第8讲：对数【五大题型+知识归纳+高分精练】讲义-2026-2027学年高一上学期数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(苏教版必修第一册）

第8讲：对数 题型一：指数式与对数式的互化 2 题型二：对数的运算 3 题型三：对数运算性质的应用 3 题型四：对数换底公式的应用 4 题型五：对数运算综合问题 5 考点一：对数的有关概念 对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg N，logeN简记为ln N. 知识点二：对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x. 对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)． 知识点三：对数的性质 1．1的对数为零．2．底的对数为1.3．零和负数没有对数． 知识点四：对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 知识点五：换底公式 1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论： (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)； (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 题型一：指数式与对数式的互化 【例1】．（22-23高一·全国·课堂例题）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式1】．（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．（4.3对数运算（精讲）-《一隅三反》）将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). (4)； (5)； (6)；(7). 题型二：对数的运算 【例2】．（26-27高一上·全国·课堂例题）求值： (1)； (2)； (3). 【变式1】．求下列各式的值： (1). (2)． 【变式2】．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)已知，求的值． 题型三：对数运算性质的应用 【例3】．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）计算： (1) (2)． (3) 【变式1】．（专题12 对数与对数函数的性质题型归类01（压轴题专项训练）数学北师大版2019必修第一册）计算下列各式的值． (1)． (2)． (3) . (4)； (5) (6)； (7) (8)， 【变式2】．（25-26高一上·福建厦门·期中）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 题型四：对数换底公式的应用 【例4】．（2026高二下·全国·竞赛）设正实数，，同时满足，，，则的值为__________. 【变式1】．（25-26高一下·云南·开学考试）已知a，b为方程的两个根，则______． 【变式2】．（25-26高一上·山东青岛·期末）已知，，，则______． 题型五：对数运算综合问题 【例5】．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）（1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）实数，满足，求的最小值． 【变式1】．（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）计算： (1) (2) (3) 【变式2】．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）（1）18世纪，瑞士数学家欧拉发现指数与对数的联系，他指出“对数源出于指数”.为了计算对数的方便，常运用换底公式将代数式中不同底的对数化为同底的对数. ①请写出对数的换底公式； ②请依据对数的换底公式证明. （2）请分别计算下列两小问中x，y的值： ①； ②实数a，b满足. 一、单选题 1．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知，，则18可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）已知，，试用表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·全国·课后作业）下列四个等式(其中，且)； （1）； （2）； （3）； （4）． 其中恒成立的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026·吉林长春·二模）已知实数，若且，则（   ） A．9 B．21 C．27 D．30 8．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．1 B．5 C．7 D．9 9．（25-26高一上·湖北荆州·期末）已知实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）已知，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知，，，下列等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）下列各式正确的有（     ） A．已知，，则 B． C．设，则 D． 13．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·重庆·阶段检测）若，则（     ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 三、填空题 15．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）设，，则＝_____________.（用含a，b的式子表示） 16．（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）计算：_________. 17．（26-27高一上·全国·课后作业）（1）已知，则的值为________. （2）方程的解为________. 四、解答题 18．（26-27高一上·全国·课后作业）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3). 19．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，求： (1) (用表示). (2) (用表示)． 20．计算下列各题： (1)； (2). (3). 21．（25-26高一上·北京延庆·期末）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲：对数 题型一：指数式与对数式的互化 2 题型二：对数的运算 4 题型三：对数运算性质的应用 5 题型四：对数换底公式的应用 7 题型五：对数运算综合问题 8 考点一：对数的有关概念 对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg N，logeN简记为ln N. 知识点二：对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x. 对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)． 知识点三：对数的性质 1．1的对数为零．2．底的对数为1.3．零和负数没有对数． 知识点四：对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 知识点五：换底公式 1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论： (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)； (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 题型一：指数式与对数式的互化 【例1】．（22-23高一·全国·课堂例题）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）因为，所以 （2）因为，所以 （3）因为，所以 （4）因为，所以 （5）因为，所以 （6）因为，所以 【变式1】．（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 【变式2】．（4.3对数运算（精讲）-《一隅三反》）将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). (4)； (5)； (6)； (7). 【答案】(1) (2) (3) (4)； (5)； (6)； (7). 【详解】（1）由可得. （2）由，可得. （3）由，可得. （4）由，可得； （5）由，可得； （6）由，可得； （7）由，可得. 题型二：对数的运算 【例2】．（26-27高一上·全国·课堂例题）求值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式. （2）原式； （3）因为， 所以原式. 【变式1】．求下列各式的值： (1). (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ； （2） ． 【变式2】．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），，， ． （2）． （3），， ． 题型三：对数运算性质的应用 【例3】．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）计算： (1) (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 【变式1】．（专题12 对数与对数函数的性质题型归类01（压轴题专项训练）数学北师大版2019必修第一册）计算下列各式的值． (1)． (2)． (3) . (4)； (5) (6)； (7) (8)， 【答案】(1)； (2)； (3)2；(4)；(5)；(6)；(7)；(8). 【详解】（1）； （2）； （3） ； （4）； （5） ； （6）； （7）； （8）. 【变式2】．（25-26高一上·福建厦门·期中）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式. 题型四：对数换底公式的应用 【例4】．（2026高二下·全国·竞赛）设正实数，，同时满足，，，则的值为__________. 【答案】 【详解】可化为，即，所以① 可化为，同理得②， 可化为，同理得③ 将①②③式相加得 得到，即，所以，所以. 【变式1】．（25-26高一下·云南·开学考试）已知a，b为方程的两个根，则______． 【答案】 【详解】原方程变形为． 令，则，解得或 ， 当时，可得；当时，可得， 即方程的两根分别为、，故． 【变式2】．（25-26高一上·山东青岛·期末）已知，，，则______． 【答案】8 【详解】因为，所以， 则，解得或， 又，，则，即， 所以， 则或，即或， 解得或，则. 故答案为：8. 题型五：对数运算综合问题 【例5】．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）（1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）实数，满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【详解】（1） ； （2）已知，，解得，， 则， 所以； （3）由得， ， 因为，由基本不等式得：， 当且仅当，即，时等号成立， 此时，即， 则， 所以的最小值为． 【变式1】．（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）计算： (1) (2) (3) 【详解】（1） （2） （3） 【变式2】．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）（1）18世纪，瑞士数学家欧拉发现指数与对数的联系，他指出“对数源出于指数”.为了计算对数的方便，常运用换底公式将代数式中不同底的对数化为同底的对数. ①请写出对数的换底公式； ②请依据对数的换底公式证明. （2）请分别计算下列两小问中x，y的值： ①； ②实数a，b满足. 【详解】（1）①对数的换底公式：； （2）左边 ，套用换底公式，选以 a 为底： 对数性质： 又 等式得证。 （2）①； ②因为，则， 所以. 一、单选题 1．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数式与对数式的互化即得. 【详解】由可得. 2．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知，，则18可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将 写成 ，再利用对数的运算性质把 用 表示. 【详解】由对数的运算性质，. 代入 和 ，得 . 所以 . 3．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）已知，，试用表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，得. 所以. 4．（26-27高一上·全国·课后作业）下列四个等式(其中，且)； （1）； （2）； （3）； （4）． 其中恒成立的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由对数运算法则可知，，故（1）不成立； ，故（2）不成立； ，故（3）恒成立； ，故（4）不成立． 5．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得．因为， 所以， 得． 6．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】， ， ， ， 故③④正确，①②错误， 其中正确的个数为2. 7．（2026·吉林长春·二模）已知实数，若且，则（   ） A．9 B．21 C．27 D．30 【答案】D 【详解】设，则，由于，则， 故由可得，即， 解得，舍去， 故，即得， 又，则，即，结合，得， 故，则. 8．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．1 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为， 所以，即，， 则， 当且仅当，即时等号成立. 9．（25-26高一上·湖北荆州·期末）已知实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，， 原式化为：， 令，单调递增，单调递增，单调递增， ， ， ，故，即， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为，故D正确． 故选：D． 二、多选题 10．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）已知，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】根据对数的定义，由得，A正确； 对数的运算性质，，B正确； 又因为，C错误； 由对数的换底公式，，D错误． 11．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知，，，下列等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，左边是，底数不一样，不能合并， 如，，此时，，式子不成立，A错误. 对于B，根据指数幂的运算法则知，，B正确. 对于C，根据对数的运算法则知，，C正确. 对于D，根据对数的运算法则知，，D错误. 12．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）下列各式正确的有（     ） A．已知，，则 B． C．设，则 D． 【答案】ACD 【详解】因为，，则，A选项正确； ，B选项错误； 设，则，C选项正确； ，D选项正确； 13．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 14．（25-26高一上·重庆·阶段检测）若，则（     ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BCD 【详解】对于A，，则，可得， 当且仅当时，等号成立，此时，，可得，故A错误； 对于B，由于，所以，由， 当且仅当等号成立，即，，故B正确； 对于C，由可得，，故， 所以 ， 当且仅当，时，等号成立，故C正确； 对于D，由可得，，所以， 当且仅当时，即，时，等号成立. 故选：BCD. 三、填空题 15．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）设，，则＝_____________.（用含a，b的式子表示） 【答案】 【详解】 16．（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）计算：_________. 【答案】10 【详解】 17．（26-27高一上·全国·课后作业）（1）已知，则的值为________. （2）方程的解为________. 【答案】 【详解】由，得，即 化为，解得或. 又∴.∴， （2）原方程可化为， 即 所以， 即，解得或 又且，所以. 所以不满足题意，因此应舍去. 故方程的解为 四、解答题 18．（26-27高一上·全国·课后作业）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)2 (2)100 (3) 【详解】（1）因为，所以.所以. （2）因为，所以.所以. （3）. 19．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，求： (1) (用表示). (2) (用表示)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为,所以. 所以; （2）. 20．计算下列各题： (1)； (2). (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） （2） （3） 21．（25-26高一上·北京延庆·期末）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2)25 (3) 【详解】（1）； （2）； （3）. 2 学科网（北京）股份有限公司 $