4.2.2 第1课时 对数的运算性质-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“对数的运算性质”核心知识点，从指数运算性质切入，通过问题引导学生计算三组对数式猜想规律，系统推导并呈现积、商、幂的对数运算性质，强调成立条件及逆运算，构建从指数到对数运算的学习支架。 资料以问题驱动猜想培养数学眼光，通过推导过程强化逻辑推理（数学思维），设计多样题型并总结通性通法助学生用数学语言表达。如“想一想”辨析错误形式，课中辅助教师引导探究，课后练习及解析帮助学生查漏补缺，提升数学运算能力。

4.2.2　对数的运算性质 课标 要求 1.理解对数的运算性质，理解其推导的过程和成立条件（逻辑推理）. 2.能熟练运用对数的运算性质化简求值（数学运算）. 3.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数（逻辑推理、数学运算）. 第1课时　对数的运算性质 　　 对数是指数的另一种表达形式.对数运算是指数运算的逆运算，我们已知道指数运算有指数运算的性质，那么对数运算是否有对数运算的性质？ 【问题】　计算下列三组对数运算式，观察各组结果，你能猜想对数的运算性质吗？ （1）log2（4×8），log24＋log28； （2）log2，log232－log24； （3）log225，5log22. 　 知识点　对数的运算性质 　若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，n∈R，那么： （1）loga（MN）＝　logaM＋logaN　； （2）loga＝　logaM－logaN　； （3）logaMn＝　nlogaM　. 提醒：（1）性质的逆运算仍然成立；（2）公式成立的条件是M＞0，N＞0，而不是MN＞0，比如式子log2[（－2）·（－3）]有意义，而log2（－2）与log2（－3）都没有意义；（3）性质（1）可以推广为：loga（N1·N2·…·Nk）＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk＞0，k∈N*. 【想一想】 　loga（M±N）＝logaM±logaN成立吗？两个正数的和与差的对数能否用这两个正数的对数表示？ 提示：不成立；求两个正数的和与差的对数，没有运算法则，只能先求出它们的和与差，并且满足差为正数才能求对数. 1.〔多选〕下列计算正确的是（　　） A.log315＝log35＋log310 B.lg＝lg 32－lg 4 C.lg 2－lg＝1 D.（loga3）2＝2loga3 解析：BC　对于A，log315＝log3（3×5）＝log33＋log35＝1＋log35，故A错误；对于B ，显然正确；对于C，lg 2－lg＝lg（2÷）＝1，故C正确；对于D，2loga3＝loga32≠（loga3）2，故D错误.故选B、C. 2.log84＋log82＝　1　. 解析：log84＋log82＝log8（4×2）＝log88＝1. 3.log510－log52＝　1　. 解析：log510－log52＝log5＝log55＝1. 4. 设a＝lg 2，b＝lg 3，试用a，b表示lg 6. 解：lg 6＝lg（2×3）＝lg 2＋lg 3＝a＋b. 　 题型一　对数式的化简与求值 （链接教科书第90页例4）求下列各式的值： （1）log2（25×42）；（2）log5625；（3）log3e＋log3；（4）lg 50－lg 5. 解：（1）log2（25×42）＝log225＋log242＝5＋2log24＝5＋4＝9. （2）log5625＝log554＝4log55＝4. （3）log3e＋log3＝log3（e·）＝log31＝0. （4）lg 50－lg 5＝lg ＝lg 10＝1. 通性通法 对数式的化简与求值 　　对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. 计算下列各式的值： （1）〔一题多解〕log3（27×92）；（2）lg 5＋lg 2； （3）ln 3＋ln；（4）log35－log315. 解：（1）法一　log3（27×92）＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7. 法二　log3（27×92）＝log3（33×34）＝log337＝7log33＝7. （2）lg 5＋lg 2＝lg（5×2）＝lg 10＝1. （3）ln 3＋ln ＝ln（3×）＝ln 1＝0. （4）log35－log315＝log3＝log3＝log33－1＝－1. 题型二　利用对数运算性质化简与求值 求下列各式的值： （1）log535－2log5＋log57－log51.8； （2）（lg 5）2＋2lg 2－（lg 2）2. 解：（1）原式＝log5（5×7）－2（log57－log53）＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55 ＝2log55＝2. （2）原式＝（lg 5）2＋（2－lg 2）lg 2 ＝（lg 5）2＋（1＋lg 5）lg 2 ＝（lg 5）2＋lg 2·lg 5＋lg 2 ＝（lg 5＋lg 2）·lg 5＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1. 通性通法 利用对数运算性质化简与求值的方法 （1）“拆”：将积（商）的对数拆成同底的两个对数的和（差），即公式的正用； （2）“收”：将同底的两个对数的和（差）合并为积（商）的对数，即公式的逆用； （3）“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简. 求下列各式的值： （1）； （2）ln 1＋lg 2＋3lg 5－lg. 解：（1）原式＝＝＝. （2）原式＝0＋lg＝lg 1 000＝lg 103＝3. 题型三　对数式的表示问题 （链接教科书第91页练习4题）设lg 2＝a，lg 3＝b，用a，b表示下列各对数： （1）lg 24；（2）lg；（3）lg. 解：（1）lg 24＝lg（3×8）＝lg 3＋lg 8＝lg 3＋3lg 2＝b＋3a. （2）lg＝lg 27－lg 4＝3lg 3－2lg 2＝3b－2a. （3）lg＝lg 50－lg 27＝lg－lg 33＝2－lg 2－3lg 3＝2－a－3b. 通性通法 用已知对数式表示待求对数式的一般思路 （1）将待求对数式利用对数的运算性质转化，变为用已知对数式表示的形式； （2）灵活运用对数的运算性质进行有目标的变形和化简是关键. 1.（2026·南京鼓楼区期中）已知lg 2＝a，lg 3＝b，则实数lg，lg 1.8，lg 14中可以用a，b表示的有（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析：C　lg＝lg 3－lg 5＝lg 3－lg＝lg 3－lg 10＋lg 2＝a＋b－1，lg 1.8＝lg＝lg 18－lg 10＝lg 2＋lg 3＋lg 3－1＝a＋2b－1，lg 14＝lg 2＋lg 7无法用a，b表示.故能用a，b表示有lg，lg 1.8共2个.故选C. 2.用lg x，lg y，lg z表示下列各式： （1）lg（xyz）；（2）lg. 解：（1）lg（xyz）＝lg x＋lg y＋lg z. （2）lg＝lg －lg（y2z）＝lg －（lg y2＋lg z）＝lg x－2lg y－lg z. 1.若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，下列运算正确的是（　　） A.loga＝logaM B.（logaM）N＝NlogaM C.（logaM）÷（logaN）＝loga（M－N） D.logaM＋logaN＝loga（M＋N） 解析：A　对于A，loga＝loga＝logaM，故A正确；对于B，（logaM）N≠NlogaM，故B错误；对于C，（logaM）÷（logaN）≠loga（M－N），故C错误；对于D，logaM＋logaN＝logaMN≠loga（M＋N），故D错误.故选A. 2.若lg a－lg 2＝1，则a＝　20　. 解析：∵lg a－lg 2＝1，∴lg＝1，即＝10，解得a＝20. 3.求值：＋lg 100＋＝　10　. 解析：＋lg 100＋＝（23＋lg 102＋2×＝2＋2＋2×3＝10. 4.（2026·射阳中学期中）求值：（lg 5）2＋lg 2·lg 50＋. 解：（lg 5）2＋lg 2·lg 50＋ ＝（lg 5）2＋lg 2·（lg 5＋lg 10）＋21× ＝（lg 5）2＋lg 2·lg 5＋lg 2＋2×5 ＝lg 5·（lg 5＋lg 2）＋lg 2＋10 ＝lg 5＋lg 2＋10 ＝11. 　　 1.3lg 5＋lg 8＝（　　） A.－3 B.－1 C.1 D.3 解析：D　3lg 5＋lg 8＝3lg 5＋3lg 2＝3（lg 5＋lg 2）＝3.故选D. 2.已知3a＝2，则log38－2log36用a表示为（　　） A.a－2 B.5a－2 C.3a－（1＋a）2 D.3a－a2 解析：A　因为3a＝2，所以a＝log32，所以log38－2log36＝log323－2（log32＋1）＝log32－2＝a－2.故选A. 3.若lg x－lg y＝t，则lg（）3－lg（）3＝（　　） A.3t B.t C.t D. 解析：A　lg（）3－lg（）3＝3lg－3lg＝3lg＝3（lg x－lg y）＝3t. 4.设lg 3＝a，10b＝5，则lg＝（　　） A. B. C.3a－2b－1 D.3a＋2b－2 解析：D　因为10b＝5，所以lg 5＝b，又lg 3＝a，所以lg＝lg＝3lg 3－2lg 2＝3a－2（1－lg 5）＝3a－2（1－b）＝3a＋2b－2.故选D. 5.〔多选〕若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，n∈N*，则下列各式中正确的有（　　） A.（logax）n＝nlogax B.logax＝－loga C.2lg（xy）＝2lg x·2lg y D.＝loga 解析：BCD　根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM（M＞0，a＞0，a≠1）知B、D正确，A错误；由lg（xy）＝lg x＋lg y可得2lg（xy）＝2lg x＋lg y＝2lg x·2lg y，C正确.故选B、C、D. 6.〔多选〕下列各式中正确的有（　　） A.loga＝2logax＋logay－logaz B.loga5＋loga＝loga C.2log610＋log60.36＝2 D.（lg 2）2＋lg 20×lg 5＝4 解析：AC　loga＝logax2y－logaz＝logax2＋logay－logaz＝2logax＋logay－logaz，A正确；loga5＋loga＝loga（5×）＝loga1＝0，B错误；2log610＋log60.36＝log6（102×0.36）＝log662＝2，C正确；（lg 2）2＋lg 20×lg 5＝（lg 2）2＋lg（10×2）×lg＝（lg 2）2＋（1＋lg 2）·（1－lg 2）＝1，D错误. 7.已知3a＝2，3b＝，则2a－b＝　log320　. 解析：∵3a＝2，3b＝，∴a＝log32，b＝log3，∴2a－b＝2log32－log3＝log3（22÷）＝log320. 8.已知xlog32＝1，则2x＋2－x的值是　　. 解析：由xlog32＝1，可知log32x＝1，即2x＝3，故2x＋2－x＝3＋＝. 9.若lg x＋lg y＝2lg（x－2y），则＝　4　. 解析：因为lg x＋lg y＝lg（xy）＝2lg（x－2y）＝lg（x－2y）2，所以由xy＝（x－2y）2，知x2－5xy＋4y2＝0，所以x＝y或x＝4y.又x＞0，y＞0且x－2y＞0，所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4. 10.计算下列各式的值： （1）〔一题多解〕lg－lg＋lg； （2）lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋（lg 2）2； （3）. 解：（1）法一　原式＝（5lg 2－2lg 7）－×lg 2＋（2lg 7＋lg 5） ＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5 ＝lg 2＋lg 5＝（lg 2＋lg 5） ＝lg 10＝. 法二　原式＝lg－lg 4＋lg 7＝lg＝lg（×）＝lg＝. （2）原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×（2lg 2＋lg 5）＋（lg 2）2＝2（lg 5＋lg 2）＋（lg 5）2＋2lg 5×lg 2＋（lg 2）2＝2lg 10＋（lg 5＋lg 2）2＝2＋（lg 10）2＝2＋1＝3. （3）原式＝＝＝＝＝1. 11.已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4（a，b，c，x＞0且a，b，c，x≠1），则logx（abc）＝（　　） A.　　 　B.　　 　C.　　 　D. 解析：D　x＝a2＝b＝c4，所以（abc）4＝x7，所以abc＝，即logx（abc）＝logx＝，故选D. 12.〔多选〕已知a＞0，b＞0，且满足ba＝9，a＋log3b＝3，则b的可能取值为（　　） A. B.3 C. D.9 解析：BD　∵ba＝9，∴a＝logb9＝2logb3，∵a＋log3b＝3，∴2logb3＋log3b＝3，对于A，当b＝时，2logb3＋log3b＝－3，对于B，当b＝3时，2logb3＋log3b＝3，对于C，当b＝时，2logb3＋log3b＝－3，对于D，当b＝9时，2logb3＋log3b＝3，故选B、D. 13.设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝4c2，则log2（1＋）＋log2（1＋）＝　1　. 解析：原式＝log2＋log2＝log2（·）＝log2＝log2＝log2＝log22＝1. 14.若正实数a，b满足alg b＝2，alg a·blg b＝5，求（ab）lg ab的值. 解：（ab）lg ab＝alg ab·blg ab ＝alg a＋lg b·blg a＋lg b ＝alg a·alg b·blg a·blg b. 因为blg a＝（10lg b）lg a＝（10lg a）lg b＝alg b＝2， 所以（ab）lg ab＝5×2×2＝20. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $