专题04有理数的乘方及混合运算期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题04有理数的乘方及混合运算期中复习讲义 1.理解有理数乘方、幂、底数、指数的概念，能正确识别底数与指数，区分(-a)n与(-an)的含义，读懂幂的表达形式。 2.掌握有理数乘方运算，熟记乘方符号规律：正数任何次幂都是正数；负数奇次幂为负，偶次幂为正；0 的正整数次幂等于 0，能够快速进行乘方求值与乘方逆运算。 3.会利用乘方解决实际问题，如折纸、细胞分裂等指数增长类应用题。 4.掌握科学记数法，能把绝对值大于 1 的大数写成(a×10n)(1≤a＜10)的形式，也可以将科学记数法还原为原数。 5.牢记有理数混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内，熟练完成含乘方的有理数混合运算。 6.能读懂程序流程图，按照给定流程完成有理数计算；掌握 24 点游戏，灵活运用四则、乘方运算组合数字算出 24。 7.辨析易混点：区分底数是否包含负号；科学记数法中a的取值范围、指数n的确定方法。 8.易错警示：乘方运算优先计算；注意负号是否参与乘方；混合运算严格遵守运算顺序，不要跳步造成计算失误。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数幂的概念理解 ★ 题型二 有理数的乘方运算 ★ 题型三 有理数乘方逆运算 ★★ 题型四 乘方运算的符号规律 ★★ 题型五 乘方的应用 ★★ 题型六 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★ 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 ★ 题型八 程序流程图与有理数计算 ★★★ 题型九 算 “24” 点 ★★ 题型十 含乘方的有理数混合运算 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:乘方基础概念 1.定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方。 2.各部分名称 an整体称为幂；a是底数；n是指数。 读法：an读作a的n次方（或a的n次幂）。 3.特殊读法与规定 a2：平方；a3：立方； 指数为 1 时省略不写，即a1=a。 关键书写要求：负数、分数作底数时，必须整体加括号再写指数。 4.易混乘方式子对比（高频考点表格） 算式 真正底数 算式含义 计算结果示例 (-a)n -a n个-a相乘 (-4)2=(-4)(-4)=16 -an a an结果的相反数 -42=-(44)=-16 知识点02:乘方符号判定法则 1.正数的任意次幂一定是正数； 2.0 的任意正整数次幂等于 0； 3.负数：偶次幂为正，奇次幂为负。 知识点03:科学记数法 1.适用对象：大于 10 的大数 标准形式：a10n 硬性要求：1a<10，n为正整数。 2.指数n快速确定方法：原数整数位数-1 3.两类题型：大数改写科学记数法、科学记数法还原成原数。 4.易错点：a不能大于等于 10，也不能小于 1。 知识点04:有理数混合运算固定顺序（必背） 1.先算括号：从小括号→中括号→大括号，由内向外计算； 2.无括号层级：先乘方，再乘除，最后加减； 3.同级运算（只加减 / 只乘除）：从左往右依次计算。 知识点05:混合运算简便计算工具：三大运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律、结合律、分配律 a(b+c)=ab+ac 重点提醒：使用分配律时，括号内每一项都要与括号外数字相乘，不可漏乘。 知识点06:混合运算标准解题步骤 第一步：全部计算式子内的乘方，分清(-a)n与-an； 第二步：所有除法统一转化为乘倒数，处理全部乘除； 第三步：运用运算律分组凑整、约分简化计算； 第四步：最后完成加减运算，得出最简结果。 知识点07:综合易错题汇总 错误类型 错误写法 正确解法 失分核心原因 底数不分括号 -32=9 -32=-9 把负号错误归入底数 分数乘方漏括号 =- (-)2= 未将分数整体作为底数加括号 科学记数法a不达标 42103 4.2104 a超出1a<10)范围 运算顺序颠倒 322=62=36 34=12 先算乘除，后算乘方 分配律漏乘 3(5-2)=15-2 35-32=9 括号后项忘记相乘 题型一：有理数幂的概念理解 1．算式可以表示（     ） A． B． C． D． 2．下列关于的说法中，正确的是（     ） A．底数是5，指数是8 B．表示 C．表示 D．计算结果等于40 3．已知：，则L=（     ） A． B． C． D． 题型二：有理数的乘方运算 4．______． 5．式子可表示为（     ） A． B． C． D． 6．若，，且，则_________． 7．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 题型三：有理数乘方逆运算 8．满足等式的x的值为________． 9．规定两数a，b之间的一种运算，记作：，若，则，我们叫为“雅对”．根据上述规定，________． 10．已知，且，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 题型四：乘方运算的符号规律 11．已知n表示正整数，则的值是（    ） A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不对 12．当时，下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 13．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型五：乘方的应用 14．一根2米长的竹条，第一次被熊猫吃掉一半，第二次吃掉剩下的一半．如此吃下去，第五次后剩下的竹条长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 15．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的个位数字是_________． 16．数学活动课上，甲、乙两位同学玩猜数游戏．甲默想一个1~2025的整数并记住；乙对甲默想的数提出一个猜想，甲比较这个数和自己心中所想数的大小，然后回答“大了”“小了”或者“相等”，若相等则说明乙同学猜中；若乙没有猜中，则根据甲的回答，调整猜想，重复步骤，直到猜中．其中甲按要求选好一个数后，乙至多猜（     ）次可以一定猜出此数． A．9 B．10 C．11 D．12 题型六：用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 17．“湘超”联赛期间，现场约有42000名球迷到场．42000用科学记数法表示为______________． 18．电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破12亿元．将数1200000000用科学记数法表示为__________ 19．被誉为“中国天眼”的口径球面射电望远镜（）的馈源舱由6根馈源驱动钢丝绳通过索驱动系统，在巨大的反射面上进行超高精度的定位和跟踪．新华社记者2026年5月7日从运行和发展中心获悉，“中国天眼”这6根国外进口的馈源驱动钢丝绳将更换为6根国产巨型钢丝绳，其单根重达．由此估计，这6根国产巨型钢丝绳可达的总质量用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 题型七：将用科学记数法表示的数变回原数 20．山东省面积大约为平方千米 ，用科学记数法表示的数，原数是__________． 21．若，处覆盖的数字都是0，若，则这个数中被覆盖的0有 ________个． 22．神舟十八号飞船是我国神舟载人飞船系列之一，神舟十八号飞船在航行轨道的速度大约是每秒7.9公里，飞船t小时飞行的距离用科学记数法表示为“”公里，则下列说法正确的是（    ） A．a的值为28.44 B．a为正整数 C．n的值为4或5 D．将“”还原为原数，则原数中“0”的个数不可能为0 题型八：程序流程图与有理数计算 23．如图，这是一个运算程序，若输入，则输出的结果为_______． 24．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入，4，15这三个数时，则三次输出的结果依次为__________，__________，__________； (2)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，则小明输入的正整数是__________ 25．小明同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图的程序．若输入的数是3，则执行了程序后，输出的结果是（   ） A． B．561 C． D．558 题型九：算 “24” 点 26．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 27．2026年3月，鼓楼实验中学成功举办第三届“数学节”，一个趣味数学游戏是“快算24”，其规则是：随机抽取4个整数，用加减乘除四种运算符号和括号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．小龙参加“快算24”时，抽到的4个数分别是4，5，，11，请你写出一个算式，使其结果为24：_____________________． 28．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 题型十：含乘方的有理数混合运算 29．定义新运算：规定，则 _______． 30．计算：________． 31．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（     ） 甲： 乙： 丙： 丁：． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 32．计算：（  ） A．0 B． C．1012 D． 解答题 33．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 34．计算： (1)； (2)． 35．阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 36．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 37．如图是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） (1)你认为当输入什么数时，其输出结果是？ (2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？ (3)当小明输入；；这三个数时，这三次输出的结果分别是：___________． (4)有一次，小明在操作的时候，输出的结果是，你判断一下，小明可能输入的是什么数？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04有理数的乘方及混合运算期中复习讲义 1.理解有理数乘方、幂、底数、指数的概念，能正确识别底数与指数，区分(-a)n与(-an)的含义，读懂幂的表达形式。 2.掌握有理数乘方运算，熟记乘方符号规律：正数任何次幂都是正数；负数奇次幂为负，偶次幂为正；0 的正整数次幂等于 0，能够快速进行乘方求值与乘方逆运算。 3.会利用乘方解决实际问题，如折纸、细胞分裂等指数增长类应用题。 4.掌握科学记数法，能把绝对值大于 1 的大数写成(a×10n)(1≤a＜10)的形式，也可以将科学记数法还原为原数。 5.牢记有理数混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内，熟练完成含乘方的有理数混合运算。 6.能读懂程序流程图，按照给定流程完成有理数计算；掌握 24 点游戏，灵活运用四则、乘方运算组合数字算出 24。 7.辨析易混点：区分底数是否包含负号；科学记数法中a的取值范围、指数n的确定方法。 8.易错警示：乘方运算优先计算；注意负号是否参与乘方；混合运算严格遵守运算顺序，不要跳步造成计算失误。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数幂的概念理解 ★ 题型二 有理数的乘方运算 ★ 题型三 有理数乘方逆运算 ★★ 题型四 乘方运算的符号规律 ★★ 题型五 乘方的应用 ★★ 题型六 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★ 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 ★ 题型八 程序流程图与有理数计算 ★★★ 题型九 算 “24” 点 ★★ 题型十 含乘方的有理数混合运算 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:乘方基础概念 1.定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方。 2.各部分名称 an整体称为幂；a是底数；n是指数。 读法：an读作a的n次方（或a的n次幂）。 3.特殊读法与规定 a2：平方；a3：立方； 指数为 1 时省略不写，即a1=a。 关键书写要求：负数、分数作底数时，必须整体加括号再写指数。 4.易混乘方式子对比（高频考点表格） 算式 真正底数 算式含义 计算结果示例 (-a)n -a n个-a相乘 (-4)2=(-4)(-4)=16 -an a an结果的相反数 -42=-(44)=-16 知识点02:乘方符号判定法则 1.正数的任意次幂一定是正数； 2.0 的任意正整数次幂等于 0； 3.负数：偶次幂为正，奇次幂为负。 知识点03:科学记数法 1.适用对象：大于 10 的大数 标准形式：a10n 硬性要求：1a<10，n为正整数。 2.指数n快速确定方法：原数整数位数-1 3.两类题型：大数改写科学记数法、科学记数法还原成原数。 4.易错点：a不能大于等于 10，也不能小于 1。 知识点04:有理数混合运算固定顺序（必背） 1.先算括号：从小括号→中括号→大括号，由内向外计算； 2.无括号层级：先乘方，再乘除，最后加减； 3.同级运算（只加减 / 只乘除）：从左往右依次计算。 知识点05:混合运算简便计算工具：三大运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律、结合律、分配律 a(b+c)=ab+ac 重点提醒：使用分配律时，括号内每一项都要与括号外数字相乘，不可漏乘。 知识点06:混合运算标准解题步骤 第一步：全部计算式子内的乘方，分清(-a)n与-an； 第二步：所有除法统一转化为乘倒数，处理全部乘除； 第三步：运用运算律分组凑整、约分简化计算； 第四步：最后完成加减运算，得出最简结果。 知识点07:综合易错题汇总 错误类型 错误写法 正确解法 失分核心原因 底数不分括号 -32=9 -32=-9 把负号错误归入底数 分数乘方漏括号 =- (-)2= 未将分数整体作为底数加括号 科学记数法a不达标 42103 4.2104 a超出1a<10)范围 运算顺序颠倒 322=62=36 34=12 先算乘除，后算乘方 分配律漏乘 3(5-2)=15-2 35-32=9 括号后项忘记相乘 题型一：有理数幂的概念理解 1．算式可以表示（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：算式可以表示． 2．下列关于的说法中，正确的是（     ） A．底数是5，指数是8 B．表示 C．表示 D．计算结果等于40 【答案】B 【分析】本题考查乘方的基本概念，需明确乘方中底数、指数的定义及乘方的意义，即表示个相乘，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：的底数是8，指数是5，表示5个8相乘， A选项，底数、指数均对应错误，故A错误； B选项，是5个8相乘，符合的意义，故B正确； C选项，是5个8相加，与乘方意义不符，故C错误； D选项，，计算结果错误，故D错误． 3．已知：，则L=（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘方的定义，加法的意义计算即可求解． 【详解】解：． 题型二：有理数的乘方运算 4．______． 【答案】 【分析】将乘方运算转化为乘法运算，利用有理数乘法法则计算即可． 【详解】解：根据乘方的定义，可得， 根据有理数乘法法则，同号两数相乘结果为正， 因此． 5．式子可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘法以及乘方的意义化简原式即可． 【详解】解：，即选项B符合题意． 6．若，，且，则_________． 【答案】或 【分析】先根据绝对值和平方运算的性质求出，的所有可能取值，再根据筛选出符合条件的组合，计算即可． 【详解】解：∵， ∴或． ∵， ∴或． ∵， ∴分情况筛选计算： 当，时，满足，； 当，时，满足，； 当时，且，不满足，舍去； 综上，的值为或． 7．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：m个3相加，即3重复加m次，可表示为乘法：， n个4相乘，即4重复乘n次，可表示为乘方：， 将两部分相加，总结果为：． 题型三：有理数乘方逆运算 8．满足等式的x的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据进行求解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴满足等式的x的值为， 故答案为：． 9．规定两数a，b之间的一种运算，记作：，若，则，我们叫为“雅对”．根据上述规定，________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，理解新运算是解题的关键．根据，再由新运算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：2． 10．已知，且，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据乘方的逆运算以及绝对值的意义得出符合题意的的值，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 当时，， 当时，， ∴的值为或， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义以及乘方的逆运算是解本题的关键． 题型四：乘方运算的符号规律 11．已知n表示正整数，则的值是（    ） A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】n为正整数，可能是偶数也可能是奇数，所以分当n为奇数， n为偶数时两种情况考虑，即可求解． 【详解】解：当n为奇数时： 1n+(−1)n+1=1+1=2； 当n为偶数时： 1n+(−1)n+1=1-1=0； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 12．当时，下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方、偶次方的非负性、绝对值，根据有理数的乘方、偶次方的非负性、绝对值的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：只要，恒有，故A选项成立； ∵，故B选项不成立，C成立； ∵， ∴， ∴，故D选项成立， 故选：B． 13．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值与平方的非负性分别求解未知数，再代入计算即可． 【详解】解：由非负性可知：∣x−∣=0，（y+2）2 =0， 解得：x= ，y=−2， ∴(xy)2021=[×（-2）]2021=（-1）2021=－1． 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值与平方的非负性，理解基本性质并准确列式求解未知数是解题关键． 题型五：乘方的应用 14．一根2米长的竹条，第一次被熊猫吃掉一半，第二次吃掉剩下的一半．如此吃下去，第五次后剩下的竹条长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：每次吃掉剩下的一半，即每次剩余长度为前一次的， 初始竹条长2米，第一次后剩余米，第二次后剩余米， 以此类推，第五次后剩余长度为米. 15．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的个位数字是_________． 【答案】 【分析】观察已知的个位数字，找出循环周期，计算除以周期的余数，根据余数得到对应个位数字． 【详解】解：观察给出的等式，可得的个位数字按的顺序循环出现，周期为． 计算得，即余数为． 根据循环规律： 当除以余时，个位数字为， 当除以余时，个位数字为， 当除以余时，个位数字为， 当除以余时，个位数字为． 的个位数字是． 16．数学活动课上，甲、乙两位同学玩猜数游戏．甲默想一个1~2025的整数并记住；乙对甲默想的数提出一个猜想，甲比较这个数和自己心中所想数的大小，然后回答“大了”“小了”或者“相等”，若相等则说明乙同学猜中；若乙没有猜中，则根据甲的回答，调整猜想，重复步骤，直到猜中．其中甲按要求选好一个数后，乙至多猜（     ）次可以一定猜出此数． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】每次猜测后范围减半，设猜次，需满足，通过计算的幂次确定最小次数． 【详解】解：设乙猜次可以一定猜出此数． ∵每次猜测后剩余范围可减半． ∴需满足． ∵，． ∴的最小值为 11． 题型六：用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 17．“湘超”联赛期间，现场约有42000名球迷到场．42000用科学记数法表示为______________． 【答案】 【详解】解：． 18．电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破12亿元．将数1200000000用科学记数法表示为__________ 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可得到结果． 【详解】解：． 19．被誉为“中国天眼”的口径球面射电望远镜（）的馈源舱由6根馈源驱动钢丝绳通过索驱动系统，在巨大的反射面上进行超高精度的定位和跟踪．新华社记者2026年5月7日从运行和发展中心获悉，“中国天眼”这6根国外进口的馈源驱动钢丝绳将更换为6根国产巨型钢丝绳，其单根重达．由此估计，这6根国产巨型钢丝绳可达的总质量用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算出6根国产巨型钢丝绳的总质量，再将单位由转化为，然后用科学记数法表示出来即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：6根国产巨型钢丝绳的总质量为， ， 即这6根国产巨型钢丝绳可达的总质量用科学记数法表示为． 题型七：将用科学记数法表示的数变回原数 20．山东省面积大约为平方千米 ，用科学记数法表示的数，原数是__________． 【答案】150000 【详解】解：． 21．若，处覆盖的数字都是0，若，则这个数中被覆盖的0有 ________个． 【答案】5 【分析】由题意得，求出，再结合科学记数法的规则计算即可得出结果． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴这个数中被覆盖的0有5个． 22．神舟十八号飞船是我国神舟载人飞船系列之一，神舟十八号飞船在航行轨道的速度大约是每秒7.9公里，飞船t小时飞行的距离用科学记数法表示为“”公里，则下列说法正确的是（    ） A．a的值为28.44 B．a为正整数 C．n的值为4或5 D．将“”还原为原数，则原数中“0”的个数不可能为0 【答案】C 【分析】先根据路程公式计算总路程的取值范围，再结合科学记数法的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：首先单位换算，1小时=3600秒， ∴总路程， 又∵， ∴， 用科学记数法表示为， 选项A：科学记数法表示为“”时，，，不符合科学记数法对的要求，A错误； 选项B：若，则，科学记数法为，不是正整数，B错误； 选项C：，因此只能为4或5，C正确； 选项D：取，得，原数中0的个数为0，D错误， 故选：C． 题型八：程序流程图与有理数计算 23．如图，这是一个运算程序，若输入，则输出的结果为_______． 【答案】 【分析】输入可得：结果为，不符合输出要求，再输入计算即可得到答案． 【详解】解：当输入时，， ∵不符合条件， 故重新输入，即， ∵符合条件， ∴输出的结果为． 24．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入，4，15这三个数时，则三次输出的结果依次为__________，__________，__________； (2)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，则小明输入的正整数是__________ 【答案】 /0.5 1 0 2或7/7或2 【分析】（1）根据题目中的数值转换机，可以写出相应的输出结果； （2）根据题意，利用分类讨论的方法，可以计算出相应的输入数据． 【详解】（1）解：由题意得， 当输入数值是时，，，输出的数值为； 当输入数值是4时，，，，输出的数值为1， 当输入数值是15时， ，，，的相反数是0，，输出的数值为0； （2）解：当按照绝对值输出结果为2时， ∴绝对值为2的非正数是，的相反数为2， ∵， ∴输入数据为2或者7， 当按照倒数输出结果为2时，取倒数后应该为，取相反数前为，一个数减去5后结果为，这个数一定是一个分数，而不可能为整数，因此这种情况时，输入的数据不可能是正整数； 综上，小明输入的正整数是2或7． 25．小明同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图的程序．若输入的数是3，则执行了程序后，输出的结果是（   ） A． B．561 C． D．558 【答案】C 【分析】本题考查 程序流程图与有理数计算． 根据题目的要求将已知的数先减去7，再乘以11，判断其结果的绝对值是否大于100；若计算结果的绝对值大于100，则输出，若小于100则将结果重新输入，进一步计算直到结果的绝对值大于100即可． 【详解】解：输入3， ，， 输入， ，， 输出， 故选：C． 题型九：算 “24” 点 26．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 27．2026年3月，鼓楼实验中学成功举办第三届“数学节”，一个趣味数学游戏是“快算24”，其规则是：随机抽取4个整数，用加减乘除四种运算符号和括号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．小龙参加“快算24”时，抽到的4个数分别是4，5，，11，请你写出一个算式，使其结果为24：_____________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有理数的四则运算法则进行求解． 【详解】解：根据题意得，，满足题意， ∴算式为． 28．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 题型十：含乘方的有理数混合运算 29．定义新运算：规定，则 _______． 【答案】11 【详解】解：根据定义原式． 30．计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 31．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（     ） 甲： 乙： 丙： 丁：． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【详解】解：甲：，故甲不正确； 乙：，故乙不正确； 丙：，故丙不正确； 丁：，故丁正确； 所以，我认为做对的同学是丁． 32．计算：（  ） A．0 B． C．1012 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，仔细观察发现求解的简便方法是解题的关键． 首先化简括号内的乘方，然后得到的个数和的个数相等，进而得到前括号的结果为0，进而求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 解答题 33．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 34．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 35．阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，… 归纳可得：； （2） ； 【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的含义，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． 36．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数乘方的应用； （1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据十进制转八进制的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是， 故答案为：； （2）解： ， 则将十进制数“4372”转化为八进制数为：； （3）解：因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1， 所以孩子已经出生的天数为天． 37．如图是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） (1)你认为当输入什么数时，其输出结果是？ (2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？ (3)当小明输入；；这三个数时，这三次输出的结果分别是：___________． (4)有一次，小明在操作的时候，输出的结果是，你判断一下，小明可能输入的是什么数？ 【答案】(1)（为自然数） (2)不可能输出负数 (3)，， (4)或（为自然数） 【分析】（1）由此程序可知，当输出时，因为的相反数及绝对值均为，所以当输入的倍数时输出； （2）由程序可知，输出的数应为非负数，不可能输出负数； （3）先判断出、、与的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可； （4）设输入的数为，分两种情况：最后一步是求倒数，最后一步是求绝对值，按程序进行倒推即可解答． 【详解】（1）解：输出数为，的相反数及绝对值均为， 当输入小于等于时，输入，其输出结果为， 当输入大于时，输入的倍数时输出， 应输入（为自然数）时，其输出结果是； （2）由程序可知，输出的数应为非负数，不可能输出负数； （3）， 输入时的程序为， 的相反数是，的倒数是， 当输入时，输出； 当输入时， 其相反数是，其绝对值是， 当输入时，输出； 当输入时，， 的相反数是，其倒数是， 当输入时，输出； （4）设输入的数为， 情况一：最后一步是求倒数， 设倒数前的数为，则， 解得， 走的为正分支， 为某数的相反数，即， 解得， 此时，符合“否”分支条件， 考虑循环减的情况，输入数满足（为自然数）， 即； 情况二：最后一步是求绝对值， 设绝对值前的数为，则， 走的是“非正”分支， 必须是非正数，即， 是某数的相反数，即， 解得， 此时，符合“否”分支条件， 考虑循环减的情况，输入数满足（为自然数）， 即； 综上所述，小明可能输入的是或（为自然数）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $