第4章·一元一次方程·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第4章·一元一次方程·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握一元一次方程及其解的概念，能识别一元一次方程并检验解 · 理解等式的两条性质，能运用性质对等式进行变形 · 熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，正确去分母、去括号、移项、合并同类项 · 会根据实际问题设未知数、找等量关系列方程并求解检验 · 能综合数轴、绝对值、线段角度等知识解决动点与新定义压轴问题 📚 知识梳理 ☆ 1.一元一次方程的有关概念 方程：含有未知数的等式；一元一次方程：只含一个未知数且未知数次数为1的整式方程 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值；解方程：求方程解的过程 判断一元一次方程：化简后只含一个未知数、未知数次数为1、系数不为0 已知解求参数：把解代入原方程，得到关于参数的新方程再求解 概念辨析例题：若x=2是方程3x-a=1的解，求a的值 答案：a=5 解析：把x=2代入得6-a=1，解得a=5 ☆ 2.等式的性质 性质1：等式两边加（或减）同一个数或式，结果仍相等 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，依据是等式性质1 系数化为1：方程两边同除以未知数的系数，依据是等式性质2 概念辨析例题：下列变形正确的是？A.由a=b得a-3=b+3；B.由x=y得=；C.由ac=bc得a=b；D.由=得a=b 答案：D 解析：A两边运算不同；B、C中a或c可能为0；D两边c为分母必不为0，可同乘c得a=b ☆ 3.解一元一次方程的步骤 一般步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，分子要加括号，勿漏乘不含分母的项 去括号：括号前是负号时，括号内各项都要变号 检验：把解代入原方程左右两边，看是否相等 概念辨析例题：解方程：-=1 答案：x=8 解析：去分母乘6：2(2x-1)-3(x+2)=6，去括号4x-2-3x-6=6，合并x-8=6，得x=8 ☆ 4.用一元一次方程解决问题 列方程解应用题步骤：审、设、列、解、验、答 行程问题：路程=速度×时间；相遇路程和、追及路程差 工程问题：把总工作量看作1，工作量=效率×时间 销售计费：利润=售价-进价；分段计费按临界点分段列式 概念辨析例题：甲、乙两地相距300千米，快车从甲出发每小时行60千米，慢车从乙出发每小时行40千米，两车同时相向而行，几小时后相遇？ 答案：3小时 解析：设t小时相遇，(60+40)t=300，解得t=3 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一元一次方程 只含一个未知数且次数为1 分母含未知数不是整式方程 方程的解 使两边相等的未知数的值 代入检验 等式性质1 两边同加同减同一数 移项要变号 等式性质2 两边同乘除同一非零数 除数不能为0 解方程五步 去分母去括号移项合并化1 去分母分子加括号、勿漏乘 行程问题 路程=速度×时间 相向路程和、同向路程差 ⚠️ 核心考点 【考点1】解一元一次方程（合并移项、去括号、去分母）（第1-5题） · 按去分母→去括号→移项→合并→化1顺序求解 · 去分母时分子加括号、不含分母的项也要乘 · 去括号负号各项变号，移项必须变号 1．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）已知m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·上海·期末）已知关于的方程有负整数解，则整数的所有可能的取值的和为________． 3．（24-25七年级上·重庆合川·期末）已知关于x的方程的解是整数，则符合条件的所有整数a的和为_____． 4．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)下列关于x的一元一次方程“和解方程”的是 （填序号）． ①；②；③；④． (2)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． (3)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． 5．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【考点2】已知方程的解求参数与整体代入（第6-9题） · 把已知解代入原方程，转化为参数的方程 · 同解问题：先解不含参数的方程，再代入另一方程 · 整体代入时把重复出现的式子看作整体 6．（23-24七年级下·河南周口·阶段检测）若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 7．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知，则代数式的值为______． 8．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知关于x的一元一次方程的解为非负整数，则符合条件的所有正整数a的值是_____． 9．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知为定值，关于的方程，无论为何值，1总是它的解，则___________，___________ 【考点3】行程问题应用（第10-12题） · 画线段图表示路程、速度、时间关系 · 相遇用路程和，追及用路程差 · 变速、折返问题分段列时间方程 10．（23-24七年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，正方形的边长为6，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始运动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行，若甲的速度是乙速度的2倍，则它们第次相遇是在（    ） A．边上 B．A点 C．边上 D．B点 11．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段检测）A，B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 12．（23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，长方形中，，．点从点出发，沿匀速运动；点从点出发，沿的路径匀速运动．两点同时出发，在点处首次相遇后，点的运动速度每秒提高了，并沿的路径匀速运动；点保持速度不变，继续沿原路径匀速运动．某一时刻两点在长方形某一边上的点处第二次相遇．若点的速度为．在点相遇后、两点沿原来的方向继续前进．又经历了99次相遇后停止运动，此时两点停在长方形边上的________处． 【考点4】销售、计费与其他实际应用（第13-16题） · 利润=售价-进价，利润率=利润÷进价 · 分段计费先找临界点再分段列式 · 方案问题分别列费用表达式再比较 13．（25-26七年级上·浙江金华·期中）李老师有一包糖果，若分给n个学生，则每个学生分x颗；若分给个学生，则每个学生分4颗，还剩2颗，则x的值可能是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 14．（2024七年级·全国·竞赛）张老师出门散步，出门时5点多一点，他发现手表上分针与时针的夹角恰好为，回来时接近6点，他又看了一下手表，发现此时分针与时针再次成角．则张老师此次散步的时间是（    ）． A．40分钟 B．30分钟 C．50分钟 D．非以上答案 15．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）某企业的销售部门在2024年销售业绩非常好，为了表彰销售员工，决定给销售部门的员工发奖金：第一个人分得1万元和剩下奖金的十分之一；第二个人分得2万元和剩下奖金的十分之一，第三个人分得3万元和剩下奖金的十分之一…按照这样的方式一直分下去，奖金恰好分完，最后每一个人所得的奖金一样多，这个企业的销售部门共多少个人？（    ） A．8人 B．10人 C．7人 D．9人 16．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段检测）阅读与思考 下面是小轩同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 多面体欧拉公式 欧拉是著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体，其顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个固定的关系式，被称为多面体欧拉公式． 表格列出上面四个多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（） 多面体编号 顶点数（） 面数（） 棱数（） 任务： (1)表格空白处填_____，顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在的关系式是_____ (2)某个简单的多面体，是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有条棱，共有棱条．若该多面体三角形的个数比八边形的个数的倍少，求该多面体三角形的个数． (3)小轩同学尝试切去正方体一块后（用平面截取），得不到有条棱的多面体．如果能切出有条棱的多面体，最少需切去几块，如果不能切出有条棱的多面体，请说明理由． (4)年诺贝尔奖授予对有重大发现的三位科学家．如图，是由个原子构成的分子，它的结构为简单多面体形状．这个多面体有个顶点，以每个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形．按照结构，数学家构造出顶点数为的多面体，称为“”多面体，探究发现，当“”多面体的面数增多时，“”多面体的六边形面数也会增多，你能解释其中的道理吗？ 【考点5】数字问题与数字规律（第17-20题） · 两位数=十位数字×10+个位数字 · 连续数、日历数用字母表示相邻关系 · 新定义数字问题按规则逐位表示 17．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组： 第1组：2，4 第2组：6，8，10，12 第3组：14，16，18，20，22，24 第4组：26，28，30，32，34，36，38，40 … 现用表示第组从左往右数第个数，则当时，的值等于（   ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报5的人心里想的数是（   ）    A．3 B．5 C．7 D．9 19．（21-22七年级上·江苏南通·阶段检测）将正整数1至1000按一定规律排列如表： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（     ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2030 20．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）设一列数，，， 中任意三个相邻数之和都是，已知，，，那么______． 【考点6】几何问题（线段、角度与角平分线）（第21-25题） · 线段和差：总长=各部分之和，中点等分线段 · 角平分线把角分成两个相等的角 · 钟面角、折叠问题按转动角度列方程 21．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，一个长方形内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片、、铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），如果长方形的周长为，那么正方形纸片的面积为（     ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）定义：如图1，点在射线上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“美点”．如图，已知，动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为 ， ，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“美点”时，最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D． 23．（25-26七年级上·河南许昌·期末）如图，记钟面上刻度为3的点为C，在某天的到之间，当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的平分线时，求出此时对应的时刻为1点____分． 24．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，分别过直线上的点和点作射线、，，，射线从开始绕着点以度/秒的速度顺时针旋转，射线从开始绕着点以度/秒的速度顺时针旋转，在射线旋转一周的过程中，经过______秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 25．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将图中三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数），________． 【考点7】数轴上的动点与线段长度综合（第26-34题） · 动点位置=起点±速度×时间 · 两点距离=右边点表示的数减左边点表示的数 · 相遇、相距问题按距离列绝对值方程 26．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）下列说法中，正确的是（   ） ①若，则 ②若，则是正数 ③如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中恰有一个数为0 ④、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则 ⑤的最小值为2015 A．①③④ B．② C．②④ D．③⑤ 27．（25-26七年级上·江苏南通·期中）数轴上三个点分别表示数，点在原点两侧且到原点的距离相等，设点之间的距离为，点之间的距离为，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 28．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）数轴上点，，，分别表示实数，，，，点，分别从，出发，沿数轴正方向移动，点从出发，在线段上往返运动（在，处掉头的时间忽略不计），三个点同时出发，点，，的速度分别为，，个单位长度每秒，点，重合时，运动停止．当点为线段的中点时，运动时间为______秒． 29．（23-24七年级上·福建泉州·期中）如图，在数轴上，点表示，现将点沿数轴做如下移动：第一次点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，对应的数为_____，如果点与原点的距离大于，那么的值至少是_____． 30．（24-25七年级上·广东广州·期中）【阅读理解】若数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，则有 ①两点A，B两点的中点表示的数为； ②两点A，B两点之间的距离；若，则可简化为． 【解决问题】数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，且． （1）直接写出： ． （2）点C在数轴上对应的数是c，且关于x，y的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点P，使？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由． 【数学思考】 （3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为、的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？并说明理由． 31．（24-25七年级上·四川成都·期末）在数轴上，点O表示原点，对于不重合的两点A，T，将线段与线段的长度之比定义为点与点的相关值，记作，即．例如：当点是线段的上一点，且时，． (1)点A在数轴上表示的数是2， ①如图1，若点表示的数是， ； ②数轴上的点满足，求； (2)点T，点A分别从表示0和的点同时向右运动，点T的速度为每秒1个单位，点A的速度为每秒2个单位；当点A与点T相遇时，点T与点A的速度立刻交换并继续向右运动．设点A的运动时间为t秒，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 32．（24-25七年级上·北京·期中）已知点P，点，点是数轴上的三个点．若点到原点的距离等于点、点到原点距离的和的一半，则称点P为点和点的“关联点”． (1)已知点表示，点B表示，下列各数，，，在数轴上所对应的点分别是，，，，其中是点和点的“关联点”的是 ； (2)已知点表示，点表示，点P为点和点的“关联点”，且点到原点的距离为，求的值； (3)已知点表示数，将点沿数轴正方向移动个单位长度，得到点．当点为点和点的“关联点”时，我们把点P到点B的距离记为，点P到点A的距离记为，直接写出的值是______________． 33．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）项目式学习 项目主题 测试新款机器人的性能 项目背景 在科技展活动中，某科创小组测试新款机器人的性能 素材1 科创小组为测试新款机器人的性能，他们设置了一条笔直的测试道，在测试道上有B、C两个休整点，如图所示，B距A、D的距离分别为米、米，C与D的距离为米．其中a、b是不为0的实数． 素材2 若，时，机器人在测试道上来回运动，运动规则为机器人到达起点A或终点D时立即按当前运动速度折返，每次运动时间固定为4秒．具体运动过程如下： 第1次从起点出发以v米/秒的速度运动到记录点； 第2次从出发以米/秒的速度运动到记录点； 第3次从出发以米/秒的速度运动到记录点，到达后停止．且机器人的运动速度始终不超过6米/秒． 问题解决 任务1 请用含a、b的代数式表示休整点B、C之间的距离； 任务2 在素材2的基础上，在机器人首次到达终点D前，当记录点N2到起点的距离为12米时，求v的值； 任务3 在素材2的基础上，记录点能恰好为终点D吗？若能，请求出v的值；若不能，请说明理由． 34．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件： ①关于m、n的单项式与的和仍为单项式； ②在运动过程中，总有． (1)直接写出：_______，_______； (2)求出的值，并说明理由： (3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值． 【考点8】数轴距离与绝对值几何意义综合（第35-42题） · |a-b|表示数轴上a、b两点的距离 · 距离和的最小值在两点之间的线段上取得 · 多零点问题分段讨论去绝对值 35．（24-25七年级上·重庆·期中）已知，，三点在数轴上的位置如图1所示，对应的数分别为，，，点为原点． (1)若，点对应的数为5，点为，中点，则________，________． (2)如图2所示，线段位于数轴正半轴，点在之间并满足，点在之间并满足，若，，请用含，的式子表示线段． (3)在（1）条件下，点，开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒3个单位长度的速度向右运动，运动时间为秒．在运动过程中，若剪下线段，并将端点沿着线段上的点向左折叠，得到（如图3），然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图4），若这三条线段的长度之比为，请直接写出折痕处对应的点在数轴上表示的数（用含的代数式表示）． 36．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．如图1，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点B在点A的右侧．已知a、b满足． (1)a＝ ，b＝ ； (2)如图2，动点P、Q分别从点A、B处同时向右移动，点P的速度为4个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，设运动时间为t秒． ①当 s，点P、Q重合； ②在运动过程中，点P、B、Q三点中恰有一点是另外两点连线所得线段的中点，求运动时间t； (3)如图3，点M是中点，动点P、Q分别从点A、B处同时向右移动，若点P的速度为m个单位长度/秒，点Q的速度为n个单位长度/秒，设运动时间为t秒．在运动过程中，试判断的值能否是定值？如果是定值，求此时m、n的关系． 37．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在数轴上点O是数轴原点，A到O的距离为10，B到O的距离为6． (1)点A表示的数为________，点B表示的数为________，A，B两点之间的距离为________． (2)点C是数轴上一点，且满足点A与点C之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则点C在数轴上表示的数为________． (3)在点B处有两只电子蚂蚁P、Q，蚂蚁P以每秒2个单位长度的速度向右移动，当蚂蚁P移动到O点时，蚂蚁Q才从B点出发，并以每秒4个单位长度的速度向右移动，设蚂蚁P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两只蚂蚁相距4个单位长度？ 38．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，在数轴上有两个长方形和，，， 点、、、都在数轴上点、点表示的数分别为、，且满足．长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形． (1)点表示的数为______，点表示的数为______． (2)当时，求的值． (3)在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为． ①的最大值为______．持续的时间为______秒； ②当时，点所表示的数为______． 39．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段检测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】 为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： AI   如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 （1）的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； （2）请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出为 ；    （3）求出的最小值； 【思维拓展】 （4）如图⑤，数轴上有一小球A，若使小球到点，的距离之和小于，小球A在数轴上的位置用数 a 表示．请直接写出 a 在数轴上的取值范围 ；    （5）求出的最小值． 40．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）绝对值是研究我们数学问题的重要符号． 【代数意义】 正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 已知：都是不等于0的有理数，请你探究以下问题： （1）①若则； ②若则． （2）由以上探究可知，则共有个不同的值；的这些所有的不同的值的绝对值的和等于． 【几何意义】 在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值，表示数轴上表示数a的点和表示数b的点的距离． （3）如图，数轴上点M表示，点N表示2，动点P从M点出发以每秒4个单位的速度向右运动，到达点N时停止运动；动点Q从N点出发向以每秒1个单位的速度向左运动，几秒后P、Q两点之间的距离是4个单位长度？ （4）数轴上有5个动点分别同时从原点出发向右匀速运动，速度分别是每秒个单位，当这5个点到数所表示的点的距离之和最小时，时间t的值是． 41．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图所示，在数轴上点在原点的左侧，所表示的数是；点在原点的右侧，所表示的数是，并且满足与互为相反数． (1)点表示的数为 ；点表示的数为 ． (2)在（1）的条件下，如果点从点出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度，点从点出发沿数轴向左运动，速度为每秒2个单位长度，那么、两点同时出发，并且在点处相遇，求点所表示的数． (3)在（2）的条件下，若点运动到达点后，按原路立即返回，速度比原来提高了；点继续按原速度原方向运动，从、在点处相遇开始，当、两点的距离为18个单位长度时，求点所表示的数． 42．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的和谐点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的和谐点，点是的和谐点． (1)如图，数轴上点，表示的数分别为，5，若点是的和谐点，则点表示的数是 ；若点是的和谐点，则点表示的数是 ； (2)已知点A、B、C、D在数轴上，它们表示的数分别为数a， b， c， d， 且a，b满足，点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度，点D表示的数是12；动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以2个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒， ①从B运动到C的过程中，点P表示的数是 ，从C运动到B的过程中，点Q 表示的数是 ；（用含t的代数式表示） ②求使得点C是的和谐点的值；若不存在，请说明理由． 【考点9】绝对值方程（第43-45题） · |x|=a（a≥0）化为x=a或x=-a · 先把含绝对值的项单独放在等号一边 · 解后检验是否使绝对值内为负 43．（25-26七年级上·全国·期末）若关于x的方程有三个整数解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 44．（22-23九年级下·广东东莞·自主招生）关于的方程所有解的和为________． 45．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）下列关于x的方程说法正确的有______（只填序号） ①一定有两个解；②有解，则； ③有解，则； ④有三个解，则； ⑤若方程且有两个解，则． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：一元一次方程的识别、解的检验要熟练 · 性质过关：等式两条性质是移项和化1的依据 · 解法过关：五步完整，去分母去括号最易错 · 应用过关：行程、工程、计费画线段图找等量关系 · 综合过关：数轴动点与绝对值距离结合分类讨论 【作业1】．（25-26七年级上·河南信阳·期末）下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【作业2】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知关于的一元一次方程，若，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【作业3】．（25-26七年级上·河南·期末）方程的解是（   ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 【作业4】．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（    ）次 A．5 B．4 C．3 D．2 【作业5】．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为元、元和元．已知销售每束“眷恋”的利润率为，每束“永恒”的利润率为，每束“守候”的利润率为，当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为；当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为，则为（    ） A． B． C． D． 【作业6】．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）对于整数m，n，定义一种新的运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定， （1）当时，则的值是________． （2）已知为正整数，且满足，则的值是________． 【作业7】．（25-26七年级上·全国·期末）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是______． 【作业8】．（23-24七年级上·山东临沂·阶段检测）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，，，，，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为_________    【作业9】．（23-24八年级上·四川成都·阶段检测）如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线、分别平分、，当时，_____________． 【作业10】．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点， ，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则_______． 【作业11】．（24-25七年级上·全国·单元测试）某同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点O，在直线上，第一步，绕点O顺时针旋转度至；第二步，绕点O顺时针旋转度至；第三步，绕点顺时针旋转度至，以此类推，在旋转过程中若碰到直线则立即绕点O反方向旋转．当时，则等于 ______度． 【作业12】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）某地居民用水收费标准如下表： 家庭每月用水量 收费 不超过的部分 2元/ 超过但不超过的部分 4元/ 超过的部分 6元/ (1)已知小亮家去年10月份共用水，则他家去年10月份应缴水费是多少？ (2)若小亮家去年11、12月份共用水，（12月份用水量超过11月份用水量，且11月用水量超过），共交水费76元，则小亮家11、12月份各用水多少立方米？ 【作业13】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点和点表示，表盘与线段交于点，为表盘圆心． (1)若为，，是中点，则表带全长__________， (2)表盘上的点对应数字“12”，点对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ①__________度； ②在8点至9点之间，还有一个时间分针与时针的夹角与时分针与时针的夹角相等，这个时间是8时_____分． (3)如图④所示，在下方，已知，从（分针与重合，仍为时针）开始，在一小时以内，经过多少分钟后，射线、射线、射线中一条射线是另两条射线组成的角的平分线． 【作业14】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）观察下面三行数： ① ② ③ (1)第行第 个数是 ，第行第 个数是 ，第行第 个数是 ； (2)在第行中是否存在三个连续数，其和为？若存在求出这三个数，不存在说明理由； (3)若在每行取第个数，这三个数的和为，求的值． 【作业15】．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）根据以下素材，尝试解决问题 出行方式选择 素材1 随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的方式有了更多的选择．某市有出租车、快车和专车三种网约车，收费标准如图（假设网约车行驶的平均速度均为40千米/时）． 素材2 1．乘坐网约快车4千米路程收费为元； 2．网约快车和网约专车在春节期间有如下优惠方式： 快车：“满40元减10元”优惠券（一次限用一张优惠券） 专车：①免除时长费；②3千米及以内，里程费不变为3元/千米；超过3千米且不超过8千米的部分，里程费为2元/千米；超过8千米的部分，里程费为1.6元/千米． 问题1 乘坐出租车千米，费用为 元．（结果用的代数式表示） 问题2 春节期间，若小明乘坐出租车与网约快车的里程数相同且所付费用也相同，求此时的里程数． 问题3 春节期间，小明、小宁分别坐出租车、专车从地前往地．小宁坐专车的费用比小明坐出租车的费用贵7元，求，两地相距多少千米？ 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章·一元一次方程·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握一元一次方程及其解的概念，能识别一元一次方程并检验解 · 理解等式的两条性质，能运用性质对等式进行变形 · 熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，正确去分母、去括号、移项、合并同类项 · 会根据实际问题设未知数、找等量关系列方程并求解检验 · 能综合数轴、绝对值、线段角度等知识解决动点与新定义压轴问题 📚 知识梳理 ☆ 1.一元一次方程的有关概念 方程：含有未知数的等式；一元一次方程：只含一个未知数且未知数次数为1的整式方程 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值；解方程：求方程解的过程 判断一元一次方程：化简后只含一个未知数、未知数次数为1、系数不为0 已知解求参数：把解代入原方程，得到关于参数的新方程再求解 概念辨析例题：若x=2是方程3x-a=1的解，求a的值 答案：a=5 解析：把x=2代入得6-a=1，解得a=5 ☆ 2.等式的性质 性质1：等式两边加（或减）同一个数或式，结果仍相等 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，依据是等式性质1 系数化为1：方程两边同除以未知数的系数，依据是等式性质2 概念辨析例题：下列变形正确的是？A.由a=b得a-3=b+3；B.由x=y得=；C.由ac=bc得a=b；D.由=得a=b 答案：D 解析：A两边运算不同；B、C中a或c可能为0；D两边c为分母必不为0，可同乘c得a=b ☆ 3.解一元一次方程的步骤 一般步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，分子要加括号，勿漏乘不含分母的项 去括号：括号前是负号时，括号内各项都要变号 检验：把解代入原方程左右两边，看是否相等 概念辨析例题：解方程：-=1 答案：x=8 解析：去分母乘6：2(2x-1)-3(x+2)=6，去括号4x-2-3x-6=6，合并x-8=6，得x=8 ☆ 4.用一元一次方程解决问题 列方程解应用题步骤：审、设、列、解、验、答 行程问题：路程=速度×时间；相遇路程和、追及路程差 工程问题：把总工作量看作1，工作量=效率×时间 销售计费：利润=售价-进价；分段计费按临界点分段列式 概念辨析例题：甲、乙两地相距300千米，快车从甲出发每小时行60千米，慢车从乙出发每小时行40千米，两车同时相向而行，几小时后相遇？ 答案：3小时 解析：设t小时相遇，(60+40)t=300，解得t=3 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一元一次方程 只含一个未知数且次数为1 分母含未知数不是整式方程 方程的解 使两边相等的未知数的值 代入检验 等式性质1 两边同加同减同一数 移项要变号 等式性质2 两边同乘除同一非零数 除数不能为0 解方程五步 去分母去括号移项合并化1 去分母分子加括号、勿漏乘 行程问题 路程=速度×时间 相向路程和、同向路程差 ⚠️ 核心考点 【考点1】解一元一次方程（合并移项、去括号、去分母）（第1-5题） · 按去分母→去括号→移项→合并→化1顺序求解 · 去分母时分子加括号、不含分母的项也要乘 · 去括号负号各项变号，移项必须变号 1．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）已知m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据一元一次方程的解求参数． 将代入方程，化简后得到关于k的等式，由等式对任意k成立，可得k的系数和常数项均为零，从而求出m和n的值，再计算． 【详解】解：∵总是的解， 代入方程：， 化简得， 两边同乘6得：， 即， 移项得：， 即， ∵该式对任意k成立， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 2．（25-26六年级上·上海·期末）已知关于的方程有负整数解，则整数的所有可能的取值的和为________． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查含参一元一次方程的解法及应用，掌握一元一次方程的解法及准确理解题意是解题关键．首先，解方程得到 的表达式，然后根据负整数解的条件确定分母的取值范围，再找出所有整数 的值，最后求和． 【详解】解：解方程 ， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， ∴ ． 由于方程有负整数解，因此 且 为整数． ∵ ，且分子为负， ∴分母 ，即 ． 又∵ 为整数， ∴必须整除 ，即 是 的正因数． ∵ 的正因数有 和 ， ∴ 或 ， 解得 或 ． 检验：当 时，，为负整数；当 时，，为负整数． ∴整数 的所有可能的取值为 和 ，则它们的和为 ． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·重庆合川·期末）已知关于x的方程的解是整数，则符合条件的所有整数a的和为_____． 【答案】8 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知方程的解，求参数 【分析】先把a看成已知，解关于x的一元一次方程即可用含a的代数式表示出x，然后根据方程的解是整数、a是整数可得符合题意的a的值，进而可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 当，即时，方程的解为x， ∵关于x的方程的解是整数，a为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴符合条件的所有整数a的和为． 4．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)下列关于x的一元一次方程“和解方程”的是 （填序号）． ①；②；③；④． (2)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． (3)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． 【答案】(1)②④ (2) (3)或． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解“和解方程”的定义是解题的关键． （1）先求出对应方程的解，再根据“和解方程”的定义判断即可； （2）先求出对应方程的解，再根据“和解方程”的定义得到关于a的方程，解方程即可得到答案； （3）分和两种情况，分别解原方程求出原方程的解，再根据“和解方程”的定义得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程得， ∵， ∴方程不是“和解方程”； 解方程得， ∵， ∴方程是“和解方程”； 解方程得， ∵， ∴方程不是“和解方程”； 解方程得， ∵， ∴方程是“和解方程”； （2）解：解方程得， ∵关于x的一元一次方程是“和解方程”， ∴， 解得； （3）解：当，即时， ∵， ∴， 解得， ∵关于x的一元一次方程是“和解方程”， ∴， 解得； 当，即时， ∵， ∴， 解得， ∵关于x的一元一次方程是“和解方程”， ∴， 解得； 综上所述，或． 5．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【答案】(1)12 (2)2或 (3) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查一元一次方程的解及“和谐方程”的定义，解题关键是理解解互为相反数的条件，并利用恒等性质求解参数． （1）先求出方程得解为，由“和谐方程”得定义可知方程的解为，然后代入求解即可； （2）由“和谐方程”得定义可知其中一个解为，则另一个解为，根据分两种情况根据两个解的差为4列式求解即可； （3）先求出方程得解为，由“和谐方程”得定义可知方程的解为，然后代入整理得，再根据无论取任何有理数，上式都成立求解即可． 【详解】（1）解：∵方程， ∴， ∴， ∴， ∵方程与方程是“和谐方程”， ∴方程的解为， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵“和谐方程”的两个解互为相反数，且差为4，其中一个解为 ∴另一个解为 若，则， ∴ 若，则， ∴ ∴的值为或 （3）解：∵方程， ∴， ∴， ∴， ∵方程与方程是“和谐方程”， ∴方程的解为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵无论取任何有理数，上式都成立， ∴， ∴， ∴． 【考点2】已知方程的解求参数与整体代入（第6-9题） · 把已知解代入原方程，转化为参数的方程 · 同解问题：先解不含参数的方程，再代入另一方程 · 整体代入时把重复出现的式子看作整体 6．（23-24七年级下·河南周口·阶段检测）若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 【答案】A 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】先把代入方程，整理成关于k的一元一次方程，根据方程的解与k无关，得到关于k的方程有无数解，根据一元一次方程有无数解的条件，列式解答即可． 本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程有无数解的基本条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知，则代数式的值为______． 【答案】5 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算、等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，整体代入求值，解题的关键是掌握等式的基本性质． 通过对已知等式进行变形，求出的值，再整体代入所求代数式进行计算． 【详解】解：已知， 移项得， 根据等式的性质，两边同时除以， 得， 将代入， 得， 故答案为：5． 8．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知关于x的一元一次方程的解为非负整数，则符合条件的所有正整数a的值是_____． 【答案】2 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义和解一元一次方程，用表示出方程的解是解题的关键． 先解方程得到，再根据解为非负整数，即且为整数，结合为正整数求解即可． 【详解】解：解方程 ， 得 ∵方程的解为非负整数，即 且为整数， 又∵为正整数， ∴或2， 当时，，不是整数， 当时，，是非负整数， ∴符合条件的正整数的值为2． 故答案为：2． 9．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知为定值，关于的方程，无论为何值，1总是它的解，则___________，___________ 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查方程解的定义，由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．将代入方程，化简后得到关于 k 的方程，由无论 k 为何值方程都成立，可得 k 的系数和常数项均为零，从而求出 a 和 b． 【详解】解：将 代入方程 ，得 ， 两边同时乘以 6 得 ，， 化简得 ， 移项得 ，即 ， 由于无论 k 为何值方程都成立， 所以 且 ， 解得 ． 故答案为：． 【考点3】行程问题应用（第10-12题） · 画线段图表示路程、速度、时间关系 · 相遇用路程和，追及用路程差 · 变速、折返问题分段列时间方程 10．（23-24七年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，正方形的边长为6，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始运动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行，若甲的速度是乙速度的2倍，则它们第次相遇是在（    ） A．边上 B．A点 C．边上 D．B点 【答案】B 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了路程问题的一元一次方程应用；找到等量关系是解题关键．设乙的速度为，需要秒第2024次相遇，根据路程速度时间，即可得到关于的一元一次方程，解得的值，可得的值，即甲移动的路程，由此即可求得相遇所在的边． 【详解】解：设乙的速度为，则甲的速度为，正方形的边长为，需要秒第2024次相遇， 第一次相遇，甲乙的路程和为，其余次相遇，每次相遇的路程和为， 由题意：， 解得：， 而， 表明甲与乙第次相遇点为运动圈加，因乙是逆时针移动，则此时乙移动到了点处． 故选：． 11．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段检测）A，B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设两车相距时，行驶的时间为小时，相距要从相遇前和相遇后； 追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计种情况，经计算检验数据是否符合题意． 【详解】解：设两车相距时，行驶的时间为小时，依题意得： 当快车从地开往地，慢车从地开往地，两车相距时， 则有：，解得； ②当快车继续开往地，慢车继续开往地，相遇后背离而行，两车相距时，，解得 ； ③快车从地到地全程需要(小时)，此时慢车从地到地行驶， ， ∴快车又从地返回地是追慢车，则有：， 解得 ； ④快车追上慢车后并超过慢车相距时，则有，解得 ； ⑤快车返回地终点所需时间是小时，此刻慢车行驶了 ，距终点还需行驶，则有：，解得 ； 综上所述，两车恰好相距的次数为次． 故选：B． 12．（23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，长方形中，，．点从点出发，沿匀速运动；点从点出发，沿的路径匀速运动．两点同时出发，在点处首次相遇后，点的运动速度每秒提高了，并沿的路径匀速运动；点保持速度不变，继续沿原路径匀速运动．某一时刻两点在长方形某一边上的点处第二次相遇．若点的速度为．在点相遇后、两点沿原来的方向继续前进．又经历了99次相遇后停止运动，此时两点停在长方形边上的________处． 【答案】C 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查一元一次方程的应用，根据题意可得点原来的速度为点的速度的一半，求出点P原来的速度； 设经过二者在E处第二次相遇，则，解方程求出相遇时间，再根据每次相遇移动的时间相等，故求出Q点从B开始移动100次后的路程，即可得到终点位置． 【详解】解：∵两点同时出发，在点处首次相遇后，， 点的速度为． ∴点原来的速度为点的速度的一半， ∴点原来的速度为， 设设经过后P、Q在点E第二次相遇相遇， 依题意得， 解得； ∴Q点从B点经过秒到达E点， ∴经过的路程为， ∵， ∴， ∴E点在上，； ∵每次相遇时，P、Q所走的路程之和为长方形的周长，且P、Q速度保持不变， ∴每个相遇的移动时间为秒， ∴Q点移动从B出发，经过100次后的路程为， ， 故Q点移动41圈，又走， ∴由长方形边长可知，点Q在C处， ∴两点停在长方形边上的C处， 故答案为：C． 【考点4】销售、计费与其他实际应用（第13-16题） · 利润=售价-进价，利润率=利润÷进价 · 分段计费先找临界点再分段列式 · 方案问题分别列费用表达式再比较 13．（25-26七年级上·浙江金华·期中）李老师有一包糖果，若分给n个学生，则每个学生分x颗；若分给个学生，则每个学生分4颗，还剩2颗，则x的值可能是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了含参一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 根据若分给个学生，则每个学生分颗；若分给个学生，则每个学生分4颗，还剩2颗，列出方程，求出正整数解，即可解决问题． 【详解】解：根据题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 的值为1，2，17，34， 当时，, 当时，； 当时，； 当时，； 选项中只有选项A中的符合条件， 故选：A． 14．（2024七年级·全国·竞赛）张老师出门散步，出门时5点多一点，他发现手表上分针与时针的夹角恰好为，回来时接近6点，他又看了一下手表，发现此时分针与时针再次成角．则张老师此次散步的时间是（    ）． A．40分钟 B．30分钟 C．50分钟 D．非以上答案 【答案】A 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握散步前分针在时针后面,散步后分针在时针前面,是解题的关键． 设这期间分针走了,则时针走了,由题意列方程求得x，再根据分针每分钟转度即可解答． 【详解】解:设这期间分针走了,则时针走了, 由题意得:,解得：,即分针走了, ∵分针每分钟转度, ∴张老师散步的时间 (分钟) ． 故选A． 15．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）某企业的销售部门在2024年销售业绩非常好，为了表彰销售员工，决定给销售部门的员工发奖金：第一个人分得1万元和剩下奖金的十分之一；第二个人分得2万元和剩下奖金的十分之一，第三个人分得3万元和剩下奖金的十分之一…按照这样的方式一直分下去，奖金恰好分完，最后每一个人所得的奖金一样多，这个企业的销售部门共多少个人？（    ） A．8人 B．10人 C．7人 D．9人 【答案】D 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设总人数为 ，由于每个人分得的奖金相同，且最后一个人分得万元，通过倒数第二个人分得的奖金与最后一个人分得的奖金相等，建立方程求解即可 【详解】解：设总人数为，则每个人分得奖金万元， 第个人分奖金前剩余奖金为万元， 第个人分得：， 分完后剩余奖金为万元（即第 个人分前奖金）， ， 令，则，即， 第个人分得：， 每个人分得奖金相同， 解得：， 销售部门共有9人， 故选：D 16．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段检测）阅读与思考 下面是小轩同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 多面体欧拉公式 欧拉是著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体，其顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个固定的关系式，被称为多面体欧拉公式． 表格列出上面四个多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（） 多面体编号 顶点数（） 面数（） 棱数（） 任务： (1)表格空白处填_____，顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在的关系式是_____ (2)某个简单的多面体，是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有条棱，共有棱条．若该多面体三角形的个数比八边形的个数的倍少，求该多面体三角形的个数． (3)小轩同学尝试切去正方体一块后（用平面截取），得不到有条棱的多面体．如果能切出有条棱的多面体，最少需切去几块，如果不能切出有条棱的多面体，请说明理由． (4)年诺贝尔奖授予对有重大发现的三位科学家．如图，是由个原子构成的分子，它的结构为简单多面体形状．这个多面体有个顶点，以每个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形．按照结构，数学家构造出顶点数为的多面体，称为“”多面体，探究发现，当“”多面体的面数增多时，“”多面体的六边形面数也会增多，你能解释其中的道理吗？ 【答案】(1)； (2)个 (3) 不能切出有条棱的多面体．理由如下： ∵， 若，则， ∵，，且、、都是正整数， 当时，，不存在这样的多面体； 当时，，不存在这样的多面体； ∴不能切出有条棱的多面体； (4) 设顶点数为， ∵每个顶点处都有条棱，一条棱有两个顶点， ∴，， ∴， 设六边形的个数为个，则五边形的个数为个， ∴， 解得：， ∵随着的增多而增多，即六边形的面数也会增多． 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用， （1）先根据四面体、长方体、正八面体的顶点数、面数和棱数，总结出顶点数、面数、棱数之间存在的关系式即可； （2）设八边形的个数个，则三角形的个数为个，由题意可得面数，解方程求出的值即可； （3）若，根据欧拉公式得，再根据，，且、、都是正整数，分两种情况作进一步分析即可； （4）设顶点数为，得，，，设六边形的个数为个，则五边形的个数为个，继而得出，解得：，可得结论； 得出顶点数、面数、棱数的数量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：四面体的顶点数为、面数为，棱数为，则， 长方体的顶点数为、面数为，棱数为，则， 正八面体的顶点数为，面数为，棱数为，则， ∴关系式为：， ∴顶点数为、面数为，棱数为， 故答案为：；； （2）设八边形的个数个，则三角形的个数为个， ∵每个顶点处都有条棱，共有棱条，一条棱有两个顶点， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴（个）， ∴该多面体三角形的个数为个； （3）略 （4）略 【考点5】数字问题与数字规律（第17-20题） · 两位数=十位数字×10+个位数字 · 连续数、日历数用字母表示相邻关系 · 新定义数字问题按规则逐位表示 17．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组： 第1组：2，4 第2组：6，8，10，12 第3组：14，16，18，20，22，24 第4组：26，28，30，32，34，36，38，40 … 现用表示第组从左往右数第个数，则当时，的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字类规律探索、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查数字规律探索、一元一次方程的应用，确定前组的偶数总数与组内数的特征是解题关键． 由分组规律可知，第组有个偶数，前组共有个偶数，第组最后一个偶数为，通过计算可以确定位于第组，即，再求出组内位置，从而计算． 【详解】解：∵前组共有偶数个数为， ∴第组最后一个偶数为， 当时，， 当时，， ∴位于第组，即， 第组第一个偶数为， 设第个偶数为， 则， 解得， ∴． 故选：． 18．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报5的人心里想的数是（   ）    A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设报5的人心里想的数是x，根据题意用含x的式子表示出另外几个人报出来的数，找出等量关系列方程即可求解． 【详解】解：设报5的人心里想的数是x， 则报3的人心里想的数是， 报2的人心里想的数是， 报4的人心里想的数是， 报1的人心里想的数是， 由题意得：， 解得， 故选：B． 19．（21-22七年级上·江苏南通·阶段检测）将正整数1至1000按一定规律排列如表： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（     ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2030 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】设表格中三个数下面的数为 则左上的数为 右上的数为 所以三个数的和为： 再分别列方程求解 再检验即可. 【详解】解：设表格中三个数下面的数为 则左上的数为 右上的数为 所以三个数的和为： 当 则 故A不符合题意； 当 则 故B不符合题意； 当 则 而680，是数列中最后一列的数，故C不符合题意 当 则 而，是数列中第86行第2列中的数，故D符合题意. 20．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）设一列数，，， 中任意三个相邻数之和都是，已知，，，那么______． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由任意三个相邻数之和都是，可得，，，即得，，，进而得到，，即可得，又由得，最后根据求出即可求解，由已知找到数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵任意三个相邻数之和都是， ∴，， ， ∴，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∵ ， ， ∴， ∵，， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点6】几何问题（线段、角度与角平分线）（第21-25题） · 线段和差：总长=各部分之和，中点等分线段 · 角平分线把角分成两个相等的角 · 钟面角、折叠问题按转动角度列方程 21．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，一个长方形内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片、、铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），如果长方形的周长为，那么正方形纸片的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】设正方形纸片的边长为，由图形可知，正方形纸片、的边长为和，根据长方形的周长为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设正方形纸片的边长为，由图形可知，正方形纸片、的边长为和， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形纸片的面积为． 22．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）定义：如图1，点在射线上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“美点”．如图，已知，动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为 ， ，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“美点”时，最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差 【分析】本题考查了几何新定义，一元一次方程的应用，线段的和差计算，根据题意，分别表示出，根据新定义可得或或，进而列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为 ， ，设点的运动时间为， ∴，， 当时，相遇，即， 解得： 当时，， 当时，， ∴， 由新定义可知或或，或或或 当时，则， 解得或（舍去） 当时，则， 解得； 当时，则， 解得或， 当时，则， 解得：（重复，舍去） 当时，则 解得：， ∵点到达点时运动停止， 的速度是 ， ， ∴ ， ∴ ，舍去 当时，， 解得或， ∴的最大值为，最小值为， ∴， 故选：D． 23．（25-26七年级上·河南许昌·期末）如图，记钟面上刻度为3的点为C，在某天的到之间，当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的平分线时，求出此时对应的时刻为1点____分． 【答案】或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、钟面角、角平分线的有关计算 【分析】此题考查了一元一次方程的应用和角平分线的定义，分四种情况讨论：利用方程求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：当时间为时，钟面角 ，时间为3点时，钟面角，所以（此时皆为初始状态），如图所示， 所以，在某天的到之间，当钟面角的两条边时针、分针 所在射线与射线 中恰有一条是另两条射线所成角的平分线时，可把题意理解为射线 是以每分钟的速度在转动，射线 是以每分钟的速度在转动，同时出发，设它们转动的时间为分钟，则可分四种情况讨论： 当射线 在射线 的左侧，且满足射线 平分 时，即，则有， 解得 （不合题意，舍去）； 当射线 在 内部，且满足射线 平分时，即 ，则有，解得，此时对应的时刻为1点分； 当射线在外部，且满足射线 平分时，即： ，则有，解得， 此时对应的时刻为1时分； 当射线 在 外部，且满足射线 平分 时，即，则有 ， 解得（不符合题意，舍去）． 综上所述：当钟面角的两条边时针 、分针 所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的平分线时，对应的时刻为1点分或1点分 故答案为：或 24．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，分别过直线上的点和点作射线、，，，射线从开始绕着点以度/秒的速度顺时针旋转，射线从开始绕着点以度/秒的速度顺时针旋转，在射线旋转一周的过程中，经过______秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 【答案】或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，在旋转中把角度表示出来是解答本题的关键． 情况一，如图：，，又，所以，故；情况二，如图：，，所以，故． 【详解】解：情况一，如图： ， ， 又，， ， ； 情况二，如图： ， ， 又， ， ； 综上所述，在射线旋转一周的过程中，经过或秒，射线、射线所在的直线互相垂直， 故答案为：或． 25．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将图中三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数），________． 【答案】19 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的和差计算，一元一次方程的应用等知识点，难度较大． 先求出当时，在内部，得出，，代入式子计算确定，求解即可． 【详解】解：如图： 当时，旋转了，此时与重合， 当时，旋转了，此时与重合， 当时，在内部， ∵， ∴， ∵， ∵ ∴， 整理得：， ∵等式与的大小无关， ∴， ∴， ∴． 故答案为：19． 【考点7】数轴上的动点与线段长度综合（第26-34题） · 动点位置=起点±速度×时间 · 两点距离=右边点表示的数减左边点表示的数 · 相遇、相距问题按距离列绝对值方程 26．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）下列说法中，正确的是（   ） ①若，则 ②若，则是正数 ③如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中恰有一个数为0 ④、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则 ⑤的最小值为2015 A．①③④ B．② C．②④ D．③⑤ 【答案】B 【知识点】数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了绝对值、整式的加减、有理数的乘法、一元一次方程的应用、数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据绝对值的性质即可判断①错误；分五种情况：、、、和，根据有理数的加减法与乘法法则即可判断②正确；根据有理数的乘法即可判断③错误；分三种情况：当点在点的左侧时、当点在点的中间时、当点在点的右侧时，利用数轴的性质建立方程，解方程即可判断④错误；分三种情况：、、，化简绝对值，计算整式的加减，由此即可判断⑤错误． 【详解】解：若，则，则说法①错误； 若， 当，且时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，所以， 综上，若，则是正数，则说法②正确； 如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中至少有一个数为0，则说法③错误； ∵、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，且相邻两点的距离相等， ∴当点在点的左侧时，则，解得， 当点在点的中间时，则，解得， 当点在点的右侧时，，解得， 综上，或或，则说法④错误； 当时，则， 当时，则， 当时，则， 所以的最小值为2013，则说法⑤错误； 综上，说法正确的是②， 故选：B． 27．（25-26七年级上·江苏南通·期中）数轴上三个点分别表示数，点在原点两侧且到原点的距离相等，设点之间的距离为，点之间的距离为，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是相反数的含义，一元一次方程的应用，绝对值的含义，由点A和点B在原点两侧且到原点距离相等，可知A和B表示的数互为相反数，据此建立方程求出t与s的关系，再代入计算距离d和e，最后求比值． 【详解】解：∵点A和点B在原点两侧且到原点距离相等， ∴A表示的数与B表示的数互为相反数， ∴， ∴， ∴，， ∴数轴上三个点分别表示数， ∴点之间的距离为， 点之间的距离为， ∴． 故选：D 28．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）数轴上点，，，分别表示实数，，，，点，分别从，出发，沿数轴正方向移动，点从出发，在线段上往返运动（在，处掉头的时间忽略不计），三个点同时出发，点，，的速度分别为，，个单位长度每秒，点，重合时，运动停止．当点为线段的中点时，运动时间为______秒． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据点和点的运动速度，表示出秒后点和点的坐标，利用中点公式得到点的坐标表达式，点在线段上往返运动，需根据时间分段讨论点的坐标，并建立方程求解． 【详解】解：设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为， 当点为线段的中点时，点表示的数为， 当时， 解得：， 即运动秒时，点，重合时，运动停止， ， 点在线段上往返运动， 解方程， 可得：， 即当运动秒时，点与点重合，此时点与点重合， 当时， 点表示的数为，点表示的数为， 点在上运动， 点表示的数大于， 点不能成为的中点； 当时，点从点向点运动，表示的数为， 点是线段的中点， ， 解得：(不符合题意，舍去)； 当时，点从点向点运动，表示的数为 令， 解得：， 经检验，满足，且运动未停止（点M与点N重合时）． 故答案为 ：． 29．（23-24七年级上·福建泉州·期中）如图，在数轴上，点表示，现将点沿数轴做如下移动：第一次点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，对应的数为_____，如果点与原点的距离大于，那么的值至少是_____． 【答案】 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化规律探究，根据点的移动规律，通过计算，由所表示的数找到规律，把代入即可解答；根据点与原点的距离大于，分是奇数和偶数两种情况列出对应的不等式，解之即可求解；通过计算探究出移动后的点表示的数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题可得：表示的数是，表示的数是，表示的数是，表示的数是，， 第次移动表示的数为，当是奇数时，表示的数是；当是偶数时，表示的数是； ∴时，， 故答案为：； 当时，解得，此时的最小值 为； 当时，解得，此时的最小值 为； ∴的最小值 为， 故答案为：． 30．（24-25七年级上·广东广州·期中）【阅读理解】若数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，则有 ①两点A，B两点的中点表示的数为； ②两点A，B两点之间的距离；若，则可简化为． 【解决问题】数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，且． （1）直接写出： ． （2）点C在数轴上对应的数是c，且关于x，y的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点P，使？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由． 【数学思考】 （3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为、的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？并说明理由． 【答案】（1）10； （2）存在，16或0； （3）在运动过程中，的值不变，理由如下： 设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是，点N对应的数是， ∵P是的中点， ∴P点对应的数是， 又∵Q是的中点， ∴Q点对应的数是， ∴，， ， ∴， ∴在运动过程中，的值不变． 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、整式的加减运算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，非负数的性质，中点坐标公式和两点的距离． （1）根据非负数的性质和两点的距离公式即可得到结论； （2）设点P对应的数为y，①点P在点B的右侧，②当点P在A、B之间，根据题意列方程即可得到结论； （3）设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是，点N对应的数是，根据题意求得P点和Q点对应的数，根据两点的距离可得，，的值，代入可得结论． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：10； （2）∵关于x，y的多项式是三次四项式， ∴， 解得， ∴点C表示的数为， ∴， ∴点P不可能位于点A的左侧， 设点P对应的数为y， ①当点P在点B右侧， 由题意得， 解得， ②当点P在A、B之间， 由题意得， 解得 综上所述，点P对应的数为16或0； （3）略 31．（24-25七年级上·四川成都·期末）在数轴上，点O表示原点，对于不重合的两点A，T，将线段与线段的长度之比定义为点与点的相关值，记作，即．例如：当点是线段的上一点，且时，． (1)点A在数轴上表示的数是2， ①如图1，若点表示的数是， ； ②数轴上的点满足，求； (2)点T，点A分别从表示0和的点同时向右运动，点T的速度为每秒1个单位，点A的速度为每秒2个单位；当点A与点T相遇时，点T与点A的速度立刻交换并继续向右运动．设点A的运动时间为t秒，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上的动点，数轴上两点之间的距离，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关点运动后所表示的数． （1）①求出，，可得；②由，设，则，分两种情况可得为或； （2）当点与点相遇前，运动后表示的数为，表示的数为，可得，，故，解得；求出时，点与点相遇；当点与点相遇后，即时，可得，解得． 【详解】（1）解：①∵点在数轴上表示的数是，点表示的数是， ∴ ，， ∴； 故答案为：； ②∵，故设，则， 当，在原点两侧时，， ∴； 当，在原点同侧时，， ∴； 综上所述，为或； （2）解：存在某一时刻，使得，理由如下： 当点与点相遇前，运动后表示的数为，表示的数为， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 解得：； 当，即时，点与点相遇； 当点与点相遇后，即时，运动后表示的数为，运动后表示的数为， ∴，， ∴， 解得：； ∴的值为或． 32．（24-25七年级上·北京·期中）已知点P，点，点是数轴上的三个点．若点到原点的距离等于点、点到原点距离的和的一半，则称点P为点和点的“关联点”． (1)已知点表示，点B表示，下列各数，，，在数轴上所对应的点分别是，，，，其中是点和点的“关联点”的是 ； (2)已知点表示，点表示，点P为点和点的“关联点”，且点到原点的距离为，求的值； (3)已知点表示数，将点沿数轴正方向移动个单位长度，得到点．当点为点和点的“关联点”时，我们把点P到点B的距离记为，点P到点A的距离记为，直接写出的值是______________． 【答案】(1) (2) (3)0或4 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、整式加减的应用 【分析】本题考查有理数与数轴，整式的加减计算，熟知“关联点”的定义是解题的关键． （1）求出点A，点B到原点距离和的一半，进而根据“关联点”的定义得出点P到原点的距离，即得出点P表示的数； （2）根据已知可求出点A，点B到原点距离的和，进而确定点B到原点的距离，然后进行计算即可解答； （3）根据题意确定点B表示的数，再求出点A，点B到原点距离的和，即可求出点P到原点的距离，然后分两种情况讨论求解即可：点P在原点的左侧，点P在原点的右侧． 【详解】（1）解：∵点表示，点B表示， ∴点、点到原点距离的和的一半为． ∵点P是为点和点的“关联点”， ∴点P到原点的距离为2， ∴点P表示的数为2或， ∴，，，中是点和点的“关联点”的是； （2）解：∵点P为点和点的“关联点”， 且点到原点的距离为， ∴点、点到原点距离的和的一半为5， ∴点、点到原点距离的和为10． ∵点表示， ∴点到原点距离为3， ∴点到原点距离为， ∴点B表示的数为7或； （3）解：∵点表示数，将点沿数轴正方向移动个单位长度，得到点， ∴点表示的数为， ∴点、点到原点距离的和为， ∴点、点到原点距离的和一半为． ∵点为点和点的“关联点”， ∴点到原点距离为， ∴点P表示的数为或． 分类讨论：当点P位于原点右侧时，即点P表示的数为， ∴，， ∴； 当点P位于原点左侧时，即点P表示的数为， ∴，， ∴． 综上可知的值为0或4． 33．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）项目式学习 项目主题 测试新款机器人的性能 项目背景 在科技展活动中，某科创小组测试新款机器人的性能 素材1 科创小组为测试新款机器人的性能，他们设置了一条笔直的测试道，在测试道上有B、C两个休整点，如图所示，B距A、D的距离分别为米、米，C与D的距离为米．其中a、b是不为0的实数． 素材2 若，时，机器人在测试道上来回运动，运动规则为机器人到达起点A或终点D时立即按当前运动速度折返，每次运动时间固定为4秒．具体运动过程如下： 第1次从起点出发以v米/秒的速度运动到记录点； 第2次从出发以米/秒的速度运动到记录点； 第3次从出发以米/秒的速度运动到记录点，到达后停止．且机器人的运动速度始终不超过6米/秒． 问题解决 任务1 请用含a、b的代数式表示休整点B、C之间的距离； 任务2 在素材2的基础上，在机器人首次到达终点D前，当记录点N2到起点的距离为12米时，求v的值； 任务3 在素材2的基础上，记录点能恰好为终点D吗？若能，请求出v的值；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：记录点能恰好为终点D时，v的值为或或3或4． 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、列代数式 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用、列代数式以及代数式求值等内容，正确理解题意是解题的关键． 任务1：根据解答即可； 任务2：先求出的长，到达终点前的路程为，建立方程求解即可； 任务3：分类讨论，分别当或或恰为终点时，建立方程求解即可． 【详解】解：任务1： ； 任务2： ， 当，时，米， 由题意得， 解得； 任务3：若恰好为终点， 由题意得， 解得； 若恰好为终点， 由题意得， 得； 或， 解得，舍去； 若恰好为终点， 由题意得， 解得； 或， 解得； 综上所述，记录点能恰好为终点D时，v的值为或或3或4． 34．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件： ①关于m、n的单项式与的和仍为单项式； ②在运动过程中，总有． (1)直接写出：_______，_______； (2)求出的值，并说明理由： (3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值． 【答案】(1)1，2 (2)3 (3) 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、其他问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算、与线段有关的动点问题 【分析】本题考查了线段的和差倍分，一元一次方程的应用，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． （1）根据同类项的定义列方程即可得到结论； （2）设，则，根据题意列方程即可得到结论； （3）设，由（2）知，，根据题意得到，①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵关于、的单项式与的和仍为单项式， ∴单项式与是同类项， ∴， 故答案为：1，2； （2）设运动了t秒，则 设，则，      故答案为：3； （3）设，由（2）知，， ①当点在线段上时，， 解得：， ②当点在线段的延长线上时，， 解得：，(不合题意，舍去)， 综上所述，． 【考点8】数轴距离与绝对值几何意义综合（第35-42题） · |a-b|表示数轴上a、b两点的距离 · 距离和的最小值在两点之间的线段上取得 · 多零点问题分段讨论去绝对值 35．（24-25七年级上·重庆·期中）已知，，三点在数轴上的位置如图1所示，对应的数分别为，，，点为原点． (1)若，点对应的数为5，点为，中点，则________，________． (2)如图2所示，线段位于数轴正半轴，点在之间并满足，点在之间并满足，若，，请用含，的式子表示线段． (3)在（1）条件下，点，开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒3个单位长度的速度向右运动，运动时间为秒．在运动过程中，若剪下线段，并将端点沿着线段上的点向左折叠，得到（如图3），然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图4），若这三条线段的长度之比为，请直接写出折痕处对应的点在数轴上表示的数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，30 (2) (3)0或或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值方程、整式的加减运算 【分析】（1）根据绝对值方程和点A的位置即可求出a的值，根据数轴上两点间距离可求b的值； （2）设点M表示的数为m，根据数轴上两点间距离，并结合已知可求出点C、D表示的数，然后数轴上两点间距离求解即可； （3）先求出t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，则，设在上剪切处为Q，在剪切处为，则，然后分①，②，③三种情况讨论，结合已知可求出，，再根据数轴上两点间距离即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 又A在原点左边， ∴， ∵点对应的数为5， ∴， ∵点为，中点， ∴， ∴， 故答案为：，30； （2）解：∵， ∴点B表示的数是b， 设点M表示的数为m， ∴， ∵， ∴点N表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴点D表示的数为， ∵， ∴， ∴点C表示的数为， ∴； （3）解：根据题意，得t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为， ∴， 设在上剪切处为Q，在剪切处为，如图， 则， ①当时， ∴，， ∴， ∴点P表示的数为； ②当时， ∴，， ∴， ∴点P表示的数为； ③当时， ∴，， ∴， ∴点P表示的数为； 综上，点P表示的数为0或或． 【点睛】本题考查了绝对值方程，数轴上两点间距离，数轴上动点问题，列代数式等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． 36．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．如图1，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点B在点A的右侧．已知a、b满足． (1)a＝ ，b＝ ； (2)如图2，动点P、Q分别从点A、B处同时向右移动，点P的速度为4个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，设运动时间为t秒． ①当 s，点P、Q重合； ②在运动过程中，点P、B、Q三点中恰有一点是另外两点连线所得线段的中点，求运动时间t； (3)如图3，点M是中点，动点P、Q分别从点A、B处同时向右移动，若点P的速度为m个单位长度/秒，点Q的速度为n个单位长度/秒，设运动时间为t秒．在运动过程中，试判断的值能否是定值？如果是定值，求此时m、n的关系． 【答案】(1)；16 (2)①12②或8 (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据非负数的性质即可解答； （2）①由题意得：点表示的数为，点表示的数为，列方程求解即可； ②由题意得：点表示的数为，点表示的数为，分情况讨论，（Ⅰ）当为中点时，，（Ⅱ）当为中点时，，（Ⅲ）当为中点时，，列方程求解即可； （3）分情况讨论，①当点在的左侧时，②当点与重合时，③当点在的右侧时，表示出即可解答． 【详解】（1）解：、满足． ，， ，， 故答案为：；16． （2）解：①由题意得：点表示的数为，点表示的数为， 当点、重合时，即， 解得， 当，点、重合， 故答案为：12； ②由题意得：点表示的数为，点表示的数为， （Ⅰ）当为中点时，，如图， 即， 解得； （Ⅱ）当为中点时，，如图， 即， 解得； （Ⅲ）当为中点时，，如图， 即，该方程无解； 综上，或8 （3）解：，为中点， ， 点表示的数为：， ①当点在的左侧时，如图， ， ，， 代数式的值会随的增大而增大，不可能为定值； ②当点与重合时，，、的关系无法确定该代数式的值； ③当点在的右侧时，如图， ， 当时，代数式的值与无关， 综上，当点运动到点右侧且时，的值是定值48． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，数轴，非负数的性质，绝对值和偶次方的非负性，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 37．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在数轴上点O是数轴原点，A到O的距离为10，B到O的距离为6． (1)点A表示的数为________，点B表示的数为________，A，B两点之间的距离为________． (2)点C是数轴上一点，且满足点A与点C之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则点C在数轴上表示的数为________． (3)在点B处有两只电子蚂蚁P、Q，蚂蚁P以每秒2个单位长度的速度向右移动，当蚂蚁P移动到O点时，蚂蚁Q才从B点出发，并以每秒4个单位长度的速度向右移动，设蚂蚁P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两只蚂蚁相距4个单位长度？ 【答案】(1)点A表示的数为10，点B表示的数为，A，B两点之间的距离为16 (2)C在数轴上表示的数为或 (3)当为秒、秒或秒时，P、Q相距4个单位长度 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】（1） 根据点在原点左右直接读出数值，用距离公式算AB长度； （2）设C表示数，由距离倍数关系列绝对值方程分三种情况求解； （3） 先求出到的时间，分（未出发）、（已出发）两段，写出P，Q对应数，根据距离为 4 列方程计算． 【详解】（1）解：∵ A在原点右侧，， 表示10； 在原点左侧，， 表示； ． ∴点A表示的数为10，点B表示的数为，A，B两点之间的距离为16． （2）解：设点表示的数为，由题意得 ． ① 当时：， ， ∴； ② 当时：， ， ， ∴； ③ 当时：， ， （舍去，不在此区间）． 故C在数轴上表示的数为或． （3）解：从到用时：秒，分两段讨论． 秒时，对应的数：． ① ，未出发，在： ， ， （）， ∴； ② ，出发时长为秒，对应数：， ， ， 或 ， 解得：或 综上，当为秒、秒或秒时，P、Q相距4个单位长度． 38．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，在数轴上有两个长方形和，，， 点、、、都在数轴上点、点表示的数分别为、，且满足．长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形． (1)点表示的数为______，点表示的数为______． (2)当时，求的值． (3)在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为． ①的最大值为______．持续的时间为______秒； ②当时，点所表示的数为______． 【答案】(1)， (2)或 (3)①，；②或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值非负性、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查数轴上点的运动，绝对值的非负性，一元一次方程的应用，解题关键是表示出运动后点表示的数． （1）根据绝对值的非负性即可得解即可求解； （2）根据题意，由建立方程，求解即可得出答案； （3）①分别求得点与点重合、点与点重合所需时间，求出两个时间差即可；②分两种情况：当点在线段上，当点在线段上，根据题意建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为． （2）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， ∵， ∴， 解得：或， ∴的值为或； （3）①由题意得：当长方形完全落在长方形上时，重叠部分的面积最大，最大面积为长方形的面积，为， 秒后，点表示的数为，点表示的数为， 当点与点重合时：， 解得：， ∵点表示的数为：，点表示的数为：， ∴点与点重合时有， 解得， ∵（秒）， ∴的最大值为，持续的时间为秒， 故答案为：， ； ②由，得重叠部分面积为， 当点在线段上，且时，即， ∴， 解得， ∴表示的数为， 当点在线段上，且时，即， ∴， 解得， ∴表示的数为， 故答案为或； 39．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段检测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】 为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： AI   如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 （1）的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； （2）请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出为 ；    （3）求出的最小值； 【思维拓展】 （4）如图⑤，数轴上有一小球A，若使小球到点，的距离之和小于，小球A在数轴上的位置用数 a 表示．请直接写出 a 在数轴上的取值范围 ；    （5）求出的最小值． 【答案】（1）a这个数在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和，3；（2）2，2 ；（3）6 ；（4）；（5） 【知识点】数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）由的几何意义以及有最小值1即可直接求得结果； （2）当a取中间值即时，求得最小值； （3）由题意可得出，取中间数即时，绝对值最小； （4）当时，小球在3的右边时，可得，当时，小球在的左边时，可得：，结合数轴可得答案； （5）分当时，当时，当，当时，当时，当时，再化简绝对值，确定范围，从而可得答案． 【详解】解：（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和 当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3； （2）当a取中间数2时，绝对值最小 的最小值是； （3）当a取最中间数时，绝对值最小， 的最小值是 ； （4）∵数轴上有一小球A，小球到点，的距离之和小于，小球A在数轴上的位置用数 a 表示， ∴，而， 显然小球A在数轴上位于与3对应的点之间符合题意； 当时，小球在3的右边时， ∴，解得， 当时，小球在的左边时， ，解得：， ∴数轴上有一小球A，小球到点，的距离之和小于，此时； （5）当时， ∴ ， 当时， ∴ ， ∴此时， 当， ∴ ， ∴此时， 当时， ∴ ， ∴此时， 当时， ∴ ， ∴此时， 当时， ∴ ， ∴此时， 综上：当时，取最小值． 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，绝对值的几何意义，整式的加减运算，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可． 40．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）绝对值是研究我们数学问题的重要符号． 【代数意义】 正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 已知：都是不等于0的有理数，请你探究以下问题： （1）①若则； ②若则． （2）由以上探究可知，则共有个不同的值；的这些所有的不同的值的绝对值的和等于． 【几何意义】 在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值，表示数轴上表示数a的点和表示数b的点的距离． （3）如图，数轴上点M表示，点N表示2，动点P从M点出发以每秒4个单位的速度向右运动，到达点N时停止运动；动点Q从N点出发向以每秒1个单位的速度向左运动，几秒后P、Q两点之间的距离是4个单位长度？ （4）数轴上有5个动点分别同时从原点出发向右匀速运动，速度分别是每秒个单位，当这5个点到数所表示的点的距离之和最小时，时间t的值是． 【答案】（1）①1或；②2或或0；（2）2025，2050312；（3）1秒或4秒后P、Q两点之间的距离是4个单位长度；（4）当时，五个动点的距离之和最小 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值的几何意义、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的混合运算，数轴上两点的距离，方程的应用． （1）对绝对值内的有理数的正负进行分类讨论即可解决问题； （2）根据计算的结果，发现规律即可解决问题； （3）根据题意列式计算即可； （4）计算出每一个动点到达处的时间，分别计算在不同时间区间内的距离之和，通过观察即可解决问题． 【详解】解：（1）①当时，， 所以； 同理可得，当时； 所以或1， 故答案为：1或． ②当同为正数时，； 当同为负数时，； 当异号时，； 所以或或0， 故答案为：2或或0； （2）当都是正数时，； 当中有2个正数和1个负数时，； 当中有1个正数和2个负数时，； 当都是负数时，， 所以或． 由前面的计算结果可知，有2个不同的值， 有3个不同的值， 有4个不同的值， 所以共有2025个不同的值； 的这些所有的不同的值的绝对值的和为： ． 故答案为：2025，2050312； （3）设运动时间为秒， ∵M与点N之间的距离为， 又∵M运动到N就停止了，M到点N的用时为， ∴当，P的位置为，当，P已到达N点，位置为2， ∴Q的位置为， ∵当时，两点间的距离为4， 则，化简得， 解得或（舍去）， 当时，两点间的距离为4，则， 解得（负值已舍去）， 故答案为：1秒或4秒后P、Q两点之间的距离是4个单位长度； （4）每一个点到达的时间为：，，，，， 当，每个动点均未到达处， 总距离之和为，t越小，距离之和越大； 当，只有一个动点经过， 总距离之和为，t越小，距离之和越大； 当，有两个动点经过， 总距离之和为，t越小，距离之和越小； 因此，距离之和的最小值出现在， 故答案为：当时，五个动点的距离之和最小． 41．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图所示，在数轴上点在原点的左侧，所表示的数是；点在原点的右侧，所表示的数是，并且满足与互为相反数． (1)点表示的数为 ；点表示的数为 ． (2)在（1）的条件下，如果点从点出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度，点从点出发沿数轴向左运动，速度为每秒2个单位长度，那么、两点同时出发，并且在点处相遇，求点所表示的数． (3)在（2）的条件下，若点运动到达点后，按原路立即返回，速度比原来提高了；点继续按原速度原方向运动，从、在点处相遇开始，当、两点的距离为18个单位长度时，求点所表示的数． 【答案】(1)，20 (2) (3)所表示的数为或或． 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题、绝对值的性质、一元一次方程的几何应用，解题关键是理解绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，具有非负性． （1）依据两个非负数相加为零，各个数为零； （2）点到点的距离加点到点的距离等于点与点之间的距离； （3）根据题意分三种情况讨论：①、在点相遇后，向运动路上，②点从点返回，且未追上时，③点从点返回，追上了． 【详解】（1）解： 与互为相反数， ， ， ， ，， 故答案为：，20． （2）解：由（1）得点与点的距离为：， 设，两点相遇时间为得： ， 解得， 点移动的距离为：， 故点表示的数：， 点所表示的数为． （3）解：①、在点相遇后，向运动路上，时，假设用了时间，则： ， ， 此时点所示的数：； ②点从点返回，且未追上时，， 点从处运动到处：， 此时从处出发运动的路程为，则点表示的数为：， 点后来的速度：， 假设点从处出发，未追上，但满足时，运动时间为，则： ， ， 此时从出发运动的路程为， 点表示的数为：； ③点从点返回，追上了，且满足，假设从点到达这个位置用时，则： ， ， 此时从出发运动的路程为， 点表示的数为：， 综上所述，所表示的数为或或． 42．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的和谐点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的和谐点，点是的和谐点． (1)如图，数轴上点，表示的数分别为，5，若点是的和谐点，则点表示的数是 ；若点是的和谐点，则点表示的数是 ； (2)已知点A、B、C、D在数轴上，它们表示的数分别为数a， b， c， d， 且a，b满足，点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度，点D表示的数是12；动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以2个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒， ①从B运动到C的过程中，点P表示的数是 ，从C运动到B的过程中，点Q 表示的数是 ；（用含t的代数式表示） ②求使得点C是的和谐点的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3， (2)①；②存在，2或16 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用等知识点，理解 “和谐点”的定义，熟练掌握解一元一次方程，准确地用代数式表示出数轴上的点，根据“和谐点”以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据“和谐点”的定义求解即可； （2）先由非负数的性质得，进而得点A所表示的数为，点B所表示的数为，点C所表示的数为4．①依题意得点P从点A运动到点B所用的时间为3秒，点P从点B运动到点C所用的时间为1秒，进而可得点P表示的数；再由点Q从点D运动到点C所用的时间为4秒，点Q从点C运动到点B所用的时间为8秒，进而可得点Q表示的数；②根据点C是的和谐点，得，且点C在点P，Q之间，因此有以下三种情况：a.当点P在点A，B之间时，此时，点P所表示的数为，此时点Q在点C，D之间，点Q所表示的为，则，进而得，据此求出t即可；b.当点Q在点C，B之间时，此时，点P已过C点，点P所表示的数为，点Q所表示的数为,则，，进而得，据此求出t即可；c.当点Q在点A，B之间时，此时，点P已过C点，点P所表示的数为，点Q所表示的数为，则，进而得，据此求出t即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点M，N表示的数分别为，点P是的和谐点， ∴， 设点P所表示的数为p,则, ∴，解得：， ∴点P所表示的数为3； ∵点Q是的和谐点， ∴， 设点Q所表示的数为q,则， ∴，解得， ∴点Q所表示的数为． 故答案为：3；． （2）解：∵， ∴解得：， ∴点A所表示的数为，点B所表示的数为， ∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度， ∴点C所表示的数为4， 又∵点D所表示的数为12， ∴点A，B，C，D在数轴上为位置如下图所示： ∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度， ∴点C所表示的数，点B，C之间的距离， ①∵动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动， ∴点P从点A运动到点B所用的时间为：（秒）， 又∵点P在线段上的运动速度为（个单位/秒）， ∴点P从点B运动到点C所用的时间为（秒）， ∴点P从B运动到C的过程中，点P表示的数是：，其中； ∴点Q从点D运动到点C所用的时间为：（秒）， ∵点Q从点C运动到点B期间速度变为原来的一半， ∴点Q从点C运动到点B期间的速度为：（个单位/秒）， ∴点Q从点C运动到点B所用的时间为：秒）， ∴点Q从C运动到B的过程中，点Q表示的数是：,其中． 故答案为：． ②存在； ∵点C是的和谐点， ∴，且点C在点P，Q之间， ∴有以下三种情况： a.当点P在点A，B之间时，此时，点P所表示的数为， 此时点Q在点C，D之间，点Q所表示的为：， ∴, ∴，解得：； b.当点Q在点C，B之间时，此时，点P已过C点， ∴点P所表示的数为，点Q所表示的数为， ∴， ∴，解得：， 当时，点Q正好到达点C，即点Q于点C重合，不合题意，舍去； c.当点Q在点A，B之间时，此时，点P已过C点， ∴点P所表示的数为，点Q所表示的数为， ∴， ∴，解得：． 综上所述：t的值为2或16秒． 【考点9】绝对值方程（第43-45题） · |x|=a（a≥0）化为x=a或x=-a · 先把含绝对值的项单独放在等号一边 · 解后检验是否使绝对值内为负 43．（25-26七年级上·全国·期末）若关于x的方程有三个整数解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【知识点】绝对值方程 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，根据绝对值的性质可得即，再根据的范围，及方程有三个整数解，来判断上述两个绝对值方程的解得情况，从而得出的值． 【详解】解：由题意得或， 即或， 因为方程有解，所以， 当时，， 故方程总有两个不同的解， 若原方程有三个整数解，则方程必须只有一个解，因此，解得， 将代入检验，解为，符合题意。 故选：C． 44．（22-23九年级下·广东东莞·自主招生）关于的方程所有解的和为________． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、绝对值方程、绝对值的其他应用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】根据绝对值的性质，从外层开始逐层去掉绝对值，利用绝对值的非负性舍去不符合条件的结果，最终得到（），计算两个解的和即可． 【详解】解：原方程，由绝对值等于零的性质，得， 逐层去绝对值，根据绝对值的非负性，每一步取正号，对任意第步（），去掉绝对值后可得前一层表达式的值为， 因为，不符合绝对值的非负性，舍去， 仅保留正结果， 最终推得， 设，则， 解得，， 所有解的和为． 45．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）下列关于x的方程说法正确的有______（只填序号） ①一定有两个解；②有解，则； ③有解，则； ④有三个解，则； ⑤若方程且有两个解，则． 【答案】②③④ 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值方程、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了绝对值的意义，一元一次方程的解；根据绝对值的意义，分别化简方程，根据方程的解分别判断，即可求解． 【详解】解：①，当时，方程只有一个解，故①不正确； ②表示数轴上的点到原点的距离与到的距离的和为， 当或时，则， 当时， ∴有解，则，故②正确， ③表示数轴上的点到与的距离的和为， ∵有解， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴；故③正确； ④有三个解，则 当时，原方程为即， 当时，，解得： ， 当时，原方程为，解得： ， 当时，原方程为即， 当，原方程为：，解得：， 当，即，原方程为，解得：， ∵原方程有3个解， ∴当时，解得：， 当时，解得：（舍去） ∴，故④正确； ⑤若方程且有两个解，则 当，则 当时，原方程为，解得： ∴， ∴且，即， 当时，∵， 则原方程为， ∴， 即，则和矛盾， ∴，故⑤不正确； 故答案为：②③④． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：一元一次方程的识别、解的检验要熟练 · 性质过关：等式两条性质是移项和化1的依据 · 解法过关：五步完整，去分母去括号最易错 · 应用过关：行程、工程、计费画线段图找等量关系 · 综合过关：数轴动点与绝对值距离结合分类讨论 【作业1】．（25-26七年级上·河南信阳·期末）下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的基本性质，等式的性质：性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．需根据等式的两条基本性质对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：A、由两边除以，得，A选项变形正确，不符合题意； B、，即，由两边乘，得，B选项变形正确，不符合题意； C、由两边减6，得，C选项变形正确，不符合题意； D、当时，成立，但此时，故由直接得出是错误的，D选项变形错误，符合题意． 故选：D． 【作业2】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知关于的一元一次方程，若，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查一元一次方程的定义，带有字母的绝对值化简问题．由方程为一元一次方程，得二次项系数为零且一次项系数不为零，解得；再根据，即，代入所求表达式化简即可． 【详解】解：∵ 方程为一元一次方程， ∴ 且， 解得且， ∴ . 又∵ ， ∴ ， ∵ ，即， ∴ ，， ∴ ． 故选：C． 【作业3】．（25-26七年级上·河南·期末）方程的解是（   ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，先将所求式子进行变形，再根据解一元一次方程的解题方法计算即可得解，正确将所求式子进行变形是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故选：D． 【作业4】．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（    ）次 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设两车相距时，行驶的时间为t小时，相距要从相遇前和相遇后；追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计5种情况，经计算检验数据是否符合题意． 【详解】解：设两车相距时，行驶的时间为t小时，依题意得： 当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距时，则有： 解得； ②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距时， ， 解得； ③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶， ∵ ∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有： ， 解得； ④快车追上慢车后并超过慢车相距时，则有， 解得； ⑤快车返回A地终点所需时间是10小时，此刻慢车行驶了，距终点还需 行驶，则有： 解得． 综上所述，两车恰好相距的次数为5次． 故选：A． 【作业5】．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为元、元和元．已知销售每束“眷恋”的利润率为，每束“永恒”的利润率为，每束“守候”的利润率为，当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为；当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等式的性质、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查利润、进价与利率关系，利用等式的基本性质求解未知数之间的等量关系，先根据三种花束的利润之和除以三种花束的进价之和等式，进行整理可得，，，即可求得，，进而可得答案．掌握利润、进价与利润率关系，列出等式是解决问题的关键． 【详解】解：三种花束的每一束成本分别为元、元和元， 则三种花束的每一束利润分别为，，， 当售出的三种花束数量之比为时，三种花束的数量分别为，，， 根据题意得：， 整理得：， 当售出的三种花束数量之比为时，三种花束的数量分别为，，， 根据题意：， 整理得：，则：， 将代入得：，则：， ∴， 故选：A． 【作业6】．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）对于整数m，n，定义一种新的运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定， （1）当时，则的值是________． （2）已知为正整数，且满足，则的值是________． 【答案】 14 9 【知识点】有理数四则混合运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查定义新运算，解一元一次方程，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义，分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：（1）∵， ∴为偶数， ∴； 故答案为：14； （2）∵为正整数，为偶数， ∴， ∵， ∴当为偶数时，为偶数， ∴，解得（不符合题意，舍去）； 当为奇数时，为奇数， ∴，解得； 故答案为：9 【作业7】．（25-26七年级上·全国·期末）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是______． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查一元一次方程的求解，换元法，理解题意，掌握换元法的计算是关键． 通过变量代换将第二个方程转化为第一个方程的形式，利用已知解求解． 【详解】解：对于方程 ， 设 ，则， ∴关于y的一元一次方程化为 ， 即 ， 两边乘以 ，得 ， 即 ， 令 ，则 ， 两边减 ，得 ， 这与已知方程 形式相同，且解为 ， 所以， 由 和 ，得 ， 所以 ， 解得，， 故答案为： ． 【作业8】．（23-24七年级上·山东临沂·阶段检测）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，，，，，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为_________    【答案】 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据将数字，，，，，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，可得，再观察“六角幻星”图可知与相差6，只有，3或0，6满足，依此即可求解． 【详解】解：设右下边为，由满足6条边上四个数之和都相等，它们的和为，如图所示：    观察图形还有，，0，3，4，6五个数字，观察“六角幻星”图可知与相差6，只有，3或0，6满足， 则或， 解得或， 当时，，或又有1个为0（不合题意舍去）， 当时，符合题意． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，关键是用字母表示出，，0，3，4，6五个数字，难度较大． 【作业9】．（23-24八年级上·四川成都·阶段检测）如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线、分别平分、，当时，_____________． 【答案】或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，分射线 在的内部，射线的反向延长线在的内部两种情况进行讨论，设，分别用含x的式子表示和，根据建立方程即可求解． 【详解】解：如图，当射线在内部时， 设， 则， 则， ， ， ， ， ， ， ； 当点射线的反向延长线在内部时，如图， 设， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， 综上所述，或． 【作业10】．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点， ，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则_______． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、整式的加减运算、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】先求出A点对应的数为，B点对应的数是5，设经过t秒，得到，，，分和两种情况分类讨论，进行化简，再根据题意得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴A点对应的数为，B点对应的数是5， 经过t秒后，A点对应的数为，B点对应的数为，P点对应的数为 ,则，，， ①当时， ， ， 当，即时，的值在某段时间内不随t的变化而变化； ②当时，， ， 当，即时，的值在某段时间内不随着t的变化而变化； 综上所述，当或时的值在某段时间内不随t着的变化而变化． 故答案为：或． 【点睛】本题为数轴上的动点问题，考查了数轴上两点之间距离，整式的加减的应用，绝对值的化简、解一元一次方程等知识．理解题意，分别表示出、、的长是解题关键，化简绝对值时要注意分类讨论． 【作业11】．（24-25七年级上·全国·单元测试）某同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点O，在直线上，第一步，绕点O顺时针旋转度至；第二步，绕点O顺时针旋转度至；第三步，绕点顺时针旋转度至，以此类推，在旋转过程中若碰到直线则立即绕点O反方向旋转．当时，则等于 ______度． 【答案】5或25 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平角的定义，角度的和差关系，解题的关键是理解题意，掌握角度的规律探索，注意运用分类讨论的思想进行分析． 根据题意，由旋转的性质和角度的变化规律，可对射线进行讨论分析：①未反弹；②反弹后落在之间；③反弹后落在之间；④反弹后落在之间；分别求出每一种情况的答案，并结合实际情况，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，可对射线进行讨论分析： ①未反弹时，如图： ∵， ∴， ∴； 此时，满足题意； ②反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ， 此时，不符合题意，舍去； ③反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ， ， 此时，成立； ④反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ∴，不合题意舍去； 综上所述，等于或． 故答案为：或． 【作业12】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）某地居民用水收费标准如下表： 家庭每月用水量 收费 不超过的部分 2元/ 超过但不超过的部分 4元/ 超过的部分 6元/ (1)已知小亮家去年10月份共用水，则他家去年10月份应缴水费是多少？ (2)若小亮家去年11、12月份共用水，（12月份用水量超过11月份用水量，且11月用水量超过），共交水费76元，则小亮家11、12月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)42元 (2)他家去年11月用水量是，12月用水量是， 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）用水，分三部分计算，不超过的部分按2元/，超过但不超过的部分按4元/，超过的部分按6元/，把三部分的费用求和即可． （2）由题意得，小亮家11月份用水量超过但不超过，12 月份用水量超过．设小亮家11月份用水量是．根据题意列方程求出x值，则可得11月份用水量，进而可得12月用水量． 本题考查了有理数混合运算的实际应用，以及列一元一次方程解应用题．理解题意，正确地列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解： （元）． 答：他家去年10月份应缴水费是42元． （2）解：由题意得，小亮家11月份用水量超过但不超过，12 月份用水量超过．设小亮家11月份用水量是，由题意可得； 解得． ∴． 答：他家去年11月用水量是，12月用水量是． 【作业13】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点和点表示，表盘与线段交于点，为表盘圆心． (1)若为，，是中点，则表带全长__________， (2)表盘上的点对应数字“12”，点对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ①__________度； ②在8点至9点之间，还有一个时间分针与时针的夹角与时分针与时针的夹角相等，这个时间是8时_____分． (3)如图④所示，在下方，已知，从（分针与重合，仍为时针）开始，在一小时以内，经过多少分钟后，射线、射线、射线中一条射线是另两条射线组成的角的平分线． 【答案】(1) (2)①；② (3)或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算、钟面角、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了线段长度的计算，时针和分针的夹角，以及列一元一次方程解决问题，数形结合和细心计算是解题的关键． （1）利用中点和，求出和，求和即可得; （2）①利用分针和时针每分钟走过得角度即可计算；②分两种情况计算即可； （3）设时间为t，分平分，平分，平分，三种情况列出含t的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵B是中点． ∴； ∴； ∵； ∴； ∴； ∴， 故答案为：24； （2）解：①∵， ∴在表盘上，每相邻两个数字间的角度（锐角）为， ∵分针的速度为（每分）；时针的速度为（每分）； ∴30分钟时针所转的角度为，即时针从8点到所转的角度为， ∵时，分针指向数字， ∴， ∴， 故答案为：； ②由①知时分针与时针的夹角为， ∵时，时针指向，分针指向， ∴此时， 设经过时间为x分钟，分针与时针的夹角与时分针与时针的夹角相等， ∵分针的速度为（每分）；时针的速度为（每分）， ∴时针与分针的速度差为， ∴， 则， 解得（不合题意舍去）或； 则这个时间是8时分， 故答案为：； （3）解：由（2）知时，，则， 设经过时间为t分钟， ∵分针的速度为（每分）；时针的速度为（每分）， ∴时针与分针的速度差为，， ∵从到，时针所转的角度为， ∴始终位于右侧， ∴，，， 当平分，此时，即， 解得或（此时，在上方，不符合题意，舍去）； 当平分，此时，即， 解得或（舍去）； 当平分，此时，即， 解得或（此时，在右侧，不符合题意，舍去）； 综上所述t为或或． 【作业14】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）观察下面三行数： ① ② ③ (1)第行第 个数是 ，第行第 个数是 ，第行第 个数是 ； (2)在第行中是否存在三个连续数，其和为？若存在求出这三个数，不存在说明理由； (3)若在每行取第个数，这三个数的和为，求的值． 【答案】(1)；； (2)不存在连续的三个数 (3)不存在满足条件的 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算、数字类规律探索、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】观察数据，找到数据变化规律即可求解． （2）利用（1）中公式求解即可． （3）利用（1）中公式求解即可． 【详解】（1）观察绝对值第个数的绝对值为，观察符号：负、正、负、正、负、正奇数项为负，偶数项为正，可以用来表示符号，第行的第个数可以表示为：， ∴第行的第12个数为 ： 观察第数据可以看出，第行的每一个数都是第行对应位置的数加 因此，第行的第个数可以表示为： ， ∴第行的第11个数为 ： 观察第行数据可以看出，第行的每一个数都是第行对应位置的数的倍 因此，第行的第个数可以表示为：， ∴第行的第12个数为： ： （2）假设存在三个连续数和为，这三个数为第个数，第个数，第个数，根据，这三个数分别为，，， 当奇数时，三个数分别为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵奇数时， ∴不符合题意， 当偶数时，三个数分别为，，， ∴， ∴， ∴， ∵代表第几个数，必须是正整数，所以不合题意， 综上所述，不存在这样的三个连续数． （3）由小问1可知，， ，，每行取第个数和为，先计算三个数的和， ∴， ， ， ， ， ∴， ∴不存在满足条件的． 【作业15】．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）根据以下素材，尝试解决问题 出行方式选择 素材1 随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的方式有了更多的选择．某市有出租车、快车和专车三种网约车，收费标准如图（假设网约车行驶的平均速度均为40千米/时）． 素材2 1．乘坐网约快车4千米路程收费为元； 2．网约快车和网约专车在春节期间有如下优惠方式： 快车：“满40元减10元”优惠券（一次限用一张优惠券） 专车：①免除时长费；②3千米及以内，里程费不变为3元/千米；超过3千米且不超过8千米的部分，里程费为2元/千米；超过8千米的部分，里程费为1.6元/千米． 问题1 乘坐出租车千米，费用为 元．（结果用的代数式表示） 问题2 春节期间，若小明乘坐出租车与网约快车的里程数相同且所付费用也相同，求此时的里程数． 问题3 春节期间，小明、小宁分别坐出租车、专车从地前往地．小宁坐专车的费用比小明坐出租车的费用贵7元，求，两地相距多少千米？ 【答案】问题1：；问题2：此时的里程数为16千米；问题3：，两地相距1或13千米 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 问题1：根据出租车的计费标准列代数式即可； 问题2：设里程数为千米，根据“小明乘坐出租车与网约快车的里程数相同且所付费用也相同”列方程求解即可； 问题3：设，两地相距千米，根据“小宁坐专车的费用比小明坐出租车的费用贵7元”列方程求解即可． 【详解】解：问题1、乘坐出租车千米，费用为元． 问题2、显然，里程数不可能为3千米以内，设此时的里程数为千米， ①快车没满40元，由题意得，此方程无正解； ②快车满40元，由题意得，解得． 答：此时的里程数为16千米． 问题3：设，两地相距千米， ①当时，由题意得，解得； ②当时，由题意得，解得（舍去）； ③当时，由题意得，解得． 答：，两地相距1或13千米． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $