第3章 代数式列式与规律探究 期中培优专题讲义 2026—2027学年苏科版七年级数学上册

代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 代数式列式与规律探究培优专题 2026一2027学年第一学期苏科版七年级数学上册 教师详解版 本专题以代数式的列式、整式加减为基础，重点练习数量关系的表示、图形计数和规律解释。列式时要 明确字母表示的量，并注意取值范围和单位。 目录导航 题型一数位表示与整除规律.… ….2 题型二分段计费与跨期列式. 5 题型三优惠方案与组合购买… ….10 题型四拼摆图形的周长列式.… .14 题型五面积变化与割补列式.… .20 题型六图形规律与分类计数.… ...25 题型七插入运算与总和规律.… .31 题型八新定义关系与整体列式… …34 第1页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 题型一数位表示与整除规律 知识要点 数位变化要按新的位值列式。三位数的百位、十位、个位数字为a、b、c时，这个数是100a+10b+c,不是 三个字母的乘积。首位数字是1至9的整数，其他数位数字是0至9的整数。 要说明“总能整除”，应说明结果为什么一定是某个整数的整数倍；只验几个数不够。要否定“总能整除”，给出 一个符合全部条件的反例即可。0和负的整数倍也属于倍数。 例题 一个三位数的百位、十位、个位数字依次为a、b、C,三个数字都不为0。把百位数字移到个位，其 他数字依次左移，得到另一个三位数。 (1)原数减去新数的差一定能被9整除吗？说明理由。 (2)这个差一定能被99整除吗？说明理由。 解析先把数位操作写准确。原数是100a+10b+c；移动后，b在百位、c在十位、a在个位，新数是 100b+10c+a。三个数字都不为0，保证两次写出的都是三位数。 比较两个数，必须作整体相减：(100a+10b+c)-（100b+10c+a)=99a-90b-9c=9(11a-10b-c)。 这样写是为了把“能否被9整除”转化为“是否为9的整数倍”。 11a-10b-c是整数，因此差一定能被9整除，差为负数或0也不影响这个结论。 不能把移位误认为首尾交换。取原数123，新数为231，差为-108，它不是99的整数倍。因此第 (2)问的结论不成立。 练习 1.a、b是两个两位正整数，且a>b。把a的两个数字写在前面、b的两个数字写在后面，组成一个四 位数；再交换这两组数字，组成另一个四位数。 （1)用含a、b的式子表示前一个四位数减去后一个四位数的差，并说明它为什么同时能被9和11整 除。 (2)这个差的最小值、最大值分别是多少？各举一组符合条件的a、b。 答案(1)99(a-b);(2)最小值99，如a=11、b=10;最大值8811，此时a=99、b=10。 解析前一个数是100a+b,后一个数是100b+a,两数之差为(100a+b)-(100b+a)=99(a-b)。 因为99=9×11，且a-b是正整数，所以这个差同时是9和11的整数倍。 两位数满足10≤b<a≤99，故a-b最小为1，最大为89。相应的差最小为99，最大为99×89=8811。 a=11、b=10时，1110-1011=99；a=99、b=10时，9910-1099=8811。这也检查了两组数字的首 位均不为0。 第2页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 2.从各位数字之和等于12的三位数中任取两个不同的数。判断下列说法是否正确，并说明理由。 ①这两个数都能被3整除。 ②这两个数都能被9整除。 ③这两个数的差一定能被9整除。 ④这两个数的差一定能被27整除。 答案①正确，②错误，③正确，④错误。 解析对其中任意一个数，设百位、十位、个位数字为a、b、c,则a+b+c=12。这个数为 100a+10b+c=99a+9b+12=9(11a+b)+12。 9(11a+b)与12都是3的倍数，所以①正确。12不是9的倍数，因此9的整数倍加12不是9的倍数，② 错误。 两个数都等于“9的整数倍加12”。相减时两个12抵消，剩下两个9的整数倍之差，所以③正确。 129与138的各位数字之和都是12，但138-129=9不能被27整除，所以④错误。 3.小明说：“判断一个四位数能否被4整除，只看末两位组成的数就够了；判断能否被8整除，也只 看末两位就够了。”这里末两位若是04，就按数4计算。 (1)分别判断小明的两句话是否正确，并说明理由。 (2)对四位数而言，判断能否被8整除，改为只看末三位组成的数是否足够？说明理由。 答案(1)关于4的说法正确；关于8的说法错误，如1104与1204。 （2)足够。 解析设四位数的前两位组成两位数a,末两位组成的数为b,其中10≤a≤99,0≤b≤99。四位数为 100a+b,而100a=4×25a,故原数与b相差4的整数倍，两者能否被4整除的判断一致。 1104=8×138能被8整除，1204=8×150+4不能被8整除，它们的末两位却都是04。因此末两位信息 不足，第二句话错误。 另设千位数字为c,末三位组成的数为d,则原数为1000c+d。因为1000c=8×125c,原数与d相差8 的整数倍，所以能否被8整除的判断一致。末三位有前导0时，按其数值计算即可。 第3页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 4.对一个三位数作如下操作：百位数字减少1，个位数字增加1，十位数字不变；只有操作后仍为三 位数，且每一位仍是一个数字时，才允许这次操作。 (1)设原数的百位、十位、个位数字分别为a、b、c。写出允许一次操作时a、c的范围，并说明每 操作一次，原数减去新数的差是多少。 (2)从742开始，连续进行上述操作，最多能操作几次？最后得到什么数？说明不能再操作的原 因。 (3)各位数字之和同为13的三位数，是否都能由742经过若干次上述操作得到？说明理由。 答案(1)2≤a≤9,0≤c≤8，且均为整数；差为99。 (2)最多6次，得到148。 (3)不是，如355不能得到。 解析百位减1后不能为0，所以a至少为2；个位加1后不能超过9，所以c至多为8。十位可为0至9的 任意整数。 新数为100(a-1)+10b+(c+1),原数减去新数为(100a+10b+c)-[100(a-1)+10b+(c+1)]=99。每 次数字之和减少1又增加1，因而不变。 从742操作6次后，百位由7变为1，个位由2变为8，十位仍为4，得到148。这6次都合法；再操作会 使百位成为0，不再是三位数，所以最多6次。 355的数字之和是13，与742相同，但其十位数字为5。操作始终不改变十位数字4， 故不能得到355。数字和不变只是必要的限制，不能保证一定能得到。 5.阅读规则：一个至少两位的正整数，删去个位数字，把留下的数减去所删数字的2倍；如果所得 结果是7的整数倍，那么原数能被7整除。结果可以为0或负数。 (1)用这个规则判断35和371是否能被7整除，并写出依据。 (2)设留下的数为a,所删的个位数字为b。说明这条规则为什么成立。 (3)若把规则中的“减去”改为“加上”，所得结果为7的整数倍时，原数也一定能被7整除吗？给出理 由。 答案(1)两个数都能被7整除。 (2）原数10a+b=10(a-2b)+21b。 (3)不一定，如13。 解析35得到3-2×5=-7，它是7的整数倍，所以35能被7整除。371得到37-2×1=35=7×5，因此也 能被7整除。出现负结果并不使规则失效。 原数为10a+b,其中a为正整数，b为0至9的整数。把它写为10(a-2b)+21b,可核对去括号后仍为 10a+b. 如果a-2b是7的整数倍，则10a-2b也是7的整数倍；21b=7×3b同样是7的整数倍。两者之和即原 数，因此规则成立。这里证明的是题目给出的这一方向，不需要额外知识。 取13，按错误规则得到1+2×3=7，但13不能被7整除，所以改为“加上”后的说法不成立。 第4页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 6.有一类数从左向右读与从右向左读相同，例如4554、123321。 (1)四位数的四个数字从左到右为a、b、b、a,其中a为1至9的整数，b为0至9的整数。说明这样 的数都能被11整除。 (2)六位数的六个数字从左到右为a、b、C、C、b、a,数字范围符合通常规定。这样的数也都能 被11整除吗？说明理由。 (3)仅凭前两问，能否断言所有从左向右读与从右向左读相同的数都能被11整除？说明理由。 答案(1)能；(2）)能；(3)不能，如111。 解析四位数为1000a+100b+10b+a=1001a+110b=11(91a+10b)。括号内为整数，所以能被11 整除。 六位数为100000a+10000b+1000c+100c+10b+a=100001a+10010b+1100c。 因为100001=11×9091,10010=11×910,1100=11×100，所以六位数等于 11(9091a+910b+100c),也能被11整除。 前两问只讨论特定的偶数位数。111正读倒读相同，但111=11×10+1，不能被11整除，所以不能推 广为所有位数。 题型二分段计费与跨期列式 知识要点 分段计费应区分“全部数量按优惠价”与“只有超过部分按新单价”。后一种规则中，前面各段的费用仍要保留。 以下收费均为题设规则，不代表实际地区或平台价格。 跨两个月、两次订单时，总量条件只能确定数量之间的关系，不能把两次费用擅自合并。一个数量用x表示 后，另一个数量也随之变化；分界点要同时检查两次的档位，等号端点不能漏掉。 例题 一项场地服务按月分别计费，两个月采用的题设规则如下。两个月共使用18小时，第一个月使用x小 时，且0≤x≤12。使用时间可含小数，没有其他费用。 (1)用含x的代数式表示两个月的总费用，写明各式适用的范围。 (2)总使用时间不变，总费用是否一定不变？比较x=6、x=10和x=12时的总费用。 月份 低档部分 超过部分 第一个月 不超过6小时的部分，每小时2元 超过6小时的部分，每小时4元 第二个月 不超过8小时的部分，每小时2元 超过8小时的部分，每小时5元 解析第二个月使用18-x小时。第一个月的分界是x=6;第二个月恰用8小时，对应第一个月用 18-8=10小时，因此另一个分界是x=10。两个月的档位都要检查，不能只看第一个月。 当0≤x≤6时，第一个月未超过6小时，第二个月至少用12小时，超过8小时。总费用为 2x+2×8+5[(18-x)-8]=66-3x元。保留2×8，是因为第二个月的前8小时仍按低档计费。 第5页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 当6<x≤10时，第一个月超过6小时，第二个月不少于8小时。总费用为 2×6+4(x-6)+2×8+5[(18-x)-8]=54-x元。x=10时，第二个月的超出部分为0，本式仍成立。 当10<x≤12时，第二个月少于8小时。总费用为2×6+4x-6)+2(18-x)=2x+24元。 检查交界：x=6时前两种计算都得到48元；x=10时后两种计算都得到44元。上面的范围覆盖0 至12，没有遗漏，也没有重复规定不同答案。 x=6、10、12时，总费用分别为48、44、48元。总时长相同，但分配到不同月份及不同档位的时长 不同，所以总费用不一定相同。 练习 1.某打印服务按下表收费。方案一打印x页，编辑用时a分钟；方案二比方案一多打印6页，但编辑 用时少12分钟。其中x为整数，12≤x≤24，a≥12，编辑时间按实际分钟数计。 用含X、α的式子分别表示两种方案的费用，并判断在给定范围内哪种方案始终更便宜，说明理由。 项目 收费规则 纸张费 每打印1页收0.6元 编辑费 每分钟0.5元 加页费 超过20页的部分，每页另加0.2元；不超过20页不收此项费用 答案方案-：12≤x≤20时为0.6x+0.5a元；21≤x≤24时为0.8x+0.5a-4元。 方案二：12≤x≤14时为0.6x+0.5a-2.4元；15≤x≤24时为0.8x+0.5a-5.2元。方案二始终更便宜。 解析纸张费与编辑费都要计入。方案一在x≤20时没有加页费，费用为0.6x+0.5a;在x>20时另加 0.2(x-20),费用为0.8x+0.5a-4。 方案二的页数为x+6,编辑时间为a-12。当x≤14时，页数不超过20，费用为 0.6(x+6)+0.5a-12)=0.6x+0.5a-2.4。 当x>14时，方案二另有加页费0.2(x+6-20,总费用为0.8x+0.5a-5.2。 比较“方案二费用减方案一费用”：12≤x≤14时为-2.4元；15≤x≤20时为0.2x-5.2元，它至多为 0.2×20-5.2=-1.2元；21≤x≤24时为-1.2元。 三个范围已覆盖所有允许的整数页数，费用差都小于0，故方案二始终更便宜。 第6页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 2.甲、乙两种复印计价规则如下。复印页数x为正整数，两种规则都没有其他费用。 (1)分别写出两种规则的费用式及适用范围，并比较x≥50时两种规则的费用相差多少。 (2)一份说明书把甲规则写成：“x<50时费用为x元；x>50时费用为0.8x元”，并声称从49页增加到 50页，甲规则费用也一定增加。指出说明书的问题，并写出这两次的实际费用。 规则 计价说明 甲 少于50页，全部每页1元；达到50页，全部每页0.8元 乙 前50页每页1元；超过50页的部分每页0.8元 答案(1)甲：1≤x<50时x元，x≥50时0.8x元；乙：1≤x≤50时x元，x>50时0.8x+10元。x≥50 时，乙此甲多10元。 (2)漏了x=50；甲规则49页收费49元，50页收费40元，费用反而减少9元。 解析甲规则达到50页后，全部页数都按每页0.8元计费，故费用为0.8x。50页已经达到优惠条件， 必须列入这一档。 乙规则只有超出50页的部分优惠，前50页仍收费50元。超过时总费用为50+0.8(x-50)=0.8x+10 元。 当x>50时，乙比甲多(0.8x+10)-0.8x=10元；当x=50时，两者分别为50元与40元，仍相差10元。 说明书两条范围都不含50，因此漏掉端点。按实际甲规则，49页付49元，50页付0.8×50=40元，不 能把“页数增加”直接当作“费用必增”。 3.某训练室按月计费：每月前10小时每小时1元，超过10小时的部分每小时2元；未使用时不收费， 没有其他费用。两个月共使用36小时，第一个月使用x小时，0≤x≤36，使用时间可含小数。 (1)用含x的式子表示两个月的总费用，写明适用范围。 (2)在总时长不变的条件下，最低总费用是多少？第一个月的时长在什么范围内时都能达到最低费 用？说明理由。 答案(1)0≤x≤10时为62-x元；10<x≤26时为52元；26<x≤36时为x+26元。 (2)最低52元，所有10≤≤26均可达到。 解析第二个月使用36-x小时。第一个月的档位在10小时处分开；第一个月用26小时，第二个月恰 用10小时，这是另一个分界。 0≤x≤10时，总费用为x+10+2[(36-x)-10]=62-x元。 10<x≤26时，两个月各有前10小时低价部分，总费用为10+2(x-10)+10+2[(36-x)-10]=52元。 26<x≤36时，总费用为10+2(x-10)+(36-x)=x+26元。 第一段中，62-x=52+(10-x)≥52；第三段中，x+26=52+(x-26)>52；中间一段恒为52。再计入 x=10这一端点，全部最低费用对应10≤x≤26。 第7页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 在这个范围内，两个月都用满各自的10小时低价额度，合计20小时低价、16小时高价，因而总费用 不随具体分配改变。 4.某商店每次购物按下表独立结算，不合并两次购物的标价金额。两次购物的标价金额合计900 元，第一次为a元，且150≤a≤600，金额按实际数值计算。 (1)用含a的式子表示两次购物的总付款，写明各段范围。 (2)比较a=199与a=200时两次购物的总付款。这一变化能否只按第一次增加的1元来判断？说明 理由。 单次标价金额 付款规则 少于200元 不优惠 不少于200元且不超过500元 全部按九折付款 超过500元 500元部分按九折，超过部分按八折 答案(1)150≤a<200时为0.2a+770元；200≤a≤400时为0.1a+770元；400<a≤500时为810元； 500<a≤600时为860-0.1a元。 (2）分别为809.8元、790元，总付款减少19.8元；不能只看增加的1元。 解析第二次的标价金额为900-a元，随a从150增至600，它从750降至300。第一次的分界为200、 500;第二次从超出500元变为不超过500元，对应a=400。第二次始终不少于300元，不会进入无优 惠档。 超过500元的订单，前500元付款450元，其余部分按八折。合起来等于标价金额的0.8倍再加50元。 150≤a<200时，总付款为a+0.8(900-a)+50=0.2a+770元。 200≤a≤400时，总付款为0.9a+0.8(900-a)+50=0.1a+770元。a=400时第二次恰为500元，上式仍 成立。 400<a≤500时，两次都处于整单九折范围，总付款为0.9a+0.9(900-a)=810元。 500<a≤600时，总付款为0.8a+50+0.9(900-a)=860-0.1a元。四段合起来覆盖题设范围，200、 400、500均有明确归属。 a=199时付0.2×199+770=809.8元；a=200时付0.1×200+770=790元。第一次刚达到整单九折条 件，优惠并非只作用于增加的1元；第二次标价金额还同时减少1元，所以须比较两次总付款。 第8页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 5.某学习室的月费固定为30元，包含当月10小时；超出可用小时数的部分每小时另收4元。只有第 一个月未用完的包含小时可以转入第二个月，最多转入3小时；未转入的部分作废。转入的小时在第 二个月不再收费，不能继续转到以后。 连续两个月都需缴月费，两个月共使用22小时。第一个月使用a小时，0≤Q≤10，第二个月用完剩余 时长。使用时间可含小数，没有其他费用。 (1)用含a的式子表示实际转入第二个月的小时数及两个月总费用，写明范围。 (2)若一律把第一个月未用完的小时全部转入，就会得到“两个月总费用始终为68元”。这句话在题 设规则下是否成立？说明理由。 答案（1)0≤a≤7时转入3小时，总费用96-4a元；7<a≤10时转入10-a小时，总费用68元。 (2)并非始终成立；仅当7≤a≤10时成立。 解析第一个月未用完10-a小时。a≤7时至少剩3小时，但规则只准转入3小时；a>7时不足3小时， 才可全部转入10-a小时。 0≤a≤7时，第二个月可用10+3=13小时，实际用22-a小时，超出9-a小时。这个范围内9-a≥2，所 以确实都有超额费用。两个月总费用为30+30+49-a)=96-4a元。 7<a≤10时，第二个月可用10+(10-a)=20-a小时，实际用22-a小时，恰好超出2小时，总费用为 60+4×2=68元。 在a=7处，第一段也给出96-28=68元；当a<7时，总费用为68+4(7-a)>68元。因此“始终为68元” 忽略了最多转入3小时的限制。例如a=6时，实际总费用为72元。 第9页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 题型三优惠方案与组合购买 知识要点 比较优惠前，要明确需要的商品数量、赠品能否抵入需求、是否允许分别购买，以及每种优惠的次数或数量限 制。购买件数、套数等都是整数，未使用的赠品不能擅自折算成现金。 只比较两种整单方案，只能得出这两种方案中哪个便宜。若允许组合购买并要求最省，还要说明其他合法分配 为什么不会更便宜；可按数量分情况，也可比较多换一件或一组的费用变化。 例题 社团需要恰好8套画笔和18本练习本，甲、乙两店出售相同商品，规则如下。可以在两店分别购买， 所有赠品都能计入需求；不多买商品，不转卖，不计算其他费用。甲店本次赠送练习本合计最多10 本，拆单不能增加这个上限。 求最低总费用，并说明购买方法为什么最省。 店铺 画笔价格 练习本价格 赠送规则 多 每套24元 每本6元 每买1套画笔送2本，合计最多10本 每套20元 每本5元 不赠送 解析单独付费购买练习本时，乙店每本5元，比甲店每本6元便宜，且不影响画笔赠品。因此任何最 省方案中，需要付费的练习本都在乙店购买。这样先排除了没有必要的高价购买。 设在甲店购买a套画笔，则在乙店购买8-a套，a是0至8的整数。只要分清赠品是否达到上限，就已 包括所有可能的画笔分配。 当0≤a≤5时，赠送2a本，还需付费购买18-2a本。总费用为24a+20(8-a)+5(18-2a)=250-6a 元。每多在甲店买1套，费用减少6元，所以这一段在a=5时最少，为220元。 当5<a≤8时，只赠送10本，还需付费购买8本。总费用为24a+20(8-a)+5×8=200+4a元。它比 a=5时的220元多4(a-5)元，因此不能更省。 所以最低费用为220元。购买方法是：甲店买5套画笔，获赠10本；乙店买3套画笔和8本练习本。所 得恰为8套画笔和18本练习本。证明覆盖了a=0至8全部整数分配，而不只是比较“全在甲店”与“全在 乙店”。 第10页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 练习 1.某店画板每块标价50元，颜料每盒标价8元。本次购买只下一张订单，不允许拆单。整张订单只 能选择下列一种优惠，不能混用：甲方案为每买1块画板送1盒颜料，其余商品按标价；乙方案为全 部商品九折，不赠送。 需恰好购得12块画板和x盒颜料，其中x为不小于12的整数，赠品计入需求，不多买商品。 (1)分别用含x的式子表示两种方案的付款。 (2)当x=30时，小明列式0.9×(12×50)+0.9×(30-12)×8，称这是最便宜的合法付款。判断他的 说法，并给出题设允许的较便宜方案及付款。 答案(1)甲为504+8x元，乙为540+7.2x元。 (2)小明混用了两种优惠，不合法。甲付744元，乙付756元，选择甲。 解析甲方案赠送12盒颜料，还需付费购买x-12盒，费用为12×50+8(x-12)=504+8x元。 乙方案不赠送，所有12块画板及x盒颜料都要付九折价，费用为0.9(12×50+8x)=540+7.2x元。 小明既从颜料需求中扣掉12盒赠品，又给画板和其余颜料全部打九折，相当于同一订单同时用了两 种优惠，题设不允许。算出的数再小，也不是合法方案。 x=30时，甲为504+8×30=744元；乙为540+7.2×30=756元。整单只能二选一，因此甲是允许方 案中较便宜的，省12元。 2.甲店球拍每副60元，每买1副赠送1盒球；另买球每盒8元。乙店球拍每副54元，球每盒6元，不 赠送。学校需要恰好10副球拍和x盒球，x为不小于10的整数。允许分店购买，赠品计入需求，不多 买、不转卖，无其他费用。 小明认为“最省方案只能是10副球拍全在甲店购买，剩余球在乙店购买”。他的说法是否正确？求最低 费用，并说明所有最省方案中的球拍可以怎样分配。 答案说法错误。最低费用为540+6x元；甲店可买0至10副中的任意整数副数，其余球拍和需付费 的球均在乙店买。 解析甲店另买球每盒8元，乙店每盒6元，因此付费球全部在乙店买不会更贵，而且只要把一盒付费 球从甲店改到乙店就能省2元。 设甲店买a副球拍，a是0至10的整数；乙店买10-a副。甲店赠送a盒球，需在乙店付费买x-a盒，因 x≥10，这个数量不会为负。 总费用为60a+54(10-a)+6(x-a)=540+6x元，与a无关。这已包括所有球拍分配，且排除了付费球 买贵的情形。 每将1副球拍从乙店转到甲店，多付6元，但正好少付一盒球的6元，两个变化抵消。因此所有11种整 数分配都同样最省，并非只能全在甲店买。 第11页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 3.甲店笔袋每个30元，每在甲店购买满2个笔袋送1支钢笔；按完整的两件组赠送，剩下的1个不赠 送，赠品不再参加活动。乙店笔袋每个27元，钢笔每支8元，不赠送。 需要恰好9个笔袋和5支钢笔，允许分店购买；钢笔若需付费，只能在乙店购买。赠品可计入需求， 不多买商品，无其他费用。求最低费用及购买方法，并说明为什么没有更便宜的方法。 答案最低275元：甲店买8个笔袋获赠4支钢笔，乙店买1个笔袋和1支钢笔。 解析在甲店买的笔袋数只能是0至9中的整数。若买奇数个，把其中最后一个不产生赠品的笔袋改到 乙店购买，赠品数不变，却能省30-27=3元。因此最省方案不可能在甲店买奇数个。 只需比较甲店买0、2、4、6、8个的情形。每把2个笔袋从乙店转到甲店，多付2×(30-27）=6元，但 多得1支赠品钢笔，少付8元，合计省2元。 最多能转入4组，即在甲店买8个。此时赠送4支，未超过所需的5支，所以每次节省都真实有效。 总费用为8×30+1×27+1×8=275元。奇数分配都可改得更便宜，偶数分配中每多一组都更便宜， 故已覆盖所有整数方案。 4.制作同款纪念卡，甲商家每张4元，另收一次设计费120元；乙商家不收设计费，前50张每张7 元，超过50张的部分每张3元。只能选择一家制作全部卡片，无其他费用，制作张数x为正整数。 (1)分别写出两家总费用式及适用范围。 (2)需要30张、60张、120张时，各应选哪一家？ (3)当50<x≤80时，甲一定不比乙贵吗？当x≥100时呢？说明理由。 答案(1)甲120+4x元；乙在1≤x≤50时7x元，在x>50时3x+200元。 (2)30张选乙，60张选甲，120张选乙。 (3)50<x≤80时甲不比乙贵，x=80时两家同价；x≥100时乙一定更便宜。 解析甲的设计费只收一次，总费用为120+4x元。乙超过50张时，前50张仍付350元，故总费用为 350+3(x-50)=3x+200元。 30张时，甲付120+4×30=240元，乙付7×30=210元，选乙；60张时，甲付360元，乙付380元，选 甲；120张时，甲付600元，乙付560元，选乙。 当x>50时，甲比乙多付120+4x)-(3x+200)=x-80元。 若50<x≤80，则x-80≤0，甲不比乙贵；x=80时差为0。若x≥100，则x-80≥20>0，甲至少贵20 元，乙更便宜。 这说明固定设计费与超额单价都影响比较，不能只看某一家标出的单张价格，也不能凭一个订单量 的结论推广到所有订单量。 第12页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 5.甲、乙两店出售相同的笔记本。甲店每本10元，一次购买的标价金额达到80元，可减18元；同一 顾客本次只能减一次，不按每满80元重复减。乙店每本8元，不再优惠。 需恰好买12本，允许分店购买，每店至多下一张订单；不买其他商品，不退货，无其他费用。求最 低总费用，并给出覆盖全部合法分配的理由。 答案最低94元：甲店买8本，乙店买4本。 解析设甲店买a本，则乙店买12-a本，a是0至12的整数。甲店买不到8本时不满减；买8本及以上才 减18元。 当0≤a≤7时，总费用为10a+8(12-a)=96+2a元，至少为96元；a=0时达到这一段的最低费用。 当8≤a≤12时，总费用为10a-18+8(12-a)=78+2a元，至少为78+2×8=94元；且每多在甲店买1本 便多付2元。 比较两段最低费用，94<96，所以全体分配中最低为94元。甲店买8本付款80-18=62元，乙店买4本 付款32元，合计94元。该分配合法，且两段已覆盖所有整数a。 6.一种彩笔有以下三种购买方式，允许任意组合，盒装与袋装均不可拆开购买，没有其他优惠。需 恰好购得26支，不允许多买。 求最低总费用，并写出所有达到最低费用的购买方式，说明没有遗漏。 方式 每份支数 每份价格 盒装 8支 20元 袋装 5支 13元 单支 1支 3元 答案最低66元。方式一：2盒、2袋，不单买；方式二：3盒、不买袋，另单买2支。 解析每盒8支，所以盒数只可能为0、1、2、3。确定盒数后，剩余数量只用袋装与单支补齐。 买1袋5支花13元，比单买5支的15元省2元。因此在不多买的前提下，固定盒数时应尽可能多买完整 的袋；少买一袋而改为单买5支必多花2元。 买0盒时，还需26支，最多买5袋，另单买1支，总费用5×13+3=68元。 买1盒时，还需18支，最多买3袋，另单买3支，总费用20+3×13+3×3=68元。 买2盒时，还需10支，买2袋即可，总费用2×20+2×13=66元。 买3盒时，还需2支，只能单买，总费用3×20+2×3=66元。 四种盒数已经穷尽；每种盒数内也采用了严格最省的袋数。因此最低为66元，且只有上述两种购买 方式达到。 第13页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 题型四拼摆图形的周长列式 知识要点 周长是封闭边界各段长度之和。拼接图形时，先区分外轮廓、内部接缝和孔的边界，再列式；两张纸片沿边相 接时，接触段在两张纸片的周长中各计了一次。 本型图中各边均为水平或竖直线段，长度单位均为厘米。没有特别说明时，纸片不重叠，只求拼成图形的外轮 廓周长。 例题 两张长为α、宽为b的长方形纸片按图①并排放置，底边齐平。保持左纸片不动，把右纸片向上移 动X,得到图②，其中a>b>0,0<x<b。 分别用含a、b、x的式子表示两个图形的外轮廓周长，并求周长增加了多少。 图① 图② b b x 解析先把两张纸片分开看，它们的周长和都是4ā+4b。沿边拼接后，接触段不在外轮廓上，而它 在周长和中被计了两次，所以要减去接触长度的两倍。 图①的接触长度为b,外轮廓周长为4a+4b-2b=4a+2b。 图②中，右纸片上移x,接触长度减少为b-X,外轮廓周长为4a+4b-2(b-x)=4a+2b+2x。 周长增加量为(4a+2b+2x)-(4a+2b)=2x。纸片的大小没有改变，变化来自接触段缩短后露出的 边界。 方法提示先辨认边界，再数长度；纸片周长和不等于拼成图形的周长。 第14页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 练习 1.四张边长均为a的正方形纸片分别按图①、图②拼放，相邻纸片沿整条边相接。 (1)分别求两个图形的外轮廓周长。 (2)小明说：“两种摆法都是四张纸片，内部接缝都只有三条，所以周长相等。”他的说法错在哪 里？ 图① 图② ←a> ←Q> 答案图①为10a,图②为8a;图②有四条长为a的内部接缝。 解析四张正方形的周长和为16a。图①有三条长为a的接缝，故周长为16a-2×3a=10a。 图②有四条长为a的接缝，故周长为16a-2×4a=8a,也可直接由大正方形的边长2a得到周长 8a。 小明只数了纸片张数，没有核对接缝数。形成闭合的两行两列排列后，第四张纸片同时与两张纸片 相接，不能仍按每添一张只新增一条接缝计算。 2.两张长为a、宽为b的长方形纸片，都剪去一个水平长为c、竖直长为d的小长方形，其中 0<c<a,0<d<b。图①从右上角剪去；图②从上边中部剪去，缺口左右都留有纸片。阴影表示剩余 部分。 分别求两块剩余纸片的周长，并说明两结果相差多少。 图①角部剪去 图②边中剪去 个 d d b 6 答案图①为2a+2b,图②为2a+2b+2d;图②比图①多2d。 解析原纸片周长为2a+2b。图①剪去的原边界长为c+d,新增边界长也为c+d,故周长不变。 图②剪去的原边界只有上边一段c,新增缺口边界为c+2d,故周长为 2a+2b-c+(c+2d)=2a+2b+2d。 第15页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 两结果相减得2d。缺口的水平长度相同，不表示周长变化相同；是否位于角部会改变原边界被剪去 的部分。 3.图①是一块长方形纸框，外框长为a、宽为b,四边纸条的宽都为2，其中Q>4,b>4。现在从 上边剪去一条竖直的长方形纸条，使内孔与外部相通，如图②。虚线表示剪去前的边界。剪去的纸 条宽为C、高为2，位于内孔正上方，两侧都留有纸框，且0<c<a-4。 (1)求图①所有露出边缘的总长度，既包括外框，也包括内孔。 (2)求图②所有露出边缘的总长度，并指出它比图①增加或减少了多少。 图①矩形框 图②打通上边 <C> 6 孔 Q 答案（1)4a+4b-16;(2)4a+4b-12-2c,变化量为4-2c。 解析内孔的长为a-4,宽为b-4。图①总边长为2(a+b)+2[(a-4)+(b-4)]=4a+4b-16。 剪通时，外框上边和内孔上边各少一段长C的边界，新增两条长2的竖边。因此总长度变为 4a+4b-16-2c+4=4a+4b-12-2c。 变化量为4-2c:当0<c<2时增加4-2c;当c=2时不变；当c>2时减少2c-4。这些情况都还 须满足题设的c<a-4。 第16页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 4.五张完全相同的长方形卡片，长为x、宽为y,按图放入长为a、宽为b的长方形盒底。两张横 放，紧贴左下角上下排列；三张竖放，紧贴右上角左右排列；横放卡片的最上边与竖放卡片的最下 边在同一直线上。卡片互不重叠。 已知x>y>0,a>x,a>3y,a<x+3y,阴影①、②都是长方形。 (1)用含a、X、y的式子表示两块阴影的周长和，并化简。 (2)仅知道盒底长、宽都是8，能否确定这个周长和？若不能，给出两组满足条件的卡片尺寸说 明。 ① b ② y X a 答案(1)4a-2y;(2)不能，例如x=6、y=1和x=5、y=1.5时，周长和分别为30和29。 解析由上下拼放关系可得b=x+2y。阴影①的水平长为a-3y、竖直长为x;阴影②的水平长为 a-x、竖直长为2y。 周长和为2(a-3y+x)+2(a-x+2y)=4a-2y。卡片长x消去了，但短边y没有消去。 当a=b=8时，取x=6、y=1,有x+2y=8,周长和为32-2=30；取x=5、y=1.5,仍有 x+2y=8,周长和为32-3=29。两组均满足全部正长度和摆放条件，故仅知道盒底长、宽还不够。 第17页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 5.两张边长分别为a、b的正方形纸片按图重叠，所有边均为水平或竖直方向。小正方形的左下角 位于大正方形内部，其右边和上边都伸出大正方形。阴影重叠部分的水平长为C、竖直长为d,其中 a>b>0,0<c<b,0<d<b。 (1)求两张纸片合起来所成图形的外轮廓周长。 (2)若a+b=15,c+d=4,求这个周长。小明把两张纸片的周长和减去“重叠长方形周长的两倍”， 他的做法是否正确？说明理由。 ← C -a- 答案(1)4a+4b-2c-2d;(2)52;小明多减了一倍重叠长方形周长。 解析大正方形原边界中被覆盖的两段共长c+d；小正方形原边界中位于大正方形内部的两段也共 长c+d。其他原边界仍是外轮廓。 所以外轮廓周长为4a+4b-2(c+d)=4a+4b-2c-2d。代入整体关系，得4×15-2×4=52。 重叠长方形的周长为2(c+d),本题应该从两纸片周长和中减去它的一倍，而不是两倍。与沿一条线 段拼接的情形不同，这里的被遮边界正好组成重叠长方形的四条边。 第18页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 6.三张正方形纸片的边长分别为a、b、c,其中a>b>c>0。把它们的底边放在同一直线上，相邻 纸片左右相接，不留间隙、不重叠。图①从左到右按a、b、c排列，图②按a、C、b排列。 (1)求两种摆法的外轮廓周长之差，说明哪一种较小。 (2)允许把三张纸片任意调换次序，怎样安排才能使外轮廓周长最小？求这个最小周长，并说明没 有遗漏其他排列。 图① 图② Q b b 答案（1)图②比图①多2(b-c);(2)边长为c的纸片不放在中间即可，最小周长为 4a+2b+2c。 解析三张纸片的周长和为4a+4b+4c。图①两条接触段分别长b、c,故周长为4a+2b+2c;图 ②两条接触段都长c,故周长为4a+4b。图②减图①为2(b-c)>0。 只需按中间纸片分类。中间为a时，两条接触段总长为b+C;中间为b时，仍为b+c;中间为c 时，总长为2c。由于b>c,前两类接触总长较大，外轮廓周长较小。 因此把最小纸片放在一端即可；四种次序为a,b,C,c,b,a,b,a,C,c,a,b。最小周长为 4a+2b+2c。按中间纸片的三种可能分类，已经覆盖所有排列。 第19页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 题型五面积变化与割补列式 知识要点 长方形面积等于长乘宽，正方形面积等于边长的平方。求面积变化时，可以把新增、剪去或重叠的部分分成几 个长方形，再相加或相减。 分块要做到不重复、不遗漏。尤其要区分“剩余面积”和“剪去面积”；只知道长、宽的和，有时能确定面积变 化，却不能确定原面积。本型长度单位均为厘米，面积单位均为平方厘米。 例题 一个长为a、宽为b的长方形，向右和向上分别扩大2，得到图示的大长方形，其中a>0,b>0。 (1)用含a、b的式子表示新增面积。 (2)若原长方形的周长为30，但不知道它的长和宽各是多少，能否求出新增面积？ b 原长方形 >←2> 解析新增部分可分成互不重叠的三块：上方长为a、宽为2的长方形，右方长为b、宽为2的长 方形，以及右上角边长为2的正方形。 三块面积分别为2a、2b、4,所以新增面积为2a+2b+4。这里直接计算条块面积，不需要展开两 个含字母的括号。 原周长为30，就是2a+2b=30。因此新增面积为30+4=34，能确定。原面积ab则不一定能由周 长单独确定。 方法提示有整体条件时，先看目标式中是否已经出现这个整体，不必先求各条边。 第20页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 练习 1.从边长为a的正方形纸片中，剪去左边宽为2的竖纸条和下边宽为1的横纸条，两个纸条都贯 穿原正方形，且a>2。图中灰色表示剪去的部分。 (1)小明认为剪去的面积为2a+a=3a。这个式子多算了哪里？写出正确的剪去面积和剩余面积。 (2)当a=8时，剩余面积是多少？ a 01 ←2> 答案剪去面积3a-2,剩余面积a2-3a+2；;a=8时剩余面积为42。 解析两条纸条相交的左下角是长为2、宽为1的长方形，面积为2。用2a+a相加时，这块算了 两次，应减去一次。 剪去面积为2a+a-2=3a-2。原正方形面积为a,故剩余面积为a2-(3a-2)=a2-3a+2。 当a=8时，剩余面积为64-24+2=42。也可核对剩余长方形的两边为6和7，面积为6×7=42。 2.长为a、宽为b的长方形有两种扩大方案，其中a>b>0。方案甲向右扩大3、向上扩大1；方 案乙向右扩大1、向上扩大3。 (1)分别表示两种方案的新增面积，并比较哪种较大。 (2)若a-b=4,两种新增面积相差多少？ (3)若只知道a+b=20,能否确定方案乙的新增面积？若不能，用两组长、宽说明。 方案甲 方案乙 b 6 →←3> 答案甲为a+3b+3,乙为3a+b+3,乙比甲多2a-2b;(2)8;(3)不能。 解析方案甲新增的三块面积分别为a、3b、3,共a+3b+3;方案乙新增的三块面积分别为3a、 b、3,共3a+b+3。 第21页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 乙减甲为(3a+b+3)-(a+3b+3)=2a-2b=2(a-b)。由于a>b,乙的新增面积较大。若a-b=4, 两者相差2×4=8。 只知a+b=20不够。例如a=12、b=8时，乙新增36+8+3=47；a=11、b=9时，乙新增 33+9+3=45。两组均有a>b>0且长、宽的和为20，但结果不同。 3.图①是长为a、宽为b的长方形纸片，其中a>b+2,b>2。沿左边剪下一条宽为2、长为b的 纸条，将它旋转后，紧贴剩余纸片的上边左端放置，得到图②，两部分不重叠。 用虚线把图②右上方补成一个长方形。 (1)求右上方空白小长方形的面积。 (2)若Q-b=7,图②用虚线补成的大长方形面积比原纸片面积大多少？说明理由。 图①裁剪前 图②移放后 b 2 空白 b a-2 答案(1)2(a-b-2)=2a-2b-4;(2)大10。 解析剪后下方纸片的水平长为ā-2，旋转后纸条的水平长为b、竖直宽为2。所以右上方空白部分 的长为a-2-b,宽为2。 空白面积为2(a-b-2)=2a-2b-4。题设a>b+2保证这个空白长方形确实存在且长度为正。 纸片只是剪开后移放，且两部分没有重叠，所以图②实有纸片的面积与原纸片相同。补成的大长方 形比原纸片多出的，恰好就是空白面积。代入a-b=7,得2×7-4=10。 第22页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 4.两张长为Q、宽为b的长方形纸片，用一条距左边x的竖线分成左右两列，其中Q>0,b>3, 0<X<a。图中灰色部分都要剪去。 图①剪去左列上方高为2的长方形和右列下方高为2的长方形；图②只把右列被剪去部分的高度改 为3，其余不变。 (1)分别写出两图的剩余面积。 (2)保持Q、b不变，使竖线向右移动1，并保证移动后仍在纸片内部。两图的剩余面积各怎样变 化？ 图① 图② <X> <X 2 2 b b 2 3 a 答案图①为ab-2a,图②为ab-3a+x;竖线右移1时，图①不变，图②增加1。 解析图①剪去面积为2x+2(a-x)=2a,所以剩余面积为ab-2a。 图②剪去面积为2x+3(a-x)=3a-x,所以剩余面积为ab-(3a-x)=ab-3a+x。 竖线右移1，就是把x换成X+1。图①的结果不含x,面积不变；图②的结果增加1。从图上看， 右移后新增剪去一块1×2的纸片，同时少剪去一块1×3的纸片，故剩余面积增加3-2=1。 第23页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 5.在长为a、高为6的长方形底板上摆放三张边长均为4的正方形纸片，其中6<a<8。甲紧贴底 板左下角，乙紧贴右下角，丙的上边紧贴底板上边，且丙左右两侧与底板的间隙相等。 重叠时，乙盖住甲，丙又盖住甲、乙；图中能看见的甲、乙两部分面积和记为S。 (1)分别用含Q的式子表示S与灰色未覆盖面积。 (2)不求Q,用含S的式子表示灰色未覆盖面积；若S=20,求灰色面积。 4 丙 6 甲 Q 答案()S=4a-8,灰色面积2a-8:(2)氵4，当S=20时为6 解析甲、乙的上边都距底板下边4，且它们相互重叠，合起来覆盖了底板下方高为4的整个长方 形，面积为4a。丙盖住其中一块长为4、高为2的长方形，面积为8。因此能看见的甲、乙面积和 为S=4a-8。 底板上方高为2的长方形面积为2a,丙在其中覆盖的面积为4×2=8。 故灰色未覆盖面积为2a-8。 由5=4a-8,把两边的一半写出可得号=20-4。因此友色面积208=号4。当8=20时。灰色面 积为10-4=6。整个过程只比较条块面积，不必逐一计算甲、乙互相遮挡了多少。 第24页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 题型六图形规律与分类计数 知识要点 图形规律题先看清生成规则，再按点、边、方格的位置分类计数。相加的类别应互不重叠；公共点、公共边和 交叉位置不能重复算。 只看前几幅图，不能保证后面的规律唯一。本型每题都给出完整生成规则；n表示图形序号或规定的行、列 数，并按题意取正整数。 例题 用同样长的小棒摆正方形。第n个图形由n个小正方形排成一行，每个新正方形与左边的正方形共 用一条完整的边，公共边只放一根小棒，n为正整数。 求第个图形所需小棒的根数，并用两种不同的计数方法说明。 第1个图形 第2个图形 第3个图形 第n个图形 ←一共n个> 解析方法一：按摆放顺序计数。第一个正方形需要4根，以后每添一个正方形，都利用已有的一 条边，只增加3根。共添了n-1个，所以需要4+3(n-1)=3n+1根。 方法二：按方向计数。上、下两排各有n根横棒，共2n根；竖棒从最左端到最右端共有n+1根。 因此总数为2n+(n+1)=3n+1。 两种方法都覆盖了全部小棒且没有重复。代入n=1,2,3,分别得到4,7,10，与前三幅图一致；一般结 论的依据是拼接规测，而不仅是这三个数。 方法提示“第一个加以后每次增加”与“按位置分类”可以相互核对。 第25页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 练习 1.第n个十字点阵由一个中心点和向上、下、左、右伸出的四支点组成。每支除中心点外都有n 个点，相邻点间距相同；四支只有中心点重合。每支最外端的点画成空心，其他点画成实心，n为 正整数。 (1)第n个点阵有多少个实心点、多少个空心点？ (2)取两个第个点阵，让左边点阵的最右端空心点与右边点阵的最左端空心点重合，其他点均不 重合，如拼接示意图。求拼接后的实心点、空心点和全部点的个数。 第1个图形 第2个图形 第3个图形 0 拼接示意 ● 0 ● 0●0 0●●●0 0●●●●●0 ● 0 答案（1)实心4n-3个、空心4个；(2)实心8n-6个、空心7个，全部8n+1个。 解析单个点阵中，中心点是实心点，每支还有n-1个实心点，故实心点数为1+4(n-1)=4n-3, 空心点数为4。总数为4n+1。 拼接时只重合一个空心点，实心点不重合，所以实心点数为2(4n-3)=8n-6,空心点数为 4+4-1=7。 全部点数为(8n-6)+7=8n+1,也可由2(4n+1)-1=8n+1核对。这里减去的是一个公共点，不是 两端各减一个。 第26页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 2.用大小相同的正方形瓷砖铺三行图案。第n个图案共有2n+1列；中行从左向右第2,4,6，，2n 列为灰砖，其余全为白砖，n为正整数。 (1)分别表示第n个图案中的灰砖、白砖和全部瓷砖的块数。 (2)现把最左列和最右列的瓷砖全部改为灰砖，其他位置不变。下图给出了=3时的改铺结果。 重新表示灰砖和白砖的块数，并求灰砖比原来增加的块数是否随n改变。 第1个图形 第2个图形 第3个图形 答案(1)灰砖n,白砖5n+3,总数6n+3;(2)灰砖n+6,白砖5n-3,灰砖恒增加6块。 解析中行每隔一列放一块灰砖，共有n块。总数为3(2n+1)=6n+3,因此白砖为 6n+3-n=5n+3块。 原图最左、最右两整列都是白砖，共3+3=6块；两列互不重合，即使n=1也成立。改铺后灰砖为 n+6块，白砖为(5n+3)-6=5n-3块。 灰砖增加数恒为6，与中间图案重复了多少组无关，因为只改变了两端固定的六个位置。两种颜色 的和仍为6n+3。 第27页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 3.第n个网格由n行、n+1列边长为1的小正方形组成，所有格线完整保留，其中n是不小于2 的整数。只数边在格线上的正方形。 (1)分别求第n个网格中边长为1和边长为2的正方形个数，并求这两类的个数和。 (2)小明据此说：“第n个网格中一共有2n2个正方形。”这句话是否总成立？把n=3时各类正方 形数清楚，说明理由。 n=2 n=3 n=4 答案(1)边长1的有n2+n个，边长2的有n2-n个，两类共2n个；(2)不总成立，n=3时 共有20个。 解析边长为1的正方形，可以分成一个n行n列的方阵和额外的一列，共n2+n个。 边长为2的正方形可用左上角的小方格定位：左上角只能在前n-1行、前n列。把这些位置看成一 个n行n列方阵去掉最后一行，共n-n个。这两类合计2n个。 但当n=3时，网格有3行4列，除了12个边长1的和6个边长2的，还有2个边长3的正方形。 因此总数为12+6+2=20，不是2×3=18。小明把“两类的和”误当成“所有大小的总数”。 第28页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 4.第n个图形是宽为一格的正方形框：外面有n+2行、n+2列，保留最外一圈小方格，中间n 行、n列为空孔，n为正整数。每个保留小方格的每条边都用一根小棒摆出，公共边只放一根；空孔 内部不另放小棒。 (1)求第n个图形的小方格数，以及外边框和内孔边界上小棒的总根数。 (2)求图中全部小棒的根数。小明按“第一格4根，以后每格增加3根”得到4+3(4n+3),这个式 子为什么多算了一根？ 第1个图形 第2个图形 第3个图形 空 空 空 答案（1)小方格4n+4个，内外边界小棒8n+8根；(2)全部小棒12n+12根，最后闭合时只 增加2根。 解析上、下两行各有n+2格，左、右两边去掉角部后各有n格，所以小方格数为 2(n+2)+2n=4n+4。 外边框每边有n+2根，内孔每边有n根，所以边界小棒总数为4(n+2)+4n=8n+8。 框内每个小方格都与两个相邻小方格各共用一条边。按小方格数这些接缝时，每条被算两次，因此 不同接缝有4n+4条。加上内外边界，全部小棒数为(8n+8)+(4n+4)=12n+12。 若绕框依次摆格子，最后一格同时接上前一格和最初的一格，共用两条已有边，只增加2根而不是3 根。小明没有扣除闭合时这额外利用的一根，所以他的结果多1根。 第29页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 5.把n行、n列的小正方形排成方阵，其中n是不小于3的整数。先将最外一圈涂灰，再把从左 上到右下、从右上到左下的两条斜排小方格涂灰，其余保持白色；重复涂到的方格只算一格。 两条斜排的规则是：每一行中，从左数与行序号相同的一格，以及从右数与行序号相同的一格，都 要涂灰。行从上往下编号。 (1)分别数出n=3,4,5时灰格的个数。 (2)当n为偶数、奇数时，分别用含n的式子表示灰格数和白格数，并说明为什么要分这两种情 况。 n=3 n=4 n=5 答案（1)9,16,21；(2）)偶数时灰格6n-8、白格n-6n+8; 奇数时灰格6n-9、白格n2-6n+9。 解析最外一圈可按上、下两行各n格，左、右两列去掉角部后各-2格计数，共 2n+2(n-2)=4n-4格。 每条斜排两端的角格已经在外圈中，内部还各有n-2格。若n是偶数，两条斜排在方阵中部经过不 同小方格，内部没有共同格，新增2(n-2)格，故灰格为4n-4+2(n-2)=6n-8。 若n是奇数，两条斜排恰好共用正中间的一格，其余内部格不重合，因此新增2(n-2)-1格，灰格 为6n-9。分偶数、奇数的原因是中心格是否被重复计数。 方阵总数为n2。偶数时白格为n-(6n-8)=n-6n+8;奇数时白格为n-(6n-9)=n2-6n+9。代入 n=3,4,5,灰格分别为9,16,21，与图吻合。 第30页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 题型七插入运算与总和规律 知识要点 一排有几个式子，就按几个位置计数；即使两个位置上的式子相同，也不能把它们算成一项。一排式子中的相 邻空隙数比项数少1。 同时插入是指只对本轮开始时的相邻式子操作，新插入的式子要到下一轮才能参与。研究总和时，既要看初始 总和，也要看每轮新增式子的总和；两端不变不等于总和不变。 例题 一开始从左到右写着α、b、c三个式子。每轮在每对相邻式子之间，同时插入“左边的式子减去右边 的式子”所得的差，原有式子的位置次序不变。新插入的式子不参与本轮其余插入。 写出第一轮操作后的整串式子，并分别用含n的式子表示第n轮操作后的项数与所有式子的总和， 其中n为正整数。 解析第一轮分别在a与b之间插入a-b,在b与c之间插入b-c,得到a、a-b、b、b-c、c。 此时有5项，总和为a+(a-b)+b+(b-c)+c=2a+b。 先数空隙：开始有2个空隙。每个旧空隙插入一项后都分成两个新空隙，所以每轮空隙数加倍。第 n轮后有2·2”个空隙，比空隙数多一项，故项数为2”+1+1。 再看总和：第一轮新增的总和为(a-b)+(b-c)=a-C。以后无论中间有多少项，相邻差相加时，每个 中间项都会出现一次正号和一次负号，互相抵消，仍只剩首项减未项。首项一直是Q, 末项一直是C,所以每轮新增总和都等于a-C。 初始总和为a+b+c,经过n轮就增加n个a-c,因此第n轮后的总和为a+b+c+n(a-c)。项数 的增长由空隙数决定，总和的变化由首尾差决定，二者不能混用。 练习 1.甲、乙两串式子的初始排列分别为：甲串a、b、c；乙串a、b-d、d、c。每轮都在每对相邻式 子之间，同时插入左边减右边的差，保留原来的式子；本轮新增式子不参与本轮其余插入。 两串都进行n轮操作，其中n为正整数。分别表示两串的项数与总和，并判断“总和相同的两串，项 数也相同”是否正确。 答案甲串有2”+1+1项，乙串有3·2”+1项；两串总和均为a+b+c+n(a-c)。所给判断不正确。 解析甲串初始有2个空隙，乙串初始有3个空隙。每轮每个空隙都分成两个，因此第轮后的项 数分别为22”+1和32”+1。 乙串初始总和为a+(b-d)+d+c=a+b+c,与甲串相同。两串每轮的新增差相加，都只剩首项a减 末项c,所以每轮总和都增加a-C。 两串第n轮后的总和均为a+b+c+n(a-c),但乙串始终比甲串多2”项。这就说明，总和相同不能 推出项数相同。 第31页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 2.初始排列为a、b、c。先连续进行n轮操作，每轮在每对相邻式子之间插入左边减右边的差；随 后再连续进行n轮操作，每轮改为插入右边减左边的差。其中n为正整数。 每轮的全部插入同时完成，原有项均保留，本轮新项不参与本轮其余插入。全部操作结束后，求项 数及所有式子的总和。此时整串式子是否恢复成初始排列？说明理由。 答案最终有22+1+1项，总和为a+b+c；整串式子没有恢复成初始排列。 解析一共进行了2n轮，每轮空隙数加倍。初始有2个空隙，所以最后有2·22”+1=2m+1+1项。 前n轮中，每轮新增总和为a-c,总共增加n(a-c)。后n轮改变了相减方向，每轮新增总和为 c-a,总共增加n(c-a)。 最终总和为a+b+c+n(a-c)+n(c-a)=a+b+c。但是n为正整数，最后的项数大于初始的3项， 所以只是总和恢复，整串排列并未恢复；即使有些项等于零，它们所在的位置仍然算项。 3.把a、b、C按图示箭头方向围成一圈，每个式子都有一个紧接在它后面的式子，c后面紧接的是 a。 每轮在每对相邻式子之间，同时插入“前一个式子减去后一个式子”所得的差，原有项保留。下一轮按 插入后的圆周次序操作；本轮新项不参与本轮其余插入。 求第n轮后的项数与所有式子的总和，其中n为正整数。如果初始三个式子都加上d后再按同样规 则操作，第n轮后的总和又是多少？ 答案第n轮后有32”项，总和为a+b+c初始三个式子都加上d时，总和为a+b+c+3d。 解析围成一圈后，每一项后面都有一个空隙，空隙数与项数相同。每轮在每个空隙中插入一项，项 数加倍，所以第n轮后有3·2”项。 第一轮新增总和为（α-b)+(b-c)+(c-a)=0。此后每轮的新增差相加，每个旧项都出现一次正号和 一次负号，全部抵消，因此每轮新增总和仍为0，最后总和为a+b+c。 若初始三项改为a+d、b+d、c+d,同样的抵消仍成立。新的初始总和为a+b+c+3d,各轮总和 都保持这个值。 第32页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 4.初始排列为Q、b、c。每轮在每对相邻式子之间，同时插入“左边的式子减去右边的式子， 再加1”所得的式子，原有项保留；本轮新增式子不参与本轮其余插入。 分别表示第n轮后的项数与总和，其中n为正整数。若首项与末项相同，即a=c,各轮总和是否都 等于初始总和？说明理由。 答案项数为2n+1+1,总和为a+b+c+n(a-c)+2+1-2。即使a=c,总和也不保持初始值。 解析每个空隙每轮仍只插入一项，故第n轮后的项数为2”+1+1。从初始的3项增加到这个项数， 共插入了2+1-2项。 在任意一轮，把所有新项中“左边减右边”的部分相加，中间项仍相互抵消，只剩a-℃。这部分经过n 轮共使总和增加n(a-c)。 此外，每插入一个新项还额外加了一个1。全部操作共插入2”+1-2项，这部分使总和增加2”+1-2。 因此最终总和为a+b+c+n(a-c)+2+1-2。 当a=c时，首尾差部分为0，但总和仍比初始值多2m+1-2。因为n为正整数，这个增加量大于0， 所以总和并不保持初始值。 5.初始从左到右排列四个有理数a、b、c、d,满足a+b+c+d=10,a+d=4。每轮在每对相邻数 之间，同时插入这两个数的和，原有数保留；本轮新数不参与本轮其余插入。 (1)求第一轮及第二轮操作后的所有数的总和。 (2)若删去Q+d=4这一条件，仅保留初始总和为10，第二轮后的总和还能唯一确定吗？说明理 由。 答案（1)第一轮总和为26，第二轮总和为74。(2）不能唯一确定。 解析任意一轮中，每个中间项都参加左右两个相邻和，首项与末项各只参加一个相邻和。因此，新 增总和等于原总和的2倍再减去首末两项之和。加上原来保留的各项后，新总和等于原总和的3倍 再减去首末两项之和。 首末两项一直为a、d,其和一直为4。故第一轮总和为3×10-4=26， 第二轮总和为3×26-4=74。 删去首末之和条件后，不能确定第二轮总和。例如初始排列1、2、4、3的总和为10，首末之和为 4,第二轮总和为74；初始排列1、2、3、4的总和同样为10，但首末之和为5， 第一轮总和为25，第二轮总和为3×25-5=70。 两种合法初始排列得到不同结果，所以仅知道初始总和还不够。 第33页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 题型八新定义关系与整体列式 知识要点 遇到新的检验规则，先辨清哪些数或式子参加比较，以及要求对一个取值成立，还是对所有允许的取值都成 立。一个例子成立，不能替代一般说明；一个反例就能否定“总是成立”。 根据定义得到等量关系后，可以整体代入、相加或相减。目标能确定，不代表每个字母都能单独确定；代入整 个代数式时要加括号。 例题 在左、中、右三张卡片上分别填写一个数或一个代数式。检验规则是：左卡与右卡所填内容的和， 等于中卡所填内容的2倍。 (1)依次填写X-2、x+1、x+4,是否对任意有理数x都能通过检验？ (2)依次填写的a、b、c已通过检验，且b=6。求3a-2b+3c的值。 (3)在一组已经通过检验的卡片中，左卡加4，中卡加2，右卡不变。修改后是否一定仍能通过检 验？ 解析(1)左卡与右卡之和为(x-2)+(x+4)=2x+2,中卡的2倍为2(x+1)=2x+2。两个式子相 同，不受X的取值影响，所以对任意有理数x都能通过检验。 (2）通过检验就意味着a+c=2b。目标式为3a-2b+3c=3(a+c)-2b, 其中需要的正是整体a+c,不必分别求a、c。代入可得3×2b-2b=4b=24。 (3)修改后，左卡与右卡之和为(a+4)+c=a+c+4=2b+4,中卡的2倍为2(b+2)=2b+4。两 边仍相等，所以一定能通过检验。这里利用了原来已有的关系Q+c=2b,而不是只检查某一组数。 练习 1.三张卡片从左到右所填的有理数为a、b、C,已经满足“左卡加右卡等于中卡的2倍”这一检验规 则。现分别按表中的三种方案重新填写。 哪些方案对任意符合原规则的Q、b、℃都一定通过检验？逐一说明理由；对不能保证的方案，给出 一组符合原规则的数作为反例。 方案 左卡 中卡 右卡 甲 a-b 0 c-b 乙 2a 2b 2c 丙 a+b b+c c+a 答案甲、乙方案一定通过检验；丙方案不能保证。丙的一个反例是原数依次为1、2、3。 解析原条件为a+c=2b。甲方案的左卡与右卡之和为（a-b)+(c-b)=a+c-2b=0,中卡的2倍也 为0，所以甲一定通过。 第34页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 乙方案的左卡与右卡之和为2a+2c=2(a+c)=4b,中卡的2倍为2×2b=4b,所以乙一定通过。 丙方案不一定通过。取a=1、b=2、c=3,原来有1+3=2×2，符合规则。 丙方案重新填写后为3、5、4，左、右之和为7，中卡的2倍为10，两者不相等。这个反例就足以 否定“一定通过”。 2.一张卡片的上、下两格各写一个含x的代数式。如果对任意有理数x, 上格减下格的结果都为5，这张卡片就符合要求。甲、乙两张卡片如表所示。 小明只检查了x=0,发现两张卡片的差都为5，就说两张卡片都符合要求。你同意吗？请分别作出 判断并说明理由。 如果把甲卡两格中出现的每一个X都换成X+1,修改后的甲卡是否仍符合要求？说明理由。 卡片 上格 下格 甲 x2-2x+7 x2-2x+2 x+X+5 X-x 答案甲卡符合要求，乙卡不符合要求；把甲卡中的x同时换成x+1后仍符合要求。 解析甲卡上格减下格为(x2-2x+7)-(x2-2x+2)=5,对任意有理数x都成立，所以甲符合要求。 乙卡上格减下格为（x2+x+5)-(x2-x)=2x+5。当x=0时确实为5，但取x=1时为7，因此不是对 任意有理数都为5，乙不符合要求。 甲卡修改后，两格中原有的相同部分都同时变成(x+1)2-2(x+1)。相减时这一整块仍相互抵消，只 剩7-2=5，所以仍符合要求，不需要展开(x+1}。 3.对一个含a、b的代数式，把其中所有的a换成b,同时把所有的b换成a。如果结果与原式对 任意有理数a、b都相等，就说这个式子在交换后不变。 现要求把a2、b2、ab、1这四项各用一次，用加号或减号连接，且α2前固定为正号。请写出所有在 交换后不变的式子。 答案共有四个：a2+b2+ab+1,a2+b2+ab-1,a2+b2-ab+1,a2+b2-ab-1。 解析交换a、b后，a2与b互换，ab变成ba=ab,常数1不变。因此，只要b2前也是正号， 平方项之和就不变；αb与1前不论各选正号还是负号，都不影响交换前后的相等关系。 若b2前为负号，则取a=1、b=0,平方项部分为1；交换后平方项部分为-1。此时ab都为0，常 数项也没有变化，所以交换前后不相等。这说明b前不能为负号。 于是a2、b2前都只能为正号，而ab与1前各有正、负两种选择，一共有2×2=4种，即答案中的 四个式子，没有其他可能。 第35页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 4.在表中填写有理数，要求每一行三个数的和、每一列三个数的和全部相等。已填写的五个数如表 所示，另外四格依次用a、b、C、d表示。 (1)求a+b+c+d与a-d的值。 (2)仅凭这些条件，α的值能唯一确定吗？若能，给出其值；若不能，给出两种符合全部规则的填 写结果。 位置 第1列 第2列 第3列 第1行 e 4 b 第2行 3 5 10 第3行 9 d 答案(1)a+b+c+d=23,a-d=6。 (2)a不能唯一确定，例如a=7、b=7、c=8、d=1,或 a=8、b=6、c=7、d=2。 解析第二行的和为3+5+10=18，所以每一行、每一列的和都为18。 第一行给出a+b=18-4=14,第三行给出c+d=18-9=9,相加得到a+b+c+d=23。 第三列给出b+d=18-10=8。把第一行得到的a+b=14与这个关系相减，可得 (a+b)-(b+d)=14-8,即a-d=6,不需要分别求a、b、d。 当a=7、b=7、c=8、d=1时，三行之和依次为18、18、18，三列之和也都为18。当a=8、 b=6、c=7、d=2时，三行、三列之和仍全部为18。 两种填写都满足全部条件，但α的值不同，所以ā不能唯一确定。这不妨碍四格总和与指定差值的 唯一确定。 5.每张卡片有上、下两格。检验规则是：上格所填数的2倍加上下格所填数，结果等于6。两张已 经通过检验的卡片，上、下两格分别是a、b和c、d。 把这两张卡片中的数按表中三种方案组成新卡片。判断哪些方案一定通过检验，并说明理由。 对丙方案的新卡片，只允许给上格加一个数，下格不变。应从1、2、3中选择哪个数，才能保证修 改后通过检验？说明理由。 方案 上格 下格 甲 a+c b+d-6 a+c b+d 2 2 丙 a-c b-d 答案甲、乙一定通过检验，丙一定不能通过；给丙的上格加3后能保证通过。 解析两张原卡片通过检验，说明2a+b=6,2c+d=6。 第36页共37页 代数式列式与规律探究培优专题教师详解版 甲卡的检验结果为2(a+c)+(b+d-6)=(2a+b)+(2c+d)-6=6+6-6=6,所以甲一定通过。 乙卡的检验结果为2ac+bd_2a+b)牛2c+d-6+6-=6,所以乙一定通过。 2 丙卡的检验结果为2(a-c)+(b-d)=(2a+b)-(2c+d)=6-6=0,并不是6，所以丙一定不能通过。 给上格分别加1、2、3，会使检验结果分别增加2、4、6。丙原来的检验结果为0，因此只能选择给 上格加3，使检验结果变为6。 第37页共37页代数式列式与规律探究培优专题学生版 代数式列式与规律探究培优专题 2026一2027学年第一学期苏科版七年级数学上册 学生版 本专题以代数式的列式、整式加减为基础，重点练习数量关系的表示、图形计数和规律解释。列式时要 明确字母表示的量，并注意取值范围和单位。 目录导航 题型一数位表示与整除规律.… ….2 题型二分段计费与跨期列式...… .8 题型三优惠方案与组合购买… …14 题型四拼摆图形的周长列式.… .19 题型五面积变化与割补列式.… ….26 题型六图形规律与分类计数...… ...32 题型七插入运算与总和规律.… 38 题型八新定义关系与整体列式… .42 第1页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 题型一数位表示与整除规律 知识要点 数位变化要按新的位值列式。三位数的百位、十位、个位数字为a、b、c时，这个数是100a+10b+c,不是 三个字母的乘积。首位数字是1至9的整数，其他数位数字是0至9的整数。 要说明“总能整除”，应说明结果为什么一定是某个整数的整数倍；只验几个数不够。要否定“总能整除”，给出 一个符合全部条件的反例即可。0和负的整数倍也属于倍数。 例题 一个三位数的百位、十位、个位数字依次为a、b、C,三个数字都不为0。把百位数字移到个位，其 他数字依次左移，得到另一个三位数。 (1)原数减去新数的差一定能被9整除吗？说明理由。 (2)这个差一定能被99整除吗？说明理由。 解析先把数位操作写准确。原数是100a+10b+c；移动后，b在百位、c在十位、a在个位，新数是 100b+10c+a。三个数字都不为0，保证两次写出的都是三位数。 比较两个数，必须作整体相减：(100a+10b+c)-（100b+10c+a)=99a-90b-9c=9(11a-10b-c)。 这样写是为了把“能否被9整除”转化为“是否为9的整数倍”。 11a-10b-c是整数，因此差一定能被9整除，差为负数或0也不影响这个结论。 不能把移位误认为首尾交换。取原数123，新数为231，差为-108，它不是99的整数倍。因此第 (2)问的结论不成立。 第2页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 练习 1.a、b是两个两位正整数，且a>b。把a的两个数字写在前面、b的两个数字写在后面，组成一个四 位数；再交换这两组数字，组成另一个四位数。 (1)用含a、b的式子表示前一个四位数减去后一个四位数的差，并说明它为什么同时能被9和11整 除。 (2)这个差的最小值、最大值分别是多少？各举一组符合条件的a、b。 2.从各位数字之和等于12的三位数中任取两个不同的数。判断下列说法是否正确，并说明理由。 ①这两个数都能被3整除。 ②这两个数都能被9整除。 ③这两个数的差一定能被9整除。 ④这两个数的差一定能被27整除。 第3页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 3.小明说：“判断一个四位数能否被4整除，只看末两位组成的数就够了；判断能否被8整除，也只 看末两位就够了。"”这里末两位若是04，就按数4计算。 (1)分别判断小明的两句话是否正确，并说明理由。 (2)对四位数而言，判断能否被8整除，改为只看末三位组成的数是否足够？说明理由。 第4页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 4.对一个三位数作如下操作：百位数字减少1，个位数字增加1，十位数字不变；只有操作后仍为三 位数，且每一位仍是一个数字时，才允许这次操作。 (1)设原数的百位、十位、个位数字分别为a、b、C。写出允许一次操作时a、c的范围，并说明每 操作一次，原数减去新数的差是多少。 (2)从742开始，连续进行上述操作，最多能操作几次？最后得到什么数？说明不能再操作的原 因。 (3)各位数字之和同为13的三位数，是否都能由742经过若干次上述操作得到？说明理由。 第5页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 5.阅读规则：一个至少两位的正整数，删去个位数字，把留下的数减去所删数字的2倍；如果所得 结果是7的整数倍，那么原数能被7整除。结果可以为0或负数。 (1)用这个规则判断35和371是否能被7整除，并写出依据。 (2)设留下的数为a,所删的个位数字为b。说明这条规则为什么成立。 (3)若把规则中的“减去”改为“加上”，所得结果为7的整数倍时，原数也一定能被7整除吗？给出理 由。 第6页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 6.有一类数从左向右读与从右向左读相同，例如4554、123321。 (1)四位数的四个数字从左到右为a、b、b、a,其中a为1至9的整数，b为0至9的整数。说明这样 的数都能被11整除。 (2)六位数的六个数字从左到右为a、b、c、C、b、a,数字范围符合通常规定。这样的数也都能 被11整除吗？说明理由。 (3)仅凭前两问，能否断言所有从左向右读与从右向左读相同的数都能被11整除？说明理由。 第7页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 题型二分段计费与跨期列式 知识要点 分段计费应区分“全部数量按优惠价”与“只有超过部分按新单价”。后一种规则中，前面各段的费用仍要保留。 以下收费均为题设规则，不代表实际地区或平台价格。 跨两个月、两次订单时，总量条件只能确定数量之间的关系，不能把两次费用擅自合并。一个数量用X表示 后，另一个数量也随之变化；分界点要同时检查两次的档位，等号端点不能漏掉。 例题 一项场地服务按月分别计费，两个月采用的题设规则如下。两个月共使用18小时，第一个月使用x小 时，且0≤x≤12。使用时间可含小数，没有其他费用。 (1)用含x的代数式表示两个月的总费用，写明各式适用的范围。 (2)总使用时间不变，总费用是否一定不变？比较x=6、x=10和x=12时的总费用。 月份 低档部分 超过部分 第一个月 不超过6小时的部分，每小时2元 超过6小时的部分，每小时4元 第二个月 不超过8小时的部分，每小时2元 超过8小时的部分，每小时5元 解析第二个月使用18-x小时。第一个月的分界是x=6;第二个月恰用8小时，对应第一个月用 18-8=10小时，因此另一个分界是x=10。两个月的档位都要检查，不能只看第一个月。 当0≤x≤6时，第一个月未超过6小时，第二个月至少用12小时，超过8小时。总费用为 2x+2×8+5[(18-x)-8]=66-3x元。保留2×8，是因为第二个月的前8小时仍按低档计费。 当6<x≤10时，第一个月超过6小时，第二个月不少于8小时。总费用为 2×6+4(x-6)+2×8+5[(18-x)小-8]=54-x元。x=10时，第二个月的超出部分为0，本式仍成立。 当10<x≤12时，第二个月少于8小时。总费用为2×6+4(x-6)+2(18-x)=2x+24元。 检查交界：x=6时前两种计算都得到48元；x=10时后两种计算都得到44元。上面的范围覆盖0 至12，没有遗漏，也没有重复规定不同答案。 x=6、10、12时，总费用分别为48、44、48元。总时长相同，但分配到不同月份及不同档位的时长 不同，所以总费用不一定相同。 第8页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 练习 1.某打印服务按下表收费。方案一打印x页，编辑用时a分钟；方案二比方案一多打印6页，但编辑 用时少12分钟。其中x为整数，12≤x≤24，a≥12，编辑时间按实际分钟数计。 用含X、a的式子分别表示两种方案的费用，并判断在给定范围内哪种方案始终更便宜，说明理由。 项目 收费规则 纸张费 每打印1页收0.6元 编辑费 每分钟0.5元 加页费 超过20页的部分，每页另加0.2元；不超过20页不收此项费用 第9页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 2.甲、乙两种复印计价规则如下。复印页数x为正整数，两种规则都没有其他费用。 (1)分别写出两种规则的费用式及适用范围，并比较x≥50时两种规则的费用相差多少。 (2)一份说明书把甲规则写成：“x<50时费用为x元；x>50时费用为0.8x元”，并声称从49页增加到 50页，甲规则费用也一定增加。指出说明书的问题，并写出这两次的实际费用。 规则 计价说明 甲 少于50页，全部每页1元；达到50页，全部每页0.8元 乙 前50页每页1元；超过50页的部分每页0.8元 第10页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 3.某训练室按月计费：每月前10小时每小时1元，超过10小时的部分每小时2元；未使用时不收费， 没有其他费用。两个月共使用36小时，第一个月使用x小时，0≤x≤36，使用时间可含小数。 (1)用含x的式子表示两个月的总费用，写明适用范围。 (2）在总时长不变的条件下，最低总费用是多少？第一个月的时长在什么范围内时都能达到最低费 用？说明理由。 第11页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 4.某商店每次购物按下表独立结算，不合并两次购物的标价金额。两次购物的标价金额合计900 元，第一次为a元，且150≤a≤600，金额按实际数值计算。 (1)用含a的式子表示两次购物的总付款，写明各段范围。 (2）比较a=199与a=200时两次购物的总付款。这一变化能否只按第一次增加的1元来判断？说明 理由。 单次标价金额 付款规则 少于200元 不优惠 不少于200元且不超过500元 全部按九折付款 超过500元 500元部分按九折，超过部分按八折 第12页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 5.某学习室的月费固定为30元，包含当月10小时；超出可用小时数的部分每小时另收4元。只有第 一个月未用完的包含小时可以转入第二个月，最多转入3小时；未转入的部分作废。转入的小时在第 二个月不再收费，不能继续转到以后。 连续两个月都需缴月费，两个月共使用22小时。第一个月使用a小时，0≤a≤10，第二个月用完剩余 时长。使用时间可含小数，没有其他费用。 (1)用含a的式子表示实际转入第二个月的小时数及两个月总费用，写明范围。 (2)若一律把第一个月未用完的小时全部转入，就会得到“两个月总费用始终为68元”。这句话在题 设规则下是否成立？说明理由。 第13页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 题型三优惠方案与组合购买 知识要点 比较优惠前，要明确需要的商品数量、赠品能否抵入需求、是否允许分别购买，以及每种优惠的次数或数量限 制。购买件数、套数等都是整数，未使用的赠品不能擅自折算成现金。 只比较两种整单方案，只能得出这两种方案中哪个便宜。若允许组合购买并要求最省，还要说明其他合法分配 为什么不会更便宜；可按数量分情况，也可比较多换一件或一组的费用变化。 例题 社团需要恰好8套画笔和18本练习本，甲、乙两店出售相同商品，规则如下。可以在两店分别购买， 所有赠品都能计入需求；不多买商品，不转卖，不计算其他费用。甲店本次赠送练习本合计最多10 本，拆单不能增加这个上限。 求最低总费用，并说明购买方法为什么最省。 店铺 画笔价格 练习本价格 赠送规则 多 每套24元 每本6元 每买1套画笔送2本，合计最多10本 每套20元 每本5元 不赠送 解析单独付费购买练习本时，乙店每本5元，比甲店每本6元便宜，且不影响画笔赠品。因此任何最 省方案中，需要付费的练习本都在乙店购买。这样先排除了没有必要的高价购买。 设在甲店购买a套画笔，则在乙店购买8-a套，a是0至8的整数。只要分清赠品是否达到上限，就已 包括所有可能的画笔分配。 当0≤a≤5时，赠送2a本，还需付费购买18-2a本。总费用为24a+20(8-a)+5(18-2a)=250-6a 元。每多在甲店买1套，费用减少6元，所以这一段在a=5时最少，为220元。 当5<a≤8时，只赠送10本，还需付费购买8本。总费用为24a+20(8-a)+5×8=200+4a元。它比 a=5时的220元多4(a-5)元，因此不能更省。 所以最低费用为220元。购买方法是：甲店买5套画笔，获赠10本；乙店买3套画笔和8本练习本。所 得恰为8套画笔和18本练习本。证明覆盖了a=0至8全部整数分配，而不只是比较“全在甲店”与“全在 乙店”。 第14页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 练习 1.某店画板每块标价50元，颜料每盒标价8元。本次购买只下一张订单，不允许拆单。整张订单只 能选择下列一种优惠，不能混用：甲方案为每买1块画板送1盒颜料，其余商品按标价；乙方案为全 部商品九折，不赠送。 需恰好购得12块画板和x盒颜料，其中x为不小于12的整数，赠品计入需求，不多买商品。 (1)分别用含x的式子表示两种方案的付款。 (2)当x=30时，小明列式0.9×(12×50)+0.9×(30-12)×8，称这是最便宜的合法付款。判断他的 说法，并给出题设允许的较便宜方案及付款。 第15页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 2.甲店球拍每副60元，每买1副赠送1盒球；另买球每盒8元。乙店球拍每副54元，球每盒6元，不 赠送。学校需要恰好10副球拍和x盒球，x为不小于10的整数。允许分店购买，赠品计入需求，不多 买、不转卖，无其他费用。 小明认为“最省方案只能是10副球拍全在甲店购买，剩余球在乙店购买”。他的说法是否正确？求最低 费用，并说明所有最省方案中的球拍可以怎样分配。 3.甲店笔袋每个30元，每在甲店购买满2个笔袋送1支钢笔；按完整的两件组赠送，剩下的1个不赠 送，赠品不再参加活动。乙店笔袋每个27元，钢笔每支8元，不赠送。 需要恰好9个笔袋和5支钢笔，允许分店购买；钢笔若需付费，只能在乙店购买。赠品可计入需求， 不多买商品，无其他费用。求最低费用及购买方法，并说明为什么没有更便宜的方法。 第16页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 4.制作同款纪念卡，甲商家每张4元，另收一次设计费120元；乙商家不收设计费，前50张每张7 元，超过50张的部分每张3元。只能选择一家制作全部卡片，无其他费用，制作张数x为正整数。 (1)分别写出两家总费用式及适用范围。 (2）需要30张、60张、120张时，各应选哪一家？ (3)当50<x≤80时，甲一定不比乙贵吗？当x≥100时呢？说明理由。 5.甲、乙两店出售相同的笔记本。甲店每本10元，一次购买的标价金额达到80元，可减18元；同一 顾客本次只能减一次，不按每满80元重复减。乙店每本8元，不再优惠。 需恰好买12本，允许分店购买，每店至多下一张订单；不买其他商品，不退货，无其他费用。求最 低总费用，并给出覆盖全部合法分配的理由。 第17页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 6.一种彩笔有以下三种购买方式，允许任意组合，盒装与袋装均不可拆开购买，没有其他优惠。需 恰好购得26支，不允许多买。 求最低总费用，并写出所有达到最低费用的购买方式，说明没有遗漏。 方式 每份支数 每份价格 盒装 8支 20元 袋装 5支 13元 单支 1支 3元 第18页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 题型四拼摆图形的周长列式 知识要点 周长是封闭边界各段长度之和。拼接图形时，先区分外轮廓、内部接缝和孔的边界，再列式；两张纸片沿边相 接时，接触段在两张纸片的周长中各计了一次。 本型图中各边均为水平或竖直线段，长度单位均为厘米。没有特别说明时，纸片不重叠，只求拼成图形的外轮 廓周长。 例题 两张长为α、宽为b的长方形纸片按图①并排放置，底边齐平。保持左纸片不动，把右纸片向上移 动X,得到图②，其中a>b>0,0<x<b。 分别用含a、b、x的式子表示两个图形的外轮廓周长，并求周长增加了多少。 图① 图② b b x 解析先把两张纸片分开看，它们的周长和都是4ā+4b。沿边拼接后，接触段不在外轮廓上，而它 在周长和中被计了两次，所以要减去接触长度的两倍。 图①的接触长度为b,外轮廓周长为4a+4b-2b=4a+2b。 图②中，右纸片上移x,接触长度减少为b-X,外轮廓周长为4a+4b-2(b-x)=4a+2b+2x。 周长增加量为(4a+2b+2x)-(4a+2b)=2x。纸片的大小没有改变，变化来自接触段缩短后露出的 边界。 方法提示先辨认边界，再数长度；纸片周长和不等于拼成图形的周长。 第19页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 练习 1.四张边长均为a的正方形纸片分别按图①、图②拼放，相邻纸片沿整条边相接。 (1)分别求两个图形的外轮廓周长。 (2)小明说：“两种摆法都是四张纸片，内部接缝都只有三条，所以周长相等。”他的说法错在哪 里？ 图① 图② ←Q> ←a> 第20页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 2.两张长为a、宽为b的长方形纸片，都剪去一个水平长为c、竖直长为d的小长方形，其中 0<c<a,0<d<b。图①从右上角剪去；图②从上边中部剪去，缺口左右都留有纸片。阴影表示剩余 部分。 分别求两块剩余纸片的周长，并说明两结果相差多少。 图①角部剪去 图②边中剪去 ←C> <C> d b 0 Q 第21页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 3.图①是一块长方形纸框，外框长为Q、宽为b,四边纸条的宽都为2，其中a>4,b>4。现在从 上边剪去一条竖直的长方形纸条，使内孔与外部相通，如图②。虚线表示剪去前的边界。剪去的纸 条宽为C、高为2，位于内孔正上方，两侧都留有纸框，且0<C<a-4。 (1)求图①所有露出边缘的总长度，既包括外框，也包括内孔。 (2)求图②所有露出边缘的总长度，并指出它比图①增加或减少了多少。 图①矩形框 图②打通上边 <C> 6 孔 b 第22页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 4.五张完全相同的长方形卡片，长为x、宽为y,按图放入长为a、宽为b的长方形盒底。两张横 放，紧贴左下角上下排列；三张竖放，紧贴右上角左右排列；横放卡片的最上边与竖放卡片的最下 边在同一直线上。卡片互不重叠。 已知x>y>0,a>x,a>3y,a<x+3y,阴影①、②都是长方形。 (1)用含a、x、y的式子表示两块阴影的周长和，并化简。 (2)仅知道盒底长、宽都是8，能否确定这个周长和？若不能，给出两组满足条件的卡片尺寸说 明。 ① b ② y ← 一X一 a- 第23页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 5.两张边长分别为a、b的正方形纸片按图重叠，所有边均为水平或竖直方向。小正方形的左下角 位于大正方形内部，其右边和上边都伸出大正方形。阴影重叠部分的水平长为C、竖直长为d,其中 a>b>0,0<c<b,0<d<b。 (1)求两张纸片合起来所成图形的外轮廓周长。 (2)若a+b=15,c+d=4,求这个周长。小明把两张纸片的周长和减去“重叠长方形周长的两倍”， 他的做法是否正确？说明理由。 sC> d -a- 第24页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 6.三张正方形纸片的边长分别为a、b、c,其中a>b>c>0。把它们的底边放在同一直线上，相邻 纸片左右相接，不留间隙、不重叠。图①从左到右按a、b、c排列，图②按a、C、b排列。 (1)求两种摆法的外轮廓周长之差，说明哪一种较小。 (2)允许把三张纸片任意调换次序，怎样安排才能使外轮廓周长最小？求这个最小周长，并说明没 有遗漏其他排列。 图① 图② b b C 第25页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 题型五面积变化与割补列式 知识要点 长方形面积等于长乘宽，正方形面积等于边长的平方。求面积变化时，可以把新增、剪去或重叠的部分分成几 个长方形，再相加或相减。 分块要做到不重复、不遗漏。尤其要区分“剩余面积”和“剪去面积”；只知道长、宽的和，有时能确定面积变 化，却不能确定原面积。本型长度单位均为厘米，面积单位均为平方厘米。 例题 一个长为a、宽为b的长方形，向右和向上分别扩大2，得到图示的大长方形，其中a>0,b>0。 (1)用含a、b的式子表示新增面积。 (2)若原长方形的周长为30，但不知道它的长和宽各是多少，能否求出新增面积？ b 原长方形 >←2> 解析新增部分可分成互不重叠的三块：上方长为a、宽为2的长方形，右方长为b、宽为2的长 方形，以及右上角边长为2的正方形。 三块面积分别为2a、2b、4,所以新增面积为2a+2b+4。这里直接计算条块面积，不需要展开两 个含字母的括号。 原周长为30，就是2a+2b=30。因此新增面积为30+4=34，能确定。原面积ab则不一定能由周 长单独确定。 方法提示有整体条件时，先看目标式中是否已经出现这个整体，不必先求各条边。 第26页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 练习 1.从边长为a的正方形纸片中，剪去左边宽为2的竖纸条和下边宽为1的横纸条，两个纸条都贯 穿原正方形，且a>2。图中灰色表示剪去的部分。 (1)小明认为剪去的面积为2a+a=3a。这个式子多算了哪里？写出正确的剪去面积和剩余面积。 (2)当a=8时，剩余面积是多少？ a 01 ←2> 第27页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 2.长为a、宽为b的长方形有两种扩大方案，其中a>b>0。方案甲向右扩大3、向上扩大1；方 案乙向右扩大1、向上扩大3。 (1)分别表示两种方案的新增面积，并比较哪种较大。 (2)若Q-b=4,两种新增面积相差多少？ (3)若只知道a+b=20,能否确定方案乙的新增面积？若不能，用两组长、宽说明。 方案甲 方案乙 1+ b >←3> Q 第28页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 3.图①是长为Q、宽为b的长方形纸片，其中a>b+2,b>2。沿左边剪下一条宽为2、长为b的 纸条，将它旋转后，紧贴剩余纸片的上边左端放置，得到图②，两部分不重叠。 用虚线把图②右上方补成一个长方形。 (1)求右上方空白小长方形的面积。 (2)若α-b=7,图②用虚线补成的大长方形面积比原纸片面积大多少？说明理由。 图①裁剪前 图②移放后 b <2 空白 b a-2 第29页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 4.两张长为Q、宽为b的长方形纸片，用一条距左边x的竖线分成左右两列，其中Q>0,b>3, 0<X<a。图中灰色部分都要剪去。 图①剪去左列上方高为2的长方形和右列下方高为2的长方形；图②只把右列被剪去部分的高度改 为3，其余不变。 (1)分别写出两图的剩余面积。 (2)保持Q、b不变，使竖线向右移动1，并保证移动后仍在纸片内部。两图的剩余面积各怎样变 化？ 图① 图② <X> <X 2 2 b b 3 2 a 第30页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 5.在长为a、高为6的长方形底板上摆放三张边长均为4的正方形纸片，其中6<a<8。甲紧贴底 板左下角，乙紧贴右下角，丙的上边紧贴底板上边，且丙左右两侧与底板的间隙相等。 重叠时，乙盖住甲，丙又盖住甲、乙；图中能看见的甲、乙两部分面积和记为S。 (1)分别用含a的式子表示S与灰色未覆盖面积。 (2)不求Q,用含S的式子表示灰色未覆盖面积；若S=20,求灰色面积。 4 丙 6 甲 第31页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 题型六图形规律与分类计数 知识要点 图形规律题先看清生成规则，再按点、边、方格的位置分类计数。相加的类别应互不重叠；公共点、公共边和 交叉位置不能重复算。 只看前几幅图，不能保证后面的规律唯一。本型每题都给出完整生成规则；n表示图形序号或规定的行、列 数，并按题意取正整数。 例题 用同样长的小棒摆正方形。第n个图形由n个小正方形排成一行，每个新正方形与左边的正方形共 用一条完整的边，公共边只放一根小棒，n为正整数。 求第个图形所需小棒的根数，并用两种不同的计数方法说明。 第1个图形 第2个图形 第3个图形 第n个图形 ←一共n个> 解析方法一：按摆放顺序计数。第一个正方形需要4根，以后每添一个正方形，都利用已有的一 条边，只增加3根。共添了n-1个，所以需要4+3(n-1)=3n+1根。 方法二：按方向计数。上、下两排各有n根横棒，共2n根；竖棒从最左端到最右端共有n+1根。 因此总数为2n+(n+1)=3n+1。 两种方法都覆盖了全部小棒且没有重复。代入n=1,2,3,分别得到4,7,10，与前三幅图一致；一般结 论的依据是拼接规测，而不仅是这三个数。 方法提示“第一个加以后每次增加”与“按位置分类”可以相互核对。 第32页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 练习 1.第n个十字点阵由一个中心点和向上、下、左、右伸出的四支点组成。每支除中心点外都有n 个点，相邻点间距相同；四支只有中心点重合。每支最外端的点画成空心，其他点画成实心，n为 正整数。 (1)第n个点阵有多少个实心点、多少个空心点？ (2)取两个第个点阵，让左边点阵的最右端空心点与右边点阵的最左端空心点重合，其他点均不 重合，如拼接示意图。求拼接后的实心点、空心点和全部点的个数。 第1个图形 第2个图形 第3个图形 0 拼接示意 0 ● 0●0 0●●●0 0●●●●●0 0●●●0●●●0 ● ● ● 0 第33页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 2.用大小相同的正方形瓷砖铺三行图案。第n个图案共有2n+1列；中行从左向右第2,4,6，，2n 列为灰砖，其余全为白砖，n为正整数。 (1)分别表示第n个图案中的灰砖、白砖和全部瓷砖的块数。 (2)现把最左列和最右列的瓷砖全部改为灰砖，其他位置不变。下图给出了=3时的改铺结果。 重新表示灰砖和白砖的块数，并求灰砖比原来增加的块数是否随n改变。 第1个图形 第2个图形 第3个图形 第34页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 3.第n个网格由n行、n+1列边长为1的小正方形组成，所有格线完整保留，其中n是不小于2 的整数。只数边在格线上的正方形。 (1)分别求第n个网格中边长为1和边长为2的正方形个数，并求这两类的个数和。 (2)小明据此说：“第n个网格中一共有2n个正方形。”这句话是否总成立？把n=3时各类正方 形数清楚，说明理由。 n=2 n=3 n=4 第35页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 4.第n个图形是宽为一格的正方形框：外面有n+2行、n+2列，保留最外一圈小方格，中间n 行、n列为空孔，n为正整数。每个保留小方格的每条边都用一根小棒摆出，公共边只放一根；空孔 内部不另放小棒。 (1)求第n个图形的小方格数，以及外边框和内孔边界上小棒的总根数。 (2)求图中全部小棒的根数。小明按“第一格4根，以后每格增加3根”得到4+3(4n+3),这个式 子为什么多算了一根？ 第1个图形 第2个图形 第3个图形 空 空 空 第36页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 5.把n行、n列的小正方形排成方阵，其中n是不小于3的整数。先将最外一圈涂灰，再把从左 上到右下、从右上到左下的两条斜排小方格涂灰，其余保持白色；重复涂到的方格只算一格。 两条斜排的规则是：每一行中，从左数与行序号相同的一格，以及从右数与行序号相同的一格，都 要涂灰。行从上往下编号。 (1)分别数出n=3,4,5时灰格的个数。 (2)当n为偶数、奇数时，分别用含n的式子表示灰格数和白格数，并说明为什么要分这两种情 况。 n=3 n=4 n=5 第37页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 题型七插入运算与总和规律 知识要点 一排有几个式子，就按几个位置计数；即使两个位置上的式子相同，也不能把它们算成一项。一排式子中的相 邻空隙数比项数少1。 同时插入是指只对本轮开始时的相邻式子操作，新插入的式子要到下一轮才能参与。研究总和时，既要看初始 总和，也要看每轮新增式子的总和；两端不变不等于总和不变。 例题 一开始从左到右写着Q、b、C三个式子。每轮在每对相邻式子之间，同时插入“左边的式子减去右边 的式子”所得的差，原有式子的位置次序不变。新插入的式子不参与本轮其余插入。 写出第一轮操作后的整串式子，并分别用含n的式子表示第n轮操作后的项数与所有式子的总和， 其中n为正整数。 解析第一轮分别在a与b之间插入a-b,在b与c之间插入b-c,得到a、a-b、b、b-c、c。 此时有5项，总和为a+(a-b)+b+(b-c)+c=2a+b。 先数空隙：开始有2个空隙。每个旧空隙插入一项后都分成两个新空隙，所以每轮空隙数加倍。第 n轮后有2·2”个空隙，比空隙数多一项，故项数为2”+1+1。 再看总和：第一轮新增的总和为(a-b)+(b-c)=a-C。以后无论中间有多少项，相邻差相加时，每个 中间项都会出现一次正号和一次负号，互相抵消，仍只剩首项减未项。首项一直是Q, 末项一直是C,所以每轮新增总和都等于a-C。 初始总和为a+b+c,经过n轮就增加n个a-c,因此第n轮后的总和为a+b+c+n(a-c)。项数 的增长由空隙数决定，总和的变化由首尾差决定，二者不能混用。 第38页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 练习 1.甲、乙两串式子的初始排列分别为：甲串a、b、c;乙串a、b-d、d、c。每轮都在每对相邻式 子之间，同时插入左边减右边的差，保留原来的式子；本轮新增式子不参与本轮其余插入。 两串都进行n轮操作，其中n为正整数。分别表示两串的项数与总和，并判断“总和相同的两串，项 数也相同”是否正确。 2.初始排列为a、b、C。先连续进行轮操作，每轮在每对相邻式子之间插入左边减右边的差；随 后再连续进行n轮操作，每轮改为插入右边减左边的差。其中n为正整数。 每轮的全部插入同时完成，原有项均保留，本轮新项不参与本轮其余插入。全部操作结束后，求项 数及所有式子的总和。此时整串式子是否恢复成初始排列？说明理由。 第39页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 3.把a、b、c按图示箭头方向围成一圈，每个式子都有一个紧接在它后面的式子，c后面紧接的是 a。 每轮在每对相邻式子之间，同时插入“前一个式子减去后一个式子”所得的差，原有项保留。下一轮按 插入后的圆周次序操作；本轮新项不参与本轮其余插入。 求第n轮后的项数与所有式子的总和，其中n为正整数。如果初始三个式子都加上d后再按同样规 则操作，第n轮后的总和又是多少？ a c b 第40页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 4.初始排列为Q、b、c。每轮在每对相邻式子之间，同时插入“左边的式子减去右边的式子， 再加1”所得的式子，原有项保留；本轮新增式子不参与本轮其余插入。 分别表示第n轮后的项数与总和，其中n为正整数。若首项与末项相同，即a=c,各轮总和是否都 等于初始总和？说明理由。 5.初始从左到右排列四个有理数a、b、c、d,满足a+b+c+d=10,a+d=4。每轮在每对相邻数 之间，同时插入这两个数的和，原有数保留；本轮新数不参与本轮其余插入。 (1)求第一轮及第二轮操作后的所有数的总和。 (2)若删去a+d=4这一条件，仅保留初始总和为10，第二轮后的总和还能唯一确定吗？说明理 由。 第41页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 题型八新定义关系与整体列式 知识要点 遇到新的检验规则，先辨清哪些数或式子参加比较，以及要求对一个取值成立，还是对所有允许的取值都成 立。一个例子成立，不能替代一般说明；一个反例就能否定“总是成立”。 根据定义得到等量关系后，可以整体代入、相加或相减。目标能确定，不代表每个字母都能单独确定；代入整 个代数式时要加括号。 例题 在左、中、右三张卡片上分别填写一个数或一个代数式。检验规则是：左卡与右卡所填内容的和， 等于中卡所填内容的2倍。 (1)依次填写X-2、x+1、x+4,是否对任意有理数x都能通过检验？ (2)依次填写的a、b、c已通过检验，且b=6。求3a-2b+3c的值。 (3)在一组已经通过检验的卡片中，左卡加4，中卡加2，右卡不变。修改后是否一定仍能通过检 验？ 解析(1)左卡与右卡之和为(x-2)+(x+4)=2x+2,中卡的2倍为2(x+1)=2x+2。两个式子相 同，不受X的取值影响，所以对任意有理数x都能通过检验。 (2)通过检验就意味着a+c=2b。目标式为3a-2b+3c=3(a+c)-2b, 其中需要的正是整体a+c,不必分别求a、c。代入可得3×2b-2b=4b=24。 (3)修改后，左卡与右卡之和为(a+4)+c=a+c+4=2b+4,中卡的2倍为2(b+2)=2b+4。两 边仍相等，所以一定能通过检验。这里利用了原来已有的关系a+c=2b,而不是只检查某一组数。 第42页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 练习 1.三张卡片从左到右所填的有理数为a、b、℃，已经满足“左卡加右卡等于中卡的2倍”这一检验规 则。现分别按表中的三种方案重新填写。 哪些方案对任意符合原规则的a、b、℃都一定通过检验？逐一说明理由；对不能保证的方案，给出 一组符合原规则的数作为反例。 方案 左卡 中卡 右卡 甲 a-b 0 c-b 乙 2a 2b 2c 丙 a+b b+c c+a 第43页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 2.一张卡片的上、下两格各写一个含x的代数式。如果对任意有理数x, 上格减下格的结果为5，这张卡片就符合要求。甲、乙两张卡片如表所示。 小明只检查了x=0,发现两张卡片的差都为5，就说两张卡片都符合要求。你同意吗？请分别作出 判断并说明理由。 如果把甲卡两格中出现的每一个x都换成x+1,修改后的甲卡是否仍符合要求？说明理由。 卡片 上格 下格 甲 x2-2x+7 x-2x+2 乙 x+x+5 x-x 第44页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 3.对一个含a、b的代数式，把其中所有的a换成b,同时把所有的b换成a。如果结果与原式对 任意有理数a、b都相等，就说这个式子在交换后不变。 现要求把a2、b、ab、1这四项各用一次，用加号或减号连接，且a前固定为正号。请写出所有在 交换后不变的式子。 第45页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 4.在表中填写有理数，要求每一行三个数的和、每一列三个数的和全部相等。已填写的五个数如表 所示，另外四格依次用a、b、c、d表示。 (1)求a+b+c+d与a-d的值。 (2)仅凭这些条件，α的值能唯一确定吗？若能，给出其值；若不能，给出两种符合全部规则的填 写结果。 位置 第1列 第2列 第3列 第1行 ◇ 4 b 第2行 3 5 10 第3行 9 第46页共47页 代数式列式与规律探究培优专题学生版 5.每张卡片有上、下两格。检验规则是：上格所填数的2倍加上下格所填数，结果等于6。两张已 经通过检验的卡片，上、下两格分别是a、b和c、d。 把这两张卡片中的数按表中三种方案组成新卡片。判断哪些方案一定通过检验，并说明理由。 对丙方案的新卡片，只允许给上格加一个数，下格不变。应从1、2、3中选择哪个数，才能保证修 改后通过检验？说明理由。 方案 上格 下格 甲 a+c b+d-6 a+c b+d 乙 2 2 丙 a-c b-d 第47页共47页代数式列式与规律探究培优专题 教师详解版 代数式列式与规律探究培优专题 2026—2027学年第一学期 苏科版七年级数学上册 教师详解版 本专题以代数式的列式、整式加减为基础，重点练习数量关系的表示、图形计数和规律解释。列式时要明确字母表示的量，并注意取值范围和单位。 目录导航 题型一 数位表示与整除规律 2 题型二 分段计费与跨期列式 5 题型三 优惠方案与组合购买 10 题型四 拼摆图形的周长列式 14 题型五 面积变化与割补列式 20 题型六 图形规律与分类计数 25 题型七 插入运算与总和规律 31 题型八 新定义关系与整体列式 34 题型一 数位表示与整除规律 知识要点 数位变化要按新的位值列式。三位数的百位、十位、个位数字为、、时，这个数是，不是三个字母的乘积。首位数字是至的整数，其他数位数字是至的整数。 要说明“总能整除”，应说明结果为什么一定是某个整数的整数倍；只验几个数不够。要否定“总能整除”，给出一个符合全部条件的反例即可。和负的整数倍也属于倍数。 例题 一个三位数的百位、十位、个位数字依次为、、，三个数字都不为。把百位数字移到个位，其他数字依次左移，得到另一个三位数。 （1）原数减去新数的差一定能被整除吗？说明理由。 （2）这个差一定能被整除吗？说明理由。 解析 先把数位操作写准确。原数是；移动后，在百位、在十位、在个位，新数是。三个数字都不为，保证两次写出的都是三位数。 比较两个数，必须作整体相减：。这样写是为了把“能否被整除”转化为“是否为的整数倍”。 是整数，因此差一定能被整除，差为负数或也不影响这个结论。 不能把移位误认为首尾交换。取原数，新数为，差为，它不是的整数倍。因此第（2）问的结论不成立。 练习 1．、是两个两位正整数，且。把的两个数字写在前面、的两个数字写在后面，组成一个四位数；再交换这两组数字，组成另一个四位数。 （1）用含、的式子表示前一个四位数减去后一个四位数的差，并说明它为什么同时能被和整除。 （2）这个差的最小值、最大值分别是多少？各举一组符合条件的、。 答案 （1）；（2）最小值，如、；最大值，此时、。 解析 前一个数是，后一个数是，两数之差为。 因为，且是正整数，所以这个差同时是和的整数倍。 两位数满足，故最小为，最大为。相应的差最小为，最大为。 、时，；、时，。这也检查了两组数字的首位均不为。 2．从各位数字之和等于的三位数中任取两个不同的数。判断下列说法是否正确，并说明理由。 ①这两个数都能被整除。 ②这两个数都能被整除。 ③这两个数的差一定能被整除。 ④这两个数的差一定能被整除。 答案 ①正确，②错误，③正确，④错误。 解析 对其中任意一个数，设百位、十位、个位数字为、、，则。这个数为。 与都是的倍数，所以①正确。不是的倍数，因此的整数倍加不是的倍数，②错误。 两个数都等于“的整数倍加”。相减时两个抵消，剩下两个的整数倍之差，所以③正确。 与的各位数字之和都是，但不能被整除，所以④错误。 3．小明说：“判断一个四位数能否被整除，只看末两位组成的数就够了；判断能否被整除，也只看末两位就够了。”这里末两位若是，就按数计算。 （1）分别判断小明的两句话是否正确，并说明理由。 （2）对四位数而言，判断能否被整除，改为只看末三位组成的数是否足够？说明理由。 答案 （1）关于的说法正确；关于的说法错误，如与。 （2）足够。 解析 设四位数的前两位组成两位数，末两位组成的数为，其中，。四位数为，而，故原数与相差的整数倍，两者能否被整除的判断一致。 能被整除，不能被整除，它们的末两位却都是。因此末两位信息不足，第二句话错误。 另设千位数字为，末三位组成的数为，则原数为。因为，原数与相差的整数倍，所以能否被整除的判断一致。末三位有前导时，按其数值计算即可。 4．对一个三位数作如下操作：百位数字减少，个位数字增加，十位数字不变；只有操作后仍为三位数，且每一位仍是一个数字时，才允许这次操作。 （1）设原数的百位、十位、个位数字分别为、、。写出允许一次操作时、的范围，并说明每操作一次，原数减去新数的差是多少。 （2）从开始，连续进行上述操作，最多能操作几次？最后得到什么数？说明不能再操作的原因。 （3）各位数字之和同为的三位数，是否都能由经过若干次上述操作得到？说明理由。 答案 （1），，且均为整数；差为。 （2）最多次，得到。 （3）不是，如不能得到。 解析 百位减后不能为，所以至少为；个位加后不能超过，所以至多为。十位可为至的任意整数。 新数为，原数减去新数为。每次数字之和减少又增加，因而不变。 从操作次后，百位由变为，个位由变为，十位仍为，得到。这次都合法；再操作会使百位成为，不再是三位数，所以最多次。 的数字之和是，与相同，但其十位数字为。操作始终不改变十位数字， 故不能得到。数字和不变只是必要的限制，不能保证一定能得到。 5．阅读规则：一个至少两位的正整数，删去个位数字，把留下的数减去所删数字的倍；如果所得结果是的整数倍，那么原数能被整除。结果可以为或负数。 （1）用这个规则判断和是否能被整除，并写出依据。 （2）设留下的数为，所删的个位数字为。说明这条规则为什么成立。 （3）若把规则中的“减去”改为“加上”，所得结果为的整数倍时，原数也一定能被整除吗？给出理由。 答案 （1）两个数都能被整除。 （2）原数。 （3）不一定，如。 解析 得到，它是的整数倍，所以能被整除。得到，因此也能被整除。出现负结果并不使规则失效。 原数为，其中为正整数，为至的整数。把它写为，可核对去括号后仍为。 如果是的整数倍，则也是的整数倍；同样是的整数倍。两者之和即原数，因此规则成立。这里证明的是题目给出的这一方向，不需要额外知识。 取，按错误规则得到，但不能被整除，所以改为“加上”后的说法不成立。 6．有一类数从左向右读与从右向左读相同，例如、。 （1）四位数的四个数字从左到右为、、、，其中为至的整数，为至的整数。说明这样的数都能被整除。 （2）六位数的六个数字从左到右为、、、、、，数字范围符合通常规定。这样的数也都能被整除吗？说明理由。 （3）仅凭前两问，能否断言所有从左向右读与从右向左读相同的数都能被整除？说明理由。 答案 （1）能；（2）能；（3）不能，如。 解析 四位数为。括号内为整数，所以能被整除。 六位数为。 因为，，，所以六位数等于，也能被整除。 前两问只讨论特定的偶数位数。正读倒读相同，但，不能被整除，所以不能推广为所有位数。 题型二 分段计费与跨期列式 知识要点 分段计费应区分“全部数量按优惠价”与“只有超过部分按新单价”。后一种规则中，前面各段的费用仍要保留。以下收费均为题设规则，不代表实际地区或平台价格。 跨两个月、两次订单时，总量条件只能确定数量之间的关系，不能把两次费用擅自合并。一个数量用表示后，另一个数量也随之变化；分界点要同时检查两次的档位，等号端点不能漏掉。 例题 一项场地服务按月分别计费，两个月采用的题设规则如下。两个月共使用小时，第一个月使用小时，且。使用时间可含小数，没有其他费用。 （1）用含的代数式表示两个月的总费用，写明各式适用的范围。 （2）总使用时间不变，总费用是否一定不变？比较、和时的总费用。 月份 低档部分 超过部分 第一个月 不超过小时的部分，每小时元 超过小时的部分，每小时元 第二个月 不超过小时的部分，每小时元 超过小时的部分，每小时元 解析 第二个月使用小时。第一个月的分界是；第二个月恰用小时，对应第一个月用小时，因此另一个分界是。两个月的档位都要检查，不能只看第一个月。 当时，第一个月未超过小时，第二个月至少用小时，超过小时。总费用为元。保留，是因为第二个月的前小时仍按低档计费。 当时，第一个月超过小时，第二个月不少于小时。总费用为元。时，第二个月的超出部分为，本式仍成立。 当时，第二个月少于小时。总费用为元。 检查交界：时前两种计算都得到元；时后两种计算都得到元。上面的范围覆盖 至，没有遗漏，也没有重复规定不同答案。 、、时，总费用分别为、、元。总时长相同，但分配到不同月份及不同档位的时长不同，所以总费用不一定相同。 练习 1．某打印服务按下表收费。方案一打印页，编辑用时分钟；方案二比方案一多打印页，但编辑用时少分钟。其中为整数，，，编辑时间按实际分钟数计。 用含、的式子分别表示两种方案的费用，并判断在给定范围内哪种方案始终更便宜，说明理由。 项目 收费规则 纸张费 每打印页收元 编辑费 每分钟元 加页费 超过页的部分，每页另加元；不超过页不收此项费用 答案 方案一：时为元；时为元。 方案二：时为元；时为元。方案二始终更便宜。 解析 纸张费与编辑费都要计入。方案一在时没有加页费，费用为；在时另加，费用为。 方案二的页数为，编辑时间为。当时，页数不超过，费用为。 当时，方案二另有加页费，总费用为。 比较“方案二费用减方案一费用”：时为元；时为元，它至多为元；时为元。 三个范围已覆盖所有允许的整数页数，费用差都小于，故方案二始终更便宜。 2．甲、乙两种复印计价规则如下。复印页数为正整数，两种规则都没有其他费用。 （1）分别写出两种规则的费用式及适用范围，并比较时两种规则的费用相差多少。 （2）一份说明书把甲规则写成：“时费用为元；时费用为元”，并声称从页增加到页，甲规则费用也一定增加。指出说明书的问题，并写出这两次的实际费用。 规则 计价说明 甲 少于页，全部每页元；达到页，全部每页元 乙 前页每页元；超过页的部分每页元 答案 （1）甲：时元，时元；乙：时元，时元。时，乙比甲多元。 （2）漏了；甲规则页收费元，页收费元，费用反而减少元。 解析 甲规则达到页后，全部页数都按每页元计费，故费用为。页已经达到优惠条件，必须列入这一档。 乙规则只有超出页的部分优惠，前页仍收费元。超过时总费用为元。 当时，乙比甲多元；当时，两者分别为元与元，仍相差元。 说明书两条范围都不含，因此漏掉端点。按实际甲规则，页付元，页付元，不能把“页数增加”直接当作“费用必增”。 3．某训练室按月计费：每月前小时每小时元，超过小时的部分每小时元；未使用时不收费，没有其他费用。两个月共使用小时，第一个月使用小时，，使用时间可含小数。 （1）用含的式子表示两个月的总费用，写明适用范围。 （2）在总时长不变的条件下，最低总费用是多少？第一个月的时长在什么范围内时都能达到最低费用？说明理由。 答案 （1）时为元；时为元；时为元。 （2）最低元，所有均可达到。 解析 第二个月使用小时。第一个月的档位在小时处分开；第一个月用小时，第二个月恰用小时，这是另一个分界。 时，总费用为元。 时，两个月各有前小时低价部分，总费用为元。 时，总费用为元。 第一段中，；第三段中，；中间一段恒为。再计入这一端点，全部最低费用对应。 在这个范围内，两个月都用满各自的小时低价额度，合计小时低价、小时高价，因而总费用不随具体分配改变。 4．某商店每次购物按下表独立结算，不合并两次购物的标价金额。两次购物的标价金额合计元，第一次为元，且，金额按实际数值计算。 （1）用含的式子表示两次购物的总付款，写明各段范围。 （2）比较与时两次购物的总付款。这一变化能否只按第一次增加的元来判断？说明理由。 单次标价金额 付款规则 少于元 不优惠 不少于元且不超过元 全部按九折付款 超过元 元部分按九折，超过部分按八折 答案 （1）时为元；时为元；时为元；时为元。 （2）分别为元、元，总付款减少元；不能只看增加的元。 解析 第二次的标价金额为元，随从增至，它从降至。第一次的分界为、；第二次从超出元变为不超过元，对应。第二次始终不少于元，不会进入无优惠档。 超过元的订单，前元付款元，其余部分按八折。合起来等于标价金额的倍再加元。 时，总付款为元。 时，总付款为元。时第二次恰为元，上式仍成立。 时，两次都处于整单九折范围，总付款为元。 时，总付款为元。四段合起来覆盖题设范围，、、均有明确归属。 时付元；时付元。第一次刚达到整单九折条件，优惠并非只作用于增加的元；第二次标价金额还同时减少元，所以须比较两次总付款。 5．某学习室的月费固定为元，包含当月小时；超出可用小时数的部分每小时另收元。只有第一个月未用完的包含小时可以转入第二个月，最多转入小时；未转入的部分作废。转入的小时在第二个月不再收费，不能继续转到以后。 连续两个月都需缴月费，两个月共使用小时。第一个月使用小时，，第二个月用完剩余时长。使用时间可含小数，没有其他费用。 （1）用含的式子表示实际转入第二个月的小时数及两个月总费用，写明范围。 （2）若一律把第一个月未用完的小时全部转入，就会得到“两个月总费用始终为元”。这句话在题设规则下是否成立？说明理由。 答案 （1）时转入小时，总费用元；时转入小时，总费用元。 （2）并非始终成立；仅当时成立。 解析 第一个月未用完小时。时至少剩小时，但规则只准转入小时；时不足小时，才可全部转入小时。 时，第二个月可用小时，实际用小时，超出小时。这个范围内，所以确实都有超额费用。两个月总费用为元。 时，第二个月可用小时，实际用小时，恰好超出小时，总费用为元。 在处，第一段也给出元；当时，总费用为元。因此“始终为元”忽略了最多转入小时的限制。例如时，实际总费用为元。 题型三 优惠方案与组合购买 知识要点 比较优惠前，要明确需要的商品数量、赠品能否抵入需求、是否允许分别购买，以及每种优惠的次数或数量限制。购买件数、套数等都是整数，未使用的赠品不能擅自折算成现金。 只比较两种整单方案，只能得出这两种方案中哪个便宜。若允许组合购买并要求最省，还要说明其他合法分配为什么不会更便宜；可按数量分情况，也可比较多换一件或一组的费用变化。 例题 社团需要恰好套画笔和本练习本，甲、乙两店出售相同商品，规则如下。可以在两店分别购买，所有赠品都能计入需求；不多买商品，不转卖，不计算其他费用。甲店本次赠送练习本合计最多本，拆单不能增加这个上限。 求最低总费用，并说明购买方法为什么最省。 店铺 画笔价格 练习本价格 赠送规则 甲 每套元 每本元 每买套画笔送本，合计最多本 乙 每套元 每本元 不赠送 解析 单独付费购买练习本时，乙店每本元，比甲店每本元便宜，且不影响画笔赠品。因此任何最省方案中，需要付费的练习本都在乙店购买。这样先排除了没有必要的高价购买。 设在甲店购买套画笔，则在乙店购买套，是至的整数。只要分清赠品是否达到上限，就已包括所有可能的画笔分配。 当时，赠送本，还需付费购买本。总费用为元。每多在甲店买套，费用减少元，所以这一段在时最少，为元。 当时，只赠送本，还需付费购买本。总费用为元。它比时的元多元，因此不能更省。 所以最低费用为元。购买方法是：甲店买套画笔，获赠本；乙店买套画笔和本练习本。所得恰为套画笔和本练习本。证明覆盖了至全部整数分配，而不只是比较“全在甲店”与“全在乙店”。 练习 1．某店画板每块标价元，颜料每盒标价元。本次购买只下一张订单，不允许拆单。整张订单只能选择下列一种优惠，不能混用：甲方案为每买块画板送盒颜料，其余商品按标价；乙方案为全部商品九折，不赠送。 需恰好购得块画板和盒颜料，其中为不小于的整数，赠品计入需求，不多买商品。 （1）分别用含的式子表示两种方案的付款。 （2）当时，小明列式，称这是最便宜的合法付款。判断他的说法，并给出题设允许的较便宜方案及付款。 答案 （1）甲为元，乙为元。 （2）小明混用了两种优惠，不合法。甲付元，乙付元，选择甲。 解析 甲方案赠送盒颜料，还需付费购买盒，费用为元。 乙方案不赠送，所有块画板及盒颜料都要付九折价，费用为元。 小明既从颜料需求中扣掉盒赠品，又给画板和其余颜料全部打九折，相当于同一订单同时用了两种优惠，题设不允许。算出的数再小，也不是合法方案。 时，甲为元；乙为元。整单只能二选一，因此甲是允许方案中较便宜的，省元。 2．甲店球拍每副元，每买副赠送盒球；另买球每盒元。乙店球拍每副元，球每盒元，不赠送。学校需要恰好副球拍和盒球，为不小于的整数。允许分店购买，赠品计入需求，不多买、不转卖，无其他费用。 小明认为“最省方案只能是副球拍全在甲店购买，剩余球在乙店购买”。他的说法是否正确？求最低费用，并说明所有最省方案中的球拍可以怎样分配。 答案 说法错误。最低费用为元；甲店可买至副中的任意整数副数，其余球拍和需付费的球均在乙店买。 解析 甲店另买球每盒元，乙店每盒元，因此付费球全部在乙店买不会更贵，而且只要把一盒付费球从甲店改到乙店就能省元。 设甲店买副球拍，是至的整数；乙店买副。甲店赠送盒球，需在乙店付费买盒，因，这个数量不会为负。 总费用为元，与无关。这已包括所有球拍分配，且排除了付费球买贵的情形。 每将副球拍从乙店转到甲店，多付元，但正好少付一盒球的元，两个变化抵消。因此所有种整数分配都同样最省，并非只能全在甲店买。 3．甲店笔袋每个元，每在甲店购买满个笔袋送支钢笔；按完整的两件组赠送，剩下的个不赠送，赠品不再参加活动。乙店笔袋每个元，钢笔每支元，不赠送。 需要恰好个笔袋和支钢笔，允许分店购买；钢笔若需付费，只能在乙店购买。赠品可计入需求，不多买商品，无其他费用。求最低费用及购买方法，并说明为什么没有更便宜的方法。 答案 最低元：甲店买个笔袋获赠支钢笔，乙店买个笔袋和支钢笔。 解析 在甲店买的笔袋数只能是至中的整数。若买奇数个，把其中最后一个不产生赠品的笔袋改到乙店购买，赠品数不变，却能省元。因此最省方案不可能在甲店买奇数个。 只需比较甲店买、、、、个的情形。每把个笔袋从乙店转到甲店，多付元，但多得支赠品钢笔，少付元，合计省元。 最多能转入组，即在甲店买个。此时赠送支，未超过所需的支，所以每次节省都真实有效。 总费用为元。奇数分配都可改得更便宜，偶数分配中每多一组都更便宜，故已覆盖所有整数方案。 4．制作同款纪念卡，甲商家每张元，另收一次设计费元；乙商家不收设计费，前张每张元，超过张的部分每张元。只能选择一家制作全部卡片，无其他费用，制作张数为正整数。 （1）分别写出两家总费用式及适用范围。 （2）需要张、张、张时，各应选哪一家？ （3）当时，甲一定不比乙贵吗？当时呢？说明理由。 答案 （1）甲元；乙在时元，在时元。 （2）张选乙，张选甲，张选乙。 （3）时甲不比乙贵，时两家同价；时乙一定更便宜。 解析 甲的设计费只收一次，总费用为元。乙超过张时，前张仍付元，故总费用为元。 张时，甲付元，乙付元，选乙；张时，甲付元，乙付元，选甲；张时，甲付元，乙付元，选乙。 当时，甲比乙多付元。 若，则，甲不比乙贵；时差为。若，则，甲至少贵元，乙更便宜。 这说明固定设计费与超额单价都影响比较，不能只看某一家标出的单张价格，也不能凭一个订单量的结论推广到所有订单量。 5．甲、乙两店出售相同的笔记本。甲店每本元，一次购买的标价金额达到元，可减元；同一顾客本次只能减一次，不按每满元重复减。乙店每本元，不再优惠。 需恰好买本，允许分店购买，每店至多下一张订单；不买其他商品，不退货，无其他费用。求最低总费用，并给出覆盖全部合法分配的理由。 答案 最低元：甲店买本，乙店买本。 解析 设甲店买本，则乙店买本，是至的整数。甲店买不到本时不满减；买本及以上才减元。 当时，总费用为元，至少为元；时达到这一段的最低费用。 当时，总费用为元，至少为元；且每多在甲店买本便多付元。 比较两段最低费用，，所以全体分配中最低为元。甲店买本付款元，乙店买本付款元，合计元。该分配合法，且两段已覆盖所有整数。 6．一种彩笔有以下三种购买方式，允许任意组合，盒装与袋装均不可拆开购买，没有其他优惠。需恰好购得支，不允许多买。 求最低总费用，并写出所有达到最低费用的购买方式，说明没有遗漏。 方式 每份支数 每份价格 盒装 支 元 袋装 支 元 单支 支 元 答案 最低元。方式一：盒、袋，不单买；方式二：盒、不买袋，另单买支。 解析 每盒支，所以盒数只可能为、、、。确定盒数后，剩余数量只用袋装与单支补齐。 买袋支花元，比单买支的元省元。因此在不多买的前提下，固定盒数时应尽可能多买完整的袋；少买一袋而改为单买支必多花元。 买盒时，还需支，最多买袋，另单买支，总费用元。 买盒时，还需支，最多买袋，另单买支，总费用元。 买盒时，还需支，买袋即可，总费用元。 买盒时，还需支，只能单买，总费用元。 四种盒数已经穷尽；每种盒数内也采用了严格最省的袋数。因此最低为元，且只有上述两种购买方式达到。 题型四 拼摆图形的周长列式 知识要点 周长是封闭边界各段长度之和。拼接图形时，先区分外轮廓、内部接缝和孔的边界，再列式；两张纸片沿边相接时，接触段在两张纸片的周长中各计了一次。 本型图中各边均为水平或竖直线段，长度单位均为厘米。没有特别说明时，纸片不重叠，只求拼成图形的外轮廓周长。 例题 两张长为 、宽为 的长方形纸片按图①并排放置，底边齐平。保持左纸片不动，把右纸片向上移动 ，得到图②，其中 ，。 分别用含 、、 的式子表示两个图形的外轮廓周长，并求周长增加了多少。 解析 先把两张纸片分开看，它们的周长和都是 。沿边拼接后，接触段不在外轮廓上，而它在周长和中被计了两次，所以要减去接触长度的两倍。 图①的接触长度为 ，外轮廓周长为 。 图②中，右纸片上移 ，接触长度减少为 ，外轮廓周长为 。 周长增加量为 。纸片的大小没有改变，变化来自接触段缩短后露出的边界。 方法提示 先辨认边界，再数长度；纸片周长和不等于拼成图形的周长。 练习 1．四张边长均为 的正方形纸片分别按图①、图②拼放，相邻纸片沿整条边相接。 （1）分别求两个图形的外轮廓周长。 （2）小明说：“两种摆法都是四张纸片，内部接缝都只有三条，所以周长相等。”他的说法错在哪里？ 答案 图①为 ，图②为 ；图②有四条长为 的内部接缝。 解析 四张正方形的周长和为 。图①有三条长为 的接缝，故周长为 。 图②有四条长为 的接缝，故周长为 ，也可直接由大正方形的边长 得到周长 。 小明只数了纸片张数，没有核对接缝数。形成闭合的两行两列排列后，第四张纸片同时与两张纸片相接，不能仍按每添一张只新增一条接缝计算。 2．两张长为 、宽为 的长方形纸片，都剪去一个水平长为 、竖直长为 的小长方形，其中 ，。图①从右上角剪去；图②从上边中部剪去，缺口左右都留有纸片。阴影表示剩余部分。 分别求两块剩余纸片的周长，并说明两结果相差多少。 答案 图①为 ，图②为 ；图②比图①多 。 解析 原纸片周长为 。图①剪去的原边界长为 ，新增边界长也为 ，故周长不变。 图②剪去的原边界只有上边一段 ，新增缺口边界为 ，故周长为 。 两结果相减得 。缺口的水平长度相同，不表示周长变化相同；是否位于角部会改变原边界被剪去的部分。 3．图①是一块长方形纸框，外框长为 、宽为 ，四边纸条的宽都为 ，其中 ，。现在从上边剪去一条竖直的长方形纸条，使内孔与外部相通，如图②。虚线表示剪去前的边界。剪去的纸条宽为 、高为 ，位于内孔正上方，两侧都留有纸框，且 。 （1）求图①所有露出边缘的总长度，既包括外框，也包括内孔。 （2）求图②所有露出边缘的总长度，并指出它比图①增加或减少了多少。 答案 （1）；（2），变化量为 。 解析 内孔的长为 ，宽为 。图①总边长为 。 剪通时，外框上边和内孔上边各少一段长 的边界，新增两条长 的竖边。因此总长度变为 。 变化量为 ：当 时增加 ；当 时不变；当 时减少 。这些情况都还须满足题设的 。 4．五张完全相同的长方形卡片，长为 、宽为 ，按图放入长为 、宽为 的长方形盒底。两张横放，紧贴左下角上下排列；三张竖放，紧贴右上角左右排列；横放卡片的最上边与竖放卡片的最下边在同一直线上。卡片互不重叠。 已知 ，，，，阴影①、②都是长方形。 （1）用含 、、 的式子表示两块阴影的周长和，并化简。 （2）仅知道盒底长、宽都是 ，能否确定这个周长和？若不能，给出两组满足条件的卡片尺寸说明。 答案 （1）；（2）不能，例如 、 和 、 时，周长和分别为 和 。 解析 由上下拼放关系可得 。阴影①的水平长为 、竖直长为 ；阴影②的水平长为 、竖直长为 。 周长和为 。卡片长 消去了，但短边 没有消去。 当 时，取 、，有 ，周长和为 ；取 、，仍有 ，周长和为 。两组均满足全部正长度和摆放条件，故仅知道盒底长、宽还不够。 5．两张边长分别为 、 的正方形纸片按图重叠，所有边均为水平或竖直方向。小正方形的左下角位于大正方形内部，其右边和上边都伸出大正方形。阴影重叠部分的水平长为 、竖直长为 ，其中 ，，。 （1）求两张纸片合起来所成图形的外轮廓周长。 （2）若 ，，求这个周长。小明把两张纸片的周长和减去“重叠长方形周长的两倍”，他的做法是否正确？说明理由。 答案 （1）；（2）；小明多减了一倍重叠长方形周长。 解析 大正方形原边界中被覆盖的两段共长 ；小正方形原边界中位于大正方形内部的两段也共长 。其他原边界仍是外轮廓。 所以外轮廓周长为 。代入整体关系，得 。 重叠长方形的周长为 ，本题应该从两纸片周长和中减去它的一倍，而不是两倍。与沿一条线段拼接的情形不同，这里的被遮边界正好组成重叠长方形的四条边。 6．三张正方形纸片的边长分别为 、、，其中 。把它们的底边放在同一直线上，相邻纸片左右相接，不留间隙、不重叠。图①从左到右按 、、 排列，图②按 、、 排列。 （1）求两种摆法的外轮廓周长之差，说明哪一种较小。 （2）允许把三张纸片任意调换次序，怎样安排才能使外轮廓周长最小？求这个最小周长，并说明没有遗漏其他排列。 答案 （1）图②比图①多 ；（2）边长为 的纸片不放在中间即可，最小周长为 。 解析 三张纸片的周长和为 。图①两条接触段分别长 、，故周长为 ；图②两条接触段都长 ，故周长为 。图②减图①为 。 只需按中间纸片分类。中间为 时，两条接触段总长为 ；中间为 时，仍为 ；中间为 时，总长为 。由于 ，前两类接触总长较大，外轮廓周长较小。 因此把最小纸片放在一端即可；四种次序为 ，，，。最小周长为 。按中间纸片的三种可能分类，已经覆盖所有排列。 题型五 面积变化与割补列式 知识要点 长方形面积等于长乘宽，正方形面积等于边长的平方。求面积变化时，可以把新增、剪去或重叠的部分分成几个长方形，再相加或相减。 分块要做到不重复、不遗漏。尤其要区分“剩余面积”和“剪去面积”；只知道长、宽的和，有时能确定面积变化，却不能确定原面积。本型长度单位均为厘米，面积单位均为平方厘米。 例题 一个长为 、宽为 的长方形，向右和向上分别扩大 ，得到图示的大长方形，其中 ，。 （1）用含 、 的式子表示新增面积。 （2）若原长方形的周长为 ，但不知道它的长和宽各是多少，能否求出新增面积？ 解析 新增部分可分成互不重叠的三块：上方长为 、宽为 的长方形，右方长为 、宽为 的长方形，以及右上角边长为 的正方形。 三块面积分别为 、、，所以新增面积为 。这里直接计算条块面积，不需要展开两个含字母的括号。 原周长为 ，就是 。因此新增面积为 ，能确定。原面积 则不一定能由周长单独确定。 方法提示 有整体条件时，先看目标式中是否已经出现这个整体，不必先求各条边。 练习 1．从边长为 的正方形纸片中，剪去左边宽为 的竖纸条和下边宽为 的横纸条，两个纸条都贯穿原正方形，且 。图中灰色表示剪去的部分。 （1）小明认为剪去的面积为 。这个式子多算了哪里？写出正确的剪去面积和剩余面积。 （2）当 时，剩余面积是多少？ 答案 剪去面积 ，剩余面积 ； 时剩余面积为 。 解析 两条纸条相交的左下角是长为 、宽为 的长方形，面积为 。用 相加时，这块算了两次，应减去一次。 剪去面积为 。原正方形面积为 ，故剩余面积为 。 当 时，剩余面积为 。也可核对剩余长方形的两边为 和 ，面积为 。 2．长为 、宽为 的长方形有两种扩大方案，其中 。方案甲向右扩大 、向上扩大 ；方案乙向右扩大 、向上扩大 。 （1）分别表示两种方案的新增面积，并比较哪种较大。 （2）若 ，两种新增面积相差多少？ （3）若只知道 ，能否确定方案乙的新增面积？若不能，用两组长、宽说明。 答案 甲为 ，乙为 ，乙比甲多 ；（2）；（3）不能。 解析 方案甲新增的三块面积分别为 、、，共 ；方案乙新增的三块面积分别为 、 、，共 。 乙减甲为 。由于 ，乙的新增面积较大。若 ，两者相差 。 只知 不够。例如 、 时，乙新增 ；、 时，乙新增 。两组均有 且长、宽的和为 ，但结果不同。 3．图①是长为 、宽为 的长方形纸片，其中 ，。沿左边剪下一条宽为 、长为 的纸条，将它旋转后，紧贴剩余纸片的上边左端放置，得到图②，两部分不重叠。 用虚线把图②右上方补成一个长方形。 （1）求右上方空白小长方形的面积。 （2）若 ，图②用虚线补成的大长方形面积比原纸片面积大多少？说明理由。 答案 （1）；（2）大 。 解析 剪后下方纸片的水平长为 ，旋转后纸条的水平长为 、竖直宽为 。所以右上方空白部分的长为 ，宽为 。 空白面积为 。题设 保证这个空白长方形确实存在且长度为正。 纸片只是剪开后移放，且两部分没有重叠，所以图②实有纸片的面积与原纸片相同。补成的大长方形比原纸片多出的，恰好就是空白面积。代入 ，得 。 4．两张长为 、宽为 的长方形纸片，用一条距左边 的竖线分成左右两列，其中 ，，。图中灰色部分都要剪去。 图①剪去左列上方高为 的长方形和右列下方高为 的长方形；图②只把右列被剪去部分的高度改为 ，其余不变。 （1）分别写出两图的剩余面积。 （2）保持 、 不变，使竖线向右移动 ，并保证移动后仍在纸片内部。两图的剩余面积各怎样变化？ 答案 图①为 ，图②为 ；竖线右移 时，图①不变，图②增加 。 解析 图①剪去面积为 ，所以剩余面积为 。 图②剪去面积为 ，所以剩余面积为 。 竖线右移 ，就是把 换成 。图①的结果不含 ，面积不变；图②的结果增加 。从图上看，右移后新增剪去一块 的纸片，同时少剪去一块 的纸片，故剩余面积增加 。 5．在长为 、高为 的长方形底板上摆放三张边长均为 的正方形纸片，其中 。甲紧贴底板左下角，乙紧贴右下角，丙的上边紧贴底板上边，且丙左右两侧与底板的间隙相等。 重叠时，乙盖住甲，丙又盖住甲、乙；图中能看见的甲、乙两部分面积和记为 。 （1）分别用含 的式子表示 与灰色未覆盖面积。 （2）不求 ，用含 的式子表示灰色未覆盖面积；若 ，求灰色面积。 答案 （1），灰色面积 ；（2），当 时为 。 解析 甲、乙的上边都距底板下边 ，且它们相互重叠，合起来覆盖了底板下方高为 的整个长方形，面积为 。丙盖住其中一块长为 、高为 的长方形，面积为 。因此能看见的甲、乙面积和为 。 底板上方高为 的长方形面积为 ，丙在其中覆盖的面积为 。 故灰色未覆盖面积为 。 由 ，把两边的一半写出可得 。因此灰色面积 。当 时，灰色面积为 。整个过程只比较条块面积，不必逐一计算甲、乙互相遮挡了多少。 题型六 图形规律与分类计数 知识要点 图形规律题先看清生成规则，再按点、边、方格的位置分类计数。相加的类别应互不重叠；公共点、公共边和交叉位置不能重复算。 只看前几幅图，不能保证后面的规律唯一。本型每题都给出完整生成规则； 表示图形序号或规定的行、列数，并按题意取正整数。 例题 用同样长的小棒摆正方形。第 个图形由 个小正方形排成一行，每个新正方形与左边的正方形共用一条完整的边，公共边只放一根小棒， 为正整数。 求第 个图形所需小棒的根数，并用两种不同的计数方法说明。 解析 方法一：按摆放顺序计数。第一个正方形需要 根，以后每添一个正方形，都利用已有的一条边，只增加 根。共添了 个，所以需要 根。 方法二：按方向计数。上、下两排各有 根横棒，共 根；竖棒从最左端到最右端共有 根。因此总数为 。 两种方法都覆盖了全部小棒且没有重复。代入 ，分别得到 ，与前三幅图一致；一般结论的依据是拼接规则，而不仅是这三个数。 方法提示 “第一个加以后每次增加”与“按位置分类”可以相互核对。 练习 1．第 个十字点阵由一个中心点和向上、下、左、右伸出的四支点组成。每支除中心点外都有 个点，相邻点间距相同；四支只有中心点重合。每支最外端的点画成空心，其他点画成实心， 为正整数。 （1）第 个点阵有多少个实心点、多少个空心点？ （2）取两个第 个点阵，让左边点阵的最右端空心点与右边点阵的最左端空心点重合，其他点均不重合，如拼接示意图。求拼接后的实心点、空心点和全部点的个数。 答案 （1）实心 个、空心 个；（2）实心 个、空心 个，全部 个。 解析 单个点阵中，中心点是实心点，每支还有 个实心点，故实心点数为 ，空心点数为 。总数为 。 拼接时只重合一个空心点，实心点不重合，所以实心点数为 ，空心点数为 。 全部点数为 ，也可由 核对。这里减去的是一个公共点，不是两端各减一个。 2．用大小相同的正方形瓷砖铺三行图案。第 个图案共有 列；中行从左向右第 列为灰砖，其余全为白砖， 为正整数。 （1）分别表示第 个图案中的灰砖、白砖和全部瓷砖的块数。 （2）现把最左列和最右列的瓷砖全部改为灰砖，其他位置不变。下图给出了 时的改铺结果。重新表示灰砖和白砖的块数，并求灰砖比原来增加的块数是否随 改变。 答案 （1）灰砖 ，白砖 ，总数 ；（2）灰砖 ，白砖 ，灰砖恒增加 块。 解析 中行每隔一列放一块灰砖，共有 块。总数为 ，因此白砖为 块。 原图最左、最右两整列都是白砖，共 块；两列互不重合，即使 也成立。改铺后灰砖为 块，白砖为 块。 灰砖增加数恒为 ，与中间图案重复了多少组无关，因为只改变了两端固定的六个位置。两种颜色的和仍为 。 3．第 个网格由 行、 列边长为 的小正方形组成，所有格线完整保留，其中 是不小于 的整数。只数边在格线上的正方形。 （1）分别求第 个网格中边长为 和边长为 的正方形个数，并求这两类的个数和。 （2）小明据此说：“第 个网格中一共有 个正方形。”这句话是否总成立？把 时各类正方形数清楚，说明理由。 答案 （1）边长1的有 个，边长2的有 个，两类共 个；（2）不总成立， 时共有 个。 解析 边长为 的正方形，可以分成一个 行 列的方阵和额外的一列，共 个。 边长为 的正方形可用左上角的小方格定位：左上角只能在前 行、前 列。把这些位置看成一个 行 列方阵去掉最后一行，共 个。这两类合计 个。 但当 时，网格有3行4列，除了 个边长1的和 个边长2的，还有 个边长3的正方形。因此总数为 ，不是 。小明把“两类的和”误当成“所有大小的总数”。 4．第 个图形是宽为一格的正方形框：外面有 行、 列，保留最外一圈小方格，中间 行、 列为空孔， 为正整数。每个保留小方格的每条边都用一根小棒摆出，公共边只放一根；空孔内部不另放小棒。 （1）求第 个图形的小方格数，以及外边框和内孔边界上小棒的总根数。 （2）求图中全部小棒的根数。小明按“第一格4根，以后每格增加3根”得到 ，这个式子为什么多算了一根？ 答案 （1）小方格 个，内外边界小棒 根；（2）全部小棒 根，最后闭合时只增加2根。 解析 上、下两行各有 格，左、右两边去掉角部后各有 格，所以小方格数为 。 外边框每边有 根，内孔每边有 根，所以边界小棒总数为 。 框内每个小方格都与两个相邻小方格各共用一条边。按小方格数这些接缝时，每条被算两次，因此不同接缝有 条。加上内外边界，全部小棒数为 。 若绕框依次摆格子，最后一格同时接上前一格和最初的一格，共用两条已有边，只增加2根而不是3根。小明没有扣除闭合时这额外利用的一根，所以他的结果多1根。 5．把 行、 列的小正方形排成方阵，其中 是不小于 的整数。先将最外一圈涂灰，再把从左上到右下、从右上到左下的两条斜排小方格涂灰，其余保持白色；重复涂到的方格只算一格。 两条斜排的规则是：每一行中，从左数与行序号相同的一格，以及从右数与行序号相同的一格，都要涂灰。行从上往下编号。 （1）分别数出 时灰格的个数。 （2）当 为偶数、奇数时，分别用含 的式子表示灰格数和白格数，并说明为什么要分这两种情况。 答案 （1）；（2）偶数时灰格 、白格 ； 奇数时灰格 、白格 。 解析 最外一圈可按上、下两行各 格，左、右两列去掉角部后各 格计数，共 格。 每条斜排两端的角格已经在外圈中，内部还各有 格。若 是偶数，两条斜排在方阵中部经过不同小方格，内部没有共同格，新增 格，故灰格为 。 若 是奇数，两条斜排恰好共用正中间的一格，其余内部格不重合，因此新增 格，灰格为 。分偶数、奇数的原因是中心格是否被重复计数。 方阵总数为 。偶数时白格为 ；奇数时白格为 。代入 ，灰格分别为 ，与图吻合。 题型七 插入运算与总和规律 知识要点 一排有几个式子，就按几个位置计数；即使两个位置上的式子相同，也不能把它们算成一项。一排式子中的相邻空隙数比项数少 。 同时插入是指只对本轮开始时的相邻式子操作，新插入的式子要到下一轮才能参与。研究总和时，既要看初始总和，也要看每轮新增式子的总和；两端不变不等于总和不变。 例题 一开始从左到右写着 、、 三个式子。每轮在每对相邻式子之间，同时插入“左边的式子减去右边的式子”所得的差，原有式子的位置次序不变。新插入的式子不参与本轮其余插入。 写出第一轮操作后的整串式子，并分别用含 的式子表示第 轮操作后的项数与所有式子的总和，其中 为正整数。 解析 第一轮分别在 与 之间插入 ，在 与 之间插入 ，得到 、、、、。此时有 项，总和为 。 先数空隙：开始有 个空隙。每个旧空隙插入一项后都分成两个新空隙，所以每轮空隙数加倍。第 轮后有 个空隙，比空隙数多一项，故项数为 。 再看总和：第一轮新增的总和为 。以后无论中间有多少项，相邻差相加时，每个中间项都会出现一次正号和一次负号，互相抵消，仍只剩首项减末项。首项一直是 ， 末项一直是 ，所以每轮新增总和都等于 。 初始总和为 ，经过 轮就增加 个 ，因此第 轮后的总和为 。项数的增长由空隙数决定，总和的变化由首尾差决定，二者不能混用。 练习 1．甲、乙两串式子的初始排列分别为：甲串 、、；乙串 、、、。每轮都在每对相邻式子之间，同时插入左边减右边的差，保留原来的式子；本轮新增式子不参与本轮其余插入。 两串都进行 轮操作，其中 为正整数。分别表示两串的项数与总和，并判断“总和相同的两串，项数也相同”是否正确。 答案 甲串有 项，乙串有 项；两串总和均为 。所给判断不正确。 解析 甲串初始有 个空隙，乙串初始有 个空隙。每轮每个空隙都分成两个，因此第 轮后的项数分别为 和 。 乙串初始总和为 ，与甲串相同。两串每轮的新增差相加，都只剩首项 减末项 ，所以每轮总和都增加 。 两串第 轮后的总和均为 ，但乙串始终比甲串多 项。这就说明，总和相同不能推出项数相同。 2．初始排列为 、、。先连续进行 轮操作，每轮在每对相邻式子之间插入左边减右边的差；随后再连续进行 轮操作，每轮改为插入右边减左边的差。其中 为正整数。 每轮的全部插入同时完成，原有项均保留，本轮新项不参与本轮其余插入。全部操作结束后，求项数及所有式子的总和。此时整串式子是否恢复成初始排列？说明理由。 答案 最终有 项，总和为 ；整串式子没有恢复成初始排列。 解析 一共进行了 轮，每轮空隙数加倍。初始有 个空隙，所以最后有 项。 前 轮中，每轮新增总和为 ，总共增加 。后 轮改变了相减方向，每轮新增总和为 ，总共增加 。 最终总和为 。但是 为正整数，最后的项数大于初始的 项，所以只是总和恢复，整串排列并未恢复；即使有些项等于零，它们所在的位置仍然算项。 3．把 、、 按图示箭头方向围成一圈，每个式子都有一个紧接在它后面的式子， 后面紧接的是 。 每轮在每对相邻式子之间，同时插入“前一个式子减去后一个式子”所得的差，原有项保留。下一轮按插入后的圆周次序操作；本轮新项不参与本轮其余插入。 求第 轮后的项数与所有式子的总和，其中 为正整数。如果初始三个式子都加上 后再按同样规则操作，第 轮后的总和又是多少？ 答案 第 轮后有 项，总和为 ；初始三个式子都加上 时，总和为 。 解析 围成一圈后，每一项后面都有一个空隙，空隙数与项数相同。每轮在每个空隙中插入一项，项数加倍，所以第 轮后有 项。 第一轮新增总和为 。此后每轮的新增差相加，每个旧项都出现一次正号和一次负号，全部抵消，因此每轮新增总和仍为 ，最后总和为 。 若初始三项改为 、、，同样的抵消仍成立。新的初始总和为 ，各轮总和都保持这个值。 4．初始排列为 、、。每轮在每对相邻式子之间，同时插入“左边的式子减去右边的式子， 再加 ”所得的式子，原有项保留；本轮新增式子不参与本轮其余插入。 分别表示第 轮后的项数与总和，其中 为正整数。若首项与末项相同，即 ，各轮总和是否都等于初始总和？说明理由。 答案 项数为 ，总和为 。即使 ，总和也不保持初始值。 解析 每个空隙每轮仍只插入一项，故第 轮后的项数为 。从初始的 项增加到这个项数，共插入了 项。 在任意一轮，把所有新项中“左边减右边”的部分相加，中间项仍相互抵消，只剩 。这部分经过 轮共使总和增加 。 此外，每插入一个新项还额外加了一个 。全部操作共插入 项，这部分使总和增加 。因此最终总和为 。 当 时，首尾差部分为 ，但总和仍比初始值多 。因为 为正整数，这个增加量大于 ，所以总和并不保持初始值。 5．初始从左到右排列四个有理数 、、、，满足 ，。每轮在每对相邻数之间，同时插入这两个数的和，原有数保留；本轮新数不参与本轮其余插入。 （1）求第一轮及第二轮操作后的所有数的总和。 （2）若删去 这一条件，仅保留初始总和为 ，第二轮后的总和还能唯一确定吗？说明理由。 答案 （1）第一轮总和为 ，第二轮总和为 。（2）不能唯一确定。 解析 任意一轮中，每个中间项都参加左右两个相邻和，首项与末项各只参加一个相邻和。因此，新增总和等于原总和的 倍再减去首末两项之和。加上原来保留的各项后，新总和等于原总和的 倍再减去首末两项之和。 首末两项一直为 、，其和一直为 。故第一轮总和为 ， 第二轮总和为 。 删去首末之和条件后，不能确定第二轮总和。例如初始排列 、、、 的总和为 ，首末之和为 ，第二轮总和为 ；初始排列 、、、 的总和同样为 ，但首末之和为 ， 第一轮总和为 ，第二轮总和为 。 两种合法初始排列得到不同结果，所以仅知道初始总和还不够。 题型八 新定义关系与整体列式 知识要点 遇到新的检验规则，先辨清哪些数或式子参加比较，以及要求对一个取值成立，还是对所有允许的取值都成立。一个例子成立，不能替代一般说明；一个反例就能否定“总是成立”。 根据定义得到等量关系后，可以整体代入、相加或相减。目标能确定，不代表每个字母都能单独确定；代入整个代数式时要加括号。 例题 在左、中、右三张卡片上分别填写一个数或一个代数式。检验规则是：左卡与右卡所填内容的和，等于中卡所填内容的 倍。 （1）依次填写 、、，是否对任意有理数 都能通过检验？ （2）依次填写的 、、 已通过检验，且 。求 的值。 （3）在一组已经通过检验的卡片中，左卡加 ，中卡加 ，右卡不变。修改后是否一定仍能通过检验？ 解析 （1）左卡与右卡之和为 ，中卡的 倍为 。两个式子相同，不受 的取值影响，所以对任意有理数 都能通过检验。 （2）通过检验就意味着 。目标式为 ， 其中需要的正是整体 ，不必分别求 、。代入可得 。 （3）修改后，左卡与右卡之和为 ，中卡的 倍为 。两边仍相等，所以一定能通过检验。这里利用了原来已有的关系 ，而不是只检查某一组数。 练习 1．三张卡片从左到右所填的有理数为 、、，已经满足“左卡加右卡等于中卡的 倍”这一检验规则。现分别按表中的三种方案重新填写。 哪些方案对任意符合原规则的 、、 都一定通过检验？逐一说明理由；对不能保证的方案，给出一组符合原规则的数作为反例。 方案 左卡 中卡 右卡 甲 乙 丙 答案 甲、乙方案一定通过检验；丙方案不能保证。丙的一个反例是原数依次为 、、。 解析 原条件为 。甲方案的左卡与右卡之和为 ，中卡的 倍也为 ，所以甲一定通过。 乙方案的左卡与右卡之和为 ，中卡的 倍为 ，所以乙一定通过。 丙方案不一定通过。取 、、，原来有 ，符合规则。 丙方案重新填写后为 、、，左、右之和为 ，中卡的 倍为 ，两者不相等。这个反例就足以否定“一定通过”。 2．一张卡片的上、下两格各写一个含 的代数式。如果对任意有理数 ， 上格减下格的结果都为 ，这张卡片就符合要求。甲、乙两张卡片如表所示。 小明只检查了 ，发现两张卡片的差都为 ，就说两张卡片都符合要求。你同意吗？请分别作出判断并说明理由。 如果把甲卡两格中出现的每一个 都换成 ，修改后的甲卡是否仍符合要求？说明理由。 卡片 上格 下格 甲 乙 答案 甲卡符合要求，乙卡不符合要求；把甲卡中的 同时换成 后仍符合要求。 解析 甲卡上格减下格为 ，对任意有理数 都成立，所以甲符合要求。 乙卡上格减下格为 。当 时确实为 ，但取 时为 ，因此不是对任意有理数都为 ，乙不符合要求。 甲卡修改后，两格中原有的相同部分都同时变成 。相减时这一整块仍相互抵消，只剩 ，所以仍符合要求，不需要展开 。 3．对一个含 、 的代数式，把其中所有的 换成 ，同时把所有的 换成 。如果结果与原式对任意有理数 、 都相等，就说这个式子在交换后不变。 现要求把 、、、 这四项各用一次，用加号或减号连接，且 前固定为正号。请写出所有在交换后不变的式子。 答案 共有四个：，，，。 解析 交换 、 后， 与 互换， 变成 ，常数 不变。因此，只要 前也是正号，平方项之和就不变； 与 前不论各选正号还是负号，都不影响交换前后的相等关系。 若 前为负号，则取 、，平方项部分为 ；交换后平方项部分为 。此时 都为 ，常数项也没有变化，所以交换前后不相等。这说明 前不能为负号。 于是 、 前都只能为正号，而 与 前各有正、负两种选择，一共有 种，即答案中的四个式子，没有其他可能。 4．在表中填写有理数，要求每一行三个数的和、每一列三个数的和全部相等。已填写的五个数如表所示，另外四格依次用 、、、 表示。 （1）求 与 的值。 （2）仅凭这些条件， 的值能唯一确定吗？若能，给出其值；若不能，给出两种符合全部规则的填写结果。 位置 第1列 第2列 第3列 第1行 第2行 第3行 答案 （1），。（2） 不能唯一确定，例如 、、、，或 、、、。 解析 第二行的和为 ，所以每一行、每一列的和都为 。 第一行给出 ，第三行给出 ，相加得到 。 第三列给出 。把第一行得到的 与这个关系相减，可得 ，即 ，不需要分别求 、、。 当 、、、 时，三行之和依次为 、、，三列之和也都为 。当 、 、、 时，三行、三列之和仍全部为 。 两种填写都满足全部条件，但 的值不同，所以 不能唯一确定。这不妨碍四格总和与指定差值的唯一确定。 5．每张卡片有上、下两格。检验规则是：上格所填数的 倍加上下格所填数，结果等于 。两张已经通过检验的卡片，上、下两格分别是 、 和 、。 把这两张卡片中的数按表中三种方案组成新卡片。判断哪些方案一定通过检验，并说明理由。 对丙方案的新卡片，只允许给上格加一个数，下格不变。应从 、、 中选择哪个数，才能保证修改后通过检验？说明理由。 方案 上格 下格 甲 乙 丙 答案 甲、乙一定通过检验，丙一定不能通过；给丙的上格加 后能保证通过。 解析 两张原卡片通过检验，说明 ，。 甲卡的检验结果为 ，所以甲一定通过。 乙卡的检验结果为 ，所以乙一定通过。 丙卡的检验结果为 ，并不是 ，所以丙一定不能通过。 给上格分别加 、、，会使检验结果分别增加 、、。丙原来的检验结果为 ，因此只能选择给上格加 ，使检验结果变为 。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $代数式列式与规律探究培优专题 学生版 代数式列式与规律探究培优专题 2026—2027学年第一学期 苏科版七年级数学上册 学生版 本专题以代数式的列式、整式加减为基础，重点练习数量关系的表示、图形计数和规律解释。列式时要明确字母表示的量，并注意取值范围和单位。 目录导航 题型一 数位表示与整除规律 2 题型二 分段计费与跨期列式 8 题型三 优惠方案与组合购买 14 题型四 拼摆图形的周长列式 19 题型五 面积变化与割补列式 26 题型六 图形规律与分类计数 32 题型七 插入运算与总和规律 38 题型八 新定义关系与整体列式 42 题型一 数位表示与整除规律 知识要点 数位变化要按新的位值列式。三位数的百位、十位、个位数字为、、时，这个数是，不是三个字母的乘积。首位数字是至的整数，其他数位数字是至的整数。 要说明“总能整除”，应说明结果为什么一定是某个整数的整数倍；只验几个数不够。要否定“总能整除”，给出一个符合全部条件的反例即可。和负的整数倍也属于倍数。 例题 一个三位数的百位、十位、个位数字依次为、、，三个数字都不为。把百位数字移到个位，其他数字依次左移，得到另一个三位数。 （1）原数减去新数的差一定能被整除吗？说明理由。 （2）这个差一定能被整除吗？说明理由。 解析 先把数位操作写准确。原数是；移动后，在百位、在十位、在个位，新数是。三个数字都不为，保证两次写出的都是三位数。 比较两个数，必须作整体相减：。这样写是为了把“能否被整除”转化为“是否为的整数倍”。 是整数，因此差一定能被整除，差为负数或也不影响这个结论。 不能把移位误认为首尾交换。取原数，新数为，差为，它不是的整数倍。因此第（2）问的结论不成立。 练习 1．、是两个两位正整数，且。把的两个数字写在前面、的两个数字写在后面，组成一个四位数；再交换这两组数字，组成另一个四位数。 （1）用含、的式子表示前一个四位数减去后一个四位数的差，并说明它为什么同时能被和整除。 （2）这个差的最小值、最大值分别是多少？各举一组符合条件的、。                           2．从各位数字之和等于的三位数中任取两个不同的数。判断下列说法是否正确，并说明理由。 ①这两个数都能被整除。 ②这两个数都能被整除。 ③这两个数的差一定能被整除。 ④这两个数的差一定能被整除。                           3．小明说：“判断一个四位数能否被整除，只看末两位组成的数就够了；判断能否被整除，也只看末两位就够了。”这里末两位若是，就按数计算。 （1）分别判断小明的两句话是否正确，并说明理由。 （2）对四位数而言，判断能否被整除，改为只看末三位组成的数是否足够？说明理由。                             4．对一个三位数作如下操作：百位数字减少，个位数字增加，十位数字不变；只有操作后仍为三位数，且每一位仍是一个数字时，才允许这次操作。 （1）设原数的百位、十位、个位数字分别为、、。写出允许一次操作时、的范围，并说明每操作一次，原数减去新数的差是多少。 （2）从开始，连续进行上述操作，最多能操作几次？最后得到什么数？说明不能再操作的原因。 （3）各位数字之和同为的三位数，是否都能由经过若干次上述操作得到？说明理由。                               5．阅读规则：一个至少两位的正整数，删去个位数字，把留下的数减去所删数字的倍；如果所得结果是的整数倍，那么原数能被整除。结果可以为或负数。 （1）用这个规则判断和是否能被整除，并写出依据。 （2）设留下的数为，所删的个位数字为。说明这条规则为什么成立。 （3）若把规则中的“减去”改为“加上”，所得结果为的整数倍时，原数也一定能被整除吗？给出理由。                             6．有一类数从左向右读与从右向左读相同，例如、。 （1）四位数的四个数字从左到右为、、、，其中为至的整数，为至的整数。说明这样的数都能被整除。 （2）六位数的六个数字从左到右为、、、、、，数字范围符合通常规定。这样的数也都能被整除吗？说明理由。 （3）仅凭前两问，能否断言所有从左向右读与从右向左读相同的数都能被整除？说明理由。                           题型二 分段计费与跨期列式 知识要点 分段计费应区分“全部数量按优惠价”与“只有超过部分按新单价”。后一种规则中，前面各段的费用仍要保留。以下收费均为题设规则，不代表实际地区或平台价格。 跨两个月、两次订单时，总量条件只能确定数量之间的关系，不能把两次费用擅自合并。一个数量用表示后，另一个数量也随之变化；分界点要同时检查两次的档位，等号端点不能漏掉。 例题 一项场地服务按月分别计费，两个月采用的题设规则如下。两个月共使用小时，第一个月使用小时，且。使用时间可含小数，没有其他费用。 （1）用含的代数式表示两个月的总费用，写明各式适用的范围。 （2）总使用时间不变，总费用是否一定不变？比较、和时的总费用。 月份 低档部分 超过部分 第一个月 不超过小时的部分，每小时元 超过小时的部分，每小时元 第二个月 不超过小时的部分，每小时元 超过小时的部分，每小时元 解析 第二个月使用小时。第一个月的分界是；第二个月恰用小时，对应第一个月用小时，因此另一个分界是。两个月的档位都要检查，不能只看第一个月。 当时，第一个月未超过小时，第二个月至少用小时，超过小时。总费用为元。保留，是因为第二个月的前小时仍按低档计费。 当时，第一个月超过小时，第二个月不少于小时。总费用为元。时，第二个月的超出部分为，本式仍成立。 当时，第二个月少于小时。总费用为元。 检查交界：时前两种计算都得到元；时后两种计算都得到元。上面的范围覆盖 至，没有遗漏，也没有重复规定不同答案。 、、时，总费用分别为、、元。总时长相同，但分配到不同月份及不同档位的时长不同，所以总费用不一定相同。 练习 1．某打印服务按下表收费。方案一打印页，编辑用时分钟；方案二比方案一多打印页，但编辑用时少分钟。其中为整数，，，编辑时间按实际分钟数计。 用含、的式子分别表示两种方案的费用，并判断在给定范围内哪种方案始终更便宜，说明理由。 项目 收费规则 纸张费 每打印页收元 编辑费 每分钟元 加页费 超过页的部分，每页另加元；不超过页不收此项费用                                   2．甲、乙两种复印计价规则如下。复印页数为正整数，两种规则都没有其他费用。 （1）分别写出两种规则的费用式及适用范围，并比较时两种规则的费用相差多少。 （2）一份说明书把甲规则写成：“时费用为元；时费用为元”，并声称从页增加到页，甲规则费用也一定增加。指出说明书的问题，并写出这两次的实际费用。 规则 计价说明 甲 少于页，全部每页元；达到页，全部每页元 乙 前页每页元；超过页的部分每页元                           3．某训练室按月计费：每月前小时每小时元，超过小时的部分每小时元；未使用时不收费，没有其他费用。两个月共使用小时，第一个月使用小时，，使用时间可含小数。 （1）用含的式子表示两个月的总费用，写明适用范围。 （2）在总时长不变的条件下，最低总费用是多少？第一个月的时长在什么范围内时都能达到最低费用？说明理由。                               4．某商店每次购物按下表独立结算，不合并两次购物的标价金额。两次购物的标价金额合计元，第一次为元，且，金额按实际数值计算。 （1）用含的式子表示两次购物的总付款，写明各段范围。 （2）比较与时两次购物的总付款。这一变化能否只按第一次增加的元来判断？说明理由。 单次标价金额 付款规则 少于元 不优惠 不少于元且不超过元 全部按九折付款 超过元 元部分按九折，超过部分按八折                                     5．某学习室的月费固定为元，包含当月小时；超出可用小时数的部分每小时另收元。只有第一个月未用完的包含小时可以转入第二个月，最多转入小时；未转入的部分作废。转入的小时在第二个月不再收费，不能继续转到以后。 连续两个月都需缴月费，两个月共使用小时。第一个月使用小时，，第二个月用完剩余时长。使用时间可含小数，没有其他费用。 （1）用含的式子表示实际转入第二个月的小时数及两个月总费用，写明范围。 （2）若一律把第一个月未用完的小时全部转入，就会得到“两个月总费用始终为元”。这句话在题设规则下是否成立？说明理由。                               题型三 优惠方案与组合购买 知识要点 比较优惠前，要明确需要的商品数量、赠品能否抵入需求、是否允许分别购买，以及每种优惠的次数或数量限制。购买件数、套数等都是整数，未使用的赠品不能擅自折算成现金。 只比较两种整单方案，只能得出这两种方案中哪个便宜。若允许组合购买并要求最省，还要说明其他合法分配为什么不会更便宜；可按数量分情况，也可比较多换一件或一组的费用变化。 例题 社团需要恰好套画笔和本练习本，甲、乙两店出售相同商品，规则如下。可以在两店分别购买，所有赠品都能计入需求；不多买商品，不转卖，不计算其他费用。甲店本次赠送练习本合计最多本，拆单不能增加这个上限。 求最低总费用，并说明购买方法为什么最省。 店铺 画笔价格 练习本价格 赠送规则 甲 每套元 每本元 每买套画笔送本，合计最多本 乙 每套元 每本元 不赠送 解析 单独付费购买练习本时，乙店每本元，比甲店每本元便宜，且不影响画笔赠品。因此任何最省方案中，需要付费的练习本都在乙店购买。这样先排除了没有必要的高价购买。 设在甲店购买套画笔，则在乙店购买套，是至的整数。只要分清赠品是否达到上限，就已包括所有可能的画笔分配。 当时，赠送本，还需付费购买本。总费用为元。每多在甲店买套，费用减少元，所以这一段在时最少，为元。 当时，只赠送本，还需付费购买本。总费用为元。它比时的元多元，因此不能更省。 所以最低费用为元。购买方法是：甲店买套画笔，获赠本；乙店买套画笔和本练习本。所得恰为套画笔和本练习本。证明覆盖了至全部整数分配，而不只是比较“全在甲店”与“全在乙店”。 练习 1．某店画板每块标价元，颜料每盒标价元。本次购买只下一张订单，不允许拆单。整张订单只能选择下列一种优惠，不能混用：甲方案为每买块画板送盒颜料，其余商品按标价；乙方案为全部商品九折，不赠送。 需恰好购得块画板和盒颜料，其中为不小于的整数，赠品计入需求，不多买商品。 （1）分别用含的式子表示两种方案的付款。 （2）当时，小明列式，称这是最便宜的合法付款。判断他的说法，并给出题设允许的较便宜方案及付款。                         2．甲店球拍每副元，每买副赠送盒球；另买球每盒元。乙店球拍每副元，球每盒元，不赠送。学校需要恰好副球拍和盒球，为不小于的整数。允许分店购买，赠品计入需求，不多买、不转卖，无其他费用。 小明认为“最省方案只能是副球拍全在甲店购买，剩余球在乙店购买”。他的说法是否正确？求最低费用，并说明所有最省方案中的球拍可以怎样分配。                             3．甲店笔袋每个元，每在甲店购买满个笔袋送支钢笔；按完整的两件组赠送，剩下的个不赠送，赠品不再参加活动。乙店笔袋每个元，钢笔每支元，不赠送。 需要恰好个笔袋和支钢笔，允许分店购买；钢笔若需付费，只能在乙店购买。赠品可计入需求，不多买商品，无其他费用。求最低费用及购买方法，并说明为什么没有更便宜的方法。                             4．制作同款纪念卡，甲商家每张元，另收一次设计费元；乙商家不收设计费，前张每张元，超过张的部分每张元。只能选择一家制作全部卡片，无其他费用，制作张数为正整数。 （1）分别写出两家总费用式及适用范围。 （2）需要张、张、张时，各应选哪一家？ （3）当时，甲一定不比乙贵吗？当时呢？说明理由。                               5．甲、乙两店出售相同的笔记本。甲店每本元，一次购买的标价金额达到元，可减元；同一顾客本次只能减一次，不按每满元重复减。乙店每本元，不再优惠。 需恰好买本，允许分店购买，每店至多下一张订单；不买其他商品，不退货，无其他费用。求最低总费用，并给出覆盖全部合法分配的理由。                             6．一种彩笔有以下三种购买方式，允许任意组合，盒装与袋装均不可拆开购买，没有其他优惠。需恰好购得支，不允许多买。 求最低总费用，并写出所有达到最低费用的购买方式，说明没有遗漏。 方式 每份支数 每份价格 盒装 支 元 袋装 支 元 单支 支 元                                   题型四 拼摆图形的周长列式 知识要点 周长是封闭边界各段长度之和。拼接图形时，先区分外轮廓、内部接缝和孔的边界，再列式；两张纸片沿边相接时，接触段在两张纸片的周长中各计了一次。 本型图中各边均为水平或竖直线段，长度单位均为厘米。没有特别说明时，纸片不重叠，只求拼成图形的外轮廓周长。 例题 两张长为 、宽为 的长方形纸片按图①并排放置，底边齐平。保持左纸片不动，把右纸片向上移动 ，得到图②，其中 ，。 分别用含 、、 的式子表示两个图形的外轮廓周长，并求周长增加了多少。 解析 先把两张纸片分开看，它们的周长和都是 。沿边拼接后，接触段不在外轮廓上，而它在周长和中被计了两次，所以要减去接触长度的两倍。 图①的接触长度为 ，外轮廓周长为 。 图②中，右纸片上移 ，接触长度减少为 ，外轮廓周长为 。 周长增加量为 。纸片的大小没有改变，变化来自接触段缩短后露出的边界。 方法提示 先辨认边界，再数长度；纸片周长和不等于拼成图形的周长。 练习 1．四张边长均为 的正方形纸片分别按图①、图②拼放，相邻纸片沿整条边相接。 （1）分别求两个图形的外轮廓周长。 （2）小明说：“两种摆法都是四张纸片，内部接缝都只有三条，所以周长相等。”他的说法错在哪里？                     2．两张长为 、宽为 的长方形纸片，都剪去一个水平长为 、竖直长为 的小长方形，其中 ，。图①从右上角剪去；图②从上边中部剪去，缺口左右都留有纸片。阴影表示剩余部分。 分别求两块剩余纸片的周长，并说明两结果相差多少。                       3．图①是一块长方形纸框，外框长为 、宽为 ，四边纸条的宽都为 ，其中 ，。现在从上边剪去一条竖直的长方形纸条，使内孔与外部相通，如图②。虚线表示剪去前的边界。剪去的纸条宽为 、高为 ，位于内孔正上方，两侧都留有纸框，且 。 （1）求图①所有露出边缘的总长度，既包括外框，也包括内孔。 （2）求图②所有露出边缘的总长度，并指出它比图①增加或减少了多少。                         4．五张完全相同的长方形卡片，长为 、宽为 ，按图放入长为 、宽为 的长方形盒底。两张横放，紧贴左下角上下排列；三张竖放，紧贴右上角左右排列；横放卡片的最上边与竖放卡片的最下边在同一直线上。卡片互不重叠。 已知 ，，，，阴影①、②都是长方形。 （1）用含 、、 的式子表示两块阴影的周长和，并化简。 （2）仅知道盒底长、宽都是 ，能否确定这个周长和？若不能，给出两组满足条件的卡片尺寸说明。                             5．两张边长分别为 、 的正方形纸片按图重叠，所有边均为水平或竖直方向。小正方形的左下角位于大正方形内部，其右边和上边都伸出大正方形。阴影重叠部分的水平长为 、竖直长为 ，其中 ，，。 （1）求两张纸片合起来所成图形的外轮廓周长。 （2）若 ，，求这个周长。小明把两张纸片的周长和减去“重叠长方形周长的两倍”，他的做法是否正确？说明理由。                         6．三张正方形纸片的边长分别为 、、，其中 。把它们的底边放在同一直线上，相邻纸片左右相接，不留间隙、不重叠。图①从左到右按 、、 排列，图②按 、、 排列。 （1）求两种摆法的外轮廓周长之差，说明哪一种较小。 （2）允许把三张纸片任意调换次序，怎样安排才能使外轮廓周长最小？求这个最小周长，并说明没有遗漏其他排列。                           题型五 面积变化与割补列式 知识要点 长方形面积等于长乘宽，正方形面积等于边长的平方。求面积变化时，可以把新增、剪去或重叠的部分分成几个长方形，再相加或相减。 分块要做到不重复、不遗漏。尤其要区分“剩余面积”和“剪去面积”；只知道长、宽的和，有时能确定面积变化，却不能确定原面积。本型长度单位均为厘米，面积单位均为平方厘米。 例题 一个长为 、宽为 的长方形，向右和向上分别扩大 ，得到图示的大长方形，其中 ，。 （1）用含 、 的式子表示新增面积。 （2）若原长方形的周长为 ，但不知道它的长和宽各是多少，能否求出新增面积？ 解析 新增部分可分成互不重叠的三块：上方长为 、宽为 的长方形，右方长为 、宽为 的长方形，以及右上角边长为 的正方形。 三块面积分别为 、、，所以新增面积为 。这里直接计算条块面积，不需要展开两个含字母的括号。 原周长为 ，就是 。因此新增面积为 ，能确定。原面积 则不一定能由周长单独确定。 方法提示 有整体条件时，先看目标式中是否已经出现这个整体，不必先求各条边。 练习 1．从边长为 的正方形纸片中，剪去左边宽为 的竖纸条和下边宽为 的横纸条，两个纸条都贯穿原正方形，且 。图中灰色表示剪去的部分。 （1）小明认为剪去的面积为 。这个式子多算了哪里？写出正确的剪去面积和剩余面积。 （2）当 时，剩余面积是多少？                     2．长为 、宽为 的长方形有两种扩大方案，其中 。方案甲向右扩大 、向上扩大 ；方案乙向右扩大 、向上扩大 。 （1）分别表示两种方案的新增面积，并比较哪种较大。 （2）若 ，两种新增面积相差多少？ （3）若只知道 ，能否确定方案乙的新增面积？若不能，用两组长、宽说明。                           3．图①是长为 、宽为 的长方形纸片，其中 ，。沿左边剪下一条宽为 、长为 的纸条，将它旋转后，紧贴剩余纸片的上边左端放置，得到图②，两部分不重叠。 用虚线把图②右上方补成一个长方形。 （1）求右上方空白小长方形的面积。 （2）若 ，图②用虚线补成的大长方形面积比原纸片面积大多少？说明理由。                         4．两张长为 、宽为 的长方形纸片，用一条距左边 的竖线分成左右两列，其中 ，，。图中灰色部分都要剪去。 图①剪去左列上方高为 的长方形和右列下方高为 的长方形；图②只把右列被剪去部分的高度改为 ，其余不变。 （1）分别写出两图的剩余面积。 （2）保持 、 不变，使竖线向右移动 ，并保证移动后仍在纸片内部。两图的剩余面积各怎样变化？                         5．在长为 、高为 的长方形底板上摆放三张边长均为 的正方形纸片，其中 。甲紧贴底板左下角，乙紧贴右下角，丙的上边紧贴底板上边，且丙左右两侧与底板的间隙相等。 重叠时，乙盖住甲，丙又盖住甲、乙；图中能看见的甲、乙两部分面积和记为 。 （1）分别用含 的式子表示 与灰色未覆盖面积。 （2）不求 ，用含 的式子表示灰色未覆盖面积；若 ，求灰色面积。                           题型六 图形规律与分类计数 知识要点 图形规律题先看清生成规则，再按点、边、方格的位置分类计数。相加的类别应互不重叠；公共点、公共边和交叉位置不能重复算。 只看前几幅图，不能保证后面的规律唯一。本型每题都给出完整生成规则； 表示图形序号或规定的行、列数，并按题意取正整数。 例题 用同样长的小棒摆正方形。第 个图形由 个小正方形排成一行，每个新正方形与左边的正方形共用一条完整的边，公共边只放一根小棒， 为正整数。 求第 个图形所需小棒的根数，并用两种不同的计数方法说明。 解析 方法一：按摆放顺序计数。第一个正方形需要 根，以后每添一个正方形，都利用已有的一条边，只增加 根。共添了 个，所以需要 根。 方法二：按方向计数。上、下两排各有 根横棒，共 根；竖棒从最左端到最右端共有 根。因此总数为 。 两种方法都覆盖了全部小棒且没有重复。代入 ，分别得到 ，与前三幅图一致；一般结论的依据是拼接规则，而不仅是这三个数。 方法提示 “第一个加以后每次增加”与“按位置分类”可以相互核对。 练习 1．第 个十字点阵由一个中心点和向上、下、左、右伸出的四支点组成。每支除中心点外都有 个点，相邻点间距相同；四支只有中心点重合。每支最外端的点画成空心，其他点画成实心， 为正整数。 （1）第 个点阵有多少个实心点、多少个空心点？ （2）取两个第 个点阵，让左边点阵的最右端空心点与右边点阵的最左端空心点重合，其他点均不重合，如拼接示意图。求拼接后的实心点、空心点和全部点的个数。                         2．用大小相同的正方形瓷砖铺三行图案。第 个图案共有 列；中行从左向右第 列为灰砖，其余全为白砖， 为正整数。 （1）分别表示第 个图案中的灰砖、白砖和全部瓷砖的块数。 （2）现把最左列和最右列的瓷砖全部改为灰砖，其他位置不变。下图给出了 时的改铺结果。重新表示灰砖和白砖的块数，并求灰砖比原来增加的块数是否随 改变。                         3．第 个网格由 行、 列边长为 的小正方形组成，所有格线完整保留，其中 是不小于 的整数。只数边在格线上的正方形。 （1）分别求第 个网格中边长为 和边长为 的正方形个数，并求这两类的个数和。 （2）小明据此说：“第 个网格中一共有 个正方形。”这句话是否总成立？把 时各类正方形数清楚，说明理由。                           4．第 个图形是宽为一格的正方形框：外面有 行、 列，保留最外一圈小方格，中间 行、 列为空孔， 为正整数。每个保留小方格的每条边都用一根小棒摆出，公共边只放一根；空孔内部不另放小棒。 （1）求第 个图形的小方格数，以及外边框和内孔边界上小棒的总根数。 （2）求图中全部小棒的根数。小明按“第一格4根，以后每格增加3根”得到 ，这个式子为什么多算了一根？                             5．把 行、 列的小正方形排成方阵，其中 是不小于 的整数。先将最外一圈涂灰，再把从左上到右下、从右上到左下的两条斜排小方格涂灰，其余保持白色；重复涂到的方格只算一格。 两条斜排的规则是：每一行中，从左数与行序号相同的一格，以及从右数与行序号相同的一格，都要涂灰。行从上往下编号。 （1）分别数出 时灰格的个数。 （2）当 为偶数、奇数时，分别用含 的式子表示灰格数和白格数，并说明为什么要分这两种情况。                               题型七 插入运算与总和规律 知识要点 一排有几个式子，就按几个位置计数；即使两个位置上的式子相同，也不能把它们算成一项。一排式子中的相邻空隙数比项数少 。 同时插入是指只对本轮开始时的相邻式子操作，新插入的式子要到下一轮才能参与。研究总和时，既要看初始总和，也要看每轮新增式子的总和；两端不变不等于总和不变。 例题 一开始从左到右写着 、、 三个式子。每轮在每对相邻式子之间，同时插入“左边的式子减去右边的式子”所得的差，原有式子的位置次序不变。新插入的式子不参与本轮其余插入。 写出第一轮操作后的整串式子，并分别用含 的式子表示第 轮操作后的项数与所有式子的总和，其中 为正整数。 解析 第一轮分别在 与 之间插入 ，在 与 之间插入 ，得到 、、、、。此时有 项，总和为 。 先数空隙：开始有 个空隙。每个旧空隙插入一项后都分成两个新空隙，所以每轮空隙数加倍。第 轮后有 个空隙，比空隙数多一项，故项数为 。 再看总和：第一轮新增的总和为 。以后无论中间有多少项，相邻差相加时，每个中间项都会出现一次正号和一次负号，互相抵消，仍只剩首项减末项。首项一直是 ， 末项一直是 ，所以每轮新增总和都等于 。 初始总和为 ，经过 轮就增加 个 ，因此第 轮后的总和为 。项数的增长由空隙数决定，总和的变化由首尾差决定，二者不能混用。 练习 1．甲、乙两串式子的初始排列分别为：甲串 、、；乙串 、、、。每轮都在每对相邻式子之间，同时插入左边减右边的差，保留原来的式子；本轮新增式子不参与本轮其余插入。 两串都进行 轮操作，其中 为正整数。分别表示两串的项数与总和，并判断“总和相同的两串，项数也相同”是否正确。                         2．初始排列为 、、。先连续进行 轮操作，每轮在每对相邻式子之间插入左边减右边的差；随后再连续进行 轮操作，每轮改为插入右边减左边的差。其中 为正整数。 每轮的全部插入同时完成，原有项均保留，本轮新项不参与本轮其余插入。全部操作结束后，求项数及所有式子的总和。此时整串式子是否恢复成初始排列？说明理由。                         3．把 、、 按图示箭头方向围成一圈，每个式子都有一个紧接在它后面的式子， 后面紧接的是 。 每轮在每对相邻式子之间，同时插入“前一个式子减去后一个式子”所得的差，原有项保留。下一轮按插入后的圆周次序操作；本轮新项不参与本轮其余插入。 求第 轮后的项数与所有式子的总和，其中 为正整数。如果初始三个式子都加上 后再按同样规则操作，第 轮后的总和又是多少？                         4．初始排列为 、、。每轮在每对相邻式子之间，同时插入“左边的式子减去右边的式子， 再加 ”所得的式子，原有项保留；本轮新增式子不参与本轮其余插入。 分别表示第 轮后的项数与总和，其中 为正整数。若首项与末项相同，即 ，各轮总和是否都等于初始总和？说明理由。                             5．初始从左到右排列四个有理数 、、、，满足 ，。每轮在每对相邻数之间，同时插入这两个数的和，原有数保留；本轮新数不参与本轮其余插入。 （1）求第一轮及第二轮操作后的所有数的总和。 （2）若删去 这一条件，仅保留初始总和为 ，第二轮后的总和还能唯一确定吗？说明理由。                             题型八 新定义关系与整体列式 知识要点 遇到新的检验规则，先辨清哪些数或式子参加比较，以及要求对一个取值成立，还是对所有允许的取值都成立。一个例子成立，不能替代一般说明；一个反例就能否定“总是成立”。 根据定义得到等量关系后，可以整体代入、相加或相减。目标能确定，不代表每个字母都能单独确定；代入整个代数式时要加括号。 例题 在左、中、右三张卡片上分别填写一个数或一个代数式。检验规则是：左卡与右卡所填内容的和，等于中卡所填内容的 倍。 （1）依次填写 、、，是否对任意有理数 都能通过检验？ （2）依次填写的 、、 已通过检验，且 。求 的值。 （3）在一组已经通过检验的卡片中，左卡加 ，中卡加 ，右卡不变。修改后是否一定仍能通过检验？ 解析 （1）左卡与右卡之和为 ，中卡的 倍为 。两个式子相同，不受 的取值影响，所以对任意有理数 都能通过检验。 （2）通过检验就意味着 。目标式为 ， 其中需要的正是整体 ，不必分别求 、。代入可得 。 （3）修改后，左卡与右卡之和为 ，中卡的 倍为 。两边仍相等，所以一定能通过检验。这里利用了原来已有的关系 ，而不是只检查某一组数。 练习 1．三张卡片从左到右所填的有理数为 、、，已经满足“左卡加右卡等于中卡的 倍”这一检验规则。现分别按表中的三种方案重新填写。 哪些方案对任意符合原规则的 、、 都一定通过检验？逐一说明理由；对不能保证的方案，给出一组符合原规则的数作为反例。 方案 左卡 中卡 右卡 甲 乙 丙                         2．一张卡片的上、下两格各写一个含 的代数式。如果对任意有理数 ， 上格减下格的结果都为 ，这张卡片就符合要求。甲、乙两张卡片如表所示。 小明只检查了 ，发现两张卡片的差都为 ，就说两张卡片都符合要求。你同意吗？请分别作出判断并说明理由。 如果把甲卡两格中出现的每一个 都换成 ，修改后的甲卡是否仍符合要求？说明理由。 卡片 上格 下格 甲 乙                         3．对一个含 、 的代数式，把其中所有的 换成 ，同时把所有的 换成 。如果结果与原式对任意有理数 、 都相等，就说这个式子在交换后不变。 现要求把 、、、 这四项各用一次，用加号或减号连接，且 前固定为正号。请写出所有在交换后不变的式子。                         4．在表中填写有理数，要求每一行三个数的和、每一列三个数的和全部相等。已填写的五个数如表所示，另外四格依次用 、、、 表示。 （1）求 与 的值。 （2）仅凭这些条件， 的值能唯一确定吗？若能，给出其值；若不能，给出两种符合全部规则的填写结果。 位置 第1列 第2列 第3列 第1行 第2行 第3行                             5．每张卡片有上、下两格。检验规则是：上格所填数的 倍加上下格所填数，结果等于 。两张已经通过检验的卡片，上、下两格分别是 、 和 、。 把这两张卡片中的数按表中三种方案组成新卡片。判断哪些方案一定通过检验，并说明理由。 对丙方案的新卡片，只允许给上格加一个数，下格不变。应从 、、 中选择哪个数，才能保证修改后通过检验？说明理由。 方案 上格 下格 甲 乙 丙                             第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $