专题08一元一次方程的应用期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题08一元一次方程的应用期中复习讲义 1.掌握列一元一次方程解应用题的完整步骤：审、设、列、解、验、答；能读懂题目文字信息，准确找出题目里的等量关系。 2.熟练掌握常见基础模型：和差倍分问题、行程问题、工程问题、利润销售问题、配套问题、数字问题、分段计费问题等。 3.会合理设未知数，区分直接设元与间接设元；能够根据等量关系列出一元一次方程，规范书写解题过程。 4.解方程后检验结果，一方面检验方程的解是否正确，另一方面检验解是否符合实际现实意义，舍去不符合题意的解。 5.能处理表格、文字描述类应用题，读懂信息，提取有效数据建立方程模型。 6.辨析易混点：行程问题分清相遇、追及的等量关系；销售问题区分进价、标价、售价、折扣、利润率；工程问题把总工作量看作单位 1。 7.易错警示：设未知数和作答时不要遗漏单位；审题仔细，找准关键词，避免等量关系列错；分段计费注意分界点，分情况讨论。 题型 考察方向 难度 题型一 配套问题 ★★ 题型二 工程问题 ★★ 题型三 销售盈亏 ★★ 题型四 比赛积分 ★★ 题型五 方案选择 ★★★ 题型六 数字问题 ★★ 题型七 几何问题 ★★ 题型八 动点问题 ★★★★ 题型九 和差倍分问题 ★ 题型十 电费和水费问题 ★★★ 题型十一 行程问题 ★★★ 题型十二 比例分配 ★★ 题型十三 日历问题 ★★ 题型十四 古代问题 ★★ 题型十五 其他问题 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：列一元一次方程解应用题通用步骤（必考标准流程） 步骤 名称 操作要点 核心注意事项 ① 审 通读题目，区分已知量、未知量，找准题目中的等量关系 等量关系是列方程根本，优先寻找不变量 ② 设 设未知数，优先直接设元；复杂题目选用间接设元 规范写法：设x，不要附带单位 ③ 列 根据找到的等量关系，列出一元一次方程 等式左右两边含义保持一致，单位统一 ④ 解 按照一元一次方程标准解法解方程 计算仔细，规范书写解方程过程 ⑤ 检 双重检验：①检验数值满足方程；②检验结果符合现实实际意义 人数、物品数量不能为负数、小数；长度不能为负 ⑥ 答 写出完整答句，带上对应单位 回答内容对应题目所求，语句完整 核心思想：用字母代替未知量，抓住不变的等量关系建立等式。 知识点 02 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法： 例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点03常见问题中的等量关系 1 和差倍分问题（基础必考） （1）核心文字等量翻译 A 比 B 多m：A=B+m A 比 B 少m：A=B-m A 是 B 的k倍：A=k·B A、B 总和为S：A+B=S （2）解题思路 一般设较小量为x，大量用含x代数式表示，根据 “和” 列方程。 （3）易错点 “甲比乙多 3 倍”≠甲 = 3 乙，而是甲 = 4 乙。 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=，工作效率=； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整1； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 3. 营销问题 （1）相等关系：①利润=售价-进价；②利润率= 100%；③售价=进价 (1+利润率)。 （2）打折：n折即标价的，如 7 折即标价的（或 70%），其中n叫折数实际售价=标价 4. 行程问题 基本相等关系：路程=速度 时间；速度=路程时间；时间=路程速度。 （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程。 甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行 （2）直线形追及问题：快者走的路程 = 慢者走的路程 + 两人初始路程差； 快者走的路程 = 慢者先走的路程 + 慢者后走的路程 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间=；第n次相遇时，二者合走了n圈。 （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间=；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈。 5 储蓄利息问题 基础公式 利息 = 本金 × 年利率 × 存款年数 本息和 = 本金 + 利息 6 数字、日历问题 两位数表示：十位数字a，个位数字b，两位数写作10a+b；不能直接写成ab； 日历规律：上下相邻数字相差 7，左右相邻数字相差 1。 7等积变形问题（几何题型） 核心原理：形状改变，体积（面积）不变 等量关系：变形前体积（面积）= 变形后体积（面积） 常用公式：长方体体积、圆柱体积；长方形、圆形面积。 8 配套问题 核心等量关系 配套比例关系：加工出的两种部件数量之比 = 题目给定配套比 举例：1 个产品需要 2 个 A 零件、1 个 B 零件 A零件总数∶B零件总数=2∶1，转化为：A零件总数=2×B零件总数} 解题要点 （1）分配工人 / 原材料，一部分生产甲部件，一部分生产乙部件； （2）根据配套比例列出等式； （3）算出人数后必须检验：人数一般取非负整数。 题型 9 方案选择问题 解题通用思路 （1）先设自变量x，分别写出每种方案费用（总量）的代数式； （2）列方程求出费用相等时的临界值； （3）分区间讨论：大于临界值、小于临界值分别选择最优方案。 核心模板 方案①：y1=.... 方案②：y2=..... 令y1=y2，求出临界点x=a x>a，选择其中一种方案； x<a，选择另一种方案； x=a，两种方案费用相同。 ⚠️注意：结合实际，x不能为负数，部分场景x只能取整数。 知识点04：设未知数两种方法对比 方式 适用场景 优点 直接设元 题目求什么，直接设什么为x 最后不需要换算，答题简便 间接设元 直接设元难以列出方程；数字、复杂比例、配套问题 更容易列出简洁方程，降低列式难度 知识点 05 寻找等量关系的 4 种方法 1.抓关键词：一共、比… 多、比… 少、是几倍、剩余、相等； 2.画图辅助：行程画线段图、几何等积画示意图； 3.列表梳理：多组数量用表格整理，直观找等式； 4.套用固定公式：行程、工程、销售直接用公式建立等量。 知识点06：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 等量关系寻找 把题目中的不等关系当作等量关系；漏看条件 圈画关键词，找到不变量建立等式 单位不统一 路程问题时间、长度单位混用 列式前统一所有物理量单位 设、答书写错误 设未知数时附带单位；答句遗漏单位 设：设x（不带单位）；答必须写完整单位 数字类列式错误 十位数字为a，直接把两位数写成ab 两位数：10×十位数字+个位数字 折扣理解出错 误将 8 折理解为原价 ×0.2 8 折 = 原价 × 0.8 检验步骤缺失 解方程后不检验结果是否符合实际 人数、个数不能为负数、小数 工程问题列式错误 多人合作直接相加时间 合作是效率相加，不是时间相加 配套问题比例列式颠倒 把零件比例左右写反 严格对照 “产品：配件” 比例列出等式 方案选择问题 只算出临界点，不分区间讨论选择 算出相等点后，分情况说明不同范围最优方案 题型一：配套问题 1．某工厂车间有20名工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件18个或B零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套，工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元． (1)求该工厂有多少名工人生产A零件，多少名工人生产B零件？ (2)因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元？ 2．某手工社团承接校园文创礼盒的铁质包装盒制作任务． (1)1个包装盒由1个盒身和2个盒底组成，用1张铁皮可制作40个盒身或70个盒底．现有150张铁皮，用多少张做盒身、多少张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套？ (2)该社团接到一批包装盒加急订单，若由社团A小组单独完成需12天，B小组单独完成需18天．现在A，B两个小组一起制作4天后，剩下的任务由B小组单独完成，那么B小组还需要多少天才能完成全部订单？ 3．根据以下素材，探索完成任务． “碳中和”主题文创产品制作的利润优化 素材1 为响应“碳中和”校园宣传活动，七年级学生社团计划制作“低碳生活”主题文创收纳盒与小玩具．学生社团以每块12元的价格买了30块长方形木板，每块木板的长和宽分别为和． 素材2 木板可按图1虚线裁割，裁去四个边长相同的小正方形（阴影部分是余料），把裁出的五个长方形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长为．木板也可按图2虚线裁割出两块木板（阴影部分是余料），给图1制成的盒子配上盖子（如果有配上盖子，则木板刚好全部用完）．只要余料面积总和是就能拼制成一个小玩具．除购买木板支出和销售手工制品收入，其它费用忽略不计．    素材3 方案1：木板都制成无盖长方体收纳盒，余料都拼制成小玩具； 方案2：木板都制成有盖的长方体收纳盒，且每个收纳盒配一个盖子，余料都拼制成小玩具； 方案3：木板都拼制成小玩具． 素材4 收纳盒与小玩具的售价如下（所有手工制品全部售出）： 无盖收纳盒元个，有盖收纳盒元个，小玩具元个． 问题解决 任务1 求出收纳盒的高度 收纳盒的高度是_______； 任务2 方案2的利润探索 求方案2的利润；（用含、的代数式表示） 任务3 不同分配方案最大利润的探索 当，时，为使获得的利润最大，应选用哪种方案，并说明理由． 题型二：工程问题 4．某地为打造绿地公园，现有一段河道整治任务由，两个工程队完成．工程队单独整治该河道要16天才能完成；B工程队单独整治该河道要24天才能完成．现在A工程队单独做6天后，B工程队加入一起完成剩下的工程，问A工程队一共做了多少天？ (1)根据题意，小明、小红两名同学分别列出尚不完整的方程如下： 小明：； 小红：． 请根据小明、小红两名同学所列的方程思考，并补全空白括号里的内容． 小明同学所列不完整的方程中的空白括号里该填 ，小红同学所列方程中的空白括号里该填 ． (2)A工程队一共做了多少天？（写出完整的解答过程） 5．解答下列问题： (1)师徒两人检修一条长的自来水管道，师傅每小时检修，徒弟每小时检修．现两人合作，多少时间可以完成整条管道的检修？ (2)师徒两人检修一条煤气管道，师傅单独完成需要，徒弟单独完成需要．现两人合作，需要多少小时完成？ 6．某科技公司要生产一批智能手表，计划由A、B两个工厂负责生产．已知A厂每天能生产12件，B厂每天能生产18件，A厂单独生产比B厂单独生产要多用15天． (1)求这批智能手表共有多少件？ (2)若A、B两厂生产一段时间后，A厂停止生产智能手表去为该公司生产其他产品，剩下的智能手表生产任务全部由B厂单独完成，经核算，B厂需将每天的生产件数提高．任务完成时，B厂生产智能手表的全部工作时间正好比A厂生产智能手表的时间的2倍多3天，求B厂生产智能手表共用多少天？ (3)如果在生产智能手表过程中，公司每天需要付给A厂100元，付给B厂150元，另外，每个工厂需要配备一名工程师进行生产技术指导，并由公司提供每天15元的午餐补助费． 经公司研究，拟定如下三种生产方案： 方案一，由A厂单独完成； 方案二，由B厂单独完成； 方案三，按（2）问方式完成． 请你通过计算，帮公司选择一种既省时又省钱的生产方案． 题型三：销售盈亏 7．综合与实践 问题情境：春节即将来临，701班实践活动小组对一水果店某天甲、乙两种水果的购进和销售情况进行了调查分析． 信息获取： 信息一，该水果店用1400元购进甲、乙两种水果共180千克； 信息二，这两种水果的进价、售价如下表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 6 10 乙 10 16 问题解决： (1)若按售价销售甲、乙两种水果各20千克，可以获得多少利润？ (2)该水果店这一天购进甲、乙两种水果各多少千克？ (3)若该水果店按售价销售完甲种水果和部分乙种水果，剩余乙种水果按其售价的七五折出售，共获利800元，求按原售价售出乙种水果多少千克？ 8．一家商店因换季将某种服装打折销售，每件服装如果按标价的5折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元，问： (1)每件服装的标价是多少元？ (2)每件服装的成本是多少元？ (3)为保证不亏本，最多能打几折？ 9．保康市场销售某种商品，分为A、B两种款式，已知A款商品每个的进价是50元，售价是80元，B款商品每个的售价是60元，可盈利．提示：利润率×进价=售价−进价． (1)A款商品每个的利润率是 ，B款商品每个的进价是 元． (2)该市场购进A、B两款商品共计200个，总进货款8400元，请你计算一下A、B两款商品各进货多少个？ (3)春节临近，该市场推出如下的优惠促销活动（打折前一次性购物总金额）： ①不超过900元，不优惠 ②超过900元，但不超过1200元，按总售价打九折 ③超过1200元，其中1200元部分八折优惠，超过1200元的部分打六折优惠， 小张按照优惠活动方案在该市场购买A款商品若干个，实际付款金额为1008元，请你通过计算分析，小张在该市场购买了多少个A款商品？ 题型四：比赛积分 10．某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，七（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 11．年湖北省全国百强县篮球联赛以独特的魅力，将竞技激情升华为地域文化的盛宴，让运动精神在城市血脉中流淌．截止到月日，湖北省全国百强县篮球联赛已经进行了轮比赛，下表是第轮比赛结束后部分球队积分榜： 序号 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 潜江 汉川 枣阳 大冶 枝江 (1)根据积分表情况，可得：联赛胜一场得_____分，负一场得_____分； (2)轮比赛结束后，某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的倍吗？请说明理由． 12．某班组织元旦知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表是，，三位参赛者答完20道题后的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 19 1 16 4 76 10 10 40 根据表中信息回答下列问题： (1)设答对1道题得分，则答错1道题的得分为_______分（用含的式子表示）． (2)求表格中的值． (3)参赛者已作答的一部分试题中，只答对了一半．如果他最多能得82分，他已作答了多少道题？ 题型五：方案选择 13．课程育英才，素养创未来．我校开设了丰富的选修课程，其中羽毛球运动是深受学生喜爱的课程之一．某班需要购买20副羽毛球拍和若干盒羽毛球．现了解：某体育用品商场销售一种品牌羽毛球拍和羽毛球，一副羽毛球拍定价160元，一盒羽毛球定价80元．根据市场调查，商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一副羽毛球拍送一盒羽毛球；方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款．现该班要到该商场购买20副羽毛球拍，羽毛球x盒（的整数）． (1)用含x的代数式分别表示两种方案需付的金额； (2)当时，计算两种方案购买需付的金额各是多少元？ (3)当x取何值时，两个方案需付的金额相等？ (4)直接写出x在什么范围内时，用方案一购买更合算？ 14．用A4纸在某复印社复印文件，复印页数不超过20页时，每页收费元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费降为元．在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费均为元． (1)复印页数为多少时，两处的收费相同？ (2)现要复印70页的文件，请计算是去复印社还是图书馆合算？ 15．综合与实践 停车场的收费方案选择问题 素材一 小张开车去公司上班，公司附近有一个停车场提供了两种收费方案． 方案一：不购买月卡时，每天停车6小时内（含6小时），收费4元，超过6小时的部分每小时收费元（不足1小时按1小时计算）． 方案二：购买99元月卡后，每天停车5小时内（含5小时）免费，超过5小时的部分每小时收费1元（不足1小时按1小时计算）． 素材二 小张平均每月上班22天，每天停车时间相同． 解决问题 问题1 若小张上班期间每天停车8小时，则她选择方案一时平均每月的费用为__________元；选择方案二时平均每月的费用为__________元． 问题2 若小张上班期间每天停车小时（为正整数），她应选择哪种方案，使平均每月的费用更省钱？请说明理由． 问题3 已知方案二的月卡价格调整为元（为整数，且）． ①若小张上班期间每天停车小时，要使两种方案平均每月费用相同，求的值； ②若小张上班期间每天停车时间在小时之间，且方案一平均每月费用比方案二的倍少63元，求的值． 题型六：数字问题 16．我国古代的“九宫图”是由方格构成的，每个方格均有不同的数，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如下给出了“九宫图”的一部分，请推算的值． 2025 x 1 5 2025 1 5 17．如图所示，2026年第二届“青竹湖湘一数学文化节”上，某班数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“”表示一个有理数． (1)若表示5，输入数为，求计算结果； (2)若计算结果为7，且输入的数字是3，则表示的数是几？ 18．观察下面的一列数：… (1)写出第7个数______，第8个数________； (2)写出第n个数_________（用含n的代数式表示，n为正整数）； (3)拓展：取相邻的三个数，若这三个数的和为，求这三个数． 题型七：几何问题 19．一张长方形纸片，经过n次裁剪（每次沿直线剪去一个正方形），若剩下的图形为正方形，则称该长方形为“n阶奇异长方形”． 例如：图1为“1阶奇异长方形”（①、②为正方形）； 图2的2个图形均为“2阶奇异长方形”（③、④、⑤、⑥、⑦、⑧为正方形）． 设“n阶奇异长方形”的长为a，宽为． (1)若，则图1中b的值为______，图2中b的值为______与______； (2)若图3为“4阶奇异长方形”，则的值为______； (3)若，，则b的值为______（写出所有可能的结果）． 20．已知数轴上三点，，对应的数分别为，，，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)的长为_________； (2)如果点到点、点的距离相等，那么的值是_________； (3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是?若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 21．学校装修录播教室需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是，现只能购得规格是的标准板材，一张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 若所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁张、按裁法二与裁法三分别裁若干张，且所裁出的、两种型号的板材刚好够用． 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)上表中， ， ； (2)用含有的代数式分别表示裁法二与裁法三的张数； (3)问所购标准板材的总张数能不能为82张？若能，求出此时的的值；若不能，请说出理由． 题型八：动点问题 22．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P到原点O的距离． 23．如图，四边形是长方形，，，动点从点出发，以每秒的速度沿向点匀速运动；动点从点出发，以每秒的速度沿向点匀速运动．，两点同时出发，其中一点到达点后，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)当点在上运动时， ①用含的代数式表示：________，________； ②当为何值时，？ (2)当点在上运动，为何值时，，两点间的距离是？ 24．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示． (1)请你在数轴上表示出，，三点的位置； (2)把点到点的距离记为，则 ； (3)若点以每秒的速度匀速向右移动，同时点以每秒的速度匀速向左移动．设移动时间为秒，问几秒后，两点相距？ 题型九：和差倍分问题 25．妈妈去超市买香蕉和苹果一共花了45元，买苹果的钱数是买香蕉钱数的2.6倍，请问妈妈买香蕉花了多少元？（列方程解答） 26．一天，东东去问爸爸的年龄，爸爸说：“我的年龄是你年龄的3.5倍，咱们俩的年龄和是54岁！” (1)东东和爸爸各多少岁？ (2)东东又去询问了妈妈和奶奶的年龄，请你仿照上述例题，编写一道与妈妈和奶奶年龄有关的试题，并解答．（要求：用到合并同类项解方程） 27．七（1）班和七（2）班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．比赛中，所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连． 图中4种垃圾分别对应4种类别，请一对一连线 (注：每连对一条线得5分)纸巾    易拉罐    破灯泡    苹果核 有害垃圾    可回收物    厨余垃圾    其它垃圾 (1)分数5， 10， 15， 20中， 每人得分不可能是 分． (2)七（1）班有4人全错，其余成员中，满分人数是未满分人数的2倍；七（2）班所有人都得分，最低分人数的2倍与其他未满分人数之和等于满分人数． ①问七（1）班有多少人得满分？ ②若七（1）班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，问哪个班的总分高？ 题型十：电费和水费问题 28．某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准，根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：度）分为三档进行收费（第一档：月用电量不超过240度，第二档：月用电量为240～400度，第三档：月用电量超过400度）．设居民每月用电量为（度），收费标准如表． 月用电量（度） 收费（元） 不超过240度 每度元 超过240～400度 超过240度的部分每度元 超过400度 超过400度的部分每度元 (1)每月用电量不超过240度，应交电费 元；每月用电量超过400度，应交电费 元；（两空均填含的代数式） (2)若某户居民月用电量为150度，求应交电费多少元？ (3)若某户居民某月交费231元，求该户居民用电多少度？ 29．为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如下表： 用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超过不超过的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 譬如：某用户2月份用水，则应缴水费：(元)． (1)某用户3月用水应缴水费多少元？ (2)已知某用户4月份缴水费元，求该用户4月份的用水量； (3)如果该用户5、6月份共用水(月份用水量超过5月份用水量)，共交水费元，则该户居民5、6月份各用水多少立方米？ 30．根据以下素材，探索未完成任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2025年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量吨）：水费为4.3元/吨，其中自来水为3.35元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 第二阶梯（14吨<用水量吨）：水费为5.97元/吨，其中自来水为5.02元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 第三阶梯（用水量吨）：水费为11元/吨，其中自来水为10.05元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 素材3 如某用户2025年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知某用户2025年12月份所缴水费中，自来水费为66.98元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2025年11月用水a吨，则应缴水费多少元？ 题型十一：行程问题 31．小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置． (1)如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ (2)如果小明起跑后小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 32．老师在黑板上出了一道题：A，B两地相距，甲骑自行车从A地前往B地，速度为每小时，后，乙骑摩托车也沿相同的路线从A地前往B地，速度为每小时．乙出发多长时间后能追上甲？ 为了更好地理解题意，老师设出未知数，并画出了如图所示的线段图． 请你按照老师的思路写出完整的解答过程． 追问：若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距A地多少千米？ 33．综合与探究 问题情境 为参加2025年9月20日太原人形机器人欢乐跑比赛，两支参赛队伍进行模拟演练，每台机器人都配有同步奔跑的人类领航员、操作手和工程师等．模拟演练的场地为120米的跑道，如图1． 某次演练，甲机器人先从起点出发向终点匀速奔跑，速度为1.5米/秒，10秒后乙机器人也从起点出发向终点匀速奔跑，速度为2.5米/秒．设甲机器人奔跑的时间为秒． 数学思考 （1）在上述演练过程中，甲机器人距起点的距离为__________米；当时，乙机器人距起点的距离为__________米．（均用含的代数式表示） 解决问题 （2）若两台机器人在演练过程中均未发生故障，试探究乙机器人能否在奔跑过程中追上甲机器人？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． （3）若甲机器人在整个奔跑过程中未发生故障，乙机器人在甲机器人出发42秒时，发生故障．排除故障后，乙机器人以原来的速度继续前进，并与甲机器人同时到达终点．请直接写出在整个演练过程中，甲、乙两台机器人相距16米时，所有可能的的值． 题型十二：比例分配 34．七年级某班的教师和学生去湖边坐游船，为此租了若干条船，如果每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满，问：该班租了多少条船？该班一共有教师和学生多少人？ 35．市场上一种茶饮料由茶原液和纯净水按一定的比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水，由于今年以来茶产地云南地区连续干旱，茶原液的收购价格上涨，纯净水也上涨了，导致配制的这种茶饮料成本上涨．求这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例？ 36．风华中学举办英语节活动，包括三大组别的节目：歌曲组、短剧组、演讲组，每位学生只能参加一个组别的节目．六年级有部分同学参加活动，其中的同学加入歌曲组，的同学加入演讲组，剩下20名同学加入短剧组，参加英语节的男生比女生少． (1)六年级参加英语节的学生有多少人； (2)参加演讲组的男生是参加短剧组男生的，且比参加歌曲组的男生多，求参加歌曲组的男生有多少人； (3)在（2）的条件下，由于英语节活动调整，一些学生从演讲组调整到歌曲组和短剧组，从演讲组调出学生中，3名男生全部调入歌曲组，调入歌曲组和短剧组的女生人数比为，此时歌曲组人数是短剧组人数的，求调入歌曲组的女生有多少人． 题型十三：日历问题 37．将连续的奇数排成如下一个数表，并用一个如图所示的十字框框住数表中的五个数，且该十字框可以在数表中上、下、左、右平移，试解决以下问题： (1)若设十字框中间的数为a，试求十字框框住的五个数的和： (2)在（1）的条件下，试问：该十字框框住的五个数字之和能等于吗？若能，试求出a的值；若不能，请说明理由． 38．如图1是2025年12月的月历，数学老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)任意框出图1某一列中相邻的3个数和为60，则中间的数为____________ (2)用图2框出图1中的3个数，若这3个数的和为48，则这3个数分别是______________； (3)用图3框出图1中的4个数，是否有可能这4个数的和是68？若有可能，求出这4个数：若不可能，请说明理由． 39．如图1，这是2026年1月的月历表，用如图2所示的“”字型去框出月历表中的五个数，设这五个数由小到大依次为，，，，． (1)若设所表示的数为14，则表示的数为_____． (2)这五个数的和可能等于93吗？若能，求出最中间的数；若不能，请说明理由． 题型十四：古代问题 40．列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少竿竹竿？ 41．今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问：家数、牛价各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．家数、牛价各是多少？ 42．一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线（斜线）的几个数之和都相等，具有这种性质的图表称为“幻方”，我国古代称之为“河图”、“洛书”，又称为“纵横图”，后来演化成一种竞赛项目——数独．在最强大脑的数独比赛上，12岁的胡宇轩代表中国队战胜日本世界冠军，后被北京大学录取．下面让我们也来试试幻方游戏吧． 9 2 3 7 8 6 4 0 3 1 (1)请将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入表中的空格内，使横、竖以及对角线（斜线）上的3个数字之和都相等． (2)类比第（1）问请尝试将，，，，0，1，2，3，4分别填入表中的空格内，使横、竖以及对角线（斜线）上的3个数字之和都相等． (3)老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为 ． 题型十五：其他问题 43．某校书法兴趣小组计划到文具店一次性购买A，B两种型号的毛笔．请你根据下面表格中提供的信息，解答相关问题． 信息1 文具店的销售方式： ①一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过的部分每支的价格比零售价低0.5元； ②一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过的部分每支的价格比零售价低1元． 信息2 B型毛笔的零售价比A型毛笔的零售价每支高1元，购买2支A型毛笔和3支B型毛笔共需花费28元． 信息3 这个书法兴趣小组共有30名同学，每人需要买1支A型毛笔和2支B型毛笔． (1)求这家文具店A，B型毛笔的零售价每支分别是多少元？ (2)该书法兴趣小组本次购买A，B两种型号的毛笔共需花费多少元？ 44．有10根大小相同的进水管给A、B两个水池注水，原计划用4根进水管给A水池注水，其余6根给B水池注水，那么5小时可同时注满．因为发现A水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满．如果用10根进水管给漏水的A水池注水，需要多少分钟注满？ 45．在一个圆柱形水桶里，垂直放入一段半径是的圆柱形钢材．如果把钢材全部浸入水中，桶里的水面上升；如果再把钢材垂直露出水面，桶里的水面下降．（取3.14） (1)圆柱形水桶的底面积是多少？ (2)有一个圆锥形零件，它的底面直径比钢材的半径少，且高为钢材的，则这个圆锥形零件的体积是多少？ (3)若把整段钢材全部用来锻造（2）条件下的圆锥形零件，每小时锻造10个零件时，由于损耗，每个零件需要多用掉的原材料，按这样的效率工作了2个小时后，为了提前完成任务，需要提高锻造效率．效率提高的同时，每个零件耗材也增加了．问一共可以锻造多少个这样的圆锥形零件？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08一元一次方程的应用期中复习讲义 1.掌握列一元一次方程解应用题的完整步骤：审、设、列、解、验、答；能读懂题目文字信息，准确找出题目里的等量关系。 2.熟练掌握常见基础模型：和差倍分问题、行程问题、工程问题、利润销售问题、配套问题、数字问题、分段计费问题等。 3.会合理设未知数，区分直接设元与间接设元；能够根据等量关系列出一元一次方程，规范书写解题过程。 4.解方程后检验结果，一方面检验方程的解是否正确，另一方面检验解是否符合实际现实意义，舍去不符合题意的解。 5.能处理表格、文字描述类应用题，读懂信息，提取有效数据建立方程模型。 6.辨析易混点：行程问题分清相遇、追及的等量关系；销售问题区分进价、标价、售价、折扣、利润率；工程问题把总工作量看作单位 1。 7.易错警示：设未知数和作答时不要遗漏单位；审题仔细，找准关键词，避免等量关系列错；分段计费注意分界点，分情况讨论。 题型 考察方向 难度 题型一 配套问题 ★★ 题型二 工程问题 ★★ 题型三 销售盈亏 ★★ 题型四 比赛积分 ★★ 题型五 方案选择 ★★★ 题型六 数字问题 ★★ 题型七 几何问题 ★★ 题型八 动点问题 ★★★★ 题型九 和差倍分问题 ★ 题型十 电费和水费问题 ★★★ 题型十一 行程问题 ★★★ 题型十二 比例分配 ★★ 题型十三 日历问题 ★★ 题型十四 古代问题 ★★ 题型十五 其他问题 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：列一元一次方程解应用题通用步骤（必考标准流程） 步骤 名称 操作要点 核心注意事项 ① 审 通读题目，区分已知量、未知量，找准题目中的等量关系 等量关系是列方程根本，优先寻找不变量 ② 设 设未知数，优先直接设元；复杂题目选用间接设元 规范写法：设x，不要附带单位 ③ 列 根据找到的等量关系，列出一元一次方程 等式左右两边含义保持一致，单位统一 ④ 解 按照一元一次方程标准解法解方程 计算仔细，规范书写解方程过程 ⑤ 检 双重检验：①检验数值满足方程；②检验结果符合现实实际意义 人数、物品数量不能为负数、小数；长度不能为负 ⑥ 答 写出完整答句，带上对应单位 回答内容对应题目所求，语句完整 核心思想：用字母代替未知量，抓住不变的等量关系建立等式。 知识点 02 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法： 例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点03常见问题中的等量关系 1 和差倍分问题（基础必考） （1）核心文字等量翻译 A 比 B 多m：A=B+m A 比 B 少m：A=B-m A 是 B 的k倍：A=k·B A、B 总和为S：A+B=S （2）解题思路 一般设较小量为x，大量用含x代数式表示，根据 “和” 列方程。 （3）易错点 “甲比乙多 3 倍”≠甲 = 3 乙，而是甲 = 4 乙。 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=，工作效率=； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整1； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 3. 营销问题 （1）相等关系：①利润=售价-进价；②利润率= 100%；③售价=进价 (1+利润率)。 （2）打折：n折即标价的，如 7 折即标价的（或 70%），其中n叫折数实际售价=标价 4. 行程问题 基本相等关系：路程=速度 时间；速度=路程时间；时间=路程速度。 （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程。 甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行 （2）直线形追及问题：快者走的路程 = 慢者走的路程 + 两人初始路程差； 快者走的路程 = 慢者先走的路程 + 慢者后走的路程 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间=；第n次相遇时，二者合走了n圈。 （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间=；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈。 5 储蓄利息问题 基础公式 利息 = 本金 × 年利率 × 存款年数 本息和 = 本金 + 利息 6 数字、日历问题 两位数表示：十位数字a，个位数字b，两位数写作10a+b；不能直接写成ab； 日历规律：上下相邻数字相差 7，左右相邻数字相差 1。 7等积变形问题（几何题型） 核心原理：形状改变，体积（面积）不变 等量关系：变形前体积（面积）= 变形后体积（面积） 常用公式：长方体体积、圆柱体积；长方形、圆形面积。 8 配套问题 核心等量关系 配套比例关系：加工出的两种部件数量之比 = 题目给定配套比 举例：1 个产品需要 2 个 A 零件、1 个 B 零件 A零件总数∶B零件总数=2∶1，转化为：A零件总数=2×B零件总数} 解题要点 （1）分配工人 / 原材料，一部分生产甲部件，一部分生产乙部件； （2）根据配套比例列出等式； （3）算出人数后必须检验：人数一般取非负整数。 题型 9 方案选择问题 解题通用思路 （1）先设自变量x，分别写出每种方案费用（总量）的代数式； （2）列方程求出费用相等时的临界值； （3）分区间讨论：大于临界值、小于临界值分别选择最优方案。 核心模板 方案①：y1=.... 方案②：y2=..... 令y1=y2，求出临界点x=a x>a，选择其中一种方案； x<a，选择另一种方案； x=a，两种方案费用相同。 ⚠️注意：结合实际，x不能为负数，部分场景x只能取整数。 知识点04：设未知数两种方法对比 方式 适用场景 优点 直接设元 题目求什么，直接设什么为x 最后不需要换算，答题简便 间接设元 直接设元难以列出方程；数字、复杂比例、配套问题 更容易列出简洁方程，降低列式难度 知识点 05 寻找等量关系的 4 种方法 1.抓关键词：一共、比… 多、比… 少、是几倍、剩余、相等； 2.画图辅助：行程画线段图、几何等积画示意图； 3.列表梳理：多组数量用表格整理，直观找等式； 4.套用固定公式：行程、工程、销售直接用公式建立等量。 知识点06：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 等量关系寻找 把题目中的不等关系当作等量关系；漏看条件 圈画关键词，找到不变量建立等式 单位不统一 路程问题时间、长度单位混用 列式前统一所有物理量单位 设、答书写错误 设未知数时附带单位；答句遗漏单位 设：设x（不带单位）；答必须写完整单位 数字类列式错误 十位数字为a，直接把两位数写成ab 两位数：10×十位数字+个位数字 折扣理解出错 误将 8 折理解为原价 ×0.2 8 折 = 原价 × 0.8 检验步骤缺失 解方程后不检验结果是否符合实际 人数、个数不能为负数、小数 工程问题列式错误 多人合作直接相加时间 合作是效率相加，不是时间相加 配套问题比例列式颠倒 把零件比例左右写反 严格对照 “产品：配件” 比例列出等式 方案选择问题 只算出临界点，不分区间讨论选择 算出相等点后，分情况说明不同范围最优方案 题型一：配套问题 1．某工厂车间有20名工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件18个或B零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套，工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元． (1)求该工厂有多少名工人生产A零件，多少名工人生产B零件？ (2)因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元？ 【答案】(1)该工厂有5名工人生产A零件，则有15名工人生产B零件 (2)现从生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设该工厂有x名工人生产A零件，则有名工人生产B零件．根据题意，列出方程，即可求解； （2）设现从生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元．根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该工厂有x名工人生产A零件，则有名工人生产B零件．根据题意得： ， 解， 此时， 答：该工厂有5名工人生产A零件，则有15名工人生产B零件． （2）解：设现从生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元．根据题意得： ， 解得． 答：现从生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元 2．某手工社团承接校园文创礼盒的铁质包装盒制作任务． (1)1个包装盒由1个盒身和2个盒底组成，用1张铁皮可制作40个盒身或70个盒底．现有150张铁皮，用多少张做盒身、多少张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套？ (2)该社团接到一批包装盒加急订单，若由社团A小组单独完成需12天，B小组单独完成需18天．现在A，B两个小组一起制作4天后，剩下的任务由B小组单独完成，那么B小组还需要多少天才能完成全部订单？ 【答案】(1)用70张做盒身，80张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套； (2)B小组还需要8天才能完成全部订单 【分析】（1）设用张做盒身，则用张做盒底，根据题意列方程求解即可； （2）设B小组还需要天才能完成全部订单，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设用张做盒身，则用张做盒底． 根据题意得， 解得， ∴做盒底的铁皮为（张）． 答：用70张做盒身，80张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套； （2）解：设B小组还需要天才能完成全部订单． 根据题意得， 解得， 答：B小组还需要8天才能完成全部订单． 3．根据以下素材，探索完成任务． “碳中和”主题文创产品制作的利润优化 素材1 为响应“碳中和”校园宣传活动，七年级学生社团计划制作“低碳生活”主题文创收纳盒与小玩具．学生社团以每块12元的价格买了30块长方形木板，每块木板的长和宽分别为和． 素材2 木板可按图1虚线裁割，裁去四个边长相同的小正方形（阴影部分是余料），把裁出的五个长方形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长为．木板也可按图2虚线裁割出两块木板（阴影部分是余料），给图1制成的盒子配上盖子（如果有配上盖子，则木板刚好全部用完）．只要余料面积总和是就能拼制成一个小玩具．除购买木板支出和销售手工制品收入，其它费用忽略不计．    素材3 方案1：木板都制成无盖长方体收纳盒，余料都拼制成小玩具； 方案2：木板都制成有盖的长方体收纳盒，且每个收纳盒配一个盖子，余料都拼制成小玩具； 方案3：木板都拼制成小玩具． 素材4 收纳盒与小玩具的售价如下（所有手工制品全部售出）： 无盖收纳盒元个，有盖收纳盒元个，小玩具元个． 问题解决 任务1 求出收纳盒的高度 收纳盒的高度是_______； 任务2 方案2的利润探索 求方案2的利润；（用含、的代数式表示） 任务3 不同分配方案最大利润的探索 当，时，为使获得的利润最大，应选用哪种方案，并说明理由． 【答案】任务1：； 任务2：元； 任务3：应选用方案2，理由： 当，时 方案1利润：                               （元） 方案2利润：（元） 方案3利润：（个） （元） ∵， ∴为使获得的利润最大，应选用方案2． 【分析】任务1：利用收纳盒的高度（长方形木板的长制成无盖长方体收纳盒底面的长）计算即可得解； 任务2：设用块长方形木板按图1裁割，则用块长方形木板按图2裁割，根据题意列出方程求解即可； 任务3：分别计算出各个方案的利润，比较即可得解． 【详解】任务1： 解：根据题意得：， 故收纳盒的高度为； 任务2： 解：设用x块长方形木板按图1裁割，则用块长方形做盖子 ∵如果有配上盖子，则长方形木板刚好全部用完 ∴， 解得 ， ∴   ∴方案2可制成20个有盖的长方体收纳盒， 此时按图1裁割，每块长方形木板的余料可拼制小玩具的数量：（个） 按图2裁割，每块长方形木板的余料可拼制小玩具的数量： （个） ∴方案2的利润： （元） 任务3：略 题型二：工程问题 4．某地为打造绿地公园，现有一段河道整治任务由，两个工程队完成．工程队单独整治该河道要16天才能完成；B工程队单独整治该河道要24天才能完成．现在A工程队单独做6天后，B工程队加入一起完成剩下的工程，问A工程队一共做了多少天？ (1)根据题意，小明、小红两名同学分别列出尚不完整的方程如下： 小明：； 小红：． 请根据小明、小红两名同学所列的方程思考，并补全空白括号里的内容． 小明同学所列不完整的方程中的空白括号里该填 ，小红同学所列方程中的空白括号里该填 ． (2)A工程队一共做了多少天？（写出完整的解答过程） 【答案】(1)1， (2)A工程队一共做了12天 【分析】（1）根据总量为单位“1”和B工程队的工作时间即可求解； （2）设A工程队一共做了天，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设A工程队一共做了天， 根据题意，得， 解得． 答：A工程队一共做了12天． 5．解答下列问题： (1)师徒两人检修一条长的自来水管道，师傅每小时检修，徒弟每小时检修．现两人合作，多少时间可以完成整条管道的检修？ (2)师徒两人检修一条煤气管道，师傅单独完成需要，徒弟单独完成需要．现两人合作，需要多少小时完成？ 【答案】(1)小时 (2)小时 【分析】（1）已知管道具体总长度和两人每小时检修长度，直接列方程计算； （2）把总工作量看作单位1，先得到两人的工作效率，再列方程求解． 【详解】（1）解：设两人合作小时可以完成整条管道的检修． 根据题意，师傅小时检修()，徒弟小时检修()，总管道长， 列方程得 解得 答：两人合作（小时）可以完成整条管道的检修． （2）设两人合作需要小时完成，根据题意得 解得 答：两人合作需要6（小时）完成． 6．某科技公司要生产一批智能手表，计划由A、B两个工厂负责生产．已知A厂每天能生产12件，B厂每天能生产18件，A厂单独生产比B厂单独生产要多用15天． (1)求这批智能手表共有多少件？ (2)若A、B两厂生产一段时间后，A厂停止生产智能手表去为该公司生产其他产品，剩下的智能手表生产任务全部由B厂单独完成，经核算，B厂需将每天的生产件数提高．任务完成时，B厂生产智能手表的全部工作时间正好比A厂生产智能手表的时间的2倍多3天，求B厂生产智能手表共用多少天？ (3)如果在生产智能手表过程中，公司每天需要付给A厂100元，付给B厂150元，另外，每个工厂需要配备一名工程师进行生产技术指导，并由公司提供每天15元的午餐补助费． 经公司研究，拟定如下三种生产方案： 方案一，由A厂单独完成； 方案二，由B厂单独完成； 方案三，按（2）问方式完成． 请你通过计算，帮公司选择一种既省时又省钱的生产方案． 【答案】(1)540件 (2)21天 (3)选方案三 【分析】（1）设这批智能手表共有x件，根据“A厂单独生产比B厂单独生产要多用15天”列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设A厂工作y天，则B厂工作天，根据题意列一元一次方程，解方程即可求解； （3）应分为三种情况讨论：①由A厂单独完成；②由B厂单独完成；③按（2）问方式完成，分别比较三种情况下，所耗时间和花费金额，求出既省钱，又省时间的加工方案． 【详解】（1）解：设这批智能手表共有x件，根据题意列方程得， ， 解得：． 答：这批智能手表共有540件； （2）解：设A厂工作y天，则B厂工作天，根据题意列方程得， ， 解得：． 所以，（天）． 答：B厂共生产智能手表21天； （3）解：方案一：A厂单独完成，时间为天，费用为元． 方案二：B厂单独完成，时间为天，费用为元． 方案三：A厂工作9天，B厂工作21天，时间为21天，费用为元． 比较时间：；比较费用：． 所以，方案三既省时又省钱． 题型三：销售盈亏 7．综合与实践 问题情境：春节即将来临，701班实践活动小组对一水果店某天甲、乙两种水果的购进和销售情况进行了调查分析． 信息获取： 信息一，该水果店用1400元购进甲、乙两种水果共180千克； 信息二，这两种水果的进价、售价如下表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 6 10 乙 10 16 问题解决： (1)若按售价销售甲、乙两种水果各20千克，可以获得多少利润？ (2)该水果店这一天购进甲、乙两种水果各多少千克？ (3)若该水果店按售价销售完甲种水果和部分乙种水果，剩余乙种水果按其售价的七五折出售，共获利800元，求按原售价售出乙种水果多少千克？ 【答案】(1)可获利200元 (2)水果店购进甲种水果100千克，乙种水果80千克 (3)按原售价售出乙种水果60千克 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键． （1）根据利润每千克的利润销售量，即可求解； （2）设水果店这一天购进甲种水果x千克，根据“用1400元购进甲、乙两种水果共180千克”，列出方程，即可求解； （3）设按原售价售出乙种水果y千克，根据“共获利800元”，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：元 答：可获利200元． （2）解：设水果店这一天购进甲种水果x千克，根据题意得： ， 解得： 答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果80千克． （3）解：设按原售价售出乙种水果y千克，根据题意得： 解得： 答：按原售价售出乙种水果60千克． 8．一家商店因换季将某种服装打折销售，每件服装如果按标价的5折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元，问： (1)每件服装的标价是多少元？ (2)每件服装的成本是多少元？ (3)为保证不亏本，最多能打几折？ 【答案】(1)每件服装的标价是200元 (2)每件服装的成本是120元 (3)为保证不亏本，最多能打6折 【分析】（1）设每件服装的标价是元，根据成本不变列出方程即可求解； （2）根据标价求出售价，即可求出成本； （3）设为保证不亏本，最多能打折，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设每件服装的标价是元， 根据题意，， 解得． 答：每件服装的标价是200元． （2）解：（元）． 答：每件服装的成本是120元． （3）解：设为保证不亏本，最多能打折， 由题意得，， 解得． 答：为保证不亏本，最多能打6折． 9．保康市场销售某种商品，分为A、B两种款式，已知A款商品每个的进价是50元，售价是80元，B款商品每个的售价是60元，可盈利．提示：利润率×进价=售价−进价． (1)A款商品每个的利润率是 ，B款商品每个的进价是 元． (2)该市场购进A、B两款商品共计200个，总进货款8400元，请你计算一下A、B两款商品各进货多少个？ (3)春节临近，该市场推出如下的优惠促销活动（打折前一次性购物总金额）： ①不超过900元，不优惠 ②超过900元，但不超过1200元，按总售价打九折 ③超过1200元，其中1200元部分八折优惠，超过1200元的部分打六折优惠， 小张按照优惠活动方案在该市场购买A款商品若干个，实际付款金额为1008元，请你通过计算分析，小张在该市场购买了多少个A款商品？ 【答案】(1)，40 (2)购进40个A款商品，160个B款商品 (3)小张在该市场购买了14或16个A款商品 【分析】本题考查了利润率的计算，一元一次方程的应用及根据不同优惠方案进行分类讨论计算． （1）利用利润率公式和售价与进价的关系计算； （2）设未知数，根据进货款列方程求解； （3）依据不同打折规则分类计算并列出方程求购买数量． 【详解】（1）解：A款商品每个的利润率：， B款商品每个的进价：（元）， 故答案为：，40． （2）解：设购进x个A款商品，则购进个B款商品， 根据题意，得， 解得， ∴， 即购进40个A款商品，160个B款商品． （3）解：设A款商品原付款金额为y元， ∵， ∴进行如下分类： ①当时，， 解得，则（个）； ②当时，， 解得，则（个）， 即小张在该市场购买了14或16个A款商品． 题型四：比赛积分 10．某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，七（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 【答案】7场 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意找到等量关系建立方程． 设获胜场，则平局为场，根据积分建立方程求解即可． 【详解】解：设七（1）班获胜场，则平局为场， ∴， 解得．           答：该班获胜7场． 11．年湖北省全国百强县篮球联赛以独特的魅力，将竞技激情升华为地域文化的盛宴，让运动精神在城市血脉中流淌．截止到月日，湖北省全国百强县篮球联赛已经进行了轮比赛，下表是第轮比赛结束后部分球队积分榜： 序号 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 潜江 汉川 枣阳 大冶 枝江 (1)根据积分表情况，可得：联赛胜一场得_____分，负一场得_____分； (2)轮比赛结束后，某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的倍吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2) 某队的胜场总积分不可能为负场总积分的倍， 理由：设胜场时，胜场总积分是负场总积分的倍， 根据题意可得：， 解得：， 比赛场次必须是整数， 胜场总积分不可能为负场总积分的倍． 【分析】本题主要考查了探索数字的规律、一元一次方程的应用． (1)设胜一场得分，则负一场得分，可列方程，解方程可得胜一场得分； (2)设胜场时，胜场总积分是负场总积分的倍，列方程求解可得，根据比赛场次必须是整数，可知胜场总积分不可能为负场总积分的倍． 【详解】（1）解：潜江队胜场、负场，得分， 设胜一场得分，则负一场得分， 又汉川队胜场、负场，得分， 可得：， 解得：， 则， 可得：胜一场得分，负一场得分， 故答案为：，； （2）略 12．某班组织元旦知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表是，，三位参赛者答完20道题后的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 19 1 16 4 76 10 10 40 根据表中信息回答下列问题： (1)设答对1道题得分，则答错1道题的得分为_______分（用含的式子表示）． (2)求表格中的值． (3)参赛者已作答的一部分试题中，只答对了一半．如果他最多能得82分，他已作答了多少道题？ 【答案】(1) (2)94 (3)他已作答了6道题 【分析】（1）从参赛者的得分可以求出答对一题和答错一题的得分和为分，由此可以用含的式子表示答错一题的得分； （2）从参赛者的得分入手，根据答对的得分+加上答错的得分=分建立方程求出其解，然后再求即可； （3）设参赛者已作答了道题，根据参赛者已作答的一部分试题中，只答对了一半．如果他最多能得82分列方程计算即可． 【详解】（1）解：由参赛者的得分情况可知：答对一题和答错一题的得分和为：（分）， 设答对1道题得分，则答错1道题的得分为分 ． （2）解：由参赛者的得分情况，得， 解得，则， 所以答对1道题得5分，答错1道题扣1分， 所以． （3）解：设参赛者已作答了道题． 根据题意，得，解得． 故他已作答了6道题． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型五：方案选择 13．课程育英才，素养创未来．我校开设了丰富的选修课程，其中羽毛球运动是深受学生喜爱的课程之一．某班需要购买20副羽毛球拍和若干盒羽毛球．现了解：某体育用品商场销售一种品牌羽毛球拍和羽毛球，一副羽毛球拍定价160元，一盒羽毛球定价80元．根据市场调查，商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一副羽毛球拍送一盒羽毛球；方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款．现该班要到该商场购买20副羽毛球拍，羽毛球x盒（的整数）． (1)用含x的代数式分别表示两种方案需付的金额； (2)当时，计算两种方案购买需付的金额各是多少元？ (3)当x取何值时，两个方案需付的金额相等？ (4)直接写出x在什么范围内时，用方案一购买更合算？ 【答案】(1)方案一：元；方案二：元 (2)方案一应付费：元；方案二应付费元 (3) (4) 【分析】题目主要考查列代数式、求代数式的值，以及一元一次方程的应用，理解题意，列出相应代数式是解题关键． （1）根据题意分别列出两个方案的代数式即可； （2）当时，分别代入（1）中结果求解即可； （3）根据两个方案需付的金额相等列出方程求解即可； （4）根据（3）的结果以及题意即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：方案一：元． 方案二：元． （2）解：当时 方案一需付费：（元）． 方案二需付费：（元） （3）解：由题意得，， 解得， 答：当时，两个方案需付的金额相等； （4）解：由（3）得当时，两个方案的费用相同， ∴当时，，选择方案一购买更合算． 14．用A4纸在某复印社复印文件，复印页数不超过20页时，每页收费元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费降为元．在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费均为元． (1)复印页数为多少时，两处的收费相同？ (2)现要复印70页的文件，请计算是去复印社还是图书馆合算？ 【答案】(1)40 (2)复印社合算 【分析】（1）设复印页数为时，两处的收费相同，根据题意列方程求解； （2）分别求得复印70页时，复印社和图书馆的费用，即可求解． 【详解】（1）解：设复印页数为x时，两处的收费相同，则， 由题意：， 解得：，即复印页数为40时，两处的收费相同； （2）解：当复印70页时，复印社的收费为：（元）, 图书馆的收费为：（元）, ， 复印社合算． 15．综合与实践 停车场的收费方案选择问题 素材一 小张开车去公司上班，公司附近有一个停车场提供了两种收费方案． 方案一：不购买月卡时，每天停车6小时内（含6小时），收费4元，超过6小时的部分每小时收费元（不足1小时按1小时计算）． 方案二：购买99元月卡后，每天停车5小时内（含5小时）免费，超过5小时的部分每小时收费1元（不足1小时按1小时计算）． 素材二 小张平均每月上班22天，每天停车时间相同． 解决问题 问题1 若小张上班期间每天停车8小时，则她选择方案一时平均每月的费用为__________元；选择方案二时平均每月的费用为__________元． 问题2 若小张上班期间每天停车小时（为正整数），她应选择哪种方案，使平均每月的费用更省钱？请说明理由． 问题3 已知方案二的月卡价格调整为元（为整数，且）． ①若小张上班期间每天停车小时，要使两种方案平均每月费用相同，求的值； ②若小张上班期间每天停车时间在小时之间，且方案一平均每月费用比方案二的倍少63元，求的值． 【答案】问题1：154；165；问题2：当正整数时，选择方案一更省钱；当时，两种方案费用相同；当时，选择方案二更省钱； 问题3：①88；②m的值为62． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意列方程求解． 问题1：按两种方案的分段规则，分别算出单日费用，再乘22天得到月费； 问题2：按停车时长分区间，分别列费用表达式，通过比较和等式求分界点来判断； 问题3：①按小时计为8小时，列等式求m；②对小时按整小时算，代入关系式求整数m． 【详解】解：问题1：方案一：每天费用：元， 每月费用：元； 方案二：每天额外费用：元， 每月费用：元， 所以，方案一每月费用为154元，方案二每月费用为165元， 故答案为：154；165； 问题2：设每天停车t小时（t为正整数）， 分情况讨论：①当时， 方案一：每天4元，每月元， 方案二：每月费用元，因为，所以选方案一； ②当时， 方案一：每天4元，每月88元， 方案二：每月费用：，因为，所以选方案一； 当时，方案一每月费用：， 方案二每月费用：， 令， 解得； 当时，， 选方案一； 当时，费用相同，两者均可； 当时，，选方案二； 问题3：①方案一每月费用：元， 方案二每月费用：， 令两者相等：， 解得， 所以，m的值为88； ②方案一每月费用：若时，元， 若时，元， 方案二每月费用：若时：， 若时，， 根据题意：方案一费用方案二费用， 即当时：， 解得， 当时：， 解得， 所以，m的值为62． 题型六：数字问题 16．我国古代的“九宫图”是由方格构成的，每个方格均有不同的数，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如下给出了“九宫图”的一部分，请推算的值． 2025 x 1 5 【答案】 【分析】先得出第一行第一列的数，再根据第二行上的三个数字之和、对角线上的三个数之和相等建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设“九宫图”中的数字如下图所示： 2025 1 5 由题意得：①，②， 整理①得：，解得， 整理②得：， ∴， 解得． 17．如图所示，2026年第二届“青竹湖湘一数学文化节”上，某班数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“”表示一个有理数． (1)若表示5，输入数为，求计算结果； (2)若计算结果为7，且输入的数字是3，则表示的数是几？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）设为，根据题意列方程计算求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2） 解：设为， 由题意得：， ， ， ， ， 即表示的数是． 18．观察下面的一列数：… (1)写出第7个数______，第8个数________； (2)写出第n个数_________（用含n的代数式表示，n为正整数）； (3)拓展：取相邻的三个数，若这三个数的和为，求这三个数． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）（2）观察式子：奇次项时为负数，偶次项为正数，根据此规律即可得答案； （3）观察数据可得，前一个数乘以等于相邻的后一个数，则设第一个数为x，那么第二个数为，第三个数为，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 依此规律第7个数是：，第8个数是： （2）解：由（1）可得，第n个数是，（n为正整数）； （3）解：观察数据可得，前一个数乘以等于相邻的后一个数， 则设第一个数为x，那么第二个数为，第三个数为 由题意得， 解得 那么这三个相邻的数分别为． 题型七：几何问题 19．一张长方形纸片，经过n次裁剪（每次沿直线剪去一个正方形），若剩下的图形为正方形，则称该长方形为“n阶奇异长方形”． 例如：图1为“1阶奇异长方形”（①、②为正方形）； 图2的2个图形均为“2阶奇异长方形”（③、④、⑤、⑥、⑦、⑧为正方形）． 设“n阶奇异长方形”的长为a，宽为． (1)若，则图1中b的值为______，图2中b的值为______与______； (2)若图3为“4阶奇异长方形”，则的值为______； (3)若，，则b的值为______（写出所有可能的结果）． 【答案】(1)3；2，4； (2)； (3)5，8，12，15 【分析】本题主要考查代数式的运用，一元一次方程的运用，理解图示，掌握代数式的运用，一元一次方程的计算是关键． （1）结合图形，由正方形的性质列式求解即可； （2）根据题意，设右上方的小正方形的边长为，由此得到，由此即可求解； （3）根据题意，分别画出3阶奇异长方形，结合图形列式求解即可． 【详解】（1）解：图1中，， ∴， 图2中，左边的图，， ∴， 右边的图，， ∴， 解得，， 故答案为：，，； （2）解：如图所示， 设右上方的小正方形的边长为， ∴，， 即， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示， ∴； 如图所示， ∴， 解得，； 如图所示， 设右上角的小正方形的边长为， ∴， ∴； 如图所示， 设右上角的小正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，b的值为，，，． 20．已知数轴上三点，，对应的数分别为，，，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)的长为_________； (2)如果点到点、点的距离相等，那么的值是_________； (3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是?若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：当或时，点到点、点的距离之和是． 点到点、点的距离之和是， ， 整理得：， 当时， 可得：， 解得：； 当时， 整理得：， 此时不成立； 当时， 可得：， 解得：； 综上所述，当或时，点到点、点的距离之和是． 【分析】（1）根据线段上两点之间的距离即可求出结果； （2）因为点到点、点的距离相等，所以点是点、点的中点，根据点、点表示的数即可求出结果； （3）点到点、点的距离之和是，可得方程，分情况求出的值． 【详解】（1）解：点，对应的数分别为，， ； （2）解：点到点、点的距离相等， ； （3）略 21．学校装修录播教室需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是，现只能购得规格是的标准板材，一张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 若所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁张、按裁法二与裁法三分别裁若干张，且所裁出的、两种型号的板材刚好够用． 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)上表中， ， ； (2)用含有的代数式分别表示裁法二与裁法三的张数； (3)问所购标准板材的总张数能不能为82张？若能，求出此时的的值；若不能，请说出理由． 【答案】(1)0，3 (2)裁法二的张数为；裁法三的张数： (3)解：不能，理由如下： 依题意，， 解得． 当时，， 故所购标准板材的总张数不能为张． 【分析】（1）根据标准板材的规格和型、型板材的规格即可解答； （2）设按裁法二裁张、按裁法三裁张，根据共需用型板材块、型板材块，可得，，然后整理可得结果； （3）根据三种裁剪方法共用板材张列方程求解即可． 【详解】（1）解：按裁法二裁剪时，块型板材的长为，，所以无法裁出型板， 按裁法三裁剪时，块型板材的长为，， 而块型板材的长为，所以无法裁出块型板； ∴，； （2）解：设按裁法二裁张、按裁法三裁张． ∵共需用A型板材块、B型板材块， ∴，， ∴，， 即裁法二的张数为；裁法三的张数：； （3）略 题型八：动点问题 22．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P到原点O的距离． 【答案】(1)4 (2)2 (3)2或6 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，数轴上的动点问题， 对于（1），先求出，再根据可得答案； 对于（2），先求出点Q运动到点O时，，再根据可知点Q从点O向点A运动，进而得出答案； 对于（3），先根据，可得或，再求出t值，进而求出，即可得出答案. 【详解】（1）解：当时，，且， ∴ ∴点Q到点O的距离是4； （2）解：当点Q运动到点O时，， ∵， ∴点Q从点O向点A运动， ∴, 所以点Q到点O的距离是2； （3）解：当时， 或， 解得或， 当时，； 当时，. 所以点P到点O的距离是2或6. 23．如图，四边形是长方形，，，动点从点出发，以每秒的速度沿向点匀速运动；动点从点出发，以每秒的速度沿向点匀速运动．，两点同时出发，其中一点到达点后，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)当点在上运动时， ①用含的代数式表示：________，________； ②当为何值时，？ (2)当点在上运动，为何值时，，两点间的距离是？ 【答案】(1)①，；②； (2)或 【分析】本题考查涉及一元一次方程解决动点问题的应用，关键是根据动点的运动时间和速度表示出各线段的长度，再根据等量关系列方程求解． （1）①根据“路程速度时间”直接表示的长度，再用的长度减去的长度得到的长度；②先表示出的长度，再根据列一元一次方程求解； （2）当点在上时，先分别表示出、距离点的线段长度，分在左侧和在右侧两种情况，根据列方程求解，注意验证解是否在取值范围内． 【详解】（1）①解：∵动点的速度是每秒，运动时间为秒， ∴； ∵，动点的速度是每秒，运动时间为秒， ∴， ； 故答案为：，； ②解：当点在上时，， ，解得； （2）解：当点在上运动时，，，，分两种情况： 情况一：点在点左侧，此时， ，解得，符合题意； 情况二：点在点右侧，此时， ，解得，符合题意； 答：当或时，，两点间的距离是． 24．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示． (1)请你在数轴上表示出，，三点的位置； (2)把点到点的距离记为，则 ； (3)若点以每秒的速度匀速向右移动，同时点以每秒的速度匀速向左移动．设移动时间为秒，问几秒后，两点相距？ 【答案】(1) ，，三点的位置在数轴上表示如下： (2) (3)秒或秒后，两点相距． 【分析】（1）根据题意可得，，三点对应的数，在数轴上表示即可； （2）用点对应的数减去点对应的数，即可得； （3）按照，两点相遇前和相遇后进行分类讨论，分别计算对应的移动时间即可． 【详解】（1）解：点对应的数为， 点对应的数为， 点对应的数为， （2）解：． （3）解：，两点相遇前， 解得， ，两点相遇后， 解得， ∴秒或秒后，两点相距． 题型九：和差倍分问题 25．妈妈去超市买香蕉和苹果一共花了45元，买苹果的钱数是买香蕉钱数的2.6倍，请问妈妈买香蕉花了多少元？（列方程解答） 【答案】 妈妈买香蕉花了12.5元 【分析】设买香蕉的钱数为未知数，根据总花费的等量关系列方程求解． 【详解】解:设妈妈买香蕉花了元，则买苹果花了元， 由题意得 解得: 答：妈妈买香蕉花了12.5元． 26．一天，东东去问爸爸的年龄，爸爸说：“我的年龄是你年龄的3.5倍，咱们俩的年龄和是54岁！” (1)东东和爸爸各多少岁？ (2)东东又去询问了妈妈和奶奶的年龄，请你仿照上述例题，编写一道与妈妈和奶奶年龄有关的试题，并解答．（要求：用到合并同类项解方程） 【答案】(1)东东12岁，爸爸42岁 (2)示例：奶奶说：“我比你妈妈大27岁．”妈妈说：“我与奶奶的年龄和再加上我与你的年龄和刚好是你与爸爸年龄和的3倍！”问：妈妈和奶奶各多少岁？ 妈妈的年龄为41岁，奶奶的年龄为68岁 【分析】（1）根据题意列出一元一次方程，即可解答； （2）先写出示例，然后根据示例，列出一元一次方程，即可解答． 【详解】（1）解：设东东的年龄是岁，则爸爸的年龄是岁， 由题意得，， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴， 答：东东12岁，爸爸42岁； （2）解：示例：奶奶说：“我比你妈妈大27岁．”妈妈说：“我与奶奶的年龄和再加上我与你的年龄和刚好是你与爸爸年龄和的3倍！”问：妈妈和奶奶各多少岁？ 由（1）可得，东东的年龄为12岁，爸爸的年龄为42岁， 设妈妈的年龄为岁，则奶奶的年龄为岁， 根据题意，得， 合并同类项，得， 解得， ∴， 答：妈妈的年龄为41岁，奶奶的年龄为68岁． 27．七（1）班和七（2）班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．比赛中，所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连． 图中4种垃圾分别对应4种类别，请一对一连线 (注：每连对一条线得5分)纸巾    易拉罐    破灯泡    苹果核 有害垃圾    可回收物    厨余垃圾    其它垃圾 (1)分数5， 10， 15， 20中， 每人得分不可能是 分． (2)七（1）班有4人全错，其余成员中，满分人数是未满分人数的2倍；七（2）班所有人都得分，最低分人数的2倍与其他未满分人数之和等于满分人数． ①问七（1）班有多少人得满分？ ②若七（1）班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，问哪个班的总分高？ 【答案】(1)15 (2)①七（1）班有24人得满分；②七（2）班的总分高 【分析】（1）分析4个元素的错排情况，明确连对的条数可能的取值，根据每连对1条得5分，判断是否存在对应连对条数得到给出的分数即可； （2）①设七（1）班满分人数有x人，则未满分的有人，根据总人数为40人列出方程，解方程即可； ②先计算七（1）班的总分，先明确除0分和满分外的得分人数分布，结合对应得分计算总分； 设七（2）班得5分的有y人，得10分的有人，满分20分的有人，计算其总分，与七（1）班的总分相比较即可． 【详解】（1）解：根据题意，连对0个得分为0分；连对一个得分为5分；连对两个得分为10分；连对四个得分为20分； 不存在连对三个的情况，则得15分是不可能的； （2）解：①设七（1）班满分人数有x人，则未满分的有人， 根据题意得：， 解得：， 答：七（1）班有24人得满分； ②根据题意，七（1）班中除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等， 七（1）班得5分和10分的人数相等， 即其人数为人， 七（1）班的总分为分； 七（2）班存在得5分、得10分、得20分，三种情况， 设七（2）班得5分的有y人，得10分的有人，满分20分的有人， ， ， 七（2）班的总分为：分， ， 七（2）班的总分高． 题型十：电费和水费问题 28．某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准，根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：度）分为三档进行收费（第一档：月用电量不超过240度，第二档：月用电量为240～400度，第三档：月用电量超过400度）．设居民每月用电量为（度），收费标准如表． 月用电量（度） 收费（元） 不超过240度 每度元 超过240～400度 超过240度的部分每度元 超过400度 超过400度的部分每度元 (1)每月用电量不超过240度，应交电费 元；每月用电量超过400度，应交电费 元；（两空均填含的代数式） (2)若某户居民月用电量为150度，求应交电费多少元？ (3)若某户居民某月交费231元，求该户居民用电多少度？ 【答案】(1)； (2)应交电费元 (3)该户居民用电372度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用每月应交电费月用电量，即可得出结论；利用每月应交电费超过400度的部分，即可得出结论； （2）利用每月应交电费月用电量，即可求出结论； （3）根据该户居民某月交费231元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，每月用电量不超过240度，应交电费． 根据题意得，每月用电量超过400度，应交电费． 故答案为：；； （2）解：根据题意可得元， 答：应交电费82.5元； （3）解：（元，（元，， ． 根据题意得：， 解得：． 答：该户居民用电度． 29．为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如下表： 用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超过不超过的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 譬如：某用户2月份用水，则应缴水费：(元)． (1)某用户3月用水应缴水费多少元？ (2)已知某用户4月份缴水费元，求该用户4月份的用水量； (3)如果该用户5、6月份共用水(月份用水量超过5月份用水量)，共交水费元，则该户居民5、6月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)元； (2)； (3)5月份用水，6月份用水 【分析】（1）用水量超过，需分三段计算水费：不超过的部分、到的部分、超过的部分，将各段费用相加得到总水费． （2）先计算不同阶梯的费用上限，判断元对应的用水量区间，再设用水量为，根据阶梯计费规则列方程求解． （3）设5月份用水量为，则6月份为，结合6月份用水量超过5月份得，分三种情况讨论：①5月份用水量不超过；②5月份用水量在到之间；③5月份用水量超过，分别列方程求解后验证是否符合假设条件，舍去矛盾解． 【详解】（1）解：∵用户3月用水，根据阶梯收费标准分三段计算： 不超过的部分费用为(元)， 到的部分费用为(元)， 超过的部分费用为(元)， ∴总水费为(元)． 答：该用户3月应缴水费元． （2）解：当用水量为时，水费为(元)； 当用水量为时，水费为(元)． ∵用户4月缴水费元，， ∴该用户4月用水量在到之间． 设该用户4月用水量为，根据题意列方程：， 解得：． 答：该用户4月份的用水量为． （3）解：设5月份用水，则6月份用水， 分三种情况讨论： ①若，则， 5月份水费为元， 6月份水费为元， 根据总水费列方程：，解得， ，与假设矛盾，故该情况不成立． ②若，则， 5月份水费为元， 6月份水费为元， 根据总水费列方程：，解得． 此时6月份用水量为，满足题意，符合条件． ③若，则，不满足月份用水量超过5月份用水量． 答：该户居民5月份用水，6月份用水． 30．根据以下素材，探索未完成任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2025年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量吨）：水费为4.3元/吨，其中自来水为3.35元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 第二阶梯（14吨<用水量吨）：水费为5.97元/吨，其中自来水为5.02元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 第三阶梯（用水量吨）：水费为11元/吨，其中自来水为10.05元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 素材3 如某用户2025年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知某用户2025年12月份所缴水费中，自来水费为66.98元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2025年11月用水a吨，则应缴水费多少元？ 【答案】任务1：该用户12月份的污水处理费为17.1元；任务2：当时，应缴水费为4.3a元；当时，应缴水费为元；当时，应缴水费为元 【分析】本题考查了分段计费问题，需要根据不同用水量对应的收费标准，通过列方程来求解相关费用和用水量． 任务1：根据自来水费判断用水量所在区间，进而求出污水处理费； 任务2：根据不同的用水量范围列出相应的水费表达式． 【详解】解：任务1：∵， ∴12月份用水量超过14吨不超过21吨， 设该用户12月份的用水量为x吨， ， 解得， ∴（元）， 即该用户12月份需缴污水处理费17.1元； 任务2：当时，应缴水费为元； 当时，应缴水费为元； 当时，应缴水费为元． 题型十一：行程问题 31．小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置． (1)如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ (2)如果小明起跑后小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 【答案】(1)小华用能追上小明 (2)小华起跑后两人首次相遇 【分析】（1）设小华用能追上小明，根据题意列一元一次方程求解； （2）设小华起跑后两人首次相遇，根据题意列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设小华用能追上小明， 根据题意得， 解得， 答：小华用能追上小明； （2）解：设小华起跑后两人首次相遇， 根据题意得， 解得 答：小华起跑后两人首次相遇． 32．老师在黑板上出了一道题：A，B两地相距，甲骑自行车从A地前往B地，速度为每小时，后，乙骑摩托车也沿相同的路线从A地前往B地，速度为每小时．乙出发多长时间后能追上甲？ 为了更好地理解题意，老师设出未知数，并画出了如图所示的线段图． 请你按照老师的思路写出完整的解答过程． 追问：若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距A地多少千米？ 【答案】解：设乙出发后能追上甲， 根据题意，得， 解得， 答：乙出发后能追上甲． 追问答案： 返回途中与甲相遇的地点距A地 【分析】根据上面的线段图列出一元一次方程，解方程即可． 追问分析 根据“乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇时，两人走的路程之和等于的倍”列出方程，解方程即可． 【详解】详解见答案． 追问： 解：设乙出发小时后在返回途中与甲相遇， 根据题意，得， 解得， ． 答：返回途中与甲相遇的地点距A地． 33．综合与探究 问题情境 为参加2025年9月20日太原人形机器人欢乐跑比赛，两支参赛队伍进行模拟演练，每台机器人都配有同步奔跑的人类领航员、操作手和工程师等．模拟演练的场地为120米的跑道，如图1． 某次演练，甲机器人先从起点出发向终点匀速奔跑，速度为1.5米/秒，10秒后乙机器人也从起点出发向终点匀速奔跑，速度为2.5米/秒．设甲机器人奔跑的时间为秒． 数学思考 （1）在上述演练过程中，甲机器人距起点的距离为__________米；当时，乙机器人距起点的距离为__________米．（均用含的代数式表示） 解决问题 （2）若两台机器人在演练过程中均未发生故障，试探究乙机器人能否在奔跑过程中追上甲机器人？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． （3）若甲机器人在整个奔跑过程中未发生故障，乙机器人在甲机器人出发42秒时，发生故障．排除故障后，乙机器人以原来的速度继续前进，并与甲机器人同时到达终点．请直接写出在整个演练过程中，甲、乙两台机器人相距16米时，所有可能的的值． 【答案】（1）；； （2）能， （3）或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）根据路程速度时间求解即可； （2）先求出乙机器人追上甲机器人时x的值，然后与甲机器人到达终点的时间比较，即可得出结论； （3）分情况讨论：乙机器人追上甲机器人前；乙机器人追上甲机器人后，乙机器人发生故障前；乙机器人发生故障后，且在排除故障前；乙机器人排除故障后，根据甲、乙机器人相距16米方程求解即可． 【详解】解：（1）在上述演练过程中，甲机器人距起点的距离为米；当时，乙机器人距起点的距离为米， 故答案为：；； （2）若乙机器人追上甲机器人， 则， 解得， 甲机器人到达终点的时间为， ∵， ∴乙机器人能追上甲机器人； （3）第10秒时，甲、乙两机器人相距米， 当乙机器人追上甲机器人前， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）； 当乙机器人追上甲机器人后，乙机器人发生故障前， 根据题意，得， 解得； 当乙机器人发生故障后，且在排除故障前， 第42秒时，甲、乙两机器人相距米， 根据题意，得， 解得； 当乙机器人排除故障后， ∵乙机器人没有发生故障到达终点的时间为， 又乙机器人与甲机器人同时到达终点， ∴乙排除故障的时间为秒， 根据题意，得， 解得， ∴的值为或或． 题型十二：比例分配 34．七年级某班的教师和学生去湖边坐游船，为此租了若干条船，如果每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满，问：该班租了多少条船？该班一共有教师和学生多少人？ 【答案】3条船，36人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设该班租了x条船，根据“每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该班租了x条船， 根据题意得：， 解得：， ∴该班一共有教师和学生:人， 答：该班租了3条船，该班一共有教师和学生36人． 35．市场上一种茶饮料由茶原液和纯净水按一定的比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水，由于今年以来茶产地云南地区连续干旱，茶原液的收购价格上涨，纯净水也上涨了，导致配制的这种茶饮料成本上涨．求这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例？ 【答案】 【分析】设这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为，设1吨纯净水价为元，则1吨原液价为元，以配制后的成本价作为等量关系可列出方程求解，其中一个未知数能约去． 【详解】解：设这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为． 设1吨纯净水价为元，则1吨原液价为元． 答：这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为． 36．风华中学举办英语节活动，包括三大组别的节目：歌曲组、短剧组、演讲组，每位学生只能参加一个组别的节目．六年级有部分同学参加活动，其中的同学加入歌曲组，的同学加入演讲组，剩下20名同学加入短剧组，参加英语节的男生比女生少． (1)六年级参加英语节的学生有多少人； (2)参加演讲组的男生是参加短剧组男生的，且比参加歌曲组的男生多，求参加歌曲组的男生有多少人； (3)在（2）的条件下，由于英语节活动调整，一些学生从演讲组调整到歌曲组和短剧组，从演讲组调出学生中，3名男生全部调入歌曲组，调入歌曲组和短剧组的女生人数比为，此时歌曲组人数是短剧组人数的，求调入歌曲组的女生有多少人． 【答案】(1)60 (2)5 (3)6 【分析】本题考查分数的应用，一元一次方程的应用： （1）求出短剧组的20名同学占六年级参加英语节总人数的比例，用20除以该比例即可得到总人数； （2）求出参加英语节的男生人数，设歌曲组男生为人，演讲组男生为人，短剧组男生为人，根据题意用a表示b、c，根据男生总人数即可求解； （3）设调入歌曲组的女生为人，调入短剧组的女生为人，根据歌曲组人数是短剧组人数的列方程求出k即可． 【详解】（1）解：短剧组的20名同学占六年级参加英语节总人数的， ∴六年级参加英语节总人数为（人）； （2）解：∵参加英语节的男生比女生少， ∴男生占总人数的， ∴男生人数为（人）， 设：歌曲组男生为人，演讲组男生为人，短剧组男生为人 已知：，（演讲组男生比歌曲组男生多，即是的倍）， 由和得：，故， 男生总数：， ， 解得， ∴歌曲组男生为5人． （3）解：由（2）知各组人数： 歌曲组：15人（男生5人，女生10人） 演讲组：25人（男生8人，女生17人） 短剧组：20人（男生12人，女生8人） 调整过程： 从演讲组调出学生，其中3名男生全部调入歌曲组． 调出的女生中，调入歌曲组和短剧组的人数比为． 设调入歌曲组的女生为人，调入短剧组的女生为人． 总调出女生：（人） 总调出人数：人 调整后各组人数： 歌曲组：原15人调入男生3人调入女生人人 短剧组：原20人调入女生人人 调整后歌曲组人数是短剧组人数的：， 解得， ∴调入歌曲组的女生：（人）． 题型十三：日历问题 37．将连续的奇数排成如下一个数表，并用一个如图所示的十字框框住数表中的五个数，且该十字框可以在数表中上、下、左、右平移，试解决以下问题： (1)若设十字框中间的数为a，试求十字框框住的五个数的和： (2)在（1）的条件下，试问：该十字框框住的五个数字之和能等于吗？若能，试求出a的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查一元一次方程的应用以及列代数式，根据十字框中5个数之间的关系求出5个数之和是解题的关键． （1）由题意观察图形，根据5个数之间的关系即可求出这十字框中五个数的和； （2）由题意可得，，求出，根据不是整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵十字框中间的数为a， ∴这十字框中五个数的和为． （2）设十字框中间的数为a，根据题意，得：， 解得：． ∵不是整数， ∴假设不成立，即十字框中的五个数之和不能等于2023． 38．如图1是2025年12月的月历，数学老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)任意框出图1某一列中相邻的3个数和为60，则中间的数为____________ (2)用图2框出图1中的3个数，若这3个数的和为48，则这3个数分别是______________； (3)用图3框出图1中的4个数，是否有可能这4个数的和是68？若有可能，求出这4个数：若不可能，请说明理由． 【答案】(1)20 (2)10，16，22 (3)解：这4个数的和不可能是68，理由如下： 设图3中左上角的数为t，则其他三个数分别为， 当时， 解得，不是整数， ∴这4个数的和不可能是68． 【分析】（1）设出中间的数，表示出其他两个数，再根据三个数的和为60建立方程求解即可； （2）设出中间的数，表示出其他两个数，再根据三个数的和为48建立方程求解即可； （3）设出左上角的数，表示出其他三个数，再根据四个数的和为68建立方程求解判断即可． 【详解】（1）解：设中间的数为x，则其他两个数分别为， 由题意得， 解得， ∴中间的数为20； （2）解：设图2中中间的数为y，则其他两个数分别为， 由题意得， 解得， ∴ ∴这三个数分别为10，16，22； （3）略 39．如图1，这是2026年1月的月历表，用如图2所示的“”字型去框出月历表中的五个数，设这五个数由小到大依次为，，，，． (1)若设所表示的数为14，则表示的数为_____． (2)这五个数的和可能等于93吗？若能，求出最中间的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)22 (2)不能，理由如下： 解：设所表示的数为，则所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为， ∵这五个数的和为93， ∴， 解得 是整数 此情况不成立，即这五个数的和不可能是93． 【分析】（1）观察月历表可得表示的数比所表示的数大8，由此即可得； （2）设所表示的数为，则所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，根据题意建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：由月历表可知，表示的数比所表示的数大8， ∵所表示的数为14， ∴表示的数为； （2）略． 题型十四：古代问题 40．列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少竿竹竿？ 【答案】竹竿有62竿 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设竹竿有竿，根据人数相等列方程求解即可． 【详解】解：设竹竿有竿，根据题意列方程得： 解得 答：竹竿有62竿． 41．今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问：家数、牛价各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．家数、牛价各是多少？ 【答案】家数为126，牛价为3750钱． 【分析】设牛价为x钱，根据每7家合伙出190钱，则差330钱可知家数为，根据每9家合伙出270钱，则多了30钱可知家数为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设牛价为x钱， 由题意得，， 解得， ∴， 答：家数为126，牛价为3750钱． 42．一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线（斜线）的几个数之和都相等，具有这种性质的图表称为“幻方”，我国古代称之为“河图”、“洛书”，又称为“纵横图”，后来演化成一种竞赛项目——数独．在最强大脑的数独比赛上，12岁的胡宇轩代表中国队战胜日本世界冠军，后被北京大学录取．下面让我们也来试试幻方游戏吧． 9 2 3 7 8 6 4 0 3 1 (1)请将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入表中的空格内，使横、竖以及对角线（斜线）上的3个数字之和都相等． (2)类比第（1）问请尝试将，，，，0，1，2，3，4分别填入表中的空格内，使横、竖以及对角线（斜线）上的3个数字之和都相等． (3)老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为 ． 【答案】(1) 填表为： 9 2 3 7 8 6 (2) 故填表为： 4 0 3 1 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设左上角的数为，最中间的数为，第三行第二列的数为，根据题意可得，解方程即可； （2）设表格中空白部分数字为，如图，由题意得， 解得：，则，那么根据题意得，再解方程即可； （3）由于这八个数之和是4，所以需要满足两个圈的和是2，横竖的和也是2，列等式可得结论. 【详解】（1）解：如图，设左上角的数为，最中间的数为，第三行第二列的数为 9 2 3 7 8 6 由题意得：， 解得，，， （2）解：设表格中空白部分数字为，如图： 4 0 3 1 由题意得， 解得： ∴， ∴， 解得：，，， （3）解：如图，设内圈上的数为，外圈上的数为． 因为， 横、竖以及内外两圈上的4个数的和都相等，， 所以横、竖以及内外两圈的和都是2． 由，得． 由，得． 又因为，所以． 由题意可知，和代表的数为和2． 当时，， 当时，. 故答案为：或． 题型十五：其他问题 43．某校书法兴趣小组计划到文具店一次性购买A，B两种型号的毛笔．请你根据下面表格中提供的信息，解答相关问题． 信息1 文具店的销售方式： ①一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过的部分每支的价格比零售价低0.5元； ②一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过的部分每支的价格比零售价低1元． 信息2 B型毛笔的零售价比A型毛笔的零售价每支高1元，购买2支A型毛笔和3支B型毛笔共需花费28元． 信息3 这个书法兴趣小组共有30名同学，每人需要买1支A型毛笔和2支B型毛笔． (1)求这家文具店A，B型毛笔的零售价每支分别是多少元？ (2)该书法兴趣小组本次购买A，B两种型号的毛笔共需花费多少元？ 【答案】(1)A型毛笔零售价每支5元，B型毛笔零售价每支6元 (2)共需花费460元 【分析】（1）根据A、B型毛笔零售价的数量关系和购买指定数量的总费用，列一元一次方程求解； （2）先计算需购买的A、B型毛笔总数量，再结合分段优惠规则分别计算费用，求和得到总花费． 【详解】（1）解：设A型毛笔的零售价为每支元，则B型毛笔的零售价为每支元， 由题意得， 解得， ， 答：A型毛笔零售价每支5元，B型毛笔零售价每支6元； （2）解：需购买A型毛笔数量：（支），需购买B型毛笔数量：（支）， ， 购买A型毛笔的费用为（元）； ， 购买B型毛笔的费用为（元） ； 总费用：（元） ． 答：本次购买两种型号的毛笔共需花费460元． 44．有10根大小相同的进水管给A、B两个水池注水，原计划用4根进水管给A水池注水，其余6根给B水池注水，那么5小时可同时注满．因为发现A水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满．如果用10根进水管给漏水的A水池注水，需要多少分钟注满？ 【答案】 需要144分钟注满 【分析】以单根进水管每小时注水量1份为单位量，依次计算两池容积、A池漏水速度，最终求解注水时间； 【详解】解：设每根进水管每小时注水量为1份， ∵原计划4根水管注A池，5小时注满， ∴ A水池容积为份， ∵原计划6根水管注B池，5小时注满， ∴ B水池容积为份， ∵ B水池无漏水，改用5根水管注水， ∴注满B池的时间为小时， ∵两池同时注满， ∴漏水时A池注满时间为6小时， 设A水池每小时漏水量为份， 则， 解得， 设10根进水管注漏水的A池需要小时， 则， 解得， （分钟）， 答：需要144分钟注满． 45．在一个圆柱形水桶里，垂直放入一段半径是的圆柱形钢材．如果把钢材全部浸入水中，桶里的水面上升；如果再把钢材垂直露出水面，桶里的水面下降．（取3.14） (1)圆柱形水桶的底面积是多少？ (2)有一个圆锥形零件，它的底面直径比钢材的半径少，且高为钢材的，则这个圆锥形零件的体积是多少？ (3)若把整段钢材全部用来锻造（2）条件下的圆锥形零件，每小时锻造10个零件时，由于损耗，每个零件需要多用掉的原材料，按这样的效率工作了2个小时后，为了提前完成任务，需要提高锻造效率．效率提高的同时，每个零件耗材也增加了．问一共可以锻造多少个这样的圆锥形零件？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等积变换列方程，钢材全部浸入时，排开水的体积等于钢材体积，即 ；钢材露出水面 时，露出部分体积等于水面下降 对应的体积，即，由 直接求出水桶底面积 S，进而可求出钢材高度 h； （2）先由(1)的结果求出钢材高度．再根据"底面直径比钢材半径少 ，求得圆锥底面半径，根据高为钢材的求得圆锥高，最后代入圆锥体积公式计算； （3）先求钢材总体积，前 2 小时每小时做 10 个、每个耗材增加 ，求出已用材料；剩余材料按每个耗材增加 （即在原来 基础上再增加 3 个百分点）计算之后每个零件的实际用料，用剩余材料除以该用料得出还能做的个数，再加上前 2 小时的 20 个即为总数． 【详解】（1） 把钢材全部浸入水中，桶里的水面上升， 钢材的体积等于水桶中高的水的体积， 设圆柱形水桶的底面积为，钢材的高为， 钢材的体积为， 又 钢材的半径为， 钢材的体积为， ， 把钢材垂直露出水面，桶里的水面下降， 露出水面的钢材体积为， 又 水面下降， ， ， 圆柱形水桶的底面积为． （2） 由(1)知，且， ， 圆锥形零件的底面直径为， 圆锥形零件的底面半径为， 圆锥形零件的高为， 圆锥形零件的体积为． （3） 由(1)知钢材的总体积为， 前小时锻造的零件数为个， 每个零件需要多用掉的原材料， 前小时每个零件的耗材为， 前小时共用去钢材， 剩余钢材为， 效率提高后，每个零件耗材在原来基础上又增加了， 之后每个零件的耗材为， 之后还可以锻造的零件数为个， 一共可以锻造个这样的圆锥形零件． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $