继续下一次，不是每次都从最初的数开始。次数也要从题目规定的第一次输出算起。 例 按规则计算并找出重复的部分 规定一个整数输入后，若为偶数，就除以 ；若为奇数，就加上 ，再把输出继续输入。从 开始，第 次输出是多少？ 解析 依次计算：第 次为 ，第 次为 ，第 次为 ，第 次为 ，第 次为 ，第 次又为 。 从第 次起，输出按 循环，每 次一组。第 次到第 次共有 次，恰为 组，所以第 次输出是 。 图5 从输入数开始依次计算 判断周期不能只看到两个数相同就结束，还要确认以后执行的是同一规则。上例每次只由当前整数的奇偶性决定下一步，因此再次出现 后，后面必然再次出现 。 乘方也会出现简单周期。例如 的结果按 交替变化； 的个位数字依次为 。只有题目明确了规律或已经说明重复原因后，才能用周期计算较后面的项。 遇到新规定的运算，应先按定义代入具体数，保留必要括号，再做本章的有理数计算。不要把题目新规定的符号当作普通加、减、乘、除，也不要凭少量数值随意推广成一个未经说明的结论。 题型一 正负数的意义与有理数分类 先明确正负号所依据的标准，再按数的实际值分类。注意零、有限小数、百分数以及可以约成整数的分数形式。 1．某仓库用正数表示入库数量，用负数表示出库数量。 （1）入库 吨、出库 吨，应分别怎样记录？ （2）记录为 吨，表示本次出入库数量有什么特点？能否据此断定仓库中没有货物？ 答案 （1）分别记为 吨、 吨。 （2）本次没有入库或出库；不能断定库存为零。 解析 同一记录标准中，入库与出库是意义相反的量，所以分别用正数和负数表示。 这里的记录表示本次出入库数量，不表示仓库原有库存。记录为 吨只说明本次出入库数量为零，库存仍可能大于零。 2．把下列各数分别填入相应的类别中：，，，，，，，。 （1）整数；（2）分数；（3）非负整数；（4）负有理数。 答案 （1），，，。 （2），，，。 （3），，，。 （4），，。 解析 先确定实际值：，，。 、，它们都是分数；写成小数形式不影响分类。 非负整数包含正整数和零；负有理数包含负整数和负分数。分类依据是数的实际值，不能只看书写形式。 3．判断下列说法是否正确；若不正确，请举一个反例。 （1）整数都是有理数。 （2）非负有理数就是正有理数。 （3）写成小数形式的数一定不是整数。 （4）任意两个负整数之间都没有分数。 答案 （1）正确；（2）（3）（4）均不正确。 解析 （1）整数和分数统称有理数，所以整数都是有理数。 （2） 是非负有理数，但不是正有理数，故说法不正确。 （3）例如 ，虽然写成小数形式，实际是整数。 （4）例如 与 之间有分数 ，故说法不正确。 4．某种零件的标准质量为 克，质量与标准质量相差不超过 克的零件为合格品。规定超过标准质量记为正，不足记为负。 甲、乙、丙、丁四个零件的记录依次为 克、 克、 克、 克。 （1）求这四个零件的实际质量。 （2）哪些零件合格？说明判断依据。 答案 （1）依次为 克、 克、 克、 克。 （2）乙、丙合格。 解析 实际质量等于标准质量加上带符号的记录。因此四个实际质量分别为 、、、，单位均为克。 四个零件与标准质量的差的绝对值分别为 、、、。其中不超过 的是 和 ，所以乙、丙合格。 “不超过”包含正好相差 克；合格判断看偏差的绝对值，而不只看偏差正负。 5．以 千克为标准，甲、乙、丙三袋原料的质量记录分别为 千克、 千克、 千克。 （1）若改以 千克为标准，仍规定超过标准记为正，不足记为负，求三袋原料的新记录。 （2）丙的新记录与原记录符号不同，是否说明它的实际质量发生了变化？说明理由。 答案 （1）新记录依次为 千克、 千克、 千克。 （2）没有变化，丙的实际质量仍为 千克。 解析 先由原标准还原实际质量：甲为 千克，乙为 千克，丙为 千克。 再分别与新标准比较：，，。 丙原来比 千克多 千克，现在比 千克少 千克。改变的是比较标准，不是实际质量。 6．有六个互不相同的有理数，其中正数有三个，负数有两个，整数有四个。 （1）这六个数中是否一定有 ？说明理由。 （2）非负整数的个数有哪些可能？对每一种可能，各写出一组符合条件的六个数。 答案 （1）一定有 。 （2）非负整数可能有 个、 个或 个。 解析 （1）三个正数与两个负数共五个，剩下的一个数既不为正也不为负，只能是 。 （2）四个整数中包含 ，其余三个为非零整数。负数一共只有两个，所以负整数最多有两个，正整数至少有一个；正整数也最多有三个。因此非负整数的个数只能是 、、。 有 个非负整数的例子：，，，，，。 有 个非负整数的例子：，，，，，。 有 个非负整数的例子：，，，，，。 每组均有三个正数、两个负数、四个整数，且六个数互不相同，故三种可能都能取得。 题型二 数轴读图与大小比较 数轴先看原点、正方向和单位长度，再读位置。比较负数可先比较绝对值；涉及整数点时，注意端点是否计入。 1．如图，数轴上每相邻两个小刻度之间的距离相等。 （1）分别写出点 、、 表示的数。 （2）把这三个数按从小到大的顺序排列，并指出哪个点到原点的距离最远。 答案 （1）分别为 、、。 （2）；点 到原点的距离最远。 解析 由 与 之间有两个相等的小间隔，可知每个小间隔表示 。按从原点向左为负、向右为正读数，得到 表示 ， 表示 ， 表示 。 数轴上的点越靠右，表示的数越大，故 。 三点到原点的距离分别为 、、，最大的是 ，所以点 最远。最小的数不一定离原点最近。 2．在下面的数轴上表示下列各数，并用“”把它们按从小到大的顺序连接起来。 ，，，，。 答案 。 解析 先化简：，，。 在数轴上依次标出 、、、、 对应的点，其中 在 与 的正中间。 由点的左右顺序，得到 。 3．比较下列各组数的大小，并说明理由。 （1） 与 ；（2） 与 。 答案 （1）；（2）。 解析 （1），，所以 。两个负数比较大小，绝对值大的反而小，故 。 （2），两种写法表示同一个数，所以相等。 4．原数轴上点 、、 表示的数分别为 、、，如图。现在保持正方向不变，以点 为新原点，并把原来的 个单位长度规定为新的 个单位长度。 （1）在新规定下，点 、 分别表示什么数？ （2）新数轴上表示 的点，在原数轴上表示什么数？ 答案 （1）点 表示 ，点 表示 。 （2）原数轴上表示 。 解析 （1） 在 右侧，二者相距原来的 个单位长度，即新的 个单位长度，所以 表示 。 从 到 的距离为原来的 个单位长度，即新的 个单位长度，所以 表示 。 （2）新数轴上表示 的点在新原点 的左侧，距 为原来的 个单位长度，因此它在原数轴上表示 。 5．在数轴上找出所有大于 且小于 的整数，并回答下列问题。 （1）这些整数共有几个？其中最大的负整数和最小的非负整数分别是什么？ （2）若把“大于 且小于 ”改为“大于或等于 且小于或等于 ”，整数的个数是否改变？说明理由。 答案 （1）整数为 、、、，共 个；最大的负整数为 ，最小的非负整数为 。 （2）不改变，仍为 个。 解析 因为 ，且 ，所以两端之间的整数恰为 、、、。 负整数中越靠近零的数越大，所以最大的负整数为 ；非负整数包括零， 所以最小的非负整数为 。 两个端点 和 都不是整数。加入端点并没有加入新的整数，所以整数个数不变。 6．数轴上的线段 长 个单位长度，点 在点 的左边，且点 严格位于表示 和 的两点之间。 线段 上的整数点（包括可能位于端点处的整数点）共有几个？说明所有可能情况，并分别举例，在备用图上表示。 答案 可能有 个或 个整数点。 解析 点 位于 与 之间。由于 ，点 位于 与 之间。因此 、、 对应的点一定在线段上， 和 对应的点一定不在线段上。 只需判断表示 的点是否在线段上。它可能在线段上，也可能不在线段上，所以整数点可能为 个或 个。 例如， 表示 时， 表示 ，线段上整数点为 、、，共 个。 例如， 表示 时， 表示 ，线段上整数点为 、、、，共 个。 若 表示 ，则 表示 ，端点也应计入，此时仍有 个整数点。 题型三 相反数倒数与绝对值 相反数看和是否为零，倒数看积是否为一，绝对值看离原点的距离。遇到零先检查倒数或除法是否有意义，条件题要把所有可能情况列全。 1．分别写出 、、 的相反数、倒数和绝对值；没有倒数的，请写明。 答案 ：相反数为 ，倒数为 ，绝对值为 。 ：相反数为 ，没有倒数，绝对值为 。 ：相反数为 ，倒数为 ，绝对值为 。 解析 ，与 的积为 ，所以倒数为 ；相反数与原数相加为 ，故相反数为 。 零与任意数相乘都得零，不可能得到 ，所以零没有倒数。 先算出 ，再依据三种概念分别得到结果。不能跳过外层负号。 2．下列说法中，正确的是（　　）。 A．对任意有理数 ， 都是负数。 B．互为倒数的两个数一定同号。 C．互为相反数的两个数的商一定是 。 D．绝对值相等的两个数一定互为相反数。 答案 B。 解析 A 不正确。例如 时，，是正数。 B 正确。互为倒数的两个数乘积为 ，积为正且两数均不为零，因此这两个数同号。 C 不正确。例如 与 互为相反数，但 没有意义。 D 不正确。例如 与 的绝对值相等，但它们的和不为零，不互为相反数。 3．已知 ，且 ， 是 的倒数。 （1）求 、。 （2）比较 、、 的大小，用“”连接。 答案 （1），。 （2）。 解析 由 可知 为非正数，又因 ，所以 不为零，只能是负数。 因此 ，其倒数 ，且 。 两个负数比较，绝对值大的反而小，故 ；负数小于正数，所以 。 4．已知 、 互为相反数，且 ；、 互为倒数。 （1）求 的值。 （2）如果去掉条件 ，第（1）问的式子是否一定有意义？说明理由。 答案 （1）。 （2）不一定有意义；当 时，分母为零。 解析 由 、 互为相反数且 ，可知 ，所以 。 由 、 互为倒数，得到 ；又有 。 所以 。 若不要求 ，就允许 ，此时分式的分母为零，式子没有意义。因此非零条件不能删去。 5．整数 满足 ，且 的倒数也是整数。求所有符合条件的 ，并说明没有遗漏。 答案 或 。 解析 由 且 为整数，可列出所有候选：、、、、。 没有倒数，排除；、 的倒数分别为 、，不是整数，排除。 、 的倒数分别为 、，都是整数，因此 或 。所有整数候选已经逐个检查，没有遗漏。 6．已知 ，，且 。 求 与 的值，并写出符合条件的 、。 答案 、，或 、；两种情况下均有 ，。 解析 由绝对值条件， 可以取 或 ， 可以取 或 。 因为 ，所以 、 同号，只有同时为正或同时为负两种情况。 若 、，则 ，。 若 、，则 ，。 两个原数有两组取值，但题目所求的两个结果都唯一。 7．已知 。 （1）求 、。 （2）判断 与 是否互为相反数、是否互为倒数；再判断 与 是否互为倒数。 答案 （1），。 （2） 与 既不互为相反数，也不互为倒数； 与 互为倒数。 解析 两个绝对值都不小于零，它们的和等于零，说明两个绝对值分别为零。 因此 ，，可直接得到 、。 因为 ，所以 与 不互为相反数。 因为 ，所以 与 不互为倒数。 而 ，所以 与 互为倒数。 8．三个非零有理数 、、 中， 与 互为相反数， 与 互为倒数。 （1） 与 能否互为倒数？说明理由。 （2）若 与 互为相反数，求 、、 的所有可能值。 答案 （1）不能。 （2）、、，或 、、。 解析 （1）、 为非零相反数，所以异号；、 互为倒数，所以同号。因此 、 异号，乘积为负，不可能等于 ，不能互为倒数。 （2）若 、 也互为相反数，则 、 都是 的相反数，故 。 这说明 的倒数等于它本身。正数中只有 的倒数等于自身，负数中只有 的倒数等于自身，因此 或 。 具体说明：若一个正数大于 ，它的倒数小于 ；若它小于 ，倒数大于 ，只有等于 才可能相等。负数可对绝对值作同样判断，得到 。 再由 是 的相反数，得到两组取值。逐组检验均满足原条件。 题型四 有理数加减与符号判断 计算时先把减法转化为加法，保留每一项的符号。判断和的符号要同时看两个加数的符号与绝对值，不能把乘法的同号规则套到加法中。 1．计算。 （1）；（2）；（3）。 答案 （1）；（2）；（3）。 解析 （1）异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，所以 。 （2）减去负数等于加上它的相反数，所以 。 （3）。 2．计算。 （1）； （2）。 答案 （1）；（2）。 解析 （1）先化为统一形式：，减去 等于加上 。 因此原式 。 （2）通分并保留每项的符号：。 3．小明的计算如下： ① ； ② ； ③ 。 （1）指出第一处错误，并说明原因。 （2）写出正确计算过程。 答案 （1）第①步错误，把 的符号改变了。 （2）正确结果为 。 解析 第①步右边的 等于 ，而原式中后两项是 ，两者不相等。不能把减法当成可以随意结合的运算。 正确方法一：。 也可先把后两项合并：。移动或结合各项时，必须把每项的符号一起保留。 4．已知 ，且 。判断下列各式的正负，并说明理由。 （1）；（2）；（3）。 （4） 与 哪一个大？这一结论与第（1）问是否矛盾？ 答案 （1）负；（2）负；（3）正。 （4），与第（1）问不矛盾。 解析 （1）、 异号，且负数 的绝对值较大，所以 。 （2），两个负数相加仍为负，所以 。 （3），两个正数相加为正，所以 。 （4）在 的基础上加一个正数 ，结果增大，所以 。但增加后的结果仍可能是负数；这里恰有 ，两项结论并不矛盾。 5．已知有理数 、 满足 ，且 。 （1） 一定是负数吗？请说明理由。 （2）能否确定 的符号？若不能，请分别举例说明 为正数、零、负数时都可能满足条件。 答案 （1） 一定是负数。 （2）不能； 可以是正数、零或负数。 解析 （1）由 可知 。假设 不是负数，则 ，于是 ，两个数的和必为正，与 矛盾。所以 。 （2）取 、，则 、，此时 为正数。 取 、，则 、，此时 为零。 取 、，则 、，此时 为负数。 三个例子都经过两个条件的检验，因此 的符号不能唯一确定。 题型五 有理数乘除与符号判断 先检查零，再判断负因数的个数；除以非零数可转化为乘它的倒数。连乘连除同级运算应从左到右进行，字母判号要列全可能。 1．计算。 （1）；（2）；（3）。 答案 （1）；（2）；（3）。 解析 （1）异号两数相除得负，绝对值相除为 ，所以结果为 。 （2）同号两数相乘得正，约分计算得 。 （3）除数 不为零，零除以任何非零数都得零，所以结果为 。 2．计算。 （1）； （2）。 答案 （1）；（2）。 解析 （1）乘除为同级运算，从左到右计算：。不能先把 作为除数。 （2）依次把除法转为乘法：原式 。 三个非零负因数相乘，积为负。 绝对值的积为 ，所以原式 。 3．小华计算： 。 （1）指出第一处错误，并说明原因。 （2）写出正确计算过程。 答案 （1）把被除数也取了倒数；（2）正确结果为 。 解析 第一处等号不成立。“除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”只要求把除数取倒数，被除数保持不变。 正确计算为 。 原来的两个数都是负数，商应为正；这个符号检查不能代替取倒数和约分的检查，错误答案虽然为正，数值仍不正确。 4．非零有理数 、、 满足 、。 （1）判断 的正负。 （2）能否确定 的正负？若不能，请列出所有可能的符号情况。 （3）若再知道 ，分别判断 、、 的正负。 答案 （1）。 （2）不能确定：、、 时积为正；、、 时积为负。 （3）、、。 解析 由 ，得 、 异号；由 ，得 、 同号。因此 、 异号，。 当 时，、，三个数中有两个负数，所以 。 当 时，、，三个数中只有一个负数，所以 。 因为 非零，上述正、负两种情况已经穷尽。若再有 ，只能保留第二种情况，即 、 、。 5．从 、、、、 这五个数中选取两个不同的数，分别作为被除数和除数，要求所得商为负数。 （1）共有多少种不同的选取和安排方法？写出所有情况。 （2）求这些负商的最大值和最小值，并写出相应的算式。 答案 （1）共 种。 （2）最大值为 ，相应算式为 ；最小值为 ，相应算式为 。 解析 （1）商为负数，说明被除数与除数异号，且两者均非零。零作除数时无意义，作被除数时商为零，均不符合题意。 负数作被除数有四种：，，，。 正数作被除数也有四种：，，，。因此共 种，没有遗漏。 （2）以上八个商依次为 、、、、、、、。 负数比较大小，绝对值小的反而大。所以最大值为 ，由 取得；最小值为 ，由 取得。 6．四个非零有理数 、、、 中，任意三个数的乘积都是负数。 （1）判断四个数各自的符号，并判断 的正负，说明理由。 （2）若把条件改成“任意两个数的乘积都是负数”，是否存在这样的四个非零有理数？说明理由。 答案 （1）四个数都是负数，。 （2）不存在。 解析 （1）先说明四个数不可能有正有负。若存在一正一负两个数，则剩下的两个数乘积非零。把这一固定乘积分别乘前述正数、负数，所得两个三数乘积必异号，不可能都为负。 所以四个数必同号。若四个数都为正，任意三个数的乘积为正，与条件矛盾；因此四个数都为负。四个负数的乘积为正，故 。 （2）假设存在。由 、，可知 、 都与 异号，所以 、 同号，得到 ，与“任意两个数的乘积都是负数”矛盾。因此不存在。 题型六 乘方与科学记数法 先看清乘方的底数是否包含负号，再由指数的奇偶性确定符号。科学记数法既要保持数值不变，又要检查前面的数是否符合规定。 本题型兼顾乘方的意义、相近写法辨析、大数表示、单位换算与近似数精确度；不使用负整数指数幂。 1．分别计算、、和。 指出前两个式子的底数，并说明后两个式子为什么相等。 答案 四个结果依次为、、、。前两个乘方的底数分别为、。 解析 ；，第二式的负号不属于乘方的底数。 。 。负数的奇次幂为负，与先求对应正数的奇次幂再取相反数所得结果相同。 2．为正整数。求下列两式的值，并说明理由。 （1）。 （2）。 答案 （1）；（2）。 解析 四个连续正整数、、、中，恰有两个奇数、两个偶数。 因此四个幂中有两个、两个。它们的和为，积为。 3．甲、乙、丙、丁分别把写成、、、。 （1）哪些写法与原数相等？ （2）哪些写法是原数的科学记数法？对其余写法分别说明问题。 答案 （1）甲、乙、丙与原数相等。 （2）只有乙符合要求。甲、丙的数值正确但形式不规范；丁的数值是原数的倍。 解析 ，，。 科学记数法写成时，这里的正数应满足。甲的，丙的，所以都不规范。 丁的，是原数的倍，既不是等值写法，也不是原数的科学记数法。 4．某次资料备份中，每张图片占用字节，共有张。这里按吉字节字节计算。 （1）这批图片共占用多少字节？用科学记数法表示。 （2）容量为吉字节的空存储盘能否装下这些图片？若能，还剩多少吉字节？忽略其他文件和系统占用。 答案 （1）字节。 （2）能装下，还剩吉字节。 解析 总容量为字节，写成科学记数法是字节。 ，所以共占用吉字节。 ，可以装下；剩余容量为吉字节。 5．两个近似数分别记为和。 （1）它们表示的数值是否相等？各精确到哪一位？ （2）把四舍五入到百位，并用科学记数法表示所得近似数。 答案 （1）数值相等，都为；前者精确到百位，后者精确到千位。 （2）。 解析 ，，两者数值相同。 前者中的最后一位对应原数的百位，后者中的最后一位对应原数的千位，因此精确度不同。 的十位数字是，四舍五入到百位得到；为体现精确到百位，应记为，末尾的不能省略。 6．计算：。 答案 。 解析 第一个幂是个相乘，第二个幂是个相乘。 利用乘法交换律、结合律，把其中个分别与个配对，每一对的积都是。 于是原式。 7．某实验记录规定：第一轮放入枚计数片，以后每一轮放入的枚数都是上一轮的倍。 （1）第六轮放入多少枚？写出乘方算式。 （2）前六轮一共放入多少枚？小明把这个总数写成，请指出错在哪里。 答案 （1）枚。 （2）共枚；不是前六轮的总数。 解析 各轮枚数依次是、、、、、。从第一轮到第六轮只翻倍次，所以第六轮是枚。 前六轮总数为枚。 乘方表示个相乘，不表示这六轮枚数相加；在本题中，是第七轮单独放入的枚数。 题型七 混合运算与错解辨析 计算前先划清乘方、绝对值和分数线的作用范围。同级乘除从左到右计算，也可以先把除法统一改写成乘法。 遇到错解，要指出第一处不成立的等号并说明规则，再从原式重新计算，不能只改最后答案。 1．计算：。 答案 。 解析 先算乘方与除法：，，。 原式。 2．计算：。 答案 。 解析 先算括号内的乘方：。 括号内。 原式。 3．分别计算，并说明两式结果不同的原因。 （1）。 （2）。 答案 （1）；（2）。 解析 （1）乘除同级，从左到右：，，又，所以结果为。 （2）先算中括号：，因此结果为。 第一式的除数只是；第二式的除数是整个乘积。括号改变了运算顺序，不能随意添加或去掉。 4．小明的计算如下： 。 指出第一处错误，并写出正确解答。 答案 第一处错误是把算成；正确结果是。 解析 ，不能把底数误看成。 原式。 后续本身正确，应定位并改正最先出现的乘方符号错误。 5．计算：。 答案 。 解析 应先分别计算整个分子与整个分母，不能把分母中的移到分式外面。 分子为；分母为，不为。 原式。 6．（1）计算：。 （2）有人认为把第二项中的换成，结果仍是。这句话是否正确？说明理由。 答案 （1）。 （2）不正确，没有意义。 解析 （1），，，所以原式。 （2）只有除以一个非零数才等于。除数不能为；不存在一个数与相乘得到，所以没有意义。 7．原式为。 （1）计算原式的值。 （2）保持数字、运算符号和它们的先后顺序不变，只添加一对括号，使结果变为。 （3）仍只添加一对括号，使结果变为。分别写出算式并验算。 答案 （1）。 （2）。 （3）。 解析 （1）先算平方：。 （2）把括起来，先得，再算。 （3）把整体括起来作为平方的底数，括号内为，再算。 8．计算：。 答案 。 解析 ，，。 ，。 原式。 题型八 运算律与简便计算 先观察哪些数可以凑整、配对或合并共同因数，再决定是交换结合还是使用分配律。减法先看成加相反数，除法先看成乘倒数，移动一项时必须连同它前面的符号一起移动。 分配律可以用于一个和乘同一个数，不能把一个数除以一个和随意拆开。阅读型简算要先核实给出的等式，再写出中间抵消过程。 1．用简便方法计算：。 答案 。 解析 把两个分数结合，把两个小数结合；交换加数的位置时，要连同它前面的符号一起移动。 原式。 这里使用的是加法交换律与结合律，减去视为加上。 2．计算。 用两种方法计算。 答案 。 解析 方法一：括号内，所以原式。 方法二：原式。 因此原式。特别注意第三项原来前面是减号，乘以负数后该项贡献为正。 分配律把三项化为整数，适合逐项检查；先通分也正确，只要各项符号保持不变。 3．用简便方法计算：。 答案 。 解析 四个非零因数中有个负数，所以积为负数。 利用交换律和结合律，把与配对，把与配对。 原式。 4．计算时，小明把写成。 （1）说明这个改写为什么错误，并作正确改写。 （2）用简便方法计算。 答案 （1）应写成。 （2）。 解析 负带分数表示，它比大，所以应写成。 原式。 由于，与正数相乘所得结果应在与之间；满足此条件。 5．不分别算出三个乘积，计算：。 答案 。 解析 三个乘积含有相同的数，逆用分配律合并。 原式。 第三个乘积前面是减号，因此括号内对应的是，不是。 6．（1）分别计算与，比较结果。 （2）分别计算与，比较结果。 说明为什么不能把“除以一个和”照着“一个和除以同一个数”那样拆开。 答案 （1）两个结果都是。 （2）两个结果分别为、，不相等。 解析 ，所以（1）第一式为。 （1）第二式为。这里除以就是乘，可以使用分配律。 （2）第一式为。第二式为。 第二问的除数是整个和，必须先求这个和的倒数，不能分别取各项的倒数再相加。两种实际结果不同，也给出了明确反例。 7．阅读：，。 （1）用通分说明上述第一个等式成立。 （2）用类似方法计算。 答案 （1）。 （2）。 解析 （1）两个分母的差为，通分后分子正好为，所以等式成立。 （2）同理，，。 原式。 题型九 数轴条件下的绝对值化简 数轴位置首先告诉我们数的大小关系；绝对值符号内的和、差是否为正，还要分别判断。图中没有给出的距离关系不能凭外观补充。 本题型把判号与有理数运算结合。有除法时，要注意除数不能为零；涉及原点或对称关系时，要把图上的信息转成明确理由。 1．有理数、、在数轴上的位置如图。示意图只给出先后顺序，不提供距离大小关系。 （1）化简。 （2）能否仅根据此图判断的正负？若不能，分别举一组使和的数。 答案 （1）。 （2）不能。例如、、时为正；、、时为负。 解析 由图知，所以，，，。 因此原式。 图中没有给出与的大小关系。取、、，有；取、、，有。两组都满足图示的先后顺序，所以不能确定的正负。 2．有理数、在数轴上的位置如图，且。 求的值。 答案 。 解析 由图知，又，因此，从而，分母。 另有，所以，。 分子，是分母的倍。 因此原式。 3．点在数轴上表示，且在线段上，包括两个端点，如图。 计算的值。 答案 式子的值恒为。 解析 由图知，所以，。 因此，分母恒为，不为。 原式。 当或时，两项中有一项为，另一项为，其和仍是，所以端点不例外。 4．如图，点、表示的数分别为、，点为原点。点是线段的中点。 （1）用表示。 （2）求和的值。 答案 （1）。 （2）两个值依次为、。 解析 由图知。由于，点到原点的距离是点到原点距离的倍，且二者都在原点左侧，所以。 ，，。 第一个式子的分子为，是分母的倍，所以值为。 第二个式子，其中，可以作除数。 5．有理数、在数轴上的位置如图。化简。 答案 。 解析 由图知，。因此，。 因为且，所以。 原式。 即原式。 6．数轴上点、、从左到右排列，表示的数分别为、、，其中、互为相反数，原点尚未标出，如图。 （1）在图上标出原点，并说明位置。 （2）化简。 答案 （1）原点是线段的中点。 （2）。 解析 相反数对应的点关于原点对称。、是不同的点，所以、都不为，原点在二者正中间。由先后顺序知。 因为，所以；又。 因此，，两者之差为。 题型十 非负性与综合求值 绝对值和有理数的平方都不小于零。若若干非负数的和为零，才能逐项判定为零；两个非负数相等并不表示它们都是零。 综合求值时，不必总把所有字母分别求出。先看目标式需要哪些和、积、平方或符号关系，并注意整数条件、零值和除数限制。 1．已知。求的值。 答案 。 解析 绝对值与平方都非负，和为，所以两项都为。 由此，；，除法有意义。 ，。 所求值为。 2．已知。 （1）求，并写出的取值范围。 （2）是否一定为正数？说明理由，并举例说明它能否为。 答案 （1），。 （2）不一定为正数，但一定非负；当时，商为。 解析 若，则；若，则。因此总是非负。 它与非负数的和为，所以二者都为。于是，并且给出。 当时，负数除以为正数；当时，。例如、符合全部条件，所以不能断言商一定为正数。 3．小明说：“因为和都是非负数，若，就有、。” （1）他的推理正确吗？举出一组不满足、但满足原等式的数。 （2）只凭原等式，是否能确定？至少用两组符合条件的数说明。 答案 （1）不正确，例如、时，两边都等于。 （2）不能确定，例如、时和为；、时和为。 解析 两个非负数相等时，可以同时为正数，不一定都是。只有已知它们的和为时，才能分别判定为。 取、，有，，原等式成立，但且。 取、，原等式两边都是，且；上一组数中。同一条件对应不同的和，所以不能确定。 4．已知，，且。 （1）判断的值，说明能否唯一确定。 （2）求的值。 答案 （1），可以为或，不能唯一确定。 （2）。 解析 给出或；给出或。 若，无论还是，都有，与条件矛盾。因此。此时或 都使，所以不唯一。 目标式只需要而不需要的符号，故。 5．、、都是整数，且。 （1）求和的值。 （2）如果把“整数”改为“有理数”，第一问的两个结论是否都仍成立？请分别说明或举出反例。 答案 （1），。 （2）两个结论都不一定成立。例如时，平方和为，积为。 解析 （1）三个绝对值都是非负整数，且和为，所以其中恰有一个是，另两个都是。 于是、、中恰有一个是或，另两个是，所以平方和为，积为。 （2）有理数的非负绝对值可以小于而不等于。取，有。 但平方和为，不等于；积为，不等于。因此两个结论都不能直接保留。 6．已知、互为相反数，、互为倒数，，且。 求与的值。 答案 两式的值分别为、。 解析 、互为相反数，所以，并且，于是。 、互为倒数，所以。由得，从而。 第一式；第二式。 两式用到的是、、，这些都已确定，所以不必分别确定、的符号。 题型十一 新定义运算与程序计算 新符号的意义由题目规定，不能套用通常的乘法。遇到嵌套先算内层；遇到程序要分清“输入”“一次输出”和“是否继续”。反向寻找输入时，每退一步都要检验取值范围。 1．规定一种运算：。 （1）计算与。 （2）这种运算是否一定满足交换律？ 答案 （1）分别为、；（2）不一定满足交换律。 解析 。 。 同样的两个数交换位置后结果不同，故这种运算不一定满足交换律。新运算中的第一、第二个位置不能随意互换。 2．规定。分别计算和，并判断结果是否相同。 答案 两个结果分别为与，不相同。 解析 先算左式内层：。再算外层：。 右式先算，再算。 两式的数及顺序相同，但括号位置不同，计算结果不同，不能把这种新运算直接看成满足结合律的运算。 3．按图中的程序计算，每个方框表示一步运算。 （1）输入和时，输出的数分别是多少？ （2）若输出的数为，求所有可能的整数输入。 答案 （1）分别为、；（2）或。 解析 输入时，。输入时，。 由输出向前倒推：除以前的数为，减前的数为。 输入数的平方为。整数和的平方都是，其余整数的平方均不是，所以全部输入为、。 4．把个相同的非零有理数从左到右连续相除，称为这个数的连除结果，其中为不小于的整数。例如，。 （1）求个的连除结果，以及个的连除结果。 （2）小明把个的连除写成。他的写法是否正确？计算说明。 （3）当时，用含、的式子表示连除结果。 答案 （1）、；（2）不正确，所写式子的值为；（3）。 解析 。 。 小明括号内为，整个式子为，与不同。连续除法不能随意结合。 前两个相除得到，剩余次都是除以，即乘个，所以结果为。条件保证每次除法有意义。 5．按图中的规则，每次输出后都把输出数作为下一次输入，继续运算。若首次输入为： （1）写出前次输出的数。 （2）求第次输出的数。 答案 （1）、、、、、、；（2）。 解析 负数输入时加，非负数输入时先乘再加，因此输出依次为。 第次与第次都输出，此后每次面对相同输入都会按同一规则得到相同输出，因此从第次起按五个数循环。 。从第次至第次恰有组完整的五项，最后一项应为。 6．按图中的程序，每轮都先把当前的数乘再加，若所得的数大于就输出并结束；否则把所得的数继续送回运算框。首次输入必须是到之间的整数（包括和）。 （1）首次输入时，最后输出多少？一共进行了几轮运算？ （2）若最后输出为，求所有可能的首次输入。 答案 （1）输出，共轮；（2）首次输入为或。 解析 输入时，依次得到、、。前两次结果都不大于，第三次，所以输出，共轮。 每轮都是乘再加，倒推一步就先减再除以。由依次向前得到、、、。 不在首次输入范围内，和在范围内；再往前已不是非负整数，不可能成为允许的首次输入。每一步倒推结果唯一，所以没有其他可能。 正向检验：，以及。中间数均不大于，最后的大于，均满足停止规则。 题型十二 数的规律与求和 先说清变化的是符号、绝对值还是一组数的重复顺序，再决定用配对、周期、拆项或约分。观察到几项规律后，要用题目给出的排列规则解释它；长算式应看清首项、末项与项数。 1．一列数按以下规则排列：第个数的绝对值为；当为奇数时取负号，为偶数时取正号，其中为正整数。前几项是。 （1）写出第个数和第个数。 （2）求前个数的和。 答案 （1）、；（2）。 解析 是偶数，第个数为；是奇数，第个数为。 把相邻两项分为一组：。 五组依次为，所以和为。先处理每组中的异号加法，再把等差增加的组和首尾配对。 2．求下列正整数的个位数字，并说明所用的重复规律。 （1）。 （2）。 答案 （1）个位数字为；（2）个位数字为。 解析 的个位数字依次为，再乘后重复；的正整数次幂的个位数字依次按重复。两种周期均为。 ，所以和的个位数字分别为、，和的个位数字为。 （2）每项个位数字的和为。前项组成组，组和的个位数字均为；剩下两项的个位数字为、，故总和的个位数字为。 3．观察并核算：。 （1）仿照上式，把写成两个分数相乘的形式，其中两个分母均为。 （2）计算。 （3）所得结果比大多少？ 答案 （1）；（2）；（3）大。 解析 （1）。 各因数依次为、、……、。 利用乘法交换律、结合律分成两串：。 第一串连续约分得，第二串连续约分得，故原式为。最后。全程只需数字的通分、乘法与约分，无须乘法公式。 题型十三 正负记录与实际应用 先确定正负号表示什么，再区分“变化量”“实际量”与“累计量”。求最后位置要把有符号记录相加，求总路程要把各段长度相加；误差、容量与分段收费还要逐一检查边界。 1．某地时气温为℃，到时上升了℃，到时又比时下降了℃。 （1）求时、时的气温。 （2）这三次记录中的最高气温与最低气温相差多少？时比时降低了多少？ 答案 （1）℃、℃；（2）相差℃，降低℃。 解析 时气温为℃。时气温为℃。 三次记录为℃、℃、℃，最高与最低相差℃。 时比时降低℃。下降℃是相对于时而言，不能直接把它当成相对于时的降幅。 2．某种袋装食品的标示质量为每袋千克。抽查袋，把“实际质量减去标示质量”的结果记在下表。质量偏差的绝对值不超过千克视为合格。 （1）哪些袋合格？ （2）这袋的总质量与平均每袋质量各是多少？ 袋号 第袋 第袋 第袋 第袋 第袋 质量偏差（千克） 答案 （1）第、、、袋合格；（2）总质量千克，平均每袋千克。 解析 第、袋偏差的绝对值均为，等于允许上限，仍合格；第、袋也合格。第袋偏差为，不合格。 五袋偏差和为（千克）。 总质量为（千克），平均每袋为（千克）。平均质量接近标示质量，并不说明每一袋都合格。 3．某车间五天的计划产量及实际产量相对于当天计划的增减量如下表，超产记为正，少产记为负。 （1）实际产量最多、最少的是哪一天？各是多少件？ （2）求五天的实际总产量及平均每天实际产量。 （3）若按天结算，超产部分每件奖励元，少产部分每件扣元；若按这五天合并结算，则把实际总产量与计划总产量相比，再按同样标准奖扣。两种结算办法分别应奖或扣多少元？ 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计划产量（件） 增减量（件） 答案 （1）星期四最多，为件；星期二最少，为件。（2）共件，平均每天件。（3）按天结算合计扣元；合并结算奖元。 解析 每天实际产量等于当天计划加对应记录，依次为件，因此星期四最多，星期二最少。 计划总产量为（件）；增减量之和为（件）。实际总产量为（件），平均为（件）。 按天结算：超产共（件），少产共（件），奖扣合计为（元），即扣元。 合并结算时，五天净超产件，故奖励（元）。超产和少产的单价不同，不能把每天的记录先抵消后仍声称等同于按天结算。 4．一辆检修车从服务站出发，始终沿同一条东西方向的道路行驶。以向东为正、向西为负，五段行驶记录（单位：千米）依次为。 （1）完成这五段后，车在服务站的什么方向，距服务站多远？ （2）完成五段后沿这条道路直接返回服务站，途中不再往返。此次行程共需行驶多少千米？ （3）出发时有汽油升，行驶每千米耗油升，不考虑其他耗油。能否完成上述行程并返回？若不能，至少还差多少升汽油？ 各行依次表示一段行程，箭头表示行驶方向。 答案 （1）在服务站东边千米处；（2）共千米；（3）不能，至少还差升。 解析 五段有符号记录之和为（千米），正号表示最后在服务站东边千米处。 五段总路程为（千米）。直接返回还需千米，故全程为（千米）。 全程需油（升），比已有汽油多（升），所以不能完成全程并返回。不能用最后距服务站的千米代替已经走过的千米。 5．一个水箱最多可储水吨，计划依次进行四次加水或取水操作，记录如下表，加水记为正，取水记为负。每次操作过程中只进行表中规定的加水或取水，不同时进行其他操作。 为使四次操作都能完成，每次取水时都有足够的水，且加水后不超过水箱容量，开始时至少应有多少吨水，至多可有多少吨水？这里允许储水量恰好为吨或吨。 操作次序 第次 第次 第次 第次 加水或取水量（吨） 答案 开始时至少应有吨水，至多可有吨水。 解析 相对于初始水量，四次操作后的累计变化依次为、、、（吨）。 累计变化最小为吨，所以初始水量至少为吨，才能保证第二次取水完成后不出现缺水。 累计变化最大为吨，水箱容量为吨，所以初始水量至多为吨。 初始为吨时，各次操作后为吨；初始为吨时，则为吨。每次操作水量单向变化，因此端点不缺水、不溢出就保证全过程可行。任意介于吨和吨之间的初始水量也满足要求。 6．某地居民用水按月分段收费，标准见下表。表中的价格只用于对应部分的用水量。某户两个月的用水量分别为立方米、立方米。 （1）求这两个月各自的水费及水费总额。 （2）若错误地把两个月的用水量先求平均，再按这个平均用水量计算每月水费，两个月合计会比正确总额少多少元？ （3）若其中一个月能少用立方米水，选择在哪个月节水可节省更多水费？能多节省多少元？ 每月用水量的对应部分 每立方米价格 不超过立方米的部分 元 超过且不超过立方米的部分 元 超过立方米的部分 元 答案 （1）分别为元、元，总额元。（2）少元。（3）在用水立方米的月份节水可节省更多水费，比在另一月节水多节省元。 解析 用水立方米时，水费为（元）。 用水立方米时，三个部分的用水量分别为、、立方米，水费为（元）。总额为（元）。 平均用水量为（立方米）。按此错误算法，每月为（元），两个月共元，比正确总额少（元）。 在用水立方米的月份少用立方米，省（元）；在用水立方米的月份少用立方米后仍超过立方米，这立方米全按最高档计价，省（元）。因此后一种多省（元）。 题型十四 数轴运动与距离综合 数轴上的位置用有正负的数表示，距离与路程则是非负数。先统一单位长度，再按出发、停留、继续运动等时刻分清过程；追及可用原有间距除以每秒缩短的距离，反复往返先求一整次往返所需时间。 1．如图，把一把刻度尺放在数轴下方，尺上的厘米刻度对准点。点、表示的数分别为、 ；点、分别对准尺上的厘米、厘米刻度。 （1）点表示什么数？原点对准尺上的多少厘米刻度？ （2）若只把刻度尺沿数轴向右移动厘米，数轴和各点不动，此时尺上的厘米刻度对准数轴上的什么数？点对准尺上的多少厘米刻度？ 答案 （1）点表示，原点对准厘米刻度；（2）尺零对准，点对准厘米刻度。 解析 个单位长度，对应尺上的厘米，所以厘米对应个单位长度。 对应厘米，即个单位长度，故表示。个单位长度，对应厘米。 刻度尺向右移动厘米相当于向右移动个单位长度，尺零从移至。 点没有移动，相对于新尺零的读数减少厘米，变为厘米。尺零变化不会改变点在数轴上表示的数。 2．如图，数轴上、、、从左到右排列，且。点、表示的数分别为、。 （1）求点、表示的数。 （2）点表示，点表示。在图中标出、，并求。 答案 （1）点、分别表示、；（2）点、分别表示、，。 解析 ，由可得每段长度为。因此表示，表示。 表示的数为；表示的数为。 在、之间，位于左侧个单位长度处；在、之间，位于右侧个单位长度处。 。注意的平方只作用于括号内的，外面的负号最后处理。 3．如图，点、、分别表示、、。点从出发，以每秒个单位长度的速度向右运动；到达后停留秒，再以每秒个单位长度的速度向右运动，到达时停止。设从出发起经过的时间为秒。 （1）当、、时，点分别表示什么数？ （2）从出发到到达共用多少秒？按这个全过程（包括停留时间）计算，平均每秒移动多少个单位长度？ 答案 （1）依次表示、、；（2）共秒，平均每秒移动个单位长度。 解析 ，到达所需时间为（秒）；停留到第秒才继续运动。，第二段需（秒），故到达时为第秒。 时仍在第一段，表示。时正在停留，表示。 时第二段已运动（秒），表示。 全程路程为，共用（秒），平均每秒移动个单位长度。不能把两个运动速度直接求平均，也不能漏掉停留时间。 4．如图，点、分别表示、。点从出发，以每秒个单位长度的速度向右运动；秒后，点才从出发，以每秒个单位长度的速度向右运动。两点均保持原方向、原速度。以出发时开始计时。 （1）第秒时，点、分别表示什么数？两点间的距离是多少？ （2）两点首次相遇是第几秒？相遇点表示什么数？ 答案 （1）点、分别表示、，相距；（2）第秒首次相遇，相遇点表示。 解析 第秒时，运动了秒，表示；只运动（秒），表示。两点间距离为。 出发时，已从走到，两点相距。以后每秒比多向右移动个单位长度，所以追上需要（秒）。 计时从出发起算，因此首次相遇在第秒，相遇点表示。检验也到达。 5．如图，点、分别表示、。点从出发，以每秒个单位长度的速度在、之间不断往返，到达端点立即转向，不停留。转向前后速度大小不变。 （1）出发后第秒、第秒时，点分别表示什么数？各自正在向哪个方向运动？ （2）从出发到第秒，点经过的总路程是多少？此时它离出发点多远？ 答案 （1）两次均表示；第秒向右，第秒向左。（2）总路程为个单位长度，离出发点个单位长度。 解析 ，单程需（秒），一次完整往返需秒，之后回到同样的起点和运动方向。 ，两次完整往返后又从向右运动秒，表示，向右运动。 ，四次完整往返后又运动秒，其中前秒到达，随后向左运动秒，表示，向左运动。 总路程为；离出发点的距离为。两次处于相同位置不表示运动方向相同，经过的总路程也不是到出发点的距离。 6．如图，点、、分别表示、、。点从出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，到达后停留秒，再按原速度继续向右运动，到达后停止。点同时从出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，到达后停止；途中不停留。 求从同时出发到两点首次相遇所经过的时间，以及相遇点表示的数。 答案 在继续运动后首次相遇；出发后秒相遇，相遇点表示。 解析 到达需（秒）。这时表示，两点还相距，所以停留前没有相遇。 停留的秒内，又向左运动个单位长度，到达表示的点。此时两点仍相距，因此停留期间也没有相遇。 第秒起，继续向右、继续向左，两点每秒靠近个单位长度，再经过秒首次相遇。 从出发到相遇共经过（秒），相遇点表示。 用检验：。这个点在与之间，确实出现在两点都还没有停止的阶段。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $