精品解析：天津市滨海新区天津外国语大学附属滨海外国语学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

天津外国语大学附属滨海外国语学校 2026－2027学年第一学期高二年级数学学科练习 （时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（9小题，共45分.） 1. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设知直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 2. 若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 3. 直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的倾斜角和的方向向量分别求出两直线的斜率，再利用两直线垂直的条件计算即可. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 由，得， 故. 故选：B. 4. 若直线与平行，则与的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，解得， 当时，不重合，故， 可化为， 所以与的距离为. 5. 如图，在空间四边形OABC中，设，，，且OM＝2MA，BN＝NC，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用线段的分点关系求出和，再通过向量的减法求． 【详解】因为，且在线段上，所以． 又因为，所以为的中点，． 所以． 因此，D正确． 6. 在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（ ） A. 4 B. 1 C. 6 D. －6 【答案】C 【解析】 【详解】由， 得. 因为四点共面，所以存在唯一实数对，使得， 所以，解得. 故的值为. 7. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 8. 点到直线：的最大距离是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过整理含参的直线方程得出直线恒过的定点，将点到直线的最大距离转化为点到定点之间的距离即可求得. 【详解】把直线的方程重新整理得：， 因为该等式对任意都成立，所以，解得， 即直线恒过定点. 当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化， 而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离， 此时. 9. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则下列命题正确的个数是（ ） ①对于任意点Q，都有 ②对于任意点Q，不存在BQ∥平面MNP ③过点Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为 ④存在点Q，使得三棱锥体积为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①②建立空间直角坐标系，结合空间向量求解判断；③在平面中作，垂足为，过点在平面中作，交于点，分析可得为的中点时，截面矩形最大，进而求解判断即可；④利用等体积法求解判断即可. 【详解】①在正方体中，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； 因为正方体棱长为2，可得，，，设， 则，， 则，故对于任意点，都有，①正确； ②因为分别是的中点，故，，； 则，， 设为平面的法向量， 则，可得，解得； 令可得，， 若平面，则，解得，不合题意， 故对于任意点，不存在平面，②正确； ③在平面中作，垂足为，过点在平面中作，交于点， 因为正方体中，平面平面，且交于， 因为平面，故平面，而平面，则， 因为平面，故平面， 即平面截正方体的截面为矩形， 当与重合时，即为的中点时，截面最大， 面积为， 当靠近（靠近）， 此时过作的垂线交于，即截面为矩形为， 如图，是的中点，，且， ，故，所以四边形是平行四边形， 可得的长度为，因此截面的面积为， 故截面面积的最大值为，故③正确； ④由， 可得，因为是线段上的动点（不包含端点），故， 因此，不存在点，使得三棱锥体积为，故④错误． 二、填空题（6小题，共30分.） 10. 已知，，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标关系计算可得结果. 【详解】由，可得，即，解得. 故答案为：. 11. 已知，，三点，若是锐角，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由，，， 则， 因为是锐角， 所以，且不共线， 则，解得且， 则实数a的取值范围为. 12. 一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意得出入射光线的方程，求出入射光线与x轴的交点，结合反射的性质得出反射光线的斜率，即可得出答案. 【详解】由题意知，入射光线所在直线的斜率为， 则入射光线方程为，化简整理可得， 则入射光线和轴交点为， 由对称性知反射光线的斜率为，所以反射光线的方程为， 化简整理可得. 故答案为： 13. 已知与垂直，且与垂直，则____________ 【答案】 或 【解析】 【分析】根据向量垂直化简数量积，由两式可得且，再由向量夹角公式求解即可. 【详解】由题意，得， ， 两式相减得：，则， 代入上面两个式子中的任意一个，得， 则， 又，所以. 14. 如图所示，二面角为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面，内，且AC⊥l，BD⊥l，AB＝2，AC＝3，BD＝4，则CD的长____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，且，在棱上， 所以，. 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为， 则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以 ， 即， 所以的长为 15. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子P，Q分别在正方形对角线和上移动，且，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量表示出对应线段长度，即可求解最值. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方形的边长为且两平面垂直，则各顶点的坐标为， ，，，，，， 因此，，该方向上的单位向量为， 由题意得，点坐标为， 同理，，该方向上的单位向量为， 故点坐标为， 则， 故当时，. 三、解答题（5小题，共75分.） 16. 已知中，， （1）若点为边AC的中点，求过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程． （2）若， （i）求BC边上的高AD所在直线的一般式方程； （ii）求的面积． 【答案】（1）和. （2）（i）。 （ii）14 【解析】 【分析】（1）先通过中点坐标公式反推C点坐标，再分“截距为0”和“截距非零”两类，分别求解过C点且两轴截距相等的直线方程； （2）（i）先由两点坐标求出BC边的斜率，再利用垂直直线的斜率关系得到高AD的斜率，最后结合点A坐标写出直线方程并整理为一般式；（ii）先求出直线BC的方程与边长，再用点到直线距离公式求出BC边上的高，最后代入三角形面积公式计算面积. 【小问1详解】 设，由M为AC中点，根据中点坐标公式，，代入，，解得，，即， 分两类求过C且两坐标轴截距相等的直线： ①截距均为0时，直线过原点，斜率，方程为， ②截距不为0时，设直线方程为，代入C点得，方程为， 故所求直线方程为和. 【小问2详解】 （i），因AD为BC边上的高，故，得， AD过，由点斜式得，即， 所以BC边上的高AD所在直线的一般式方程为. （ii）由，结合点B(4，3)，由点斜式得，故直线BC的方程为， B(4，3)、C(3，−2)，得， 直线BC：，点A(−2，1)，得点A到BC的距离， 故， 所以的面积是14. 17. 已知直三棱柱中，，点M、N分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求与平面BCN夹角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理求解； （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，由求解； （3）先求点到平面BCN的距离为，再由三棱锥体积公式求解. 【小问1详解】 连接，， 四边形为矩形，为的中点， 与交于点，为的中点， 又N为的中点，， 又平面，且平面， 平面. 【小问2详解】 由已知，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 因为平面即平面，，， ， 取，则，从而， 设所求线面角为，， ， 所以与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 设点到平面的距离为，， ， 已知，则， 所以 . 18. 已知直线的方程为（）： （1）求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； （3）若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 【答案】（1）证明:直线：，即， 由，得，所以直线必过定点，此定点坐标为. （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出直线所过定点即可. （2）求出直线的横纵截距，再列式求解. （3）求出直线的斜率及纵截距，结合题意列式求解. 【小问1详解】 证明略，. 【小问2详解】 依题意，，在直线：中，令，得；令，得， 由直线在两坐标轴上的截距相等，得，解得或， 所以或. 【小问3详解】 直线：的斜率为，纵截距为， 由直线不经过平面直角坐标系的第二象限，得，解得， 所以的取值范围是. 19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． （1）求证：PB⊥平面EFD； （2）求平面CPB与平面PBD的夹角的正弦值； （3）线段PA上是否存在点Q，使得FQ与DB所成角为30°，若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. ∵底面是边长为的正方形，底面，， ∴. ∵是的中点，∴. ∴，， ∴， ∴，即. 又由题知，且，平面， ∴平面. （2） （3）存在满足条件的点，为线段上靠近的六等分点（），坐标为. 【解析】 【分析】(1)要证明线面垂直，需证明直线垂直于平面内两条相交直线，结合已知，只需额外证明即可； (2)分别求解两个平面的法向量，利用法向量夹角与面面角的关系计算正弦值 (3)用参数表示线段上的动点坐标，结合异面直线所成角的向量公式列方程求解，通过参数范围验证点是否在线段上 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为， ，， 则，令，得. 设平面的法向量为， ，， 则，令，得. 设平面与平面的夹角为， 则. ∵，∴. 即平面与平面的夹角的正弦值为. 【小问3详解】 ， 设，则，， 由，得，即， 解得，因此， 设在线段上，令， 由，得， ，， 异面直线与所成角为，得， 整理得，解得，符合条件， 故存在满足条件的点，为线段上靠近的六等分点（），坐标为. 20. 如图直线l过点，与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，的面积为24．点P为线段上一动点，且交于点Q． （1）求直线斜率的大小； （2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定P点在上的位置，并求出线段的长； （3）在y轴上是否存在点M，使为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）点为中点， （3）存在， 由（1）可知，直线的方程为，即， 当直角顶点为时，满足，又满足， 又因为，所以四边形为正方形， 所以设，，， 将点代入直线方程中得：， 解得，所以此时坐标为； 当直角顶点为时，既满足，又满足， 因为，点在轴上，所以点和原点重合， 设点，所以点，代入直线方程中得， 解得，符合题意，所以此时坐标为； 当直角顶点为时，既满足，又满足， 所以， 因为，所以，所以， 设，， 点在直线上，所以，，所以点， 因为，所以， 因为，所以，所以，所以， 即，解得，符合题意，此时坐标为， 综上所述，点M的坐标为或或. 【解析】 【分析】（1）设出点，的坐标，进而设出直线的截距式方程，由直线过点和的面积列出方程组，可求解点，的坐标，进而可求解直线的斜率. （2）根据平行关系得到，根据所给的面积关系得到相似比，即可求得点的位置和线段的长度. （3）设出点，点和点的坐标，对直角顶点为、、分别进行讨论，根据等腰直角三角形的性质，两个直角边垂直且相等，结合点在直线上，即可列出方程，求解，看是否符合要求即可. 【小问1详解】 由图可设，，， 设直线的方程为，，， 直线l过点， 的面积为24． 所以可得方程组，解得， 所以，，斜率， 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得：， 即， 由（1）可知，，， 所以，点为中点，坐标为. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津外国语大学附属滨海外国语学校 2026－2027学年第一学期高二年级数学学科练习 （时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（9小题，共45分.） 1. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与平行，则与的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，在空间四边形OABC中，设，，，且OM＝2MA，BN＝NC，则（ ） A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（ ） A. 4 B. 1 C. 6 D. －6 7. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 点到直线：的最大距离是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则下列命题正确的个数是（ ） ①对于任意点Q，都有 ②对于任意点Q，不存在BQ∥平面MNP ③过点Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为 ④存在点Q，使得三棱锥体积为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4个 二、填空题（6小题，共30分.） 10. 已知，，且，则________． 11. 已知，，三点，若是锐角，则实数a的取值范围为__________． 12. 一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为_____． 13. 已知与垂直，且与垂直，则____________ 14. 如图所示，二面角为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面，内，且AC⊥l，BD⊥l，AB＝2，AC＝3，BD＝4，则CD的长____________． 15. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子P，Q分别在正方形对角线和上移动，且，则的最小值为________． 三、解答题（5小题，共75分.） 16. 已知中，， （1）若点为边AC的中点，求过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程． （2）若， （i）求BC边上的高AD所在直线的一般式方程； （ii）求的面积． 17. 已知直三棱柱中，，点M、N分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求与平面BCN夹角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 18. 已知直线的方程为（）： （1）求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； （3）若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． （1）求证：PB⊥平面EFD； （2）求平面CPB与平面PBD的夹角的正弦值； （3）线段PA上是否存在点Q，使得FQ与DB所成角为30°，若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由． 20. 如图直线l过点，与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，的面积为24．点P为线段上一动点，且交于点Q． （1）求直线斜率的大小； （2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定P点在上的位置，并求出线段的长； （3）在y轴上是否存在点M，使为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $