2026—2027学年苏科版七年级数学上册绝对值期中复习专题讲义

绝对值期中复习专题讲义 教师详解版 绝对值期中复习专题讲义 2026—2027学年第一学期 苏科版七年级数学上册 教师详解版 目录导航 知识梳理 3 从数轴和相反数认识绝对值 3 绝对值的定义与去绝对值符号 3 绝对值的基本性质与相反数关系 4 已知绝对值求原数与比较大小 5 含绝对值的数字运算 6 绝对值与乘除及和差的关系 6 根据已知条件化简含字母的绝对值 7 根据数轴位置判断式子的符号 7 利用非负性确定各项的值 8 把绝对值看成两点之间的距离 9 单个绝对值的等式与范围 9 必记结论与使用条件 11 零点分段化简多个绝对值 11 两点距离之和与相应等式 13 两点距离之差与相应等式 14 多个定点的距离和最小值 15 系数不同时的距离和最小值 16 含符号信息的分式 18 逐层处理嵌套绝对值 18 到两点等距与倍距的位置 19 多个式子同时达到下界 20 数轴上动点的位置与距离 21 题型导航 题型一 绝对值的意义与直接求值 23 题型二 绝对值与大小比较 26 题型三 已知绝对值求原数 27 题型四 由绝对值等式判断符号与范围 28 题型五 利用非负性求值 30 题型六 根据条件化简绝对值 31 题型七 零点分段化简 33 题型八 含绝对值的方程 35 题型九 数轴上的等距与倍距问题 37 题型十 两点距离和与距离差方程 40 题型十一 距离范围与整数点问题 43 题型十二 限定范围内的最值问题 46 题型十三 多点距离和的最小值 49 题型十四 距离差及带系数距离差的最值 53 题型十五 多变量约束下的最值 55 题型十六 含绝对值的分式求值 57 题型十七 数轴动点问题 59 知识梳理 从数轴和相反数认识绝对值 本专题接着已经学过的正负数和数轴来复习。数轴上的位置既有方向，也有远近：正负号帮助我们判断点在原点哪一侧，绝对值则表示它离原点有多远。先掌握概念和基本应用，再按学习情况阅读零点分段及其后的综合与拓展。 相反数先看方向再看距离 在数轴上，表示 与 的点位于原点两侧，到原点的距离都是 个单位长度。这两个数互为相反数。一个数 的相反数是 ； 的相反数仍是 。 相反数不一定是负数。例如，。符号 表示“ 的相反数”，只有知道 的符号，才能确定 的符号。 图1 相反数对应的两点关于原点对称 从位置转向距离 在数轴上，，但两点离原点一样远。因此“数的大小”和“离原点的距离大小”不是一回事。写 ，就是把 所对应的距离记录下来。 绝对值的定义与去绝对值符号 几何定义 一般地，数轴上表示数 的点与原点的距离，叫作数 的绝对值，记作 。距离不能是负数，可以是 。因此绝对值的结果是非负数，不是“一定为正数”。 按正负号写成代数形式 正数的绝对值是它本身； 的绝对值是 ；负数的绝对值是它的相反数。也可以把前两种情况合起来写成：当 时，；当 时，。 去掉的是符号保留的是数值 例如 ，，。遇到一个式子，也要先判断绝对值符号里面整个式子的正负，而不是只看最前面的符号。 例如，已知 ，则 ，所以 。负号作用于整个括号，不能只改变第一项的符号。 “把负号去掉”只适合解释一个已经确定为负数的数值，不能当作通用法则。 要有 ； 要有 。 绝对值的基本性质与相反数关系 非负性和等号条件 第一处等号 在 时成立；第二处等号 在 时成立。特别注意：由 不能直接说 ，因为 也符合。 相反数的绝对值相等 相反数对应的两点到原点距离相等，所以 。又因为 已经非负，再取绝对值不变。最后一个等式可分别用 和 验证：两种情况平方后都得到 。 绝对值相等不一定互为相反数 理由是：到原点距离相等的两个点，要么重合，要么关于原点对称。例如 ，两个数相等；，两个数互为相反数。若共同距离为 ，只能有 ，此时两种说法都成立。 例：已知 且 ，能否判断 ？由绝对值相等可得 或 ；排除第一种后，只剩 ，所以 。若没有 ，就不能直接得出这个结论。 区分相反数与绝对值外的负号 是 的相反数，正负不确定； 与 相等，均非负； 是 的相反数，因此不大于 。下面用负数、零、正数分别检验。 例如 不是 。只有 时两者相等；当 时，前者为正，后者为负。 已知绝对值求原数与比较大小 先判断给出的距离能否成立 例如，，则 或 。两数互为相反数，不要漏掉负数。 没有符合条件的数； 只有一个解，不能说有“正零和负零”两个解。 比较数的大小与比较绝对值的大小 数轴上右边的数大于左边的数。正数大于 ， 大于负数；两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。例如 ，但 。 图2 点越靠右数越大 点离原点越远绝对值越大 绝对值大小不能单独决定原数大小 由 不能单独推出 。例如 时，，但 。只有结合符号，才能判断：若 都是正数，直接比较绝对值；若都为负数，大小顺序相反；若异号，则先比较正负。 含绝对值的数字运算 先算符号内再按运算顺序计算 绝对值符号起到类似括号的作用。先计算符号内的值并判断正负，求出绝对值；再按先乘方、后乘除、最后加减的顺序运算。同一级运算从左到右，有括号先算括号。 例1：计算 。先算第二个绝对值内的和：，因此 这里 不能直接变成 ，因为绝对值作用于两项相加后的整体。 分清符号外的负号和乘方范围 例2：计算 。各绝对值分别为 ，所以 是 ； 是 。括号不同，乘方的对象就不同。解题时应保留必要括号，明确每个负号与乘方所作用的范围。 结果检查 单个绝对值的结果不能为负，但含绝对值的整个式子可以为负。例如 。若出现除法，还要检查除数是否为 ；绝对值并不会消除“不能除以 ”这一限制。 绝对值与乘除及和差的关系 乘积与商可以分别取绝对值 乘法的依据是符号法则： 同号时乘积为正，异号时乘积为负；无论哪种情况，乘积的绝对值都等于两数绝对值的积。有一个数为 时，两边同为 。商的结论同理，但必须先有 ，这也保证 。 例如 ，。这些性质适用于乘除，不能照搬到加减。 和的绝对值不大于绝对值的和 若 同号或其中至少一个为 ，和的绝对值等于两个绝对值之和，等号成立。若 异号且都不为 ，相加后要用较大的绝对值减去较小的绝对值，结果小于两者之和。因此等号成立的条件是 。 把上式中的 换成 ，得到 ；这里等号成立的条件变成 。例：，而 。 差的绝对值还存在一个下界 左边不等式可以用已经说明的“和的绝对值”来理解：，所以 ；交换 后又有 。这两个差中较大的一个正是 ，于是得到左边不等式。 左边等号在 时成立，右边等号在 时成立。用数轴检查：两点在原点同侧时，点间距离等于到原点距离之差的绝对值；在原点两侧时，点间距离等于两段距离之和。含 的情况也包括在条件内。 这一节后半部分用于理解和估计，不必脱离条件机械背诵。遇到具体数字，直接求值往往更简洁。 根据已知条件化简含字母的绝对值 判断每个绝对值内部整体的符号 字母不代表“正数”。 可以为正、为负，也可以为 ； 也不一定为负。化简前，应先把题设翻译成绝对值内部各式的正负。 例1：已知 ，化简 。由条件知 ，，且 ，所以 在这一条件下， 却可能为正、为负或为 ：分别取 ，， 即可看出。因此不能顺便断定 应怎样去符号。 比较关系常能直接确定差的符号 例2：已知 ，不论 本身的正负怎样，都有 ，所以 。求差的符号时，大小关系比单独研究两个数的符号更直接。 条件不够就分类或保留绝对值 例3：已知 ，化简 。 已确定，但 的符号不确定，要以 为界。 当 时原式为 ，所以端点放在第一段是正确的；若放在第二段并写成 ，也会得到同样的值，但不能漏掉这个端点。 根据数轴位置判断式子的符号 先读顺序再读距离 从数轴图中先读出各点从左到右的顺序，从而得到大小关系。涉及和的符号时，还要看异号两数离原点谁更远。只有示意位置、没有刻度或明确距离条件的图，不应凭视觉长度猜测数量关系。 图3 已知刻度范围可以确定和与差的符号 图中的 只表示各自在所给范围中的一个位置，并没有指定它们的具体值。 例：图中给出 ，，化简 。由 ，得 ；由 ，得 ；又有 。所以 注意第二项原来还有一个减号：。去绝对值符号后，先保留括号，再去括号合并，能减少符号错误。 已知绝对值大小时判断异号数之和 若 且 ，负数“离原点更远”，所以 ；若 ，则 ；若两者绝对值相等，则 。这三种情形不能只凭 合并成一种。 利用非负性确定各项的值 若干非负数的和为零则每项都为零 因为每一项都不小于 ，只要其中一项大于 ，总和就会大于 。所以当非负数的和为 时，每一项必须同时为 。常见非负式有绝对值和平方。 例1：若 ，则 且 ，得到 。代回原式， 两项确实都是 。 等式变形后必须仍然是非负项之和 例2：若 ，先减去两边的 ，得到 ，从而 。 但由 ，只能得到 ，不能断定 ，因为这里是两个非负数的差。由 也不能要求每项为 ，因为右边不是 。 正系数不改变这个结论 若 ，两项仍非负，且系数都为正，所以 。若系数为 ，对应项不能提供限制；若系数为负，就要重新判断，不能直接套用结论。 非负性还可判断“不可能”。例如 无解，因为左边至少为 。又如 ，左边非负、右边非正，只能同为 ，所以 。 把绝对值看成两点之间的距离 两点距离等于所表示的两数之差的绝对值 设数轴上点 所表示的数分别是 ，两点距离为 。若已经知道 ，就可直接写成 ；若顺序未知，必须保留绝对值。 把表示数 的动点记为 ，表示数 的定点记为 ，则 。例如 表示点 到表示数 的点的距离，不是到 的距离。 图4 绝对值表示动点到定点的距离 图中点 的位置仅作示意， 可以改变；并不是一个已经指定的数。 有系数时先提出绝对值中的系数 因为 ，再用乘积的绝对值性质即可。右边是点 到表示数 的点的距离的 倍。若 ，原式是常数 ，不能除以 。 第二个式子表示“到 的距离的一半”，不是直接表示到 的距离。 也说明：提出的是系数的绝对值，外面的倍数不能为负。 先统一成距离再分析 例： 等价于 ，即点 到 的距离为 。因此 或 。代入原式，两值都得到 。 单个绝对值的等式与范围 距离等于给定值 当 时，从表示数 的点向左、向右各走 个单位长度，得到两个点；当 时，两个点合为一个。这个结论来自距离，不要求事先学过一般的含绝对值方程。 距离不超过给定值 若 ， 表示点 在 与 之间，不含两端点； 则包含两端点。 图5 到1的距离不超过3的所有点 例如， 对应 ；若只求整数 ，则为 ，共 个。若改为严格小于，则两端点删去，共 个整数。 距离至少达到给定值 图6 到1的距离大于3的所有点 零和负数作距离界限时单独检查 当 时， 无解， 只有 ； 表示 ， 对所有允许的 都成立。当 时， 与 均无解，而 与 对所有允许的 都成立。 范围题最后要检查题目是否另有整数、正数或指定区间等限制。先找到数轴上的范围，再在该范围内选取符合额外条件的数。 一个距离的最小与最大问题 因为 ，所以 ，其最小值为 ，在 时取得；，其最大值为 ，也在 时取得。若 没有范围限制，前者没有最大值，后者没有最小值，因为点可以离 越来越远。 若限制了 的范围，应改看允许位置中哪个点离 最近、哪个点最远。例：当 时， 在 时最大，最大值为 ；两个端点到 的距离分别为 和 ，最远处是 ，所以最小值为 。 若中心不在允许范围内，离中心最近的允许位置决定距离的最小值。例如 时， 在 取最小值 ，在 取最大值 。如果把条件改成 ，距离可以无限接近 却不能等于 ，于是没有能取到的最小值；最大值仍为 。 必记结论与使用条件 使用条件 结论 任意数 ； 当且仅当 或 时 ； 时 任意数 ，， 任意数 当且仅当 或 任意数 各项非负且和为 当且仅当 点 分别表示 ；若 ，则 当且仅当 或 当且仅当 表中条件也是结论的一部分。使用前先对照条件；涉及零、负数距离界限或其他取值限制时，回到相应小节判断。 零点分段化简多个绝对值 从本节起为综合与拓展内容。重点不是背分段后的结果，而是弄清：为什么在某个位置前后，绝对值内部式子的符号会改变。 用零点把数轴分成若干段 当 变化时， 的符号在 两侧发生改变；这个使式子为 的数叫作该式子的零点。先找出每个绝对值内部式子的零点，再从小到大排列；同一段内，每个内部式子的符号都能确定。重复的零点只需列一次。 例：分段化简 。三个零点是 ，按大小排列为 ，所以分为四段。注意 ，它与 同号。 图7 零点依次为负2 1 3 共分成四段 逐段判断并保留外层运算符号 当 时，三个内部式子都为负，原式为 。 当 时，三个内部式子依次为非负、负、负，原式为 。 当 时，三个内部式子依次为正、负、非负，原式为 。 当 时，三个内部式子都非负，原式为 。 每段算完都要检验端点 代入原式： 时，分别得到 。相邻两段的表达式在公共分界处也分别得到相同的值，因此端点没有矛盾。写分段结果时，可以把零点归入左段或右段，但必须把所有情况覆盖，且不能给同一点写出互相矛盾的结果。 若用分段结果解等式，还要检查每段算出的候选数是否属于该段；不属于该段的数必须舍去。最后回到原式验证。分段不是把各段条件丢掉，只留下几个算式。 一段范围内何时保持定值 在同一段内去掉绝对值符号后，如果含 的项全部抵消，就得到与 无关的常数。例如在 内，。若要求这一整段内任取 ，结果都相同，就必须有 ，此时定值为 。 也可以只选这段内的 和 作必要检查：所得 与 必须相等，因此 ；再代回整段表达式确认处处等于 。这里只取两个值帮助找条件，最后的整段验证不能省略。若题目只允许一个 值，任何式子都只有一个对应结果，不能据此要求含 的项抵消。 两点距离之和与相应等式 先假设两定点不同并排好顺序 设 ，点 所表示的数分别为 ，点 表示数 。 就是 。用 表示两定点的距离，此时 。 当 在 之间或与其中一个点重合时，；当 在左侧时，多走了两次 ；当 在右侧时，多走了两次 。因此 等号当且仅当 。所以最小值是 ，达到最小值的不是只有中点，而是两端点之间的所有允许位置，包括端点。若 可以任意向外移动，距离和可以不断增大，没有最大值。 图8 两定点之间的距离和保持为6 解距离和等式先与两定点距离比较 对于 ，在 的条件下分三种情况： 若 ，无解，因为距离和不可能小于 。若 ，所有满足 的数都是解。若 ，只能在两定点外侧各有一个解。 这两个数确实分别在左、右侧：由 ，得 ，且 。不能把只适用于外侧的两个表达式拿来处理 ，否则会漏掉中间所有点。 例：对 ，两定点距离是 。当 时无解；当 时，所有 的数都是解；当 时， 或 。检验：两处距离和分别为 和 。 两定点重合时另作检查 若 ，原式为 。等式 在 时无解，在 时只有 ，在 时有 或 两个解。此时不能再说达到最小值的位置是一段不同的点。 两点距离之差与相应等式 两个距离的差与这个差的绝对值不同 仍设 ，令 。 是两个非负距离的差，可以为负、为 或为正； 才是这个差的绝对值，二者不能混用。 在左侧，，所以差恒为 ；在右侧，，所以差恒为 ；在中间，分别写出 、，相减得到 。故这个差最小为 ，最大为 。 图9 左侧的距离差为负6 右侧为6 解距离差等式 对 ，在 时：若 或 ，无解；若 ，解为所有 ；若 ，解为所有 ；若 ，只有一个解，且在两定点之间。 例： 中，，且 ，所以 。代入得 。 若右边换成 ，解不是只有 ，而是所有 ；若换成 ，则所有 都是解。 外面再有一个绝对值时 对 ，仍假设 ：当 或 时无解；当 时只有中点 ；当 时，要分别令距离差等于 和 ，得到两个解 或 ；当 时，解为所有 或 。 两定点重合时 若 ，距离差与差的绝对值都恒为 ：右边为 时，所有允许的 都符合；右边不为 时，无解。若原题没有规定 的顺序，可先交换点名排好顺序，但交换距离差的两项会改变符号，必须同时改写等式。 多个定点的距离和最小值 两端配对得到下界 本节讨论每个距离前的系数都为1的情形。先按所表示的数从小到大排列定点，再把最左与最右、次左与次右依次配成一对。每一对的距离和，至少等于这一对定点之间的距离。能让所有配对同时达到下界的位置，才是整个距离和最小的位置。 三个点时中间的点给出最小值 设 。由 ，且 ，可得 取 ，第一组达到 ，第二项等于 ，所以最小值为 ，且只有 时取得。定点重合也不会破坏这个结论。 例： 的三个定点依次是 。配对两端得 ，中间一项至少为 ；取 ，原式为 ，所以最小值是 ，此时 。 图10 三点距离和在中间定点处最小 四个点时中间两点之间都是最小位置 设 。外侧配对与内侧配对分别给出 、。两处同时取等号，要求 且 ，合起来就是 。 例：定点为 时，距离和最小值为 ，所有 都能取得。若中间两个点重合，这一段就缩为一个点。 图11 四点距离和在中间两点之间最小 推广到更多点 奇数个定点时，配对后还剩最中间一个点；在这个中间定点处，所有配对及剩余的一个距离同时达到最小。偶数个定点时，没有剩余点；中间两个定点之间的整段都能使所有配对达到最小。这就是等权距离和中“选中间位置”的依据，不应脱离等权条件使用。 题目限制位置时先看最小位置是否允许 以上四点的例子中，若要求 为整数，最小值仍为 ，在 时取得。 若改为要求 ，原来的最小区间已不能到达。在此范围内原式为 ，所以最小值为 ，在 时取得；最大值为 ，在 时取得。 受限范围的端点还必须看是否包含。例如同一例若要求 且 可取分数，距离和始终大于 ，却可以通过取越来越接近 的数，使其越来越接近 ，因此没有能取到的最小值。若同时要求 为整数，最靠近的允许位置是 ，最小值则为 。 系数不同时的距离和最小值 这一节属于选学拓展。每个距离前的正系数表示这一段距离要计算多少份。份数不同，最小位置可能改变，不能直接把所有不同定点排好后选中间。 两个定点时比较两边的系数 设 ，且 ，研究 。若 ，把较大的系数拆开： 前一部分至少为 ，后一部分非负；只有 时，后一部分为 且前一部分也达到下界。所以最小值是 ，在系数较大的那一端 处取得。 同理，若 ，最小值是 ，只在 时取得；若 ，退回等权情形， 最小值是 ，所有 都可以取得。若 ，则原式为 ，最小值为 ，只在 处取得。 这里要求系数为正。若某个系数为 ，只剩另一个距离；若出现负系数，原式已不是本节讨论的“正系数距离和”，必须重新分析。 先把绝对值内的系数提出来 例：求 的最小值。先写成 ，两个定点为 ，距离为 。进一步分组： 取 时，原式为 ，所以最小值是 ，只在 时取得。如果只对两个不同定点使用“中间整段”结论，就会忽略多算的一份 。 图12 较大的系数使最小位置落在负3处 正整数份数可以把定点重复列出 例如 相当于到 四个定点的距离和。重复的 不能删去。按两端配对，最小值为 ，在所有 的位置取得。 若系数是正分数，可以先把整个式子乘一个适当的正整数，使份数变成正整数，求出结果后再除回来。例如 乘 后，是到 的距离和，最小值为 ，只在 取得；所以原式最小值为 。分组说明已经足够时，不必为了套形式列出大量重复点。 有距离被减去时改用分段判断 若式子是 ，第二项被减去，不能使用“两个正系数距离之和”的结论。先找零点 ，逐段去符号： 在第一段， 使 ；在中段， 使 ，等号只在 成立；在第三段， 使 。所以整个式子的最小值是 ，只在 取得。代回原式得 。 当 向左或向右走得足够远时，这个例子的值都可以不断增大，因此没有最大值。若给定了有限范围，就只保留与这个范围重合的各段，再比较分界点和允许端点；若端点不允许取得，还要检查相应最值能否真正达到。 含符号信息的分式 这一节属于选学拓展。先看分式有没有意义，再看分子、分母的符号。字母出现在分母中，就必须排除使分母为0的情况。 一个非零数与其绝对值的比只有两种值 当 时，，比值为 ；当 时，，比值为 。两种比值在这里恰好相等，不表示分子分母可以随意交换。 时，两式都没有意义，不能说值为 。 不同项的正负可能互相制约 例：在 时，求 的可能值。前两项决定了 的正负，第三项的符号由乘积法则确定，不能再独立任取正负。 若 ，三项是 ，和为 。若 ，三项是 ，和为 。若 ，三项是 ，和为 。若 ，三项是 ，和仍为 。所以可能值只有 和 。 例如不能随意把三项同时取为 ：前两项为 表示 都为负，此时 ，第三项必须为 。同样，由于 非零， 也非零，第三个分母才有意义。 连乘项依旧由已有符号决定 在 都非零时， 可按负数的个数分类：没有负数时为 ；恰有一个负数时为 ；恰有两个负数时为 ；三个都为负数时为 。因此可能值是 。 若题目另给乘积为正、和为负等条件，还要剔除不满足这些条件的符号组合。把每项都看成互不相关的正负1，会制造并不存在的取值。 逐层处理嵌套绝对值 数值运算从最内层开始 嵌套绝对值中，内层的结果是外层所处理的数。例：。若外面另有负号，则 ；外面的负号不能跟着绝对值符号一起消失。 字母式先用内层结果的已知范围 因为 ，所以 ，。但 的符号不确定：当 时非负，当 时为负。因此 若还要彻底去掉内层绝对值，就要再结合 的正负分类。并非每道题都需要写出最细的分段；应根据要求决定是否继续。 解嵌套等式由外向内分支并检查非负条件 例：解 。先把 看作外层绝对值内的整体，得到 或 ，于是 或 。两种右边都非负，所以 代回验证： 时外层为 ； 时外层为 ，四个解都成立。若右边改为 ，就会得到 或 ，后一种不可能，所以只剩 或 。不能认为每多一层绝对值，解的个数就一定加倍。 图13 两层绝对值等式的四个解 回到定义检查每一步 绝对值题无论形式怎样变化，都应检查四件事：绝对值内的符号是否确实已知；涉及除法时分母是否非零；分类是否覆盖端点及特殊情形；算出的数是否满足原题所有条件。遇到陌生形式，先回到距离或正负分类，不要先寻找没有条件的口诀。 到两点等距与倍距的位置 两定点不同等距点只有一个 设点 分别表示 ，且 。若 ，点 到两点距离相等，它只能位于两点之间的正中间。因为在两点外侧，两段距离总相差 ，不可能相等；在两点之间，两段相等距离的和为 ，所以每段都是 。因此 例如，到 与 的距离相等的点表示 。若 ，两定点本来就重合， 对任何允许的 ，两段距离都相等，此时不能说只有一个等距点。 倍距关系要同时检查内侧与外侧 例：点 分别表示 ，求满足 的点 所表示的数。两定点距离为 。 当 在两点之间时，。由于 ，三份 共为 ，所以 ，点 在 左边，表示的数为 。 当 在 右侧时，。由 得 ，所以点 表示 。当 在 左侧时，，不可能满足 ，所以没有解。 检验： 时，； 时，。两个解都满足倍距关系。只找中间的一点会漏解；直接由 写成 ，也会漏掉内部式子异号的情况。 图14 倍距关系在两点之间和外侧各有一解 一般正倍率的内外位置 两定点不同、 且 时， 在两点之间总有一个位置：，所以 ，两段距离都为正。 若 ，另一位置在 的右侧，此时 ，故 ；若 ，另一位置在 的左侧，此时 ，故 。两个系数分别为正，所以对应距离都可以取得。若 ，两点外侧的距离差仍是非零的 ，不存在外侧解。 倍率为1或0时不能照搬两解结论 若写成 ，讨论倍距位置时应先说明 。当 且两定点不同时，就是等距问题，只有一个中间点。若另外考虑 ，则 ，只能是 与 重合。两定点不同而 时，没有解，因为非负的 不能等于负数与正距离 的乘积， 时也会使 。 若两定点重合，，则 时每个允许位置都符合； 时只能有 ，即点 与定点重合。因此题设中“定点是否重合”和“倍率是否为1”都需要先检查。 多个式子同时达到下界 先分别找到下界再检查能否同时取得 若 且 ，则 。等号成立当且仅当 且 ，因为 是两个非负数的和为零。求和的最小值时，不仅要写出下界，还必须找到使各项同时达到下界的允许取值。 例：求 的最小值。前两项至少为 ，在 时取得；后两项至少为 ，在 时取得。 可以分别选择，因此这些条件能同时满足。总和最小为 ，取到时恰有 且 。 如果题目另有 等联系条件，就要把这些条件一起检查。本例加上 后， 仍然能同时满足两组条件，因此最小值仍为 。不能仅看到有两个下界，就省略能否同时取得的检查。 已知达到下界后继续求范围 反过来，若题目给出上例的距离总和等于 ，就能确定 且 。再求 的范围：最小时取允许的最小 与最大 ，得 ；最大时取 ，得 。这两组数都符合总和为 的原条件，所以最小值 与最大值 都能取得。 正因子的乘积达到下界也要求每个因子达到下界 若 ，，则 。只要 或 ，因子均为正就会使乘积严格大于 ，所以等号成立当且仅当 且 。这里两个下界都为正是关键条件。 例： 的两个因子分别至少为 和 ，所以乘积至少为 。取 时两个因子同时取到下界，故最小值为 ，且只有这组取值能达到。 零下界和同一变量都要额外检查 若某个下界为 ，乘积等于下界不一定要求另一因子也达到下界。例如 时，取 ，仍有 ，却没有 。 若把前例的两个变量改为同一个变量，成为 ，则要让两个因子同时达到 和 ，就必须同时有 与 ，这不可能。因此“乘积至少为2”虽然正确，却不能据此把2写成能取到的最小值。下界与最小值的区别，就在于是否有允许取值能达到它。 数轴上动点的位置与距离 先写点表示的数再写两点距离 数轴向右为正方向。一个点从表示数 的位置出发，向右每秒移动 个单位长度，经过 秒后表示的数为 ；若向左移动，则为 。这里速度的大小 ，时间 。方向通过加减号体现，不能把“走过的路程”直接当成“点所表示的数”。 相遇前后两点的顺序会改变 例：点 从 出发向右每秒移动 个单位长度，点 同时从 出发向左每秒移动 个单位长度，两点相遇后继续按原方向移动。经过 秒，点 表示 ，点 表示 ，因此 相遇时 ，所以 ，得到 ；相遇点表示 ，同时也有 。在相遇前 ，两点距离为 ；相遇后 ，距离为 。 图15 两点从负6与6出发 在表示2的点处相遇 给定距离可能对应相遇前后两个时刻 在这个例子中，若要求两点相距 个单位长度，则 ，所以 或 ，得到 或 。两者都满足 ，分别对应相遇后与相遇前。检验： 时两点表示 ； 时两点表示 ，距离均为 。若题目限定“相遇之前”，就只能取 。 经过定点不一定是相遇时刻 同一例中，点 经过原点时有 ，所以 ；点 经过原点时有 ，所以 。两点分别经过原点的时刻不同，也都不同于相遇时刻 。涉及到定点的距离时，应分别写成 和 。 转向后按转向位置重新计时 若一个点从 出发，向右每秒移动 个单位长度，运动 秒后立即调头，仍以每秒 个单位长度向左运动，则转向位置表示 。从出发起计时，它表示的数为 第二段用 表示调头后已经走的时间，不能直接写成 。两段在 时都给出 ，衔接正确。若问从出发到 共走了多远，路程为 ；此时点表示 ，到起点 的距离为 。路程与两点距离不是同一个量。 动点题的检查顺序是：方向与速度是否对应，时间范围是否符合，是否已经相遇或转向，所求的是位置、路程还是距离。若有停留、不同出发时刻或运动结束条件，应先分清各段时间，再写对应的位置式。 题型一 绝对值的意义与直接求值 先分清数的位置和它到原点的距离，再处理绝对值符号内外的正负号。计算嵌套式时由内向外进行。 1．下列说法中，正确的是（　　）。 A．任何有理数都满足 B．任何有理数都满足 C．任何有理数都满足 D． 答案 B 解析 相反数到原点的距离相等，所以对任意有理数，都有。 A错误，例如时；C错误，时；D错误，。 2．直接写出下列各式的值。 （1）________；（2）________； （3）________；（4）________。 答案 （1）；（2）；（3）；（4）。 解析 （1）负数的绝对值是它的相反数。 （2）先求，再保留外面的负号。 （3），所以绝对值是。 （4）先算，再算。 3．数轴上，点表示，点表示，点为原点。 （1）分别写出、到原点的距离，并用绝对值等式表示。 （2）在图中标出、关于原点的对称点、，写出它们表示的数。 （3）比较与的位置和它们到原点的距离，说明相反数与绝对值有什么不同。 答案 （1），，，。 （2）表示，表示。 （3）相反数表示关于原点对称的位置，绝对值表示到原点的距离。 解析 （1）从到相隔个单位长度，从到相隔个单位长度。 （2）对称点分别在原点另一侧，且与原点距离不变，所以表示，表示。 （3）在原点左侧，在原点右侧，两点位置不同，但；数的符号表示方向，绝对值不表示方向。 4．计算：。 答案 。 解析 先算绝对值符号内的式子：，，。 原式。 5．小明计算：。 （1）指出第一处错误，并写出正确计算。 （2）分别求和，说明绝对值能否直接分配到减法的每一项上。 答案 （1）第一步等号错误，。 （2）两式分别为与，不能这样拆开绝对值。 解析 （1）绝对值的结果不能为负数。应先算符号内的减法：，再求。 （2），与不同。这个反例说明不是恒等式。 题型二 绝对值与大小比较 先看比较的是原数还是绝对值。两个负数比较大小时，绝对值大的反而小；数轴上位置靠右与离原点较远不是同一件事。 1．将，，按从小到大的顺序排列：________。 答案 。 解析 三个数分别是、、。因为，所以原顺序如答案。 2．比较与的大小，并比较它们绝对值的大小。写出理由。 答案 ，且。 解析 ，，所以前者的绝对值大。 两个负数中，绝对值大的反而小，所以。 3．已知，且。用“”将、、、、连接起来，并说明理由。 答案 。 解析 由，得、。 由，得，即；它们的相反数满足。 因此。 4．数轴上，点在点的左边，分别表示、。 （1）若两点都在原点右边，比较与。 （2）若两点都在原点左边，比较与。 （3）若两点分居原点两侧，仅凭“在左边”能否判断与的大小？举例说明。 答案 （1）；（2）；（3）不能。 解析 （1），所以。 （2），离原点较远的是，所以。 （3）不能。例如时；时；时还可能相等。 5．已知，比较与的大小，并求较大的一个比较小的一个大多少。 答案 ，大。 解析 由，得，。因此，。 两者之差为。所以，且大。 题型三 已知绝对值求原数 先列出绝对值对应的全部候选，再用题目条件逐一筛选。多个字母不要同时只取正数；求得候选后还要回看条件。 1．已知。若，则________；若，则________。 答案 ；。 解析 给出或。其中小于的是，大于的是。 2．已知，，且。求的所有可能值，并列出对应的、。 答案 或；分别对应与。 解析 或，或。 当时，即使也有，不符合条件；所以。 当时，；当时，。两组的和都大于。 3．已知，，且。 （1）求的所有可能值。 （2）是否为定值？说明理由。 答案 （1）或；（2）是，定值为。 解析 说明、异号，只有与两种情况。 第一种；第二种。 两种结果互为相反数，绝对值都为，所以。 4．已知，，，且。求的所有可能值。 答案 或。 解析 ，，。 若，则无论还是都不能满足，故。再由，得。 可以是或，分别得到或。两组均满足大小顺序。 5．已知，。 （1）不重复地写出的所有可能值。 （2）是否可能有？说明理由。 （3）当时，、的符号有什么关系？ 答案 （1）、、、；（2）不可能；（3）异号。 解析 由、，四组和依次为、、、。 因此只能为或，不可能为。 和的绝对值为时，组合为或，所以两数异号。 题型四 由绝对值等式判断符号与范围 把绝对值等式与定义对应起来，明确得到的是大于、非负、负数还是非正。多个条件要同时满足，特别注意零能否取到。 1．填写的范围。 （1）若，则________；（2）若，则________。 答案 （1）；（2）。 解析 （1）负数和都满足，所以。 （2）时，不满足严格大于；时，所以。 2．（1）若，求的范围。 （2）若，求的范围。 （3）是否存在同时满足以上两个等式的？说明理由。 答案 （1）；（2）；（3）不存在。 解析 （1）由，得，即。 （2）右边，由，得，即。 （3）没有数既不小于又不大于，所以不存在公共解。 3．已知，，且。判断、的符号或范围，并说明能否等于。 答案 ，；可以等于。 解析 等价于，所以；又，故。 说明。负数与相乘非正，故。 当时，，等式仍成立，所以不能把结论写成。 4．已知，且。求的范围，并说明是否符合条件。 答案 ，符合条件。 解析 若，则、异号且均不为，异号相加会抵消一部分距离，因此，不符合条件。 若，则，，且，等式成立。 所以；特别地，时两边均为。 5．已知。求的范围，并写出满足条件的最小整数。 答案 ；最小整数是。 解析 把右边写成，移项得。 根据绝对值不小于原数，括号中的两项都非负，因此两项都为，即且。 两个条件同时满足时。反过来，当时原等式成立，所以范围为，最小整数为。 6．已知，。 （1）写出与、与的大小关系。 （2）能否据此判断？若不能，请分别举出与的例子。 答案 （1），；（2）不能。 解析 （1）第一个等式说明，所以；第二个等式的右边为，说明，所以。 （2）这些条件只说明不大于另外两个数，没有确定、的顺序。 例如时；时。两组均满足原等式。 题型五 利用非负性求值 几个非负数的和为零，每一项都必须为零。先核对每项是否非负，再检查求出的条件能否同时成立。 1．已知，求和。 答案 ，。 解析 两项、都非负，它们的和为，所以，。 得，。因此，。 2．已知，求。 答案 。 解析 绝对值与平方都非负，所以且。 解得，。 。 3．已知，求。 答案 。 解析 左边两项均非负，所以它们的和不小于；题设又要求不大于，故只能等于。 于是，，得、。 因此。 4．是否存在有理数，使？请说明理由。 答案 不存在。 解析 若等式成立，两项非负且和为，必须同时有和。 这要求同时等于和，不可能。因此不存在满足条件的。 5．（1）已知，求、。 （2）若把等式右边改成，还存在符合条件的、吗？说明理由。 答案 （1），；（2）不存在。 解析 （1）左边非负、右边非正；要相等，两边只能都为。于是、，并且，代回成立。 （2）同理仍须、，同时还要；但此时，矛盾，所以不存在。 题型六 根据条件化简绝对值 将条件转化为每个绝对值内式的符号，写出去绝对值后的括号，再合并。仅有数轴左右顺序时，未必能判断两个异号数的和。 1．已知，化简。 答案 。 解析 由，得，且。所以、、。 原式。 2．已知。 （1）化简。 （2）分别求、时原式的值。 答案 （1）；（2）分别为、。 解析 由范围得、，所以原式。 时，原式，；时，原式，。两个端点都符合。 3．已知，且，化简。 答案 。 解析 由且，得，即。又、。 所以原式。 去括号并合并得。 4．有理数、、在数轴上的位置如图，且。 （1）判断、、的符号。 （2）化简。 答案 （1），，；（2）。 解析 图中给出，由得，所以。由左右顺序直接得到、。 原式。 5．已知，化简。 答案 。 解析 因为，所以，。 外层绝对值内为。由，得，所以。 又，故原式。 6．已知，，且，化简。 答案 。 解析 由两个绝对值等式得、，所以；题设又给出。 因此原式。 去括号得。 题型七 零点分段化简 先找出每个绝对值内式为零时 的值，按从小到大的顺序分段。每段分别判号，外面的减号和系数要保留；最后检查分界点。 1．化简 。 答案 当 时为 ；当 时为 ；当 时为 。 解析 内式 、 分别在 、 时为零。 当 时，两内式都为负，原式 。 当 时，原式 。 当 时，原式 。 在 处，原式为 ，且 ；在 处，原式为 ，且 ，边界均相符。 2．化简 。能否对任意有理数 ，直接把两个绝对值内的式子相加？说明理由。 答案 当 时为 ；当 时为 ；当 时为 。 解析 由 得零点 ；由 得零点 。 当 时，原式 。 当 时，原式 。 当 时，原式 。 只有两个内式都非负时，才可以直接相加。本题这要求 ；在其他范围内必须先按符号变号。两个边界代入相邻表达式，分别都得 、。 3．化简 。 答案 当 时为 ；当 时为 ；当 时为 。 解析 分界点为 、。 当 时，原式 。 当 时，原式 。 当 时，原式 。 检验： 时相邻两式均为 ； 时相邻两式均为 。外部的 必须乘整个括号，不能只改变其中一项的符号。 4．化简 。当 或 时，原式的值有什么共同特点？说明理由。 答案 四段依次为 、、、；当 或 时，原式都为 。 解析 三个不同分界点为 、、。 当 时，原式 。 当 时，原式 。 当 时，原式 。 当 时，原式 。 在 、、 处，相邻式分别同为 、、。所以连同端点， 或 时原式都为零；这来自各项相互抵消，不是每个绝对值都为零。 5．化简 。 答案 当 时为 ；当 时为 ；当 时为 ；当 时为 。 解析 当 时，，原式为 。其中 时 ，结果为 ； 时 ，结果为 。 当 时，，原式为 。其中 时结果为 ； 时结果为 。 因此需要保留 、、 三个分界点，不能只找最内层的零点 。在三个分界点代入原式， 分别为 、、，与相邻分段相符。 6．化简 ，并写出原式恒为常数的最大连续范围及该常数。这里的范围必须含有不止一个数。 答案 当 时为 ；当 时为 ；当 时为 。所求最大连续范围是 ，常数为 。 解析 分界点为 、。 当 时，原式 。 当 时，原式 。 当 时，原式 。 前两段中， 改变时 、 都随之改变，不能在包含不止一个数的连续范围内保持不变；第三段恒为 。且 时第二段也得 ，所以最大范围为 。 题型八 含绝对值的方程 先检查等号右边能否作为绝对值的值，再选择分类方法。嵌套方程宜由外向内解；按范围求出的候选值，必须检查是否属于该范围。 1．解下列方程： （1）；（2）。 答案 （1） 或 ；（2）无解。 解析 （1） 或 ，分别得 、。代回时，内式分别为 、，绝对值都是 。 （2）因为 ，所以 ，不可能等于正数 。也可化为 ，由绝对值非负直接判断无解。 2．解方程 。 答案 。 解析 因左边非负，必须有 ，即 。 当 时，方程为 ，不成立。 当 时，方程为 ，得到 ，属于该范围。 代回原方程，左边 ，右边 ，所以唯一解为 。 3．解方程 。 答案 或 。 解析 两个数的绝对值相等，它们可以相等，也可以互为相反数。 第一种情况：，得 。第二种情况：，得 ，即 。 代回检验： 时，两内式都为 ； 时，两内式分别为 、，绝对值相等。 只保留内式相等，会漏掉互为相反数产生的解 。 4．解方程 。 答案 或 。 解析 分界点为 、。 当 时，方程为 ，即 ，得 ，符合本段范围。 当 时，方程为 ，得 ，不在本段内，舍去。 当 时，方程为 ，得 ，符合本段范围。 检验： 时两项为 、； 时两项为 、，两次和都为 。 5．解方程 。 答案 。 解析 先去外层绝对值： 或 ，所以 或 。 当 时， 或 ，得 或 。 当 时， 或 ，得 或 。 这四个数互不相同，内层绝对值分别为 或 ，减去 后为 或 ，外层绝对值均为 。 6．解方程 。此方程是否只有有限个解？请说明理由。 答案 或 ，有无穷多个解。 解析 当 时，，左边 ，所以所有 都满足方程。 当 时，，方程成为 。于是 或 ，候选值为 或 。其中 不属于本段， 属于本段。 综上，解为 或 。 时左边为 ；在 上恒成立，所以不是只有有限个解。 7．【拓展】已知 为有理数。若方程 恰有三个不同的解，求 的值，并求这三个解。 答案 ，三个解为 。 解析 由外层绝对值，得 或 。这两个右端相差 ，因而若均有解，两组解不会重复。 若 ，两右端都负，无解；若 ，只有 ，有一个解；若 ，只有 的一支有解，共两个解。 若 ，两支分别为 和 ，前者给 ，后者给 ，共三个不同的解。 若 ，两右端均正，各给两个解，且两组不重复，共四个解。因此恰有三个解时只能 。代入三个数，原方程左边均为 。 题型九 数轴上的等距与倍距问题 先把绝对值写成点与点之间的距离。倍距问题要区分点在线段内部和外部；若题目没有限定位置，就不能只画中间一种情况。 1．如图，数轴上点 、 表示的数分别为 、。点 表示数 ，且 。求 ，并说明满足条件的点 是否唯一。 答案 ，满足条件的点 唯一。 解析 ，，故等式为 。 。两距离相等时， 位于 、 中间，，所以 。 若 在 左侧，则 ；若 在 右侧，则 ，两种情况下都不等。端点 、 处也不等。故只有上述中间点。代回得两距离均为 。 2．数轴上点 、 表示的数分别为 、，点 表示数 。 （1）若 在线段 上，且 ，求 ；（2）若取消“ 在线段 上”的限制，是否还有其他满足 的点？求出所有可能的 。 答案 （1）；（2）还有 ，全部为 或 。 解析 （1）。在线段上，，而 ，所以 ，，。 （2）若 在 左侧，则 。结合 得 ，所以 。 若 在 右侧，则 ，不可能满足 。两个端点也都不满足。 检验： 时 ； 时 。故取消位置限制后，全部解是 、 。 3．如图，数轴上点 、 表示的数分别为 、。求所有满足 的点 所表示的数，并分别计算相应的 、。 答案 时，； 时，。 解析 。若 在 、 之间， 且 ，所以 ，，。 若 在 右侧，则 。结合 得 ，，。 若 在 左侧，则 ，不可能满足 。端点均不满足。 因此只有 或 。计算得到的距离分别为 、，都满足前者是后者的 倍。 4．数轴上点 、、 表示的数分别为 、、。点 表示数 。 （1）分别求满足 、满足 时的 ；（2）是否存在一个点 ，使 ？说明理由。 答案 （1）分别为 、；（2）不存在。 解析 当 时， 是 、 的中间点，。当 时， 是 、 的中间点，。 若 ，同一点既须表示 又须表示 ，不可能。也可检验： 时三距离为 ，第三个距离不相等。 5．已知 、 为有理数。 （1）若 ，且方程 只有一个解 ，求 ；（2）若改为 ，这个方程还有唯一解吗？说明理由。 答案 （1）；（2）没有唯一解，任意有理数 都是解。 解析 （1）若 ，等式两边完全相同，每个 都成立，不符合“只有一个解”，所以 。 不同两定点的等距点在中间。因 到 的距离为 ，另一端点在 右侧 个单位处，故 。此时 确使两边均为 ，且中间点唯一。 （2） 时，原方程变为 ，对任意有理数 都成立，故有无穷多个解。不能在两定点重合时仍说等距点唯一。 6．【拓展】数轴上点 表示 ，点 表示 ，点 表示 。已知 且 。 （1）求 的所有可能值；（2）对每一个可能的 ，再求所有满足 的点 所表示的数 。 答案 （1） 或 ；（2） 时， 或 ； 时， 或 。 解析 （1），所以 ，即 ，得 或 ，两者均大于 。 （2）若 ，则 。 在两点之间时，，故 ； 在 右侧时， 且 ，得 ，。在 左侧不可能。 若 ，则 。 在两点之间时，，故 ； 在 右侧时，，故 。在 左侧不可能。 四组坐标分别给距离对 、、、，均满足 。 题型十 两点距离和与距离差方程 先比较给定距离和与两定点之间的距离，再判断有无解。对于距离差，必须按题目顺序相减；“两个距离之差”与“两个距离之差的绝对值”不是同一回事。 1．如图，数轴上点 、 分别表示 、，点 表示数 。 （1）若 ，写出 的全部取值范围；（2）若 ，是否存在这样的点 ？说明理由。 答案 （1）；（2）不存在。 解析 。 在线段 上时，，端点也包括在内。 在 左侧时，；在 右侧时，。 因此距离和等于 的全部范围为 ；距离和不可能小于 ，故等于 时没有这样的点。 2．数轴上点 、 分别表示 、，点 表示数 。若 ，求 的所有可能值。 答案 或 。 解析 。因为 ，点 不能在线段 上，必须在外侧。 若 在 左侧，，所以 ，。 若 在 右侧，，所以 ，。 检验： 时两距离为 ； 时两距离为 ，和都为 。两种外侧位置均已考虑，故没有其他解。 3．【拓展】已知 为有理数。讨论方程 在什么情况下无解、有无穷多个解或恰有两个解；有解时写出全部解或取值范围。 答案 时无解； 时 ； 时 或 。 解析 两定点为 、，相距 。距离和至少为 ，所以 时无解。 时，点在线段两端点之间，全部解为 ，有无穷多个有理数解。 时，点在外侧。左侧短距离为 ，所以左侧解 ； 右侧解 。 因为 ，第一解严格小于 ，第二解严格大于 ，满足各自范围且不同。外侧距离和分别为 ，故恰有两解。 4．解方程 。 答案 。 解析 当 时，，不等于 。 当 时，左边 。由 得 ，符合本段范围。 当 时，左边 ，不等于 。 所以只有 。代回得 。若擅自对距离差再取绝对值，还会保留差为 的位置，改变了原方程。 5．数轴上点 、 分别表示 、，点 表示数 。分别求满足下列条件的所有 ： （1）；（2）；（3）；（4）。 答案 （1）；（2）；（3）；（4）无解。 解析 。 若 ，差为 ；若 ，差为 ，严格介于 与 之间；若 ，差为 。 因此：（1）恰在 时成立；（2）中段满足 ，得 ；（3）恰在 时成立；（4）差不可能达到 ，无解。 端点检验：在 处差为 ，在 处差为 ，两侧范围都包含相应端点。 6．比较下列两个方程的解，并说明解的个数为什么不同： （1）；（2）。 答案 （1）；（2） 或 。 解析 记两个距离按原顺序相减所得的差。 时差为 ， 时差为 ，故这两个外侧范围均不符合两问。 在 内，差为 。 （1）要求差为 ，故 ，得 ，在中段内。 （2）要求差的绝对值为 ，故差可以是 或 。分别由 、 得 、，均在中段内。 检验： 时两距离为 ，差为 ； 时两距离为 ，差为 。第二问同时接受这两种差，第一问只接受正的 。 7．【拓展】数轴上点 、 分别表示 、。判断是否存在点 ，分别满足下列两组条件；若存在，求它表示的数 ，若不存在，说明理由。 （1），且 ；（2），且 。 答案 （1）存在，；（2）不存在。 解析 。由两问共有的条件 ， 必须在两定点外侧，外侧短距离为 。 因此只可能 或 。 当 时，，差为 ；当 时，，差为 。 （1）只有 同时满足两条件；（2）两个候选的差都不是 ，故不存在。不能只把两组数值条件分别求出距离，就忽略这些距离是否能在给定数轴上同时实现。 题型十一 距离范围与整数点问题 把“不超过”“小于”“至少”等词翻译成数轴上的远近范围，先确定所有可行位置，再筛选整数。特别检查两端是否包括在内。 1．分别写出满足下列条件的 的范围，并列出其中所有整数： （1）；（2）。 答案 （1），整数为 ；（2），整数为 。 解析 表示点 到点 的距离。距 恰为 的两个位置是 、。 （1）距离严格小于 ，只能位于两位置之间且不含端点，所以 ，整数为 。 （2）距离不超过 ，两端也符合，所以 ，整数为 。两问相差的正是端点整数 、。 2．整数 满足 ，且它所表示的点到表示 的点的距离至少为 。求所有这样的整数，并求它们的和。 答案 ，和为 。 解析 到 的距离至少为 ，表示点位于 的左侧或该点处，或者位于 的右侧或该点处，即 或 。 还必须满足 。左侧只留下整数 ；右侧留下 。 所以全部整数为 ，和为 。、 被严格范围排除，、 因“至少”而保留。 3．点 表示有理数 。它到表示 的点的距离不超过 ，同时到表示 的点的距离小于 。 （1）用两个含绝对值的式子表示条件；（2）求 的取值范围；（3）列出符合条件的全部整数。 答案 ，；；整数为 。 解析 （1）两个条件分别是 、。 （2）第一个条件表示 ；第二个条件表示 。两条件必须同时满足，因此取数轴上重合的部分，得到 。 （3）其中的整数为 。 到 的距离恰为 ，不符合“小于”； 到 的距离为 ，符合“不超过”，所以左右端点处理不同。 4．求满足 的所有整数 ，并求这些整数的和。 答案 整数为 ，和为 。 解析 是点 到 、 两点的距离和，两定点相距 ，所以距离和至少为 。 题目又要求距离和不超过 ，故只能恰为 ，点 必须在线段两端点之间，包含端点， 即 。 符合条件的整数是 ，共 个，和为 。 5．求满足 的所有有理数 的范围，并求其中整数的个数与和。 答案 ；其中整数有 个，为 ，和为 。 解析 两定点为 、，相距 。点在线段上时距离和为 ，所以整段都符合。 点在左侧时，距离和为 加上到左端点距离的 倍。要小于 ，这段外侧距离须小于 ，所以左侧允许到 右边，但不含 。 同理，右侧外伸距离须小于 ，所以可以到 左边，但不含 。合并得 。 其中整数为 ，共 个；相反数配对后剩 ，所以和为 。在 、 处距离和都为 ，应排除。 6．数轴上点 、 分别表示 、。点 表示数 ，满足 ，且 。求 的取值范围，并列出其中所有整数。 答案 ；整数为 。 解析 、 的中间点表示 。点在这个中间点的左侧时离 较近，在中间点处两距离相等，在右侧时离 较近。因此 等价于 。 表示点到 的距离小于 ，所以 。 取两条件共同的部分，得到 ，其中整数为 。 端点检验： 时 ，不符合； 时 且 ，符合。 题型十二 限定范围内的最值问题 先看题目允许 取哪些数，再判断绝对值内式能否为零。求最大值或最小值，必须同时写出取得该值时 的所有可能值。 1．已知 。求 的最小值和最大值，并分别写出取到这些值时的 。 答案 最小值为 ，在 时取得；最大值为 ，在 或 时取得。 解析 是点 到 的距离。允许范围包含 ，所以最近可以距离为 ，且只能在 时取得。 范围两端 、 到 的距离分别为 、；其余允许位置到 的距离都不超过 。故最大值为 ，在 或 时取得。 不能只写一个最大值取等点，因为本题两端到中心等距。 2．已知 。 （1）求 的最小值和最大值；（2）求 的最大值和最小值。 两问都要写明对应的 。 答案 （1）最小值 ，；最大值 ，。（2）最大值 ，；最小值 ，。 解析 （1）允许范围完全在 的右侧，点 到 最近时为左端 ，最远时为右端 。所以 的最小值为 ，最大值为 ，分别在 取得。 （2）从 中减去 ，减去的数越小，结果越大。因此最大值为 ，在 取得；最小值为 ，在 取得。 不在允许范围内，不能令 来断言第二问最大值为 。 3．已知 。求 的最小值和最大值，并写出分别取到最值时 的全部取值。 答案 最小值为 ，在 时取得；最大值为 ，在 时取得。 解析 两个定点为 、，相距 。允许范围中， 的部分在线段两定点之间， 距离和恒为 。 当 时，点在右侧，距离和 。点越向右，两段距离之和越大，到 时为 。 因此最小值 的全部取等范围为 ，不是整个 ；最大值为 ，只在 时取得。 边界检验：在 、 时和均为 ，在 时为 。 4． 为整数，且 。求 的最小值和最大值，并写出相应的 。 答案 最小值为 ，在 或 时取得；最大值为 ，在 时取得。 解析 允许的整数只有 。依次代入， 的值分别为 。 因此最小值为 ，在 或 时取得；最大值为 ，在 时取得。 虽然令内式 会得到 ，但它不是整数，不符合题设。允许点中离 最近的两个整数是 、，所以最小值不能取到 。 5．已知 满足 。在此条件下，求 的最大值和最小值，并写出取到它们时的 。 答案 最大值为 ，在 时取得；最小值为 ，在 时取得。 解析 条件左边是点 到 、 两点的距离和，恰等于两定点间距 ，所以允许范围为 。 当 时，目标式 ，随 向右增大而减小；这一段在 时取到 ，向 接近时接近 。 当 时，目标式 ，从 向 减小。 当 时，目标式 ，从 增大到 。 比较三段，最大值为 ，只在 时取得；最小值为 ，只在 时取得。直接代入得 、，均符合约束。 6．【拓展】已知 ， 是有理数。当 在这个范围内取值时， 的最大值为 ，最小值为 。求 的所有可能值，并写出每种情况下取得这两个最值时的 。 答案 或 。 时，最大值在 、最小值在 ； 时，最大值在 、最小值在 。 解析 最大值为 ，说明允许范围内能使 ，所以 必须可取，即 。 最小值为 ，说明允许位置到 的最大距离为 。当 在 与 之间时，到左端的距离为 ，到右端的距离为 ；其他位置到 的距离不超过这两个端点距离中较大的一个。 两端距离都不大于 ，要使最大距离恰为 ，必须 或 ，所以 或 。 当 时， 使表达式为 ， 使表达式为 ；当 时， 使表达式为 ， 使表达式为 。两种情况均符合。 题型十三 多点距离和的最小值 1．如图，数轴上点、分别表示、，点表示数。求的最小值，并写出取得最小值时的全部取值范围。 有同学认为“只有当在、的正中间时才能取得最小值”。他的说法正确吗？请说明理由。 答案 最小值为，当且仅当时取得。该同学的说法不正确。 解析 当在、之间（包括端点）时，。 当在左侧时，，所以；在右侧时同理大于。 因此最小值为，取等范围为，并非只有。例如时，两段距离之和仍为。 2．求的最小值及此时的值。 若把取为与的平均数，能否取得最小值？请计算检验。 答案 最小值为，当且仅当时取得。两端数的平均数为，代入得，不能取得最小值。 解析 表示到和两点的距离和，不小于，且在时等于。 另一项，在时等于；这个值也使前两项的和等于。因此原式最小值为，且只在取得。 与的平均数为，原式此时为。按大小排列后的中间数是，不是两端数的平均数。 3．求的最小值，以及取得最小值时的全部取值范围。 若为整数，写出所有使原式取得最小值的，并求这些整数的和。 答案 最小值为，取等范围为；整数为，其和为。 解析 把最外侧两点配对：，等号成立时。 把中间两点配对：，等号成立时。 两组能同时取等的范围为，所以原式最小值为。 其中的整数为，和为。 4．求的最小值及取等时的全部取值范围。 请说明：系数最大的项为，是否意味着原式只在时取得最小值？ 答案 最小值为，取等范围为；并非只在时取得。 解析 把看成两个相同的距离项，原式为。 第一组不小于，等号成立时；第二组不小于，等号成立时。 所以原式不小于，且在时都等于。例如时，原式为，说明系数最大并不保证唯一取等点。 5．求的最小值及此时的值，并说明为什么不能把三个绝对值分别令为。 答案 最小值为，当且仅当时取得；三个绝对值的零点不同，不能同时为。 解析 因为，所以原式为。 到和的距离和不小于，故原式不小于。当时，两组距离和都等于， 且，所以最小值为。 要取得，必须有，故只有。三个绝对值分别为要求、、，不可能同时满足。 6．已知，且的最小值为。求的值，并写出取得最小值时的值。 答案 ，取得最小值时。 解析 由可知三个定点依次为、、，其中时后两点重合。 ，等号成立时；另有，在时与前一等号同时成立。 所以原式最小值为，且只有取到。由，得。 求得后，三个定点的位置。 7．已知的最小值为。求的所有可能值，并分别写出取得最小值时的全部取值范围。 答案 时，；时，。 解析 ，等号成立时；，等号成立时在与之间（包括端点）。 无论取何值，都使上述两组同时取等。因此原式的最小值确为。 由，得，所以或。 当时，两个取等范围的公共部分为；当时，公共部分为。两个端点都包括在内。 当时，取等范围为。 当时，取等范围为。 题型十四 距离差及带系数距离差的最值 1．求的最大值和最小值，并分别写出的全部取值范围。请用数轴上的距离关系或分段计算说明理由。 答案 最大值为，在时取得；最小值为，在时取得。 解析 两个定点为和，相距。 当时，原式。 当时，原式，其值严格大于且严格小于。 当时，原式。所以最大值为，最小值为，取等范围如答案所示。 2．求的最大值、最小值及各自取得时的全部取值。与上一题相比，外面多出的绝对值改变了哪些结论？ 答案 最大值为，在或时取得；最小值为，在时取得。 解析 由上一题的分段结果，内层距离差在与之间，所以取绝对值后在与之间。 内层差为或时，外层绝对值为，对应或。 原式为，等价于到与的距离相等。点只能在二者之间；此时，得。 外加绝对值后，原来的负最小值变为正值，最大值可在两侧取得；最小值则变为，在等距点取得。 3．求的最大值及此时的值。这个式子有最小值吗？说明理由。 答案 最大值为，当且仅当时取得；没有最小值。 解析 当时，原式，等号仅在成立。 当时，原式。 当时，原式。故最大值为，且只在取得。 在这一段，原式等于。把继续减小，式子的值也继续减小，因而不存在最小值。 4．设为正整数。已知的最大值为，并且只有时能取得这个最大值。求的所有可能值，并说明理由。 答案 可以是任意不小于的整数。 解析 点到的距离，不超过它到的距离加上到的距离。因此。 所以原式。当时，右边不超过；若，则，原式严格小于。而时原式确为。 还须检查正整数。此时当时，原式，并非只有取等。 因此均符合题意，不符合。 5．求的最大值和最小值，以及各自取得时的全部取值范围。 答案 最大值为，在时取得；最小值为，在时取得。 解析 分界点为、、。 当时，原式。 当时，原式，随增大，从大于的值增大到。 当时，原式，其值在与之间。 当时，原式。 所以最大值为，只在取得；最小值为，在时取得。左右两端的常值不同，不能因总系数相抵就断定处处相同。 题型十五 多变量约束下的最值 1．已知。求、各自的取值范围，再求的最大值和最小值，并写出对应的、。 答案 ，。最大值为，在时取得；最小值为，在时取得。 解析 ，等号成立时；，等号成立时。 两组和至少为。题设恰好等于，所以两组必须同时达到各自的最小值；只要有一组大于其最小值，总和就会大于。 因此，得到，并可由同时达到。 同理，故，并可由达到。 2．已知。求的最大值和最小值，并写出对应的、。 答案 最大值为，在时取得；最小值为，在时取得。 解析 ，且。题设左边至少为。 已知等号成立，所以且。 要使最大，取的最大值、的最小值，得到。 要使最小，取，得到。两组取值都满足原等式。 3．已知。求的最大值和最小值，并写出对应的、。 答案 最大值为，在时取得；最小值为，在时取得。 解析 两个因子分别不小于和，且都为正数。若第一个因子大于，乘积就大于；若第二个因子大于，同样矛盾。 故两个因子分别为和，于是，。 由，得。因此最大值为，在时取得。 原式不小于，且同时符合两组范围，所以最小值为，此时。 4．已知。求的最大值和最小值，并写出对应的、、。 答案 最大值为，在时取得；最小值为，在时取得。 解析 三个因子分别不小于、、，均为正数，所以它们的乘积至少为。 题设又说明乘积不超过，故乘积只能等于。若任一因子大于对应下界，乘积就大于，所以三个因子都必须取到下界。 由此得到，，。 于是，在时达到；同时，在时达到。 5．已知。求的最大值和最小值，并分别给出一组取得最值的、。 答案 最大值为，例如；最小值为，例如。 解析 两组距离和的最小值之和是，题设为，因此不能断定两组各自达到最小值。 利用、、、，相加得到，所以。 取，原等式左边为，且，故最大值为。 再用每个绝对值不小于其内部式的相反数，得到，所以。 取，原等式左边为，且，故最小值为。 6．已知，且。求的最大值和最小值， 并写出对应的、。 答案 最大值为，在时取得；最小值为，在时取得。 解析 两个因子分别不小于和，乘积等于，所以两个因子必须分别等于和。由此，。 由，得。把代入：由得；由得。与原来范围合并，。 于是。当时，它等于，从减小到；当时，它等于，从大于的值增大到。 故最大值为，此时；最小值为，此时。两组均满足原乘积条件和。 题型十六 含绝对值的分式求值 1．分别在和两种情况下，求与的值。 当时，上述两个式子有意义吗？说明理由。 答案 时，和为、积为；时，和为、积为；时无意义。 解析 当时，，两个商都为，所以和为，积为。 当时，，两个商都为，所以和为，积为。 当时，分母与都为，除数不能为，故这些分式无意义。 2．已知均不为，且。求的值，以及的所有可能值，并分别举例说明。 答案 和为；差为或。 解析 由，知异号。 若，两个符号商依次为，和为，差为；例如。 若，两个符号商依次为，和为，差为；例如。 这两种情况包含所有可能，故和固定为，差却有两个可能值。 3．已知均不为，且。 （1）求的所有可能值。 （2）如果还知道，上述式子的值是否唯一？说明理由。 答案 （1）或；（2）唯一，为。 解析 三个非零数的乘积为正，负数的个数只能为或。 没有负数时，三个符号商都是，和为；有两个负数时，两个商为、另一个为，和为。 若再有，三个数不可能全为正，因此只能有两个负数，符号商的和必为。例如符合全部条件，说明这一情况可以实现。 4．已知均不为，且。能否断定？请列出所有可能的符号情况，并说明第三项为什么不能独立地任取或。 答案 不能。可能的符号为一正一负，或两个都负；所以可能为负，也可能为正。 解析 若都正，三个商均为，和为，不符合条件。 若异号，前两个商的和为，且，第三项为，总和为，符合条件。 若都负，前两个商都是，而，第三项为，总和仍为，也符合条件。 故不能断定。第三项的符号由前两个数的符号共同决定；例如两个数都负时， 第三项只能是，不能再任取。 5．已知均不为，且。求的所有可能值。 如果这个式子的值为，能否确定的正负？说明理由。 答案 可能值为或；若值为，则。 解析 由，有、、，所以原式。 三个数均非零且和为，不可能全正，也不可能全负。若两正一负，原式为；若一正两负，原式为。 两种情况都能实现：、、时值为；、、时值为。 若原式为，则恰有一个负数，所以。分母均已由题设保证非零。 6．已知均不为。求的最大值、最小值，并分别说明四个数中有几个负数。 如果原式等于，能否确定的正负？说明理由。 答案 最大值为，四个数全正；最小值为，有个或个负数。等于时，乘积可正可负。 解析 按负数个数分类，最后一项由乘积的符号决定。 负数有个：前四项和为，乘积项为，原式为。 负数有个：前四项和为，乘积项为，原式为；负数有个：前四项和为，乘积项为，原式也为。 负数有个：前四项和为，乘积项为，原式为；负数有个：前四项和为，乘积项为，原式也为。 因此最大值为，只在全正时取得；最小值为，在有个或个负数时取得。等于时可能有个或个负数，故不能确定乘积正负。 7．已知均不为，且。求的所有可能值，并各举一组说明这些值都能取得。 答案 所有可能值为和。例如、、时取；、、时取。 解析 由三个非零数的和为，三个数不可能同号，只能两正一负或一正两负。 两正一负时，三个两两乘积中一个为正、两个为负，因此前三项之和为；三数乘积为负，最后一项为，原式为。 一正两负时，三个两两乘积仍是一个正、两个负，前三项之和仍为；三数乘积为正， 最后一项为，原式为。 取、、，或、、，均满足非零与零和条件，分别得到或。所有分母都是非零数乘积的绝对值，均不为。 题型十七 数轴动点问题 1．如图，点、分别表示、。点从出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，到达时停止。设出发后经过秒（包括出发和到达时刻）。 （1）写出的取值范围，以及点表示的数。 （2）点到原点的距离何时为？求出全部符合条件的。 答案 （1），点表示。（2）或。 解析 从到的距离为，需要秒，所以。向右运动的位移为，点表示。 到原点的距离为。由，得到或，解得或。 两者都在内：时点表示，时表示，到原点的距离都为。 2．如图，点、分别表示、。点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，到达时立即停止。设出发后经过秒。 在从出发到停止的过程中（包括两端时刻），的最小值是多少？何时取得？这一过程中能否有？说明理由。 答案 最小值为，在全部运动时刻均取得；不能有。 解析 到达所需时间为秒。因此，点表示。 运动中始终在、之间，故。也可直接算得、，二者和为。 所以最小值为，整个过程中都取得，而不只是某一个时刻。因为距离和始终为，所以不可能等于；到达后点已停止，不能延长原运动式去寻找越过的时间。 3．如图，点、分别表示、。点从出发向右，速度为每秒个单位长度；点同时从出发向左，速度为每秒个单位长度。两点相遇后仍按原方向、原速度继续运动，设出发后经过秒，只研究的过程。 （1）两点何时相遇？ （2）两点之间的距离何时为？说明每个时刻是在相遇前还是相遇后。 答案 （1）。（2），在相遇前；，在相遇后。 解析 秒时，点表示，点表示。相遇时，所以。 两点距离为。由，得到或，故或。 两个时间都在内，并且，所以分别在相遇前和相遇后。相遇后距离仍非负，不能继续把直接当作两点距离。 4．如图，点、分别表示、。点从出发向右，速度为每秒个单位长度；点同时从出发向左，速度为每秒个单位长度。两点相遇后继续按原方向、原速度运动。设出发后经过秒，只研究。 当两点到原点的距离相等时，可能是多少？分别在什么时刻出现？请说明两点的位置关系。 答案 时，，两点关于原点对称；时，，两点相遇。 解析 两点分别表示与。到原点的距离相等，意味着它们表示的数相等或互为相反数。 若，解得。此时两点都表示，所以相遇，。 若，解得。此时点表示，点表示，所以关于原点对称，。 两个时刻都在规定范围内。到原点等距不一定相遇，必须保留“相等”与“互为相反数”两种情况。 5．如图，点、分别表示、。点从出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，到达后立即转向，以每秒个单位长度的速度返回，到达后停止。 设出发后经过秒，表示出发时刻。在整个往返过程中（包括出发和停止时刻），点到原点的距离何时为？求所有符合条件的。 答案 ，单位为秒。 解析 去程时间为秒，返程时间为秒，所以整个过程为。 当时，点表示。由，得或，都符合此阶段时间范围。 当时，返程已用秒，点表示。由，得或，都符合返程范围。 转向时，点表示，到原点距离为，不符合；出发与停止时点均在，也不符合。因此全部时间为秒。 6．如图，点、分别表示、。点从出发向右，速度为每秒个单位长度，到达后停止；点同时从出发向左，速度为每秒个单位长度，到达后停止。两点相遇时都不停留。设出发后经过秒。 从出发到点停止（包括两端时刻），两点何时相遇？又分别发生在什么时刻？ 答案 相遇时；时或。 解析 点到需秒，点到需秒，研究范围为。 当时，两点分别表示与，所以。相遇时，得。 这一阶段由，得或。后者超过秒，不属于此阶段，必须舍去。 当时，点已停止在，点仍表示，所以。此时两点不再相遇；给出，符合时间范围。 时，，不遗漏也不重复。因此相遇时，距离为时为或。 7．如图，点、分别表示、，为原点。点从出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，到达后立即按原速度返回，随后停止。点同时从出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，到达后停止。 设出发后经过秒，表示出发时刻。在内，求所有使成立的，并说明出发时刻是否符合条件。 答案 ，单位为秒。出发时刻符合条件。 解析 点在第秒到达，第秒回到；点在第秒到达并停止。 当时，点表示，点表示。故，。 若，则，方程给出；若，则，方程给出。两者都符合各自阶段。 当时，点表示，点表示，所以，。 若，方程为，得；若，方程为，不可能成立。 因此全部时间为秒。尤其时，点与原点重合，故，不能因这是出发时刻就舍去；此时也不能把点说成之间的中点。 ：与重合，。 ：表示，表示。 ：表示，已停止在。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $绝对值期中复习专题讲义教师详解版 绝对值期中复习专题讲义 2026一2027学年第一学期苏科版七年级数学上册 教师详解版 目录导航 知识梳理， .3 从数轴和相反数认识绝对值.… 3 绝对值的定义与去绝对值符号.. .3 绝对值的基本性质与相反数关系.… .4 已知绝对值求原数与比较大小...… ..5 含绝对值的数字运算.… 绝对值与乘除及和差的关系 …6 根据已知条件化简含字母的绝对值. .7 根据数轴位置判断式子的符号 .7 利用非负性确定各项的值.…。 .8 把绝对值看成两点之间的距离.… .9 单个绝对值的等式与范围. .9 必记结论与使用条件.… .11 零点分段化简多个绝对值 11 两点距离之和与相应等式.… .13 两点距离之差与相应等式.… .14 多个定点的距离和最小值.… .15 系数不同时的距离和最小值 ...16 含符号信息的分式… .18 逐层处理嵌套绝对值.… ..18 到两点等距与倍距的位置.… 19 多个式子同时达到下界 .20 数轴上动点的位置与距离.. .21 第1页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 题型导航 题型一绝对值的意义与直接求值… .23 题型二绝对值与大小比较.… .26 题型三已知绝对值求原数. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 …27 题型四由绝对值等式判断符号与范围.… .28 题型五利用非负性求值..… .30 题型大根据条件化简绝对值… .31 题型七零点分段化简… .33 题型八含绝对值的方程.… .35 题型九数轴上的等距与倍距问题.… .37 题型十两点距离和与距离差方程.… ...40 题型十一距离范围与整数点问题.… .43 题型十二限定范围内的最值问题. ...46 题型十三多点距离和的最小值..49 题型十四距离差及带系数距离差的最值.... .53 题型十五多变量约束下的最值.55 题型十大含绝对值的分式求值.… .57 题型十七数轴动点问题.59 第2页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 知识梳理 从数轴和相反数认识绝对值 本专题接着已经学过的正负数和数轴来复习。数轴上的位置既有方向，也有远近：正负号帮助我们 判断点在原点哪一侧，绝对值则表示它离原点有多远。先掌握概念和基本应用，再按学习情况阅读 零点分段及其后的综合与拓展。 相反数先看方向再看距离 在数轴上，表示3与-3的点位于原点两侧，到原点的距离都是3个单位长度。这两个数互为相反 数。一个数a的相反数是-a;0的相反数仍是0。 a与b互为相反数÷a+b=0 相反数不一定是负数。例如，-(-5)=5。符号-a表示“a的相反数”，只有知道a的符号，才能确定 -a的符号。 3 3 -4 -3 -2 3 图1相反数对应的两点关于原点对称 从位置转向距离 在数轴上，-3<3，但两点离原点一样远。因此“数的大小”和“离原点的距离大小”不是一回事。写 -3引=3，就是把-3所对应的距离记录下来。 绝对值的定义与去绝对值符号 几何定义 一般地，数轴上表示数x的点与原点的距离，叫作数x的绝对值，记作x。距离不能是负数，可 以是0。因此绝对值的结果是非负数，不是“一定为正数”。 按正负号写成代数形式 X, X>0, X= 0,x=0, x,X<0. 正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数。也可以把前两种情况合起来 写成：当x≥0时，x=x;当X<0时，x=-x。 第3页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 去掉的是符号保留的是数值 例如-7引=-7=7.101=0，层=号逼到一个式子，也要先判断绝对值符号里面整个式子的正 负，而不是只看最前面的符号。 la-bl= a-b,a≥b, b-a,a<b. 例如，已知a<2,则a-2<0,所以1a-2=-a-2)=2-a。负号作用于整个括号，不能只改变第一项 的符号。 “把负号去掉”只适合解释一个已经确定为负数的数值，不能当作通用法则。|α=a要有a≥0； |a=-a要有a≤0。 绝对值的基本性质与相反数关系 非负性和等号条件 1a≥0，|a=0a=0 a≥a, |a≥-a 第一处等号a=a在a≥0时成立；第二处等号a=-a在a≤0时成立。特别注意：由|a=-a不 能直接说a<0,因为a=0也符合。 相反数的绝对值相等 I-al=al,llall=lal,a=a2 相反数对应的两点到原点距离相等，所以-a=。又因为a已经非负，再取绝对值不变。最后 一个等式可分别用a≥0和a<0验证：两种情况平方后都得到α。 绝对值相等不一定互为相反数 a=|ba=b或a=-b 理由是：到原点距离相等的两个点，要么重合，要么关于原点对称。例如|4=4，两个数相等； 4=-4,两个数互为相反数。若共同距离为0，只能有a=b=0,此时两种说法都成立。 例：已知|a=|b|且a≠b,能否判断a+b?由绝对值相等可得a=b或a=-b;排除第一种后，只剩 a=-b,所以a+b=0。若没有a≠b,就不能直接得出这个结论。 区分相反数与绝对值外的负号 -a是a的相反数，正负不确定；|a与-a相等，均非负；-a是a的相反数，因此不大于0。 下面用负数、零、正数分别检验。 第4页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 a -a a 1-a a 3 3 3 3 -3 0 0 0 0 0 3 -3 3 3 -3 例如-a不是-a。只有a=0时两者相等；当a≠0时，前者为正，后者为负。 已知绝对值求原数与比较大小 先判断给出的距离能否成立 无解， a<0, x =a: X=0, a=0, x=a或x=-a,a>0. 例如，子则x弓或x= ,两数互为相反数，不要漏掉负数。x=-2没有符合条件的数； |x=0只有一个解，不能说有“正零和负零”两个解。 比较数的大小与比较绝对值的大小 数轴上右边的数大于左边的数。正数大于0,0大于负数；两个负数比较大小时，绝对值大的反而 小。例如-81>-3引，但-8<-3。 7=21>20= 8 6 2424 3 8 B 0 C ◆ 十 -9-8-7-6 -5-4-3-2-1012 3 4 图2点越靠右数越大点离原点越远绝对值越大 绝对值大小不能单独决定原数大小 由a>b不能单独推出a>b。例如a=-5,b=2时，|a>b,但a<b。只有结合符号，才能判 断：若α，b都是正数，直接比较绝对值；若都为负数，大小顺序相反；若异号，则先比较正负。 第5页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 含绝对值的数字运算 先算符号内再按运算顺序计算 绝对值符号起到类似括号的作用。先计算符号内的值并判断正负，求出绝对值；再按先乘方、后乘 除、最后加减的顺序运算。同一级运算从左到右，有括号先算括号。 例1：计算先算培二个笔对值内的和：子宁京因比 13.111111 24224244 这里不能直接变成子方 31 因为绝对值作用于两项相加后的整体。 分清符号外的负号和乘方范围 例2：计算--32+(--22+1-4÷（-3)。各绝对值分别为3,2,3，所以 --3+(--212+1-4÷(-3)=-32+(-22+3÷(-3)=-9+4-1=-6 --3是-(3)=-9；(--22是(-2=4。括号不同，乘方的对象就不同。解题时应保留必要括 号，明确每个负号与乘方所作用的范围。 结果检查 单个绝对值的结果不能为负，但含绝对值的整个式子可以为负。例如2|-5=-3。若出现除法，还 要检查除数是否为0；绝对值并不会消除“不能除以0”这一限制。 绝对值与乘除及和差的关系 乘积与商可以分别取绝对值 lab =al bl a-lal bbl b≠0)】 乘法的依据是符号法则：a,b同号时乘积为正，异号时乘积为负；无论哪种情况，乘积的绝对值都 等于两数绝对值的积。有一个数为0时，两边同为0。商的结论同理，但必须先有b≠0，这也保证 1b≠0。 例如1(-×4=×4=6，(-6)(-星川=6÷是=8。这些性质适用于乘除，不能照搬到加减。 和的绝对值不大于绝对值的和 |a+b|≤a+|b 若Q,b同号或其中至少一个为0，和的绝对值等于两个绝对值之和，等号成立。若a,b异号且都不 为0，相加后要用较大的绝对值减去较小的绝对值，结果小于两者之和。因此等号成立的条件是 ab≥0。 把上式中的b换成-b,得到|a-b|≤|a+|b;这里等号成立的条件变成ab≤0。例：|-3+5|=2<8， 而-3-5|=8=|-31+15l。 第6页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 差的绝对值还存在一个下界 la-|bll≤a-b≤a+|b1 左边不等式可以用已经说明的“和的绝对值来理解：|a=a-b)+b≤|a-b+bL,所以 |a-b≤a-bl;交换a,b后又有b-a≤a-b。这两个差中较大的一个正是‖a-|bll,于是得到左 边不等式。 左边等号在ab≥0时成立，右边等号在ab≤0时成立。用数轴检查：两点在原点同侧时，点间距离 等于到原点距离之差的绝对值；在原点两侧时，点间距离等于两段距离之和。含0的情况也包括在 条件内。 这一节后半部分用于理解和估计，不必脱离条件机械背诵。遇到具体数字，直接求值往往更简洁。 根据已知条件化简含字母的绝对值 判断每个绝对值内部整体的符号 字母不代表“正数”。a可以为正、为负，也可以为0；~Q也不一定为负。化简前，应先把题设翻译 成绝对值内部各式的正负。 例1：已知a<0<b,化简|a-b|+a-b。由条件知a=-a,Ib=b,且a-b<0,所以 |a-lb+|a-b|=-a-b-(a-b)=-2a 在这一条件下，a+b却可能为正、为负或为0：分别取a=-1,b=3,a=-3,b=1,a=-2,b=2即可 看出。因此不能顺便断定|a+b|应怎样去符号。 比较关系常能直接确定差的符号 例2：已知a<b,不论a,b本身的正负怎样，都有a-b<0,所以|a-b|=b-a。求差的符号时，大 小关系比单独研究两个数的符号更直接。 条件不够就分类或保留绝对值 例3：已知-1<a<2,化简a+1+a-1。a+1>0已确定，但a-1的符号不确定，要以a=1为 界。 a+1+a-1 (a+1)+(1-a)=2,-1<a≤1， (a+1)+(a-1)=2a,1<a<2. 当a=1时原式为2，所以端点放在第一段是正确的；若放在第二段并写成1≤a<2,也会得到同样 的值，但不能漏掉这个端点。 根据数轴位置判断式子的符号 先读顺序再读距离 从数轴图中先读出各点从左到右的顺序，从而得到大小关系。涉及和的符号时，还要看异号两数离 原点谁更远。只有示意位置、没有刻度或明确距离条件的图，不应凭视觉长度猜测数量关系。 第7页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 b 3 图3已知刻度范围可以确定和与差的符号 图中的Q,b只表示各自在所给范围中的一个位置，并没有指定它们的具体值。 例：图中给出-3<a<-2,0<b<1,化简a+b1-a-b+|b-1l。由a<-2,b<1,得a+b<-1<0;由 a<0<b,得a-b<0;又有b-1<0。所以 |a+b-|a-b+|b-1=-(a+b)-(b-a)+(1-b)=1-3b 注意第二项原来还有一个减号：-a-b|=-(b-α)。去绝对值符号后，先保留括号，再去括号合并，能 减少符号错误。 已知绝对值大小时判断异号数之和 若a<0<b且a>bl,负数“离原点更远”，所以a+b<0;若|a<b,则a+b>0;若两者绝对值 相等，则a+b=0。这三种情形不能只凭a<0<b合并成一种。 利用非负性确定各项的值 若干非负数的和为零则每项都为零 因为每一项都不小于0，只要其中一项大于0，总和就会大于0。所以当非负数的和为0时，每一 项必须同时为0。常见非负式有绝对值和平方。 a+|b=0÷a=0且b=0 例1：若x+2+(b-3)2=0,则x+2=0且b-3=0,得到x=-2,b=3。代回原式， 两项确实都是0。 等式变形后必须仍然是非负项之和 例2：若a-1+|b+2+5=5,先减去两边的5，得到a-1+b+2=0,从而a=1,b=-2。 但由|a-|b|=0,只能得到a=|b1,不能断定a=b=0,因为这里是两个非负数的差。由a+|b=4 也不能要求每项为0，因为右边不是0。 正系数不改变这个结论 若2a+3b=0,两项仍非负，且系数都为正，所以a=b=0。若系数为0，对应项不能提供限制； 若系数为负，就要重新判断，不能直接套用结论。 非负性还可判断“不可能”。例如x-1+2=0无解，因为左边至少为2。又如a-2=-b+1,左边非 负、右边非正，只能同为0，所以a=2,b=-1。 第8页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 把绝对值看成两点之间的距离 两点距离等于所表示的两数之差的绝对值 设数轴上点A,B所表示的数分别是a,b,两点距离为AB=|a-b|=|b-al。若已经知道a≤b,就可 直接写成AB=b-a;若顺序未知，必须保留绝对值。 把表示数x的动点记为P,表示数a的定点记为A,则|x-a=PA。例如|x+3=|x-(-3川表示点 P到表示数-3的点的距离，不是到3的距离。 Ix+3引 A 0 Q -3 0 图4绝对值表示动点到定点的距离 图中点P的位置仅作示意，x可以改变；并不是一个已经指定的数。 有系数时先提出绝对值中的系数 lox-bI-lalx- (a≠0) 因为ax-b=ax, b 再用乘积的绝对值性质即可。右边是点P到表示数二的点的距离的a倍。 a 若a=0,原式是常数b,不能除以a。 12x-31=2x- 2x+1 2 x+2 第二个式子表示“到-2的距离的一半”，不是直接表示到-1的距离。|-3x+6=3|x-2也说明：提 出的是系数的绝对值，外面的倍数不能为负。 先统一成距离再分析 例：12x-3引=4等价于21x引=4，即点P到号的距离为2。因此x号2= 5或x=亏+2s7 2。代 入原式，两值都得到4。 单个绝对值的等式与范围 距离等于给定值 无解， b<0, x-al=b: X=4, b=0, x=a-b或x=a+b,b>0. 第9页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 当b>0时，从表示数a的点向左、向右各走b个单位长度，得到两个点；当b=0时，两个点合为 一个。这个结论来自距离，不要求事先学过一般的含绝对值方程。 距离不超过给定值 若b>0,|x-a<b表示点P在a-b与a+b之间，不含两端点；x-a≤b则包含两端点。 x-a<b=a-b<x<a+b (b>0) |x-a≤ba-b≤x≤a+b(b≥0) 3 3 A -3 2 -1 0 3 6 -2≤X≤4 图5到1的距离不超过3的所有点 例如，1x-1≤3对应-2≤x≤4；若只求整数x,则为-2，-1,0,1,2,3,4，共7个。若改为严格小于， 则两端点删去，共5个整数。 距离至少达到给定值 |x-a>b÷x<a-b或x>a+b(b≥0) |x-a≥b=x≤a-b或x≥a+b(b>0) A C B -5-4-3-2-1 0 2 X<-2 X>4 图6到1的距离大于3的所有点 零和负数作距离界限时单独检查 当b=0时，|x-a<0无解，x-a≤0只有x=a;|x-a>0表示x≠a,|x-a≥0对所有允许的x都 成立。当b<0时，|x-a<b与|x-a≤b均无解，而x-a>b与|x-a≥b对所有允许的x都成 立。 第10页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 范围题最后要检查题目是否另有整数、正数或指定区间等限制。先找到数轴上的范围，再在该范围 内选取符合额外条件的数。 一个距离的最小与最大问题 因为x-a≥0，所以c+|x-a≥c,其最小值为c,在x=a时取得；c-x-a≤c,其最大值为c,也 在x=a时取得。若X没有范围限制，前者没有最大值，后者没有最小值，因为点可以离a越来越 远。 若限制了x的范围，应改看允许位置中哪个点离a最近、哪个点最远。例：当-1≤x≤4时， 5-x-2|在x=2时最大，最大值为5；两个端点到2的距离分别为3和2，最远处是x=-1,所以 最小值为5-3=2。 若中心不在允许范围内，离中心最近的允许位置决定距离的最小值。例如3≤x≤6时，]x-1在 x=3取最小值2，在x=6取最大值5。如果把条件改成3<x≤6，距离可以无限接近2却不能等于 2,于是没有能取到的最小值；最大值仍为5。 必记结论与使用条件 使用条件 结论 任意数a |al≥0；|a=0当且仅当a=0 a≥0或a≤0 a≥0时|a=a;a≤0时|a=-a 任意数a l-al=lal,llall=lal,lap=a2 任意数a,b |a=|b|当且仅当a=b或a=-b 任意数a,b labl=lallbl b≠0 号 各项非负且和为0 |a+|b=0当且仅当a=b=0 点A,B分别表示a,b AB=|a-b;若a≤b,则AB=b-a b>0 |x-a=b当且仅当x=a-b或x=a+b b≥0 |x-a≤b当且仅当a-b≤x≤a+b 表中条件也是结论的一部分。使用前先对照条件；涉及零、负数距离界限或其他取值限制时，回到 相应小节判断。 零点分段化简多个绝对值 从本节起为综合与拓展内容。重点不是背分段后的结果，而是弄清：为什么在某个位置前后，绝对 值内部式子的符号会改变。 第11页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 用零点把数轴分成若干段 当x变化时，x-a的符号在x=a两侧发生改变；这个使式子为0的数叫作该式子的零点。先找出 每个绝对值内部式子的零点，再从小到大排列；同一段内，每个内部式子的符号都能确定。重复的 零点只需列一次。 例：分段化简|x+2+x-3+2x-2。三个零点是-2,3,1，按大小排列为-2,1,3，所以分为四段。注 意2x-2=2(x-1),它与x-1同号。 A B 十 -4 -3 -2 -1 0 2 3 5 X<-2 -2≤X<1 1≤X<3 X≥3 图7零点依次为负213共分成四段 逐段判断并保留外层运算符号 当x<-2时，三个内部式子都为负，原式为-(x+2)-(x-3)-(2x-2)=3-4x。 当-2≤x<1时，三个内部式子依次为非负、负、负，原式为(x+2)-(x-3)-(2x-2)=7-2x。 当1≤x<3时，三个内部式子依次为正、负、非负，原式为(x+2)-(x-3)+(2x-2)=3+2x。 当x≥3时，三个内部式子都非负，原式为(x+2)+(x-3)+(2x-2)=4x-3。 3-4x,x<-2, x+2+x-31+12x-21=7:2x,-2≤x<1, 3+2x,1≤x<3, 4X-3,X≥3. 每段算完都要检验端点 代入原式：x=-2,1,3时，分别得到11,5,9。相邻两段的表达式在公共分界处也分别得到相同的值， 因此端点没有矛盾。写分段结果时，可以把零点归入左段或右段，但必须把所有情况覆盖，且不能 给同一点写出互相矛盾的结果。 若用分段结果解等式，还要检查每段算出的候选数是否属于该段；不属于该段的数必须舍去。最后 回到原式验证。分段不是把各段条件丢掉，只留下几个算式。 第12页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 一段范围内何时保持定值 在同一段内去掉绝对值符号后，如果含x的项全部抵消，就得到与x无关的常数。例如在-1<x<2 内，Cx+1+x-2=C(x+1)+(2-x)=(c-1)x+c+2。若要求这一整段内任取x,结果都相同，就必 须有c=1,此时定值为3。 也可以只选这段内的x=0和x=1作必要检查：所得c+2与2c+1必须相等，因此c=1;再代回 整段表达式确认处处等于3。这里只取两个值帮助找条件，最后的整段验证不能省略。若题目只允 许一个x值，任何式子都只有一个对应结果，不能据此要求含x的项抵消。 两点距离之和与相应等式 先假设两定点不同并排好顺序 设a<b,点A,B所表示的数分别为a,b,点P表示数x。|x-a+|x-b|就是PA+PB。用d=b-a 表示两定点的距离，此时d>0。 当P在A,B之间或与其中一个点重合时，PA+PB=AB=d;当P在左侧时，多走了两次PA;当 P在右侧时，多走了两次PB。因此 a+b-2x,x<a, x-a+x-bl=b-a, a≤x≤b, 2x-a-b,x>b. |x-a+|x-b|≥b-a（a<b) 等号当且仅当a≤x≤b。所以最小值是b-a,达到最小值的不是只有中点，而是两端点之间的所有允 许位置，包括端点。若X可以任意向外移动，距离和可以不断增大，没有最大值。 AB=6 PA=3 PB=3 A ◇ 十十 -5-4-3-2 -1 0 1 3 4 5 这一整段都满足PA+PB=6 图8两定点之间的距离和保持为6 解距离和等式先与两定点距离比较 对于x-a+|x-b|=c,在a<b的条件下分三种情况： 若c<d,无解，因为距离和不可能小于AB。若c=d,所有满足a≤x≤b的数都是解。若c>d,只 能在两定点外侧各有一个解。 x=a+b-c或x=-a+b+c 2 (c>b-a,a<b】 2 第13页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 这两个数确实分别在左、右侧：由c>b-a,得Q+b-C<a,且a+b+C>b。不能把只适用于外侧的 2 2 两个表达式拿来处理c=d,否则会漏掉中间所有点。 例：对|x+2+|x-4|=c,两定点距离是6。当c=5时无解；当c=6时，所有-2≤x≤4的数都是 解：当c=10时，X=2+4-10=-4或X=2+4+10=6。检验：两处距离和分别为2+8=10和 2 2 8+2=10。 两定点重合时另作检查 若a=b,原式为2|x-a。等式2x-a=c在c<0时无解，在c=0时只有x=a,在c>0时有 X=a气或X=a+兮两个解。此时不能再说达到最小值的位置是一段不同的点。 两点距离之差与相应等式 两个距离的差与这个差的绝对值不同 仍设a<b,令d=b-a>0。x-a-x-b=PA-PB是两个非负距离的差，可以为负、为0或为正； 川x-a-x-b川才是这个差的绝对值，二者不能混用。 a-b=-d,x≤a, x-al-|x-b|=(2x-a-b,a<x<b, b-a=d,x≥b. 在左侧，PB=PA+AB,所以差恒为-d;在右侧，PA=PB+AB,所以差恒为d;在中间，分别写出 PA=x-a、PB=b-x,相减得到2x-a-b。故这个差最小为-d,最大为d。 A B -4 -2 0 2 b PA-PB=-6 -0 PA-PB=2x-2 PA-PB=6 图9左侧的距离差为负6右侧为6 解距离差等式 对|x-a-x-b=c,在a<b时：若c<-d或c>d,无解；若c=-d,解为所有x≤a;若c=d,解 为所有x≥b;若-d<c<d,只有一个解，且在两定点之间。 x=Q+b+c 2 (-d<c<d) 第14页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 例：1x+2-x-41=2中，d=6,且-6<2<6，所以X=2+4+2=2。代入得4-2=2。 2 若右边换成6，解不是只有x=4,而是所有x≥4；若换成-6，则所有x≤-2都是解。 外面再有一个绝对值时 对1x-ax-b=c,仍假设a<b:当c<0或c>d时无解：当c=0时只有中点x=a+也， 2；当 0<c<d时，要分别令距离差等于c和-c,得到两个解x=O+b+c 2 或x=Q+b-c 2；当c=d时，解 为所有X≤a或x≥b。 两定点重合时 若α=b,距离差与差的绝对值都恒为0：右边为0时，所有允许的x都符合；右边不为0时，无 解。若原题没有规定α，b的顺序，可先交换点名排好顺序，但交换距离差的两项会改变符号，必须 同时改写等式。 多个定点的距离和最小值 两端配对得到下界 本节讨论每个距离前的系数都为1的情形。先按所表示的数从小到大排列定点，再把最左与最右、 次左与次右依次配成一对。每一对的距离和，至少等于这一对定点之间的距离。能让所有配对同时 达到下界的位置，才是整个距离和最小的位置。 三个点时中间的点给出最小值 设a≤b≤c。由|x-a+|x-c≥c-a,且x-b1≥0，可得 x-a+x-b+x-c zc-a 取x=b,第一组达到c-Q,第二项等于0，所以最小值为c-Q,且只有x=b时取得。定点重合也 不会破坏这个结论。 例：x+4+x-1+x-5的三个定点依次是-4,1,5。配对两端得|x+4+x-5≥9，中间一项至少为 0;取x=1,原式为5+0+4=9，所以最小值是9，此时x=1。 AC=q B -5-4-3-2-10123456 图10三点距离和在中间定点处最小 第15页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 四个点时中间两点之间都是最小位置 设a≤b≤c≤d。外侧配对与内侧配对分别给出|x-a+|x-d≥d-a、|x-b+|x-C≥c-b。两处同时取 等号，要求a≤x≤d且b≤x≤c,合起来就是b≤x≤c。 x-a+x-b+x-c+x-d z(d-a)+(c-b) 例：定点为-5，-1,2,7时，距离和最小值为(7-(-5)+(2-(-1)=12+3=15，所有-1≤x≤2都能取 得。若中间两个点重合，这一段就缩为一个点。 12 3 -10 2 7 所有-1≤x≤2均取最小值15 图11四点距离和在中间两点之间最小 推广到更多点 奇数个定点时，配对后还剩最中间一个点；在这个中间定点处，所有配对及剩余的一个距离同时达 到最小。偶数个定点时，没有剩余点；中间两个定点之间的整段都能使所有配对达到最小。这就是 等权距离和中“选中间位置”的依据，不应脱离等权条件使用。 题目限制位置时先看最小位置是否允许 以上四点的例子中，若要求x为整数，最小值仍为15，在x=-1,0,1,2时取得。 若改为要求3≤x≤5，原来的最小区间已不能到达。在此范围内原式为 (x+5)+(x+1)+(x-2)+(7-x)=2x+11,所以最小值为17，在x=3时取得；最大值为21，在x=5 时取得。 受限范围的端点还必须看是否包含。例如同一例若要求x>2且x可取分数，距离和始终大于15， 却可以通过取越来越接近2的数，使其越来越接近15，因此没有能取到的最小值。若同时要求x 为整数，最靠近的允许位置是3，最小值则为17。 系数不同时的距离和最小值 这一节属于选学拓展。每个距离前的正系数表示这一段距离要计算多少份。份数不同，最小位置可 能改变，不能直接把所有不同定点排好后选中间。 两个定点时比较两边的系数 设a<b,且c>0,d>0,研究cx-a+dx-b。若c>d,把较大的系数拆开： clx-al+d x-b|=d(x-a+x-b)+(c-d)x-al 第16页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 前一部分至少为d(b-a),后一部分非负；只有x=a时，后一部分为0且前一部分也达到下界。所 以最小值是d(b-a),在系数较大的那一端x=a处取得。 同理，若c<d,最小值是c(b-a),只在x=b时取得；若c=d,退回等权情形， 最小值是c(b-a),所有a≤x≤b都可以取得。若a=b,则原式为(c+d川x-a,最小值为0，只在 x=a处取得。 这里要求系数为正。若某个系数为0，只剩另一个距离；若出现负系数，原式已不是本节讨论的“正 系数距离和”，必须重新分析。 先把绝对值内的系数提出来 例：求2x+6+x-4的最小值。先写成2x+3+x-4,两个定点为-3,4，距离为7。进一步分 组： 2|x+3+|x-4|=(1x+3+|x-4)+|x+3|≥7 取x=-3时，原式为0+7=7，所以最小值是7，只在x=-3时取得。如果只对两个不同定点使用 “中间整段”结论，就会忽略多算的一份x+3。 AB=7 0 -3-2 -1012 3 P与A重合时2PA+PB=7 图12较大的系数使最小位置落在负3处 正整数份数可以把定点重复列出 例如2|x+3|+|x-1+|x-4|相当于到-3,3,1,4四个定点的距离和。重复的-3不能删去。按两端配 对，最小值为(4-(-3)+(1-(-3)=7+4=11，在所有-3≤x≤1的位置取得。 若系数是正分数，可以先把整个式子乘一个适当的正整数，使份数变成正整数，求出结果后再除回 来。例如2x+3+2x-1乘2后，是到-3,11,1的距离和，最小值为4，只在x=1取得：所以 原式最小值为2。分组说明已经足够时，不必为了套形式列出大量重复点。 有距离被减去时改用分段判断 若式子是2x+1-x-3,第二项被减去，不能使用“两个正系数距离之和”的结论。先找零点-1,3， 逐段去符号： -x-5,x<-1, 2|x+1-|x-3|=3x-1,-1≤x≤3， x+5,x>3. 第17页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 在第一段，x<-1使-x-5>-4;在中段，x≥-1使3x-1≥-4，等号只在x=-1成立；在第三段， x>3使x+5>8。所以整个式子的最小值是-4，只在=-1取得。代回原式得0-4=-4。 当X向左或向右走得足够远时，这个例子的值都可以不断增大，因此没有最大值。若给定了有限范 围，就只保留与这个范围重合的各段，再比较分界点和允许端点；若端点不允许取得，还要检查相 应最值能否真正达到。 含符号信息的分式 这一节属于选学拓展。先看分式有没有意义，再看分子、分母的符号。字母出现在分母中，就必须 排除使分母为0的情况。 一个非零数与其绝对值的比只有两种值 a_al_1, a>0, （a≠0 1ala-1,a<0, 当a>0时，|a=a,比值为1；当a<0时，a=-a,比值为-1。两种比值在这里恰好相等，不表 示分子分母可以随意交换。Q=0时，两式都没有意义，不能说值为0。 不同项的正负可能互相制约 例：在a0.620时求品治瑞 的可能值。前两项决定了α，b的正负，第三项的符号由乘 积法则确定，不能再独立任取正负。 若a>0,b>0,三项是1,1,1，和为3。若a>0,b<0,三项是1，-1，-1，和为-1。若a<0,b>0,三 项是-1,1，-1，和为-1。若a<0,b<0,三项是-1，-1,1，和仍为-1。所以可能值只有3和-1。 例如不能随意把三项同时取为-1：前两项为-1表示a,b都为负，此时ab>0,第三项必须为1。 同样，由于a,b非零，ab也非零，第三个分母才有意义。 连乘项依旧由已有符号决定 a bc abc 在a,bc都非零时，日+而+1abc可按负数的个数分类：没有负数时为4：恰有一个负数时 为0；恰有两个负数时为0；三个都为负数时为-4。因此可能值是4,0，-4。 若题目另给乘积为正、和为负等条件，还要剔除不满足这些条件的符号组合。把每项都看成互不相 关的正负1，会制造并不存在的取值。 逐层处理嵌套绝对值 数值运算从最内层开始 嵌套绝对值中，内层的结果是外层所处理的数。例：川-4-7=4-7=-3=3。若外面另有负号，则 -‖-4-7=-3；外面的负号不能跟着绝对值符号一起消失。 字母式先用内层结果的已知范围 因为a≥0，所以川a=a,川a+2=|a+2。但a-2的符号不确定：当a≥2时非负，当a<2 时为负。因此 1a-21=la-2,1a≥2， 2-la,la<2. 第18页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 若还要彻底去掉内层绝对值，就要再结合a的正负分类。并非每道题都需要写出最细的分段；应根 据要求决定是否继续。 解嵌套等式由外向内分支并检查非负条件 例：解川x-3=2。先把|x-3看作外层绝对值内的整体，得到|x|-3=2或x-3=-2,于是x=5 或x=1。两种右边都非负，所以 x=5,-5,1,-1 代回验证：|x=5时外层为5-3=2；|x=1时外层为1-3=2，四个解都成立。若右边改为4，就 会得到|x=7或|x=-1,后一种不可能，所以只剩x=7或x=-7。不能认为每多一层绝对值，解 的个数就一定加倍。 十十十十 十十 -65-4-3-2-101234 5 6 图13两层绝对值等式的四个解 回到定义检查每一步 绝对值题无论形式怎样变化，都应检查四件事：绝对值内的符号是否确实已知；涉及除法时分母是 否非零；分类是否覆盖端点及特殊情形；算出的数是否满足原题所有条件。遇到陌生形式，先回到 距离或正负分类，不要先寻找没有条件的口诀。 到两点等距与倍距的位置 两定点不同等距点只有一个 设点A,B分别表示a,b,且a<b。若|x-a=|x-bl,点P到两点距离相等，它只能位于两点之间 的正中间。因为在两点外侧，两段距离总相差b-Q>0,不可能相等；在两点之间，两段相等距离的 和为b-。,所以每段都是2巴。因比 x=a+b-a-a+b 22 例如，到-4与2的距离相等的点表示4)三-1。若Q=b,两定点本来就重合 对任何允许的x,两段距离都相等，此时不能说只有一个等距点。 倍距关系要同时检查内侧与外侧 例：点A,B分别表示-4,2，求满足PA=2PB的点P所表示的数。两定点距离为6。 第19页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 当P在两点之间时，PA+PB=6。由于PA=2PB,三份PB共为6，所以PB=2,点P在B左 边，表示的数为2-2=0。 当P在B右侧时，PA-PB=6。由PA=2PB得PB=6,所以点P表示2+6=8。当P在A左侧 时，PA<PB,不可能满足PA=2PB,所以没有解。 x=0或X=8 检验：x=0时，PA=4,PB=2;X=8时，PA=12,PB=6。两个解都满足倍距关系。只找中间的一点 会漏解；直接由|x+4|=2x-2|写成x+4=2(x-2),也会漏掉内部式子异号的情况。 P B 另一解 0 4 6 图14倍距关系在两点之间和外侧各有一解 一般正倍率的内外位置 两定点不同、a<b且c>0时，PA=cPB在两点之间总有一个位置：PA+PB=b-a,所以 (c+1)PB=b-a,两段距离都为正。 若c>1,另一位置在B的右侧，此时PA-PB=b-a,故(c-1)PB=b-a;若0<c<1,另一位置在 A的左侧，此时PB-PA=b-a,故(1-c)PB=b-a。两个系数分别为正，所以对应距离都可以取 得。若c=1,两点外侧的距离差仍是非零的b-a,不存在外侧解。 倍率为1或0时不能照搬两解结论 若写成PA=cPB,讨论倍距位置时应先说明c>O。当c=1且两定点不同时，就是等距问题，只有 一个中间点。若另外考虑c=0,则A=0,只能是P与A重合。两定点不同而C<0时，没有解， 因为非负的PA不能等于负数与正距离PB的乘积，PB=0时也会使PA=AB>0。 若两定点重合，PA=PB,则c=1时每个允许位置都符合；c≠1时只能有PA=PB=0,即点P与定 点重合。因此题设中“定点是否重合”和“倍率是否为1”都需要先检查。 多个式子同时达到下界 先分别找到下界再检查能否同时取得 若a≥c且b≥d,则a+b≥c+d。等号成立当且仅当a=c且b=d,因为(a-c)+(b-d)=0是两个 非负数的和为零。求和的最小值时，不仅要写出下界，还必须找到使各项同时达到下界的允许取 值。 第20页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 例：求x+1+|x-3+a-2+a-5|的最小值。前两项至少为4，在-1≤x≤3时取得；后两项至少 为3，在2≤a≤5时取得。x,a可以分别选择，因此这些条件能同时满足。总和最小为7，取到时恰 有-1≤x≤3且2≤a≤5。 如果题目另有x=a等联系条件，就要把这些条件一起检查。本例加上x=a后，2≤x=a≤3仍然能 同时满足两组条件，因此最小值仍为7。不能仅看到有两个下界，就省略能否同时取得的检查。 已知达到下界后继续求范围 反过来，若题目给出上例的距离总和等于7，就能确定-1≤X≤3且2≤a≤5。再求x-a的范围：最 小时取允许的最小x=-1与最大a=5,得-6；最大时取x=3,a=2,得1。这两组数都符合总和为 7的原条件，所以最小值-6与最大值1都能取得。 正因子的乘积达到下界也要求每个因子达到下界 若a≥c>0,b2d>0,则ab≥cd。只要a>c或b>d,因子均为正就会使乘积严格大于cd,所以等 号成立当且仅当a=c且b=d。这里两个下界都为正是关键条件。 例：(|x+1+2)川a-3|+1)的两个因子分别至少为2和1，所以乘积至少为2。取x=-1,a=3时两 个因子同时取到下界，故最小值为2，且只有这组取值能达到。 零下界和同一变量都要额外检查 若某个下界为0，乘积等于下界不一定要求另一因子也达到下界。例如a≥0，b≥2时，取 a=0,b=100,仍有ab=0,却没有b=2。 若把前例的两个变量改为同一个变量，成为(|x+1+2)川x-3|+1),则要让两个因子同时达到2 和1，就必须同时有x=-1与x=3,这不可能。因此“乘积至少为2”虽然正确，却不能据此把2写 成能取到的最小值。下界与最小值的区别，就在于是否有允许取值能达到它。 数轴上动点的位置与距离 先写点表示的数再写两点距离 数轴向右为正方向。一个点从表示数Q的位置出发，向右每秒移动b个单位长度，经过t秒后表示 的数为a+bt;若向左移动，则为a-bt。这里速度的大小b≥0，时间t≥0。方向通过加减号体现， 不能把“走过的路程”直接当成“点所表示的数”。 相遇前后两点的顺序会改变 例：点A从-6出发向右每秒移动2个单位长度，点B同时从6出发向左每秒移动1个单位长 度，两点相遇后继续按原方向移动。经过t秒，点A表示-6+2t,点B表示6-t,因此 AB=(-6+2t)-(6-t)川=|3t-12(t≥0) 相遇时AB=0,所以3t-12=0,得到t=4;相遇点表示-6+2×4=2，同时也有6-4=2。在相遇前 0≤t<4,两点距离为12-3t;相遇后t>4,距离为3t-12。 第21页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 B向左走4 A向右走8 A起点 相遇位置 B起点 -6 -4 -2 0 2 6 相遇所用时间4秒 图15两点从负6与6出发在表示2的点处相遇 给定距离可能对应相遇前后两个时刻 在这个例子中，若要求两点相距3个单位长度，则|3t-12=3,所以3t-12=3或3t-12=-3,得到 t=5或t=3。两者都满足t≥0，分别对应相遇后与相遇前。检验：t=3时两点表示0,3；t=5时两 点表示4,1，距离均为3。若题目限定“相遇之前”，就只能取t=3。 经过定点不一定是相遇时刻 同一例中，点A经过原点时有-6+2t=0,所以t=3;点B经过原点时有6-t=0,所以t=6。两 点分别经过原点的时刻不同，也都不同于相遇时刻t=4。涉及到定点的距离时，应分别写成 -6+2t|和16-t|。 转向后按转向位置重新计时 若一个点从-2出发，向右每秒移动3个单位长度，运动2秒后立即调头，仍以每秒3个单位长度 向左运动，则转向位置表示-2+3×2=4。从出发起计时，它表示的数为 -2+3t, 0≤t≤2， 4-3(t-2),t>2. 第二段用t-2表示调头后已经走的时间，不能直接写成4-3t。两段在t=2时都给出4，衔接正 确。若问从出发到t=3共走了多远，路程为3×3=9；此时点表示1，到起点-2的距离为3。路程 与两点距离不是同一个量。 动点题的检查顺序是：方向与速度是否对应，时间范围是否符合，是否已经相遇或转向，所求的是 位置、路程还是距离。若有停留、不同出发时刻或运动结束条件，应先分清各段时间，再写对应的 位置式。 第22页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 题型一绝对值的意义与直接求值 先分清数的位置和它到原点的距离，再处理绝对值符号内外的正负号。计算嵌套式时由内向外进行。 1.下列说法中，正确的是（)。 A.任何有理数a都满足a>0 B.任何有理数a都满足-a=a C.任何有理数a都满足-a<0 D.--3|=3 答案B 解析相反数到原点的距离相等，所以对任意有理数a,都有a=|a。 A错误，例如a=0时a=0；C错误，a=-1时-a=1>0;D错误，-|-3|=-3。 2.直接写出下列各式的值。 (1)1-2.75|=； (2) 4 (3)1-（-5)川= (4)‖-4-61= 答案(1)2.75；(2)-7；(3)5；(4)2。 解析(1)负数的绝对值是它的相反数。 44 2)先求7，再保留外面的负号。 (3)-（-5)=5,所以绝对值是5。 (4)先算|-4=4，再算|4-6=|-2|=2。 第23页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 3.数轴上，点A表示-3，点B表示2，点O为原点。 (1)分别写出A、B到原点的距离，并用绝对值等式表示。 (2)在图中标出A、B关于原点的对称点C、D,写出它们表示的数。 (3)比较A与C的位置和它们到原点的距离，说明相反数与绝对值有什么不同。 A 0 十 -4 -3 -2 -1 0 1 答案(1)OA=3,OB=2,-3=3,|2=2。 (2)C表示3，D表示-2。 (③)相反数表示关于原点对称的位置，绝对值表示到原点的距离。 解析（1)从-3到0相隔3个单位长度，从2到0相隔2个单位长度。 (2)对称点分别在原点另一侧，且与原点距离不变，所以C表示3，D表示-2。 (3)A在原点左侧，C在原点右侧，两点位置不同，但OA=OC=3;数的符号表示方向，绝对值不 表示方向。 D B 十 -4 -3 -2 -1 4.计算：--5+|2-7-‖-3-4|。 答案-1。 解析先算绝对值符号内的式子：-51=5，|2-7=|-5=5，‖-3-4=|3-4=1。 原式=-5+5-1=-1。 第24页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 5.小明计算：2-5=|2-15=2-5=-3。 (1)指出第一处错误，并写出正确计算。 (2)分别求2-5和2-51，说明绝对值能否直接分配到减法的每一项上。 答案（1)第一步等号错误，12-5|=|-3=3。 (2)两式分别为3与-3，不能这样拆开绝对值。 解析（1)绝对值的结果不能为负数。应先算符号内的减法：2-5=-3，再求|-3=3。 (2)2-5引=2-5=-3，与2-51=3不同。这个反例说明a-b=a-b不是恒等式。 第25页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 题型二绝对值与大小比较 先看比较的是原数还是绝对值。两个负数比较大小时，绝对值大的反而小；数轴上位置靠右与离原点较远不是 同一件事。 1.将-名.-1，名按从小到大的顺序排列： 答案名<-1君 解析三个数分别是名1、吾。因为 1 -1<0<后所以原顺序如答案。 2.比较与子的大小，并比较它们绝对值的大小。写出理由。 7 答案音且 解折号1-是品1子#所以前者的绝对值大。 两个负数中，绝对值大的反而小，所以吾<五 3.已知a<0<b,且a>b。用“<”将a、-a、b、-b、0连接起来，并说明理由。 答案a<-b<0<b<-a。 解析由a<0<b,得-a>0、-b<0。 由a>|b,得-a>b,即b<-a;它们的相反数满足a<-b。 因此a<-b<0<b<-a。 4.数轴上，点A在点B的左边，分别表示a、b。 (1)若两点都在原点右边，比较a与b。 (2)若两点都在原点左边，比较a与b。 (3)若两点分居原点两侧，仅凭“A在B左边”能否判断a与b的大小？举例说明。 答案(1)1a<bl;(2)1a>b1;(3)不能。 解析（1)0<a<b,所以a=a<b=|b。 (2)a<b<0,离原点较远的是A,所以a>b。 (3)不能。例如a=-1,b=2时a<bl;a=-3,b=2时la>|b;a=-2,b=2时还可能相等。 5.已知a<-1,比较a-1与a+1的大小，并求较大的一个比较小的一个大多少。 答案a-1>a+1,大2。 解析由a<-1,得a-1<0,a+1<0。因此a-1=1-a,a+1=-a-1。 两者之差为(1-a)-(-a-1)=2>0。所以a-1>a+1,且大2。 第26页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 题型三已知绝对值求原数 先列出绝对值对应的全部候选，再用题目条件逐一筛选。多个字母不要同时只取正数；求得候选后还要回看条 件。 1.已知a=4。若a<1,则a=;若a>1,则a= 答案-4；4。 解析|a=4给出a=4或a=-4。其中小于1的是-4，大于1的是4。 2.已知a=4,Ib=7,且a+b>0。求a-b的所有可能值，并列出对应的a、b。 答案a-b=-3或-11；分别对应a=4,b=7与a=-4,b=7。 解析a=4或-4，b=7或-7。 当b=-7时，即使a=4也有a+b=-3<0,不符合条件；所以b=7。 当a=4,b=7时，a-b=-3;当a=-4,b=7时，a-b=-11。两组的和都大于0。 3.已知a=5,|b1=2,且ab<0。 (1)求a-2b的所有可能值。 (2)a-2b是否为定值？说明理由。 答案（1)9或-9；(2)是，定值为9。 解析ab<0说明a、b异号，只有a=5,b=-2与a=-5,b=2两种情况。 第-种a-2b=5-2×(-2)=9;第二种a-2b=-5-2×2=-9。 两种结果互为相反数，绝对值都为9，所以a-2b=9。 4.已知a=2,b=4,c=6,且a<b<c。求a+b+c的所有可能值。 答案8或12。 解析a=±2，b=±4，c=±6。 若b=-4,则无论a=2还是-2都不能满足a<b,故b=4。再由b<℃，得c=6。 a可以是-2或2，分别得到a+b+c=8或12。两组均满足大小顺序。 5.已知a=3,1b|=5。 (1)不重复地写出a+b的所有可能值。 (2)是否可能有a+b=4?说明理由。 (3)当|a+b|=2时，a、b的符号有什么关系？ 答案(1)8、2、-2、-8；(2)不可能；(3)异号。 解析由a=±3、b=±5，四组和依次为3+5=8、-3+5=2、3-5=-2、-3-5=-8。 因此a+b|只能为8或2，不可能为4。 和的绝对值为2时，组合为a=-3,b=5或a=3,b=-5,所以两数异号。 第27页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 题型四由绝对值等式判断符号与范围 把绝对值等式与定义对应起来，明确得到的是大于、非负、负数还是非正。多个条件要同时满足，特别注意零 能否取到。 1.填写a的范围。 (1)若a=-a,则 (2)若1a>a,则 答案(1)a≤0；(2)a<0。 解析(1)负数和0都满足a=-a,所以a≤0。 (2）a≥0时la=a,不满足严格大于；a<0时a=-a>a,所以a<0。 2.（1)若|x-2=x-2,求x的范围。 (2)2x+1=-2x-1,求x的范围。 (3)是否存在同时满足以上两个等式的X?说明理由。 答案(1)x22:(2)x≤2 (3)不存在。 解析(1)由x-2=x-2,得x-2≥0，即x≥2。 (2)右边-2x-1=-(2x+1),l2x+1=-(2x+1,得2x+1s0,即x≤ (3)没有数既不小于2又不大于2所以不存在公共解。 3.已知a≠0，a+a=0,且ab=-ab。判断a、b的符号或范围，并说明b能否等于0。 答案a<0,b≥0；b可以等于0。 解析a+a=0等价于a=-a,所以a≤0；又a≠0，故a<0。 ab=-ab说明ab≤0。负数a与b相乘非正，故b≥0。 当b=0时，αb=0,等式仍成立，所以不能把结论写成b>0。 4.已知a<0,且a+b=a+|bl。求b的范围，并说明b=0是否符合条件。 答案b≤0，b=0符合条件。 解析若b>0,则a、b异号且均不为0，异号相加会抵消一部分距离，因此a+b<a+b,不符合条 件。 若b≤0，则a+b<0,a+b=-a-b,且a+b=-a-b,等式成立。 所以b≤0；特别地，b=0时两边均为a。 5.已知x-1+x+2=2x+1。求x的范围，并写出满足条件的最小整数。 答案x≥1；最小整数是1。 解析把右边写成(x-1)+(x+2),移项得(1x-1-(x-1)+(x+2|-(x+2)=0。 根据绝对值不小于原数，括号中的两项都非负，因此两项都为0，即x-1≥0且x+2≥0。 两个条件同时满足时x≥1。反过来，当x≥1时原等式成立，所以范围为x≥1，最小整数为1。 第28页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 6.已知a-b=a-b,|b-c=c-b。 (1)写出a与b、b与c的大小关系。 (2)能否据此判断a之c?若不能，请分别举出a>c与a<c的例子。 答案(1)a≥b,b≤c;(2)不能。 解析（1)第一个等式说明a-b≥0，所以a≥b;第二个等式的右边为-(b-c),说明b-c≤0，所以 b≤c。 (2)这些条件只说明b不大于另外两个数，没有确定a、c的顺序。 例如a=3,b=1,c=2时a>c;a=2,b=1,c=3时a<c。两组均满足原等式。 第29页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 题型五利用非负性求值 几个非负数的和为零，每一项都必须为零。先核对每项是否非负，再检查求出的条件能否同时成立。 1.已知2|a+1+31b-4=0,求a+b和a-b1。 答案a+b=3,|a-b=5。 解析两项2|a+11、3b-4都非负，它们的和为0，所以a+1=0,1b-4=0。 得a=-1,b=4。因此a+b=3,1a-bl=|-51=5。 2.已知x+2+(y-1)2=0,求|x-y川+|x+yl。 答案4。 解析绝对值与平方都非负，所以x+2=0且(y-12=0。 解得x=-2,y=1。 |x-y+|x+y=|-3+-1=3+1=4。 3.已知a-2|+|2b+6≤0，求a-b。 答案5。 解析左边两项均非负，所以它们的和不小于0；题设又要求不大于0，故只能等于0。 于是a-2=0,2b+6=0,得a=2、b=-3。 因此a-b=2-(-3)=5。 4.是否存在有理数x,使x-1+x-4=0?请说明理由。 答案不存在。 解析若等式成立，两项非负且和为0，必须同时有x-1=0和x-4=0。 这要求x同时等于1和4，不可能。因此不存在满足条件的x。 5.(1)已知a-2|+|b+1=-la+b-11,求a、b。 (2)若把等式右边改成-a+bL,还存在符合条件的a、b吗？说明理由。 答案(1)a=2,b=-1;(2)不存在。 解析(1)左边非负、右边非正；要相等，两边只能都为0。于是a=2、b=-1,并且a+b-1=0,代 回成立。 (2)同理仍须a=2、b=-1,同时还要a+b=0;但此时a+b=1,矛盾，所以不存在。 第30页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 题型六根据条件化简绝对值 将条件转化为每个绝对值内式的符号，写出去绝对值后的括号，再合并。仅有数轴左右顺序时，未必能判断两 个异号数的和。 1.已知a<0<b,化简|a+|-b|-a-bl。 答案0。 解析由a<0<b,得a-b<0,且-b<0。所以a=-a、-b1=b、|a-b|=-(a-b)。 原式=-a+b+(a-b)=0。 2.已知-2≤x≤3。 (1)化简x+2-2x-3引。 (2)分别求x=-2、x=3时原式的值。 答案(1)3x-4;(2)分别为-10、5。 解析由范围得x+2≥0、x-3≤0，所以原式=(x+2)-2(3-x)=3x-4。 x=-2时，原式=0-2×5=-10,3x-4=-10；x=3时，原式=5-0=5,3x-4=5。两个端点都符合。 3.已知a<b<0<c,且a>c,化简|a+c-a-b|+2bl。 答案-3b-c。 解析由a<0且a>c,得-a>c,即a+c<0。又a-b<0、b<0。 所以原式=-(a+c)-(b-a)+2(-b)。 去括号并合并得-a-c-b+a-2b=-3b-c。 4.有理数a、b、c在数轴上的位置如图，且a<b。 (1)判断a+b、a-c、b-c的符号。 (2）化简la+b-a-c|+|b-c。 6 0 答案(1)a+b>0,a-c<0,b-c<0;(2)2a。 解析图中给出a<0<b<c,由|a<b得-a<b,所以a+b>0。由左右顺序直接得到a-c<0、b-c<0。 原式=(a+b)-(c-a)+(c-b=2a。 第31页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 5.已知-1≤x≤1，化简x-2-3|+x+1。 答案2X+2。 解析因为x≤1，所以x-2<0,|x-2=2-x。 外层绝对值内为(2-x)-3=-x-1。由x≥-1，得-x-1≤0，所以x-2-3=x+1。 又x+1≥0，故原式=(x+1)+(x+1)=2x+2。 6.已知a=-a,1b=b,且a+b<0,化简|2a-b-a+b1+|b1。 答案-a+3b。 解析由两个绝对值等式得a≤0、b≥0，所以2a-b≤0；题设又给出a+b<0。 因此原式=-(2a-b)-(-(a+b)+b。 去括号得-2a+b+a+b+b=-a+3b。 第32页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 题型七零点分段化简 先找出每个绝对值内式为零时X的值，按从小到大的顺序分段。每段分别判号，外面的减号和系数要保留； 最后检查分界点。 1.化简|x+1|-|x-5。 答案当x<-1时为-6；当-1≤x<5时为2x-4;当x≥5时为6。 解析内式x+1、x-5分别在x=-1、x=5时为零。 当x<-1时，两内式都为负，原式=-(x+1)-[-(x-5)]=-6。 当-1≤x<5时，原式=(x+1)-[-(x-5)]=2x-4。 当x≥5时，原式=(x+1)-(x-5)=6。 在x=-1处，原式为0-6=-6，且2(-1)-4=-6；在x=5处，原式为6-0=6，且2×5-4=6，边界 均相符。 分界点 分界点 十 十 十→ -3-2-101 23 567 2.化简|2x+1+x-2|。能否对任意有理数x,直接把两个绝对值内的式子相加？说明理由。 答案当x<时为3x+1:当号≤x<2时为x+3:当x22时为3x-1。 解折由2x+1=0得零点之：由X-2=0得零点2。 当X<时.原式=-(2x+1-X-2=-3x+1, 当x<2时，原式=2x+1小-(x-2=x+3。 当x≥2时，原式=(2x+1)+(x-2)=3x-1。 只有两个内式都非负时，才可以直接相加。本题这要求x≥2；在其他范围内必须先按符号变号。两 5 个边界代入相邻表达式，分别都得2、5。 3.化简3x-1|-2x+2|。 答案当x<-2时为7-x;当-2≤x<1时为-5x-1;当x≥1时为x-7。 解析分界点为-2、1。 当x<-2时，原式=3(1-x)-2(-x-2)=7-x。 第33页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 当-2≤x<1时，原式=3(1-x)-2(x+2)=-5x-1。 当x≥1时，原式=3(x-1)-2(x+2)=x-7。 检验：x=-2时相邻两式均为9；x=1时相邻两式均为-6。外部的-2必须乘整个括号，不能只改 变其中一项的符号。 4.化简x+2|-2|x-1+|x-4。当x≤-2或x≥4时，原式的值有什么共同特点？说明理由。 答案四段依次为0、2x+4、8-2x、0;当x≤-2或x≥4时，原式都为0。 解析三个不同分界点为-2、1、4。 当x<-2时，原式=(-x-2)-2(1-x)+(4-x)=0。 当-2≤x<1时，原式=(x+2)-2(1-x)+(4-x)=2x+4。 当1≤x<4时，原式=(x+2)-2(x-1)+(4-x)=8-2x。 当x≥4时，原式=(x+2)-2(x-1)+(x-4)=0。 在-2、1、4处，相邻式分别同为0、6、0。所以连同端点，x≤-2或x≥4时原式都为零；这来自 各项相互抵消，不是每个绝对值都为零。 5.化简1川x-1-2。 答案当x<-1时为-x-1；当-1≤x<1时为x+1;当1≤x<3时为3-x;当x≥3时为x-3。 解析当x<1时，|x-1=1-x,原式为-x-1|。其中x<-1时-x-1>0,结果为-x-1;-1≤x<1 时-x-1≤0，结果为x+1。 当x≥1时，|x-1|=x-1,原式为x-3。其中1≤x<3时结果为3-x;x≥3时结果为x-3。 因此需要保留-1、1、3三个分界点，不能只找最内层的零点1。在三个分界点代入原式， 分别为0、2、0，与相邻分段相符。 6.化简x-2x-2+|x+1,并写出原式恒为常数的最大连续范围及该常数。这里的范围必须含有不 止一个数。 答案当x<-1时为2x-3;当-1≤x<1时为4x-1;当x≥1时为3。所求最大连续范围是x≥1， 常数为3。 解析分界点为-1、1。 当x<-1时，原式=x-(2-2x)+(-x-1)=2x-3。 当-1≤x<1时，原式=x-(2-2x)+(x+1)=4x-1。 当x≥1时，原式=x-(2x-2)+(x+1)=3。 前两段中，x改变时2x-3、4x-1都随之改变，不能在包含不止一个数的连续范围内保持不变；第 三段恒为3。且x=1时第二段也得3，所以最大范围为x≥1。 第34页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 题型八含绝对值的方程 先检查等号右边能否作为绝对值的值，再选择分类方法。嵌套方程宜由外向内解；按范围求出的候选值，必须 检查是否属于该范围。 1.解下列方程： (1)13x-2=4;(2)-21x+1=3。 答案(0)-2或×=子 (2）无解。 解析（①3x-2=4或3x-2=-4,分别得X=2、X三。代回时，内式分别为4、-4，绝对值者 是4。 (2)因为x+1川20，所以-2x+1≤0不可能等于正数3。也可化为x+1=多由绝对值非负 直接判断无解。 2.解方程x-2=x+4。 答案X=-1。 解析因左边非负，必须有x+4≥0，即x≥-4。 当x≥2时，方程为X-2=x+4,不成立。 当-4≤x<2时，方程为2-X=x+4,得到x=-1,属于该范围。 代回原方程，左边=|-3|=3，右边=-1+4=3，所以唯一解为x=-1。 3.解方程2x+1=|x-5。 答案X=-6或x-系。 解析两个数的绝对值相等，它们可以相等，也可以互为相反数。 第一种情况：2x+1=x-5,得x=-6。第二种情况：2x+1=-(x-5),得3X=4,即x=30 代回检验：X=-6时.两内式都为-1：×专时。丙内式分刷为号、号 绝对值相等。 只保留内式相等，会漏掉互为相反数产生的解。 4.解方程2x-1+x+2=6。 答案X=名或x 解析分界点为-2、 当x<-2时.方程为-2x+1)+x-2=6,即-3x1-6,得×=了符合本段范围。 当2≤×<时，方程为~2x+1)+(x+2)=6,得x=-3,不在本段内，舍去。 第35页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 当X号时，方程为2x,1)+(x+2=6,得X符合本段范国。 检验：X了时两项为号子：X号时两项为子号两次和都为6。 5.解方程x+1-3=2。 答案x=-6,-2,0,4。 解析先去外层绝对值：x+1-3=2或|x+1-3=-2,所以|x+1川=5或x+1=1。 当x+1=5时，x+1=5或x+1=-5,得x=4或x=-6。 当x+1=1时，x+1=1或x+1=-1,得x=0或x=-2。 这四个数互不相同，内层绝对值分别为5或1，减去3后为2或-2，外层绝对值均为2。 6.解方程x-x-2=2。此方程是否只有有限个解？请说明理由。 答案x=0或x≥2，有无穷多个解。 解析当x≥2时，|x-2=x-2,左边=x-(x-2)川=2，所以所有x≥2都满足方程。 当x<2时，|x-2=2-x,方程成为|2x-2=2。于是2x-2=2或2x-2=-2,候选值为x=2或 x=0。其中2不属于本段，0属于本段。 综上，解为x=0或x≥2。x=0时左边为|0-2=2；在x≥2上恒成立，所以不是只有有限个解。 7.【拓展】已知a为有理数。若方程川x-2|-a=1恰有三个不同的解，求a的值，并求这三个 解。 答案a=1,三个解为x=0,2,4。 解析由外层绝对值，得x-2=a+1或x-2=a-1。这两个右端相差2，因而若均有解，两组解不 会重复。 若a<-1,两右端都负，无解；若a=-1,只有x-2=0,有一个解；若-1<a<1,只有a+1>0的 一支有解，共两个解。 若a=1,两支分别为x-2=2和x-2=0,前者给x=0,4,后者给x=2,共三个不同的解。 若a>1,两右端均正，各给两个解，且两组不重复，共四个解。因此恰有三个解时只能a=1。代入 三个数，原方程左边均为1。 第36页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 题型九数轴上的等距与倍距问题 先把绝对值写成点与点之间的距离。倍距问题要区分点在线段内部和外部；若题目没有限定位置，就不能只画 中间一种情况。 1.如图，数轴上点A、B表示的数分别为-4、2。点P表示数X,且PA=PB。求X,并说明满足 条件的点P是否唯一。 A 十 -5 2 、7 0 3 答案X=-1,满足条件的点P唯一。 解析PA=|x+4,PB=x-2L,故等式为x+4=|x-2。 AB=2-（-4)=6。两距离相等时，P位于A、B中间，PA=PB=3,所以x=-4+3=-1。 若P在A左侧，则PB=PA+6;若P在B右侧，则PA=PB+6,两种情况下都不等。端点A、 B处也不等。故只有上述中间点。代回得两距离均为3。 2.数轴上点A、B表示的数分别为-6、3，点P表示数x。 (1)若P在线段AB上，且2PA=PB,求x;(2)若取消“P在线段AB上”的限制，是否还有 其他满足2PA=PB的点？求出所有可能的X。 -6 -4 -2 0 2 4 答案（1)x=-3;(2)还有x=-15,全部为x=-15或x=-3。 解析（1)AB=9。在线段上，PA+PB=9,而PB=2PA,所以3PA=9,PA=3,X=-6+3=-3。 (2)若P在A左侧，则PB=PA+9。结合PB=2PA得PA=9,所以x=-6-9=-15。 若P在B右侧，则PA=PB+9>PB,不可能满足2PA=PB。两个端点也都不满足。 检验：x=-3时PA=3,PB=6;x=-15时PA=9,PB=18。故取消位置限制后，全部解是-15、 -3。 第37页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 3.如图，数轴上点A、B表示的数分别为-2、7。求所有满足PA=2PB的点P所表示的数，并 分别计算相应的PA、PB。 A -2 0 2 6 8 答案x=4时，PA=6,PB=3;x=16时，PA=18,PB=9。 解析AB=9。若P在A、B之间，PA+PB=9且PA=2PB,所以PB=3,PA=6,x=-2+6=4。 若P在B右侧，则PA=PB+9。结合PA=2PB得PB=9,X=7+9=16,PA=18。 若P在A左侧，则PB=PA+9>PA,不可能满足PA=2PB。端点均不满足。 因此只有x=4或x=16。计算得到的距离分别为(6,3)、(18,9)，都满足前者是后者的2倍。 4.数轴上点A、B、C表示的数分别为-5、3、7。点P表示数x。 (1)分别求满足PA=PB、满足PB=PC时的x;(2)是否存在一个点P,使PA=PB=PC？说 明理由。 B 十 6 -4 -2 0 4 8 答案（1)分别为x=-1、x=5;(2)不存在。 解析当PA=PB时，P是A、B的中间点，X=53=-1,当PB=PC时，P是B、C的中间 2 点，x=37=5。 2 若PA=PB=PC,同一点既须表示-1又须表示5，不可能。也可检验：x=-1时三距离为4,4,8， 第三个距离不相等。 第38页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 5.已知a、b为有理数。 (1)若a=-3,且方程x-a=x-b只有一个解x=2,求b;（2)若改为a=b=2,这个方程还 有唯一解吗？说明理由。 答案(1)b=7；(2)没有唯一解，任意有理数x都是解。 解析（1)若b=a=-3,等式两边完全相同，每个x都成立，不符合“只有一个解”，所以a≠b。 不同两定点的等距点在中间。因-3到2的距离为5，另一端点在2右侧5个单位处，故b=7。此 时X=2确使两边均为5，且中间点唯一。 (2)a=b=2时，原方程变为|x-2=x-2|,对任意有理数x都成立，故有无穷多个解。不能在两 定点重合时仍说等距点唯一。 6.【拓展】数轴上点A表示-3，点P表示1，点B表示b。已知b>-3且PA=2PB。 (1)求b的所有可能值；(2)对每一个可能的b,再求所有满足CA=2CB的点C 所表示的数X。 ◆ -4 -2 -1 0 1 2 答案(1)b=-1或b=3:(2)b=-1时，X=号或x=1:b=3时，X=1或X=9。 解析（1)PA=|1-(-3川=4，所以PB=2,即1-b=2,得b=-1或b=3,两者均大于-3。 ②)若6=1，则8=2.C在两点之间时，C8导故X=1号号C在B右侧时 CA-CB=2且CA=2CB,得CB=2,X=1。在A左侧不可能。 若b=3,则AB=6。C在两点之间时，CB=2,故x=3-2=1;C在B右侧时，CB=6,故x=9。 在A左侧不可能。 四组坐标分别给距离对（兮，号引、(4,2、(42、(12,6，均满足CA=2CB。 第39页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 题型十两点距离和与距离差方程 先比较给定距离和与两定点之间的距离，再判断有无解。对于距离差，必须按题目顺序相减；“两个距离之差” 与“两个距离之差的绝对值”不是同一回事。 1.如图，数轴上点A、B分别表示-3、5，点P表示数x。 (1)若PA+PB=8,写出X的全部取值范围；(2)若PA+PB=6,是否存在这样的点P？说明理 由。 AB -4 -3 -2 答案(1)-3≤x≤5；(2)不存在。 解析AB=5-(-3)=8。P在线段AB上时，PA+PB=AB=8,端点也包括在内。 P在A左侧时，PA+PB=AB+2PA>8;在B右侧时，PA+PB=AB+2PB>8。 因此距离和等于8的全部范围为-3≤x≤5；距离和不可能小于8，故等于6时没有这样的点。 2.数轴上点A、B分别表示-4、2，点P表示数x。若PA+PB=10,求x的所有可能值。 A ◇ 十 十 -6 -4 -2 0 2 4 答案x=-6或x=4。 解析AB=6。因为10>6，点P不能在线段AB上，必须在外侧。 若P在A左侧，PA+PB=AB+2PA=10,所以PA=2,X=-4-2=-6。 若P在B右侧，PA+PB=AB+2PB=10,所以PB=2,x=2+2=4。 检验：x=-6时两距离为2,8；x=4时两距离为8,2，和都为10。两种外侧位置均已考虑，故没有其 他解。 第40页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 3.【拓展】已知a为有理数。讨论方程|x+1+|x-4=a在什么情况下无解、有无穷多个解或恰有 两个解；有解时写出全部解或取值范围。 答案a<5时无解：Q=5时-1≤x≤4；Q>5时x=)或x=3十Q 2。 解析两定点为-1、4，相距5。距离和至少为5，所以a<5时无解。 a=5时，点在线段两端点之间，全部解为-1≤x≤4，有无穷多个有理数解。 0>5时，点在外侧。左侧短距离为2。所以左侧解X=15=3 221 右侧解x=4+a-5=3+a 22。 因为α>5，第一解严格小于-1，第二解严格大于4，满足各自范围且不同。外侧距离和分别为 5+2×Q-5 2 =a,故恰有两解。 4.解方程x+3-x-5|=2。 答案X=2。 解析当x≤-3时，|x+3-x-5|=(-x-3)-(5-x)=-8,不等于2。 当-3<x<5时，左边=(x+3)-(5-x)=2X-2。由2x-2=2得x=2,符合本段范围。 当x≥5时，左边=(x+3)-(x-5)=8,不等于2。 所以只有x=2。代回得5引-|-3=5-3=2。若擅自对距离差再取绝对值，还会保留差为-2的位置， 改变了原方程。 5.数轴上点A、B分别表示-2、4，点P表示数x。分别求满足下列条件的所有x: (1）PA-PB=-6;(2）PA-PB=0;(3)PA-PB=6;(4)PA-PB=7。 y 6 -4 -3 -2 答案(1)x≤-2；(2)x=1；(3)x≥4；(4)无解。 解析PA-PB=|x+2-|x-4。 若x≤-2，差为(-x-2)-(4-x)=-6;若-2<x<4,差为(x+2)-(4-x)=2x-2,严格介于-6与6 之间；若x≥4，差为(x+2)-(x-4)=6。 因此：(1)恰在x≤-2时成立；(2)中段满足2x-2=0,得x=1;(3)恰在x≥4时成立； (4)差不可能达到7，无解。 端点检验：在A处差为0-6=-6，在B处差为6-0=6，两侧范围都包含相应端点。 第41页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 6.比较下列两个方程的解，并说明解的个数为什么不同： (1)x+2-x-4=4;(2)川x+2-x-4=4。 答案（1)x=3;(2)x=-1或x=3。 解析记两个距离按原顺序相减所得的差。x≤-2时差为-6，x≥4时差为6，故这两个外侧范围均 不符合两问。 在-2<x<4内，差为(x+2)-(4-x)=2x-2。 (1)要求差为4，故2x-2=4,得x=3,在中段内。 (2)要求差的绝对值为4，故差可以是4或-4。分别由2x-2=4、2x-2=-4得x=3、x=-1,均 在中段内。 检验：x=3时两距离为5,1，差为4；x=-1时两距离为1,5，差为-4。第二问同时接受这两种差， 第一问只接受正的4。 7.【拓展】数轴上点A、B分别表示-3、5。判断是否存在点P,分别满足下列两组条件；若存 在，求它表示的数X,若不存在，说明理由。 (1)PA+PB=12,且PA-PB=8;(2)PA+PB=12,且PA-PB=4。 十 十→ -6 2 8 答案（1)存在，x=7;(2)不存在。 解析AB=8。由两问共有的条件PA+PB=12>8,P必须在两定点外侧，外侧短距离为12,8=2。 2 因此只可能x=-3-2=-5或x=5+2=7。 当x=-5时，PA=2,PB=10,差为-8；当x=7时，PA=10,PB=2,差为8。 (1)只有x=7同时满足两条件；(2)两个候选的差都不是4，故不存在。不能只把两组数值条件 分别求出距离，就忽略这些距离是否能在给定数轴上同时实现。 第42页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 题型十一距离范围与整数点问题 把“不超过”“小于”“至少”等词翻译成数轴上的远近范围，先确定所有可行位置，再筛选整数。特别检查两端是 否包括在内。 1.分别写出满足下列条件的x的范围，并列出其中所有整数： (1)1x-1<3;(2）|x-1≤3。 距此点 十 -3 -2 -1 0 1 2 5 答案（1)-2<x<4,整数为-1,0,1,2,3；(2)-2≤x≤4，整数为-2，-1,0,1,2,3,4。 解析x-1表示点x到点1的距离。距1恰为3的两个位置是1-3=-2、1+3=4。 (1)距离严格小于3，只能位于两位置之间且不含端点，所以-2<x<4,整数为-1,0,1,2,3。 (2)距离不超过3，两端也符合，所以-2≤x≤4，整数为-2，-1,0,1,2,3,4。两问相差的正是端点整 数-2、4。 2.整数x满足-7<x<5,且它所表示的点到表示-2的点的距离至少为4。求所有这样的整数，并 求它们的和。 答案x=-6,2,3,4,和为3。 解析到-2的距离至少为4，表示点位于-2-4=-6的左侧或该点处，或者位于-2+4=2的右侧或 该点处，即x≤-6或x≥2。 还必须满足-7<x<5。左侧只留下整数-6；右侧留下2,3,4。 所以全部整数为-6,2,3,4，和为-6+2+3+4=3。-7、5被严格范围排除，-6、2因“至少”而保留。 第43页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 3.点P表示有理数x。它到表示-1的点的距离不超过4，同时到表示3的点的距离小于3。 (1)用两个含绝对值的式子表示条件；(2)求x的取值范围；(3)列出符合条件的全部整数。 A S 十 -6 4 答案x+1≤4,1x-3<3;0<x≤3；整数为1,2,3。 解析(1)两个条件分别是x+1≤4、|x-3<3。 (2)第一个条件表示-5≤x≤3；第二个条件表示0<x<6。两条件必须同时满足，因此取数轴上重 合的部分，得到0<x≤3。 (3)其中的整数为1,2,3.0到3的距离恰为3，不符合“小于”；3到-1的距离为4，符合“不超 过”，所以左右端点处理不同。 4.求满足|x+5+x-1≤6的所有整数x,并求这些整数的和。 A 6 -6 -5 -3 -2 -1 0 2 答案整数为-5，-4，-3，-2，-1,0,1，和为-14。 解析|x+5+|x-1|是点x到-5、1两点的距离和，两定点相距6，所以距离和至少为6。 题目又要求距离和不超过6，故只能恰为6，点x必须在线段两端点之间，包含端点， 即-5≤x≤1。 符合条件的整数是-5，-4，-3，-2，-1,0,1，共7个，和为(-5+1)+(-4+0)+(-3-1)+(-2)=-14。 第44页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 5.求满足x+3+x-2|<9的所有有理数x的范围，并求其中整数的个数与和。 A B 十十十十十十十十+十十十→ -6-5-4-3-2-1012345 答案-5<x<4；其中整数有8个，为-4，-3，-2，-1,0,1,2,3，和为-4。 解析两定点为-3、2，相距5。点在线段上时距离和为5<9，所以整段都符合。 点在左侧时，距离和为5加上到左端点距离的2倍。要小于9，这段外侧距离须小于2，所以左侧 允许到-5右边，但不含-5。 同理，右侧外伸距离须小于2，所以可以到4左边，但不含4。合并得-5<x<4。 其中整数为-4，-3，-2，-1,0,1,2,3，共8个；相反数配对后剩-4，所以和为-4。在x=-5、x=4处 距离和都为9，应排除。 6.数轴上点A、B分别表示-4、2。点P表示数X,满足PA≤PB,且|x-1<4。求X的取值范 围，并列出其中所有整数。 B 十十十 十十◆ 十十今 -5-4-3-2 -1 0 12 3 4 5 6 答案-3<x≤-1；整数为-2，-1。 解析A、B的中间点表示4)2三1，点在这个中间点的左侧时离A较近，在中间点处两距离相 等，在右侧时离B较近。因此PA≤PB等价于x≤-1。 |x-1<4表示点到1的距离小于4，所以-3<x<5。 取两条件共同的部分，得到-3<x≤-1，其中整数为-2，~1。 端点检验：x=-3时x-1=4,不符合；x=-1时PA=PB=3且|x-1=2<4,符合。 第45页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 题型十二限定范围内的最值问题 先看题目允许X取哪些数，再判断绝对值内式能否为零。求最大值或最小值，必须同时写出取得该值时X的 所有可能值。 1.已知-2≤x≤4。求|x-1的最小值和最大值，并分别写出取到这些值时的x。 中心 十 -3 -2 0 1 2 5 允许范围 答案最小值为0，在x=1时取得；最大值为3，在x=-2或x=4时取得。 解析x-1|是点x到1的距离。允许范围包含1，所以最近可以距离为0，且只能在x=1时取 得。 范围两端~2、4到1的距离分别为3、3；其余允许位置到1的距离都不超过3。故最大值为3， 在x=-2或x=4时取得。 不能只写一个最大值取等点，因为本题两端到中心等距。 2.已知2≤x≤5。 (1)求|x+1的最小值和最大值；(2)求7-2x+1的最大值和最小值。 两问都要写明对应的X。 答案（1)最小值3，x=2;最大值6，x=5。(2)最大值1，x=2;最小值-5，x=5。 解析（1)允许范围完全在-1的右侧，点x到-1最近时为左端2，最远时为右端5。所以|x+1 的最小值为3，最大值为6，分别在x=2,5取得。 (2)从7中减去2x+1,减去的数越小，结果越大。因此最大值为7-2×3=1，在x=2取得；最 小值为7-2×6=-5，在x=5取得。 x=-1不在允许范围内，不能令x+1=0来断言第二问最大值为7。 第46页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 3.已知-1≤x≤4。求|x+3|+|x-2的最小值和最大值，并写出分别取到最值时x的全部取值。 & -4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 允许范围 答案最小值为5，在-1≤x≤2时取得；最大值为9，在x=4时取得。 解析两个定点为-3、2，相距5。允许范围中，-1≤x≤2的部分在线段两定点之间， 距离和恒为5。 当2<x≤4时，点在右侧，距离和=(x+3)+(x-2)=2x+1。点越向右，两段距离之和越大，到 x=4时为9。 因此最小值5的全部取等范围为~1≤x≤2，不是整个-3≤x≤2；最大值为9，只在x=4时取得。 边界检验：在x=-1、2时和均为5，在x=4时为7+2=9。 4.x为整数，且-1≤x≤3。求|2x-1川+1的最小值和最大值，并写出相应的x。 答案最小值为2，在X=0或x=1时取得；最大值为6，在x=3时取得。 解析允许的整数只有-1,0,1,2,3。依次代入，12x-1+1的值分别为4,2,2,4,6。 因此最小值为2，在x=0或x=1时取得；最大值为6，在x=3时取得。 虽然令内式2x-1=0会得到x=子，但它不是整数，不符合题设。允许点中离)最近的两个整数是 0、1,所以最小值不能取到1。 5.已知x满足|x+4+|x-2=6。在此条件下，求2x-1|-x+2|的最大值和最小值，并写出取到 它们时的x。 答案最大值为8，在x=-4时取得；最小值为-3，在x=1时取得。 解析条件左边是点x到-4、2两点的距离和，恰等于两定点间距6，所以允许范围为-4≤x≤2。 当-4≤x<-2时，目标式=2(1-x)-(-X-2)=4-X,随x向右增大而减小；这一段在X=-4 时取到8，向-2接近时接近6。 当-2≤x<1时，目标式=2(1-x)-(x+2)=-3x,从6向-3减小。 当1≤x≤2时，目标式=2(x-1)-(x+2=x-4,从-3增大到-2。 比较三段，最大值为8，只在x=-4时取得；最小值为-3，只在x=1时取得。直接代入得 2×5-2=8、0-3=-3,均符合约束。 第47页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 6.【拓展】已知-2≤x≤3，a是有理数。当x在这个范围内取值时，5-x-a的最大值为5，最小 值为0。求a的所有可能值，并写出每种情况下取得这两个最值时的x。 答案a=-2或a=3。a=-2时，最大值在x=-2、最小值在x=3;a=3时，最大值在x=3、最小 值在x=-2。 解析最大值为5，说明允许范围内能使|x-a=0,所以x=a必须可取，即-2≤a≤3。 最小值为0，说明允许位置到a的最大距离为5。当Q在~2与3之间时，到左端的距离为a+2, 到右端的距离为3-Q；其他位置到a的距离不超过这两个端点距离中较大的一个。 两端距离都不大于5，要使最大距离恰为5，必须a+2=5或3-a=5,所以a=3或a=-2。 当Q=-2时，x=-2使表达式为5，x=3使表达式为0；当a=3时，x=3使表达式为5，x=-2使 表达式为0。两种情况均符合。 第48页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 题型十三多点距离和的最小值 1.如图，数轴上点A、B分别表示-3、5，点P表示数x。求PA+PB的最小值，并写出取得最小值时 X的全部取值范围。 有同学认为“只有当P在A、B的正中间时才能取得最小值”。他的说法正确吗？请说明理由。 十十十十十十十 -4-3-2-10123456 答案最小值为8，当且仅当-3≤x≤5时取得。该同学的说法不正确。 解析当P在A、B之间（包括端点）时，PA+PB=AB=5-(-3)=8。 当P在A左侧时，PB=PA+AB,所以PA+PB=AB+2PA>8;在B右侧时同理大于8。 因此最小值为8，取等范围为-3≤x≤5，并非只有x=1。例如x=0时，两段距离之和仍为3+5=8。 2.求x+4+|x+1+|x-6的最小值及此时x的值。 若把x取为-4与6的平均数，能否取得最小值？请计算检验。 答案最小值为10，当且仅当x=-1时取得。两端数的平均数为1，代入得12，不能取得最小值。 解析|x+4+|x-6表示到-4和6两点的距离和，不小于10，且在-4≤x≤6时等于10。 另一项x+1≥0，在x=-1时等于0；这个值也使前两项的和等于10。因此原式最小值为10，且只在 x=-1取得。 -4与6的平均数为1，原式此时为5+2+5=12。按大小排列后的中间数是-1，不是两端数的平均数。 10 B -4-3- 2-10123456 第49页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 3.求x+5+x+2+|x-3+x-7的最小值，以及取得最小值时x的全部取值范围。 若x为整数，写出所有使原式取得最小值的X,并求这些整数的和。 答案最小值为17，取等范围为-2≤x≤3；整数为-2，-1,0,1,2,3，其和为3。 解析把最外侧两点配对：|x+5+|x-7≥12，等号成立时-5≤x≤7。 把中间两点配对：x+2|+|x-3≥5，等号成立时-2≤x≤3。 两组能同时取等的范围为-2≤x≤3，所以原式最小值为12+5=17。 其中的整数为-2，-1,0,1,2,3，和为(-2+2)+(-1+1)+0+3=3。 5 12 -5-4-3-2-101234567 】 两组距离和同时达到最小值 4.求2x+2+|x-1+x-5的最小值及取等时x的全部取值范围。 请说明：系数最大的项为2x+2,是否意味着原式只在x=-2时取得最小值？ 答案最小值为10，取等范围为-2≤x≤1；并非只在x=-2时取得。 解析把2|x+2看成两个相同的距离项，原式为(|x+2+|x-5)+(1x+2+x-1)。 第一组不小于7，等号成立时-2≤x≤5；第二组不小于3，等号成立时-2≤x≤1。 所以原式不小于10，且在-2≤x≤1时都等于10。例如x=0时，原式为4+1+5=10，说明系数最大并 不保证唯一取等点。 3 -2 -1 0 两组同时取等的范围 第50页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 5.求2x+6+x-2+2x-4的最小值及此时x的值，并说明为什么不能把三个绝对值分别令为0。 答案最小值为14，当且仅当x=2时取得；三个绝对值的零点不同，不能同时为0。 解析因为2x+6=2x+3,所以原式为2(1x+31+|x-4|)+x-2。 到-3和4的距离和不小于7，故原式不小于2×7+0=14。当x=2时，两组距离和都等于7， 且x-2=0,所以最小值为14。 要取得14，必须有x-2=0,故只有x=2。三个绝对值分别为0要求x=-3、2、4,不可能同时满足。 每组至少为7 取得最小值的位置 -3 2 0 2 3 6.已知a≥1，且x+3+|x-1+|x-a的最小值为8。求a的值，并写出取得最小值时x的值。 答案a=5,取得最小值时x=1。 解析由a≥1可知三个定点依次为-3、1、a,其中a=1时后两点重合。 |x+3+|x-a≥a+3,等号成立时-3≤x≤a;另有x-1≥0，在x=1时与前一等号同时成立。 所以原式最小值为a+3,且只有x=1取到。由a+3=8,得a=5。 A -3 -2 -1 0 2 3 4 求得a=5后，三个定点的位置。 7.已知x+4+x-a+|x-2|+|x-6的最小值为12。求a的所有可能值，并分别写出取得最小值时x的 全部取值范围。 答案a=0时，0≤x≤2；a=4时，2≤x≤4。 解析x+4+x-6≥10，等号成立时-4≤x≤6；|x-a+|x-22|a-2引，等号成立时x在a与2之间（包 括端点)。 无论a取何值，x=2都使上述两组同时取等。因此原式的最小值确为10+a-2|。 由10+|a-2|=12,得a-2|=2,所以a=0或a=4。 第51页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 当a=0时，两个取等范围的公共部分为0≤X≤2；当a=4时，公共部分为2≤x≤4。两个端点都包括在 内。 -2 0 3 两组同时取等 当a=0时，取等范围为0≤x≤2。 -2 0 2 4 两组同时取等 当a=4时，取等范围为2≤X≤4。 第52页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 题型十四距离差及带系数距离差的最值 1.求x+2-x-4的最大值和最小值，并分别写出x的全部取值范围。请用数轴上的距离关系或分段 计算说明理由。 答案最大值为6，在x≥4时取得；最小值为-6，在x≤-2时取得。 解析两个定点为-2和4，相距6。 当x≤-2时，原式=(-x-2)-(4-x)=-6。 当-2<x<4时，原式=(x+2)-(4-x)=2x-2,其值严格大于-6且严格小于6。 当x≥4时，原式=(x+2)-(x-4)=6。所以最大值为6，最小值为-6，取等范围如答案所示。 6 A B -2 4 2.求x+2-x-4川的最大值、最小值及各自取得时x的全部取值。与上一题相比，外面多出的绝对 值改变了哪些结论？ 答案最大值为6，在x≤-2或x≥4时取得；最小值为0，在x=1时取得。 解析由上一题的分段结果，内层距离差在-6与6之间，所以取绝对值后在0与6之间。 内层差为-6或6时，外层绝对值为6，对应x≤-2或x≥4。 原式为0，等价于到-2与4的距离相等。点只能在二者之间；此时x+2=4-x,得x=1。 外加绝对值后，原来的负最小值变为正值，最大值可在两侧取得；最小值则变为0，在等距点取得。 3.求x-3-2x+1的最大值及此时x的值。这个式子有最小值吗？说明理由。 答案最大值为4，当且仅当x=-1时取得；没有最小值。 解析当x≤-1时，原式=3-x-2(-x-1)=x+5≤4，等号仅在x=-1成立。 当-1<x<3时，原式=3-x-2(x+1)=1-3x<4。 当x≥3时，原式=x-3-2(x+1)=-x-5≤-8。故最大值为4，且只在x=-1取得。 在x≤-1这一段，原式等于x+5。把x继续减小，式子的值也继续减小，因而不存在最小值。 4.设a为正整数。已知x+1|-ax-3的最大值为4，并且只有x=3时能取得这个最大值。求a的所有 可能值，并说明理由。 答案a可以是任意不小于2的整数。 解析点x到-1的距离，不超过它到3的距离加上3到-1的距离。因此x+1|≤x-3+4。 第53页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 所以原式≤4-a-1)川x-3引。当a≥2时，右边不超过4；若x≠3，则x-3>0,原式严格小于4。而x=3 时原式确为4。 还须检查正整数a=1。此时当x≥3时，原式=(x+1)-(x-3)=4,并非只有x=3取等。 因此a=2,3,4,.均符合题意，a=1不符合。 5.求x+4+|x-2|-2x-1|的最大值和最小值，以及各自取得时x的全部取值范围。 答案最大值为6，在x=1时取得；最小值为-4，在x≤-4时取得。 解析分界点为-4、1、2。 当x≤-4时，原式=(-x-4)+(2-x)-2(1-x=-4。 当-4<x≤1时，原式=(x+4)+(2-x)-2(1-x)=2x+4,随x增大，从大于-4的值增大到6。 当1<x<2时，原式=(x+4)+(2-x)-2(x-1)=8-2x,其值在4与6之间。 当x≥2时，原式=(x+4)+(x-2)-2(x-1)=4。 所以最大值为6，只在x=1取得；最小值为-4，在x≤-4时取得。左右两端的常值不同，不能因总系 数相抵就断定处处相同。 第54页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 题型十五多变量约束下的最值 1.已知a+2+a-3+b-1+b-4|=8。求a、b各自的取值范围，再求a+b的最大值和最小值，并 写出对应的a、b。 答案-2≤a≤3,1≤b≤4。最大值为7，在a=3,b=4时取得；最小值为-1，在a=-2,b=1时取得。 解析|a+2|+|a-3|≥5，等号成立时-2≤a≤3；|b-1+|b-4≥3，等号成立时1≤b≤4。 两组和至少为5+3=8。题设恰好等于8，所以两组必须同时达到各自的最小值；只要有一组大于其最 小值，总和就会大于8。 因此a≤3，b≤4，得到a+b≤7，并可由a=3,b=4同时达到。 同理a≥-2，b≥1，故a+b≥-1，并可由a=-2,b=1达到。 2.已知a+1|+|a-2+2b+3|+2b-1=11。求2a-b的最大值和最小值，并写出对应的a、b。 答案最大值为7，在a=2,b=-3时取得；最小值为-3，在a=-1,b=1时取得。 解析|a+1+a-2|≥3，且b+3+|b-1≥4。题设左边至少为3+2×4=11。 已知等号成立，所以-1≤a≤2且-3≤b≤1。 要使2a-b最大，取a的最大值2、b的最小值-3，得到2×2-(-3)=7。 要使2a-b最小，取a=-1,b=1,得到2×(-1)-1=-3。两组取值都满足原等式。 3.已知(1a+2+|a-1)b-1+|b-5)=12。求a-b的最大值和最小值，并写出对应的a、b。 答案最大值为7，在a=-2,b=5时取得；最小值为0，在a=b=1时取得。 解析两个因子分别不小于3和4，且都为正数。若第一个因子大于3，乘积就大于3×4=12；若第二 个因子大于4，同样矛盾。 故两个因子分别为3和4，于是-2≤a≤1,1≤b≤5。 由a≤1≤b,得a-b1=b-a。因此最大值为5-(-2)=7，在a=-2,b=5时取得。 原式不小于0，且a=b=1同时符合两组范围，所以最小值为0，此时a=b=1。 4.已知(|a+1+a-1)b1+b-31)lc+2+c-2)≤24。求2a-b+c的最大值和最小值，并写出对应 的a、b、C。 答案最大值为4，在a=1,b=0,c=2时取得；最小值为-7，在a=-1,b=3,c=-2时取得。 解析三个因子分别不小于2、3、4，均为正数，所以它们的乘积至少为2×3×4=24。 题设又说明乘积不超过24，故乘积只能等于24。若任一因子大于对应下界，乘积就大于24，所以三 个因子都必须取到下界。 由此得到-1≤a≤1,0≤b≤3，-2≤c≤2。 于是2a-b+c≤2×1-0+2=4，在a=1,b=0,c=2时达到；同时2a-b+c≥2×(-1)-3+(-2)=-7，在 a=-1,b=3,c=-2时达到。 第55页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 5.已知a+1|+|a-2+b+|b-4=9。求a+b的最大值和最小值，并分别给出一组取得最值的a、b。 答案最大值为7，例如a=2,b=5;最小值为-2，例如a=-1,b=-1。 解析两组距离和的最小值之和是3+4=7，题设为9，因此不能断定两组各自达到最小值。 利用|a+12a+1、a-2|≥a-2、1b1≥b、1b-4≥b-4,相加得到9≥2(a+b)-5,所以a+b≤7。 取a=2,b=5,原等式左边为3+0+5+1=9，且a+b=7,故最大值为7。 再用每个绝对值不小于其内部式的相反数，得到9≥-2(a+b)+5,所以a+b≥-2。 取a=-1,b=-1,原等式左边为0+3+1+5=9，且a+b=-2,故最小值为-2。 6.已知(|a+2+|a-1)(Ib1+|b-4)=12,且2a+b=1。求a-b的最大值和最小值， 并写出对应的a、b。 答案最大值为号，在0=号b=49时取得：最小值为0，在a=b时取得。 解析两个因子分别不小于3和4，乘积等于12，所以两个因子必须分别等于3和4。由此-2≤a≤1， 0≤b≤4. 2a+b=1,得b=1-2a,把0≤b≤4代入：由1-2a≥0得a≤；由1-2a≤4得a2号。与原来范围合 3 1 并，2≤a≤2 于是a-b1=a-1-2a川30-1.当3as时.它等于1-30，从号减小到0：当a2时.它等 于3a-1,从大于0的值增大到 故最大值为}.比时扣=子6=4：最小值为0，此时口= 3。两组均满足原乘积条件和2a+b=1。 第56页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 题型十六含绝对值的分式求值 1、分别在0a0两行情况下，求日+日与日日的位。 当a=0时，上述两个式子有意义吗？说明理由。 答案a>0时，和为2、积为1；a<0时，和为-2、积为1；a=0时无意义。 解析当a>0时，a=a,两个商都为1，所以和为2，积为1。 当a<0时，a=-a,两个商都为-1，所以和为-2，积为1。 当a=0时，分母a与a都为0，除数不能为0，故这些分式无意义。 已血，b均不为0，且ab<0,求名+6的值，以及哥名的所有可能值，并分别举例说现 答案和为0；差为2或-2。 解析由ab<0,知a,b异号。 若a>0,b<0,两个符号商依次为1，-1，和为0，差为2；例如a=1,b=-1。 若a<0,b>0,两个符号商依次为-1,1，和为0，差为-2；例如a=-1,b=1。 这两种情况包含所有可能，故和固定为0，差却有两个可能值。 3.已知a,b,c均不为0，且abc>0。 (1》求号合台的所有可能位 (2)如果还知道a+b+c<0,上述式子的值是否唯一？说明理由。 答案(1)3或-1；(2)唯一，为-1。 解析三个非零数的乘积为正，负数的个数只能为0或2。 没有负数时，三个符号商都是1，和为3；有两个负数时，两个商为-1、另一个为1，和为-1。 若再有a+b+c<0,三个数不可能全为正，因此只能有两个负数，符号商的和必为-1。例如 a=1,b=-2,c=-3符合全部条件，说明这一情况可以实现。 4.巴知，b均不为0，且合+6+地。能否断定b<0?请列出Q,b所有可能的符号情况，并】 说明第三项为什么不能独立地任取1或-1。 答案不能。可能的符号为一正一负，或两个都负；所以āb可能为负，也可能为正。 解析若a,b都正，三个商均为1，和为3，不符合条件。 若a,b异号，前两个商的和为0，且ab<0,第三项为-1，总和为-1，符合条件。 若a,b都负，前两个商都是-1，而ab>0,第三项为1，总和仍为-1，也符合条件。 故不能断定αb<0。第三项的符号由前两个数的符号共同决定；例如两个数都负时， 第三项只能是1，不能再任取-1。 第57页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 5.已知a,b,c均不为0，且a+b+c=0。求a+6+b十C+c0的所有可能值。 如果这个式子的值为1，能否确定abc的正负？说明理由。 答案可能值为1或-1；若值为1，则abc<0。 解折由a+b+c=0,有a+b=-c、b+c=-a、c+a=-b,所以原式-g+a+b c a b 三个数均非零且和为0，不可能全正，也不可能全负。若两正一负，原式为1+1-1=1；若一正两负， 原式为1-1-1=-1。 两种情况都能实现：a=1、b=1、c=-2时值为1；a=2、b=-1、c=-1时值为-1。 若原式为1，则恰有一个负数，所以abc<0。分母a,b,c均已由题设保证非零。 6已知，6,6，均不为0。家吕合+气司+的的是大位、最小值，并分别说明四个数中有 几个负数。 如果原式等于1，能否确定abcd的正负？说明理由。 答案最大值为5，四个数全正；最小值为-3，有3个或4个负数。等于1时，乘积可正可负。 解析按负数个数分类，最后一项由乘积的符号决定。 负数有0个：前四项和为4，乘积项为1，原式为5。 负数有1个：前四项和为2，乘积项为-1，原式为1；负数有2个：前四项和为0，乘积项为1，原式也 为1。 负数有3个：前四项和为-2，乘积项为-1，原式为-3；负数有4个：前四项和为-4，乘积项为1，原式 也为-3。 因此最大值为5，只在全正时取得；最小值为-3，在有3个或4个负数时取得。等于1时可能有1个或2 个负数，故不能确定乘积正负。 7.已如6c均不为0，且a+h+c=0.求的+高品+的所有可能值.并各举一组a,c 说明这些值都能取得。 答案所有可能值为0和-2。例如a=2、b=-1、c=-1时取0；a=1、b=1、c=-2时取-2。 解析由三个非零数的和为0，三个数不可能同号，只能两正一负或一正两负。 两正一负时，三个两两乘积中一个为正、两个为负，因此前三项之和为1-1-1=-1；三数乘积为负， 最后一项为-1，原式为-2。 一正两负时，三个两两乘积仍是一个正、两个负，前三项之和仍为-1；三数乘积为正， 最后一项为1，原式为0。 取a=1、b=1、c=-2,或a=2、b=-1、c=-1,均满足非零与零和条件，分别得到-2或0。所有分母 是非零数乘积的绝对值，均不为0。 第58页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 题型十七数轴动点问题 1.如图，点A、B分别表示-4、6。点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，到达B时停 止。设出发后经过t秒（包括出发和到达时刻）。 (1)写出t的取值范围，以及点P表示的数。 (2)点P到原点的距离何时为2？求出全部符合条件的t。 P:每秒2个单位长度 P -4-3 -2 -1012 34 答案（1)0≤t≤5，点P表示-4+2t。(2)t=1或t=3。 解析从A到B的距离为6-(-4)=10，需要10÷2=5秒，所以0≤t≤5。向右运动的位移为2t,点P表示 -4+2t。 到原点的距离为-4+2t。由-4+2t=2,得到-4+2t=2或-4+2t=-2,解得t=3或t=1。 两者都在0≤t≤5内：t=1时点P表示-2，t=3时表示2，到原点的距离都为2。 2.如图，点A、B分别表示-3、5。点P从表示1的点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，到 达A时立即停止。设出发后经过t秒。 在从出发到停止的过程中（包括两端时刻），PA+PB的最小值是多少？何时取得？这一过程中能否 有PA+PB=10?说明理由。 每秒2个单位长度 A P(出发时) -3-2 0 1 2 3 答案最小值为8，在全部运动时刻0≤t≤2均取得；不能有PA+PB=10。 解析到达A所需时间为(1-(-3)÷2=2秒。因此0≤t≤2，点P表示1-2t。 运动中P始终在A、B之间，故PA+PB=AB=8。也可直接算得PA=4-2t、PB=4+2t,二者和为8。 所以最小值为8，整个过程中都取得，而不只是某一个时刻。因为距离和始终为8，所以不可能等于 10;到达A后点P已停止，不能延长原运动式去寻找越过A的时间。 第59页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 3.如图，点A、B分别表示-6、4。点P从A出发向右，速度为每秒2个单位长度；点Q同时从B出发 向左，速度为每秒1个单位长度。两点相遇后仍按原方向、原速度继续运动，设出发后经过t秒，只 研究0≤t≤6的过程。 (1)两点何时相遇？ (2）两点之间的距离何时为2？说明每个时刻是在相遇前还是相遇后。 Q:每秒1个单位长度 P:每秒2个单位长度 B -6-5-4-3-2-10 1 2 3 4 答案(0)t只。②)骨在相遇前：t=4,在相竭后。 解折秒时，点P表示6+2t,点Q表示4-t。相遇时-6+2t=4-,所以t= 30 两点距离为-6+2t-4-t川=3t-101。由3t-101=2,得到3t-10=2或3t-10=-2,故t=4或= 0 两个时间都在0≤t≤6内，并且<号<4，所以分别在相透前和相遇后。相遇后距离仍非负，不能继 续把10-3t直接当作两点距离。 4.如图，点A、B分别表示-5、3。点P从A出发向右，速度为每秒3个单位长度；点Q同时从B出发 向左，速度为每秒1个单位长度。两点相遇后继续按原方向、原速度运动。设出发后经过t秒，只研 究0≤t≤5。 当两点到原点的距离相等时，PQ可能是多少？分别在什么时刻出现？请说明两点的位置关系。 Q:每秒1个单位长度 P:每秒3个单位长度 A 5 -4 -3-2-10 12 3 答案t=1时，PQ=4,两点关于原点对称；t=2时，PQ=0,两点相遇。 解析两点分别表示-5+3t与3-t。到原点的距离相等，意味着它们表示的数相等或互为相反数。 第60页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 若-5+3t=3-t,解得t=2。此时两点都表示1，所以相遇，PQ=0。 若-5+3t=-(3-t),解得t=1。此时点P表示-2，点Q表示2，所以关于原点对称，PQ=4。 两个时刻都在规定范围内。到原点等距不一定相遇，必须保留“相等”与“互为相反数”两种情况。 5.如图，点A、B分别表示-4、4。点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，到达B后立 即转向，以每秒1个单位长度的速度返回A,到达A后停止。 设出发后经过t秒，t=0表示出发时刻。在整个往返过程中（包括出发和停止时刻），点P到原点的距 离何时为2？求所有符合条件的t。 P返程：每秒1个单位长度 P去程：每秒2个单位长度 A -4-3-2-1012 3 4 答案t=1,3,6,10,单位为秒。 解析去程时间为8÷2=4秒，返程时间为8÷1=8秒，所以整个过程为0≤t≤12。 当0≤t≤4时，点P表示-4+2t。由|-4+2t=2,得t=1或t=3,都符合此阶段时间范围。 当4<t≤12时，返程已用t-4秒，点P表示4-(t-4)=8-t。由8-t=2,得t=6或t=10,都符合返程范 围。 转向时t=4,点P表示4，到原点距离为4，不符合；出发与停止时点P均在-4，也不符合。因此全部 时间为1,3,6,10秒。 第61页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 6.如图，点A、B分别表示-6、6。点P从A出发向右，速度为每秒3个单位长度，到达B后停止；点 Q同时从B出发向左，速度为每秒1个单位长度，到达A后停止。两点相遇时都不停留。设出发后经过 t秒。 从出发到点Q停止（包括两端时刻），两点何时相遇？PQ=6又分别发生在什么时刻？ Q:每秒1个单位长度 P:每秒3个单位长度 A B 6 -4 -2 0 2 6 答案相遇时t=3:PQ=6时t=或=6。 解析点P到B需12÷3=4秒，点Q到A需12秒，研究范围为0≤t≤12。 当0≤t≤4时，两点分别表示-6+3t与6-t,所以PQ=4t-12。相遇时4t-12=0,得t=3。 这一阶段由14t-12=6,得=或=号。后者超过4秒，不属于此阶段。必须舍去。 当4<t≤12时，点P已停止在6，点Q仍表示6-t,所以PQ=|6-(6-t)川=t。此时两点不再相遇；PQ=6 给出t=6,符合时间范围。 t4时，PQ=4,不遗漏也不重复。因此相遇时t=3,距离为6时为t=号或6。一 第62页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 7.如图，点A、B分别表示-4、4，O为原点。点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动， 到达B后立即按原速度返回A,随后停止。点Q同时从O出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动， 到达B后停止。 设出发后经过t秒，t=0表示出发时刻。在0≤t≤8内，求所有使PQ=PO成立的t,并说明出发时刻是 否符合条件。 Q:每秒1个单位长度 P返程：每秒2个单位长度 P去程：每秒2个单位长度 A 6 -4-3-2-1012 3 4 答案=0，号5，单位为秒。出发时刻符合条件。 解析点P在第4秒到达B,第8秒回到A；点Q在第4秒到达B并停止。 当0≤t≤4时，点P表示-4+2t,点Q表示t。故PQ=(-4+2t)-t|=|t-4|=4-t,P0=|2t-4。 若0≤t≤2，则P0=4-2t,方程4-t=4-2t给出t=0;若2<t≤4，则P0=2t-4,方程4-t=2t-4给出 :。两者都符合各自阶段。 当4<t≤8时，点P表示4-2(t-4)=12-2t,点Q表示4，所以PQ=|8-2t川=2t-8,P0=|12-2t。 若4<t≤6，方程为2t-8=12-2t,得t=5;若6<t≤8，方程为2t-8=2t-12,不可能成立。 因此全部时间为0，号5秒。尤其=0时。点Q与原点0重合，故PQ=P0=4,不能因这是出发时刻就 舍去；此时也不能把点P说成O,Q之间的中点。 0、Q -4 -2 0 2 t=0:Q与O重合，PQ=PO=4。 第63页共64页 绝对值期中复习专题讲义教师详解版 0 Q 十 0 83 4 t号P 4,Q表示3° 8 P 0 1 2 3 t=5:P表示2，Q已停止在4。 第64页共64页绝对值期中复习专题讲义 学生版 绝对值期中复习专题讲义 2026—2027学年第一学期 苏科版七年级数学上册 学生版 目录导航 知识梳理 3 从数轴和相反数认识绝对值 3 绝对值的定义与去绝对值符号 3 绝对值的基本性质与相反数关系 4 已知绝对值求原数与比较大小 5 含绝对值的数字运算 6 绝对值与乘除及和差的关系 6 根据已知条件化简含字母的绝对值 7 根据数轴位置判断式子的符号 7 利用非负性确定各项的值 8 把绝对值看成两点之间的距离 9 单个绝对值的等式与范围 9 必记结论与使用条件 11 零点分段化简多个绝对值 11 两点距离之和与相应等式 13 两点距离之差与相应等式 14 多个定点的距离和最小值 15 系数不同时的距离和最小值 16 含符号信息的分式 18 逐层处理嵌套绝对值 18 到两点等距与倍距的位置 19 多个式子同时达到下界 20 数轴上动点的位置与距离 21 题型导航 题型一 绝对值的意义与直接求值 23 题型二 绝对值与大小比较 25 题型三 已知绝对值求原数 27 题型四 由绝对值等式判断符号与范围 29 题型五 利用非负性求值 31 题型六 根据条件化简绝对值 33 题型七 零点分段化简 35 题型八 含绝对值的方程 37 题型九 数轴上的等距与倍距问题 40 题型十 两点距离和与距离差方程 45 题型十一 距离范围与整数点问题 49 题型十二 限定范围内的最值问题 53 题型十三 多点距离和的最小值 56 题型十四 距离差及带系数距离差的最值 59 题型十五 多变量约束下的最值 61 题型十六 含绝对值的分式求值 64 题型十七 数轴动点问题 67 知识梳理 从数轴和相反数认识绝对值 本专题接着已经学过的正负数和数轴来复习。数轴上的位置既有方向，也有远近：正负号帮助我们判断点在原点哪一侧，绝对值则表示它离原点有多远。先掌握概念和基本应用，再按学习情况阅读零点分段及其后的综合与拓展。 相反数先看方向再看距离 在数轴上，表示 与 的点位于原点两侧，到原点的距离都是 个单位长度。这两个数互为相反数。一个数 的相反数是 ； 的相反数仍是 。 相反数不一定是负数。例如，。符号 表示“ 的相反数”，只有知道 的符号，才能确定 的符号。 图1 相反数对应的两点关于原点对称 从位置转向距离 在数轴上，，但两点离原点一样远。因此“数的大小”和“离原点的距离大小”不是一回事。写 ，就是把 所对应的距离记录下来。 绝对值的定义与去绝对值符号 几何定义 一般地，数轴上表示数 的点与原点的距离，叫作数 的绝对值，记作 。距离不能是负数，可以是 。因此绝对值的结果是非负数，不是“一定为正数”。 按正负号写成代数形式 正数的绝对值是它本身； 的绝对值是 ；负数的绝对值是它的相反数。也可以把前两种情况合起来写成：当 时，；当 时，。 去掉的是符号保留的是数值 例如 ，，。遇到一个式子，也要先判断绝对值符号里面整个式子的正负，而不是只看最前面的符号。 例如，已知 ，则 ，所以 。负号作用于整个括号，不能只改变第一项的符号。 “把负号去掉”只适合解释一个已经确定为负数的数值，不能当作通用法则。 要有 ； 要有 。 绝对值的基本性质与相反数关系 非负性和等号条件 第一处等号 在 时成立；第二处等号 在 时成立。特别注意：由 不能直接说 ，因为 也符合。 相反数的绝对值相等 相反数对应的两点到原点距离相等，所以 。又因为 已经非负，再取绝对值不变。最后一个等式可分别用 和 验证：两种情况平方后都得到 。 绝对值相等不一定互为相反数 理由是：到原点距离相等的两个点，要么重合，要么关于原点对称。例如 ，两个数相等；，两个数互为相反数。若共同距离为 ，只能有 ，此时两种说法都成立。 例：已知 且 ，能否判断 ？由绝对值相等可得 或 ；排除第一种后，只剩 ，所以 。若没有 ，就不能直接得出这个结论。 区分相反数与绝对值外的负号 是 的相反数，正负不确定； 与 相等，均非负； 是 的相反数，因此不大于 。下面用负数、零、正数分别检验。 例如 不是 。只有 时两者相等；当 时，前者为正，后者为负。 已知绝对值求原数与比较大小 先判断给出的距离能否成立 例如，，则 或 。两数互为相反数，不要漏掉负数。 没有符合条件的数； 只有一个解，不能说有“正零和负零”两个解。 比较数的大小与比较绝对值的大小 数轴上右边的数大于左边的数。正数大于 ， 大于负数；两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。例如 ，但 。 图2 点越靠右数越大 点离原点越远绝对值越大 绝对值大小不能单独决定原数大小 由 不能单独推出 。例如 时，，但 。只有结合符号，才能判断：若 都是正数，直接比较绝对值；若都为负数，大小顺序相反；若异号，则先比较正负。 含绝对值的数字运算 先算符号内再按运算顺序计算 绝对值符号起到类似括号的作用。先计算符号内的值并判断正负，求出绝对值；再按先乘方、后乘除、最后加减的顺序运算。同一级运算从左到右，有括号先算括号。 例1：计算 。先算第二个绝对值内的和：，因此 这里 不能直接变成 ，因为绝对值作用于两项相加后的整体。 分清符号外的负号和乘方范围 例2：计算 。各绝对值分别为 ，所以 是 ； 是 。括号不同，乘方的对象就不同。解题时应保留必要括号，明确每个负号与乘方所作用的范围。 结果检查 单个绝对值的结果不能为负，但含绝对值的整个式子可以为负。例如 。若出现除法，还要检查除数是否为 ；绝对值并不会消除“不能除以 ”这一限制。 绝对值与乘除及和差的关系 乘积与商可以分别取绝对值 乘法的依据是符号法则： 同号时乘积为正，异号时乘积为负；无论哪种情况，乘积的绝对值都等于两数绝对值的积。有一个数为 时，两边同为 。商的结论同理，但必须先有 ，这也保证 。 例如 ，。这些性质适用于乘除，不能照搬到加减。 和的绝对值不大于绝对值的和 若 同号或其中至少一个为 ，和的绝对值等于两个绝对值之和，等号成立。若 异号且都不为 ，相加后要用较大的绝对值减去较小的绝对值，结果小于两者之和。因此等号成立的条件是 。 把上式中的 换成 ，得到 ；这里等号成立的条件变成 。例：，而 。 差的绝对值还存在一个下界 左边不等式可以用已经说明的“和的绝对值”来理解：，所以 ；交换 后又有 。这两个差中较大的一个正是 ，于是得到左边不等式。 左边等号在 时成立，右边等号在 时成立。用数轴检查：两点在原点同侧时，点间距离等于到原点距离之差的绝对值；在原点两侧时，点间距离等于两段距离之和。含 的情况也包括在条件内。 这一节后半部分用于理解和估计，不必脱离条件机械背诵。遇到具体数字，直接求值往往更简洁。 根据已知条件化简含字母的绝对值 判断每个绝对值内部整体的符号 字母不代表“正数”。 可以为正、为负，也可以为 ； 也不一定为负。化简前，应先把题设翻译成绝对值内部各式的正负。 例1：已知 ，化简 。由条件知 ，，且 ，所以 在这一条件下， 却可能为正、为负或为 ：分别取 ，， 即可看出。因此不能顺便断定 应怎样去符号。 比较关系常能直接确定差的符号 例2：已知 ，不论 本身的正负怎样，都有 ，所以 。求差的符号时，大小关系比单独研究两个数的符号更直接。 条件不够就分类或保留绝对值 例3：已知 ，化简 。 已确定，但 的符号不确定，要以 为界。 当 时原式为 ，所以端点放在第一段是正确的；若放在第二段并写成 ，也会得到同样的值，但不能漏掉这个端点。 根据数轴位置判断式子的符号 先读顺序再读距离 从数轴图中先读出各点从左到右的顺序，从而得到大小关系。涉及和的符号时，还要看异号两数离原点谁更远。只有示意位置、没有刻度或明确距离条件的图，不应凭视觉长度猜测数量关系。 图3 已知刻度范围可以确定和与差的符号 图中的 只表示各自在所给范围中的一个位置，并没有指定它们的具体值。 例：图中给出 ，，化简 。由 ，得 ；由 ，得 ；又有 。所以 注意第二项原来还有一个减号：。去绝对值符号后，先保留括号，再去括号合并，能减少符号错误。 已知绝对值大小时判断异号数之和 若 且 ，负数“离原点更远”，所以 ；若 ，则 ；若两者绝对值相等，则 。这三种情形不能只凭 合并成一种。 利用非负性确定各项的值 若干非负数的和为零则每项都为零 因为每一项都不小于 ，只要其中一项大于 ，总和就会大于 。所以当非负数的和为 时，每一项必须同时为 。常见非负式有绝对值和平方。 例1：若 ，则 且 ，得到 。代回原式， 两项确实都是 。 等式变形后必须仍然是非负项之和 例2：若 ，先减去两边的 ，得到 ，从而 。 但由 ，只能得到 ，不能断定 ，因为这里是两个非负数的差。由 也不能要求每项为 ，因为右边不是 。 正系数不改变这个结论 若 ，两项仍非负，且系数都为正，所以 。若系数为 ，对应项不能提供限制；若系数为负，就要重新判断，不能直接套用结论。 非负性还可判断“不可能”。例如 无解，因为左边至少为 。又如 ，左边非负、右边非正，只能同为 ，所以 。 把绝对值看成两点之间的距离 两点距离等于所表示的两数之差的绝对值 设数轴上点 所表示的数分别是 ，两点距离为 。若已经知道 ，就可直接写成 ；若顺序未知，必须保留绝对值。 把表示数 的动点记为 ，表示数 的定点记为 ，则 。例如 表示点 到表示数 的点的距离，不是到 的距离。 图4 绝对值表示动点到定点的距离 图中点 的位置仅作示意， 可以改变；并不是一个已经指定的数。 有系数时先提出绝对值中的系数 因为 ，再用乘积的绝对值性质即可。右边是点 到表示数 的点的距离的 倍。若 ，原式是常数 ，不能除以 。 第二个式子表示“到 的距离的一半”，不是直接表示到 的距离。 也说明：提出的是系数的绝对值，外面的倍数不能为负。 先统一成距离再分析 例： 等价于 ，即点 到 的距离为 。因此 或 。代入原式，两值都得到 。 单个绝对值的等式与范围 距离等于给定值 当 时，从表示数 的点向左、向右各走 个单位长度，得到两个点；当 时，两个点合为一个。这个结论来自距离，不要求事先学过一般的含绝对值方程。 距离不超过给定值 若 ， 表示点 在 与 之间，不含两端点； 则包含两端点。 图5 到1的距离不超过3的所有点 例如， 对应 ；若只求整数 ，则为 ，共 个。若改为严格小于，则两端点删去，共 个整数。 距离至少达到给定值 图6 到1的距离大于3的所有点 零和负数作距离界限时单独检查 当 时， 无解， 只有 ； 表示 ， 对所有允许的 都成立。当 时， 与 均无解，而 与 对所有允许的 都成立。 范围题最后要检查题目是否另有整数、正数或指定区间等限制。先找到数轴上的范围，再在该范围内选取符合额外条件的数。 一个距离的最小与最大问题 因为 ，所以 ，其最小值为 ，在 时取得；，其最大值为 ，也在 时取得。若 没有范围限制，前者没有最大值，后者没有最小值，因为点可以离 越来越远。 若限制了 的范围，应改看允许位置中哪个点离 最近、哪个点最远。例：当 时， 在 时最大，最大值为 ；两个端点到 的距离分别为 和 ，最远处是 ，所以最小值为 。 若中心不在允许范围内，离中心最近的允许位置决定距离的最小值。例如 时， 在 取最小值 ，在 取最大值 。如果把条件改成 ，距离可以无限接近 却不能等于 ，于是没有能取到的最小值；最大值仍为 。 必记结论与使用条件 使用条件 结论 任意数 ； 当且仅当 或 时 ； 时 任意数 ，， 任意数 当且仅当 或 任意数 各项非负且和为 当且仅当 点 分别表示 ；若 ，则 当且仅当 或 当且仅当 表中条件也是结论的一部分。使用前先对照条件；涉及零、负数距离界限或其他取值限制时，回到相应小节判断。 零点分段化简多个绝对值 从本节起为综合与拓展内容。重点不是背分段后的结果，而是弄清：为什么在某个位置前后，绝对值内部式子的符号会改变。 用零点把数轴分成若干段 当 变化时， 的符号在 两侧发生改变；这个使式子为 的数叫作该式子的零点。先找出每个绝对值内部式子的零点，再从小到大排列；同一段内，每个内部式子的符号都能确定。重复的零点只需列一次。 例：分段化简 。三个零点是 ，按大小排列为 ，所以分为四段。注意 ，它与 同号。 图7 零点依次为负2 1 3 共分成四段 逐段判断并保留外层运算符号 当 时，三个内部式子都为负，原式为 。 当 时，三个内部式子依次为非负、负、负，原式为 。 当 时，三个内部式子依次为正、负、非负，原式为 。 当 时，三个内部式子都非负，原式为 。 每段算完都要检验端点 代入原式： 时，分别得到 。相邻两段的表达式在公共分界处也分别得到相同的值，因此端点没有矛盾。写分段结果时，可以把零点归入左段或右段，但必须把所有情况覆盖，且不能给同一点写出互相矛盾的结果。 若用分段结果解等式，还要检查每段算出的候选数是否属于该段；不属于该段的数必须舍去。最后回到原式验证。分段不是把各段条件丢掉，只留下几个算式。 一段范围内何时保持定值 在同一段内去掉绝对值符号后，如果含 的项全部抵消，就得到与 无关的常数。例如在 内，。若要求这一整段内任取 ，结果都相同，就必须有 ，此时定值为 。 也可以只选这段内的 和 作必要检查：所得 与 必须相等，因此 ；再代回整段表达式确认处处等于 。这里只取两个值帮助找条件，最后的整段验证不能省略。若题目只允许一个 值，任何式子都只有一个对应结果，不能据此要求含 的项抵消。 两点距离之和与相应等式 先假设两定点不同并排好顺序 设 ，点 所表示的数分别为 ，点 表示数 。 就是 。用 表示两定点的距离，此时 。 当 在 之间或与其中一个点重合时，；当 在左侧时，多走了两次 ；当 在右侧时，多走了两次 。因此 等号当且仅当 。所以最小值是 ，达到最小值的不是只有中点，而是两端点之间的所有允许位置，包括端点。若 可以任意向外移动，距离和可以不断增大，没有最大值。 图8 两定点之间的距离和保持为6 解距离和等式先与两定点距离比较 对于 ，在 的条件下分三种情况： 若 ，无解，因为距离和不可能小于 。若 ，所有满足 的数都是解。若 ，只能在两定点外侧各有一个解。 这两个数确实分别在左、右侧：由 ，得 ，且 。不能把只适用于外侧的两个表达式拿来处理 ，否则会漏掉中间所有点。 例：对 ，两定点距离是 。当 时无解；当 时，所有 的数都是解；当 时， 或 。检验：两处距离和分别为 和 。 两定点重合时另作检查 若 ，原式为 。等式 在 时无解，在 时只有 ，在 时有 或 两个解。此时不能再说达到最小值的位置是一段不同的点。 两点距离之差与相应等式 两个距离的差与这个差的绝对值不同 仍设 ，令 。 是两个非负距离的差，可以为负、为 或为正； 才是这个差的绝对值，二者不能混用。 在左侧，，所以差恒为 ；在右侧，，所以差恒为 ；在中间，分别写出 、，相减得到 。故这个差最小为 ，最大为 。 图9 左侧的距离差为负6 右侧为6 解距离差等式 对 ，在 时：若 或 ，无解；若 ，解为所有 ；若 ，解为所有 ；若 ，只有一个解，且在两定点之间。 例： 中，，且 ，所以 。代入得 。 若右边换成 ，解不是只有 ，而是所有 ；若换成 ，则所有 都是解。 外面再有一个绝对值时 对 ，仍假设 ：当 或 时无解；当 时只有中点 ；当 时，要分别令距离差等于 和 ，得到两个解 或 ；当 时，解为所有 或 。 两定点重合时 若 ，距离差与差的绝对值都恒为 ：右边为 时，所有允许的 都符合；右边不为 时，无解。若原题没有规定 的顺序，可先交换点名排好顺序，但交换距离差的两项会改变符号，必须同时改写等式。 多个定点的距离和最小值 两端配对得到下界 本节讨论每个距离前的系数都为1的情形。先按所表示的数从小到大排列定点，再把最左与最右、次左与次右依次配成一对。每一对的距离和，至少等于这一对定点之间的距离。能让所有配对同时达到下界的位置，才是整个距离和最小的位置。 三个点时中间的点给出最小值 设 。由 ，且 ，可得 取 ，第一组达到 ，第二项等于 ，所以最小值为 ，且只有 时取得。定点重合也不会破坏这个结论。 例： 的三个定点依次是 。配对两端得 ，中间一项至少为 ；取 ，原式为 ，所以最小值是 ，此时 。 图10 三点距离和在中间定点处最小 四个点时中间两点之间都是最小位置 设 。外侧配对与内侧配对分别给出 、。两处同时取等号，要求 且 ，合起来就是 。 例：定点为 时，距离和最小值为 ，所有 都能取得。若中间两个点重合，这一段就缩为一个点。 图11 四点距离和在中间两点之间最小 推广到更多点 奇数个定点时，配对后还剩最中间一个点；在这个中间定点处，所有配对及剩余的一个距离同时达到最小。偶数个定点时，没有剩余点；中间两个定点之间的整段都能使所有配对达到最小。这就是等权距离和中“选中间位置”的依据，不应脱离等权条件使用。 题目限制位置时先看最小位置是否允许 以上四点的例子中，若要求 为整数，最小值仍为 ，在 时取得。 若改为要求 ，原来的最小区间已不能到达。在此范围内原式为 ，所以最小值为 ，在 时取得；最大值为 ，在 时取得。 受限范围的端点还必须看是否包含。例如同一例若要求 且 可取分数，距离和始终大于 ，却可以通过取越来越接近 的数，使其越来越接近 ，因此没有能取到的最小值。若同时要求 为整数，最靠近的允许位置是 ，最小值则为 。 系数不同时的距离和最小值 这一节属于选学拓展。每个距离前的正系数表示这一段距离要计算多少份。份数不同，最小位置可能改变，不能直接把所有不同定点排好后选中间。 两个定点时比较两边的系数 设 ，且 ，研究 。若 ，把较大的系数拆开： 前一部分至少为 ，后一部分非负；只有 时，后一部分为 且前一部分也达到下界。所以最小值是 ，在系数较大的那一端 处取得。 同理，若 ，最小值是 ，只在 时取得；若 ，退回等权情形， 最小值是 ，所有 都可以取得。若 ，则原式为 ，最小值为 ，只在 处取得。 这里要求系数为正。若某个系数为 ，只剩另一个距离；若出现负系数，原式已不是本节讨论的“正系数距离和”，必须重新分析。 先把绝对值内的系数提出来 例：求 的最小值。先写成 ，两个定点为 ，距离为 。进一步分组： 取 时，原式为 ，所以最小值是 ，只在 时取得。如果只对两个不同定点使用“中间整段”结论，就会忽略多算的一份 。 图12 较大的系数使最小位置落在负3处 正整数份数可以把定点重复列出 例如 相当于到 四个定点的距离和。重复的 不能删去。按两端配对，最小值为 ，在所有 的位置取得。 若系数是正分数，可以先把整个式子乘一个适当的正整数，使份数变成正整数，求出结果后再除回来。例如 乘 后，是到 的距离和，最小值为 ，只在 取得；所以原式最小值为 。分组说明已经足够时，不必为了套形式列出大量重复点。 有距离被减去时改用分段判断 若式子是 ，第二项被减去，不能使用“两个正系数距离之和”的结论。先找零点 ，逐段去符号： 在第一段， 使 ；在中段， 使 ，等号只在 成立；在第三段， 使 。所以整个式子的最小值是 ，只在 取得。代回原式得 。 当 向左或向右走得足够远时，这个例子的值都可以不断增大，因此没有最大值。若给定了有限范围，就只保留与这个范围重合的各段，再比较分界点和允许端点；若端点不允许取得，还要检查相应最值能否真正达到。 含符号信息的分式 这一节属于选学拓展。先看分式有没有意义，再看分子、分母的符号。字母出现在分母中，就必须排除使分母为0的情况。 一个非零数与其绝对值的比只有两种值 当 时，，比值为 ；当 时，，比值为 。两种比值在这里恰好相等，不表示分子分母可以随意交换。 时，两式都没有意义，不能说值为 。 不同项的正负可能互相制约 例：在 时，求 的可能值。前两项决定了 的正负，第三项的符号由乘积法则确定，不能再独立任取正负。 若 ，三项是 ，和为 。若 ，三项是 ，和为 。若 ，三项是 ，和为 。若 ，三项是 ，和仍为 。所以可能值只有 和 。 例如不能随意把三项同时取为 ：前两项为 表示 都为负，此时 ，第三项必须为 。同样，由于 非零， 也非零，第三个分母才有意义。 连乘项依旧由已有符号决定 在 都非零时， 可按负数的个数分类：没有负数时为 ；恰有一个负数时为 ；恰有两个负数时为 ；三个都为负数时为 。因此可能值是 。 若题目另给乘积为正、和为负等条件，还要剔除不满足这些条件的符号组合。把每项都看成互不相关的正负1，会制造并不存在的取值。 逐层处理嵌套绝对值 数值运算从最内层开始 嵌套绝对值中，内层的结果是外层所处理的数。例：。若外面另有负号，则 ；外面的负号不能跟着绝对值符号一起消失。 字母式先用内层结果的已知范围 因为 ，所以 ，。但 的符号不确定：当 时非负，当 时为负。因此 若还要彻底去掉内层绝对值，就要再结合 的正负分类。并非每道题都需要写出最细的分段；应根据要求决定是否继续。 解嵌套等式由外向内分支并检查非负条件 例：解 。先把 看作外层绝对值内的整体，得到 或 ，于是 或 。两种右边都非负，所以 代回验证： 时外层为 ； 时外层为 ，四个解都成立。若右边改为 ，就会得到 或 ，后一种不可能，所以只剩 或 。不能认为每多一层绝对值，解的个数就一定加倍。 图13 两层绝对值等式的四个解 回到定义检查每一步 绝对值题无论形式怎样变化，都应检查四件事：绝对值内的符号是否确实已知；涉及除法时分母是否非零；分类是否覆盖端点及特殊情形；算出的数是否满足原题所有条件。遇到陌生形式，先回到距离或正负分类，不要先寻找没有条件的口诀。 到两点等距与倍距的位置 两定点不同等距点只有一个 设点 分别表示 ，且 。若 ，点 到两点距离相等，它只能位于两点之间的正中间。因为在两点外侧，两段距离总相差 ，不可能相等；在两点之间，两段相等距离的和为 ，所以每段都是 。因此 例如，到 与 的距离相等的点表示 。若 ，两定点本来就重合， 对任何允许的 ，两段距离都相等，此时不能说只有一个等距点。 倍距关系要同时检查内侧与外侧 例：点 分别表示 ，求满足 的点 所表示的数。两定点距离为 。 当 在两点之间时，。由于 ，三份 共为 ，所以 ，点 在 左边，表示的数为 。 当 在 右侧时，。由 得 ，所以点 表示 。当 在 左侧时，，不可能满足 ，所以没有解。 检验： 时，； 时，。两个解都满足倍距关系。只找中间的一点会漏解；直接由 写成 ，也会漏掉内部式子异号的情况。 图14 倍距关系在两点之间和外侧各有一解 一般正倍率的内外位置 两定点不同、 且 时， 在两点之间总有一个位置：，所以 ，两段距离都为正。 若 ，另一位置在 的右侧，此时 ，故 ；若 ，另一位置在 的左侧，此时 ，故 。两个系数分别为正，所以对应距离都可以取得。若 ，两点外侧的距离差仍是非零的 ，不存在外侧解。 倍率为1或0时不能照搬两解结论 若写成 ，讨论倍距位置时应先说明 。当 且两定点不同时，就是等距问题，只有一个中间点。若另外考虑 ，则 ，只能是 与 重合。两定点不同而 时，没有解，因为非负的 不能等于负数与正距离 的乘积， 时也会使 。 若两定点重合，，则 时每个允许位置都符合； 时只能有 ，即点 与定点重合。因此题设中“定点是否重合”和“倍率是否为1”都需要先检查。 多个式子同时达到下界 先分别找到下界再检查能否同时取得 若 且 ，则 。等号成立当且仅当 且 ，因为 是两个非负数的和为零。求和的最小值时，不仅要写出下界，还必须找到使各项同时达到下界的允许取值。 例：求 的最小值。前两项至少为 ，在 时取得；后两项至少为 ，在 时取得。 可以分别选择，因此这些条件能同时满足。总和最小为 ，取到时恰有 且 。 如果题目另有 等联系条件，就要把这些条件一起检查。本例加上 后， 仍然能同时满足两组条件，因此最小值仍为 。不能仅看到有两个下界，就省略能否同时取得的检查。 已知达到下界后继续求范围 反过来，若题目给出上例的距离总和等于 ，就能确定 且 。再求 的范围：最小时取允许的最小 与最大 ，得 ；最大时取 ，得 。这两组数都符合总和为 的原条件，所以最小值 与最大值 都能取得。 正因子的乘积达到下界也要求每个因子达到下界 若 ，，则 。只要 或 ，因子均为正就会使乘积严格大于 ，所以等号成立当且仅当 且 。这里两个下界都为正是关键条件。 例： 的两个因子分别至少为 和 ，所以乘积至少为 。取 时两个因子同时取到下界，故最小值为 ，且只有这组取值能达到。 零下界和同一变量都要额外检查 若某个下界为 ，乘积等于下界不一定要求另一因子也达到下界。例如 时，取 ，仍有 ，却没有 。 若把前例的两个变量改为同一个变量，成为 ，则要让两个因子同时达到 和 ，就必须同时有 与 ，这不可能。因此“乘积至少为2”虽然正确，却不能据此把2写成能取到的最小值。下界与最小值的区别，就在于是否有允许取值能达到它。 数轴上动点的位置与距离 先写点表示的数再写两点距离 数轴向右为正方向。一个点从表示数 的位置出发，向右每秒移动 个单位长度，经过 秒后表示的数为 ；若向左移动，则为 。这里速度的大小 ，时间 。方向通过加减号体现，不能把“走过的路程”直接当成“点所表示的数”。 相遇前后两点的顺序会改变 例：点 从 出发向右每秒移动 个单位长度，点 同时从 出发向左每秒移动 个单位长度，两点相遇后继续按原方向移动。经过 秒，点 表示 ，点 表示 ，因此 相遇时 ，所以 ，得到 ；相遇点表示 ，同时也有 。在相遇前 ，两点距离为 ；相遇后 ，距离为 。 图15 两点从负6与6出发 在表示2的点处相遇 给定距离可能对应相遇前后两个时刻 在这个例子中，若要求两点相距 个单位长度，则 ，所以 或 ，得到 或 。两者都满足 ，分别对应相遇后与相遇前。检验： 时两点表示 ； 时两点表示 ，距离均为 。若题目限定“相遇之前”，就只能取 。 经过定点不一定是相遇时刻 同一例中，点 经过原点时有 ，所以 ；点 经过原点时有 ，所以 。两点分别经过原点的时刻不同，也都不同于相遇时刻 。涉及到定点的距离时，应分别写成 和 。 转向后按转向位置重新计时 若一个点从 出发，向右每秒移动 个单位长度，运动 秒后立即调头，仍以每秒 个单位长度向左运动，则转向位置表示 。从出发起计时，它表示的数为 第二段用 表示调头后已经走的时间，不能直接写成 。两段在 时都给出 ，衔接正确。若问从出发到 共走了多远，路程为 ；此时点表示 ，到起点 的距离为 。路程与两点距离不是同一个量。 动点题的检查顺序是：方向与速度是否对应，时间范围是否符合，是否已经相遇或转向，所求的是位置、路程还是距离。若有停留、不同出发时刻或运动结束条件，应先分清各段时间，再写对应的位置式。 题型一 绝对值的意义与直接求值 先分清数的位置和它到原点的距离，再处理绝对值符号内外的正负号。计算嵌套式时由内向外进行。 1．下列说法中，正确的是（　　）。 A．任何有理数都满足 B．任何有理数都满足 C．任何有理数都满足 D．     2．直接写出下列各式的值。 （1）________；（2）________； （3）________；（4）________。     3．数轴上，点表示，点表示，点为原点。 （1）分别写出、到原点的距离，并用绝对值等式表示。 （2）在图中标出、关于原点的对称点、，写出它们表示的数。 （3）比较与的位置和它们到原点的距离，说明相反数与绝对值有什么不同。           4．计算：。           5．小明计算：。 （1）指出第一处错误，并写出正确计算。 （2）分别求和，说明绝对值能否直接分配到减法的每一项上。             题型二 绝对值与大小比较 先看比较的是原数还是绝对值。两个负数比较大小时，绝对值大的反而小；数轴上位置靠右与离原点较远不是同一件事。 1．将，，按从小到大的顺序排列：________。     2．比较与的大小，并比较它们绝对值的大小。写出理由。           3．已知，且。用“”将、、、、连接起来，并说明理由。             4．数轴上，点在点的左边，分别表示、。 （1）若两点都在原点右边，比较与。 （2）若两点都在原点左边，比较与。 （3）若两点分居原点两侧，仅凭“在左边”能否判断与的大小？举例说明。               5．已知，比较与的大小，并求较大的一个比较小的一个大多少。             题型三 已知绝对值求原数 先列出绝对值对应的全部候选，再用题目条件逐一筛选。多个字母不要同时只取正数；求得候选后还要回看条件。 1．已知。若，则________；若，则________。     2．已知，，且。求的所有可能值，并列出对应的、。               3．已知，，且。 （1）求的所有可能值。 （2）是否为定值？说明理由。               4．已知，，，且。求的所有可能值。             5．已知，。 （1）不重复地写出的所有可能值。 （2）是否可能有？说明理由。 （3）当时，、的符号有什么关系？               题型四 由绝对值等式判断符号与范围 把绝对值等式与定义对应起来，明确得到的是大于、非负、负数还是非正。多个条件要同时满足，特别注意零能否取到。 1．填写的范围。 （1）若，则________；（2）若，则________。     2．（1）若，求的范围。 （2）若，求的范围。 （3）是否存在同时满足以上两个等式的？说明理由。               3．已知，，且。判断、的符号或范围，并说明能否等于。             4．已知，且。求的范围，并说明是否符合条件。             5．已知。求的范围，并写出满足条件的最小整数。                 6．已知，。 （1）写出与、与的大小关系。 （2）能否据此判断？若不能，请分别举出与的例子。               题型五 利用非负性求值 几个非负数的和为零，每一项都必须为零。先核对每项是否非负，再检查求出的条件能否同时成立。 1．已知，求和。             2．已知，求。             3．已知，求。             4．是否存在有理数，使？请说明理由。             5．（1）已知，求、。 （2）若把等式右边改成，还存在符合条件的、吗？说明理由。                 题型六 根据条件化简绝对值 将条件转化为每个绝对值内式的符号，写出去绝对值后的括号，再合并。仅有数轴左右顺序时，未必能判断两个异号数的和。 1．已知，化简。             2．已知。 （1）化简。 （2）分别求、时原式的值。               3．已知，且，化简。               4．有理数、、在数轴上的位置如图，且。 （1）判断、、的符号。 （2）化简。             5．已知，化简。               6．已知，，且，化简。               题型七 零点分段化简 先找出每个绝对值内式为零时 的值，按从小到大的顺序分段。每段分别判号，外面的减号和系数要保留；最后检查分界点。 1．化简 。                     2．化简 。能否对任意有理数 ，直接把两个绝对值内的式子相加？说明理由。                   3．化简 。                   4．化简 。当 或 时，原式的值有什么共同特点？说明理由。                       5．化简 。                       6．化简 ，并写出原式恒为常数的最大连续范围及该常数。这里的范围必须含有不止一个数。                     题型八 含绝对值的方程 先检查等号右边能否作为绝对值的值，再选择分类方法。嵌套方程宜由外向内解；按范围求出的候选值，必须检查是否属于该范围。 1．解下列方程： （1）；（2）。               2．解方程 。                   3．解方程 。                   4．解方程 。                     5．解方程 。                   6．解方程 。此方程是否只有有限个解？请说明理由。                     7．【拓展】已知 为有理数。若方程 恰有三个不同的解，求 的值，并求这三个解。                         题型九 数轴上的等距与倍距问题 先把绝对值写成点与点之间的距离。倍距问题要区分点在线段内部和外部；若题目没有限定位置，就不能只画中间一种情况。 1．如图，数轴上点 、 表示的数分别为 、。点 表示数 ，且 。求 ，并说明满足条件的点 是否唯一。                 2．数轴上点 、 表示的数分别为 、，点 表示数 。 （1）若 在线段 上，且 ，求 ；（2）若取消“ 在线段 上”的限制，是否还有其他满足 的点？求出所有可能的 。                     3．如图，数轴上点 、 表示的数分别为 、。求所有满足 的点 所表示的数，并分别计算相应的 、。                   4．数轴上点 、、 表示的数分别为 、、。点 表示数 。 （1）分别求满足 、满足 时的 ；（2）是否存在一个点 ，使 ？说明理由。                   5．已知 、 为有理数。 （1）若 ，且方程 只有一个解 ，求 ；（2）若改为 ，这个方程还有唯一解吗？说明理由。                   6．【拓展】数轴上点 表示 ，点 表示 ，点 表示 。已知 且 。 （1）求 的所有可能值；（2）对每一个可能的 ，再求所有满足 的点 所表示的数 。                         题型十 两点距离和与距离差方程 先比较给定距离和与两定点之间的距离，再判断有无解。对于距离差，必须按题目顺序相减；“两个距离之差”与“两个距离之差的绝对值”不是同一回事。 1．如图，数轴上点 、 分别表示 、，点 表示数 。 （1）若 ，写出 的全部取值范围；（2）若 ，是否存在这样的点 ？说明理由。                   2．数轴上点 、 分别表示 、，点 表示数 。若 ，求 的所有可能值。                   3．【拓展】已知 为有理数。讨论方程 在什么情况下无解、有无穷多个解或恰有两个解；有解时写出全部解或取值范围。                       4．解方程 。                   5．数轴上点 、 分别表示 、，点 表示数 。分别求满足下列条件的所有 ： （1）；（2）；（3）；（4）。                     6．比较下列两个方程的解，并说明解的个数为什么不同： （1）；（2）。                     7．【拓展】数轴上点 、 分别表示 、。判断是否存在点 ，分别满足下列两组条件；若存在，求它表示的数 ，若不存在，说明理由。 （1），且 ；（2），且 。                       题型十一 距离范围与整数点问题 把“不超过”“小于”“至少”等词翻译成数轴上的远近范围，先确定所有可行位置，再筛选整数。特别检查两端是否包括在内。 1．分别写出满足下列条件的 的范围，并列出其中所有整数： （1）；（2）。                 2．整数 满足 ，且它所表示的点到表示 的点的距离至少为 。求所有这样的整数，并求它们的和。                   3．点 表示有理数 。它到表示 的点的距离不超过 ，同时到表示 的点的距离小于 。 （1）用两个含绝对值的式子表示条件；（2）求 的取值范围；（3）列出符合条件的全部整数。                   4．求满足 的所有整数 ，并求这些整数的和。                   5．求满足 的所有有理数 的范围，并求其中整数的个数与和。                     6．数轴上点 、 分别表示 、。点 表示数 ，满足 ，且 。求 的取值范围，并列出其中所有整数。                     题型十二 限定范围内的最值问题 先看题目允许 取哪些数，再判断绝对值内式能否为零。求最大值或最小值，必须同时写出取得该值时 的所有可能值。 1．已知 。求 的最小值和最大值，并分别写出取到这些值时的 。               2．已知 。 （1）求 的最小值和最大值；（2）求 的最大值和最小值。 两问都要写明对应的 。                   3．已知 。求 的最小值和最大值，并写出分别取到最值时 的全部取值。                   4． 为整数，且 。求 的最小值和最大值，并写出相应的 。                   5．已知 满足 。在此条件下，求 的最大值和最小值，并写出取到它们时的 。                         6．【拓展】已知 ， 是有理数。当 在这个范围内取值时， 的最大值为 ，最小值为 。求 的所有可能值，并写出每种情况下取得这两个最值时的 。                         题型十三 多点距离和的最小值 1．如图，数轴上点、分别表示、，点表示数。求的最小值，并写出取得最小值时的全部取值范围。 有同学认为“只有当在、的正中间时才能取得最小值”。他的说法正确吗？请说明理由。                   2．求的最小值及此时的值。 若把取为与的平均数，能否取得最小值？请计算检验。                   3．求的最小值，以及取得最小值时的全部取值范围。 若为整数，写出所有使原式取得最小值的，并求这些整数的和。                   4．求的最小值及取等时的全部取值范围。 请说明：系数最大的项为，是否意味着原式只在时取得最小值？                     5．求的最小值及此时的值，并说明为什么不能把三个绝对值分别令为。                     6．已知，且的最小值为。求的值，并写出取得最小值时的值。                   7．已知的最小值为。求的所有可能值，并分别写出取得最小值时的全部取值范围。                         题型十四 距离差及带系数距离差的最值 1．求的最大值和最小值，并分别写出的全部取值范围。请用数轴上的距离关系或分段计算说明理由。                   2．求的最大值、最小值及各自取得时的全部取值。与上一题相比，外面多出的绝对值改变了哪些结论？                     3．求的最大值及此时的值。这个式子有最小值吗？说明理由。                       4．设为正整数。已知的最大值为，并且只有时能取得这个最大值。求的所有可能值，并说明理由。                         5．求的最大值和最小值，以及各自取得时的全部取值范围。                           题型十五 多变量约束下的最值 1．已知。求、各自的取值范围，再求的最大值和最小值，并写出对应的、。                     2．已知。求的最大值和最小值，并写出对应的、。                     3．已知。求的最大值和最小值，并写出对应的、。                         4．已知。求的最大值和最小值，并写出对应的、、。                         5．已知。求的最大值和最小值，并分别给出一组取得最值的、。                           6．已知，且。求的最大值和最小值， 并写出对应的、。                             题型十六 含绝对值的分式求值 1．分别在和两种情况下，求与的值。 当时，上述两个式子有意义吗？说明理由。               2．已知均不为，且。求的值，以及的所有可能值，并分别举例说明。                 3．已知均不为，且。 （1）求的所有可能值。 （2）如果还知道，上述式子的值是否唯一？说明理由。                     4．已知均不为，且。能否断定？请列出所有可能的符号情况，并说明第三项为什么不能独立地任取或。                       5．已知均不为，且。求的所有可能值。 如果这个式子的值为，能否确定的正负？说明理由。                         6．已知均不为。求的最大值、最小值，并分别说明四个数中有几个负数。 如果原式等于，能否确定的正负？说明理由。                           7．已知均不为，且。求的所有可能值，并各举一组说明这些值都能取得。                             题型十七 数轴动点问题 1．如图，点、分别表示、。点从出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，到达时停止。设出发后经过秒（包括出发和到达时刻）。 （1）写出的取值范围，以及点表示的数。 （2）点到原点的距离何时为？求出全部符合条件的。                     2．如图，点、分别表示、。点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，到达时立即停止。设出发后经过秒。 在从出发到停止的过程中（包括两端时刻），的最小值是多少？何时取得？这一过程中能否有？说明理由。                       3．如图，点、分别表示、。点从出发向右，速度为每秒个单位长度；点同时从出发向左，速度为每秒个单位长度。两点相遇后仍按原方向、原速度继续运动，设出发后经过秒，只研究的过程。 （1）两点何时相遇？ （2）两点之间的距离何时为？说明每个时刻是在相遇前还是相遇后。                         4．如图，点、分别表示、。点从出发向右，速度为每秒个单位长度；点同时从出发向左，速度为每秒个单位长度。两点相遇后继续按原方向、原速度运动。设出发后经过秒，只研究。 当两点到原点的距离相等时，可能是多少？分别在什么时刻出现？请说明两点的位置关系。                         5．如图，点、分别表示、。点从出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，到达后立即转向，以每秒个单位长度的速度返回，到达后停止。 设出发后经过秒，表示出发时刻。在整个往返过程中（包括出发和停止时刻），点到原点的距离何时为？求所有符合条件的。                           6．如图，点、分别表示、。点从出发向右，速度为每秒个单位长度，到达后停止；点同时从出发向左，速度为每秒个单位长度，到达后停止。两点相遇时都不停留。设出发后经过秒。 从出发到点停止（包括两端时刻），两点何时相遇？又分别发生在什么时刻？                             7．如图，点、分别表示、，为原点。点从出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，到达后立即按原速度返回，随后停止。点同时从出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，到达后停止。 设出发后经过秒，表示出发时刻。在内，求所有使成立的，并说明出发时刻是否符合条件。                               第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $绝对值期中复习专题讲义学生版 绝对值期中复习专题讲义 2026一2027学年第一学期苏科版七年级数学上册 学生版 目录导航 知识梳理 .3 从数轴和相反数认识绝对值.… 3 绝对值的定义与去绝对值符号.. .3 绝对值的基本性质与相反数关系.… .4 已知绝对值求原数与比较大小..… ..5 含绝对值的数字运算.… 绝对值与乘除及和差的关系… …6 根据已知条件化简含字母的绝对值. .7 根据数轴位置判断式子的符号 .7 利用非负性确定各项的值.… 8 把绝对值看成两点之间的距离.… .9 单个绝对值的等式与范围.… .9 必记结论与使用条件.… .11 零点分段化简多个绝对值 11 两点距离之和与相应等式.… 13 两点距离之差与相应等式.… .14 多个定点的距离和最小值.… .15 系数不同时的距离和最小值 ...16 含符号信息的分式… .18 逐层处理嵌套绝对值.… ..18 到两点等距与倍距的位置.… 19 多个式子同时达到下界 .20 数轴上动点的位置与距离.. .21 第1页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 题型导航 题型一绝对值的意义与直接求值。 23 题型二绝对值与大小比较… .25 题型三已知绝对值求原数 …27 题型四由绝对值等式判断符号与范围.… …29 题型五利用非负性求值.。 .31 题型大根据条件化简绝对值… .33 题型七零点分段化简… .35 题型八含绝对值的方程. .37 题型九数轴上的等距与倍距问题… .40 题型十两点距离和与距离差方程.… ....45 题型十一距离范围与整数点问题.… …49 题型十二限定范围内的最值问题. ....53 题型十三多点距离和的最小值.56 题型十四距离差及带系数距离差的最值...… .59 题型十五多变量约束下的最值..61 题型十大含绝对值的分式求值… .64 题型十七数轴动点问题.67 第2页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 知识梳理 从数轴和相反数认识绝对值 本专题接着已经学过的正负数和数轴来复习。数轴上的位置既有方向，也有远近：正负号帮助我们 判断点在原点哪一侧，绝对值则表示它离原点有多远。先掌握概念和基本应用，再按学习情况阅读 零点分段及其后的综合与拓展。 相反数先看方向再看距离 在数轴上，表示3与-3的点位于原点两侧，到原点的距离都是3个单位长度。这两个数互为相反 数。一个数a的相反数是-a;0的相反数仍是0。 a与b互为相反数÷a+b=0 相反数不一定是负数。例如，-(-5)=5。符号-a表示“a的相反数”，只有知道a的符号，才能确定 -a的符号。 3 3 -4 -3 -2 3 图1相反数对应的两点关于原点对称 从位置转向距离 在数轴上，-3<3，但两点离原点一样远。因此“数的大小”和“离原点的距离大小”不是一回事。写 -3引=3，就是把-3所对应的距离记录下来。 绝对值的定义与去绝对值符号 几何定义 一般地，数轴上表示数x的点与原点的距离，叫作数x的绝对值，记作x。距离不能是负数，可 以是0。因此绝对值的结果是非负数，不是“一定为正数”。 按正负号写成代数形式 X, X>0, X= 0,x=0, x,X<0. 正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数。也可以把前两种情况合起来 写成：当x≥0时，x=x;当X<0时，x=-x。 第3页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 去掉的是符号保留的是数值 例如-7引=-7=7.101=0，层=号逼到一个式子，也要先判断绝对值符号里面整个式子的正 负，而不是只看最前面的符号。 la-bl= a-b,a≥b, b-a,a<b. 例如，已知a<2,则a-2<0,所以1a-2=-a-2)=2-a。负号作用于整个括号，不能只改变第一项 的符号。 “把负号去掉”只适合解释一个已经确定为负数的数值，不能当作通用法则。|α=a要有a≥0； |a=-a要有a≤0。 绝对值的基本性质与相反数关系 非负性和等号条件 1a≥0，|a=0a=0 a≥a, a≥-a 第一处等号a=a在a≥0时成立；第二处等号a=-a在a≤0时成立。特别注意：由|a=-a不 能直接说a<0,因为a=0也符合。 相反数的绝对值相等 I-al=al,llall=lal,a=a2 相反数对应的两点到原点距离相等，所以-a=。又因为a已经非负，再取绝对值不变。最后 一个等式可分别用a≥0和a<0验证：两种情况平方后都得到α。 绝对值相等不一定互为相反数 a=|ba=b或a=-b 理由是：到原点距离相等的两个点，要么重合，要么关于原点对称。例如|4=4，两个数相等； 4=-4,两个数互为相反数。若共同距离为0，只能有a=b=0,此时两种说法都成立。 例：已知|a=|b|且a≠b,能否判断a+b?由绝对值相等可得a=b或a=-b;排除第一种后，只剩 a=-b,所以a+b=0。若没有a≠b,就不能直接得出这个结论。 区分相反数与绝对值外的负号 -a是a的相反数，正负不确定；|a与-a相等，均非负；-a是a的相反数，因此不大于0。 下面用负数、零、正数分别检验。 第4页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 a -a a 1-a a 3 3 3 3 -3 0 0 0 0 0 3 -3 3 3 -3 例如-a不是-a。只有a=0时两者相等；当a≠0时，前者为正，后者为负。 已知绝对值求原数与比较大小 先判断给出的距离能否成立 无解， a<0, x =a: X=0, a=0, x=a或x=-a,a>0. 例如，子则x弓或x= 3 ,两数互为相反数，不要漏掉负数。x=-2没有符合条件的数； |x=0只有一个解，不能说有“正零和负零”两个解。 比较数的大小与比较绝对值的大小 数轴上右边的数大于左边的数。正数大于0,0大于负数；两个负数比较大小时，绝对值大的反而 小。例如-81>-3引，但-8<-3。 7=21>20= 8 6 2424 3 8 B 0 C ◆ 十 -9-8-7-6 -5-4-3-2-1012 3 4 图2点越靠右数越大点离原点越远绝对值越大 绝对值大小不能单独决定原数大小 由a>b不能单独推出a>b。例如a=-5,b=2时，|a>b,但a<b。只有结合符号，才能判 断：若α，b都是正数，直接比较绝对值；若都为负数，大小顺序相反；若异号，则先比较正负。 第5页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 含绝对值的数字运算 先算符号内再按运算顺序计算 绝对值符号起到类似括号的作用。先计算符号内的值并判断正负，求出绝对值；再按先乘方、后乘 除、最后加减的顺序运算。同一级运算从左到右，有括号先算括号。 例1：计算先算培二个笔对值内的和：子宁京因比 13.111111 24224244 这里不能直接变成子方 3.1 因为绝对值作用于两项相加后的整体。 分清符号外的负号和乘方范围 例2：计算--32+(--22+1-4÷（-3)。各绝对值分别为3,2,3，所以 --3+(--2)2+1-4÷(-3)=-32+(-22+3÷(-3)=-9+4-1=-6 --3是-(3)=-9；(--22是(-2=4。括号不同，乘方的对象就不同。解题时应保留必要括 号，明确每个负号与乘方所作用的范围。 结果检查 单个绝对值的结果不能为负，但含绝对值的整个式子可以为负。例如2|-5=-3。若出现除法，还 要检查除数是否为0；绝对值并不会消除“不能除以0”这一限制。 绝对值与乘除及和差的关系 乘积与商可以分别取绝对值 lab =al bl a-lal bbl b≠0)】 乘法的依据是符号法则：a,b同号时乘积为正，异号时乘积为负；无论哪种情况，乘积的绝对值都 等于两数绝对值的积。有一个数为0时，两边同为0。商的结论同理，但必须先有b≠0，这也保证 1b≠0。 例如1(-×4=×4=6，(-6)(-星川=6÷是=8。这些性质适用于乘除，不能照搬到加减。 和的绝对值不大于绝对值的和 |a+b|≤a+|b 若Q,b同号或其中至少一个为0，和的绝对值等于两个绝对值之和，等号成立。若a,b异号且都不 为0，相加后要用较大的绝对值减去较小的绝对值，结果小于两者之和。因此等号成立的条件是 ab≥0。 把上式中的b换成-b,得到|a-b|≤|a+|b;这里等号成立的条件变成ab≤0。例：|-3+5|=2<8， 而-3-5|=8=|-31+15l。 第6页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 差的绝对值还存在一个下界 la-|bll≤a-b|≤a+bl 左边不等式可以用已经说明的“和的绝对值来理解：|a=a-b)+b≤|a-b+bL,所以 |a-b≤a-bl;交换a,b后又有b-a≤a-b。这两个差中较大的一个正是‖a-|bll,于是得到左 边不等式。 左边等号在ab≥0时成立，右边等号在ab≤0时成立。用数轴检查：两点在原点同侧时，点间距离 等于到原点距离之差的绝对值；在原点两侧时，点间距离等于两段距离之和。含0的情况也包括在 条件内。 这一节后半部分用于理解和估计，不必脱离条件机械背诵。遇到具体数字，直接求值往往更简洁。 根据已知条件化简含字母的绝对值 判断每个绝对值内部整体的符号 字母不代表“正数”。a可以为正、为负，也可以为0；~Q也不一定为负。化简前，应先把题设翻译 成绝对值内部各式的正负。 例1：已知a<0<b,化简|a-b|+a-b。由条件知a=-a,Ib=b,且a-b<0,所以 |a-lb+|a-b|=-a-b-(a-b)=-2a 在这一条件下，a+b却可能为正、为负或为0：分别取a=-1,b=3,a=-3,b=1,a=-2,b=2即可 看出。因此不能顺便断定|a+b|应怎样去符号。 比较关系常能直接确定差的符号 例2：已知a<b,不论a,b本身的正负怎样，都有a-b<0,所以|a-b|=b-a。求差的符号时，大 小关系比单独研究两个数的符号更直接。 条件不够就分类或保留绝对值 例3：已知-1<a<2,化简a+1+a-1。a+1>0已确定，但a-1的符号不确定，要以a=1为 界。 a+1+a-1 (a+1)+(1-a)=2,-1<a≤1， (a+1)+(a-1)=2a,1<a<2. 当a=1时原式为2，所以端点放在第一段是正确的；若放在第二段并写成1≤a<2,也会得到同样 的值，但不能漏掉这个端点。 根据数轴位置判断式子的符号 先读顺序再读距离 从数轴图中先读出各点从左到右的顺序，从而得到大小关系。涉及和的符号时，还要看异号两数离 原点谁更远。只有示意位置、没有刻度或明确距离条件的图，不应凭视觉长度猜测数量关系。 第7页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 b 3 图3已知刻度范围可以确定和与差的符号 图中的Q,b只表示各自在所给范围中的一个位置，并没有指定它们的具体值。 例：图中给出-3<a<-2,0<b<1,化简a+b1-a-b+|b-1l。由a<-2,b<1,得a+b<-1<0;由 a<0<b,得a-b<0;又有b-1<0。所以 |a+b-|a-b+|b-1=-(a+b)-(b-a)+(1-b)=1-3b 注意第二项原来还有一个减号：-a-b|=-(b-α)。去绝对值符号后，先保留括号，再去括号合并，能 减少符号错误。 已知绝对值大小时判断异号数之和 若a<0<b且a>bl,负数“离原点更远”，所以a+b<0;若|a<b,则a+b>0;若两者绝对值 相等，则a+b=0。这三种情形不能只凭a<0<b合并成一种。 利用非负性确定各项的值 若干非负数的和为零则每项都为零 因为每一项都不小于0，只要其中一项大于0，总和就会大于0。所以当非负数的和为0时，每一 项必须同时为0。常见非负式有绝对值和平方。 a+|b=0÷a=0且b=0 例1：若x+2+(b-3)2=0,则x+2=0且b-3=0,得到x=-2,b=3。代回原式， 两项确实都是0。 等式变形后必须仍然是非负项之和 例2：若a-1+|b+2+5=5,先减去两边的5，得到a-1+b+2=0,从而a=1,b=-2。 但由|a-|b|=0,只能得到a=|b1,不能断定a=b=0,因为这里是两个非负数的差。由a+|b=4 也不能要求每项为0，因为右边不是0。 正系数不改变这个结论 若2a+3b=0,两项仍非负，且系数都为正，所以a=b=0。若系数为0，对应项不能提供限制； 若系数为负，就要重新判断，不能直接套用结论。 非负性还可判断“不可能”。例如x-1+2=0无解，因为左边至少为2。又如a-2=-b+1,左边非 负、右边非正，只能同为0，所以a=2,b=-1。 第8页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 把绝对值看成两点之间的距离 两点距离等于所表示的两数之差的绝对值 设数轴上点A,B所表示的数分别是a,b,两点距离为AB=|a-b|=|b-al。若已经知道a≤b,就可 直接写成AB=b-Q;若顺序未知，必须保留绝对值。 把表示数x的动点记为P,表示数a的定点记为A,则|x-a=PA。例如x+3=x-(-3川表示点 P到表示数-3的点的距离，不是到3的距离。 Ix+3引 A 0 Q -3 0 图4绝对值表示动点到定点的距离 图中点P的位置仅作示意，x可以改变；并不是一个已经指定的数。 有系数时先提出绝对值中的系数 lox-bI-lalx- (a≠0) 因为ax-b=ax, b 再用乘积的绝对值性质即可。右边是点P到表示数二的点的距离的a倍。 a 若a=0,原式是常数b,不能除以a。 12x-31=2x- 2x+1 x+2 第二个式子表示“到-2的距离的一半”，不是直接表示到-1的距离。|-3x+6=3|x-2也说明：提 出的是系数的绝对值，外面的倍数不能为负。 先统一成距离再分析 例：12x-3引=4等价于21x引=4，即点P到号的距离为2。因此x号2= 亏或×=+2了 2。代 入原式，两值都得到4。 单个绝对值的等式与范围 距离等于给定值 无解， b<0, x-al=b: X=4, b=0, x=a-b或x=a+b,b>0. 第9页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 当b>0时，从表示数a的点向左、向右各走b个单位长度，得到两个点；当b=0时，两个点合为 一个。这个结论来自距离，不要求事先学过一般的含绝对值方程。 距离不超过给定值 若b>0,|x-a<b表示点P在a-b与a+b之间，不含两端点；x-a≤b则包含两端点。 x-a<b=a-b<x<a+b (b>0) |x-a≤ba-b≤x≤a+b(b≥0) 3 3 A -3 2 -1 0 3 6 -2≤X≤4 图5到1的距离不超过3的所有点 例如，1x-1≤3对应-2≤x≤4；若只求整数x,则为-2，-1,0,1,2,3,4，共7个。若改为严格小于， 则两端点删去，共5个整数。 距离至少达到给定值 |x-a>b÷x<a-b或x>a+b(b≥0) |x-a≥b=x≤a-b或x≥a+b(b>0) A C B -5-4-3-2-1 0 2 5 X<-2 X>4 图6到1的距离大于3的所有点 零和负数作距离界限时单独检查 当b=0时，|x-a<0无解，x-a≤0只有x=a;|x-a>0表示x≠a,|x-a≥0对所有允许的x都 成立。当b<0时，|x-a<b与|x-a≤b均无解，而x-a>b与|x-a≥b对所有允许的x都成 立。 第10页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 范围题最后要检查题目是否另有整数、正数或指定区间等限制。先找到数轴上的范围，再在该范围 内选取符合额外条件的数。 一个距离的最小与最大问题 因为x-a≥0，所以c+|x-a≥c,其最小值为c,在x=a时取得；c-x-a≤c,其最大值为c,也 在x=a时取得。若X没有范围限制，前者没有最大值，后者没有最小值，因为点可以离a越来越 远。 若限制了x的范围，应改看允许位置中哪个点离a最近、哪个点最远。例：当-1≤x≤4时， 5-x-2|在x=2时最大，最大值为5；两个端点到2的距离分别为3和2，最远处是x=-1,所以 最小值为5-3=2。 若中心不在允许范围内，离中心最近的允许位置决定距离的最小值。例如3≤x≤6时，]x-1在 x=3取最小值2，在x=6取最大值5。如果把条件改成3<x≤6，距离可以无限接近2却不能等于 2,于是没有能取到的最小值；最大值仍为5。 必记结论与使用条件 使用条件 结论 任意数a |al≥0；|a=0当且仅当a=0 a≥0或a≤0 a≥0时|a=a;a≤0时|a=-a 任意数a l-al=lal,llall=lal,lap=a2 任意数a,b |a=|b|当且仅当a=b或a=-b 任意数a,b labl=lallbl b≠0 号 各项非负且和为0 |a+|b=0当且仅当a=b=0 点A,B分别表示a,b AB=|a-b;若a≤b,则AB=b-a b>0 |x-a=b当且仅当x=a-b或x=a+b b≥0 |x-a≤b当且仅当a-b≤x≤a+b 表中条件也是结论的一部分。使用前先对照条件；涉及零、负数距离界限或其他取值限制时，回到 相应小节判断。 零点分段化简多个绝对值 从本节起为综合与拓展内容。重点不是背分段后的结果，而是弄清：为什么在某个位置前后，绝对 值内部式子的符号会改变。 第11页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 用零点把数轴分成若干段 当x变化时，x-a的符号在x=a两侧发生改变；这个使式子为0的数叫作该式子的零点。先找出 每个绝对值内部式子的零点，再从小到大排列；同一段内，每个内部式子的符号都能确定。重复的 零点只需列一次。 例：分段化简|x+2+x-3+2x-2。三个零点是-2,3,1，按大小排列为-2,1,3，所以分为四段。注 意2x-2=2(x-1),它与x-1同号。 A B 十 -4 -3 -2 -1 0 2 3 5 X<-2 -2≤X<1 1≤X<3 X≥3 图7零点依次为负213共分成四段 逐段判断并保留外层运算符号 当x<-2时，三个内部式子都为负，原式为-(x+2)-(x-3)-(2x-2)=3-4x。 当-2≤x<1时，三个内部式子依次为非负、负、负，原式为(x+2)-(x-3)-(2x-2)=7-2x。 当1≤x<3时，三个内部式子依次为正、负、非负，原式为(x+2)-(x-3)+(2x-2)=3+2x。 当x≥3时，三个内部式子都非负，原式为(x+2)+(x-3)+(2x-2)=4x-3。 3-4x,x<-2, x+2+x-31+12x-21=7:2x,-2≤x<1, 3+2x,1≤x<3, 4X-3,X≥3. 每段算完都要检验端点 代入原式：x=-2,1,3时，分别得到11,5,9。相邻两段的表达式在公共分界处也分别得到相同的值， 因此端点没有矛盾。写分段结果时，可以把零点归入左段或右段，但必须把所有情况覆盖，且不能 给同一点写出互相矛盾的结果。 若用分段结果解等式，还要检查每段算出的候选数是否属于该段；不属于该段的数必须舍去。最后 回到原式验证。分段不是把各段条件丢掉，只留下几个算式。 第12页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 一段范围内何时保持定值 在同一段内去掉绝对值符号后，如果含x的项全部抵消，就得到与x无关的常数。例如在-1<x<2 内，Cx+1+x-2=C(x+1)+(2-x=(c-1)x+c+2。若要求这一整段内任取x,结果都相同，就必 须有c=1,此时定值为3。 也可以只选这段内的x=0和x=1作必要检查：所得c+2与2c+1必须相等，因此c=1;再代回 整段表达式确认处处等于3。这里只取两个值帮助找条件，最后的整段验证不能省略。若题目只允 许一个x值，任何式子都只有一个对应结果，不能据此要求含x的项抵消。 两点距离之和与相应等式 先假设两定点不同并排好顺序 设a<b,点A,B所表示的数分别为a,b,点P表示数x。|x-a+|x-b|就是PA+PB。用d=b-a 表示两定点的距离，此时d>0。 当P在A,B之间或与其中一个点重合时，PA+PB=AB=d;当P在左侧时，多走了两次PA;当 P在右侧时，多走了两次PB。因此 a+b-2x,x<a, x-a+x-bl=b-a, a≤x≤b, 2x-a-b,x>b. |x-a+|x-b|2b-a（a<b) 等号当且仅当a≤x≤b。所以最小值是b-a,达到最小值的不是只有中点，而是两端点之间的所有允 许位置，包括端点。若X可以任意向外移动，距离和可以不断增大，没有最大值。 AB=6 PA=3 PB=3 A 0 十十 -5-4-3-2 -1 0 1 3 4 5 这一整段都满足PA+PB=6 图8两定点之间的距离和保持为6 解距离和等式先与两定点距离比较 对于x-a+|x-b|=c,在a<b的条件下分三种情况： 若c<d,无解，因为距离和不可能小于AB。若c=d,所有满足a≤x≤b的数都是解。若c>d,只 能在两定点外侧各有一个解。 x=a+b-c或x=-a+b+c 2 (c>b-a,a<b】 2 第13页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 这两个数确实分别在左、右侧：由c>b-a,得Q+b-C<a,且a+b+C>b。不能把只适用于外侧的 2 2 两个表达式拿来处理c=d,否则会漏掉中间所有点。 例：对|x+2+|x-4|=c,两定点距离是6。当c=5时无解；当c=6时，所有-2≤x≤4的数都是 解：当c=10时，X=2+4-10=-4或X=2+4+10=6。检验：两处距离和分别为2+8=10和 2 2 8+2=10。 两定点重合时另作检查 若a=b,原式为2|x-a。等式2x-a=c在c<0时无解，在c=0时只有x=a,在c>0时有 X=a气或X=a+兮两个解。此时不能再说达到最小值的位置是一段不同的点。 两点距离之差与相应等式 两个距离的差与这个差的绝对值不同 仍设a<b,令d=b-a>0。x-a-x-b=PA-PB是两个非负距离的差，可以为负、为0或为正； 川x-a-x-b川才是这个差的绝对值，二者不能混用。 a-b=-d,x≤a, x-al-|x-b|=(2x-a-b,a<x<b, b-a=d,x≥b. 在左侧，PB=PA+AB,所以差恒为-d;在右侧，PA=PB+AB,所以差恒为d;在中间，分别写出 PA=x-a、PB=b-x,相减得到2x-a-b。故这个差最小为-d,最大为d。 A B -4 -2 0 2 6 PA-PB=-6 -0 PA-PB=2x-2 PA-PB=6 图9左侧的距离差为负6右侧为6 解距离差等式 对|x-a-x-b=c,在a<b时：若c<-d或c>d,无解；若c=-d,解为所有x≤a;若c=d,解 为所有x≥b;若-d<c<d,只有一个解，且在两定点之间。 x-q+b+c 2 (-d<c<d) 第14页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 例：1x+2-x-41=2中，d=6,且-6<2<6，所以X=2+4+2=2。代入得4-2=2。 2 若右边换成6，解不是只有x=4,而是所有x≥4；若换成-6，则所有x≤-2都是解。 外面再有一个绝对值时 对1x-ax-b=c,仍假设a<b:当c<0或c>d时无解：当c=0时只有中点x=a+也， 2；当 0<c<d时，要分别令距离差等于c和C,得到两个解x=0+b+C 2 或x=Q+b-c 2；当c=d时，解 为所有X≤a或x≥b。 两定点重合时 若α=b,距离差与差的绝对值都恒为0：右边为0时，所有允许的x都符合；右边不为0时，无 解。若原题没有规定α，b的顺序，可先交换点名排好顺序，但交换距离差的两项会改变符号，必须 同时改写等式。 多个定点的距离和最小值 两端配对得到下界 本节讨论每个距离前的系数都为1的情形。先按所表示的数从小到大排列定点，再把最左与最右、 次左与次右依次配成一对。每一对的距离和，至少等于这一对定点之间的距离。能让所有配对同时 达到下界的位置，才是整个距离和最小的位置。 三个点时中间的点给出最小值 设a≤b≤c。由|x-a+|x-c≥c-a,且x-b1≥0，可得 x-a+x-b+x-c zc-a 取x=b,第一组达到c-Q,第二项等于0，所以最小值为c-Q,且只有x=b时取得。定点重合也 不会破坏这个结论。 例：x+4+x-1+x-5的三个定点依次是-4,1,5。配对两端得|x+4+x-5≥9，中间一项至少为 0;取x=1,原式为5+0+4=9，所以最小值是9，此时x=1。 AC=q B -5-4-3-2-10123456 图10三点距离和在中间定点处最小 第15页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 四个点时中间两点之间都是最小位置 设a≤b≤c≤d。外侧配对与内侧配对分别给出|x-a+|x-d≥d-a、|x-b+|x-C≥c-b。两处同时取 等号，要求a≤x≤d且b≤x≤c,合起来就是b≤x≤c。 x-a+x-b+x-c+x-d z(d-a)+(c-b) 例：定点为-5，-1,2,7时，距离和最小值为(7-(-5)+(2-(-1)=12+3=15，所有-1≤x≤2都能取 得。若中间两个点重合，这一段就缩为一个点。 12 3 -10 2 7 所有-1≤x≤2均取最小值15 图11四点距离和在中间两点之间最小 推广到更多点 奇数个定点时，配对后还剩最中间一个点；在这个中间定点处，所有配对及剩余的一个距离同时达 到最小。偶数个定点时，没有剩余点；中间两个定点之间的整段都能使所有配对达到最小。这就是 等权距离和中“选中间位置”的依据，不应脱离等权条件使用。 题目限制位置时先看最小位置是否允许 以上四点的例子中，若要求x为整数，最小值仍为15，在x=-1,0,1,2时取得。 若改为要求3≤x≤5，原来的最小区间已不能到达。在此范围内原式为 (x+5)+(x+1)+(x-2)+(7-x)=2x+11,所以最小值为17，在x=3时取得；最大值为21，在x=5 时取得。 受限范围的端点还必须看是否包含。例如同一例若要求x>2且x可取分数，距离和始终大于15， 却可以通过取越来越接近2的数，使其越来越接近15，因此没有能取到的最小值。若同时要求x 为整数，最靠近的允许位置是3，最小值则为17。 系数不同时的距离和最小值 这一节属于选学拓展。每个距离前的正系数表示这一段距离要计算多少份。份数不同，最小位置可 能改变，不能直接把所有不同定点排好后选中间。 两个定点时比较两边的系数 设a<b,且c>0,d>0,研究cx-a+dx-b。若c>d,把较大的系数拆开： clx-al+d x-b|=d(x-a+x-b)+(c-d)x-al 第16页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 前一部分至少为d(b-a),后一部分非负；只有x=a时，后一部分为0且前一部分也达到下界。所 以最小值是d(b-a),在系数较大的那一端x=a处取得。 同理，若c<d,最小值是c(b-a),只在x=b时取得；若c=d,退回等权情形， 最小值是c(b-a),所有a≤x≤b都可以取得。若a=b,则原式为(c+d川x-a,最小值为0，只在 x=a处取得。 这里要求系数为正。若某个系数为0，只剩另一个距离；若出现负系数，原式已不是本节讨论的“正 系数距离和”，必须重新分析。 先把绝对值内的系数提出来 例：求2x+6+x-4的最小值。先写成2x+3+x-4,两个定点为-3,4，距离为7。进一步分 组： 2|x+3+|x-4|=(1x+3+|x-4)+|x+3|≥7 取x=-3时，原式为0+7=7，所以最小值是7，只在x=-3时取得。如果只对两个不同定点使用 “中间整段”结论，就会忽略多算的一份x+3。 AB=7 0 -3-2 -1012 3 P与A重合时2PA+PB=7 图12较大的系数使最小位置落在负3处 正整数份数可以把定点重复列出 例如2|x+3|+|x-1+|x-4|相当于到-3,3,1,4四个定点的距离和。重复的-3不能删去。按两端配 对，最小值为(4-(-3)+(1-(-3)=7+4=11，在所有-3≤x≤1的位置取得。 若系数是正分数，可以先把整个式子乘一个适当的正整数，使份数变成正整数，求出结果后再除回 来。例如2x+3+2x-1乘2后，是到-3,11,1的距离和，最小值为4，只在x=1取得：所以 原式最小值为2。分组说明已经足够时，不必为了套形式列出大量重复点。 有距离被减去时改用分段判断 若式子是2x+1-x-3,第二项被减去，不能使用“两个正系数距离之和”的结论。先找零点-1,3， 逐段去符号： -x-5,x<-1, 2|x+1-|x-3|=3x-1,-1≤x≤3， x+5,x>3. 第17页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 在第一段，x<-1使-x-5>-4;在中段，x≥-1使3x-1≥-4，等号只在x=-1成立；在第三段， x>3使x+5>8。所以整个式子的最小值是-4，只在=-1取得。代回原式得0-4=-4。 当X向左或向右走得足够远时，这个例子的值都可以不断增大，因此没有最大值。若给定了有限范 围，就只保留与这个范围重合的各段，再比较分界点和允许端点；若端点不允许取得，还要检查相 应最值能否真正达到。 含符号信息的分式 这一节属于选学拓展。先看分式有没有意义，再看分子、分母的符号。字母出现在分母中，就必须 排除使分母为0的情况。 一个非零数与其绝对值的比只有两种值 a_al_1, a>0, （a≠0 1ala-1,a<0, 当a>0时，|a=a,比值为1；当a<0时，a=-a,比值为-1。两种比值在这里恰好相等，不表 示分子分母可以随意交换。Q=0时，两式都没有意义，不能说值为0。 不同项的正负可能互相制约 例：在a0.620时求品治瑞 的可能值。前两项决定了α，b的正负，第三项的符号由乘 积法则确定，不能再独立任取正负。 若a>0,b>0,三项是1,1,1，和为3。若a>0,b<0,三项是1，-1，-1，和为-1。若a<0,b>0,三 项是-1,1，-1，和为-1。若a<0,b<0,三项是-1，-1,1，和仍为-1。所以可能值只有3和-1。 例如不能随意把三项同时取为-1：前两项为-1表示a,b都为负，此时ab>0,第三项必须为1。 同样，由于a,b非零，ab也非零，第三个分母才有意义。 连乘项依旧由已有符号决定 a bc abc 在a,bc都非零时，日+而+1abc可按负数的个数分类：没有负数时为4：恰有一个负数时 为0；恰有两个负数时为0；三个都为负数时为-4。因此可能值是4,0，-4。 若题目另给乘积为正、和为负等条件，还要剔除不满足这些条件的符号组合。把每项都看成互不相 关的正负1，会制造并不存在的取值。 逐层处理嵌套绝对值 数值运算从最内层开始 嵌套绝对值中，内层的结果是外层所处理的数。例：川-4-7=4-7=-3=3。若外面另有负号，则 -‖-4-7=-3；外面的负号不能跟着绝对值符号一起消失。 字母式先用内层结果的已知范围 因为a≥0，所以川a=a,川a+2=|a+2。但a-2的符号不确定：当a≥2时非负，当a<2 时为负。因此 1a-21=la-2,1a≥2， 2-la,la<2. 第18页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 若还要彻底去掉内层绝对值，就要再结合a的正负分类。并非每道题都需要写出最细的分段；应根 据要求决定是否继续。 解嵌套等式由外向内分支并检查非负条件 例：解川x-3=2。先把|x-3看作外层绝对值内的整体，得到|x|-3=2或x-3=-2,于是x=5 或x=1。两种右边都非负，所以 x=5,-5,1,-1 代回验证：|x=5时外层为5-3=2；|x=1时外层为1-3=2，四个解都成立。若右边改为4，就 会得到|x=7或|x=-1,后一种不可能，所以只剩x=7或x=-7。不能认为每多一层绝对值，解 的个数就一定加倍。 十◆十十十 十十 -65-4-3-2-101234 5 6 图13两层绝对值等式的四个解 回到定义检查每一步 绝对值题无论形式怎样变化，都应检查四件事：绝对值内的符号是否确实已知；涉及除法时分母是 否非零；分类是否覆盖端点及特殊情形；算出的数是否满足原题所有条件。遇到陌生形式，先回到 距离或正负分类，不要先寻找没有条件的口诀。 到两点等距与倍距的位置 两定点不同等距点只有一个 设点A,B分别表示a,b,且a<b。若|x-a=|x-bl,点P到两点距离相等，它只能位于两点之间 的正中间。因为在两点外侧，两段距离总相差b-Q>0,不可能相等；在两点之间，两段相等距离的 和为b-。,所以每段都是2巴。因比 x=a+b-a-a+b 22 例如，到-4与2的距离相等的点表示4)三-1。若Q=b,两定点本来就重合 对任何允许的x,两段距离都相等，此时不能说只有一个等距点。 倍距关系要同时检查内侧与外侧 例：点A,B分别表示-4,2，求满足PA=2PB的点P所表示的数。两定点距离为6。 第19页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 当P在两点之间时，PA+PB=6。由于PA=2PB,三份PB共为6，所以PB=2,点P在B左 边，表示的数为2-2=0。 当P在B右侧时，PA-PB=6。由PA=2PB得PB=6,所以点P表示2+6=8。当P在A左侧 时，PA<PB,不可能满足PA=2PB,所以没有解。 x=0或X=8 检验：x=0时，PA=4,PB=2;X=8时，PA=12,PB=6。两个解都满足倍距关系。只找中间的一点 会漏解；直接由|x+4|=2x-2|写成x+4=2(x-2),也会漏掉内部式子异号的情况。 P B 另一解 0 4 6 图14倍距关系在两点之间和外侧各有一解 一般正倍率的内外位置 两定点不同、a<b且c>0时，PA=cPB在两点之间总有一个位置：PA+PB=b-a,所以 (c+1)PB=b-a,两段距离都为正。 若c>1,另一位置在B的右侧，此时PA-PB=b-a,故(c-1)PB=b-a;若0<c<1,另一位置在 A的左侧，此时PB-PA=b-a,故(1-c)PB=b-a。两个系数分别为正，所以对应距离都可以取 得。若c=1,两点外侧的距离差仍是非零的b-a,不存在外侧解。 倍率为1或0时不能照搬两解结论 若写成PA=cPB,讨论倍距位置时应先说明c>O。当c=1且两定点不同时，就是等距问题，只有 一个中间点。若另外考虑c=0,则A=0,只能是P与A重合。两定点不同而C<0时，没有解， 因为非负的PA不能等于负数与正距离PB的乘积，PB=0时也会使PA=AB>0。 若两定点重合，PA=PB,则c=1时每个允许位置都符合；c≠1时只能有PA=PB=0,即点P与定 点重合。因此题设中“定点是否重合”和“倍率是否为1”都需要先检查。 多个式子同时达到下界 先分别找到下界再检查能否同时取得 若a≥c且b≥d,则a+b≥c+d。等号成立当且仅当a=c且b=d,因为(a-c)+(b-d)=0是两个 非负数的和为零。求和的最小值时，不仅要写出下界，还必须找到使各项同时达到下界的允许取 值。 第20页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 例：求x+1+|x-3+a-2+a-5|的最小值。前两项至少为4，在-1≤x≤3时取得；后两项至少 为3，在2≤a≤5时取得。x,a可以分别选择，因此这些条件能同时满足。总和最小为7，取到时恰 有-1≤x≤3且2≤a≤5。 如果题目另有x=a等联系条件，就要把这些条件一起检查。本例加上x=a后，2≤x=a≤3仍然能 同时满足两组条件，因此最小值仍为7。不能仅看到有两个下界，就省略能否同时取得的检查。 已知达到下界后继续求范围 反过来，若题目给出上例的距离总和等于7，就能确定-1≤X≤3且2≤a≤5。再求x-a的范围：最 小时取允许的最小x=-1与最大a=5,得-6；最大时取x=3,a=2,得1。这两组数都符合总和为 7的原条件，所以最小值-6与最大值1都能取得。 正因子的乘积达到下界也要求每个因子达到下界 若a≥c>0,b2d>0,则ab≥cd。只要a>c或b>d,因子均为正就会使乘积严格大于cd,所以等 号成立当且仅当a=c且b=d。这里两个下界都为正是关键条件。 例：(|x+1+2)川a-3|+1)的两个因子分别至少为2和1，所以乘积至少为2。取x=-1,a=3时两 个因子同时取到下界，故最小值为2，且只有这组取值能达到。 零下界和同一变量都要额外检查 若某个下界为0，乘积等于下界不一定要求另一因子也达到下界。例如a≥0，b≥2时，取 a=0,b=100,仍有ab=0,却没有b=2。 若把前例的两个变量改为同一个变量，成为(|x+1+2)川x-3|+1),则要让两个因子同时达到2 和1，就必须同时有x=-1与x=3,这不可能。因此“乘积至少为2”虽然正确，却不能据此把2写 成能取到的最小值。下界与最小值的区别，就在于是否有允许取值能达到它。 数轴上动点的位置与距离 先写点表示的数再写两点距离 数轴向右为正方向。一个点从表示数Q的位置出发，向右每秒移动b个单位长度，经过t秒后表示 的数为a+bt;若向左移动，则为a-bt。这里速度的大小b≥0，时间t≥0。方向通过加减号体现， 不能把“走过的路程”直接当成“点所表示的数”。 相遇前后两点的顺序会改变 例：点A从-6出发向右每秒移动2个单位长度，点B同时从6出发向左每秒移动1个单位长 度，两点相遇后继续按原方向移动。经过t秒，点A表示-6+2t,点B表示6-t,因此 AB=(-6+2t)-(6-t)川=|3t-12(t≥0) 相遇时AB=0,所以3t-12=0,得到t=4;相遇点表示-6+2×4=2，同时也有6-4=2。在相遇前 0≤t<4,两点距离为12-3t;相遇后t>4,距离为3t-12。 第21页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 B向左走4 A向右走8 A起点 相遇位置 B起点 -6 -4 -2 0 2 6 相遇所用时间4秒 图15两点从负6与6出发在表示2的点处相遇 给定距离可能对应相遇前后两个时刻 在这个例子中，若要求两点相距3个单位长度，则|3t-12=3,所以3t-12=3或3t-12=-3,得到 t=5或t=3。两者都满足t≥0，分别对应相遇后与相遇前。检验：t=3时两点表示0,3；t=5时两 点表示4,1，距离均为3。若题目限定“相遇之前”，就只能取t=3。 经过定点不一定是相遇时刻 同一例中，点A经过原点时有-6+2t=0,所以t=3;点B经过原点时有6-t=0,所以t=6。两 点分别经过原点的时刻不同，也都不同于相遇时刻t=4。涉及到定点的距离时，应分别写成 -6+2t|和16-t|。 转向后按转向位置重新计时 若一个点从-2出发，向右每秒移动3个单位长度，运动2秒后立即调头，仍以每秒3个单位长度 向左运动，则转向位置表示-2+3×2=4。从出发起计时，它表示的数为 -2+3t, 0≤t≤2， 4-3(t-2),t>2. 第二段用t-2表示调头后已经走的时间，不能直接写成4-3t。两段在t=2时都给出4，衔接正 确。若问从出发到t=3共走了多远，路程为3×3=9；此时点表示1，到起点-2的距离为3。路程 与两点距离不是同一个量。 动点题的检查顺序是：方向与速度是否对应，时间范围是否符合，是否已经相遇或转向，所求的是 位置、路程还是距离。若有停留、不同出发时刻或运动结束条件，应先分清各段时间，再写对应的 位置式。 第22页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 题型一绝对值的意义与直接求值 先分清数的位置和它到原点的距离，再处理绝对值符号内外的正负号。计算嵌套式时由内向外进行。 1.下列说法中，正确的是（)。 A.任何有理数a都满足a>0 B.任何有理数a都满足-a=a C.任何有理数a都满足-a<0 D.--3=3 2.直接写出下列各式的值。 (1)1-2.751=;(2)- (3)1-(-5)川= (4)1‖-41-61= 3.数轴上，点A表示-3，点B表示2，点O为原点。 (1)分别写出A、B到原点的距离，并用绝对值等式表示。 (2)在图中标出A、B关于原点的对称点C、D,写出它们表示的数。 (3)比较A与C的位置和它们到原点的距离，说明相反数与绝对值有什么不同。 A B 十 -3 -2 -1 2 第23页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 4.计算：--5+|2-7-川-3-4。 5.小明计算：2-5=|2-15=2-5=-3。 (1)指出第一处错误，并写出正确计算。 (2）分别求2-5和2-|5引，说明绝对值能否直接分配到减法的每一项上。 第24页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 题型二绝对值与大小比较 先看比较的是原数还是绝对值。两个负数比较大小时，绝对值大的反而小；数轴上位置靠右与离原点较远不是 同一件事。 1.将名1.-1，上名按从小到大的顺序排列： 7 2.比较号与)的大小，并比较它们绝对值的大小。写出理由。 3.已知a<0<b,且a>b|。用“<”将a、-a、b、-b、0连接起来，并说明理由。 4.数轴上，点A在点B的左边，分别表示a、b。 (1)若两点都在原点右边，比较a与b。 (2）若两点都在原点左边，比较a与b。 (3)若两点分居原点两侧，仅凭“A在B左边”能否判断α与b的大小？举例说明。 第25页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 5.已知a<-1,比较a-1与a+1的大小，并求较大的一个比较小的一个大多少。 第26页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 题型三已知绝对值求原数 先列出绝对值对应的全部候选，再用题目条件逐一筛选。多个字母不要同时只取正数；求得候选后还要回看条 件。 1.已知a=4。若a<1,则a=一；若a>1,则a= 2.已知a=4,Ib=7,且a+b>0。求a-b的所有可能值，并列出对应的a、b。 3.已知a=5,|b=2,且ab<0。 (1)求a-2b的所有可能值。 (2)a-2b是否为定值？说明理由。 4.已知a=2,|b|=4,|c|=6,且a<b<c。求a+b+c的所有可能值。 第27页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 5.已知a=3,|b=5。 (1)不重复地写出a+b的所有可能值。 (2)是否可能有a+b=4?说明理由。 (3)当|a+b|=2时，a、b的符号有什么关系？ 第28页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 题型四由绝对值等式判断符号与范围 把绝对值等式与定义对应起来，明确得到的是大于、非负、负数还是非正。多个条件要同时满足，特别注意零 能否取到。 1.填写a的范围。 (1)若a=-a,则 ；(2）若1a>a,则-。 2.（1)若|x-2=x-2,求x的范围。 (2)若|2x+1=-2x-1,求x的范围。 (③)是否存在同时满足以上两个等式的X?说明理由。 3.已知a≠0，|a+a=0,且ab|=-ab。判断a、b的符号或范围，并说明b能否等于0。 4.已知a<0,且|a+b|=a+|b|。求b的范围，并说明b=0是否符合条件。 第29页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 5.已知x-1+|x+2=2x+1。求x的范围，并写出满足条件的最小整数。 6.已知a-b=a-b,1b-c=c-b。 (1)写出a与b、b与c的大小关系。 (2)能否据此判断a≥c?若不能，请分别举出a>c与a<c的例子。 第30页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 题型五利用非负性求值 几个非负数的和为零，每一项都必须为零。先核对每项是否非负，再检查求出的条件能否同时成立。 1.已知2|a+1+3b-4=0,求a+b和a-b。 2.已知x+2|+(y-1=0,求x-y|+|x+y。 3.已知a-2|+|2b+6≤0，求a-b。 4.是否存在有理数x,使x-1+|x-4=0?请说明理由。 第31页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 5.(1)已知a-2|+|b+1=-a+b-1,求a、b。 (2)若把等式右边改成-|a+b,还存在符合条件的a、b吗？说明理由。 第32页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 题型六根据条件化简绝对值 将条件转化为每个绝对值内式的符号，写出去绝对值后的括号，再合并。仅有数轴左右顺序时，未必能判断两 个异号数的和。 1.已知a<0<b,化简|a+|-b|-la-bl。 2.已知-2≤x≤3。 (1)化简x+2-2|x-3引。 (2)分别求x=-2、x=3时原式的值。 3.已知a<b<0<c,且a>c,化简a+c-a-b+2bl。 第33页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 4.有理数a、b、c在数轴上的位置如图，且a<b。 (1)判断a+b、a-c、b-c的符号。 (2）化简la+b|-a-c|+|b-c。 9 b 十 0 5.已知-1≤x≤1，化简川x-2-3|+|x+11。 6.已知a=-a,1b|=b,且a+b<0,化简12a-b1-|a+b|+|bl。 第34页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 题型七零点分段化简 先找出每个绝对值内式为零时X的值，按从小到大的顺序分段。每段分别判号，外面的减号和系数要保留； 最后检查分界点。 1.化简1x+1-x-5l。 2.化简|2x+1|+|x-2|。能否对任意有理数x,直接把两个绝对值内的式子相加？说明理由。 3.化简3x-1-2x+2|。 第35页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 4.化简x+2-2|x-1+x-4|。当x≤-2或x≥4时，原式的值有什么共同特点？说明理由。 5.化简川x-1-2。 6.化简x-2x-2+x+1,并写出原式恒为常数的最大连续范围及该常数。这里的范围必须含有不 止一个数。 第36页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 题型八含绝对值的方程 先检查等号右边能否作为绝对值的值，再选择分类方法。嵌套方程宜由外向内解；按范围求出的候选值，必须 检查是否属于该范围。 1.解下列方程： (1)13x-2=4;(2)-2x+1=3。 2.解方程|x-2=x+4。 3.解方程12x+1=|x-5。 第37页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 4.解方程2x-1+x+2=6。 5.解方程川x+1-3=2。 6.解方程x-x-2=2。此方程是否只有有限个解？请说明理由。 第38页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 7.【拓展】已知a为有理数。若方程x-2-a=1恰有三个不同的解，求a的值，并求这三个 解。 第39页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 题型九数轴上的等距与倍距问题 先把绝对值写成点与点之间的距离。倍距问题要区分点在线段内部和外部；若题目没有限定位置，就不能只画 中间一种情况。 1.如图，数轴上点A、B表示的数分别为-4、2。点P表示数X,且PA=PB。求X,并说明满足 条件的点P是否唯一。 A b -5 -3 -2 -1 0 1 3 第40页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 2.数轴上点A、B表示的数分别为-6、3，点P表示数x。 (1)若P在线段AB上，且2PA=PB,求X;(2)若取消“P在线段AB上”的限制，是否还有 其他满足2PA=PB的点？求出所有可能的X。 B 十 ◆十今 -6 -2 0 第41页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 3.如图，数轴上点A、B表示的数分别为-2、7。求所有满足PA=2PB的点P所表示的数，并 分别计算相应的PA、PB。 ⊙ 十 0 2 8 第42页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 4.数轴上点A、B、C表示的数分别为-5、3、7。点P表示数x。 (1)分别求满足PA=PB、满足PB=PC时的x;(2)是否存在一个点P,使PA=PB=PC？说 明理由。 A B C 十 ◆十 十 十◆十 十 ◆十今 -6 -4 -2 02 6 8 5.已知a、b为有理数。 (1)若a=-3,且方程x-a=|x-b|只有一个解x=2,求b;(2）若改为a=b=2,这个方程还 有唯一解吗？说明理由。 第43页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 6.【拓展】数轴上点A表示-3，点P表示1，点B表示b。已知b>-3且PA=2PB。 (1)求b的所有可能值；(2）对每一个可能的b,再求所有满足CA=2CB的点C 所表示的数X。 A P 十 -4 -3 -2 -1 0 第44页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 题型十两点距离和与距离差方程 先比较给定距离和与两定点之间的距离，再判断有无解。对于距离差，必须按题目顺序相减；“两个距离之差” 与“两个距离之差的绝对值”不是同一回事。 1.如图，数轴上点A、B分别表示-3、5，点P表示数x。 (1)若PA+PB=8,写出X的全部取值范围；(2)若PA+PB=6,是否存在这样的点P？说明理 由。 AB A B 十一 -4-3 -2 2 3 4 5 6 第45页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 2.数轴上点A、B分别表示-4、2，点P表示数x。若PA+PB=10,求x的所有可能值。 A B 十 十 -4 -2 0 2 3.【拓展】已知a为有理数。讨论方程|x+1+|x-4=a在什么情况下无解、有无穷多个解或恰有 两个解；有解时写出全部解或取值范围。 第46页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 4.解方程x+3-x-5=2。 5.数轴上点A、B分别表示-2、4，点P表示数X。分别求满足下列条件的所有X: (1)PA-PB=-6;(2）PA-PB=0;(3)PA-PB=6;(4)PA-PB=7。 A B 十 -4-3-2-1012345 6 第47页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 6.比较下列两个方程的解，并说明解的个数为什么不同： (1)x+2-x-4=4;(2)川x+2|-|x-4=4。 7.【拓展】数轴上点A、B分别表示-3、5。判断是否存在点P,分别满足下列两组条件；若存 在，求它表示的数X,若不存在，说明理由。 (1)PA+PB=12,且PA-PB=8;(2)PA+PB=12,且PA-PB=4。 A B 十 ◆十 ◆十 -6 -4 -2 0 2 4 8 第48页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 题型十一距离范围与整数点问题 把“不超过”“小于”“至少”等词翻译成数轴上的远近范围，先确定所有可行位置，再筛选整数。特别检查两端是 否包括在内。 1.分别写出满足下列条件的x的范围，并列出其中所有整数： (1)1x-1<3;(2）1x-1≤3。 距此点 十 十 -3 -2 -1 0 1 2 2.整数x满足-7<x<5,且它所表示的点到表示-2的点的距离至少为4。求所有这样的整数，并 求它们的和。 第49页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 3.点P表示有理数x。它到表示-1的点的距离不超过4，同时到表示3的点的距离小于3。 (1)用两个含绝对值的式子表示条件；(2)求x的取值范围；(3)列出符合条件的全部整数。 A S 十 -6 -4 2 0 b 4.求满足|x+5|+|x-1≤6的所有整数x,并求这些整数的和。 A B 十中 十 十> -6 ，-5 -4 3-2-1 01 2 第50页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 5.求满足|x+3+|x-2|<9的所有有理数x的范围，并求其中整数的个数与和。 B 十十十十十十十十十十十十→ -6-5-4-3-2-1012345 第51页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 6.数轴上点A、B分别表示-4、2。点P表示数x,满足PA≤PB,且x-1<4。求x的取值范 围，并列出其中所有整数。 A 543-2-10123456 第52页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 题型十二限定范围内的最值问题 先看题目允许X取哪些数，再判断绝对值内式能否为零。求最大值或最小值，必须同时写出取得该值时X的 所有可能值。 1.已知-2≤x≤4。求|x-1的最小值和最大值，并分别写出取到这些值时的X。 中心 -3 -2 -1 0 1 2 3 5 允许范围 2.已知2≤x≤5。 (1)求|x+1的最小值和最大值；(2)求7-2x+1的最大值和最小值。 两问都要写明对应的x。 第53页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 3.已知-1≤x≤4。求x+3+|x-2|的最小值和最大值，并写出分别取到最值时x的全部取值。 & 人 十 十 -4-3- 2-1 0 1 234 5 允许范围 4.x为整数，且-1≤x≤3。求|2x-1|+1的最小值和最大值，并写出相应的x。 第54页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 5.已知x满足x+4+|x-2=6。在此条件下，求2x-1-x+2的最大值和最小值，并写出取到 它们时的。 6.【拓展】已知-2≤x≤3，a是有理数。当x在这个范围内取值时，5-|x-a的最大值为5，最小 值为0。求a的所有可能值，并写出每种情况下取得这两个最值时的x。 第55页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 题型十三多点距离和的最小值 1.如图，数轴上点A、B分别表示-3、5，点P表示数x。求PA+PB的最小值，并写出取得最小值时 X的全部取值范围。 有同学认为“只有当P在A、B的正中间时才能取得最小值”。他的说法正确吗？请说明理由。 十+十十十十十十十+ -4-3-2-10123456 2.求x+4|+|x+1|+|x-6的最小值及此时x的值。 若把x取为-4与6的平均数，能否取得最小值？请计算检验。 第56页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 3.求x+5+x+2+x-3+x-7的最小值，以及取得最小值时x的全部取值范围。 若x为整数，写出所有使原式取得最小值的x,并求这些整数的和。 4.求2x+2+|x-1|+|x-5|的最小值及取等时x的全部取值范围。 请说明：系数最大的项为2x+2引，是否意味着原式只在X=-2时取得最小值？ 5.求2x+6|+|x-2|+2|x-4的最小值及此时x的值，并说明为什么不能把三个绝对值分别令为0。 第57页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 6.已知a≥1，且x+3+x-1+|x-a的最小值为8。求a的值，并写出取得最小值时x的值。 7.已知x+4|+|x-a+|x-2+|x-6|的最小值为12。求a的所有可能值，并分别写出取得最小值时x的 全部取值范围。 第58页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 题型十四距离差及带系数距离差的最值 1.求x+2引-x-4的最大值和最小值，并分别写出x的全部取值范围。请用数轴上的距离关系或分段 计算说明理由。 2.求|x+2-|x-4川的最大值、最小值及各自取得时x的全部取值。与上一题相比，外面多出的绝对 值政变了哪些结论？ 3.求x-3|-2|x+1的最大值及此时x的值。这个式子有最小值吗？说明理由。 第59页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 4.设a为正整数。已知x+1-ax-3的最大值为4，并且只有x=3时能取得这个最大值。求a的所有 可能值，并说明理由。 5.求x+4+|x-2-2x-1的最大值和最小值，以及各自取得时x的全部取值范围。 第60页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 题型十五多变量约束下的最值 1.已知a+2|+|a-3+b-1+|b-4=8。求a、b各自的取值范围，再求a+b的最大值和最小值，并 写出对应的a、b。 2.已知a+1|+|a-2+2b+3|+2b-1=11。求2a-b的最大值和最小值，并写出对应的a、b。 3.已知1a+2+|a-1)(b-1|+|b-5)=12。求a-b的最大值和最小值，并写出对应的a、b。 第61页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 4.已知|a+1+|a-1)Ib+|b-3)Ic+2|+|c-2)≤24。求2a-b+c的最大值和最小值，并写出对应 的a、b、C。 5.已知a+1|+|a-2|+|b+b-4|=9。求a+b的最大值和最小值，并分别给出一组取得最值的a、b。 第62页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 6.已知(|a+2+|a-1)Ib+|b-4)=12,且2a+b=1。求a-b的最大值和最小值， 并写出对应的a、b。 第63页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 题型十六含绝对值的分式求值 1。分别在a>000两种情况下，求日+日与吕日给位。 当a=0时，上述两个式子有意义吗？说明理由。 2.已知，b均不为0，且的0，*号合的值以及日治约所有可能位，并分别举倒说羽。 3.已知a,b,c均不为0，且abc>0。 )*号高合的有可能值。 (2)如果还知道a+b+c<0,上述式子的值是否唯一？说明理由。 第64页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 4已知0，bA均不为0，日局品山.能否断定o的0？满列出b所有可纳符3情况开 说明第三项为什么不能独立地任取1或-1。 5.已知a,b,c均不为0，且a+b+c=0。求a+b+b+C+c+a的所有可能值。 a b 如果这个式子的值为1，能否确定abc的正负？说明理由。 第65页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 c d abcd 6已知a,b,c,d昀不为0。求a+6++00 的最大值、最小值，并分别说明四个数中有 几个负数。 如果原式等于1，能否确定abcd的正负？说明理由。 7已abe均不0，且a+bc=,求瑞瓷器 的所有可能值，并各举一组a,b,c 说明这些值都能取得。 第66页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 题型十七数轴动点问题 1.如图，点A、B分别表示-4、6。点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，到达B时停 止。设出发后经过t秒（包括出发和到达时刻）。 (1)写出t的取值范围，以及点P表示的数。 (2)点P到原点的距离何时为2？求出全部符合条件的t。 P:每秒2个单位长度 y 十 -4-3-2-1012345 6 第67页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 2.如图，点A、B分别表示-3、5。点P从表示1的点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，到 达A时立即停止。设出发后经过t秒。 在从出发到停止的过程中（包括两端时刻），PA+PB的最小值是多少？何时取得？这一过程中能否 有PA+PB=10?说明理由。 每秒2个单位长度 A P(出发时) & 3 -2 -1 0 12 3 4 5 第68页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 3.如图，点A、B分别表示-6、4。点P从A出发向右，速度为每秒2个单位长度；点Q同时从B出发 向左，速度为每秒1个单位长度。两点相遇后仍按原方向、原速度继续运动，设出发后经过t秒，只 研究0≤t≤6的过程。 (1)两点何时相遇？ (2）两点之间的距离何时为2？说明每个时刻是在相遇前还是相遇后。 Q:每秒1个单位长度 P:每秒2个单位长度 十十十十 -6-5-4-3-2-101234 第69页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 4.如图，点A、B分别表示-5、3。点P从A出发向右，速度为每秒3个单位长度；点Q同时从B出发 向左，速度为每秒1个单位长度。两点相遇后继续按原方向、原速度运动。设出发后经过t秒，只研 究0≤t≤5。 当两点到原点的距离相等时，PQ可能是多少？分别在什么时刻出现？请说明两点的位置关系。 Q:每秒1个单位长度 P:每秒3个单位长度 A 公 -5-4-3-2-10123 第70页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 5.如图，点A、B分别表示-4、4。点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，到达B后立 即转向，以每秒1个单位长度的速度返回A,到达A后停止。 设出发后经过t秒，t=0表示出发时刻。在整个往返过程中（包括出发和停止时刻)，点P到原点的距 离何时为2？求所有符合条件的t。 P返程：每秒1个单位长度 P去程：每秒2个单位长度 A -4-3-2-10123 4 第71页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 6.如图，点A、B分别表示-6、6。点P从A出发向右，速度为每秒3个单位长度，到达B后停止；点 Q同时从B出发向左，速度为每秒1个单位长度，到达A后停止。两点相遇时都不停留。设出发后经过 t秒。 从出发到点Q停止（包括两端时刻），两点何时相遇？PQ=6又分别发生在什么时刻？ Q:每秒1个单位长度 ← P:每秒3个单位长度 A & -6 -2 0 2 6 第72页共73页 绝对值期中复习专题讲义学生版 7.如图，点A、B分别表示-4、4，O为原点。点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动， 到达B后立即按原速度返回A,随后停止。点Q同时从O出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动， 到达B后停止。 设出发后经过t秒，t=0表示出发时刻。在0≤t≤8内，求所有使PQ=PO成立的t,并说明出发时刻是 否符合条件。 Q:每秒1个单位长度 P返程：每秒2个单位长度 P去程：每秒2个单位长度 A B -4 -3-2-101234 第73页共73页